О некоторых связанных с псевдокомпактностью свойствах непрерывных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Миронова Юлия Николаевна

О НЕКОТОРЫХ СВЯЗАННЫХ С ПСЕВДОКОМПАКТНОСТЬЮ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2003

Работа выполнена на кафедре геометрии математического факультета Московского педагогического государственного университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Пономарев Владимир Иванович,

кандидат физико-математических наук Зубов Алексей Юрьевич

Ведущая организация - Институт математики и механики Уральского отделения Российской Академии Наук.

Защита диссертации состоится 6 октября 2003 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, МПГУ, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан «_»_2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Карасев Г.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Непрерывные отображения топологических пространств можно естественным образом рассматривать как обобщение понятия топологического пространства, отождествляя топологическое пространство х с постоянным отображением с ^->{.}.

Многие понятия и результаты, определенные и верные в классе топологических пространств, имеют аналоги в классе непрерывных отображений. На класс непрерывных отображений были распространены аксиомы отделимости, определено понятие базы отображения, веса отображения; различным образом определялась также размерность отображения и т.д.

Возникают задачи распространения теории топологических пространств на отображения. Существует класс отображений, выполняющих во многих случаях роль бикомпактов в классе непрерывных отображений - это совершенные отображения.

В данной работе рассмотрено обобщение на случай отображений класса псевдокомпактных пространств и связанных с ними свойств пространств. Изучены псевдокомпактные, счетно компактные и т-псевдокомпактные отображения.

Основной целью работы является распространение на отображения понятий псевдокомпактности, счетной псевдокомпактности и х-псевдокомпактности и рассмотрение свойств и примеров соответствующих отображений.

Методы исследования. Используются стандартные методы общей топологии.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В частности, новыми являются определения7рйви^|^^дДв|[^Ры псев-

БИБЛИОТЕКА I

оэ

СПетербург а

зоо.5 •«-Тол

докомпактных и счетно компактных отображений, а также теоремы о мультипликативности т-псевдокомпактных отображений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в исследованиях непрерывных отображений. Результаты диссертации могут найти применения в дальнейших исследованиях по послойной общей топологии.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П.С. Александрова в МГУ (1993, 1994, 1995). Были сделаны доклады на Международной математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Лобачевского (Минск, 1993), на III, V, VI Международных конференциях женщин-математиков (1995, 1997,. 1998), в Воронежской весенней математической школе (1998), а также в Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (1998, 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 16 публикациях автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 108 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 40 наименований.

Содержание работы

Во введении характеризуются результаты автора, изложенные в последующих главах.

Глава I. О псевдокомпактных отображениях

В первой главе рассмотрены варианты определения псевдокомпактности отображения f.x~*Y. Рассмотрены несколько серий определений псевдокомпакгного отображения и выбраны основные определе-

ния.

Напомним, что тихоновское пространство х называется псевдокомпактным, если любая непрерывная на х функция ограничена.

Б.А. Пасынковым была поставлена задача распространения понятия псевдокомпактности с пространств на непрерывные отображения.

Напомним, что тихоновское пространство х называется псевдокомпактным, если любая непрерывная на х функция ограничена.

Подмножество Вех тихоновского: пространства х называется относительно псевдокомпактным в х, если любая непрерывная на х функция ограничена на в.

Следующие свойства являются, в классе тихоновских пространств, характеризациями псевдокомпактности и относительной псевдокомпактности, соответственно:

1. Любая открытая локально конечная в пространстве х система конечна.

2. Для пространства х, множества вах и любой открытой локально конечной системы л в х мы имеем \£к(в,л)\<а).

В результате рассмотрения нескольких серий определений и их взаимосвязей были выделены два основные определения:

Определение 1. Непрерывное отображение /-.х-* у назовем о-псевдокомпактным, если для любого открытого в г множества о, любой точки уео и любой локально конечной и открытой в г1 о системы л существует окрестность Оу точки у такая, что ОусО и )ЗКГ>Оу,А)\<о>.

Определение 2. Отображение /:Х-+ г псевдокомпактно, если для любого открытого в г множества о, любой точки уеО и любой непрерывной функции <р-.Г]0-+к существует окрестность ОусО точки у такая, что функция , ограничена.

Рассмотрена также взаимосвязь между различными определениями о-псевдокомпактности и псевдокомпактности отображения.

Далее рассмотрена взаимосвязь между о-псевдокомпактными и псевдокомпактными отображениями. В частности, если пространство х вполне регулярно, то псевдокомпактность и о-псевдокомпактность отображения у совпадают.

В пункте 10 главы 1 рассматриваются некоторые свойства псевдокомпактных и о-псевдокомпакгных отображений, аналогичные соответствующим свойствам псевдокомпактных пространств.

Предложение (пункт Ю'к Бикомпактное отображение о-гкёвдокомпактно.

^ Следствие 1 (пункт 10). В случае вполне регулярного х бикомпактное отображение }-.х-> г является псевдокомпактным. " Теорема 1 (пункт 10). о-псевдокомпактное замкнутое паракомпакт-ное отображение бикомпактно.

Теорема 2 (пункт 10). Непрерывный образ о-псевдокомпактного отображения о-псевдокомпактен.

Теорема 3 (пункт 10). Пусть отображение /:Х-+у о-псевдокомпактно, и для некоторого открытого в г множества о множество в канонически замкнуто в трубке /'о. Тогда отображение Л = А»-в~* у о-псевдокомпактно.

Теорема 4 (пункт 10). Пусть множество 5 конечно. Комбинация V /,-.х=®х, ->7, где хеБ, о-псевдокомпактна тогда и только

тогда, когда все отображения /,:Х,-+у о-псевдокомпактны.

Аналогичные утверждения доказываются для псевдокомпактных отображений.

В пункте 11 рассматривается еще одно интересное свойство о-

псевдокомпактного отображения:

Теорема 1 (пункт 11). Послойное произведение замкнутого о-псевдокомпаюгного отображения /:Х-+ г и открытого бикомпактного отображения о-псевдокомпактно.

Получены следующие результаты (примеры псевдокомпактных отображений) для тихоновских пространств:

1. Если пространство х псевдокомпакгно, а проекция р-.Хху-^у является 2-замкнутой, то она псевдокомпактна.

2. Если пространство х псевдокомпакгно, а у есть к-пространство, то проекция р:хху-*у псевдокомпактна.

3. Если произведение ХхУ псевдокомпакгно, то проекции р-.хху-^х и д:ХхУ->¥ псевдокомпактны.

4. Для любой системы псевдокомпактных топологических групп

и любого представления множества 5 в виде объединения двух непустых дизъюнктных подмножеств 5, и б, проекции т- ПХ.-+ ГК и и*.-* ИХ' псевдокомпактны.

5. Пусть х - псевдокомпактное пространство, г - псевдокомпактное к-пространство. Тогда проекции pn-.xv.7-~x и ргг:Хх? — ¥ псевдокомпактны.

6. Пусть пространство X псевдокомпактно, а г есть сильно псевдокомпактное пространство. Тогда проекции ргх:х*у-*х и рг2:хху-+у псевдокомпактны.

7. Если псевдокомпактное пространство х обладает счетно направленной решеткой (¿-открытых отображений на полные по Дьедонне пространства, а пространство г псевдокомпактно, то проекции р^-.хху-ьх и рг2-.хху-+у псевдокомпактны.

8. Пусть х есть псевдокомпактная группа, у есть псевдокомпактное

пространство. Тогда проекции р^-.ХхУи рг2:Х*Упсевдо-компактны.

9. Если псевдокомпактное пространство х обладает счетно направленной решеткой с1-открытых отображений на с-ю-ограниченные пространства, а пространство у псевдокомпактно, то проекции ргх\х*у-*х и рг2:ХхУ->У псевдокомпактны. Далее рассматриваются канонические отображения пространств с действием псевдокомпактных групп на пространства орбит.

Предложение 1 (пункт 12). Пусть е - топологическое пространство, 9 - топологическая группа, действующая непрерывно 5 I, - псевдокомпактное множество в а. Если проекция рг2-.КхЕ~+Е является г-замкнутой, то отображение р:{.произведения кхе в е псевдокомпактно.

Из предложения 1 вытекают следующие примеры псевдоком-пактных отображений:

1. Пусть е есть к-пространство, в - топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - псевдокомпактное множество в с. Тогда отображение р:(х,х)->зх произведения кхе в б псевдокомпактно.

2. Пусть е есть псевдокомпаюгное пространство, в - топологическая фуппа, действующая непрерывно в е, к - псевдокомпактное множество в в. Тогда отображение произведения кхе в е псевдокомпактно.

3. Пусть е- топологическое пространство, к- топологическая группа, действующая непрерывно в ¿г, и проекция рг2:КхЕ-*Е является г-замкнутой. Тогда каноническое отображение р:е-±е/К является г-замкнутым.

4. Пусть е есть к-пространство, а к есть псевдокомпактная

фуппа, действующая непрерывно в е. Тогда каноническое отображение р:Е-+Е/к псевдокомпактно.

5. Пусть е есть псевдокомпактное пространство, к - псевдокомпактная фуппа, действующая непрерывно в е. Тогда каноническое отображение р:Е-*Е/к псевдокомпактно.

6. Пусть Е - топологическая группа, к - псевдокомпактная подгруппа группы Е, и проекция рг2:КхЕ-*Е является т-замкнутой. Тогда каноническое отображение р-.Е->Е1к псевдокомпактно.

7. Пусть к - псевдокомпактная подгруппа псевдокомпактной группы е. Тогда каноническое отображение р:е-+е/к псевдокомпактно.

8. Пусть к - псевдокомпактная подгруппа группы е , пространство которой есть к-пространствс. Тогда каноническое отображение р:е-+е/к псевдокомпактно.

Таким образом, в главе 1 подробно рассматриваются свойства и примеры различных модификаций псевдокомпактности непрерывных отображений.

Глава'!. О счетно компактных отображениях

Глава 2 посвящена счетно компактным отображениям и их свойствам. Сначала рассматриваются различные определения счетной компактности отображения и их взаимосвязь, затем выбирается основное определение..

Определение 1. Непрерывное отображение /: х -> у назовем счетно компактным, если для любого открытого в У множества о, любой точки у еО и любой локально конечной в /~'о системы л существует окрестность Оу точки у такая, что ОусО и ^(/"'Оу.я)|<о.

Рассмотрены критерии счетной компактности отображения.

Далее рассматриваются свойства счетно компактных отображений, аналогичные свойствам псевдокомпактных отображений.

1. Счетно компактное отображение о-псевдокомпактно (следовательно, псевдокомпактно).

2. Счетно компактное замкнутое паракомпактное отображение бикомпактно.

3. Если отображение /:х-> у паракомпактно и замкнуто, то о-псевдокомпактность, бикомпактность и счетная компактность отображения у совпадают.

4. Непрерывный образ счетно компактного отображения счетно компактен.

5. Пусть множество 5 конечно. Комбинация v /,-.х=@х, г,

хеЯ

где //.х^у^ез, счетно компактна тогда и только тогда, когда веж отображения /,-х,-*у счетно компактны.

6. Пусть отображение /:х-> у счетно компактно, и для некоторого открытого в у множества о множество в замкнуто в трубке /-'о. Тогда отображение /в =/]„■. в ~>У счетно компактно.

Далее рассматриваются случаи счетной компактности непрерывного отображения. Пусть х, у - тихоновские пространства.

Теорема 1 (пункт 141 Если пространство х счетно компактно, а проекция р: хх у у замкнута, то она счетно компактна.

Из этой теоремы следуют примеры счетно компактных отображений:

1. Пусть х - счетно компактное пространство, у - секвенциальное

пространство (в частности, пространство с первой аксиомой счетно-

сти). Тогда проекция р: х* г -> у счетно компактна.

2. Пусть е - топологическое пространство, в -топологическая группа, действующая непрерывно в е, к- замкнутое счетно компактное множество в <?. Если проекция р:К*е-*е является замкнутой, то отображение р:(л,х)->« произведения к>.е в е счетно компактно.

3. Пусть е есть секвенциальное пространство, с - топологическая фуппа, действующая непрерывно в е, к - замкнутое счетно компактное множество в в. Тогда отображение произведения кхе в е счетно компактно.

4. Пусть е - топологическое пространство, к - счетно компактная группа, действующая непрерывно в е. и проекция р:К*Е->Е замкнута. Тогда каноническое отображение е на е/к счетно компактно.

5. Пусть е есть секвенциальное пространство, к - счетно компактная фуппа, действующая непрерывно в е. Тогда каноническое отображение е на е/к счетно компактно.

6. Пусть Е есть секвенциальная топологическая фуппа, к - счетно компактная подфуппа фуппы Е. Тогда каноническое отображение /:е-+е/к счетно компактно.

Далее рассматривается связь счетной компактности и псевдокомпактности непрерывного отображения.

Теорема 1 (пункт 18). Если отображение нормально, то о-

псевдокомпактность и счетная компактность отображения /:х~* у совпадают.

Теорема 2 (пункт 18). Если отображение /:Х-*у функционально нормально, то псевдокомпактность и счетная компактность отображения /:*-» у совпадают.

Таким образом, главы 1 и 2 данной работы посвящены введению понятий псевдокомпактности и счетной компактности отображений. Рас-

смотрены их взаимосвязь и основные свойства, аналогичные свойствам псевдокомпактных и счетно компактных пространств.

Глава III. О т-псевдокомпактных отображениях

Третья глава данной работы посвящена мультипликативности псевдокомпактности.

Назовем систему х т-локальной в х, если для любой точки хеХ существует ее окрестность Ох такая, что < т.

Определение 1 (пункт 1). Непрерывное отображение f-,x-*Y назовем т-псевдокомпактным, если для любого открытого в у множества о, любой точки уео и любой т-локальной открытой в f'o системы л существует окрестность Оу точки у такая, что ОусО и \st{x,f^Oy\<т.

При х-псевдокомпактность отображения совпадает с его о-псевдокомпактностью.

Определение 1 (пункт 2). Пусть дано непрерывное отображение f-.x->Y, х,сх. Подотображение g = f\x -.х^т отображения / называется относительно т-псевдокомпактным в f, если для любого открытого в г множества О, любой точки ysG и любой открытой т-локальной в f''0 системы х существует окрестность Оу точки у такая, что OyczO и ¡»{g-'GMjjcr.

Доказываются свойства относительно т-псевдокомпактного отображения, например,

1. Непрерывный образ относительно т-псевдокомпактного отображения относительно т-псевдокомпактен.

2. Пусть отображение /:*,-> г, х,сх относительно т-псевдокомпактно в f-.x-+Y, Л=/\Х{< и х2сх1. Тогда отобра-

жение /2 =/|^2: относительно -с-псевдокомпактно в /.

Далее рассматриваются с-т-ограниченные отображения и конкретные примеры этих отображений.

Определение 1 (пункт 1У Непрерывное отображение р.х-*у назы-■ вается с-т-ограниченным, если любое его замкнутое относительно -с-

х , где хх замкнуто в х, являет-

псевдокомпактное подотображение g=f

ся совершенным отображением.

Определение 2 (пункт ЗУ Тихоновское отображение /:Х-+ у называете« обобщенно полным по Дьедонне, если для любой точки хе существует окрестность и точки в 7 и такое открытое локально конечное в г1 и покрытие я трубки /""'£/, что х*и\я\

Рассматривается пример отграниченного отображения:

Лемма 1 (пункт ЗУ Обобщенно полное по Дьедонне отображение /:х-+у, где у есть ^-пространство, является ою-ограниченным отображением.

Известно, что пространство х бикомпактно тогда и только тогда, когда оно псевдокомпактно и Я-полно.

Обобщая этот факт на отображения, получим.

Теорема 2 (пункт 3). Отображение /-.х-* у совершенно тогда и только тогда, когда оно псевдокомпактно, с-ш-ограничено и замкнуто.

Далее рассматриваются мультипликативность о-т-ограниченных отображений.

Доказывается теорема о мультипликативности, являющаяся основным результатом данной главы:

Теорема 2 (пункт 6У Пусть отображения /* :х'->у замкнуты и на них

имеются т-направленные решетки и ~ {ses, ¿-открытых морфизмов на от-ограниченные отображения /<,(.)■ f<s) =<pa(,)°f*>

se s, a(s)eA(s). Пусть отображения f? =»/'

,, fí -.x¡-*Y, где х? замкнуты

в х\ замкнуты и относительно т-псевдокомпактны в fs, se s. Тогда произведение fx = fj/? относительно t-псевдокомпактно в /= f]/*.

ses ses

Далее рассматриваются следствия теоремы о мультипликативности ^псевдокомпактности для пространств.

Так как любое пространство х можно рассматривать как непрерывное отображение f-.x-*Y в точку, причем наше отображение замкнуто и пространство г = {у} локально бикомпактно, то теорема о мультипликативности легко переносится на случай пространств.

Определение (пункт 7.1). Множество Вех называется относительно т-псевдокомпактным в х, если для любой т-локальной открытой в х системы л имеем |л(А,в)(<г-.

При г=<з относительная г-псевдокомлактность множества з в тихоновском пространстве х равносильна его ограниченности, или относительной псевдокомпактности, т.е. ограниченности на в любой непрерывной функции 9> : Jf -J. R :

Определение 1 (пункт 7.1). Пространство х называется с-т-ограниченным, если замыкание любого его относительно т-псевдокомпактного подмножества бикомпактно.

Предложение 1 (пункт 7.1). Класс от-ограниченных пространств мультипликативен.

Определение 2 (пункт 7.1). (Б.А. Пасынков). Тихоновское пространство х называется обобщенно полным по Дьедонне пространством, если

для любой трчки хе0х\х существует открытое локально конечное покрытие т пространства х со свойством: хеиИуйг Иду :0б(В1-

Обобщенно полное по Дьедонне пространство является примером с-анзграничвнного пространства.

с-ю-ограниченными пространствами являются также нормальное изокомпактное пространство, замкнутое подпространство произведения нормальных изокомпактных пространств, пространства, .уплотняемые на метризуемые пространства.

Если н - допустимая подгруппа топологической группы в, то пространство о/н также с-ю-ограничено. *

Таким образом, существует большое количество примеров сча-ограниченных пространств.

Теорема о мультипликативности для пространств приобретает следующий вид:

Теорема 1. (пункт 7.2). Если на пространствах х„ имеются т-направленные решетки ¿-открытых отображений на о-т-ограниченные пространства, множества с, относительно т-псевдокомпактны в х„ лез, то множество с=]~[{с1:ве5} относительно т-псевдокомпактно в

Теорема 2 (пункт 7.2). Если на топологических пространствах Х;;, 5 е 5 имеются счетнонаправленные решетки ¿-открытых отображений

на с-ю-офаниченные пространства, в частности, на ..

1. обобщенно полные по Дьедонне пространства;

2. полные по Дьедонне пространства;

3. нормальные изокомпактные пространства;

4. замкнутые подпространства нормальных изокомпактных пространств;

5. замкнутые подпространства нормальных слабо паракомпактных пространств;

6. пространства, уплотняемые на метризуемые пространства;

7. фактор-пространства топологических групп по допустимым подгруппам этих групп;

8. свободные топологические группы над ц-пространствами; множества с, относительно псевдокомпактны в х , se s, то множество

С-П{с,:* относительно псевдокомпактно в х= П^5 s5}'

Следствие 1. (Комфорт, Росс). Произведение псевдокомпактных топологических групп является псевдокомпактной топологической группой.

В заключение сформулируем основные результаты, выносимые на защиту. В работе проведен подробный анализ следующих свойств непрерывных отображений: распространены на отображения такие важные свойства, как псевдокомпактность и счетная компактность (атому посвящены главы 1 и 2 данной работы); а также такое обобщение псевдокомпактности, как т-псевдокомпактность (этот аспект рассматривается в главе 3), ее мультипликативность и другие интересные свойства.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Миронова Ю.Н. Об одном обобщении теоремы Комфорта-Росса // Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Лобачевского. Тезисы докладов. Часть 1. Минск, 1993, с. 650. (0,1 печ. л.)

2. Миронова Ю.Н. Об эквивалентности двух определений псевдокомпактного отображения // Топология. Алгебра. Информатика. Материалы исследований молодых ученых МПГУ. М., МПГУ, 1994, с. 8. (0,1 печ. л.)

3. Миронова Ю.Н. О мультипликативности относительной псевдокомпактности // Вестник МГУ, №6, 1994, сер. Математика, механика, с. 80.

(0,1 печ. л.)

4. Mironova J.N. On т-bounded subsets of topological spaces // Труды Международного конгресса ассоциации "Женщины-математики". Волгоград, 1994, с. 103-109. (0,3 печ. л.)

5. Миронова Ю.Н. Мультипликативность относительной т-псевдокомпактности // Общая топология. Отображения, произведения и размерность пространств. М., Изд-во МГУ, 1994, с. 77-82. (0,3 печ. л.)

6. Миронова Ю.Н. О совпадении псевдокомпактности и счетной компактности отображений II III международная конференция женщин-математиков. Тезисы докладов. Воронеж, 1995, с. 90. (0,1 печ. л.)

7. Миронова Ю.Н. Примеры псевдокомпактных отображений Н V международная конференция женщин-математиков "Математика, экономика". 26 мая -1 июня 1997 г. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1997, с. 61. (0,1 печ. л.)

8. Миронова Ю.Н. О т-псевдокомпактных отображениях // Понтрягинские чтения - IX. Тезисы докладов. Воронеж, 1998, с. 140. (0,1 печ. л.)

9. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных и счетно компактных отображениях // Вестник МГУ, №6, 1998, сер. Математика, механика, с. 60. (0,1 печ. л.)

10. Миронова Ю.Н. Свойства о-псевдокомпактных отображений // Математика. Образование. Экономика. Тезисы докладов VI международной конференции женщин-математиков. Чебоксары, 1998, с. 54. (0,1 печ. л.)

11. Миронова Ю.Н. Некоторые свойства счетной компактности объектов // Международная математическая конференция памяти Н. В. Ефимова. 5-11 сентября 1998 г. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, с. 109-111.(0,1 печ. л.)

12. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных отображениях // Вестник МГУ, №3,2000, сер. Математика, механика, с. 71. (0,1 печ. л.)

13. Миронова Ю.Н. О т-псевдокомпактных отображениях // Сибирский математический журнал. Том 42, №3. Новосибирск, 2001, с. 634-644. (0,8 печ. л.)

14. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных отображениях // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В Ефимова. Ростов-на-Дону, 2002, с. 57-59. (0,1 печ. л.)

15. Миронова Ю.Н. Свойства о-псевдокомпактных и счетно компактных

, I

отображений // Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова. Тезисы докладов. Новосибирск, 2002, с. 57-59. (0,1 печ. л.)

16. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных, счетно компактных, локально бикомпактных отображениях и к-отображениях // Сибирский математический журнал. Том 43, №5. Новосибирск, 2002, с. 1115-1129. (1,23 печ. л.)

t

№

I

Щдп. к печ. 23.04.?,00?_Объем 1 п.л.

Типография МПГУ

2¿>oj?-A Z9SS

ЧЯ59

Введение 5

Глава I. О псевдокомпактных отображениях. 27п.1. Об о-псевдокомпактных отображениях. 27 п.2. Соотношения между свойствами, входящими в одну о-группу. 29 п.З. Связь между о-группами свойств. 30 п.4. Вторая серия определений. 34 п.5. Третья серия определений. 37 п.6. Эквивалентность второй и третьей серий определений для отображения f-.x->Y. 41 п.7. Совпадение первой и третьей серий определений для отображений вполне регулярных пространств. 44 п.8.Эквивалентность сформулированных определений псевдокомпактности в случае, когда пространство y вполне регулярно. 45 п.9. Эквивалентность определений псевдокомпактности отображений в случае их z-замкнутости. 47 п. 10. Свойства о-псевдокомпактных и псевдокомпактных отображений. 51 п.11. о-псевдокомпактность произведения замкнутого о-псевдокомпактного и бикомпактного открытого отображения 56 п. 12. Примеры псевдокомпактных отображений. п. 12.1. Проекции произведений параллельно псевдокомпактным пространствам. п. 12.2. Канонические отображения пространств с действием псевдокомпактных групп на пространства орбит.

Глава II. О счетно компактных отображениях. 65п. 13. Счетно компактные отображения. п. 14. Соотношения между определениями счетной компактности отображения. п. 15. Критерии счетной компактности отображения. 71 п. 16. Свойства счетно компактного отображения 78 п. 17. Некоторые случаи счетной компактности отображений. 79 п. 18. Связь счетной компактности и псевдокомпактности отображений.

Глава III. О т-псевдокомпактных отображениях 85-104 п.1. т-псевдокомпактные и т-компактные отображения 85 п.2. Относительно т-псевдокомпактные отображения. 86 п.З. с-т-ограниченные отображения 88 п.4. Мультипликативность с-т-ограниченности отображений 91 п.5. Решетки непрерывных морфизмов на отображениях п.6 Теоремы о мультипликативности относи тельно х-псевдокомпактных отображений п.7. Следствия теоремы о мультипликативно сти т-псевдокомпактности для пространств п.7.1. с-т-ограниченные пространства п.7.2. с-со-ограниченные пространства Литература.

Непрерывные отображения топологических пространств можно естественным образом рассматривать как обобщение понятия топологического пространства, отождествляя топологическое пространство х с постоянным отображением с->{•}.

Многие понятия и результаты, определенные и верные в классе топологических пространств, имеют аналоги в классе непрерывных отображений. На класс непрерывных отображений был распространены аксиомы отделимости [6], определено понятие базы отображения [6], веса отображения [6]; различным образом определялась также размерность отображения [1,6] и т.д. [3,5,6]

Возникают задачи распространения теории топологических пространств на отображения.

Существует класс отображений, выполняющих во многих слу-ф чаях роль бикомпактов в классе непрерывных отображений - это совершенные отображения.

В данной работе рассмотрено обобщение на случай отображений класса псевдокомпактных пространств и связанных с ними свойств пространств.

Данная работа состоит из 3 глав и посвящена распространению на непрерывные отображения связанных с псевдокомпактностью свойств топологических пространств.

В первой главе рассмотрены варианты определения псевдокомпактности отображения Y.

1.Q. Первая о-группа определений. о.1.1.) Для любого открытого в У множества о и любой точки уеО существует окрестность Оу точки у такая, что Oy<zO и для любой локально конечной и открытой в \f~xOy\ системы я имеем Я |< со . о.1.2.) Для любого открытого в Y множества о и любой точки уеО существует окрестность Оу этой точки такая, что ОусО и для любой локально конечной и открытой в f~Ao системы я имеем

St(f-lOy,X)\<a>.

0.1.3.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной и открытой в /1о системы я существует окрестность Оу точки у такая, что Oy<zO и | st(j~lOy,X) |< со. 2.о. Вторая о-группа определений.

Эта группа определений аналогична первой группе с заменой о на Y. о.2.1.) Для любой точки уеГ существует ее окрестность Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в [f~xOy] „ сисЛ темы я имеем \я\<а>.

0.2.2.) Для любой точки уеГ существует ее окрестность Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в х системы я имеем \st(f~xOy,Z)\<co.

0.2.3.) Для любой точки уеГ и любой локально конечной и открытой в х системы X существует окрестность Оу точки у такая, что

8КГ'Оу,Л)\<со.

З.о. Третья о-группа определений.

Она получается из первой группы заменой о на г, Оу на

Г1 у). о.3.1.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО существует окрестность Оу точки у такая, что Oj/cO и для любой локально конечной и открытой в [f~lOy\ Xqсистемы л имеем

0.3.2.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной и открытой в /-1о системы я имеем \St(J~xy,X)\«o. о.3.3) =(о.3.2).

4.о. Четвертая о-группа определений.

Она получается из первой группы заменой о на Y, Оу на

Г у). о.4.1.) Для любой точки yeY существует ее окрестность Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в \f~xOy\x системы л имеем \St{f~xy,X)\<a).

0.4.2.) Для любой точки у еГ и любой локально конечной и открытой в х системы л имеем \st{j~xytx)\<a>.

0.4.3) = (о.4.2).

Определение 1. Непрерывное отображение f-.x-* Y назовем о-псевдокомпактным, если оно удовлетворяет условию (О.1.З.).

Рассмотрена также взаимосвязь между различными определениями о-псевдокомпактности отображения. Связи между различными определениями отражены в следующей диаграмме: f:X~+Y

0.1.1)

Б.А. Пасынковым было предложено заменить в определениях пункта 1 открытые локально конечные системы на функционально открытые локально конечные системы. В результате была получена вторая серия определений и в пункте 4 главы 1 рассмотрены связи между fo-псевдокомпактными (=псевдокомпактными) отображениями (аналогичные отображенным на рис. 1).

В пункте 5 главы 1 рассмотрены варианты определений, связанные с непрерывными функциями на трубках, - , f-псевдокомпактные отображения.

Далее рассмотрена взаимосвязь между о-псевдокомпактными, псевдокомпактными и f-псевдокомпактными отображениями: в частности,

•псевдокомпактность и fo-псевдокомпактность отображения f:X->Y совпадают,

• если пространство х вполне регулярно, то псевдокомпактность и о-псевдокомпактность отображения f-.x-^Y совпадают.

В пункте 9 главы 1 сформулирована следующая теорема:

Теорема 1. Пусть f-.x^Y - отображение вполне регулярных пространств I и Y. Тогда следующие условия эквивалентны. а) отображение f-.x-^Y псевдокомпактно (f.1.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой непрерывной функции <р:>л существует окрестность Oy<zO точки у такая, что функция д>\. ограничена. f Оу в) отображение f-.x-±Y о-псевдокомпактно (о. 1.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной и открытой в /~1о системы л существует окрестность Оу ТОЧКИ у такая, ЧТО Oy<zO И \St(f~]Oy,A)\<co. c) отображение f-.x^-Y удовлетворяет условию (f.2.3): для любой точки yeY и любой непрерывной функции <p-.x-+R существует окрестность Оу точки у такая, что функция <р\. ограничена. Оу d) отображение f-.x-^Y удовлетворяет условию (0.2.3): для любой точки yeY и любой локально конечной и открытой в х системы л существует окрестность Оу точки у такая, что \st(f'lOy3A)\<o>.

Более того, если отображение f-.x-^Y z-замкнуто, то эквивалентны следующие условия: а) отображение f:X->Y псевдокомпактно; e) отображение f-.x-*Y удовлетворяет условию (f.3.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО любая непрерывная на /-'о функция ограничена на f~xy. f) отображение f:X^>Y удовлетворяет условию (о.3.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой ой и открытой в /~'о системы л имеем ние f:X—>Y удовлетворяет условию (f.4.3): для любой точки y&Y любая непрерывная на х функция ограничена на h) отображение f-.x-^Y удовлетворяет условию (о.4.3): для любой точки yeY и любой локально конечной и открытой в х системы л имеем | st(f~xy,X) |< со.

В пункте 10 главы 1 рассматриваются некоторые свойства псевдокомпактных и о-псевдокомпактных отображений, аналогичные соответствующим свойствам псевдокомпактных пространств.

Предложение 1. Бикомпактное отображение о-псевдокомпактно.

Следствием В случае вполне регулярного х бикомпактное отображение /:Х-»г является псевдокомпактным.

Определение 1. ( Б.А. Пасынков). Отображение f:X^> Y (функционально) паракомпактно, если для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любого (функционально) открытого покрытия л трубки /-'о существует окрестность Оу точки у такая, что в покрытие л можно вписать (функционально) открытое локально конечное покрытие трубки f~]Oy.

Г1 у.

Теорема 1. о-псевдокомпактное замкнутое паракомпактное отображение бикомпактно.

Предложение 1. Псевдокомпактное замкнутое функционально паракомпактное отображение бикомпактно.

Теорема 2. Непрерывный образ о-псевдокомпактного отображения о-псевдокомпактен.

Предложение 2. Непрерывный образ псевдокомпактного отображения псевдокомпактен.

Теорема 3. Пусть отображение f-.x-^y о-псевдокомпактно, и для некоторого открытого в г множества о множество в канонически замкнуто в трубке flo. Тогда отображение fB= j\b:B-*y о-псевдокомпактно.

Следствие. В случае, когда пространство х вполне регулярно, теорема 3 верна для псевдокомпактного отображения f-.x-+ Y. + Теорема 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v fs-.x=©xs -»Y, где ft-.xt —> Y,s eS, о-псевдокомпактна тогда и тольses ко тогда, когда все отображения fs-.xs г о-псевдокомпактны.

Предложение 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v fs-.x=@xs -> y, где fs-.xs y,sпсевдокомпактна тогда и только ses тогда, когда все отображения fs-.xs г псевдокомпактны.

В пункте 11 рассматривается еще одно интересное свойство о-псевдокомпактного отображения:

Теорема 1. Послойное произведение замкнутого о-псевдокомпактного отображения f-.x-^Y и открытого бикомпактного отображения g:Z->Y о-псевдокомпактно.

Пункт 12 посвящен рассмотрению случаев, когда произведение псевдокомпактных отображений псевдокомпактно. т.

Получены следующие результаты для тихоновских пространств:

Теорема 1. Если пространство х псевдокомпактно, а проекция p:X*Y-+Y является z-замкнутой, то она псевдокомпактна.

Следствие 1. Если пространство х псевдокомпактно, а г есть k-пространство, то проекция p-.XxY^Y псевдокомпактна.

Следствие 2. Если произведение ХхГ псевдокомпактно, то проекции р:хxY —>х и q:XxY^>Y псевдокомпактны.

Следствие 3. Для любой системы псевдокомпактных топологических групп xs,seS, и любого представления множества s в виде объединения двух непустых дизъюнктных подмножеств s{ и s2 проекции ргх: Ц{Х,: se S} -+Y\{XS:j е S,} И pr2: Y[{XS : j е 5} -+]J{XS : * е ^ псевдокомпактны.

Следствие 4. Пусть х - псевдокомпактное пространство, Y -псевдокомпактное k-пространство. Тогда проекции prx-.XxY-*x и pr2:XxY-+Y псевдокомпактны.

Следствие 5. Пусть пространство х псевдокомпактно, a Y есть сильно псевдокомпактное пространство. Тогда проекции prx:XxY-*x и pr2:XxY —>Y псевдокомпактны.

Напомним, что отображение f-.x-^Y называется d-открытым, если для любого открытого множества ОаХ существует открытое в Y множество v такое, что /0cFc[/0].

Следствие 6. Если псевдокомпактное пространство X обладает счетно направленной решеткой d-открытых отображений на полные по Дьедонне пространства, а пространство Y псевдокомпактно, то проекции prY :XxY-+x и pr2:XxY —>y псевдокомпактны.

Следствие 7. Пусть х есть псевдокомпактная группа, Y есть псевдокомпактное пространство. Тогда проекции prx\X*Y-*x и pr2 -.XxY—>Y псевдокомпактны.

Замечание. В главе 2 рассматривается класс пространств с решетками d-открытых отображений на более общие, чем полные по Дьедонне (а именно, с-со-ограниченные), пространства. Все определения можно прочитать в гл. 3.

Имеет место

Следствие 8. Если псевдокомпактное пространство х обладает счетно направленной решеткой d-открытых отображений на с-со-ограниченные пространства, а пространство Y псевдокомпактно, то проекции pr}:XxY->x и pr2 :X*Y —>Y псевдокомпактны.

Далее рассматриваются канонические отображения пространств с действием псевдокомпактных групп на пространства орбит.

Лемма! Пусть Е - топологическое пространство, G- топологическая группа, действующая непрерывно в Е, к - подмножество группы G. Если проекция рг2-.КхЕ-*Е является z-замкнутой (замкнутой, совершенной), то отображение p:(s,x)-+sx произведения КхЕ в Е z-замкнуто (замкнуто, совершенно).

Предложение 1. Пусть Е - топологическое пространство, G -топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - псевдокомпактное множество в G. Если проекция рг2:КхЕ-+Е является z-замкнутой, то отображение p:(s,x)-+sx произведения КхЕ в е псевдокомпактно.

Из предложения 1 вытекают следующие случаи псевдокомпактности отображения:

Следствие 1. Пусть Е есть к-пространство, g - топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - псевдокомпактное множество в G. Тогда отображение p:(s,x)->sx произведения к*Е в е псевдокомпактно.

Следствие 2. Пусть е есть псевдокомпактное пространство, g -топологическая группа, действующая непрерывно в Е, к - псевдокомпактное множество в G. Тогда отображение p-\s,x)-+ sx произведения кхе в е псевдокомпактно.

Предложение 2. Пусть Е - топологическое пространство, к -топологическая группа, действующая непрерывно в Е, и проекция pr2:KxE —>Е является z-замкнутой. Тогда каноническое отображение р:Е—>Е/к является z-замкнутым.

Из предложения 2 следует несколько утверждений:

Следствие 3. Пусть Е есть k-пространство, а к есть псевдокомпактная группа, действующая непрерывно в е. Тогда каноническое отображение р:Е->Е/к псевдокомпактно.

Следствие 4. Пусть Е есть псевдокомпактное пространство, к - псевдокомпактная группа, действующая непрерывно в Е. Тогда каноническое отображение р-.Е^Е/к псевдокомпактно.

Следствие 5. Пусть Е - топологическая группа, к - псевдокомпактная подгруппа группы е, и проекция рг2:К*Е-+Е является z-замкнутой. Тогда каноническое отображение р-.Е^Е/к псевдокомпактно.

Следствие 7. Пусть к - псевдокомпактная подгруппа псевдокомпактной группы е. Тогда каноническое отображение р-.е-^е/к псевдокомпактно.

Следствие 8. Пусть к - псевдокомпактная подгруппа группы Е, пространство которой есть k-пространство. Тогда каноническое отображение р\Е-> Е/к псевдокомпактно.

Таким образом, в главе 1 подробно рассматриваются свойства различных модификаций псевдокомпактности непрерывных отображений.

Глава 2 посвящена счетно компактным отображениям и их свойствам.

В пунктах 13 и 14 рассматриваются различные определения счетной компактности отображения и их взаимосвязь. В пункте 15 рассмотрены критерии счетной компактности отображения:

Предложение 1. Для произвольного отображения f-.x-^Y следующие условия эквивалентны:

1. Отображение f-.x-+Y счетно компактно.

2. Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любого счетного семейства <d = {F } . такого, что

1 a'a е А

Fain.nFa)nf-{Oy*0 для любой окрестности Оу ТОЧКИ у, если S конечно, состоящего из замкнутых в f~xo множеств, существует окрестность Оу точки у такая, что ОусО и flOyn(n ф)*0.

3. ДЛЯ ЛЮбОГО ОТКРЫТОГО В Y МНОЖеСТВа О, ЛЮбОЙ ТОЧКИ уеО и любой убывающей последовательности пересекающихся с любой трубкой f~xOy над любой окрестностью Оу точки у замкнутых в f-lo множеств существует окрестность Оу точки у такая, что ао

И OyczO.

-I

Предложение 2. Для отображения f-.x^Y следующие условия эквивалентны:

1) Отображение f-.x-^Y счетно компактно.

2) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной в /-'о системы я существует окрестность Оу точки у такая, что ОуаО и | st(f~xOy,X)|<со.

3) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной в /~'о системы я, состоящей из одноточечных множеств, существует окрестность Оу точки у такая, что

ОусО И \St(f'xOy,X)\<co.

4) Для любого открытого в Y множества о, любой ТОЧКИ у еО и любого бесконечного подмножества ^ пространства f~lo такого, что \f'xOyn/u\>0) для любой окрестности Оу точки у, множество ц имеет в трубке f~xo строгую предельную точку.

5) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любого счетного бесконечного подмножества // пространства /~1о такого, что \fxOynju\>co для любой окрестности Оу точки у, множество ^ имеет в трубке flo строгую предельную точку.

Далее рассматриваются свойства счетно компактных отображений, аналогичные свойствам псевдокомпактных отображений:

Теорема 1. Счетно компактное отображение о-псевдокомпактно.

Следствие 1. Счетно компактное отображение псевдокомпактно.

Теорема 2. Счетно компактное замкнутое паракомпактное отображение бикомпактно.

Следствие2. Если отображение f-.x-^Y паракомпактно и замкнуто, то о-псевдокомпактность, бикомпактность и счетная компактность отображения f:X-+ Y совпадают.

Теорема 3. Непрерывный образ счетно компактного отображения счетно компактен.

Теорема 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v f-.x-@х -+Y, где / :Х -» Y,s eS, счетно компактна тогда и тольр s s $ s s е 6 ко тогда, когда все отображения / -.х y счетно компактны .

Теорема 5. Пусть отображение f-.x-^y счетно компактно, и для некоторого открытого в y множества о множество в замкнуто в трубке Тогда отображение fB = j]b:B-*y счетно компактно.

И, наконец, в пункте 17 главы 2 рассматриваются случаи счетной компактности непрерывного отображения:

Пусть х, y - тихоновские пространства.

Теорема 1. Если пространство х счетно компактно, а проекция р:ХxY->Y замкнута, то она счетно компактна.

Следствие 1. Пусть х - счетно компактное пространство, у -секвенциальное пространство (в частности, пространство с первой аксиомой счетности). Тогда проекция p-.XxY^Y счетно компактна.

Предложение 1. Пусть е- топологическое пространство, g -топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - замкнутое счетно компактное множество в G. Если проекция р-.КхЕ-^Е является замкнутой, то отображение p:(s,x)-+sx произведения КхЕ в Е счетно компактно.

Следствие 2. Пусть Е есть секвенциальное пространство, g -топологическая группа, действующая непрерывно в е, к - замкнутое счетно компактное множество в G. Тогда отображение p:(s,x)^>sx произведения КхЕ в Е счетно компактно.

Предложение 2. Пусть Е - топологическое пространство, к -счетно компактная группа, действующая непрерывно в Е, и проекция р:КхЕ —>Е замкнута. Тогда каноническое отображение Е на е/к счетно компактно.

Следствие 3. Пусть Е есть секвенциальное пространство, к -счетно компактная группа, действующая непрерывно в Е. Тогда каноническое отображение е на е/к счетно компактно.

Следствие 4. Пусть Е есть секвенциальная топологическая группа, к - счетно компактная подгруппа группы е. Тогда каноническое отображение f:E-+E/K счетно компактно.

В пункте 18 главы 2 рассматривается связь счетной компактности и псевдокомпактности непрерывного отображения.

Определение 1. [6] Для отображения f:X-+ г множества айв из х называются f-отделимыми окрестностями (f-функционально отделимыми), если любая точка yeY обладает окрестностью Оу, в прообразе flOy которой множества айв отделимы окрестностями (функционально отделимы).

Определение 2. [6] Отображение f-.x-^Y называется (функционально) преднормальным, если любые два дизъюнктные замкнутые в х множества f-отделимы окрестностями (f-функционально отделимы).

Определение 3. (Б.А. Пасынков) Отображение f-.x-^Y называется (функционально) нормальным, если для любого открытого в Y множества о отображение является (функционально) преднормальным.

Теорема 1. Если отображение f-.x-*Y нормально, то о-псевдокомпактность и счетная компактность отображения f-.X-*Y совпадают.

Следствие 1. Если f-.x-^Y - нормальное отображение вполне регулярных пространств, то псевдокомпактность и счетная компактность отображения Y совпадают.

Теорема 2. Если отображение f-.x->Y функционально нормально, то псевдокомпактность и счетная компактность отображения f:X-> Y совпадают.

Таким образом, главы 1 и 2 данной работы посвящены введению понятий псевдокомпактности и счетной компактности отображений. Рассмотрены их взаимосвязь и основные свойства, аналогичные свойствам псевдокомпактных и счетно компактных пространств.

Третья глава данной работы посвящена мультипликативности псевдокомпактности.

Известно [16], что произведение псевдокомпактных пространств не обязано быть псевдокомпактным. Однако при некоторых условиях псевдокомпактность произведения сохраняется. Так, Комфорт и Росс доказали [16], что произведение псевдокомпактных топологических групп является псевдокомпактной топологической группой, а М.Г. Ткаченко и В.В. Успенский обобщили этот результат на cf-nространства и относительно псевдокомпактные пространст-ва.([8], [9], [10], [23], [24], [25])

Б.А. Пасынковым была поставлена задача дальнейшего обобщения этих утверждений. Получены следующие результаты.

Назовем систему л т-локальной в х, если для любой точки хеХ существует ее окрестность Ох такая, что \st^,Ox)\< г.

Определение 3.1. Непрерывное отображение f-.xY назовем т-псевдокомпактным, если для любого открытого в у множества о, любой точки у еО и любой т-локальной открытой в системы л существует окрестность Оу точки у такая, что Oy<zO и \st(x,f~xOy\<T.

При т = со т-псевдокомпактность отображения совпадает с его псевдокомпактностью.

Свойство 3.1. Пусть отображения f1\Xl Y,f2:X2 Y,g:Xx ->Х2 непрерывны, отображение g сюръективно и fx=f2°g. Тогда из т-псевдокомпактности отображения fx следует т-псевдокомпактность отображения /2.

Определение. Пусть дано непрерывное отображение

Д-^УДс! Подотображение g = f v :Xx^Y отображения / на1 зывается относительно т-псевдокомпактным в /, если для любого открытого в Y множества о, любой точки у&о и любой открытой т-локальной в fxo системы л существует окрестность Оу точки у такая, ЧТО ОуаО И

Свойство 3.1. Непрерывный образ относительно т-псевдокомпактного отображения относительно х-псевдокомпактен. Свойство 3.2. Пусть отображение f:Xx Y,xx ci относительно т-псевдокомпактно в f:X-+Y,fx =f\x .и х2сх1. Тогда отображение f2=fv :X2^y относительно т-псевдокомпактно в /. 1

Свойство 3.3. Пусть x2axx<zx, отображение /2=/ х.

X2^Y, где /:Х->У относительно т-псевдокомпактно в / =/ /2 относительно т-псевдокомпактно в /.

-»г. Тогда

Далее рассматриваются с-т-ограниченные отображения и конкретные примеры этих отображений.

Определение 3.1. Непрерывное отображение f-.X-^Y называется с-т-ограниченным, если любое его замкнутое относительно тпсевдокомпактное подотображение g = f , где х, замкнуто в х, л\ является совершенным отображением. Примерами с-ю-ограниченного отображения являются трубчато-полное по Дьедонне отображение [3], R-полное отображение [5], а также их обобщение -обобщенно-полное по Дьедонне отображение.

Определение 3.2. Тихоновское отображение f-.X^Y называется обобщенно полным по Дьедонне, если для любой точки * € pfx существует окрестность и точки (/f)* в г и такое открытое локально конечное в f~lu покрытие я трубки f~lu, что

Лемма 3.1. Обобщенно полное по Дьедонне отображение f-.x->Y, где Y есть ^-пространство, является с-со-ограниченным отображением. Известно, [14], что пространство х бикомпактно тогда и только тогда, когда оно псевдокомпактно и R-полно.

Обобщая этот факт на отображения, получим.

Теорема 3.2. Отображение f-.x-> Y совершенно тогда и только тогда, когда оно псевдокомпактно, с-со-ограничено и замкнуто.

Далее рассматривается мультипликативность с-т-ограниченных отображений.

Предложение 3.1. Пусть отображения fa:Xa Y замкнуты и с-т-ограничены для любого аеА. Тогда их послойное произведение

Y также с-т-ограничено.

Используя это свойство и другие вспомогательные утверждения, доказывается теорема о мультипликативности, являющаяся основным результатом данной главы:

Теорема. Пусть отображения f-.x' -> г замкнуты и на них имеются т-направленные решетки L° =\va{syvp{s)a[syA(s\s&s > d~ открытых морфизмов на с-т-ограниченные отображения

4(5):4(5) Пусть отобРажения = /' х*. f':X[->Yt где х? замкнуты в Xs, замкнуты и относительно т-псевдокомпактны в fs,seS. Тогда произведение у; = ]~[/;s относиs €5 тельно т-псевдокомпактно в /= •

5 eS

Как следствие этой теоремы при т = а> мы получаем следующее утверждение.

Теорема 3.3. Пусть на замкнутых отображениях fs-.xs -> Y имеются счетнонаправленные решетки d-открытых морфизмов на обобщенно полные по Дьедонне отображения (в частности, на полные по Дьедонне или R-полные отображения), отображения f': х' Y,X[ с x\f* = /' v относительно псевдокомпактные в fs,seS. Тогда их произведение fx= fjy;5 относительно псевдоком eS пактно в /= Hfs. s<=S

Далее рассматриваются следствия теоремы о мультипликативности х-псевдокомпактности для пространств.

Так как любое пространство х можно рассматривать как непрерывное отображение f-.x-^Y в точку, причем наше отображение замкнуто и пространство Y = {y} локально бикомпактно, то теорема о мультипликативности легко переносится на случай пространств.

Определение. Множество ВаХ называется относительно т-псевдокомпактным в х, если для любой т-локальной открытой в х системы х имеем \st(x,B}<r.

При т = о) относительная т-псевдокомпактность множества в в тихоновском пространстве х равносильна его ограниченности, или относительной псевдокомпактности, т.е. ограниченности на в любой непрерывной функции <р:Х -> R.

Свойство 4.1. Если отображение г непрерывно и множество в относительно т-псевдокомпактно в х, то образ /(в) относительно т-псевдокомпактен в г.

Свойство 4.2. Если множество в относительно т-псевдокомпактно в I, то его замыкание [в] относительно т-псевдокомпактно в х.

Свойство 4.3. Если в является относительно т-псевдокомпактным подмножеством подпространства Y пространства х, то в является относительно т-псевдокомпактным в х.

Определение. Пространство х называется с-т-ограниченным, если замыкание любого его относительно т-псевдокомпактного подмножества бикомпактно.

Предложение 4.1. Класс с-т-ограниченных пространств мультипликативен.

Далее рассматриваются некоторые классы с-со-ограниченных пространств.

Определение. (Б.А. Пасынков). Тихоновское пространство х называется обобщенно полным по Дьедонне пространством, если для любой точки xej3x\x существует открытое локально конечное покрытие ю пространства х со свойством: xe(J\<о\рХ =У}\°]рх -Оесо\.

Предложение 4.2. Обобщенно полное по Дьедонне пространство с-со-ограничено. c-co-ограниченными пространствами являются также нормальное изокомпактное пространство, замкнутое подпространство произведения нормальных изокомпактных пространств, пространства, уплотняемые на метризуемые пространства [8].

Если н - допустимая подгруппа топологической группы G, то пространство G/н также с-со-ограничено.

В работе [15] Архангельского дается определение ц-пространства, которое совпадает с определением с-со-ограниченности пространства, и рассматриваются свойства таких пространств.

Таким образом, существует большое количество примеров с-ю-ограниченных пространств. Теорема о мультипликативности для ♦ пространств приобретает следующий вид:

Теорема 4.1. Если на пространствах x,seS имеются тнаправленные решетки cf-открытых отображений на с-т-ограниченные пространства, множества с относительно тпсевдокомпактны в I,se5, то множество с = e^J относительно т-псевдокомпактно в esj ([30]).

Теорема 4.2. Если на топологических пространствах х ,s eS s имеются счетнонаправленные решетки d-открытых отображений на с-со-ограниченные пространства, в частности, на

1. обобщенно полные по Дьедонне пространства;

2. полные по Дьедонне пространства;

3. нормальные изокомпактные пространства;

4. замкнутые подпространства нормальных изокомпактных пространств;

5. замкнутые подпространства нормальных слабо паракомпактных пространств;

6. пространства, уплотняемые на метризуемые пространства;

7. фактор-пространства топологических групп по допустимым подгруппам этих групп;

8. свободные топологические группы над ^-пространствами; множества с относительно псевдокомпактны в x,seS, то множество с = :s<=s\ относительно псевдокомпактно в

Следствие 4.1. ([16] Комфорт, Росс).

Произведение псевдокомпактных топологических групп является псевдокомпактной топологической группой.

Напомним (Успенский) [10], что топологическое пространство X называется d-пространством (соответственно, od-пространством), если существует проективная система ха,р^,а,/з топологических пространств и когерентное семейство непрерывных отображений Jр^.х^-х^ такие, что

1) все ра d-открыты (соответственно, открыты)

2) А полная решетка

3) если J3 qA,JS = sup В,х,у еХ, и Pa(x)=Pa(y) для всех аеВ, то Рр{х) = Рр{у) s s

4) топология пространства х инициальна ([10]) относительно семейства pa:aeAs, где а - множество тех индексов а еА, для которых пространство ха субметризуемо.

Следствие 4.2. ([10] В. В. Успенский) Произведение относительно псевдокомпактных подмножеств d-пространств относительно псевдокомпактно в произведении.

Замечание. Пункт 2 теоремы 2 был доказан М.Г. Ткаченко ([9]).

Таким образом, в работе проведен подробный анализ некоторых свойств непрерывных отображений: распространены на отображения такие важные свойства, как псевдокомпактность и счетная компактность (этому посвящены главы 1 и 2 данной работы); а также такое обобщение псевдокомпактности, как т-псевдокомпактность (этот аспект рассматривается в главе 3), ее мультипликативность и другие интересные свойства.

1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

2. Архангельский В.В. О соотношениях между инвариантами топологических групп и их подпространств // УМН, т.35, вып. 3(213), 1980, с. 3-22.

3. Бузулина Т.И., Пасынков Б.А. О полных по Дьедонне отображениях // Геометрия погруженных многообразий. Межвузовский сборник научных трудов. М.: МГПИ, 1989, с. 95-99.

4. Вейль А. Интегрирование на топологических группах и его применение. М., 1950.

5. Ильина Н.И., Пасынков Б.А. Об R-полных отображениях // Геометрия погруженных многообразий. Межвузовский сборникнаучных трудов. М.: МГПИ, 1989, с. 125-131.

6. Пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // Отображения и функторы. М.: Изд-во МГУ, 1984, с. 72-102.

7. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М., 1973.

8. Ткаченко М.Г. Обобщение теоремы Комфорта-Росса // Укр. мат. жур., 1989, т.41, № 3, с. 377-382.

9. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М., Мир, 1975, т. i.

10. Шахматов Д.В. Замкнутые вложения в псевдокомпактные пространства с сохранением размерности. // Вестник МГУ, 1988, № 1, с. 69-71.

11. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

12. Arhangel'skii V.V. Free topological groups: the theory of present and problems // Бакинская междунар. топол. конференция, тезисы, Баку, 1987, с. 18.

13. W. Comfort and Kenneth A. Ross. Pseudocompactness and uniform continuity in topological groups. // Pacific journal of Mathematics. Vol. 16, No 3, 1966, p. 483-496.

14. Frechet M. Sur quelques points du calcul fonctoinnel. // Rend, del Circ. Mat. di Palermo. 22 (1906), p. 1-74.

15. Frolik Z. The topological product of countally compact spaces // Чехословацкий мат. журнал, т. 10(83), № 3, 1960, Прага, с.329-338.

16. Frolik Z. The topological product of two pseudocompact spaces // Чехословацкий мат. журнал, т. 10(83), № 3, 1960, Прага, с.339-349.

17. Heuitt A. Rings of real-valued continious functions. // Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), p. 45-99.

18. Noble N. Countably compact and pseudocompact products. // Czechoslovac math. j. Vol. 19 (94), N 3, Praha, 1969.

19. Tamano H. A note of the pseudo-compactness of the product of two spaces. // Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A 33 (1960), p. 225-230.

20. Tkacenko M.G. Compactness type properties in topological groups // Czecchjslovak. Math. Journal 38(113), 1988, Praha, p. 324-341.

21. Tkacenko M.G. On topologies of free groups // Czecchoslovak Math. Journal, no.34(109), 1984, Praha, p. 541-551.

22. Tkacenko M.G. Some results on universe spectra II. // Comment. Math. Universitatis Carolina 22, 4 (1981), p. 812-841.

23. Миронова Ю.Н. Об одном обобщении теоремы Комфорта-Росса. // Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Лобачевского. Тезисы докладов. Часть 1. Минск, 1993, с. 65.

24. Миронова Ю.Н. Об эквивалентности двух определений псевдокомпактного отображения. // Топология. Алгебра. Информатика. Материалы исследований молодых ученых МПГУ. М., МПГУ, 1994, с. 8.

25. Миронова Ю.Н. О мультипликативности относительной псевдокомпактности. И Вестник МГУ, №6, 1994, сер. Математика, механика, с. 80.

26. Миронова Ю.Н. О совпадении псевдокомпактности и счетной компактности отображений. // III Международная конференция женщин-математиков. Тезисы докладов. Воронеж, 1995, с. 90.

27. Mironova J.N. On г-bounded subsets of topological spaces. // Труды Международного конгресса ассоциации "Женщины-математики". Москва-Пущино 30 мая 3 июня 1994 г., Волгоград, 1994, с. 103109.

28. Миронова Ю. Н. Мультипликативность относительной т-псевдокомпактности. // Общая топология. Отображения, произведения и размерность пространств. Изд-во МГУ, 1994, с. 77-82.

29. Миронова Ю. Н. Примеры псевдокомпактных отображений. // V Международная конференция женщин-математиков "Математика,экономика". 26 мая-1 июня 1997 г. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1997, с. 61.

30. Миронова Ю. Н. Свойства о-псевдокомпактных отображений. // Математика. Образование. Экономика. Тезисы докладов VI международной конференции женщин-математиков. Чебоксары, 25-30 мая 1998. Чебоксары, 1998, стр. 54.

31. Миронова Ю. Н. О т-псевдокомпактных отображениях. // Воронежская весенняя математическая школа. Понтрягинские чтения-IX. Тезисы докладов. Воронеж, 1998, стр. 140.

32. Миронова Ю. Н. О псевдокомпактных и счетно компактных отображениях. // Вестник МГУ, № 6, 1998, серия 1. Математика, механика, М., 1998, стр. 60.

33. Миронова Ю. Н. О псевдокомпактных отображениях. // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика, 2000, №3, М., 2000, стр. 71.

34. Миронова Ю. Н. О т-псевдокомпактных отображениях. // Сибирский математический журнал. Май-июнь 2001. Том 42, № 3. Новосибирск, 2001, стр. 634-644.

35. Миронова Ю.Н. Некоторые свойства счетной компактности объектов // Международная математическая конференция памяти Н. В. Ефимова. 5-11 сентября 1998 г. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1998, с. 109-111.

36. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных отображениях // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В Ефимова. Ростов-на-Дону, 2002, с. 57-59.

37. Миронова Ю.Н. О псевдокомпактных, счетно компактных, локально бикомпактных отображениях и k-отображениях // Сибирский математический журнал. Сентябрь-октябрь 2002. Том 43, №5. Новосибирск, 2002, с. 1115-1129.