О размерности непрерывных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

3ГБ ОД

п Г; !-'• | О 14

Йа правах ^укописй

КАРАУЛОВ Василий Михайлович

О РАЗМЕРНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математлческпх наук, профессор ПАСЫНКОВ Б. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ФЕДОРЧУК В. В.,

кандидат фнзшф-^тематическнх наук 'КОЗЛОВ'К. Л.

Ведущая организация: Уральское отделение РАН, институт математики и iíexarriiKii.

Защита •диссертации состоится «..RA..».. 1996 г.

в ../ML. час. ..О.О- мин. на заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 ,в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14. МИГУ, „математический' факультет, ауд. 301. ;

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, Малая Пироговская, д. 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

Автореферат разослан <<..(?.£...».1995 г.

Ученый секретам/ Диссертационного Совета / 1 /С^ъ КАРАСЕВ Г. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие размерности непрерывного отображения топологических пространств возникло ещ§ в довоенные годы, по-видимому, в связи с формулой ГуреЕша1

dimX^atmf + aimY. (1)

При этом Гуревич пользовался послойным определением размерности отображения, считая

dimf= sup {dim ГЛУ-

Это определение оказалось достаточно продуктивным для замкнутых отображений" нормальных пространств. В тоже время, отказ от замкнутости отображений или от нормальности пространств (даже от паракомпактности образа) приводит к нарушении формулы (1), демонстрируя недостаточность послойного определения размерности отображения. В связи с этим были предприняты попытки отойти от этого определения. В частности, определённая Пасынковым2 размерность dim*/ позволяет в формуле (1) отказаться от замкнутости отображения / и от нормальности пространства X (оставляя паракомпактным пространство Г). Таким образом, уже в процессе распространения формулы (1) на как можно более широкие классы пространств и отображений возникла необходимость отказа от послойного определения размерности отображения.

Вообще говоря, возможны многие варианты определения размерности отображений и выбрать надлежащий вариант - довольно трудная задача. Однако, в последнее время, в процессе развития послойной общей топологии, выяснилось, что оптимальным вариантом подхода к распространению основных понятий, касающихся пространств, на отображения является "трубчатый" подход, основанный на рассмотрении не слобв (апрообразов точек), а трубок (зпрообразов открытых множеств). В связи с этим Пасынков предложил-3 следующее определение размерности dim непрерывного отображения /: I—У.

ОСНОВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Считается dtmf^ti, П = -1,0,1если для любых точки j/e Y, её окрестность U и конечного функционально

и

Гуревич и Волмэн. Теория размерности. - ИЛ, 1948.

р

Пасынков Б.А. Факторизациошше теоремы в теории размерности. -УМН, 1981, 36:3, с. 147-175. •з

^Пасынков Б.А. Факгоризацкониая теорема для когомологических размерностей отображений. - Вестн. МГУ, сер.1 матем. ,1991, №4, с. 26-33.

открытого покрытия Q прообраза существуют окрестность Veil

точки у и конечнве функционально открытое покрытие ш прообразе вписанное 6 ГЗ и кротости

В той же статье Пасынков установил равенство dlmf = dim$j для максимальной тихоновской бикомпактификации р/ тихоновского4 отображения /. Этот результат вполне аналогичен соответствующему результату для тихоновских пространств. Кроме того, ранее им же5 на случай отображений были распространены теоремы Гуревича (о нульмерных отображениях n-мерных компактов в тг-мерный куб) и Нббе-линга-Понтряпша (о вложении я-мерных компактов в (2ш-1) -мерный куб). Приведённые результаты свидетельствуют о потенциальной возможности построения теории размерности отображений, параллельной (и являщейся обобщением) теории размерности пространств. Такая теория могла бы, дополнительно, пролить свет и на формулу (1).

Цель работы. Распространить основные исходные результаты теории размерности пространств (в первую очередь характеризаши размерности dim ) на случай отображений.

Методы исследования. В диссертации используется метод "сужающихся трубок", а также метод покрытий и метод отображений, позволяющий сводить рассмотрение размерностных свойств произвольных непрерывных отображений к рассмотрению свойств элементарных геометрических фигур (полиэдров и, в частности, симплексов и сфер).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Основные результаты диссертации таковы:

1. На непрерывные отображения со случая пространств распространены все основные общие характеризащи размерности dim ( теоремы об "ужатии" и "раздутии" конечных покрытий, об Q-отображениях в полиэдры, о существенных отображений на симплексы, о продолжениях отображений в сферы, о перегородках6, о размерностном ранге кольца

пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств.- Отображения и функторы: Сборник.- м.: МГУ, 1984.. с. 72-103.

^Пасынков В.А. О размерности и геометрии отображений. - ДАН СССР, 1975, 221:3, с. 543-546. с

Александров П.С., Пасынков В.А. Введение в теорию размерности. -М.: Наука, 1973.

всех ограниченных непрерывных функций на пространстве7.

2. Для отображений установлены аналоги теорем монотонности размерности dim пространств по замкнутым и С*-вложенным подмножествам и конечная теорема суммы.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты демонстрируют возможность построения теории размерности непрерывных отображений (обобщающей теорию размерности топологических пространств). Результаты и методы диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по послойной общей топологии и теории размерности непрерывных отображений в МПЕУ, МГУ, Вятском гос. лед. университете, других университетах и пединститутах.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по послойной общей топологии профессора В.А.Пасынкова (в МГУ) и на семинаре им. П.С.Александрова кафедры общей топологии и геометрии в МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трбх работах (см. ниже).

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти параграфов и списка литературы, включающего 26 наименований. Полный объём диссертации 99 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Всюду ниже под пространством понимается топологическое пространство, под отображением пространств - непрерывное отображение.

Фиксируем пространство У с топологией G и непрерывное отображение /: X—'Y. Для каждой точки уеГ обозначим через My) систему всех eS окрестностей. Как уже отмечалось, для непрерывного отобра-кения f:X-~Y трубкой (Пасынков) называется прообраз /'1!7 для некоторого U&Q. Этот прообраз также будем называть трубкой над U.

Отметим, что на самом деле в диссертации изучается следующим образом "пушстифицированный" вариант размерности dim/:

Для непрерывного отображения f:X—Y и точки у е. Y считаел dtmf^k, к = ,0,1если для любых окрестности U точна ye:Y и

У л

конечного функционально открытого покрытия О прообраза /" U суирс-

^Pears A.R. Blmension theory of general spaces. - Cambridge, 1995.

твухт окрестность VczU почт у и конечное функционально открытое покрытие и прообраза f'1V, вписанное 6 0 и кратности.

Очевидно, dim/= sup idimj": уеУ> и, таким образом, изучение размерности dimf фактически сводится к изучению размерности díw/.

Кроме размерности dim/ в диссертации в случае нормальных отображений рассматриваются также, во-первых, модификация n-dimf (Пасынков) размерности dimf (определение которой можно получить, заменив в Основном определении функционально открытые покрытия открытыми покрытиями) и, во-вторых, большая индуктивная размерность Indf. Для регулярных отображений рассматривается также малая индуктивная размерность indf.

Приведём существенные для нас определения нормальных и функционально нормальных отображений. Поскольку почти все доказательства в диссертации проводятся для "пунктифидированных" размерностей dlrrrf, n-dinif, Глсу, определяются соответствующие "пунктифициро-ваянне" понятия нормальности и функциональной нормальности отображения.

Непрерывное отображение /: Z—У будем называть нормальным (соответствешо, функционально нормальным) над точкой у, если для любых окрестности U точки у и замкнутых в f~1U дазъюнктных множеств F,, 1=1,2, существуют такие окрестность VcU точки у и отк-i i рытые в / 7 дизъюнктные множества Qt, (=1,2, что Finf VcOlt

(=1,2 (соответственно, такие окрестность VczU точки у и непрерывная функция ф:/"17— [1, 21, что Н), (=1,2). В случае нормальности (соответствешо, в случае функциональной нормальности) отображения / над кавдой точкой yeY получаем определение нормального (Матвеев8) (соответственно, функционально нормального (Пасынков9)) отображения.

Диссертация состоит из пяти параграфов.

В §0 собраны все необходимые предварительные понятия и утверждения, в том числе, определен и введенный автором в СП тихоновский функтор для непрерывных отображений (обобщающий на отображения

Q

Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений.- Ташкент: Фан, 1994.

Q

^Ильина Н.И. О бикомпактификациях и пополнениях непрерывных отображений. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.:МПГИ им В.И. Ленина, 1990. Машинопись.

соответствующий функтор для пространств).

§1 посвящбн первоначальному изучению размерностей dim и n-dim непрерывных отображений. В нём для случая нормальных и функционально нормальных отображений установлены простейшие характе-ризации соответственно размерностей n-dlm и dim - аналоги харак-теризаций размерности dim нормального пространства при помощи конечных покрытий и их различных ужатий; получены условия совпадения размерностей n-dlm , dim и послойной размерности отображения f; доказаны простейшие варианты теоремы монотонности и произведения для размерностей n-dim f и dim f.

Изложим результаты §1 более подробно.

Пусть П = С4 есть произвольное конечное покрытие трубки Конечное покрытие u = iB{}°=1 трубки /~1V, Vczir, будем называть утшиел ft над V, если В,с:а1, t=l,...,s.

Пусть теперь конечная система Q = C/4tсостоит из подмножеств трубки Систему ш= (В( помножеств трубки /~17, где Vczu, будем называть подобной ft над У, если для любого подмножества ScCI,..., s} выполняется условие

В частности, систему со будем называть подобным раздутием ft над V, если и подобна Q над V и A^f'^YczB,, i=1з.

Введенные понятия узкатия и раздутия аналогичны соответствующим понятиям для пространств и позволяют получить следующие две простейшие харакгеризации размерности n-dlm для нормальных отображений и размерности dim для функционально нормальных отображений, аналогичные соответствующим характеризациям размерности dim нормальных пространств (а в случав одноточечности пространства Г, фактически, совпадавшие с этими характеризациями):

ТЕОРЕМА 1.6. Для нормального отображения /: У следующие условия эквивалентны:

1) n-dlmf^. к;

2} для любых точки ye: Y, её окрестности U и конечного открытого покрытия ft трубки /~117 существуем окрестность Vau точки у и открытое ужатт ш покрытия ft над V кротости.

3) для любых точки ye.Y, её окрестности U и конечного открытого покрытия ft трубки f'1U суирствуют окрестность YczU точки у и эалтутое ужазгше ш покрытия П над V кратности < f;

4) для любых точки ye Y, её окрестности U и конечного откры-

того покрытия 0 трубки. f'^U существуют окрестность Vœu точны у и канонически, замкнутое (то ешь состояние из зсихыканий (в f'^V) открыта: множеств) ужатие и покрытия Q над Y кратности

ТЕОРЕМА 1.7. Для функционально нормального отображения f:X-*Y следующие условия эквиваленты:

1) dimj-^k;

2) для любых точки y€Y, её окрестности U и конечного функционально открытого покрытия П трубки /~117 существухт окрестность VczU точки у и функционально откршое ужатие о покрытия Q нсиЭ V кратности

3) для любых точки y^Y, её окрестности UeiMy) и конечного функционально открытого покрытия П трубки f'1U схрмрствукт окрестность Vcz'J точки у и функционально замкнутое ужсшше и покрытия Q над V кротости. <k+1 ;

4) n-dimf^k.

Таким образом, для нормальных и функционально нормальных отображений (как и в случае нормальных пространств) размерности n-dim и dim можно определять с помощью конечных открытых покрытий и различных их укатий.

Известно, что для тихоновского пространства и его стоун-чеховской бикомпактификации размерности dim совпадают. Аналогичный факт для тихоновских отображений был установлен Пасынковым3. В §1 диссертации удалось доказать аналогичное утверждение для отделимых нормальных отображений и размерности n-dim . Напомним соответствующие понятия.

Непрерывное отображение f:X-—Y называется отделимым (=хаус-дорфовыл) (соответственно, функционально отделимы (= функционально хаусдорфовым) ) отображением, если для любых различных точек х и г'из X, таких что f(x) = f(x'), существуют дизъюктные окрестности в X (соответственно, существует непрерывная функция <р: /"127— [Q, 1 ], УеЖ(/(£)), такая что ф(я-) = 0 и <р(х' ) =1 ).

Непрерывное отображение X—У называется (вполне) регулярным4, если для любого замкнутого в X множества F и любой точки xe:X\F существует окрестность U точки fx и такие открытые в дизъюнктные множества 0, что ггеО и Pn/~1ircrG (соответ-

ственно, такая непрерывная функция ср:/~1{7—[0, 1 ], что ф(х) = 0 и

Вполне регулярное отображение называется тихоновским*, если

оно является хаусдорфовым отображением.

Бикожпатшим называется совершенное, то есть замкнутое и послойно бикомпактное, отображение.

Непрерывное отображение X: X—Z называется морфизлом Л: g непрерывного отображения /: X—Y в непрерывное отображение g: Z—У, если g°X = f. Такой морфизм называется плотным (инъектив-ным, сюръективным, биективным, топологическим вложением, гомеоморфизмом и т.д.), если отображение X: X—Ъ является плотным (то есть CI XX—Z) (инъективным, сюръективным, биективным, топологическим вложением, гомеоморфизмом и т.д.).

Бикомпактное отображение of: сХ—Y называется бшоташннм. расширением (з бшсолпатифижащей) отображения /: X—■-Y, если существует плотное топологическое вложениэ X: /—с/.

Пасынковым было установлено4, что для тихоновского отображения /: X—У существует максимальная тихоновская бикомлактификация 0/, характеризующаяся тем, что для каждой тихоновской бикомпакти-фикации с/ отображения / существует сюръективный морфизм X: р/—с/, совпадающий с тождественным морфизмом на подотображенш /. Кроме того, им же3 было получено равенство dim f=dim$f для тихоновского отображения /* (теорема 1.Э).

Параллельный результат можно получить и для максимальной ха-

усдорфовой бикомпактификации yJ'.XjX-^Y (Матвеев) отделимого нормального отображения /: X—У.

ТЕОРЕМА 1.12. Отделимое нормальное отображение / удовлетворяет равенству n-dim / = n-dlm %f.

Как и следовало ожидать, в классе замкнутых отображений условия нормальности (соответственно, функциональной нормальности) отображения обеспечивают совпадение размерности n-dtm (соответственно, dim ) с послойной размерностью dim отображения / (теорема 1.16). Кроме того, имеет место

ТЕОРЕМА 1.18. Для замкнутого послойно финально кошаштого отображения /: X—У тихоновского пространства X имеел: dim / = sup Cdim/~1 у: y^Y).

Помимо характеризаций размерностей dlmf, n-dim f и условий равенства этих размерностей и равенства их послойной размерности, в §1 рассмотрен простейший случай монотонности размерностей n-dim и dim отображений.

Напомним*, что множество Aczx относительно отображения /:Х—*Y

называется: а) /-функционально открытым множеством, Ъ) /-функционально замкнутым множеством, если множество А в трубке над некоторым Сев является соответственно: а) функционально открытым множеством, Ь) функционально замкнутым множеством. По аналогии, мно-"жество Ас:к будем называть с) /-замкнутым, если оно замкнуто в трубке над которым Ue. 6. Во всех этих случаях будем также говорить, что множество А и подотображение g = /: A—AJ являются соответственно: а) /-функционально открытыми над U, Ь) /-функционально замкнутыми над U, с) /-замкнутыми над U.

Известно, что для нормальных пространств размерность dim монотонна по замкнутым подотображениям. Для отображений соответствующее утверждение выглядит так:

ТЕОРЕМА 1.22. Для (функционально) нормального отображения /; K—+Y каждое /-замкнутое над каким-нибудь i/еб отображение g удовлетворяет неравенству n-dimg^n-dtm / (соответственно, неравенству dimg^dlmf).

Последнее утверждение §1 связано с распространением ка отображения теоремы Хеммингсена о неравенстве dimX'Z^dlmX + dtm Z для бикомпактов К и Z:

ТЕОРЕМА 1.23. Послойное произведение f «g: T—Y тихоновских (соответственно, отделимых) бгшомпашних отображений /: X—Y и g: Z-~Y удовлетворяет неравенству dim (f *g)< dim f + dim g (соответственно, неравенству n-dlm (fxg)^n-dtmf+ n-dlmg).

В §2 определяются большая и малая индуктивные размерности отображения /, изучаются их свойства и взаимоотношения этих размерностей с послойными индуктивными размерностями и размерностями n-dimf, dtmf. §2 не является основным в диссертации, но его (не очень сложные) результаты, как мне кажется, подтверждают правильность избранных в диссертации определений размерностей отображения. Эти результаты вполне аналогичны соответствующим результатам для пространств.

Перейдём к подробному изложению результатов §2.

Пусть дано непрерывное отображение /: X—-У. Для дизъюнктных множеств A, BczX. перегородкой между А и В над U будем называть /-замкнутое над U множество G, если оно отделяет в трубке /"1У множества Af|/~1У и Bf)f~1U , то есть в X существуют такие открытые дизъюнктные множества 01 и 0g, что Af]f'1Ucz01, Bf]f'1Uc:02

И /"1(/\C = 01U02.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (размерностей Ind J" и Ind f). Для нормального пай точной у е. Y отображения f:X—Y положи.я:

frcd = - 1 тогда и только тогда, когда существует окрестность U точки у, трубка над которой пуста;

Indf^k, где к = 0,1,2,..., если для любых окрестности U точки у и f -замкнутых над U дизъюнктных множеств А и В существуют окрестность Уст точки у и перегородка С над V между А и В, для которой подотобрахенш g=f:C—Y имеет размерность

Считаем: Indyf=n, если и неравенство Indf^k-1 не

выполняется; 1л<2/=оо, если неравенство Zm2/<:& не выполнится ни для какого Z?e!N.

Для нормального отображения f:X-—Y полагаем

Ina / = sup ílndf: у е Y). Подобным же образом для регулярных отображений определяется малая индуктивная размерность ind f.

Такие свойства индуктивных размерностей пространств, как монотонность размерности ind по любым подмножествам и монотонность размерности Ind по замкнутым подмножествам, неравенство ind. Z^ f^IndZ для регулярных нормальных пространств, переносятся и на отображения.

Известно, что для нормального пространства Z и его стоун-чеховской бикомпактификации большие индуктивные размерности совпадают. Аналогом и обобщением этого факта является

ТЕОРЕМА 2.8. Отделимое нормальное отображение / удовлетворяет равенству Ind / = Ind yj (где %f есть максимальная отделимая бшом-тшификация f).

В случае замкнутости отображения индуктивные размерности, как и размерности dim и n-dim , совпадают с соответствующими послойными размерностями.

Аналог неравенства Веденисова dim Z^IncLZ для нормальных пространств также распространяется на отображения:

ТЕОРЕМА 2.22. Нормальное отделимое (соответственно, функционально нормальное отделимое) отображение / удовлетворяет неравенству n-dim f^Indf (соответственно, неравенству dimf^Indf).

Следующий §3 является основным в диссертации. В нём на случай отображений распространены наиболее важные характеризации размер-

ности dim пространств. Более подробно, в §3 получены аналога теорем об ß-отображениях в полиэдры, о существенных отображений на симплексы, о продолжениях отображений в сферы, о перегородках6, о размерностном ранге кольца всех ограниченных непрерывных функций на пространстве7.

Рассмотрим §3 подробнее.

В отличие от предыдущих параграфов в §3 более явно проявляется специфика случая отображений сравнительно со случаем пространств. В первую очередь это касается теоремы о существенных отображениях на замкнутые симплексы. Так, в случав существенности отображения пространства на замкнутый симплекс центр симплекса автоматически является устойчивым значением отображения, в том смысле, что всякое достаточно мало отличающееся от исходного отображение ■в симплекс покрывает центр этого симплекса. В случае же отображений эта устойчивость не гарантируется и еб приходится требовать дополнительно. Перейдём к точной формулировке теоремы о существенных отображениях на симплексы.

Для непрерывного отображения /: X—-У, множества ffefl и точки уеУ непрерывное отображение <p: Z—>TS множества Zczf~AU в замкнутый э-мерный симплекс Is будем называть устойчивым над у, если существует в>0 такое, что для любых окрестности Vau точки у и непрерывного отображения ф: {T = Z()f~1V)~~fs, отличающегося от отображения (pL менее, чем на е, центр симплекса Т3 содержится в образе ф(!Р). Отображение (р: Z--T3 будем называть существенным над точкой у, если оно является устойчивым над точкой у и существенным в обычном смысле6.

ТЕОРЕМА. 3.12 (о существенных отображениях). Непрерывное отображение • У тогда и только тогда удовлетворяет неравенству dimf^n, когда для некоторой точки уе У существуют окрестность U и непрерывное отображение (р: -F1, являющееся существенным над точкой у.

Половина этой характеризации вытекает из следующего утверждения:

ТЕОРЕМА 3.1 (о канонических отображениях). Пусть дано непрерывное отображение f:X—Y, точка уеУ, её окрестность U и конечное функционально открытое покрытие О трубки f'^U. Тогда существует окрестность VczU точки у, подкомплекс К нерва N системы реализованного в виде триангуляции, и каноническое относительно П

непрерывное отображение (p:f~1V—N в тело N нерва N, такие что образ (p(f~1V) есть полиэдр, являющийся тело/л подкомплекса К, и при этом для каждого главного симплекса Т (т.е. не являющегося собственной гранью какого-либо симплекса) подкомплекса К подотобрахение ф|Сф,_,у существенно над точкой у.

Прямым следствием теоремы 3.1 является следующая характериза-ция размерности dim отображений:

ТЕОРЕМА 3.5 (об Q-отображениях). Для непрерывного отображения f:X—+Y тогда и только тогда dlmf^n, когда для любых точки ус Y, ев окрестности U и конечного функционально отрытого покрытия Q трубки f'^U существуют окрестность VczU точки у и непрерывное П-отабрахение Р на полиэдр Р размерности dim Р<п.

С теоремой о существенных отображениях тесно связана теорема о продолжениях отображений в сферы. Однако, в отличие от случая пространств, формулировка этой теоремы для случая отображений значительно более громоздка, и выводится она из теоремы о существенных отображениях более сложным образом. Кроме того, в случав одноточечного пространства Y, получается не классическая формулировка теоремы о продолжении отображений в сферы для случая пространств, а лишь некий, довольно громоздко звучащий её эквивалент. Приведём еб формулировку.

ТЕОРЕМА 3,23 (о продолжении отображений в сферы). Непрерывное отображение f:X-~Y тогда и только погда удовлетворяет неравенству dimf^k, &<со, когда для любых точки уеУ, её окрестности U и /"-замкнутого над U тожества А каждое непрерывное отображение у; 6 единичную k-мерную сферу Sk, удовлетворяющее условию:

для любого meiN сущствует такое непрерывное отображение sJi+1» UmeMy), в ■ (k+1)-мерный шр В*+1, с ограничивающей сферой Sk, что UmczU и (*)

р(фп(х), ср(х))<для всех хеЛП/'1^, удовлетворяет также и условию:

для любого ZeIN существует такое непрерывное отображение <рг:Гл7г-^Зъ, У^ЖУ), что7гсЦ]и (**)

р(<рг(х), для всех xeAfi/"1Vr

С теоремой о существенных отображениях также тесно связана и характеризация размерности dim отображения при помощи перегородок:

ТЕОРЕМ& 3.18 (о перегородках). Для непрерывного отображения f:X-~Y тогда и только тогда dimf^k, когда для любых точки yeY, её окрестности U и последовательности (AQ, В0),..., (Ak, Bk) дизъюнктных пар /-функционально замкнутых над U множеств существуют окрестность Vczu точки у и /-функционально замкнутые над 7 множества С0„..,С^ такие, что Ct есть перегородка над V между At и В{ для

1-0,..., к и {Пср1=0.

Фактически, некоторой модификацией этой теоремы является ха-рактеризация размерности dim отображений с помощью определяемого ниже аналога для отображений размерностного ранга кольца ограниченных непрерывных функций на пространстве.

Для непрерывного отображения /: 1—7 пусть С* (/) = CC*(/"1Z7):Ue0>. Для отображения / и точки ycY будем говорить, что размерностный ранг dry системы. С* (/) не превосходит к, £ = -1,0,1,2,..., и писать

если для любых множества иеЛХу), функций <pQS..., е:С*(/"117) и е>0 существуют окрестность Vczu точки у, функции Ф0.....ф^еC*(f~1V) и S>0, удовлетворящие условиям:

8(p{jrV-c|){|<e для i=0.....к и {Л0(ф<Г1 (-0,б) =0.

Будем считать: dr С* (Я-к, если drJ3*(f) <й и неравенство drj2* if) не выполняется; dryC*(f)~ со, если неравенство

dr^C* (/} С к не выполняется ни для какого Ae!N;

dr С* (/) = sup idryC* (/): ye Y).

Данное определение размерностного ранга обобщает на случай отображений соответствующее понятие для пространств и характеризует размерность dim непрерывных отображений:

ТЕОРЕМА 3.15 (о разиерностноы ранге). Для непрерывного отображения /: X—Y следующие условия эквиваленты:

1) dimf^k; Z) dr С*(/) <й.

В §4 вводится, во-первых, аналог понятия С*-вложенности (аппроксимативная С*-влон&нносгь подотображений) и, во-вторых, с использованием результатов §§1, 3, устанавливается монотонность размерности dim/ по аппроксимативно С*-вложенным подотображениям. Монотонность размерности dimf устанавливается также для функционально открытых и даже для г-вложенных подотображений, являющихся аналогом z-вложенных подпространств. Доказательство этих результатов основано на полученых (в §4) для отображений аналогов конечной

и счётной теоремы суммы для размерности dim .

Известно, что в случае нормальных пространств каждое замкнутое множество является С*-вложеншш, то есть любая непрерывная ограниченная функция на этом множестве имеет непрерывное продолжение на вс5 пространство. Буквальное распространение определения С*-вложенности на случай отображений является очень ограничительным и надлежащим аналогом С*-вложенности в случае отображений является вводимая в §4 аппроксимативная С*-вложенность (эквивалентная С*-вложенности в случае одноточечностк пространства У):

для непрерывного отображения /: I—У множество Zcf'^T, Гсу, (соответственно, подотображение g = f:Z—TczY) будем называть аппроксимативно С4-вложенным над множеством Т, если

для любых точки yeî, множества Ue.My), непрерывной ограниченной функции ф: Zn/""1!/-—К (соответственно, функции ç:g~1U— R) и е>0 существуют такие окрестность Yczü точки у и непрерывная ограниченная функция Ш, что |срСг) -ф(х) | < е для ¿ceZfj

(соответственно, для xeg~1V). Подтверждение того, что аналогом С*-вложенности пространств для отображений является аппроксимативная С*-вложенность, даёт

ТЕОРЕМА 4.2. Для функционально нормального отображения /.-Х—-У каждое f-замкнутое над прсизвольныл Уев подотображение g: A-^U является аппроксимативно С*-вложенныж над U.

В случае пространств размерность dim монотонна по С*-вложенным подмножествам, функционально открытым подмножествам, и даже по 2-вложенннм подмножествам (напомним, что множество А является z-вложенным в пространство Т, если для каждого функционально открытого в А множества 0 существует такое функционально открытое в Т множество G, что Gf}A=0). В §4 аналоги этих утверждений получены и для случая отображений, при этом 2-вложенные отображения определяются следующим образом:

для непрерывного отображения /: K—-Y подотображение g: Z—Tcz СУ будем называть z-вложенным над точной уе.Т, если для любого g-функционально открытого над UeiMy) множества 0 существуют такие окрестность Vcy точки у и /-функционально открытое над 7 множество ¡?, что Gfig-1 y = On/"1V- Подотображение g будем называть z-вло-жежил над жножеспвоя TczY, если оно является 2-вложенным над каждой точкой уе Г.

Доказательство монотонности размерности dimf по функциональ-

но открытым и 2-вложенным подотображвниям опирается на результаты §§1,3,4 и на аналог теоремы счётной суммы (устанавливаемый в §4). Поскольку этот аналог выглядит достаточно громоздко, приведём только формулировку аналога конечной теоремы суммы.

ТЕОРЕМА 4.13 (конечная теореиа суммы). Пусть для непрерывного отображения f: I—-У и каждой точки уе: У существует конечная система аппроксимативно С*-вложенных над точкой уеУ множеств о = СХ{: i = 1,..., а), удовлетворяющая условиям:

1) (ИтуГ.^И, где = У, 1=1.....я;

2) существует такая окрестность и точки у, что /_1[/с:{у11{.

Тогда

Автор приносит глубокую благодарность профессору Б.А.Пасынко-ву за постановку задач и внимание к работе.

1. Караулов В.М. О перестановочности для отображений функторов волмэновской и стоун-чеховской бикомпактификаций с тихоновским функтором. - Топология. Алгебра. Информатика.- М.МПГУ им. В.И. Ленина, 1994, с. 5-7.

Z. Караулов В.М. Описание всех тихоновских бикомпактификаций тихоновского отображения при помощи колец непрерывных функций. -Делонир. в ВИНИТИ, J6 2852-В95, 1995.

3. Караулов В.М. О некоторых характеризациях размерности dim непрерывных отображений.- Депонир. в ВИНИТИ, Л 2S51-B95, 1995.

Публикации по теме диссертации