Факторизационные теоремы и размерность подмножеств пределов обратных спектров и топологических произведений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

п I

/ ;

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.127

ОДИНОКОВ Андрей Валентинович

ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ И РАЗМЕРНОСТЬ ПОДМНОЖЕСТВ ПРЕДЕЛОВ ОБРАТНЫХ СПЕКТРОВ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

01.01.04 - геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор

Б. А. Пасынков

Москва - 1999

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Факторизационные теоремы 11

1.1. Факторизационная теорема для размерности йгсНт 11

1.2. Факторизационные теоремы для пространств,

близких к метризуемым пространствам 16

Глава 2. Размерность топологических произведений 27

2.1. Размерность и прямоугольность произведений с лашневским сомножителем 27

2.2. Конечномерность топологических произведений 36

Глава 3. Бикомпакты с несовпадающими размерностями,

разложимые в обратные спектры специального вида 38

3.1. Индуктивная размерность и пределы обратных последовательностей бикомпактов 38

3.2. Бикомпакты Дугунджи с несовпадающими размерностями 54

Список литературы

59

ВВЕДЕНИЕ

Факторизационные теоремы играют важную роль в распространении основных фактов классической теории размерности на общие топологические пространства. Исторически первая факторизационная теорема была доказана С. Мардешичем [50] в 1960 году и касалась отображений между бикомпактами и размерности dim. Двумя годами позднее A.B. Зарелуа [6] перенес утверждение Мардешича на случай системы подбикомпактов отображаемого бикомпакта, получив, тем самым, "коллективный" вариант факторизадионной теоремы. В 1988 году П. Борет [35] определил продолжение trdim лебеговой размерности на трансфиниты. Размерность Борста классифицирует ¿'-слабо бесконечномерные пространства. Факторизационная теорема для ¿'-слабо бесконечномерных бикомпактов получена в 1971 году Б.А. Пасынковым [16]. Этот результат конкретизирован К. Йокои [74] и В. А. Чатырко [39] на случай размерности trdim.

Глава 1 посвящена доказательству новых факторизационных теорем и их следствий. В разделе 1.1 дается положительный ответ на вопрос Б.А. Пасынкова о коллективной факторизационной теореме для размерности trdim, обобщающей одновременно теорему Зарелуа и теорему Иокои-Чатырко.

Теорема 1.1.3. Пусть дано непрерывное отображение f . X —>Z бикомпакта X на бикомпакт Z и пусть в бикомпакте X выделена система замкнутых подпространств v мощности | v | < wZ. Тогда существуют такой бикомпакт Y и такие непрерывные отображения g: X —» Г и h:Y —»Z, что f = hg, wF<wZ и trdimg(F) < trdimF, F ev .

Теорема 1.1.3 доказана методом Пасынкова (см., например, [1]). Искомый бикомпакт, через который "пропускается" исходное отображение, строится как предел некоторой обратной последовательности из определяемых специальным образом бикомпактов. Одним из этапов доказательства является вычисление размерности предела построенной обратной последовательности.

С. Мардешич [50] предложил метод вывода теорем о бикомпактифика-

циях, сохраняющих размерность и вес, из соответствующих факторизационных теорем. Например, теорема Скляренко [23] о бикомпактификации нормального пространства, сохраняющей его вес и размерность dim, оказывается следствием теоремы Мардешича, а аналогичная теорема для размерности trdim получена К. Йокои [74] и В.А. Чатырко [39] как следствие факторизационной теоремы для размерности trdim. Коллективная факторизационная теорема для размерности dim позволила A.B. Зарелуа [6] доказать коллективную бикомпактификационную теорему.

Теорема 1.1.3 позволяет следующим образом обобщить бикомпактифи-кационные теоремы Йокои-Чатырко и Зарелуа.

Теорема 1.1.4. Пусть в нормальном пространстве X выделена система замкнутых подпространств v мощности | v | < w X. Тогда существует бикомпактное расширение ЪХ пространства X, такое, что у>(ЪХ) = м>Х и trdimclbX F < trdimF, F ev .

Наряду с теоремой Мардешича, частое применение находит доказанная в 1964 году Б.А. Пасынковым [13] факторизационная теорема для отображений в меггризуемые пространства. С ее помощью можно, например, доказать равенство размерностей dim и Ind для нормальных пространств, обладающих замкнутым и нульмерным в смысле dim отображением в мелгризуемое пространство (Б.А. Пасынков [14], 1964 г.) или даже в замкнутый образ метризуемого пространства (т.е. лашневское пространство) (И.М. Лейбо [9], 1975 г.). Факторизационная теорема Пасынкова была распространена на случай счетной системы замкнутых подпространств (A.B. Архангельский [4], 1967 г. и Б.А. Пасынков [15], 1968 г.) и, даже более того, счетной системы ^-вложенных подпространств (М. Хараламбус [38], 1991 г.) отображаемого пространства. Напомним, что подпространство М топологического пространства X называется z-вложенным в X, если любое функционально замкнутое множество из М есть ограничение на М некоторого функционально замкнутого множества из X.

Решая задачу распространения основных характеризаций размерности на возможно больший класс пространств, К. Нагами [56, 58] в 1970 г. ввел в

рассмотрение более широкий, чем лашневские пространства, класс ц -пространств. Он состоит из подпространств счетных произведений о -метризуемых (s= F а -метризуемых) паракомпактов. Ш. Ока [61] в 1980 г. и Т. Мицоками [55] в 1981 г. доказали эквивалентность следующих свойств ¡л -пространства X: (1) dim X < п, (2) существует такое замкнутое отображение / из //-пространства Z размерности dimZ <0 на X, что ord f <п +1 , (3) X = U{Xk : к<п},тда dimXk < 0 для всех к, и (4)ШХ <п .

В разделе 1.2 диссертации доказана факгоризационная теорема для отображений в ju -пространства, обобщающая теорему Хараламбуса.

Теорема 1.2.1. Пусть f :X->Z — непрерывное отображение тихоновского пространства X в /л-пространство Z и v — счетная система z-вложенных в X подпространств. Тогда существует непрерывное отображение г : X -» 1т, такое, что dim (/ Ar)(F) < dimF, F ev .

Среди следствий теоремы 1.2.1 выделим

Следствие 1.2.3. Если тихоновское пространство X обладает непрерывным отображением f размерности dim /3 f < 0 (в частности, нормальное пространство X обладает замкнутым отображением / размерности dim/ < 0j в р. -пространство, то dim X = Ind f5X = А (ЗХ. Если пространство X нормально, то dim X - Ind X - Д (ЗХ. Если к тому же пространство X паракомпактно, то dim X = Ind X = Д X.

С помощью теоремы 1.2.1 получены факгоризационная теорема для отображений в замкнутые образы локально компактных метризуемых пространств и "слабая" факгоризационная теорема для отображений в произвольные лашневские пространства:

Теорема 1.2.10. Пусть f :Х —»Z — непрерывное отображение тихоновского пространства X в пространство Z, являющееся замкнутым образом локально компактного метризуемого пространства, и v — счетная система z-вложенных в X подпространств. Тогда существуют такое пространство Y, являющееся замкнутым образом локально компактного метризуемого пространства, и такие непрерывные отображения

g:X -» 7, h:Y Z, что f -hg, wY <wZ и dimg(F) < dimF, F e v .

Теорема 1.2.11. Пусть f:X-*Z — непрерывное отображение тихоновского пространства X в лашневское пространство Z и v — счетная система z-вложенных в X подпространств. Если отображение f в точках несчетного характера послойно нульмерно в смысле размерности dim и совершенно, то существуют такое лашневское пространство Y и такие непрерывные отображения g: X —» 7, h:Y —» Z, что f -hg, wY <wZ и dim g(F) < dim F +1, Fev.

В Главе 2 рассматривается размерность топологического произведения X х Y в связи с размерностями сомножителей X и Y.

На протяжении последних 50-ти лет усилиями многих топологов изучается неравенство

dimXx7<dimX+ dimF. (*)

Достаточные условия для него постепенно ослаблялись. Укажем наиболее важные среди них: произведение X х Y — бикомпакт (И. Хеммингсен [45], 1946 г.), произведение X х 7 — метризуемо (М. Катетов [7], 1952 г. и К. Морита [51], 1954 г.), произведение X х 7 — нормально и 7 — метризуемо (Й. Кодама [48], 1969 г.), X — локально бикомпактный паракомпакт (К. Морита [54], 1973 г.), наконец, произведение 1x7 — (кусочно) прямоугольно (Б.А. Пасынков [17, 18, 21], 1973, 1975, 1982 гг.). Последнее условие является наиболее общим из перечисленных. В частности, Б.А. Пасынков [18] доказал прямоугольность нормального произведения X х 7 с метризуемым сомножителем 7. Для произвольных нормальных произведений X х 7 и не нормальных произведений X х 7 с метризуемым сомножителем 7 неравенство (*) может не выполняться [72, 66]. X. Ота [59], 1990 г., дал внутреннюю характеризацию тихоновским пространствам, произведения которых с произвольными метризуемыми пространствами прямоугольны, и назвал их ii-пространствами. Класс ^-пространств содержит нормальные Р-пространства в смысле К. Мориты [52] (т.е. пространства, произведения которых с любым метризуемым пространством нормальны) и

совершенно к -нормальные (например, экстремально несвязные) пространства [33].

Раздел 2.1 диссертации посвящен прямоугольности и размерности тихоновского произведения X х 7 в случае, когда сомножитель 7 есть лашневское пространство (т.е. замкнутый образ метризуемого пространства) и, следовательно, весьма близок по своим свойствам к метризуемым пространствам (см., например, [8, 9]). Т. Хошина (см. [70]) поставил вопрос о выполнении неравенства (*) для нормальных произведений X х 7 с лашневским сомножителем 7, а Б.А. Пасынков — о прямоугольности таких произведений. Пример 2.1.4 (в предположении принципа Йенсена (0)) дает отрицательный ответ на вопрос Пасынкова, а теорема 2.1.6 дает положительный, при дополнительном условии, что X — паракомпакт, ответ на вопрос Хошины:

Пример 2.1.4 (0). Существуют пространство X и а-метризуемое лашневское пространство 7, такие, что произведение X х 7 совершенно нормально и не кусочно прямоугольно.

Теорема 2.1.6. Нормальное произведение X х 7 паракомпактного пространства X и лашневского пространства 7 прямоугольно.

Отметим, что неравенство (*) выполнено для произведения X х 7 из примера 2.1.4.

Понятие ^-пространства позволяет получить (в определенном смысле) окончательный результат о прямоугольности произведения 1x7 с лашневским сомножителем 7 в случае, когда сомножитель X паракомпактен.

Теорема 2.1.8. Если X — паракомпакт, то произведение X х 7 прямоугольно для любого лашневского пространства 7 тогда и только тогда, когда X есть Я-пространство.

Отметим, что существует (см. [68]) не нормальное произведение паракомпактного ^-пространства с метризуемым пространством. Поэтому теорема 2.1.8 не следует из теоремы 2.1.6.

Теорема 2.1.9. Если произведение тихоновского пространства X с любым метризуемым пространством 7 удовлетворяет неравенству (*) (в

частности, если X есть R-пространство), то произведение пространства X с любым сг-метризуемым паракомпактом Y также удовлетворяет неравенству (*).

Из теоремы 2.1.9 выводится

Следствие 2.1.11. Если X есть R-пространство и Y—замкнутый образ локально бикомпактного а-метризуемого паракомпакта, то выполняется неравенство (*).

В разделе 2.2 диссертации изучается размерность bid нормального произведения XxY. Б.А. Пасынков ([18] , 1975 г., и [63], 1991 г.) доказал, что (кусочно) прямоугольное произведение, в сомножителях которого есть конечная теорема суммы (КТС) для bid, удовлетворяет неравенству

Ind XxY < Ind X + Ind Y. От условия выполнения КТС в сомножителях нельзя отказаться даже, когда они бикомпактны (В.В. Филиппов [30], 1972 г.). Существуют примеры не конечномерных произведений конечномерных пространств [69, 41]. Однако, как доказал Б.А. Пасынков [64], 1998 г., если один из сомножителей метризуем или является локально бикомпактным паракомпактом, то произведение XxY конечномерно. Эти утверждения обобщаются теоремой 2.2.1 диссертации, которая дает положительный ответ на вопрос Б.А. Пасынкова [64] о конечномерности произведения XxY в том случае, когда один из сомножителей есть паракомпактное ^-пространство (т.е. совершенный прообраз метризуемого пространства [3]).

Теорема 2.2.1. Существует функция p:ZxZ->Z, где Z — множество целых чисел, такая, что

Ind X xY < /?(Ind X, Ind Y ), (**)

если произведение XxY нормально, X есть паракомпактное р-пространство и IndX< со, Ind Y< со.

Напомним, что топологическое пространство X называется М-пространством, если существует квази-совершенное отображение из X на метризуемое пространство [52].

Теорема 2.2.2. Пусть Xесть М-пространство, Уесть Р-пространство (в смысле К. Morita [52]) и Ind X < оо, Ind Y < оо. Если произведение XxY нормально и прямоугольно, то выполняется неравенство (**).

Глава 3 посвящена построению бикомпактов с несовпадающими размерностями, разложимых в обратные спектры специального вида, а также рассмотрению размерностей пределов обратных последовательностей в связи с размерностями допредельных пространств.

I

Хорошо известно, что лебегова размерность предела обратной последовательности мажорируется лебеговыми размерностями допредельных пространств, если допредельные пространства бикомпактны (X. Фрейденталь [43], 1937 г.) или совершенно нормальны (М. Хараламбус [36], 1976 г.). Хараламбус [37], 1981 г., построил бикомпакт с лебеговой размерностью 1 и индуктивной размерностью 2, разложимый в обратную последовательность индуктивно одномерных бикомпактов. В разделе 3.1 диссертации дается положительный ответ на возникающий в связи с результатами Хараламбуса вопрос о существовании совершенно нормальных лебегово одномерных бикомпактов сколь угодно большой индуктивной размерности, разложимых в обратные последовательности индуктивно одномерных бикомпактов. Напомним, что топологическое пространство, имеющее базу из множеств со счетными границами, называется рациональным.

Теорема 3.1.6 (СН). Для каждого р = 2, 3, ...,су ,оо существует совершенно нормальный наследственно сепарабельный бикомпакт Yp размерности trlnd Yp = р, являющийся пределом обратной

последовательности из змеевидных рациональных бикомпактов, связанных сюрьективными проекциями.

Отметим, что бикомпакт Yp змеевиден и, следовательно, лебегово

одномерен, а его малая и большая трансфинитные индуктивные размерности совпадают и равны р, р = 2,3,...,со, со. Исторически первый бикомпакт с несовпадающими лебеговой и индуктивной размерностями построен А.Л. Лунцем [10], 1949 г. Змеевидные бикомпакты с размерностью ind, равной 2, определены С. Мардешичем [49], 1959 г. и Б.А. Пасынковым [12],

1963 г. Для каждого р - 2, 3, ...,<у,со змеевидный бикомпакт размерности trind С = р построен В.А. Чатырко ([31], 1984 г., и [32], 1990 г.). Совершенно

нормальные бикомпакты с несовпадающими размерностями известны лишь в теоретико-множественных предположениях. В.В. Филиппов [29], 1970 г., определил в предположении континуум-гипотезы (СН) для каждого порядкового числа р > 1 совершенно нормальный наследственно сепарабельный бикомпакт Fp размерности dim/7^ = 1 и trind Fp - trind Fp = p.

Аналогичные бикомпакты для конечныхр построены в СН В.В. Федорчуком [42] в 1978 году. А.А. Одинцов [11], 1986 г., в СН модифицировал бикомпакты Федорчука так, чтобы они дополнительно стали змеевидными, а также построил змеевидный совершенно нормальный не O-Ind-счетномерный бикомпакт. Бикомпакт из теоремы 3.1.6 также обладает последним свойством.

Раздел 3.2 диссертации посвящен вопросу несовпадения размерностей у бикомпактов Дугунджи. Класс бикомпактов Дугунджи — один из самых близких к метризуемым компактам. Он состоит из пределов таких обратных последовательностей {Ха, , а </3< г} бикомпактов, что | Х0 j = 1 и все

соседние проекции каа+х открыты и имеют метризуемое ядро [44]. В.В. Федорчук [28] в 1977 г. доказал, что для бикомпактов Дугунджи классические индуктивные размерности совпадают, и построил бикомпакт Дугунджи с лебеговой размерностью 1 и индуктивной размерностью 2. Следующая теорема в предположении континуум-гипотезы дает положительный ответ на вопрос Б.А. Пасынкова об увеличении разрыва между лебеговой и индуктивной размерностями для бикомпактов Дугунджи.

Теорема 3.2.3 (СН). Для каждого р = 3,4,... существует бикомпакт Дугунджи Xр размерности dim Хр = \ и bid Хр = р.

В диссертации под пространством понимается топологическое пространство, под произведением — топологическое произведение.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Б. А. Пасынкову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Глава 1. ФАКТОРИЗАДИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ

1.1. Факторизационная теорема для размерности trdim

Все рассматриваемые в разделе пространства предполагаются нормальными.

Для каждого множества L обозначим через Fin L совокупность всех конечных непустых подмножеств из L. Если MczFinL, то для всякого

<7 g { 0 } u Fin L положим

Ма = {т eFin L :cr^j т еМ и <тпт = 0}.

Определение [3 5]. Порядковое число OrdM определяется индуктивно: Ord M = ОоМ = 0;

Ord M < ао (Ord M{s}< а для каждого s &L)\ Ord M = a ■о (Ord M < a и неравенство Ord M <a не выполняется)-, Ord M - oc ( = Ord M не существует ) о Ord M > a для любого порядкового числа.

Лемма 1.1.1 [35]. Пусть дано отображение ç: L—> L1 и MczFinL, MjCF/wZj. Если для каждого cr gM множество (p{cr) = {(р{1) : / ест} содержится в Мх и |ç?(<j)| = |<t|, то Ord M< Ord M

Напомним [1], что конечная система Л = В:i = 1,..., п }

дизъюнктных пар замкнутых подмножеств пространства X называется несущественной, если между множествами A t и В г в пространстве X

найдутся перегородки С, такие, что п{С:/ = 1,...,л