Равномерные гомеоморфизмы пространств непрерывных функций и многозначные отображения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Арбит Александр Владимирович

РАВНОМЕРНЫЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ И МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

01.01.01- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

JJflJ^Лj

Томск - 2005

(

Работа выполнена на кафедре теории функций Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Гулько Сергей Порфирьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Гутман Александр Ефимович

кандидат физико-математических наук, доцент

Сибиряков Геннадий Васильевич Ведущая организация: Институт математики и механики

УрОРАН

Защита диссертации состоится 19 ноября 2005 г. в /f часов на заседании диссертационного Совета К 212.267.05 при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 1?"октября 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

канд. физ.-мат. наук, доцент /drflQ Р/ А.Н.Малютина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При установлении различного рода

инвариантности некоторых топологических свойств часто используются многозначные отображения, порождаемые гомеоморфизмами пространств непрерывных функций (Ср -

пространств), причём свойства этих отображений зависят от того, какой гомеоморфизм их порождает (произвольный, линейный, равномерный). Такого типа конечнозначные отображения были определены О.Г.Окуневым [7] для доказательства /-инвариантности спрэда, наследственной плотности и наследственного числа Линделёфа. Используя различные варианты таких отображений, С.П.Гулько [1] доказал н-инвариантность размерности, а Н.В.Величко [8] доказал /-инвариантность свойства Линделёфа.

В Ср -теории особенно много вопросов связано с и-

инвариантностью тех или иных топологических свойств, то есть тех, которые сохраняются отношением «-эквивалентности. В настоящее время установлена и-инвариантность таких фундаментальных свойств, как компактность (В.В.Успенский, [2]), размерность (С.П.Гулько, [1]). В то же время остаётся множество нерешённых проблем, например, является ли свойство Линделёфа м-инвариантом. Для ответа на этот вопрос и ему подобные автором было построено семейство (вирр^: X —» БтК: в > о} конечнозначных отображений пространства X в У, которые возникают при равномерно непрерывном отображении пространства Ср(У) в Ср (X). Эти отображения строятся аналогично построенным О.Г.Окуневым [7] для случая /-эквивалентности

пространств Хтл У (обозначение было введено им же). Как оказалось, они тесно связаны с конечнозначным отображением, построенным С.П.Гулько в [1], а ряд замечательных свойств, которыми они обладают, даёт возможность использовать эту конструкцию для доказательства м-инвариантности различных топологических свойств.

Другой вопрос, на который была попытка ответить в диссертации, это проблема адаптации спектральной теоремы Е.В.Щепина [3] для применения к пространствам непрерывных функций. Эта теорема применима к компактам, раскладывающимся в регулярные обратные спектры, и используется для доказательства негомеоморфности некоторых топологических пространств, например, пространств и ехрО*2 (Е.В.Щепин, [3]). Если же возникает необходимость доказать негомеоморфность пространств Ср(Х) и Ср(У), то спектральная

теорема «в чистом виде» неприменима, так как пространства непрерывных функций не разлагаются в регулярные обратные спектры. Тем не менее оказалось возможным использовать общую схему рассуждений, связанную со спектральной теоремой и доказать её аналог, применимый к пространствам функций Ср(Х) и Ср(У)

над некоторыми пространствами специального вида.

И, наконец, ещё одна тема, затронутая в диссертации, это вопрос о различении отношений I- и «-эквивалентности, поставленный А.В.Архангельским в [4]. В работе [6] С.П.Гулько установил, что

отрезки ординалов [1,ю] и [1,юв] и-эквивалентны. Этот результат явился ответом на вопрос А.В.Архангельского, поскольку эти отрезки ординалов не являются /-эквивалентными (Ч.Бессага и А.Пелчинский, [5]). Другими словами, если Г - счётное дискретное пространство,

аГ- его одноточечная александровская компактификация, то аГ и

а^ Ф(аГ)"^ к-эквивалентны, но не /-эквивалентны. Автором

обобщается результат, полученный С.П.Гулько, для случая дискретного пространства Г произвольной мощности, что даёт нам целый класс примеров, различающих отношения I- и и-эквивалентности.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование равномерных гомеоморфизмов пространств непрерывных функций путём нахождения примеров пространств, различающих отношения I- и и-эквивалентности, примеров пространств, не являющихся м-эквивалентными, а также выявления топологических свойств, являющихся м-инвариантами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Построено полунепрерывное снизу счётнозначное отображение шрр:Х—>2Г пространства X в V, порождаемое равномерным гомеоморфизмом пространств функций Ср (7) и Ср{Х), описаны его свойства.

• Получен аналог спектральной теоремы Е.В.Щепина, применимый к пространствам функций Ср(Х) и СДУ) над некоторыми пространствами специального вида.

• Построен класс примеров пространств, различающих отношения I- и «-эквивалентности, являющийся обобщением примера, полученного С.П.Гулько [6].

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут бьтгь использованы в дальнейших исследованиях равномерных гомеоморфизмов Ср -пространств, а также при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.), на ХЫ1 и ХЫИ Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 г. и 2005 г.), на топологическом семинаре в ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2005 г.). Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры теории функций Томского государственного университета. По теме диссертации имеется 5 публикаций.

Структура и объём работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трёх глав и списка литературы. Первая глава содержит два параграфа, вторая и третья главы - по три параграфа. Полный объём диссертации составляет 75 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава состоит из двух параграфов.

В начале первого параграфа вводятся основные определения.

Определение. Пусть X - топологическое пространство. Линейное подпространство А а Ях будем называть достаточным, если для любой точки у&Х, любой её открытой окрестности Оу и любых

двух функций fuf2eA найдётся функция / е А, такт, что /О) = /2О) и /(*) = /1 (*) для всех хеХ\Оу

Точку х е X будем называть нуль-точкой семейства A a Rx, если /(х) = 0 для всех / еА. Множество всех нуль-точек семейства А будем обозначать kerA.

Определение. Пусть X, Y - топологические пространства, А, В -достаточные линейные подпространства пространств R* и Rr соответственно, h:B-^> А - равномерный гомеоморфизм, переводящий нулевую функцию ОY еВ в нулевую функцию 0Х е А. Зафиксируем точку хе X и z>0. Точку yeY будем называть е-существенной для х (относительно гомеоморфизма h), если для любой окрестности Оу точки у существуют функции g',g"еВ,

совпадающие на множестве Y\Oy, для которых выполняется неравенство | h(g')(x) - h(g")(x)\ > г .

Точку у, не являющуюся е-существенной для х , будем называть е-несущественной для х. Множество всех е-существенных точек для точки х будем называть 8-носителем точки х (относительно гомеоморфизма h)u будем обозначать его supp\x. Объединение всех е-носителей точки х ( относительно гомеоморфизма h ) по всем £ > 0 будем называть носителем точки х ( относительно

гомеоморфизма h) и будем обозначать его supphx. Если известно, о

каком гомеоморфизме h идёт речь, будем писать просто supphx ( supp х, соответственно).

Далее в параграфе 1 формулируются свойства построенных множеств.

(i) supptx - непустое конечное подмножество из Y (при xíkerA);

(И) supp: X —»2Г есть счётнозначное, полунепрерывное снизу отображение.

Затем приводятся известные результаты, используемые в доказательстве этих свойств, а также само доказательство, которое приведено в параграфе 2. Также приводится и доказывается следующее свойство носителя.

Теорема 1.2.6. Пусть хе X. Справедливы следующие

утверждения:

(а) Если функции g',g" е В совпадают на множестве suppx, то h(g')(x) = h(g")(x).

(б) Если F - замкнутое подмножество из Y, такое, что для любых двух функций g',g" е В, совпадающих на множестве F, выполняется равенство h(g')(x) = h(g")(x), то supp xaF.

Во второй главе рассматривается вопрос адаптации спектральной теоремы Е.В.Щепина для применения к пространствам непрерывных функций. В начале первого параграфа этой главы вводятся определения.

Определение. Семейство ретракций {га : а < оо(т)} на

пространстве X (где а>(т) - первый ординал регулярной несчётной мощности х) будем называть

(R1) коммутативным, если гат^=г^ога= га для любых а á р < ш(т) ;

(R2) сжимающим, если mv(ra[x])< т для всех а < со(т) ;

(R3) поточечно непрерывным, если Нтг(х) = г-(х) для любого

а-+а

предельного ординала а < <а(т) и для любого х е X;

(R4) разделяющим, если для любых двух различных точек х',х" € X существует ординал а < со(т), такой, что га(х') * га(х") ;

(R5) покрывающим, если X = [JXa ;

а<ш(т)

(R6) порождающим топологию, если семейство

(В = { г~1 [га[б] ]: G - открытое множество в X, а < со(т)}

является открытой базой топологии наХ;

(R7) сопряжённо покрывающим, если сопряжённое семейство ретракций {rj : а < оэ(г)} является покрывающим;

(R8) сопряжённо порождающим, если сопряжённое семейство ретракций {rj :а < со(т)} является порождающим топологию.

Определение. Семейство ретракций на пространстве X будем называть проекционным разложением единицы и сокращённо обозначать ПРЕ, если оно коммутативное, сжимающее и поточечно непрерывное. Семейство ретракций будем называть расслаивающим проекционным разложением единицы и сокращённо обозначать РПРЕ, если оно коммутативное, сжимающее, поточечно непрерывное и сопряжённо покрывающее.

Главным результатом параграфа 1 является

Теорема 2.1.4 (проекционная теорема). Пусть {ра: а<со(т)}, {<7а : а < ю(т)} — РПРЕ на пространствах X и Y соответственно, и h'.X —>Y - гомеоморфизм. Тогда множество B(h) тех а, что

отображение ga = qa о : Ха -> Уа является гомеоморфизмом, замкнуто в [1,со(т)) иконфинально со(т).

Далее вьисняются условия существования РПРЕ на пространствах определённого вида. В параграфе 2 получены условия существования РПРЕ на компактах. Они сформулированы в следующем

Следствии 2.23. Каждое разделяющее ПРЕ на компакте является РПРЕ.

Затем приводится ещё один вариант доказательства того факта, что компакты £>Кг и ехр£>*2 не гомеоморфны. При этом используются следствие 2.2.3 и теорема 2.1.4.

В параграфе 3 получены необходимые и достаточные условия существования РПРЕ на Ср -пространствах. Этот критерий приведён в следующей

Теореме 23.10. Пусть Г = {/-а :а<ю(т)} - ПРЕ на пространстве X. Порождаемое им сопряжённое семейство ретракций Г* = {г*: а < со(т)} на пространстве X = Ср(Х) является

РПРЕ тогда и только тогда, когда семейство Г - покрывающее. Третья глава посвящена доказательству того факта, что пространства

оГ и а| Ф(аГ)"^ «-эквивалентны, но не /-эквивалентны (где Г -

дискретное пространство, аГ- его одноточечная александровская компакгификация). В начале параграфа 1 вводятся новые понятия, которые впоследствии используются для доказательства основного результата главы.

Для многозначного отображения R:X->expY и множества

def

АаХ условимся обозначать R\a\ = [Jä(jc) . Если Rt : X ^ 2У и

хеА

R2 : Y —> 2г - многозначные отображения, то их композицией мы будем называть многозначное отображение R2 ° Л, : X —> 2г, определённое формулой R2 °Л,(х) - R2[ä,(.т)], хеХ. Аналогичным образом определяется композиция любого (конечного) числа многозначных отображений.

Определение. Пусть F - замкнутое подмножество пространства X. Многозначное, непрерывное в топологии Вьеториса отображение R:X—ï exp F будем называть многозначной ретракцией, если

R\x\=F и х е R(x) для всех х е X. Для каждой многозначной ретракции R:X—»expF определим

отображение R : X -» 1F, действующее по формуле

R{x) = 7?(jt)\ {х}, хеХ. Такое отображение будем называть проколотой ретракцией.

Определение. Пусть X- компакт, F - замкнутое подмножество в X, х0 - точка из F, п- натуральное число. Многозначную ретракцию R:X—> Fin F будем называть декартовой ретракцией порядка п с центром в точке х0, если она удовлетворяет следующим условиям:

(CRI)

п

(CR2) R(x) = {jc} тогда и только тогда, когда х = х0.

Пространство X будем называть декартовым, если на нём существует декартова ретракция.

В подразделах 1.1 и 1.2 параграфа 1 описаны примеры декартовых пространств — конечная тихоновская степень компактного пространства и пространство вида ехрпХ. Главным результатом второго параграфа является Теорема 3.2.2. Пусть X - компакт, F - замкнутое подмножество в ДО- точка из F, R : X —> Fin F - декартова ретракция порядка п с центром в точке 0. Тогда для любого 8 > 0 существует равномерный гомеоморфизм

такой, что для всех / е СД.А1 jOjj выполняется неравенство

(символом Ср(Х\А) обозначается пространство всех непрерывных

функций на X, равных нулю на множестве А, наделённое топологией поточечной сходимости).

Эта теорема явилась основным инструментом в доказательстве главного результата третьей главы, который доказан в третьем параграфе. Этим результатом является следующая

Теорема 3.3.5. Для любого е > 0 существует равномерный гомеоморфизм

(l + ^-'l/l^l^i/^ll/l-

такой, что для любой функции /еСр а^Ф(аГ)"^ выполняется неравенство

о+в)-'|/|ф.сфИ-

Эта теорема обеспечивает «-эквивалентность пространств аГ и а^ Ф(аГ)"^. Завершает главу теорема 3.3.8, из которой следует, что вышеупомянутые пространства не являются /-эквивалентными. .

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Сергею Порфирьевичу Гулько за постановку задач, полезные обсуждения и помощь в оформлении диссертации.

Литература

1. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова. АН СССР. 1992. Т. 193. С. 82-88.

2. Успенский В.В. Характеризация компактности в терминах равномерной структуры в пространстве функций // УМН. 1982. Т. 37, №4. С.183-184.

3. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчётных обратных спектров // УМН. 1976. Т. 31, № 5. С.191-226.

4. Archangelskij A.V. On relationship between topological properties of X and Cp(X) II Gen. Topol. and Relat. Mod. Anal, and Algebra. 5.

Berlin, 1985. P. 24-36.

5. Bessaga C., Pelczynski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia math. 1960. V. 19. P. 53-62.

6. Gul'ko S.P. The space Cp(X) for countable infinite compact X is uniformly homeomorphic to c0 // Bull. Acad. Polon. sci. ser. Math. 1990.

7. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and its Appl. 1997. Vol 80. P. 177-188.

8. Velichko N.V. The Lindelof property is /-invariant // Topol. and its Appl. 1998. Vol 89. P. 277-283.

Г

Работы автора по теме диссертации

1. Арбит A.B. О многозначных отображениях, порождаемых равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций II Международная конференция по математике и механике. г.Томск. 16-18 сентября 2003. - Томск: ТГУ, 2003. С. 45-49.

2. Арбит A.B. Об одной модификации понятия «-эквивалентности топологических пространств // Вестн. Том. гос. ун-та. Сер. математика, кибернетика, информатика. 2004. Т.284. С.8-12.

3. Арбит A.B. Примеры разреженных компактов, различающие отношения /- и «-эквивалентности // Материалы XLIII Международной науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Математика - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2005. С.59.

4. Арбит A.B. Об одном аналоге спектральной теоремы Щецина // Том. гос. ун-т. - Томск, 2005. - 27 с. - Библиогр.: 9 назв. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1054-В2005.

5. Арбит A.B. Об одном примере разреженных компактов, различающем отношения /- и «-эквивалентности // Том. гос. ун-т. - Томск, 2005. - 49 с. - Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1053-В2005.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии Редакционно-издательского отдела ТГУ Лицензия ПД №00208 от 20 декабря 1999 г.

Заказ № -f91 от " 13" 10 2005 г. Тираж 1С0 экз.

ЯМ926&

РНБ Русский фонд

2006-4 16921

Введение

Терминология и обозначения

Глава 1. Многозначные отображения, порождаемые равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций

§ 1. Понятие носителя

§2. Свойства носителя

Глава 2. Коммутативные семейства ретракций

§1. Аналог спектральной теоремы Щепина

§2. РПРЕ на компактах. Пространства D 2 и exp D*

§3. РПРЕ на пространствах Ср(Х)

Глава 3. Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение

§1. Декартовы ретракции

1.1. Конечная тихоновская степень

1.2. Пространство ехриХ

§2. Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение

§3. Пространства функций над аГ и его конечными степенями

Предмет нашего рассмотрения - пространство Ср(Х) всех непрерывных вещественных функций на топологическом пространстве X, наделённое топологией поточечной сходимости. Этот объект можно рассматривать либо как топологическое пространство, либо как равномерное топологическое пространство, либо как линейное топологическое пространство. Естественным образом возникает следующая задача.

Пусть Ср(Х) и Cp(Y) одинаковы в том или ином смысле: как топологические пространства, как равномерные топологические пространства или как линейные топологические пространства. Какие свойства пространствуй Убудут тогда общими?

Сформулируем данную задачу на языке эквивалентностей. Назовем пространства X и У t

-эквивалентными (/-эквивалентными, «-эквивалентными) и будем писать X-Y

1 и соответственно, X ~Y, X~Y), если пространства Ср(Х) и Cp(Y) гомеоморфны соответственно, линейно гомеоморфны, равномерно гомеоморфны). Если X и Y гомеоморфны, h то пишем X~Y.

Очевидны следующие импликации h I и t

X~Y^X~Y=>X~Y=> X~Y.

Данные отношения являются отношениями эквивалентности, а свойства пространств X и Y, которые сохраняются отношением /-, /- или «-эквивалентности, будем называть соответственно t-, I- или м-инвариантами.

В данной терминологии вышеназванная задача формулируется следующим образом: какие свойства топологических пространств Xи У являются t-, I- или «-инвариантами?

Для доказательства инвариантности тех или иных топологических свойств часто привлекается следующая конструкция. Непрерывное отображение пространства Cp(Y) в

Ср(Х) порождает семейство многозначных отображений из X в Y, которые являются основным инструментом в доказательстве теорем об инвариантности.

Такого типа конечнозначные отображения были определены О.Г.Окуневым [17] для доказательства /-инвариантности спрэда, наследственной плотности и наследственного числа Линделёфа. Используя различные варианты таких отображений, С.П.Гулько [4] доказал и-инвариантность размерности, а Н.В.Величко [19] доказал /-инвариантность свойства Линделёфа.

Первая глава диссертации посвящена дальнейшему изучению многозначных отображений, возникающих при равномерном гомеоморфизме пространств функций Ср(Х) и Ср(У). В первом параграфе вводится понятие е-носителя, многозначного отображения пространства X в Y для каждого г > 0, которое мы обозначаем supp£. Это отображение строится аналогично построенному О.Г.Окуневым [17] для случая /-эквивалентности, обозначение было введено им же. Значениями этого отображения являются непустые конечные множества suppEx, где х € X, причём, если е < 5, то suppgX czsuppcx. Далее строится отображение supp: X —» 2Г, определённое формулой supp х = [J suppex, значениями которого являются счётные (в общем 0 случае) множества. Во втором параграфе исследуются свойства вышеупомянутых отображений и то, как эти отображения соотносятся с другими, в частности, с отображением х I—» К(х), введённым С.П.Гулько [4]. Главным результатом этой главы является следующая

Теорема 1.2.5. Многозначное отображение supp: X -» 2Y полунепрерывно снизу.

Отображение носителя, построенное О.Г.Окуневым для случая /-эквивалентности, вообще говоря, не является полунепрерывным снизу, хотя и обладает некоторой более слабой формой полунепрерывности. Таким образом, и-экви валентность пространств порождает многозначное отображение, обладающее рядом замечательных свойств, которые могут отсутствовать в случае /-эквивалентности.

Результаты второй главы навеяны спектральной теоремой Е.В.Щепина [9,10], которая утверждает, что если предельные пространства двух регулярных спектров одинаковой длины гомеоморфны, то они содержат изоморфные подспектры. Одно из применений этой теоремы -доказательство того факта, что компакты D*2 и exp DHl не гомеоморфны. В связи с этим возникает вопрос: будут ли пространства функций на этих компактах гомеоморфны и если будут, то какая это будет гомеоморфность (линейная, равномерная)? Напрямую применить спектральную теорему к пространствам Сp(D*2) и С р(expD*2) нельзя, так как пространства непрерывных функций не разлагаются в регулярные обратные спектры, однако оказалось возможным использовать общую схему рассуждений, связанную со спектральной теоремой и доказать её аналог (теорема 2.1.4), применимый к пространствам функций Ср(Х) и Cp(Y) над некоторыми пространствами специального вида. Эта теорема является главным результатом первого параграфа. В этом параграфе мы рассматриваем пространства X, на которых существует семейство {га : а < оо(х)} попарно различных ретракций, где со(х) - первый ординал регулярной несчётной мощности х, удовлетворяющее условиям

R1) га о Гр = Гр о га = га для любых а < р < со(т) (коммутативность); (R2) mv(ra[x]) < т для всех а < со(т);

R3) lim га(х) = для любого предельного ординала а<оо(х) и для любого х е X поточечная непрерывность). В теории банаховых пространств такие трансфинитные последовательности линейных непрерывных проекторов называются проекционными разложениями единицы (ПРЕ). Мы распространяем это название и на тот случай, когда га - просто непрерывные ретракции в топологическом пространстве X, удовлетворяющие условиям (Rl), (R2), (R3). Многие результаты, касающиеся проекционных разложений единицы на топологических пространствах, были получены в работах С.П.Гулько [5,15]. Из этого же источника заимствованы некоторые понятия, используемые в этом параграфе, адаптированные для нашего случая.

Проекционное разложение единицы Г = [ra : a < со(х)} на пространстве X будем называть разделяющим, если для любых двух различных точек х\х" е X существует ординал a < со(х), такой, что га(х') Ф ra(jc") . Наряду с семейством ретракций Г = {ra : a < ю(х)| на пространстве X мы также будем рассматривать порождаемое им сопряжённое семейство ретракций Г* = [г* :а< оо(т)j на пространстве Ср(Х), где г*: Ср(X) -> Ср(X) - двойственное отображение к отображению га, определённое формулой r*(f) = f°ra, feCp(X). В случае, когда ретракты r^\ср(X)] покрывают собой всё пространство Ср(Х), мы называем семейство Г расслаивающим проекционным разложением единицы (РПРЕ).

Теорема 2.1.4 (аналог спектральной теоремы Щепина). Пусть {ра : а < со(т)}, [qa: а < со(т)} - РПРЕ на пространствах X и Y соответственно, и пусть h:X —» Г — гомеоморфизм. Тогда множество B{h) тех а, что отображение ga = qa oh° р"1: Xa Ya является гомеоморфизмом, замкнуто в [1, со(т)) и конфинально со(х).

Во втором параграфе рассматриваются условия существования РПРЕ на компактах. В итоге получен следующий результат. Следствие 2.2.3. Каждое разделяющее ПРЕ на компакте является РПРЕ. Далее доказывается, что естественным образом возникающие ретракции на пространствах и и

D 2 и expD 2 образуют РПРЕ на этих пространствах, и следовательно, к ним применима теорема 2.1.4. Применяя далее те же рассуждения, что и в доказательстве Е.В.Щепина [10], получаем, что пространства Dи exp D*2 не гомеоморфны. Итак, мы видим, что теорема 2.1.4 может применяться, как и спектральная теорема Щепина, для установления топологической неодинаковости (негомеоморфности) пространств, причём, в отличие от последней, её можно использовать для пространств функций.

В третьем параграфе исследуется вопрос применения теоремы 2.1.4 для пространств Ср{Х) и Ср (7), то есть выясняются условия существования РПРЕ на этих пространствах. Результаты, полученные здесь, перекликаются с результатами С.П.Гулько [15], касающимися двойственных свойств проекционных разложений единицы пространствXи Ср(Х) .

Теорема 2.3.7. Пусть Г = {га : а < оз(х)} - порождающее топологию семейство ретракций на пространстве X, удовлетворяющем условию Суслина, и пусть /: X -> У - непрерывное отображение пространства X в пространство счётного веса Y. Тогда найдётся ординал а < со(т), такой, что / = f °га.

Теорема 2.3.7 является аналогом результата, известного как факторизационная лемма [2,16,18]. Сформулируем теперь главный результат этого параграфа. Теорема 2.3.10. Пусть Г = {га : а < со(г)} - ПРЕ на пространстве X. Порождаемое им сопряжённое семейство ретракций Г* = \г*: а < со(т)} на пространстве Ср(Х) является РПРЕ тогда и только тогда, когда семейство Г - покрывающее.

Третья глава посвящена доказательству м-эквивалентности пространств аГ и а ф(аГ)" где Г - дискретное пространство, аГ - его одноточечная компактификация. Нетрудно видеть, 00 Л [ , что в случае Г=N пространство а гомеоморфно отрезку ординалов |1,сою|. В работе

Vn=1

14] С.П.Гулько установил, что отрезки ординалов [1,ш] и [l,tom] «-эквивалентны. Этот результат явился ответом на вопрос о различении отношений /- и ^-эквивалентности, поставленный А.В.Архангельским в [12], поскольку эти отрезки ординалов не являются /эквивалентными (Бессага и Пелчинский, [13]). Другими словами, при счётном Г пространства аГ и а

Ф(аГ)" и-эквивалентны, но не /-эквивалентны. Мы обобщим результат, полученный v«=i у

С.П.Гулько, для случая дискретного пространства Г произвольной мощности.

Схема доказательства следующая. Пространство Ср ((аГ)") равномерно гомеоморфно раскладывается в конечное произведение пространств, которые можно линейно топологически, без изменения нормы, отождествить с пространством с0(г). Такое разложение возможно благодаря доказанной нами во втором параграфе теореме 3.2.2. Затем применяется та же схема, которую применил С.П.Гулько [14] при доказательстве м-эквивалентности счётных отрезков ординалов.

В первом параграфе главы 3 вводится в обращение такое новое понятие, как декартова ретракция, которое впоследствии будет использовано нами в формулировке теоремы 3.2.2, являющейся ключевым моментом в структуре нашего доказательства. Декартова ретракция -это многозначное, непрерывное в топологии Вьеториса отображение R : X —» FinF (где F -замкнутое подмножество пространства X), обладающее некоторыми специфическими свойствами, в частности, тем свойством, что при многократном применении оно «сжимает» пространство X в точку, называемую нами центром декартовой ретракции. Пространство, на котором задана декартова ретракция, будем называть декартовым пространством. Примером декартова пространства является конечная тихоновская степень (декартова степень), откуда и берёт начало этот термин.

Главным результатом второго параграфа является следующая

Теорема 3.2.2. Пусть X - компакт, F - замкнутое подмножество в X, 0 - точка из F, R : X —> Fin F — декартова ретракция порядка п с центром в точке 0. Тогда для любого 6 > О существует равномерный гомеоморфизм такой, что для всех / <= Ср(х|{о}) выполняется неравенство

1 + 5)i/||< I W)||< ll/ll, где символ Ср (X\F) означает пространство всех непрерывных функций на X, равных нулю на множестве F, наделённое топологией поточечной сходимости.

Применяя теорему 3.2.2 к конечной тихоновской степени компактаX, получаем

Следствие 3.2.20. Для любого 5 > 0 существует равномерный гомеоморфизм

Ср{х"| {о})-* fl{cp{xm\xM)) ' , m-i такой, что

1 + 6Г11|/|| < Щп)(Л\ < \\f\\, f е Ср(х"\ {о}), где 0 - некоторая фиксированная точка пространстваX, 0 = (о,.,о) - точка пространства X", каждая координата которой равна 0 , х(т,т-\) = е Хт : Л/(х) = 0 хотя бы для одного i elm}.

Таким образом, нам удалось равномерно гомеоморфно разложить пространство функций на X" в произведение его подпространств с более простой структурой, что позволит нам в следующем параграфе доказать м-эквивалентность пространства аГ и его конечных степеней.

Теорема 3.3.4. Для любого n<=N и любого £ > 0 существует равномерный гомеоморфизм такой, что для любой функции /еСр [хп ) выполняется неравенство

1+вг 41/11 <||^(/)||<||/||.

И, наконец, главным результатом третьей главы является

Теорема 3.3.5. Для любого е > 0 существует равномерный гомеоморфизм со аГ)" —> с0 (г), а и=1

V V j j такой, что для любой функции / еС a аГ)" п=I выполняется неравенство а+сгЧ/ц^^л/)^!

Итак, мы доказали, что пространства аГ и а Ф(аГ)" «-эквивалентны. В последней и=Г части параграфа (теорема 3.3.8) доказывается, что эти пространства не /-эквивалентны.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С.П.Гулько за постановку задач и плодотворное обсуждение результатов.

ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Все рассматриваемые ниже топологические пространства предполагаются вполне регулярными. Гомеоморфность пространств X и Y мы обозначаем X = Y. Символом /\а\ будем обозначать образ множества А при отображении f, /"' [й] - прообраз множества В относительно отображения f. Если / - отображение с областью определения X и F с= X , то через J\f обозначается сужение / на F. Символом X" будем обозначать п-ю тихоновскую степень пространства X, где п - натуральное число; оператор проецирования точки на /-ю координату обозначаем щ. h* : Ср (Y) -» Ср (X) - двойственное отображение к отображению h: X Y, определённое формулой h*{g) = g oh, g e Cp(7) . Произведение отображений fa обозначаем <H> fa . Замыкание множества А в пространстве X обозначаем А . Символом |Х| аеА обозначаем мощность пространствах

Rx - пространство всех функций на X. Cp(X\F) - пространство всех непрерывных функций на X, равных нулю на множестве F, наделённое топологией поточечной сходимости, где F - некоторое подмножество пространства X. expX, ехр„Х, FinX, 2х — пространство всех замкнутых подмножеств, пространство всех не более чем и-точечных подмножеств, пространство всех конечных подмножеств и пространство всех подмножеств пространства X соответственно, с топологией Вьеториса. с0(Г) - пространство всех тех функций х на множестве Г, для которых множество {у е Г: |х(у)| > е} конечно для любого е > 0. аГ одноточечная александровская компактификация дискретного пространства Г, D -двухточечное дискретное пространство. Символ Ф Xs означает прямую сумму seS топологических пространств.

Символом х обозначается произвольный несчётный кардинал, fc^, - первый и второй несчётные кардиналы, со(х) - наименьший ординал мощности т, со — первый бесконечный ординал, соj - первый несчётный ординал и ш2 - первый ординал мощности . Произвольные ординалы обозначаются буквами а, р, у, X, ju. Натуральный ряд мы обозначаем через N.

В определении и обозначении кардинальных инвариантов мы везде следуем книге Р.Энгелькинга [11]. В частности, w{X) - вес, nw(X) - сетевой вес, с(Х) - число Суслина.

Если (EjjI -|| ) и [е2 ; I -||2) - нормированные пространства, то их произведение Ех х Е2 мы наделяем нормой |(x,,x2)| = max(||x1||i,||x2||2). Если (/?rt;|| -||n) - нормированные пространства, пе N, то со-произведением Е = \ ГК пеМ мы будем называть множество всех

Со последовательностей х = (jcj,jc2,.), хпе.Еп, таких, что limlbtjl =0. Само со-произведение л-юо" " наделяется нормой ||д| = sup||x„||n. neN

1. Архангельский А.В., Пономарёв В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. -М.: Наука, 1974.

2. Архангельский А.В. Непрерывные отображения, факторизационные теоремы и пространства функций // Тр. Моск. мат. о-ва. 1984. Т. 47. С. 3-21.

3. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова. АН СССР. 1992. Т. 193. С. 82-88.

5. Гулько С.П. Е-произведения и проблемы классификации в топологической теории пространств функций // Диссертация на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук. — М.: Изд-во МГУ, 1991.

6. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981.

7. Куратовский К. Топология. Т.1 М.: Мир, 1966, Т.2 - М.: Мир, 1969.

8. Павловский Д.С. О пространствах, имеющих линейно гомеоморфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости // УМН, 1982. Т.37, № 2. С. 185186.

9. Фсдорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные структуры. М.: Изд-во МГУ, 1988.

10. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчётных обратных спектров // УМН. 1976. Т. 31, №5. С.191-226.

11. Энгелькинг Р. Общая топология (Пер. с англ.). М.: Мир, 1986.

12. Archangelskij A.V. On relationship between topological properties of X and Cp(X) // Gen.Topol. and Relat. Mod. Anal, and Algebra. 5. Berlin, 1985. P. 24-36.

13. Bessaga C., Pelczynski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia math. 1960. V. 19. P. 53-62.

14. Gul'ko S.P. The space CP(X) for countable infinite compact X is uniformly homeomorphic to Co // Bull. Acad. Polon. sci. ser. Math. 1990.

15. Gul'ko S.P. Semilattice of retractions and the properties of continuous function spaces of partial maps // Quaderni di matematica. Recent progress in function spaces.1998. Vol 3. P. 93-155.

16. Mazur S. On continuous mappings on Cartesian products. Fund. Math. 39 (1952), 229-238.

17. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and its Appl. 1997. Vol 80. P. 177-188.

18. Ross К.A., Stone A.H. Products of separable spaces. Amer. Math. Monthly 71(1964), 398 -403.

19. Velichko N.V. The Lindelof property is /-invariant // Topol. and its Appl. 1998. Vol 89. P. 277283.

20. Арбит A.B. О многозначных отображениях, порождаемых равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций // Международная конференция по математике и механике. г.Томск. 16-18 сентября 2003. Томск: ТГУ, 2003. С. 45-49.

21. Арбит А.В. Об одной модификации понятия м-эквивалентности топологических пространств // Вестн. Том. гос. ун-та. Сер. математика, кибернетика, информатика. 2004. Т.284. С.8-12.

22. Арбит А.В. Примеры разреженных компактов, различающие отношения /- и и-эквивалентности // Материалы XLIII Международной науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Математика — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2005. С.59.

23. Арбит А.В. Об одном аналоге спектральной теоремы Щепина // Том. гос. ун-т. Томск, 2005. - 27 с. - Библиогр.: 9 назв. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1054-В2005.

24. Арбит А.В. Об одном примере разреженных компактов, различающем отношения /- и и-эквивалентности // Том. гос. ун-т. Томск, 2005. — 49 с. - Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1053-В2005.