Размерность топологических произведений и их подмножеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

КОЗЛОВ КОНСТАНТИН ЛЕОНИДОВИЧ

УДК 515.12

РАЗМЕРНОСТЬ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ И ИХ ПОДМНОЖЕСТВ

01.01.04. — геометрия и топология

АВТОРЕФ ЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1992

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Б. А. Пасынков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А. Ч. Чигогидзе, кандидат физико-математических наук, доцент Ю. А. Буров,

Ведущая организация — Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Защита диссертации состоится ^^^_1992 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан « ^ » _г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

Заказ 1463 Тираж 100

Сергиево-Посадская типография Упрполиграфиздата Мособлисполкома

ОЗДО ХШКГЕРИСТЙКА. РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию размерности топологических произведений (пространств локально тривиальных расслоений и частичных произведенийj к относительной размерности подмножеств топологических произведения.

Актуальность теки. Под пространством, если противное не оговорено дополнительно, понимается топологическое пространство, под отображением пространств - непрерывное отображение, под размерностью пространств - размерность dim. .

Взятие топологического произведения семейства топологических пространств и переход к подпространству топологического пространства, в частности к подпространству топологического произведения, принадлежат к числу важнейших топологических операций. В соответствии с этим в теории размерности к числу основных вопросов относятся вопросы размерности произведений и тех или иных их подпространств.

Ближайшими "соседями" классического топологического ^прямого =полного) произведения являются пространства локально тривиальных расслоений, которые, следуя Н.Стинроду, мокно было бы назвать косыми произведениями, и частичные топологические произведения, введенные Б.А .Пасынковым f-f] « Эти классы пространств применяются во многих вопросах алгебраической, дифференциальной и общей топологии.

Пространство локально тривиального расслоения и частичное топологическое произведение обобщают прямое (е полное) топологическое произведение. Поэтому для этих топологических произведе-

Пасынков Б.А. Частичные топологические произведения // ДАН СССР, 1964, т.154, Я? 4, стр.767-?70.

кий естественно ставить к рссать, во-первых, задачи, аналогичные задачам для размерности прлмкх произведений, и, во-вторых, связывать раз:.:ерност!ше свойства этик обобщенных топологических произведений с размерностныш свойства!,«и соответствующих им пря-иых(глолшх) топологических произведений.

Первая глава диссертанта посвяцена рассмотрению двух следующих вопросов:

1, Связь разиерностшх свойств обобщенного топологического произведения (пространства локально тривиального расслоения и частичного произведения) и естественно ему соответствующего прямого (— полного) топологического произведения;

2. Оценка размерности обобщенного топологического произведения (пространства локально тривиалькогорасслоенпя и частичного произведена) при помоги размерности базы (основания) и слоя (слоев) .

Зо второй главе диссертации изучается относительная размер-кость в с:.ъвде А.Ч.Чигогидзе [¿] подмножеств топологических произведен!!;":, знание которой дает дополнительную ингорыапизо как о размерности с1ип. подмножества, так и о его расположении в объемлющем пространстве. Получены оценки относительной размерности подшояеств (например, подпроизведений) частичных (в частности, полных) топологических произведений при покади относительных размерностей проекции а тих подмножеств в основания и слои частичных (в частности, пол'шх) произведений.

Цель работы. Установить связь кеззду разнерностиьми сЕОйства-ни обобщенного топологического произведения (пространства локально тривиального расслоения и частичного лрокззедекия^) и естествен-

Й Чкгогидзэ А.Ч. Об относительных размерностях// В сб.ОСцал топология.Пространства функций и размерность .Н.:МГУ,1985,с.67-118.

но ому соответствующего полного (s пржого) произведения и получить разного рода оценки раз;„'ер;юст;1 обобщенных топологических произведений. Оценить относительную размерность подиюясства топологического произведения через относительные разнерности проекций этого подмножества в сомножители.

Методы исследования. В работе используются в пернул очередь методы обратных спектров и факторизации непрерывных отображений, а такие некоторые другие метода общей топологии.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и полутени автором самостоятельно. Они состоят в следующем:

1. Найдены достаточнее условия для равенства размерности" пространства Y локально тривиального расслоения р '■ Y—' X

со слоем F и размерности естественно ему соответствующего прямого произведения X * F , а также для выполнения неравенства dinvY $ dim X + dim. F.

2. В предположении континуум гипотезы построены примеры локально тривиальных расслоений, пространства которых имеют любую конечную размерность и даже А - слабо ^сильно) бесконечномерны, а размерность естественно вы соответствующих прямых произведений, оснований и слоев равна нулю.

3. Найдены общие условия, чтобы размерность частичного произведения не превосходила размерности естественно ему соответствующего полного произведения.

4. Получены оценки размерности элементарных частичных произведений, улучшающие ранее известные fij,[ tf] .

£э] Pws&tkevci Т. On. the lectan^tilatltu oP Ike Jxiihal piocLt.cU.IJ jLkte-Um. Pep.of ike Piaquei /w, У.

[чЗ t02tov-k.ih.ybkc* Я ®irne*sicn. of s^iWs с/ tc^Jc^UaL ptcducisj/in. Genital Top>t.ltmv.S,i>.iH-4S.

5. Установлено, что относительная размерность подмножества кусочно прямоугольного частичного ( в частности, полного) произведения не превосходит суш относительных размерностей проекций подкнохества в основание и слои (сомножители) .

На задиту взносятся результаты, перечисленные в предыдущем пункте.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории размерности и общей топологии.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на международных конференциях в г.Москве (1090 г.) и в г.Варне (1590 г.), на Александровских чтениях ^1968 г.) , на семинарах к&тедры общей топологии и геометрии в МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора и в совместной работе автора с профессором Б.А.Ласынковш (в последней работе точно указано, что сделано диссертанток . Эти работы приведены в конце автореферата.

Структура диссертанта. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих три параграфа, к списка литературы, содержащего 38 наименований. Объем диссертации - 69 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении-кратко изложена история вопросов, рассматриваемых в диссертации, сформулированы ее основные результаты, а также сообщены необходимые обцие сведения. -

В § I гл.1 изучается связь разиерносткых свойств пространства У локально тривиального расслоения р:У~"Х со слоем Р и естественно ему соответствующего пряного произведения Л " Р" .

Первый круг вопросов касается выполнения равенства

с11т.Х = Л1т.Х'Р ' (1)

и неравенства

cW Y £ oUm.X* F.

Положительный ответ на эти вопросы дают следующие теоремы.

Теорема 1.4. Если локально тривиальное расслоение р-.У—>Х со слоем F локально конечно тризкализируемо (т.е. существует такое локально конечное функционально открытое покрытие co-jOu: <¿6/4^ базы X , что для любого O^GcO существует гомеоморфизм p1Qi такой, что , где pt. есть проектирование произведения QcyF на сомножитель , то . тогда выполнено равенство (j) .

Теорема 1.9, Если естественное отображение р: Y—»X отделимой топологической группы У в ее факторпространство X по замкнутой подгруппе F является локально тривиаль-

ным расслоением, то выполнено неравенство (j.) .

В частности, равенство (О выполнено, если база локально тривиального расслоения является паракомпактом, а неравенство (<2) выполнено, если подгруппа F отделимой группы Y является компактной группой Ли £5]] , или группа Y является локально бикомпактной С^З .

Оказывается (в предположении континуум гипотезы) , что при отказе от локально конечной тривиализируемости локально тривиального расслоения размерность пространства локально тривиального расслоения может превосходить размерность естественно ему соответствующего прямого произведения.

Теорема I.I4. (СН) Пусть К. принимает все натуральные значения и также обозначает Д - слабую бесконечномерность.

[52 Gieason. А■ Spaces, witi Л aompaat Lie cjwup of ixansfci-m*.-iiO^.J! flue. /SWr. Hatk. Sot., /95», V. t, f [63 Masted R Section. U f»i*tipal /¿4*6 s^i.// Ои-Ле

Тогда для любого к. г/окно построить локально тризиальное расслоение, пространство М К которого К - мерно, слой является пространством рациональных чисел С^ , а база есть пространство Т~ всех счетных порядковых чисел (к,следовательно, <зЦт. (£) =

Кроме того, существует локально тривиальное расслоение, пространство которого Д - сильно бесконечномерно, слой есть пространство С^ , база -Т и,следовательно, сАип.Т= с^-гп- —

Отметим, что в теореме 1.14 использованы известные пространства С.Даукера С^] и Чиркова [ 5] , которые оказываются пространствами локально тривиальных расслоений в предположении кошчя!уук гипотезы.

Второй круг вопросов касается условий выполнения неравенства

с^т. У $ си*ги х + сйт. р (э)

для локально тривиального расслоения р'-У—»X со слоем Р . СоответствукщкМ вопрос для прямьгх произведений кзляется класси-чосшм в теории размерности а глубоко исследован (си. [ ЗД^ .

Следствие 1.6. Если локально тривиальное расслоение р-.У-»Х со слоем р локально конечно тризиализируеыо, и естественно ему соответствующее прямое произведение X " Я" кусочно прямоугольно , то в-толиено неравенство „

[1] Оси/ког С. 1^сл'с скте^лск с^ лоъ-.п&В ЧР&сеь//

й^аЛ.Х о{ МсЛк., /95Г,р /О/-Ж

[л] Смирнов Д.М. Пример нульмерного пространства, имеющего беско-ночную размерность в сиысг.е г.окрк?иА//Д&К СССР, 1958,т.123,с.40-42.

£3] Пасынков-Е. А.,£едорчун 3.В.,Филиппов В.В. Теория размерности.// Сб.Алгебра.Топология.Геометрия.,т. 1?,/'/.тоги кауки/.М.ВЖГГ/!,е.."225-506 (Ь-уп-ко* 3- Су. Ьке^.ЦТереку,

¿спскп *П^ск. Яе. ¿есЫхе МвЫ тгиъ^/М?, ъ-УП-Л^С.

- 6 - ' '

Следствие 1.10 [{^ . Если подгруппа р отделимой группы У является компактной группой Ли, то выполнено неравенство (ь) , где X =У/р •

Следствие 1.11 Г/-0 . Если У является локально бико:гпактной группой, то выполнено неравенство (2>) для любой ее замкнутой подгруппы Я и

В связи с неравенством (ъ) уместно сделать следующее замечание.

Размерность пространств локально тривиальных расслоений, построенных в теореме 1.14, больше сугялы размерностей их базы и слоя (т.е. не выполнено неравенство ('Ь)) , в то время как размерность соответствующих ;ы прямых произведений совпадает с суммой размерностей сожоактелсй. Таким образом размерностные свойства пространств локально тривиальных расслоений хуке чем раз-ыерностные свойства естественно им соответствующих пркм.-х произведений.

В § 2 гл.1 находятся оцетм размерности элементарного частичного произведения Р(ХД 2) с основанием X к слоем 2 над открытым ¡гкояество!! С■<] и,з частности, изучается вопрос выполнения неравенства

(¿¿ГА ?(*. 0, 2) < с^пг Хх2 и даже более осцего неравенства

^с^ггиР(ХМЛ) (5)

где 0 <= И .

Для краткости ? орцулнрозок результатов зведены определения сЦгп. -иокотонного элементарного частетого произведения (оле-

ЭО Филиппов 3.3. О размерности пространств с действием бикомпактно:1. группы// Матем. заметки, 1975, т.25, К? 3, стр.529-334. С«] Скяяренко Е.Г. О топологическом строении локально бикомпактных групп и их ¡акторгрупп/^атем.сборник, 1963,т.60,К? I,с.63-68.

- 7 -

иентарное частотное произведение назовем clim. - мо-

нотонный, если неравенство (s) выполнено для любого множества

LI , содержащего 0 ) , R - 'векторизуемого элементарного частичного произведения (элементарное частичное произведение Р(Х, D?) назовем - факторизуемьш, если для любой непрерывной функции » [0,{} существуют функционально открытое множество VsO и непрерывная функция р(Х,У, такие, что

fopov г гдо у есть естественное проектирование Р(Х,0/ z) на Р (X, и слабо Функционально открытого множества (откры-

voe множество 0 пространства X назовем слабо функционально открытым, если для любого'замкнутого в X множества F 1=1 0 существует функция п. ■■ Х~"'С0,d такая, что

<= Г(°)) . > ■ •

Основным результатом § 2 является

Теорема 2.7. Если элементарное частичное произведение R -факторизусмо, то оно dlrn - монотонно.

Отметим, что существует olim. - монотонное, но не ß - фак-торизуемое элементарное частичное произведение (пример

2.25.) ,

поэтому R - факторизуемость является только достаточным условием для clim. - монотонности.

Теорема 2,7 позволяет свести вопрос о выполнении неравенства (s) и, в частности (и) , к вопросу об ß - факторизуемости элементарного частичного произведения.

Элементарное частичное произведение

Pix,0,2)

является

R - факторизуемым и,следовательно, clim. - монотонным , ее-' ли выполнено одно из следующих условий:

а) Множество 0 слабо функционально открыто (в частности, функционально открыто) (теорема 2.14.(теорема 2.4.)) ,

б) Основание X является нормальным пространством (следствие 2.16.) ,

в) проекция элементарного частичного произведения на основание является 2- - замкнута.;, в частности замкнутым, отображением (теорема 2.20.) ,

г) проекция рт.: X * 2 —* X естественно соответствующего элементарному частичному произведению Р(Х, 0, Z) полного произведения Х*2 является Z - замкнутым, в частности замкнутым, отображением (следствие 2.21.) ,

д) Слой 2 является бикомпактным пространством (следствие 2.22.) .

Заметим, что требования в пунктах а) - д) накладываются независимо или а) на открытое множество, над которш происходит "умножение"^ пространств; или б) на основание; или в) на проекцию элементарного частичного произведения и даже г) только на проекцию естественно ему соответствующего полного произведения; или д) на слой. Все перечисленные условия являются весьма обеими, но только достаточными 'для R. - факторизуемости элементарного частичного произведения ( пример 2.24.) и,следовательно, для dim. -монотонности. •

Особо отметим, что теорема 2.7 вытекает из теоремы 2,4, доказательство которой существенно использует свойства относительной размерности А.Ч.Чигогздзе /А1 .

Более внимательное рассмотрение доказательств сформулированных утверздений позволяет следующим образом существенно (пример 2.27.) усилить неравенства (*/) и (5) .

Следствие 2.S2. Если подмножество 0 пространства X Функционально открыто, то для элементарного частичного произведения Р(ХД2) выполнено неравенство сU т. Р(хДг) < may

Следствие 2.31. Для £ - фахторизуемого элементарного час-

тичного произведения Р-Р(Х,0,2) выполнено неравенство cLm-PsSUjajoLim И'2,Мгп-Х; Ц<=0/ II ~ функционально открыто] ,

Перейдем от произвольных частичных произведений н более специальному случаю кусочно пряг.:оугольшх частичных произведений . для которых ранее Т.В.Проселковой и Б.А.Паскнко--вым [было установлено неравенство

dim. ?(X.D,2) < dim. X + dint Z,

связывающее размерность частичного произведения с размерностью его основания и слоя. Отметим, что для любых тихоновских пространств X и 2

Поэтому результат Т.В.ГТроселковой и Б.А..Пасвнкова может быть существенно усилен (пример 2.30.) следующим образом.

Следствие 2.28. Если элементарное частичное произведение P(X,0,Z) тихоновских пространств X и 2 кусочно прямоугольно, то

dim Of)

Из следствий 2.28 и 2.31 вытекает и другая оценка размерности кусочно прямоугольных элементарных частичных произведений, которая лучие, чем оценка ($) .

В § 3 гл.1 размерность общего частичного топологического произведения [Q оценивается размерность» естественно ему соответствующего полного тихоновского произведения.

Основными являются результаты для частичных произведений со счетным числом слоев, которые обобщают соответствующие результаты предыдущего параграфа.

Леша 3.6. Пусть множества 0-L , L£ N , являются функционально открытыми подмножествами пространства X . Тогда

для любых пространств , и £

А/ .

Лежа 3.7. Пусть пространства , I е N , являются бикомпактными. Тогда неравенство (<?) выполнено для любых открытых подмно.тсеств , А/ , пространства X .

Эти леммы позволявт получить неравенство ■с^Р(Х,(0г1£А ,{ЬЪеА)*сй*Х<П{зи:-<еА] (9)

для частичных произведений, любая функция на которых зависит от счетного числа координат, В частности, имеют место следующие утверждения.

Следствие 3.14. Если подмножества , и £ А , являются функционально открытыми в ткхоков'сном пространстве X и произведение тихоновских пространств XуЛ^¿•■¿еА^ удовлетворяет условии Суслина, то выполнено неравенство (з) .

Следствие 3.15. Пусть пространства X и , и £ А , являются бикомпактами. Тогда для любцх открытых подмножеств , «¿е/1 , пространства Л выполнено неравенство (9) .

Следствие 3.16. Пусть пространства X и , и £ А , является сепарабельными метрическими пространствами. Тогда для любых открытых подмножеств , £ £ А , пространства X выполнено неравенство (З)' .

¿дя кусочно прямоугольного, б частности прямоугольного , частичного произведения [¿Лее а) тихоновских прост-

ранств X и , и. € А , получена оценка его размерности (следствие 3.18.)

сЦгл Р ¿скт^Х * П {■■ л е А],

которая лучзе опенок, полученных Т.В.Проселковой к Е.А.Паскнковым

В гл.2 оценивается относительная размерность, з смысле А.Ч. Чигогидзе £¿3 , подмножеств топологических произведений. Основ- II -

ним результатом этой глаЕЫ является

Теорема 2.6. Пусть Р~Р{Х{&Ъе А а) является ку-

сочно прямоугольным частичным произведением тихоновских гоостран-

где Х-У , О^О/лГ и

, ¿е А . Тогда

Афр) ¿¿(ХЮ + ИАСЬ,^),

Теорема 2.6 обобщает результат Т.В.Броселковой и Б.А.Па-сынкова , дает возможность оценивать относительную размерность подмножества кусочно прямоугольного частичного' произведения через относительные размерности "проекций" подмножества в основание и слои и из нее следует оценка относительной размерности подмножества тихоновского произведения через относительные размерности проекций подмножества в сомножителях.

• Доказательство теоремы 2.6 использует размерностную конструкцию Е.А.Пасынкова

¡>3 и некоторые новые свойства относительной размерности А.Ч.Чигогидзе, установленные в диссертации.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору Б.А.Пасынкову за постоянное внимание к работе и помощь.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1.Козлов К.Л.О локально тривиальных расслоениях//Вестник МГУ,сер. ыатем.-мех.,1588,№ 4,Научно-исследовательский семинар по общей топологии. Заседания весеннего семестра 1985/86 учебного года,24 апрелям

2.Козлов К.Л. О размерности пространств локально тривиальных рас-слоений//Вестник МГУ,сер.ыатем.-мех.,1989,Р 3,с.69-72.

3.Козлов Ч.Л.О размерности частичных произведений//Весгник ИГУ,сер. матеы.-мех.,1991,1Р I,Научно-исследовательский семинар по общей топологии. Заседания осеннего семестра 1990/91 учебного года,15 ноября.

4. к.., Рлчупкспг 6. ВСтешСоп. о( ¿оро&д ¿еа£-fnoJLu.ib.JI б Ь Я 1п. 7^., /930, V. I р. 41- М.

- 12 -