Некоторые свойства топологических произведений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Обозначения и терминология

Глава 1. Большая и малая индуктивная размерность топологических произведений

§1. Основные идеи и вспомогательные леммы

§2. Пример произведения линейно упорядоченного континуума Х\ и двумерного (в смысле dim, Ind, ind) бикомпакта Х2, которое индуктивно четырехмерно

§3. Пример индуктивно двумерного регулярного пространства Z, произведение которого на отрезок индуктивно четырехмерно

Глава 2. Об уплотнениях и расширениях топологических произведений и пространств

§1. Один метод построения топологических пространств с неуплотняющимися на "хорошие" пространства конечными степенями

§2. Полное по Чеху линделефово пространство без точек локальной бикомпактности, не имеющее связных регулярных расширений

Глава 3. Произведения полурадиальных бикомпактов

Глава 4. Некоторые кардинальнозначные инварианты V-нормальных пространств

К числу важнейших операций над топологическими пространствами относится операция топологического произведения. Различные свойства топологических произведений интенсивно исследовались на протяжении всей истории топологии. Многие теоремы и примеры общей топологии относятся именно к топологическим произведениям.

В главе 1 диссертации рассматриваются размерностные свойства топологических произведений. Вопрос о выполнении логарифмического неравенства в теории размерности изучался глубоко и был одним из основных в этой области. Логарифмическое неравенство состоит в том, что размерность произведения двух пространств не превосходит суммы их размерностей. Вопрос о том, для каких классов топологических пространств это неравенство выполняется, можно ставить для любого размерностного инварианта. Однако, наиболее важна эта проблема для случая трех основных размерностей: dim - размерность, определяемая с помощью покрытий, Ind - большая индуктивная размерность и ind - малая индуктивная размерность.

Перечисленные размерностные инварианты определяются следующим образом:

Определение. Размерность dim, топологического пространства X меньше или равна п, если в каждое конечное открытое покрытие пространства X можно вписать конечное открытое покрытие кратности п + 1.

В этом определении и в двух следующих определениях число п может принимать любые целые значения большие или равные —1. При этом, во всех трех случаях (dim, ind, Ind), размерность пустого пространства полагается равной —1.

Определение. Размерность ind топологического пространства X меньше или равна числа п, если между любой точкой пространства X и не содержащим ее замкнутым подмножеством пространства X найдется перегородка, размерность ind которой не превышает п — 1.

Определение. Размерность Ind топологического пространства X меньше или равна числа п, если между любыми двумя замкнутыми дизъюнктными подмножествами пространства X найдется перегородка, размерность Ind которой не превышает п — 1.

В классе метрических сепарабельных пространств все три эти размерности совпадают и логарифмическое неравенство выполняется во всех трех случаях. В более широких классах пространств перечисленные размерности могут не совпадать или могут совпадать лишь некоторые из них. В частности, размерности Ind и dim совпадают в любом метризуемом пространстве.

В главе 1 рассматривается случай бикомпактов - одного из важнейших для общей топологии класса пространств. В этом классе для размерности dim, логарифмическое неравенство dim X хУ ^ dimX+dimY выполняется всегда. Это утверждение было доказано Хеммингсеном в [27].

В дальнейшем мы будем анализировать логарифмическое неравенство только для индуктивных размерностей ind и Ind. Для них логарифмическое неравенство в классе бикомпактов имеет место, если в сомножителях выполняется конечная теорема суммы. То есть верны следующие два утверждения:

1) Теорема (Пасынков Б.А. [7]). Ind 1x7^ IndX + IndY, если для любых замкнутых множеств А, В в X или в Y верно Ind A U В =

Max(IndA, IndB).

2) Аналогичная и даже более общая теорема имеет место в случае замены большой индуктивной размерности на малую индуктивную размерность, а именно, пространства X и Y достаточно считать тихоновскими [7].

В общем случае произвольных бикомпактов логарифмическое неравенство для индуктивных размерностей нарушается, что было доказано В.В.Филипповым [9], построившим еще в 1972 году неожиданный и трудный пример двух бикомпактов Х\ и Х2 таких, что IndXi — indXi = dimXi = г, для i = 1,2, но Ind Х\ х Х2 ^ ind Х\ х Х2 = 4 > 3 = IndX 1 + IndX2. В связи с этим, отметим результат И.К.Лифанова [5] о том, что произведение п одномерных в смысле Ind, (а значит и в смысле dim и ind) бикомпактов является n-мерным (во всех трех смыслах) бикомпактом. Из последнего результата следует, что улучшить пример Филиппова, взяв два одномерных в смысле Ind бикомпакта и получив в произведении нарушение логарифмического неравенства, невозможно.

Важным для нас является также результат Филиппова [10] о том, что ind I х X ^ indX + 1 для произвольного тихоновского пространства X и отрезка действительной прямой I. Таким образом, если при умножении на одномерный бикомпакт малая индуктивная размерность бикомпакта может увеличиться более чем на единицу, то при умножении на отрезок такое увеличение невозможно.

В определенном смысле простейшим обобщением отрезка являются линейно упорядоченные континуумы. Можно сказать, что среди одномерных бикомпактов линейно упорядоченные континуумы являются следующим по сложности классом после отрезка. В частности, произвольный линейно упорядоченный континуум наследственно коллективно нормален и каждая его точка обладает сколь угодно малыми окрестностями с не более чем двухточечными границами.

Простота структуры линейно упорядоченных континуумов позволяла надеяться, что логарифмическое неравенство для размерностей ind и Ind выполняется, если сомножители - бикомпакты и один из них линейно упорядочен. Оказывается, однако, что это не так. Первым основным результатом диссертации является

Пример 1.2.1. Существует такой линейно упорядоченный континуум Х\ и такой двумерный во всех смыслах (Ind, ind, dim) бикомпакт Х2, что Ind Xi х Х2 ^ ind Х\ х Х2 = 4 > 3 = IndX 1 + IndX2 = indX 1 + indX 2.

Отметим, что Xi является просто лексикографически упорядоченным произведением 1Т, где г - достаточно большой регулярный кардинал.

Перейдем ко второму основному результату диссертации.

Определенность малой индуктивной размерности для пространства влечет его регулярность. Поэтому, возможным положительным результатом могло бы стать выполнение логарифмического неравенства в случае, когда сомножители - регулярное пространство и отрезок действительной прямой, ведь согласно упомянутой теореме Филиппова, это неравенство имеет место, если на отрезок умножается тихоновское пространство.

Однако и в этом случае удается построить контрпример:

Пример 1.3.1. Существует такое регулярное пространство R, что indR = 2 и ind I х. R = 4.

Построению этого примера посвящен §3 главы 1.

Примеры 1.2.1. и 1.3.1. получены в результате усовершенствования метода Филиппова из [9].

В главе 2 исследуются некоторые проблемы, связанные: с уплотнениями (непрерывными взаимно-однозначными отображениями) конечных топологических степеней, а также, попутно, со связными расширениями топологических пространств.

Одним из основных вопросов, касающихся уплотнений является:

Вопрос 1. Для заданных классов топологических пространств Р и Q определить, можно ли каждое пространство из класса Р уплотнить на некоторое пространство из класса Q?

Если класс Q уже, чем класс Р, то можно говорить об улучшаемости свойств пространств с помощью уплотнений.

Следует отметить, что исследования проблемы улучшаемости различных свойств топологических пространств с помощью уплотнений имеют долгую историю. В частности, вопрос, поставленный П.С.Александровым, о нахождении достаточных и необходимых условий для уплотняемости пространства на бикомпакт интенсивно исследовался, в том числе Ю.М.Смирновым, А.С.Пархоменко, Е.Г.Пыткеевым и другими.

Хорошо известно, однако, что не всякое тихоновское пространство уплотняется на бикомпакт (например, пространство рациональных чисел).

Ослабляя условие бикомпактности, приходим к вопросу А.В.Архангельского [15] об уплотняемости произвольного тихоновского пространства на псевдокомпактное или линделефово пространство, решенному отрицательно В.В.Ткачуком [8].

При дальнейшем расширении класса Q получается другой вопрос

Архангельского, о возможности уплотнения каждого тихоновского пространства на пространство со счетным дискретным числом Суслина. Напомним, что дискретное число Суслина пространства X, обозначаемое dc{X) определяется так: dc(X) ^ г, если в пространстве X каждая дискретная система попарно непересекающихся открытых непустых подмножеств имеет мощность ^ т. Это еще один частный случай вопроса 1.

Другая общая проблема может быть сформулирована так: можно ли с помощью уплотнений улучшить свойства произведений, в частности, степеней топологических пространств.

Или, более конкретно,

Вопрос 2. Пусть P,Q - классы топологических пространств и X,Y £ Р. Всегда ли существует уплотнение пространства X х Y на пространство класса Q.

Например, известно, что класс линделефовых пространств не конечно мультипликативен. Можно ли произведение двух любых линделефовых пространств уплотнить на линделефово пространство? Вместо линделефовости можно рассматривать другое не конечно мультипликативное свойство, например, счетную компактность или псевдокомпактность.

Таким образом, оба указанных общих вопроса можно рассматривать по отношению к различным классам пространств. Следующая теорема позволяет получить отрицательный ответ на оба вопроса во многих случаях.

Теорема 2.1.1. Для любого тихоновского пространства Z найдется тихоновское пространство Y , такое что :

1. Y сохраняет многие свойства типа компактности (в частности, бикомпактность, псевдокомпактность, счетную компактность, паракомпактность, линделефовость, финальную компактность и т.д.) и нормальность пространства Z.

2. Каждое хаусдорфово уплотнение Н пространства Y содержит пространство Z в качестве открыто-замкнуто г о подмножества.

3. Каждое хаусдорфово уплотнение Н любой конечной степени Yn npocmpancmeaY содержит пространство Zn в качестве замкнутого подмножества.

Выведем ряд следствий из теоремы 2.1.1., улучшающих некоторые из многочисленных результатов, касающихся уплотняемости различных классов топологических пространств и произведений.

Так, если в качестве Z взять дискретное пространство произвольной мощности т, то, пользуясь пунктом 1 теоремы, получаем нормальное пространство У, не уплотняющееся ни на какое тихоновское пространство с дискретным числом Суслина меньшим г, это дает отрицательный ответ на упомянутый выше вопрос Архангельского (даже в более общей ситуации):

Следствие 2.1.4. Существует тихоновское пространство Y, не уплотняющееся ни на какое тихоновское пространство со счетным дискретным числом Суслина.

Это следствие стоит сопоставить с предшествующим положительным результатом И.В.Ященко [14] о том, что произвольное тихоновское пространство X веса не больше континуума все-таки уплотняется на тихоновское пространство со счетным дискретным числом Суслина.

Если же в качестве Z взять линделефово пространство, квадрат которого не нормален, (например, "стрелку"), то получится

Следствие 2.1.5. Существует линделефово npocmpancmeoY, квадрат которого не уплотняется ни на какое хаусдорфово финально компактное (возможно, не регулярное) пространство и ни на какое нормальное пространство.

Это следствие усиливает предшествующий результат Р.З.Бузяковой [4], о том, что найдутся такие линделефовы пространства X и У, что произведение X х Y не уплотняется ни на какое нормальное, а следовательно и линделефово пространство. Кроме того, усиливается пример А.Н.Якивчика [13], в котором построены такие финально компактные хаусдорфовы пространства X и У, что произведение X X Y не уплотняется ни на какое финально компактное хаусдорфово пространство.

В статье [1] вопрос 1 конкретизирован следующим образом:

Вопрос 3. Каково наилучшее свойство типа компактности V такое, что каждое тихоновское (хаусдорфово) пространство уплотняется на тихоновское (хаусдорфово) пространство с этим свойством?

Теорема 2.1.1. позволяет дать на этот вопрос фактически полностью отрицательный ответ. Действительно, пусть V - любое свойство, в том числе и типа компактности, наследуемое открыто-замкнутыми подпространствами. Тогда если произвольное тихоновское (хаусдорфово) пространство уплотняется на тихоновское (хаусдорфово) пространство со свойством V, то, согласно пункту 1 теоремы 2.1.1., этим свойством V должно обладать любое тихоновское (хаусдорфово) пространство.

Отметим, что О.И.Павлов [6] независимо получил теорему близкую к теореме 2.1.1., которая также дает ответ на вопрос 3 и следствие 2.1.4.

Вообще, метод доказательства теоремы 2.1.1. позволяет единообразно строить контрпримеры не только в случае уплотнений, но и в случае бикомпактных) расширений (а также других операций над топологическими пространствами).

Это демонстрируется в §2 главы 2.

Известно, что любое метризуемое пространство без точек локальной бикомпактности имеет связное бикомпактное расширение [23].

В связи с этим В.И.Пономарев поставил вопрос: всякое ли полное по Чеху линделефово пространство без точек локальной бикомпактности имеет связное бикомпактное расширение. Этот вопрос разрешается отрицательно даже в более общем виде, путем построения контрпримера:

Пример 2.2.1. Существует полное по Чеху линделефово пространство, без точек локальной бикомпактности, не имеющее связных регулярных расширений.

Его построение схоже с построением, использованным в теореме 2.1.1.

Основная идея построения примеров главы 2 заключается в присоединении к "массивному" бикомпакту "разреженного хвоста". Такое пространство будет достаточно "плохо" уплотняться и т.п.

В третьей главе диссертации рассматриваются вопросы, касающиеся радиальности, псевдорадиальности и полурадиальности.

Радиальные и псевдорадиальные пространства, введенные Херрли-хом [28] (см. [2]), являются прямыми обобщениями пространств Фреше-Урысона и секвенциальных пространств соответственно. Промежуточный класс полурадиальных пространств, определенный в статье [17], также может рассматриваться как обобщение класса секвенциальных пространств. Одной из основных проблем, касающихся радиальности и псевдорадиальности остается вопрос о том, сохраняется ли псевдорадиальность конечными произведениями в классе бикомпактов. Конечную мультипликативность класса псевдорадиальных бикомпактов удалось доказать лишь в некоторых дополнительных теоретико-множественных предположениях [29].

Давно было доказано [22], что произведение конечного числа радиальных бикомпактов, а также произведение радиального и псевдорадиального бикомпактов является псевдорадиальным. В тоже время, оставался открытым вопрос о псевдорадиальности счетного произведения радиальных бикомпактов (см. [18]). Его решение оказывается положительным. Более того, удается доказать следующее утверждение.

Теорема 3.3. Счетное произведение X = Xi полу радиальных бикомпактов Х{ псевдорадиалъно.

Этот результат нельзя усилить в рамках понятий радиальности, полурадиальности и псевдорадиальности без положительного решения вопроса о счетной мультипликативности класса псевдорадиальных бикомпактов. Действительно, уже произведение двух радиальных бикомпактов может не быть радиальным и произведение двух полурадиальных бикомпактов может не быть полурадиальным.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию свойства V-нормальности.

Говорим, что пространство X является У-"Р-пространством, где V -произвольное топологическое свойство, если пространство X2 \ А, где А - диагональ, обладает свойством V.

В частности, топологическое пространство X называется V-нор-мальным, если нормально пространство X2 \ А.

Еще в 1945 году В.Е.Шнейдер [11] доказал, что если X бикомпакт и диагональ есть Ga-множество в квадрате X2 (отсюда сразу следует V-нормальность X), то X метризуемо. Й.Хабер [21] сумел ослабить условие бикомпактности в этом результате Шнейдера до условия счетной компактности.

Грюнхаге [24] доказал, что каждый бикомпакт X, такой что X2 \ А паракомпактно, метризуем.

В 1990 г. А.В.Архангельский и А.П.Комбаров [16] доказали, что каждый V-нормальный бикомпакт имеет счетный характер. Заметим, что существует неметризуемый V - коллективно нормальный бикомпакт [25], следовательно, в теореме Грюнхаге нельзя заменить V-паракомпактность на V-нормальность.

В связи с этими результатами выглядит интересным вопрос Архангельского и Комбарова [16] о возможности ослабления бикомпактности до счетной компактности в их теореме. Они заметили, что их способ доказательства счетности характера V-нормального бикомпакта подходит и для счетно компактных V-нормальных пространств характера, не превосходящего . В главе 4 этот вопрос решается для любых счетно компактных V-нормальных пространств, при этом улучшается метод Архангельского и Комбарова:

4.6. Следствие. Псевдокомпактное V-нормальное пространство имеет счетный характер.

Это следствие выводится из более общего утверждения:

4.5. Теорема. Пусть X есть V-нормальное пространство и г есть регулярный кардинал такой, что всякое открытое покрытие пространства X мощности т содержит подпокрытие меньшей мощности. Тогда : 1. ф(Х)^т.

Обозначения и терминология

В основном обозначения и терминология следуют книге [12]. Мощность множества А обозначается через |А|. Буквами сх,/3,7 обозначаются ординалы, а буквами 5, Л, г, % - кардиналы. Каждый ординал а отождествляется со множеством всех ординалов, меньших ск, а каждый кардинал - с наименьшим ординалом соответствующей мощности. Для бесконечного кардинала г через т+ обозначается наименьший кардинал, больший г, а через 2Т или ехр т - мощность множества всех подмножеств множества имеющего мощность т. Как обычно, первый бесконечный ординал обозначается о>, первый несчетный ординал - u>i. Мощность континуума, то есть множества всех подмножеств ш может обозначаться с или 2Ш.

Через / обозначается отрезок [0,1] действительной прямой.

Для любого ординала а через а же будет обозначаться топологическое пространство всех ординалов меньших а с порядковой топологией. Через D(t) обозначается дискретное пространство мощности г, а через А{т) - его александровская бикомпактификация, то есть пространство мощности г с единственной неизолированной точкой.

Часто будет использоваться понятие полуоткрытого отображения. Отображение / : X —> Y называется полуоткрытым, если для любого непустого открытого подмножества U пространства X имеем Intf{U) ф 0. То есть образ всякого непустого открытого подмножества пространства X содержит некоторое открытое подмножество. Непрерывное взаимнооднозначное отображение называется уплотнением.

Если фиксирована ретракция г пространства Y на подмножество X, то говорим, что открытое подмножество V пространства Y имеет трубчатую структуру (вид) , если для некоторого открытого подмножества О пространства Y, содержащего X, имеем

ОПгч(У ПХ) С Onv сОПг-ЦУПХ)

Пусть фиксированы множества А, Б, М (обычно М одноточечно или бикомпакт). Говорим, что множество А устроено как множество В около М, если для некоторой окрестности О множества М имеем ОПА = ОпВ.

Через FrA обозначается граница множества А. При возможности различных объемлющих пространств пишем FrsA для обозначения границы множества А в пространстве В. Аналогично пишем IntA и 1пЬвА для обозначения внутренности множества А.

Перейдем к перечислению основных использующихся топологических кардинальнозначных инвариантов и их обозначений.

Пусть X есть топологическое пространство. Через w(X), хР0> d(X), ф(Х), с(Х), 1(Х) обозначаем соответственно его вес, характер, плотность, псевдохарактер, число Суслина, число Линделефа.

Пересечение семейства мощности г открытых подмножеств пространства X называется множеством типа GT, а его дополнение - множеством типа FT. Как обычно, вместо и пишем G$ и F^.

Все рассматриваемые топологические пространства предполагаются Т\ -пространствами.

1. Архангельский А.В., Некоторые последние достижения и открытые проблемы в общей топологии, Успехи Мат. Наук 52 (1997), 45-70.

2. Архангельский А.В., О некоторых свойствах радиальных пространств, Мат. заметки. 27 (1980), 95-104.

3. Барвайс Дж. (ред.), Справочная книга по математической логике т.2, "Наука", 1990.

4. Бузякова Р.З., Об уплотнении декартовых произведений на нормальные пространства, Вестник МГУ, сер. 1, 1 (1996), 17-19.

5. Лифанов И.К., О размерности произведения одномерных бикомпактов, ДАН СССР 180 (1968), 534-537.

6. Павлов О.И., Condensations of finite products, Сдано в печать.

7. Пасынков Б.А., Об индуктивных размерностях, ДАН СССР 189 (1969), 254-257.

8. Ткачук В.В., Наросты над дискретными пространствами и некоторые приложения, Вестник МГУ, сер. 1, 4 (1990), 18-21.

9. Филиппов В.В., Об индуктивной размерности произведения бикомпактов, ДАН СССР 202 (1972), 1016-1019.

10. Филиппов В.В., О размерности произведений топологических пространств, Fund. Math. 106 (1980), 181-212.П.Шнейдер В.Е., Непрерывные образы суслинских и борелевских множеств. Метризационные теоремы., ДАН СССР 50 (1945), 77-79.

11. Энгелькинг Р., Общая топология, М. Мир, 1986.

12. Якивчик А.Н., Об уплотнениях произведения финально компактных пространств, Вестник МГУ, сер. 1, 4 (1989), 84-86.

13. Ященко И.В., Пространство СР(Х) и некоторые вопросы теории непрерывных отображений, Канд. дис., М., 1994.

14. Arhangel'skii A.V., Some problems and lines of investigation in General Topology, Comm. Math. Univ. Carolinae 29 (1988), 611-629.

15. Arhangel'skii A.V. and Kombarov A.P., Properties of V-normal spaces., Top. Appl. 35 (1990), 121-126.

16. Bella A., Gerlits J., On a condition for the pseudoradiality of a product, CMUC 33 (1992), 311-313.

17. Bella A., Few remarks and questions on pseudoradial and related spaces, Top. and Appl. 70 (1996), 113-123.

18. Balogh Z., Dow A., Fremlin D.H., Nyikos P.J., Countable tightness and proper forcing, Bull. Amer. Math. Soc. (new series) 19 (1988), 295-298.

19. Beslagic A., A hereditarily normal square, preprint (1991).

20. Chaber J., Conditions which imply compactness in countably compact spaces, Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math. 24 (1976), 993-998.

21. Frolik Z., Tironi G., Products of chain-net spaces, Riv. Mat. Рига Appl. 5 (1989), 7-11.

22. Gruenhage G., Kulesza A., Le Donne A., Connectifications of metrizable spaces, Top. and Appl. 82 (1998).

23. Gruenhage G., Covering properties on X2 \ A, W-sets, and compact subsets of Yl-products, Top. and Appl. 17 (1984), 287-304.

24. Gruenhage G., Nyikos P.J., Normality in X2 for compact XTrans. Amer. Math. Soc. 340 (1993), 563-586.

25. Gruenhage G. and Pelant J., Analitic spaces and paracompactness of X2 \ A, Top. Appl. 17 (1984), 287-304.

26. Hemmingsen E., Some theorems on dimension theory for normal Haus-dorff spaces, Duke Math. J. 13 (1946), 495-504.84

27. Herrlich H., Quotienten qeordneter Raume und Folgenkonvergenz, Fund. Math. 61 (1967), 79-81.

28. Juhasz I., Szentmiklossy Z., Sequential compactness versus pseudo-radi-ality in compact spaces, Top. and Appl. 50 (1993), 47-53.

29. Малыхин Д.В., Счетно компактное V-нормальное пространство имеет счетный характер, Вестник МГУ, сер.1, 5 (1997), 31-33.

30. Малыхин Д.В., О расширениях топологических пространств, Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов" 2 (1998), 79-80.

31. Малыхин Д.В., Об индуктивной размерности произведений бикомпактов, Рукопись депонирована в ВИНИТИ 7 декабря 1998 г., номер 3594 В98 , 19 с.

32. Малыхин Д.В., Об индуктивной размерности топологических произведений, Рукопись депонирована в ВИНИТИ 7 декабря 1998 г., номер 3595 В98 , 13 с.

33. Малыхин Д.В., Об уплотнениях топологических пространств и произведений, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем, Сборник научных трудов, вып.2 (1998), М. "Станкин", 27-33.