Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004613925

На правах рукописи

ГЕНЗЕ Леонид Владимирович

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ БЭРОВСКИХ ФУНКЦИЙ, ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ КОНЕЧНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОБОДНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

? 3 ЯНВ £077

Томск - 2010

Работа выполнена на кафедре теории функций ГОУВПО «Томский государственный университет.»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Гулько Сергей Порфирьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Сипачёва Ольга Викторовна

Защита диссертации состоится 27 декабря 2010 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 212.267.21 при ГОУВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36, корпус 2, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУВПО «Томский государственный университет» по адресу г. Томск, пр. Ленина, 34а. Автореферат разослан 24 ноября 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

кандидат физико-математических наук, доцент

Лазарева Елена Геннадьевна

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт математики и механики Уральского отделения РАН (г. Екатеринбург)

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема классификации математических объектов является одной из центральных в математике. Так как многие объекты, возникающие в математике, обладают несколькими естественными структурами, то и классификация соответствующих объектов может быть различной. Так, например, множество Ср(Х) всех непрерывных вещественнознач-ных функций, определенных на тихоновском пространстве X, снабженное топологией поточечной сходимости, является одновременно топологическим кольцом, топологической группой, топологическим векторным пространством, равномерным пространством и просто топологическим пространством.

В 1951 г. A.A. Милютин в своей диссертации доказал, что если Л' и Y — несчетные метризуемые компакты, то банаховы пространства С(Х) и C(Y) линейно гомеоморфны, решив тем самым известную проблему Банаха (этот результат стал широко известен лишь в 1966 г. с выходом статьи [8]). В 1960 г. Ч. Бессага и А. Пелчинский в работе [12] дали полную классификацию банаховых пространств С{Х) для счетных (мстризуемых) компактов X относительно линейных гомеоморфизмов. Таким образом, теоремы Милютина и Бессаги-Пелчинского дают полную линейную гомеоморфную класификацию банаховых пространств С(Х) для метризуемых компактов X. В 1960 г. 3. Се-мадени [13] доказал, что при различных натуральных пит банаховы пространства C[l,a>i ■ гг] и С[l,a>i • т] не являются линейно гомеоморфными, продолжив тем самым классификацию Бессаги-Пелчинского на все отрезки ординалов [1,а] при а < lüx -у. В 1975 г. С.П. Гулько и A.B. Оськин ([5]) и С. В. Кисляков ([6]) независимо друг от друга дали полную линейную гомеоморфную классификацию банаховых пространств С[1, а] для произвольных ординалов а.

Ситуация с пространствами вида Ср(Х) более сложная. Так, из теоремы о замкнутом графике следует, что если X н Y — компакты и пространства СР(Х) и CP(Y) линейно гомеоморфны, то и банаховы пространства С(Х) и G{Y) линейно гомеоморфны. Обратное верно не всегда: например, известно,

что размерность тихоновских пространств сохраняется при линейных (|9]) и даже равномерных ([3]) гомеоморфизмах пространств функций, снабженных топологией поточечной сходимости. В частности, пространства непрерывных функций на канторовом множестве, на отрезке [0,1] и на квадрате [О, I]2 попарно не линейно гомеоморфны. Значит, аналога теоремы Милютина для пространств вида СР{Х) не существует. В тоже время, линейная гомеоморфная классификация пространств Ср[\, о] для произвольных ординалов а, как показал С. П. Гулько в [4], полностью совпадает с данной ранее ([5], [6]) классификацией банаховых пространств С[1,а]. В этой же статье параллельно была дана классификация (относительно топологических изоморфизмов) свободных топологических групп ^[1, а] и свободных абелевых топологических групп Л[1,а] отрезков ординалов, причем эта классификация, выраженная в терминах некоторых неравенств на а, фактически совпала с классификацией соответствующих пространств непрерывных функций

СР[1,а].

В настоящей диссертации нас будет интересовать линейная гомеоморфная классификация пространств Ср([1, а], У) всех непрерывных отображений /: [1,а] —> У и пространств Бр([1,а],У) бэровских функций /: [1,а] —+ У, определенных на отрезках ординалов со значениями в У. При этом данные пространства снабжаются топологией поточечной сходимости, а в качестве У рассматриваются либо конечные дискретные пространства (для непрерывных функций) либо вещественная прямая и двухточечное дискретное пространство (для бэровских функций). В том случае, когда У является конечным пространством мощности п, сложение функций происходит «по модулю п» и У отождествляется с циклической группой Ъп порядка п.

Уточним понятие пространства Ср([1,а],2П). Если п — простое число, то Ъп является полем и Ср([1,а],2п) — линейное пространство (над полем 2„). Если же п — число составное, то Ъп полем не является (оставаясь при этом абелевой группой) и следовательно, множество Ср([1, а],2П) есть абе-лева группа. Но везде в этой работе будет использоваться «линейная» тер-

микология для произвольного п: будем употреблять термин «линейное пространство» для множеств Ср([1,а],и термин «линейное отображение» для отображений таких множеств. Ни к каким противоречиям и некорректностям такая терминология не приведет.

Цель работы:

• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех бэров-ских функций, определенных на отрезках ординалов [1,а] с топологией поточечной сходимости.

• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех непрерывных п-значных функций, определенных на отрезках ординалов [1, а] с топологией поточечной сходимости.

• дать топологическую изоморфную классификацию свободных п-пери-одических топологических групп и свободных абелевых п-периодических топологических групп Л'П!(Х).

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Даны необходимые и достаточные условия того, что произвольная функция /: [1,а] —> У, где У — И или У = Ъ^, является бэровской (теорема 1.2).

• Установлено, что пространства бэровских функций на отрезках ординалов вида [1, а ■ /3\ разлагаются в ^-произведение более простых сомножителей (лемма 2.2).

• Даны необходимые и достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Вр[ 1,а] (теоремы 2.8, 3.4, 3.9, 3.12 и 3.13).

• Даны необходимые и достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Ср([1,а],2„) (теорема 6.1).

5

• Параллельно с классификацией пространств Ср([1,а],2п) дана классификация сопряженных пространств Ьр([ 1,а],2п) (теорема 6.1).

• Введены понятия свободной п-периодической топологической группы и свободной абелевой п-периодической топологической группы тихоновского пространства. Доказано существование таких групп (теоремы 4.3 и 4.7). Параллельно с классификацией пространств Ср([1, а], Ъ^) дана их классификация относительно топологических изоморфизмов (теорема 6.1).

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории топологических пространств функций, теории топологических групп.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей диссертации докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.), международной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005 г.), Международной топологической конференции «Александровские чтения» (Москва, 2006 г.), Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.), Всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2010 г.) и были опубликованы в работах [14] - [25]. Кроме того, они неоднократно докладывались на семинарах кафедры теории функций Томского государственного университета.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка литературы и списка обозначений. Глава I содержит три параграфа, глава II — четыре параграфа. Работа изложена на 75 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность выбранного направления научного исследования и излагаются основные результаты, полученные в диссертации.

В главе I приводится линейная гомеоморфная классификация пространств ¿?р([1,а],У) всех бэровских функций /: [1,а] —» У, определенных на отрезках ординалов. В качестве пространства У рассматривается либо вещественная прямая К, либо поле Ъг. Данные пространства снабжаются топологией поточечной сходимости. В §1 приводятся необходимые определения и доказывается теорема, характеризующая функции первого класса Бэра, заданные на отрезках ординалов. Из этой теоремы выводится, что любая функция класса А по классификации Бэра принадлежит первому классу Бэра и что произвольная функция, заданная на счетном отрезке ординалов [1,а], является функцией первого класса Бэра. В §2 доказывается лемма 2.2, которая оказывается ключевой в доказательствах утверждений из этого параграфа и приводятся достаточные условия на ординалы а и /?, при которых пространства Вр[1,а\ и Вр[1,/3\ линейно гомеоморфны. Лемма 2.2 позволяет представлять пространства вида Вр[ 1,а] для «больших» ординалов а в виде ^-произведений пространств вида Вр[\, 7] с «маленькими» ординалами 7. В §3 приведены необходимые условия на ординалы а и /?, при которых пространства Вр[1, а] и Вр[1,/3] линейно гомеоморфны.

Приведем основные определения. Пусть а — предельный ординал. Множество А С [1,») называется конфипальным в [1,о), если для каждого £ € [1, се) существует такой г] е А, что 77 ^ Известно [7, с. 282], что наименьший порядковый тип множеств А, конфинальпых в [1,а), является начальным ординалом; будем обозначать егос^а).

Определение 1.1. Пусть X и У — метризуемые пространства. Отображение /: X У называется отображением первого класса Бэра, если существует последовательность {/„ £ С(Х, У) : п е М} непрерывных отображений, поточечно сходящаяся к /. Множество всех отображений из X в У первого класса Бэра обозначим Вх(Х,У). Далее по индукции для произвольного ординала А < и)\ определяются отображения класса А следующим образом: / 6 В\{Х,У) тогда и только тогда, когда существует последовательность {/„ € В\п(Х, У) : Ап < А, п 6 М}, поточечно сходящаяся к /.

Можно распространить это определение на тот случай, когдаX — произвольный отрезок ординалов [1, от]. В этой ситуации имеет место следующая теорема.

Теорема 1.2. Отображение х: [1, а] —► Y является отображением первого класса Бэра тогда и только тогда, когда оно непрерывно во всех таких точках (3 € [1, от], что cf(/?) > ш.

Следствие 1.3. Если а < шi, то любое отображение х: [1,а] —> Y есть отображение первого класса, Бэра.

Из теоремы 1.2 следует, что для любого счетного ординала Л отображения класса Л по классификации Бэра совпадают с отображениями первого класса Бэра; поэтому вместо термина «отображение первого класса Бэра» в дальнейшем употребляется термин «бэровское отображение».

Приведем несколько дальнейших определений. Начальный (наименьший) ординал мощности Нт будем обозначать ojt (но вместо шо будем писать по традиции просто ш). Если {X, : s 6 .9} - семейство топологических векторных пространств, то [|{Х., : s G S} - их тихоновское произведение, а символом ^{A's : s € S} обозначается их ^-произведение (с центром в нуле), т.е. множество

{х б = в € 5} : |{а £ S : ф 0}| ^ К0}.

Если Xs — X для всех s е 5, то вместо : s G 5} будем писать

Z{X : m}, где m = \S\.

Если топологические векторные пространства Е и F линейно гомеоморф-ны, то будем писать Е ~ F.

Следующая лемма является ключевой во всех рассуждениях в §2.

Лемма 2.2. Пусть а и ¡3 — произвольные ординалы. Тогда

Bp{l,a-/3} ~ Вр[1,/3\ х £{Вр[1,а] : Щ}.

Из этой леммы следует, в частности, что в том случае, когда \/3\ < |а| или а = р, первый множитель будет «поглощаться» ^-произведением, т.е.

ha}: \Р\}.

Достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Вр[1,а] и Вр[1,Р\ приводятся в следующей теореме.

Теорема 2.8. (г) Для любых a, fi G 1) пространства Bp[l,a] и Bp[l.p] линейно гомеоморфны;

(ii) Для любых а, [3 € [¡¿>i,W2) пространства Вр[\,а\ и Вр[1,/3] линейно гомеоморфны;

(иг) Если а,Р € [иТ ■ п,и)т • (п + 1)), где п € N и и)т ^ ui2 — начальный ординал, то пространства Вр\\,а] и Вр[1,0\ линейно гомеоморфны;

(iv) Если а,(3 6 [шТ ■ иа,и}т ■ Чти); ¡de ljt, wa — начальные ординалы, причем шт ^ и>2 и ш ^ ш„ ^ шт, то пространства Вр[1,а] и Вр[1,(5] линейно гомеоморфны.

Отметим, что если пункт (г) в этой теореме прямо следует из следствия 1.3, то пункт («) выглядит несколько неожиданным.

Теорему 2.8 можно сформулировать иначе. Для этого рассмотрим класс ординалов

Д = {w,^} U {ш ■ п | ш,п — кардиналы, m > и 1 ^ n ^ m}.

Этот класс разбивает класс всех бесконечных ординалов на непересекающиеся полуинтервалы Is = [5,6+), где S,6+ е А и <5+ = min{7 € Д : 7 > <5}. В этих обозначениях теорема 2.8 примет такой вид: если ординалы а и ¡3 попадают в один и тот оке полуинтервал h, то пространства В,\ 1,а] и Вр[ 1,/3] линейно гомеоморфны.

Основой доказательства одной группы достаточных условий линейной гомеоморфности пространств Вр\\,а] в §3 являются следующие две леммы, являющиеся модификациями лемм из [2].

Лемма 3.2. (г) Пусть шТ — начальный ординал регулярной мощности и п,т < и>. Если Т: (Вр\\,и>г\)п —* (Вр\\,шт\)т — линейный гомеоморфизм, то множество

L = {ûi <UV ¡£¿1(1,0) = о, г = 1,... ,71 (T.x)j|[i.a) = 0,j = 1,...,ш

для каждого х = (xi,... ,х„) £ шт])"} 9

замкнуто и конфинально в [1,о;т).

(гг) Пусть шТ — начальный ординал регулярной мощность, ша и шр

— начальные ординалы, такие, что и ^ ыа < шТ, и) ^ шр < шт. Если Т: {^[^'''т] : Л{ВР[1,Шт] '■ — линейный гомеоморфизм, то множество

Ь= {а <иТ: я7|[1:0) = 0,7 < и)а <=> (Тж)^.^ = 0,6 < шр

для каждого х — 6 ^{Вр\1,шт] :

замкнуто и конфинально в [1,о;т).

Лемма 3.3. (г) Пусть и>Т — начальный ординал регулярной мощности, п,тп < и. ЕслиТ: (Вр[1,шт])п —> {Вр{ 1,и)г])т — линейный гомеоморфизм, то множество

М={а<иТ: Т ((В^[1,ит]Т) =

замкнуто и конфинально в [1,о>Т).

(гг) Пусть и>Т — начальный ординал регулярной мощности, и шр

— начальные ординалы, такие, что и ^ ша < шТ, и ^ и>р < ит. Если Т: : —» ^{Вр\\,шт\ : — линейный гомеоморфизм, то множество

М = {а < шТ : Т = М) = : «Л }

замкнуто и конфинально е [1 ,шТ).

С помощью двух вышеприведенных лемм не удается дать ответ на вопрос о линейной гомеоморфности пространств Вр[1,шт ■ ы„\ и Вр[1,ит ■ шт\ для регулярного изолированного ординала шт и а = т — 1. Приведем схему доказательства неэквивалентности этих пространств. Ниже У — это либо вещественная прямая, либо дискретное двоеточие.

Лемма 3.5. Если Т: Вр[\,ч>т ■ ша] Вр[1,шт ■ ыт] — произвольный линейный гомеоморфизм, то его можно продолжить до линейного гомеоморфизма Т: у^М!«,] у11,^]х[1,ыт]

Введем следующее обозначение. Пусть X — топологическое пространство, А — подмножество в X и ш — кардинал. Символом [Л] будем обозначать множество всех точек х € X, для которых каждое множество типа (?т (т.е. являющее пересечением не более чем ш открытых множеств), содержащее точку х, имеет непустое пересечение с А.

Пусть Т — линейный гомеоморфизм из предыдущей леммы.

Лемма 3.6. Отображение Т переводит • 0 точпо~

сти па (1,шт] : Нт}]^.

Лемма 3.7. (г) Произвольная функция х € уи.^М1."»] принадлежит множеству : тогда и только тогда, когда х непрерыв-

на в любой точке 7 € [1,и>Т] х [1)^], для которой сГ(7) € [ш1,иа].

(И) Функциях € принадлежит ]^{Вр[\,и>Т\ : }]^ тогда

и только тогда, когда х непрерывна в любой точке 7 € [1,и;т] х [1,шТ], для которой сГ(7) 6 [и1,ш„].

Лемма 3.8. (г) Если х € : ^т}]^ , то множество точек

7 со свойством с^) = юТ, в которых х отлична от нуля, не более чем счетно.

(И) Если х е : , то множество точек 7 со свой-

ством (Л^) ~ иТ, в которых х отлична от нуля, не более чем счетно.

Отдельного рассмотрения потребовал тот случай, когда ау является сингулярным ординалом.

Теорема 3.12. Пусть и>Т — сингулярный ординал. Тогда для любого а из [(ьу,и>т+1) пространства Вр[1, а] иВр[1,иТ] линейно гомеоморфны.

Сами необходимые и достаточные условия приводятся в теореме 3.13.

Теорема 3.13. Пусть [1,а] и [1,/3] — бесконечные отрезки ординалов. Тогда следующие условия эквивалентны:

(г) Пространства 1?р[1,а] и Вр[ 1,/?] линейно гомеоморфны;

(и) Выполнено одно из следующих взаимоисключающих условий:

• а,Ре

• а,Р е \u>i,ui2);

• а, р £ [шТуит+х), где и>т — сингулярный ординал;

• а,Р £ \и>т ■ Л, шт • Л+), где ит ^ Ш2 — несчетный регулярный ординал, А < и>Т —начальный (возможно, конечный) ординал иА+ — наименьший из начальных ординалов, больших А;

• а,/? € где и)т ^ и>2 — несчетный регулярный ординал.

В связи с этой теоремой отметим, что существует большая разница между регулярностью и сингулярностью ординала шТ применительно к линейной гомеоморфной классификации пространств бэровских функций.

Во второй главе приводится полная классификация пространств вида Cp([l,û],Zn) и сопряженных к ним пространств L,,([1,a], Zn) относительно линейных гомеоморфизмов. Так же дается полная классификация групп FIb1[1,q] и Л!"![1,а] относительно топологических изоморфизмов.

В §4 вводятся понятия свободной гг-периодической топологической группы и свободной абелевой п-периодической топологических группы тихоновского пространства X и доказывается их существование. При этом используется схема доказательства из [1]. В §5 излагается метод разложения групп F'"l[l,a]. Этот метод позволяет сводить изучение групп F'"l[l, а] для «больших» ординалов а к изучению групп F'"l[l, 7] для «маленьких» ординалов 7. В §6 приводятся необходимые и достаточные условия на ординалы а и /?, при которых пространства Cp([l,a],Zn) и Ср([ 1,/3],Z„) а также сопряженные к ним пространства Lp([l, о], Zn) и Lp(jl. /3], Zn) будут линейно гомеоморфны. Эти же условия па а и 0 оказываются необходимыми и достаточными для существования топологического изоморфизма между группами FH[1,q] и FW[ 1,0] и между группами Л1п1[1,а] и А^[1,0\. В §7 приводится явное описание топологии свободной 2-периодической топологической группы F'21(X) тихоновского пространства X в терминах непрерывных псевдо-мстрик на пространстве X и явное описание топологии этой же группы для метризуемого компакта X. Идея такого описания взята из [10] и [11].

12

Определение 4.1. Пусть п > 2 — некоторое натуральное число. Группу С с единицей е будем называть п-периоднческой, если дп = е для каждого деС.

Пусть п > 2 — некоторое фиксированное натуральное число иХ — произвольное множество. Формальное выражение вида Х\Х2 ■ - • х^, где все ж,- € А', будем называть словом. Слова будем обозначть символами с полужирным начертанием - например, а. Пустое выражение тоже будем называть словом и обозначать е.

Два слова будем называть эквивалентными, если одно из них можно получить из другого путем вычеркивания и вставки слов вида (Х1Х2 ... Ясно, что таким образом мы действительно вводим отношение эквивалентности на множестве всех слов. Класс эквивалентности, содержащий слово а, будем обозначать, как обычно, символом [а].

Заметим, что любое слово эквивалентно слову вида х^х^ ... х^, где а^ е X, £4 € {1,... ,п — 1} при i= 1,... ,к и х^ ф при г — 1,..., к — 1.

На множестве классов эквивалентностей слов заведем операцию умножения следующим образом: [а][Ь] = [аЬ], где аЬ — слово, в котором сначала идут все элементы слова а в их исходном порядке, а затем все элементы слова Ь (также в их исходном порядке).

Множество классов эквивалентностей слов (включая класс, содержащий пустое слово е) с только что введенной операцией умножения образует группу, которую мы обозначим(X) и будем называть свободной п-периодичес-кой группой, порожденной множеством X. Единицей в этой группе является класс, содержащий пустое слово, а обратный элемент к классу [х^х^2... х£кк] (где все 6 {1,..., п — 1}) — это класс {х^'^х^^1 ■ ■ ■ Очевидно, что

является п-периодичсской группой.

Определение 4.2. Группа , построенная выше, называется сво-

бодной п-периодической группой, порожденной множеством X.

Теорема 4.3. Для любого тихоновского пространства X существует п-периодическая топологическая группа

обладающая следующими

свойствами:

(КР1) X гомеоморфпо замкнутому подпространству в

(КР1) Алгебраически Р^п\Х) является свободной п-периодической группой, порожденной множеством X;

(№1) Если С — п-периодическая топологическая группа и /: X —> й -непрерывное отображение, то / можно продолжить до непрерывного гомоморфизма /:

^(Л) — с.

Определение 4.6. Группу ^"¡(Х), существование которой доказано в теореме 4.3, будем называть свободной п-периодической топологической группой пространства X (в смысле Маркова).

Определим теперь свободные абелевы п-периодические группы тихоновских пространств. Пусть п ^ 2 — фиксированное натуральное число и X — произвольное множество. Свободной абелевой п-периодической группой, порооюденной множеством X, будем называть прямую сумму семейства групп {Е* : х е X}, где группа изоморфна Ъп (аддитивной группе классов вычетов по модулю п) для каждого х 6 X. Обозначим эту группу Д^'(Х). Очевидно, что Ап\Х) является п-периодической группой. Элементы группы А^гЦХ) можно представлять себе так: это формальные конечные линейные комбинации а\х\ + 022-2 + ... + элементов множества X с коэффициентами а^ 6 причем две такие линейные комбинации равны тогда и только тогда, когда они отличаются, самое большее, порядком слагаемых. Сложение линейных комбинаций проводится формально, путем сложения коэффициентов при одинаковых хг и приведения их по модулю п.

Теорема 4.7. Для любого тихоновского пространства X существует абелева п-периодическая топологическая группа А^(Х), обладающая следующими свойствами:

(ANP1) X гомеоморфпо замкнутому подпространству в Л'Л1(Х);

(АКР1) алгебраически А^ (X) является свободной абелевой п-периодической группой, порожденной множеством X;

14

(А№1) любое, непрерывное отображение /: X —* С в произвольную абелеву п-периодическую топологическую группу С можно продолжить до непрерывного гомоморфизма /: Л'П'(Х) —+ С.

Определение 4.8. Группу Л^(Х), существование которой доказано в теореме 4-7, будем называть свободной абелевой п-периодической топологической группой пространствах (в смысле Маркова).

Чтобы сформулировать главный результат главы II, нам потребуется ввести еще 2 понятия.

Символом ЬР(Х, £„) обозначается множество всех непрерывных линейных отображений ф : Ср{Х,Ъп) —* снабженное слабейшей топологией, относительно которой каждое отображение ф >—► <?(/) непрерывно для любой функции / € Ср{Х,Ъп).

Символом Д5 обозначается класс всех ординалов вида Л ■ ст, где Л — бесконечный регулярный кардинал ист — (возможно конечный) кардинал, такой, что 1 ^ а < Л.

Главным результатом главы II является следующая теорема. Теорема 6.1. Для любых двух бесконечных отрезков ординалов [1, а] и [1, /3], где а ^ /3, следующие условия эквивалентны:

(1) группы и топологически изоморфны;

(2) группы Л'"'[1,а] и Л'"'[1,/3] топологически изоморфны;

(3) пространства Ср([1,а], 2„) и Ср([1,/?],2„) линейно гомеоморфны;

(4) пространства Ьр{{ 1,о],2п) и ¿р([1,/?],2„) линейно гомеоморфны;

(5) не существует ординала <5 е Д5 такого, что о<<5^/3.

Автор выражает признательность своему научному руководителю профессору Гулько Сергею Порфирьевичу за постановку задач, внимание к работе и помощь в оформлении диссертации.

Автор благодарит Хмылёву Татьяну Евгеньевну за помощь в работе над диссертацией, ценные советы и поддержку.

Литература

[1] Архангельский A.B. Топологические пространства и непрерывные отображения. Замечания о топологических группах. М.: Изд-во МГУ, 1969.

[2] Гулько С.П. Пространства непрерывных функций на ординалах и ультрафильтрах // Мат. заметки. 1990. Т. 47. № 4. С. 26- 34.

[3] Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Тр. МИАН СССР, 1992. Т. 193. С. 82-88.

[4] Гулько С.П. Свободные топологические группы и пространства непрерывных функций на ординалах // Вести. Томского гос. ун-та. 2003. Т. 280. С. 34-38.

[5] Гулько С.П., Оськин A.B. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах // Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9. № 1. С. 61-62.

[6] Кисляков C.B. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ординалах // Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16. С. 293-300.

[7] Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

[8] Милютин A.A. Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности // Теория функций, функц. анализ и прил. № 2. Харьков, 1966. С. 150 -156.

[9] Пестов В.Г. Совпадение размерностей dim /-эквивалентных топологических пространств // Докл. АН СССР, 1982. Т. 266. № 3. С. 553-556.

[10] Сипачева О.В. Описание топологии свободных топологических групп без использования универсальных равномерных структур. В сб. Общая топология. Отображения топологических пространств. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 122-130.

[11] Сипачева O.B. Топология свободной топологической группы // Фундаментальная и прикладная математика, 2003. Т. 9. № 2. С. 99-204.

[12] Bessaga С., Pdczyriski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia Math. 1960. V. 19. P. 53-62.

[13] Semadcni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian squares // Bull. Acad. Pol. sei. ser. math., astron. et phys., 1960. № 8. P. 81-84.

Работы автора по теме диссертации

[14] Гулько С.П., Гензе Л.В. О классификации пространств непрерывных функций и свободных топологических групп // Международная конференция по математике и механике: Тезисы докладов. Томск, 2003. С. 66.

[15] Гензе Л.В. Свободные булевы топологические группы // Материалы ХЫН Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 2005. С. 64.

[16] Гензе Л.В. Явное описание топологии свободных булевых топологических групп тихоновских пространств // Вести. Томского гос. ун-та: Общенаучный периодический журнал. Бюллетень оперативной научной информации. 2005. № 54. С. 23-30.

[17] Гензе Л.В., Гулько С.П. О свойствах свободной булевой топологической группы // Международная топологическая конференция «Александровские чтения», поев. 110-летию со дня рожд. акад. П.С. Александрова: Тезисы докладов. М.: МГУ, 2006. С. 11.

[18] Гензе Л.В. Свободные булевы топологические группы // Вести. Томского гос. ун-та. 2006. № 90. С. 11-13.

[19] Хмылева Т.Е., Гензе JI.B. Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости, и их i-эквивалентность // Всероссийская конференция по математике и механике: Тезисы докладов. Томск, 2008. С. 112-113.

[20] Гензе JI.B., Гулько С.П., Хмылева Т.Е. Классификация свободных булевых топологических групп на ординалах // Вести. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 23-31.

[21] Хмылева Т.Е., Гензе Л.В. Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости и их /-эквивалентность // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2008. № 3(4). С. 35-41.

[22] Гензе Л.В., Гулько С.П., Хмылева Т.Е. Классификация пространств бэ-ровских функций на отрезках ординалов // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2010. С. 103-109.

[23] Гензе Л.В., Гулько С.П., Хмылева Т.Е. Классификация пространств бэ-ровских функций на отрезках ординалов // Труды института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 3. С. 61-66.

[24] Гензе Л.В. Свободные n-периодические топологические группы // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 23-28.

[25] Genze L.V., Gul'ko S.P., Khmyleva Т.Е. Classification of continuous n-valued function spaces and free periodic topological groups for ordinals // Top. Proc. 2011. V. 38. P. 1-15. (E-published on June 30, 2010. URL: http: //topology.auburn.edu / tp/reprints / v38/)

Тираж 100 экз. Отпечатано в ООО «Позитив-НБ: г. Томск, пр. Ленина, 34а

\

Основные обозначения

Введение

Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ БЭРОВСКИХ ФУНКЦИЙ НА ОТРЕЗКАХ ОРДИНАЛОВ

§1. Классификация Бэра.

§2. Достаточные условия линейной гомеоморфности

§3. Необходимые условия линейной гомеоморфности.

Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ КОНЕЧНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОБОДНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП ОТРЕЗКОВ ОРДИНАЛОВ

§4. Свободные п-периодические топологические группы

§5. Метод разложения свободных ^-периодических топологических групп

§6. Классификация пространств непрерывных конечиозначных функций и свободных п-периодических топологических групп

§7. Явное описание топологии свободных булевых топологических групп

Актуальность темы. Проблема классификации математических объектов является одной из центральных в математике. Так как многие объекты, возникающие в математике, обладают несколькими естественными структурами, то и классификация соответствующих объектов может быть различной. Так, например, множество СР(Х) всех непрерывных веществен-нозначных функций, определенных на тихоновском пространстве X, снабженное топологией поточечной сходимости, является одновременно топологическим векторным пространством, равномерным пространством, топологическим кольцом, топологической группой и просто топологическим пространством.

В 1951 г. A.A. Милютин в своей диссертации доказал, что если X и Y — несчетные метризуемые компакты, то банаховы пространства С(Х) и С(У) линейно гомеоморфны, решив тем самым известную проблему Банаха (этот результат стал широко известен лишь в 1966 г. с выходом статьи [14]). В 1960 г. Ч. Бессага и А. Пелчинский [22] дали полную классификацию банаховых пространств С(Х) для счетных (метризуемых) компактов X относительно линейных гомеоморфизмов. Таким образом, теоремы Милютина и Бессаги-Пелчинского дают полную линейную гомеоморфную класификацию банаховых пространств С(Х) для метризуемых компактов X. В 1960 г. 3. Семадени [26] доказал, что при различных натуральных пит банаховы пространства С[ 1, o^i • п] и C[l,cui • m] не являются линейно гомеоморфными, продолжив тем самым классификацию Бессаги-Пелчинского на все отрезки ординалов [1, а] при а < üji • и. В 1975 г. С. П. Гулько и A.B. Оськин ([9]) и C.B. Кисляков ([11]) независимо друг от друга дали полную линейную гомеоморфную классификацию банаховых пространств С[1,а] для произвольных ординалов а.

Ситуация с пространствами вида СР(Х) более сложная. Так, из теоремы о замкнутом графике следует, что если X и Y — компакты и пространства СР(Х) и CP(Y) линейно гомеоморфны, то и банаховы пространства С(Х) и C(Y) линейно гомеоморфны. Обратное верно не всегда: например, известно, что размерность тихоновских пространств сохраняется при линейных ([16]) и даже равномерных ([7]) гомеоморфизмах пространств функций, снабженных топологией поточечной сходимости. В частности, пространства непрерывных функций на канторовом множестве, на отрезке [0,1] и на квадрате [О, I]2 попарно не линейно гомеоморфны. Значит, аналога теоремы Милютина для пространств вида СР(Х) не существует. В тоже время, линейная гомеоморфная классификация пространств Ср[ 1,а] для произвольных ординалов а, как показал С. П. Гулько в [8], полностью совпадает с данной ранее ([9], [11]) классификацией банаховых пространств С[ 1, а]. В этой же статье параллельно была дана классификация (относительно топологических изоморфизмов) свободных топологических групп F[l,a] и свободных абелевых топологических групп А[1,а] отрезков ординалов, причем эта классификация, выраженная в терминах некоторых неравенств на а, фактически совпала с классификацией соответствующих пространств непрерывных функций Ср[1,а].

В настоящей диссертации нас будет интересовать линейная гомеоморф-пая классификация пространств Ср([1, а], У) всех непрерывных функций /: [1, а] —> Y и пространств Bp(Jl, а], У) бэровских функций /: [1, а] —> Y, определенных на отрезках ординалов со значениями в Y. При этом данные пространства снабжаются топологией поточечной сходимости, а в качестве Y рассматриваются либо конечные дискретные пространства (для непрерывных функций) либо вещественная прямая и двухточечное дискретное пространство (для бэровских функций). В том случае, когда Y является конечным пространством мощности п, сложение функций происходит «по модулю п» и У отождествляется с циклической группой Zn порядка п.

Уточним понятие пространства Ср([1, а], . Если п — простое число, то Ъп является полем и Ср([1, ее], — линейное пространство (над полем 2П). Если же п — число составное, то Zn полем не является (оставаясь при этом абелевой группой) и следовательно, множество Ср([1, а], есть абелева группа. Но везде в этой работе будет использоваться «линейная» терминология для произвольного п: будем употреблять термин «линейное пространство» для множеств Ср([1, а], и термин «линейное отображение» для отображений таких множеств. Ни к каким противоречиям и некорректностям такая терминология не приведет.

Цель работы:

• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех бэ-ровских функций, определенных на отрезках ординалов [1,а] с топологией поточечной сходимости.

• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех непрерывных п-значных функций, определенных на отрезках ординалов [1,о;] с топологией поточечной сходимости.

• дать топологическую изоморфную классификацию свободных п-пери-одических топологических групп и свободных абелсвых п-периодических топологических групп А^п\Х).

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Даны необходимые и достаточные условия того, что произвольная функция /: [1, а] —> У, где У = К или У = является бэровской (теорема 1.2).

• Установлено, что пространства бэровских функций на отрезках ординалов вида [1 ,сх • ¡3] разлагаются в ^-произведение более простых сомножителей (лемма 2.2).

• Даны необходимые и достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Вр[1,а] (теоремы 2.8, 3.4, 3.9, 3.12 и 3.13).

• Даны необходимые и достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Ср([1, а], Zn) (теорема 6.1).

• Параллельно с классификацией пространств Ср([1, а], Zn) дана классификация сопряженных пространств Lp([l, а], Zn) (теорема 6.1).

• Введены понятия свободной тг-периодической топологической группы и свободной абелевой n-периодической топологической группы тихоновского пространства. Доказано существование таких групп (теоремы 4.3 и 4.7). Параллельно с классификацией пространств Ср[[ 1, а], Zп) дана Pix классификация относительно топологических изоморфизмов (теорема 6.1).

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории топологических пространств функций, теории топологических групп.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей диссертации докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.), международной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005 г.), Международной топологической конференции «Александровские чтения» (Москва, 2006 г.), Всероссийской конференции по математике и механртке (Томск, 2008 г.), Всероссийской молодежной школ е-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2010 г.) и были опубликованы в работах [29] - [40]. Кроме того, они неоднократно докладывались на семинарах кафедры теории функций Томского государственного университета.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка литературы и списка обозначений. Глава I содержит три параграфа, глава II — четыре параграфа. Работа изложена на 75 страницах.

1. Архангельский A.B. Топологические пространства и непрерывные отображения. Замечания о топологических группах. М.: Изд-во МГУ, 1969.

2. Архангельский A.B. Канторовская теория множеств. М.: Изд-во МГУ, 1988.

3. Архангельский A.B. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Граев М.И. Свободные топологические группы // Изв. АН СССР, сер. матем. 1948. Т. 12. № 3. С. 279-324.

5. Граев М.И. Теория топологических групп I // УМН, 1950. Т. 5. № 2. С. 3-56.

6. Гулько С.П. Пространства непрерывных функций на ординалах и ультрафильтрах // Мат. заметки. 1990. Т. 47. № 4. С. 26-34.

7. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Тр. МИАН СССР, 1992. Т. 193. С. 82-88.

8. Гулько С.П. Свободные топологические группы и пространства непрерывных функций на ординалах // Вестн. Томского ун-та. 2003. Т. 280. С. 34-38.

9. Гулько С.П., Оськин A.B. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах // Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9. № 1. С. 61-62.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

11. Кисляков C.B. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ординалах // Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16. С. 293-300.

12. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

13. Марков A.A. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР, сер. матем., 1945. Т. 9. № 1. С. 3-64.

14. Милютин A.A. Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности // Теория функций, функц. анализ и прил. № 2. Харьков, 1966. С. 150-156.

15. Окунев О.Г. Метод построения М-эквивалентных пространств // 5-й Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее прил. 1985. С. 186.

16. Пестов В.Г. Совпадение размерностей dim ¿-эквивалентных топологических пространств // Докл. АН СССР, 1982. Т. 266. № 3. С. 553-556.

17. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

18. Сипачева О.В. Описание топологии свободных топологических групп без использования универсальных равномерных структур. В сб. Общая топология. Отображения топологических пространств. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 122-130.

19. Сипачева О.В. Топология свободной топологической группы // Фундаментальная и прикладная математика, 2003. Т. 9. № 2. С. 99-204.

20. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М.: Наука, 1975.

21. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

22. Kechris A. Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995.

23. Mazurkiewicz S., Sierpiriski W. Contributions a la topologie des ensembles denombrables // Fund. Math. 1920. V. 1. P. 17-27.

24. Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian squares // Bull. Acad. Pol. sci. ser. math., astron. et phys., 1960. № 8. P. 81-84.

25. Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions. Warszawa: PWN, 1971.

26. Sierpinski W. Cardinal and ordinal numbers. Warszawa: PWN, 1965.Работы автора по теме диссертации

27. Гулько С.П., Гензе Л.В. О классификации пространств непрерывных функций и свободных топологических групп // Международная конференция по математике и механике: Тезисы докладов. Томск, 2003. С. 66.

28. Гензе Л.В. Свободные булевы топологические группы // Материалы ХЬШ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 2005. С. 64.

29. Гензе Л.В. Явное описание топологии свободных булевых топологических групп тихоновских пространств // Вестн. Томского ун-та: Общенаучный периодический журнал. Бюллетень оперативной научной информации. 2005. № 54. С. 23-30.

30. Гензе Л.В., Гулько С.П. О свойствах свободной булевой топологической группы // Международная топологическая конференция «Александровские чтения», поев. 110-летию со дня рожд. акад. П.С. Александрова: Тезисы докладов. М.: МГУ, 2006. С. 11.

31. Гензе Л.В. Свободные булевы топологические группы // Вестн. Томского ун-та. 2006. № 90. С. 11-13.

32. Хмылёва Т.Е., Гензе Л.В. Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости, и их I-эквивалентность // Всероссийская конференция по математике и механике: Тезисы докладов. Томск, 2008. С. 112-113.

33. Гензе Л.В., Гулько С.П., Хмылева Т.Е. Классификация свободных булевых топологических групп на ординалах // Вестн. Томского ун-та. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 23-31.

34. Хмылева Т.Е., Гепзе Л.В. Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости и их /-эквивалентность // Вестн. Томского ун-та. Математика и механика. 2008. N° 3(4). С. 3541.

35. Гензе Л.В., Гулько С.П., Хмылева Т.Е. Классификация пространств бэровских функций на отрезках ординалов // Труды института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 3. С. 61-66.

36. Гензе JI.В. Свободные n-периодические топологические группы // Вести. Томского ун-та. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 2328.