Показатели линейных систем как бэровские функции на различных топологических пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

РГБ ОД

V ;ЬВ 1ВЭ5

На правах рукописи

АГАФОНОВ ВЛАДИМИР ГЕЛИОСОВИЧ

уг сТ7,9

ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ КАК ЮРОВСКИЕ ФУНКЦИИ НА РАЗЛИЧНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ (специальность - 01.01.02-дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Миллионщиков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е.А.Гребеников, кандидат физико-математических наук, доцент С.А.Гришин.

Ведущая организация - Институт математики АН Беларуси.

Защита диссертации состоится I марта 1996 года, в 16 час.05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, по адресу: 119899,ГСП,Москва, Воробьевы горы, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан I февраля 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы.

Задачи об оценке роста решений линейной системы дифференциальных уравнений и изучение поведения оператора Коши при различных возмущениях исходной системы привели к возникновению целого семейства показателей линейной системы.

Надо заметить,что процесс пополнения этого семейства новыми членами продолжается и,вероятно, будет закончен еще не скоро.

Непосредственная связь с теорией устойчивости и возможность использования в различных приложениях быстро сделали показатели объектами,представляющими самостоятельный интерес для специалиста по качественной теории дифференциальных уравнений.

При изучении показателей как функций на множестве линейных систем получить определенную информацию о структуре этих функций,об устройстве множества точек непрерывности позволяет применение теории Бэра.

Одним из важных вопросов теории Бэра является вопрос о наименьшем классе Бэра к которому принадлежит

бэровская функция .Такие вопросы уже изучались

для показателей Ляпунова однородных н неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений. Обозначим через ^ множество матриц размера И^ К- , компоненты которых кусочно-непрерывные ограниченные на положительной полуоси функции.

Обозначим через 3 множество пар I где

Д (-(:) -матрица размера И. * К ,а - И- -мерная

вектор-функция.Компоненты и суть функции

кусочно-непрерывные,равномерно-ограниченные на положительной полуоси.

Заметим,что под кусочно-непрерывной функцией,определенной на положительной полуоси,в работе понимается функция.непрерывная на каждом конечном отрезке,принадлежащем положительной полуоси,всюду, кроме быть может конечного числа точек,где она имеет разрывы первого рода.

Рассмотрим однородную и неоднородную системы дифференциальных уравнений.

X - X , (±)

х = АФэс + {Ш, (2)

пк-х & К .

1.Бэр Р."Теория разрывных функций".М.-Л.:ГТТИ.1932.136 стр.

2.Хаусдорф Ф."Теория множеств".М.-Л.:011ТИ.1937.304 стр.

В.М.Миллионщиков в работах[здоказал,что показатели Ляпунова однородной и неоднородной системы дифференциальных уравнений-суть функции,принадлежащие второму классу Бэра на множествах 3 " 5 ,наделенных компактно-открытой топологией .

М.И.Рахимбердиев в работе [^9 ] доказал,что если множество ^ наделить топологией равномерной сходимости на положительной полуоси ,тогда,если размерность системы (1) больше 1 то показатели Ляпунова )•••) . суть функции,

не принадлежащие первому классу Бэра на этом топологическом пространстве

3 .Миллионщиков В.М."Бэровские классы функции и показатели

Ляпунова".1.Дифференц.уравнения.16. 3( 1930) , ■ С. 1408-1416.

4.Миллионщиков В.М."Бэровские классы функций и показатели

Ляпунова".2.Дифференц.уравнения.16. 9 ( 1980 ) , • С. 1587-1598.

5.Миллионщиков В.М."Бэровские классы функций и показатели

Ляпунова".3.Дифференц.уравнения.16. 10( 1980; 1 .С . 1766-1785

6.Миллионщиков В.М."Показатели Ляпунова неоднородных линейных систем".Дифференц.уравнения.1988.24. 1 2.С.2 1 79-2180.

7.Миллионщиков D.M."Формулы для показателей Ляпунова неоднородных линейных систем".Дифференц.уравнения.1988.24. 12. С.2183.

8.Миллионщиков В.М."Показатели Ляпунова как функции параметра ".Мате м.сборни к.1988. 137.вып.3.С.364-380.

9.Рахимбердиев М.И."0 бэровском классе показателей Ляпунова" . Матем . заметки . 1 982 . 3 1 . вып.6.С.925-931.

гль ^ /

Если размерность Н. — 4. .тогда показатель

есть функция непрерывная и значит принадлежит нулевому классу Бэра на этом пространстве .

О. И.Морозов в работе доказал, что если размерность

системы (1) больше единицы,то показатели А, , 1 , суть функции,не принадлежащие первому

классу Бэра на множестве .наделенном топологией рав-

номерной сходимости на положительной полуоси.Для И. — А О.И.Морозов доказал,что показатели

к ± . Х2 ,суть функции ,не принадлежащие нулевому классу Бэра на этом пространстве.

Цель работы.

Исследовать вопрос о том,к каким классам Бэра принадлежат показатели Ляпунова однородных и неоднородных линейных систем и показатели Иэобова линейных однородных систем как функции на весовых пространствах.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа,методы теории показателей Ляпунова (см. [З^] ) и методы теории бэ-ровских функций (см.

Научная новизна диссертации. Найдены условия на весовую функцию достаточные для того, чтобы показатели Ляпунова однородной и неоднородной систем :1) были постоянны,2)не принадлежали первому классу Бэра.Аналогичные исследования проведены для показателей Изобова линейной однородной системы.

10.Морозов О.И."О неоднородных линей

бэровском классе показателей ных систем".Вестник МГУ.1991

Ляпунова . 6.С.22-

Найдены условия на весовую функцию достаточные для того, чтобы старший показатель Ляпунова линейного неоднородного дифференциального уравнения имел всюду плотное множество точек непрерывности.

Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и пяти глав, изложена на 107 страницах.Библиографический список содержит 19 наименований.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер,ее результаты могут найти применение в качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории показателей Ляпунова.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ (рук.проф. В.А.Кондратьев,проф.В.М.Миллионщиков,проф.Н.Х.Розов,в 19931995 г.),на расширенных заседаниях семинара им.Петровского и Московского Математического общества (в 1994,1995 г.) Публикации.

По теме диссертации опубликованы 4 работы (список приведен в конце автореферата).Работ,написанных в соавторстве,нет.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко изложены основные результаты диссертации.

Б первой главе настоящей работы даны необходимые определения из теории Бэра и пояснения к задаче о наименьшем классе Бэра бэровской функции.

Условие 0.1.

^(•4:) кусочно-непрерывная , положительная функция , заданная на положительной полуоси.

Зададим на множестве топологию .Базой топологии

будут являться множества {^(А) , где Аб^ :

= [А, , £>оУ .

Полученное топологическое пространство обозначим .

Зададим на множестве топологию.Базой топологии бу-

дут являться множества . где /?> 2 0 5 :

ЧъМ) = {(мобз --^ссос {т^шмю-ъфв^н

Полученное топологическое пространство обозначим Зр • Во второй главе даны достаточные условия на топологию,которой наделяется множество 5 (а точнее,условия на функ-

цию у("к) )>при которых решается задача о наименьшем классе Бэра показателей Ляпунова системы В дальнейшем всюду будем предполагать,что функция удовлетворяет условию 0.1. Теорема 2.1.

Пусть функция такова,что

Тогда для всякого

Цфпоказатели Ляпунова 1К суть функции нулевого класса Бэра на ^^

Теорема 2.2. Пусть

Пусть функция такова,что

Тогда для всякого |<[ 0. • • показатели /к

суть функции,не принадлежащие первому классу Бэра на

V

Далее в главе 2 доказывается,что условия на функцию ^ С~Ь) в теореме 2.1 и теореме 2.2 не являются необходимыми .

Замечание 2.1.

Условие в теореме 2.1 и условие ^ ~ 00

в теореме 2.2 не являются необходимыми для выполнения утверждений соответствующих теорем.

Заметим,что результаты работы И.И.Рахимбердиева сле-

дуют из теоремы 2.2,если в качестве функции Л £Ь) взять

-у

константу.

В третьей главе даны условия на топологию,которой наделяется множество 2> (точнее условия на функцию ^ ), при которых решается задача о наименьшем классе Бэра показателей Ляпунова системы Теорема 3.1.

Пусть функция такова,что

О Г"? ^ "

Тогда для вся

кого -..)ННпоказатели Ляпунова

суть функции нулевого класса Бэра на

Теорема 3.2. Пусть функция такова, что

¿я - к&Л^у^

Тогда для всякого 1С&^ í показатели суть

&

функции,не принадлежащие первому классу Бэра на ор • Замечание 3.1.

Условие в теоРеме 3.1 и условие —

в теореме 3.2 не являются необходимыми для выполнения утверждений соответствующих теорем. Заметим,что результаты работы ^О^ О.И.Морозова при следуют из теоремы 3.2, если в качестве функции взять константу. Если КЯ- ,то теорема 3.2

усиливает результат О.И.Морозова и дает окончательный ответ на вопрос о наименьшем классе Бэра показателей Ляпунова неоднородного линейного уравнения как функций на пространстве

Класс Бэра бэровской функции тесно связан со свойствами множества точек непрерывности функции.Так,для бэров-ских функций нулевого класса множество точек непрерывности есть все топологическое пространство.Для функций на топологическом пространстве,метризуемом полной метрикой (см. ), принадлежащих первому классу Бэра, множество точек непрерывности всюду плотно.Для функций более высокого класса Бэра указанное свойство плотности может не иметь места.

В четвертой главе дается условие на топологию,которой наделяется множество 5 ,при котором старший показатель Ляпунова неоднородного линейного дифференциального уравнения

имеет всюду плотное множество точек непрерывности;напомним, ,что из результатов теоремы 3.2 следует,что показатель

есть функция,не принадлежащая первому классу Бэра. Теорема 4.1. Пусть *{[- А-

Пусть функция такова ,что выполнено соотношение:

Тогда множество точек непрерывности показателя всюду

плотно в пространстве

В пятой главе исследуются вопросы бэровскон классификации нижнего и верхнего показателя Изобова однородного линейного дифференциального уравнения и дается условие на топологию, котороп наделяется множество СЪ ,прн котором решает-

ся вопрос о наименьшем классе Бэра этих показателей. Определение 5.1.

азыва-

Верхним показателем Изобова (') системы ^к) н ется величина |<

в^+0 (Я

где ^ (й) -оператор Коши системы ^¿^ Определение 5.2. Нижним показателем Изобова ) системы н

величина ^

дп\--Ьм, екгЛ\\%1А ,

где )(д ({¡¡З) -оператор Коши системы Зададим на множестве компактно-открытую топологию.

Обозначим получившееся топологическое пространство через

азывается

Теорема 5.1.

Функции У(-) и А(') суть функции,принадлежащие третьему классу Бэра на топологическом пространстве Теорема 5.2. Пусть функция ^ {~Ь) такова, что

Тогда показатели (') и

Ы-) суть функции нулевого

ь-

класса Бэра на топологическом пространстве ^

Теорема 5.3. Пусть

Пусть функция [■{;) ограничена снизу положительным числом.

Тогда показатели и суть функции,не принад-

лежащие первому классу Бэра на

Заметим, что при К—1 показатели Д) и [' ) совпадают с показателем Ляпунова,который для всякой равномерно-ограниченной функции ^^ есть функция нулевого класса Бэра на пространстве ^^ Замечание 5.1.

Условие, накладываемое на функцию в теореме 5.3,

не является необходимым .

Автор выражает благодарность Б.М.Миллионщикову за постоянное внимание к работе и И.Н.Сергееву за полезное обсуждение.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1.Агафонов В.Г."О классе Бэра показателя Изобова".Днфференц. уравнения.1993.Т.29, 6.С.1092-1093.

2.Агафонов В.Г."О точках непрерывности показателя Ляпунова неоднородного уравнения".Успехи мат.наук.1994.Т.49,вып.4.С.93.

3.Агафонов В.Г."О классе Бэра верхнего показателя Изобова". Дифференц.уравнения.1994.Т.30, 6.С.1089.

4.Агафонов В.Г."О классе Бэра экстраординарных показателей Ляпунова".Успехи мат.наук.1995.Т.50,вып.4.С.107.