Пространства раздельно непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

№

О

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

Отделсалгебры и топологии

На правах рукописи

ХОХЛОВ Алексей Григорьевич

УДК 515.12

ПРОСТРАНСТВА РАЗДЕЛЬНО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01. —- математический анализ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

научные руководители

доктор физико-математических

наук

Н.В.Величко

доктор физико-математических

Е.Г.Пыткеев

ЕКАТЕРИНБУРГ 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................................................................................3

° §0. Предварительные сведения.........................................................16

§1. Топологические и линейно топологические

свойства пространств СГ(Х\Х.. .хХп)............................................19

§2. Пространства СГ(Х х У) и их вложения

в бэровские пространства................................................................36

§3. Двойственность и вложения в Е-произведение.........................47

Литература......................................................................................6^!

ВВЕДЕНИЕ.

Пространства непрерывных вещественных функций на топологическом пространстве X, в топологии поточечной сходимости — СР(И) имеют прямое отношение к слабой топологии банахова пространства. Хорошо известно, что если Е — банахово пространство в слабой топологии тш, то (Е. тш) линейно гомео-морфно некоторому замкнутому векторному подпространству Ср(и(Е*)), где 11(Е*) — единичный шар сопряжённого пространства Е* с и;*-топологией [5]. Поэтому в терминах СР(Х) легко может быть переформулировано большинство теорем и задач, относящихся к слабой топологии банаховых пространств. Большое значение в функциональном анализе имеют слабая сходимость, слабая компактность и т.д. Эти понятия в конкретных пространствах рассматривались ещё Д.Гильбертом, Ф.Риссом, а затем в нормированных пространствах С.Банахом и др. С работ В.Л.Шмульяна и В.Эберлейна началось собственно топологическое исследование слабой топологии банаховых пространств. А.Гротендик, продолжая их исследования, обобщил и одновременно упростил их результаты на случай подмножеств в пространстве СР(Х) где X — произвольный компакт [22].

Примерно 25 — 30 лет назад к изучению этих пространств подключились и топологи. Здесь получено много сильных результатов, в том числе и решение некоторых проблем, поставленных в работах по функциональному анализу.

Из российских математиков здесь можно особенно выделить А.В.Архангельского и его учеников, Н.В.Величко, С.П.Гулько, а из иностранных — Р.Поля, Т.Талагранда, Мак Коя, Герлича, К.Альстера.

Некоторые итоги, а также постановки нерешённых проблем содержатся в обзорных статьях, монографиях [27], [3], [4]. Закрепился за этой обширной областью исследований и термин — Ср-теория.

5 Помимо пространств непрерывных функций для многих во-

с?>

просов анализа и дескрептивной теории множеств естественно рассматривать пространства бэровских функций. Эти пространства, как правило, наделяются топологиями поточечной или равномерной сходимости. В последние 10 — 20 лет особенно возрос интерес к В^Х) — пространствам функций первого бэров-ского класса. Это связано с тем, что некоторые задачи функционального анализа сводятся к рассмотрению топологических вопросов в В\(Х). Здесь можно выделить работы Розенталя, Роджерса, Джейна, Фремлина, Годфруа, Бургена.

Пространства раздельно непрерывных отображений, наряду с пространствами непрерывных, бэровских и измеримых отображений — классические объекты анализа.

В диссертации изучаются пространства раздельно непрерывных вещественных функций — СГ(Х\ х ... х Хп) , определённых на произведении топологических пространств Х{, 1 < г < п, и наделённые топологией поточечной сходимости, то есть топологией, индуцированной степенью прямой цХ1Х---хХп, рассматриваемой в тихоновской топологии. Таким образом, СР(Х\ х... х Хп) С СГ(Х 1 х.. .хХп) С Л*1*'••хХ»5 и как правило, включения строгие. Топология поточечной сходимости, одна из наименьших, которыми наделяются пространства функций и поэтому содержит и все компакты больших топологий.

Между Ср-теорией и пространством раздельно непрерывных функций существует тесная связь. С одной стороны, простран-

ство раздельно непрерывных функций превращается в пространство непрерывных функций при тривиальности всех сомножителей, кроме одного. С другой стороны, СГ{Х\ х ... х Хп) — СР(И), где 2 — некоторое топологическое пространство. Кроме того, в Ср-теорий рассматриваются почти исключительно вещественно-значные функции. Лишь небольшое число результатов относится к случаю СР(Х, У), где У -— метрическое (как правило, се-парабельное) пространство или Е-произведение прямых. Таким образом, пространства непрерывных отображений — С(Х,У), которые тоже естественно возникают в анализе, почти не затрагиваются Ср-теорией. В какой-то мере пространства раздельно непрерывных функций восполняют этот пробел. Так, даже в случае двух сомножителей СГ(Х х У) = СР(Х, СР(У)) = СР(У, СР(Х)) — пространство непрерывных отображений в, как правило, неметризуемое пространство.

Кроме того, в теории пространств непрерывных функций заметное внимание уделяется отображению вычисления Р : X х СР(Х) и- Л, определённому по правилу: Р(х, /) = /(ж). Отображение Р — всегда раздельно непрерывно, но почти всегда разрывно. Наконец, о связи пространств раздельно непрерывных функций с бэровскими. Как правило, СГ(Х х У) ф С(Х х У), но, как выяснили ещё Лебег и Куратовский, СГ(Х хУ) С Вх(ХхУ), если X, У — сепарабельные метрические пространства, а затем Куратовский распространил этот результат на произвольные метрические пространства.

Разумеется, мы коснулись лишь тех аспектов пространств раздельно непрерывных функций, которые имеют отношение к данной работе.

В обозначениях и терминологии, в основном, следуем книгам

[4], [18] [24]. Замыкание множества А С X в пространстве X обозначается А или [А], Int А — внутренность А, \А\ — мощность А. Далее R — обычное пространство вещественных чисел, I = [0, 1]

— единичный отрезок с обычной топологией, 1Т — тихоновский куб веса т.

Отображение / : X н-У называется отображением на, если f(X) = Y. Уплотнением называется взаимно однозначное непрерывное отображение одного пространства на другое.

Важное место в диссертации зэлимают кардинальные топологические инварианты. Приведём основные из них.

Число Суслина — с(А~) пространства X —- наименьший бесконечный кардинал т, такой, что мощность каждого семейства попарно непересекающихся непустых открытых множеств в X не превосходит т.

Плотностью d(X) пространства X называется минимум мощностей всюду плотных в X множеств.

Число Линделёфа 1(Х) пространства X — наименьший бесконечный кардинал т такой, что из каждого открытого покрытия пространства X можно выделить подпокрытие мощности < г. Если 1{Х) < ^о? то говорят, что пространство X финально компактно. Как обычно, 1*{Х) = sup{/(Xn) : п Е N}.

Вес — и(Х) пространства X — это минимум мощностей баз пространства X.

Известно ([18]), что d(M) = с(М) - 1(М) = со(М), если М

— метрическое пространство, а в общем случае все эти числа различны.

К важнейшим, относительно новым, кардинальным инвариантам относится сетевой вес. Напомним, что сетью ([18]) пространства X называется семейство Q подмножеств X такое, что

для всякой х Е X и произвольной окрестности О(х), найдётся А £ П, для которого х £ А С О (ж). Тогда сетевой вес пи(Х) пространства X — это минимум мощностей сетей пространства X. Этот инвариант особенно полезен в теории пространств функций. Так [4], пиСр(Х) — псо(Х) для тихоновского пространства X. В т©время как [4], иСр(Х) = |Х| для тихоновского пространства X.

Секвенциальным называется такое пространство X, в котором для любого незамкнутого множества А С X найдётся последовательность точек {хп}™=ъ в А сходящаяся к некоторой точке х $ А.

Если для каждого множества А С X и каждой точки х £ А найдётся в А последовательность точек сходящаяся к

х, то X называется пространством Фреше-Урысона.

Непосредственно из определений следует, что всякое пространство Фреше-Урысона является секвенциальным пространством, но не наоборот [18]. Более того, если пространство секвенциально, но не Фреше-Урысона, то оно содержит некоторое несеквенциальное подпространство [18]. Но подпространства секвенциальных пространств обладают следующим свойством: множество замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с произвольным счётным множеством Р замкнуто в Р. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они имеют счётную тесноту. Таким образом возникает важный кардинальный инвариант [18], [4].

Теснотой — ¿(X) пространства X называется наименьший бесконечный кардинал Л такой, что каковы бы ни были множество А С X и точка х £ А, найдётся множество В С А, \В\ < X и х Е В.

Напомним, что пространство X называется финально компактным ^-пространством [4], если X можно совершенно отобразить на сепарабельное метрическое пространство. При этом отображение называется совершенным, если оно непрерывно, замкнуто и прообразы всех точек являются компактами. Всякий компакт и всякое сепарабельное метрическое пространство являются финально компактными ^-пространствами. Непрерывные образы финально компактных р-пространств называются финально компактными Е-пространствами ([29]). Класс финально компактных Е-пространств можно определить и следующим образом: это наименьший класс пространств, содержащий все компакты, все сепарабельные метрические пространства и замкнутый относительно трёх операций: произведения двух пространств, перехода к замкнутому подпространству и перехода к-непрерывному образу.

Пространство называется разрежённым, если в каждом его непустом подпространстве У есть изолированная (в У) точка.

Через С(Х,У) обозначается множество всех непрерывных отображений пространства X в пространство У. Для А С X, В С У полагаем {А, В) = {/ Е С(Х,У) : ¡(А) С В}. Пусть Л — семейство подмножеств X, 0 ^ А. Все множества вида (А, ?7), где А 6 Л, и открыто в У составляют предбазу некоторой топологии та на множестве С(Х, У). Если Л — семейство всех конечных подмножеств X, то т\ называется топологией поточечной сходимости и С(Х,У) с этой топологией обозначается через СР(Х,У). Стандартная база пространства СР(Х,У) состоит из множеств вида IV(х1, СД, ..., С4), где Хг £ X, ^ С У и открыто,

1 < * < Л, keNJ и Ш(хи..., хк, ии ..., ик) = {/ 6 С(Х,У) : ¡(х^ € ЭД, г = 1, ..., к}. Вместо С(Х,К) и СР(Х,11) будем пи-

сать С(Х) и СР(Х) соответственно.

Через СГ{Х\ х ... х Хп, У)обозначается пространство раздельно непрерывных отображений пространства Х\Х ... х Хп в пространство У, наделённое топологией поточечной сходимости. Тогда базу пространства СГ(Х\ х ... х!п, У)образуют множества

и^ь ..., ии ..., ик) = {/ ес^Хг X ... х Хп,У), /(**) е

иг = 1, ..., & е ./V, открыто в У, ^ б Х\ х ... х Хп, 1 < г < к}.

Теперь перейдём к обзору результатов диссертации.

В §0 доказаны четыре предложения, которые позволяют использовать развитую теорию пространств непрерывных функций. В конкретных ситуациях они неоднократно использовались в работах различных авторов, но в общей ситуации, по-видимому, не были сформулированы.

В §1 основной вопрос можно сформулировать следующим образом: установить соответствие между свойствами топологических пространств Х\, Х^ • • •, Хпи свойствами СГ(Х 1 х.. .хХп) . При этом СГ(Х 1 х ... х Хп) рассматривается либо как топологическое пространство, либо как линейное топологическое пространство. Большое внимание при этом уделяется связи между кардинальными инвариантами пространств ..., Хп и кардинальными инвариантами СГ(Х 1 х ... х Хп) . В силу того, что СГ(Х\ х ... х Хп) =СР((Х 1 х ... х Хп, г)), где топология т описана в предложении 0.1., из результатов теории пространств непрерывных функций (см., например, [4]) можно получить некоторые результаты — предложение 1.1. Затем рассматривается бэровость, псевдополнота, а также выпуклые аналоги бэрово-сти пространства СГ(Х\ х ... х Хп) . Общим в результатах об этих свойствах СГ(Х 1 х ... х Хп) можно отметить то, что все

о

они совпадают (хотя причины этого различны) для пространств СГ(Х 1 х ... х Хп) и СР{Х 1 х ... х Хп). Привлекая известные результаты Ср-теории, мы получаем характеристики этих свойств через топологические свойства пространств Х\, Х2, • •., Хп. Далее рассматривается сетевой вес СГ(Х 1 х ... х Хп) , точнее решается вопрос о его счётности. Заметим, что в теории пространств непрерывных или бэровских функций, как выяснилось, важную роль играет сетевой вес, а не вес. В то же время, для компактов и других важных классов пространств вес и сетевой вес совпадают.

1.9. ТЕОРЕМА.Пусть < г < п:п > 2 — тихоновские пространства. Сетевой вес Сг(Хх х • • • х Хп) счетен тогда и только тогда, когда все пространства Х{, 1 < г < п, со счётной сетью и не менее (п — 1) из них счётны.

В этом результате видна существенная разница между пространствами СГ(Х 1 х ... х Хп) и СР(Х 1 х ... х Хп), для которых счётный сетевой вес эквивалентен счётному сетевому весу всех Х{, 1 < г < п. Заметим, что аналог теоремы для счётного веса неверен. Соответствующие контрпримеры приведены в §2. Вопрос о пи?(Сг(Х 1 х ... х Хп) ) в общем случае остаётся открытым.

Наконец, рассматривается вопрос о счётности тесноты СГ(Х\ х ... х Хп) , где п > 2 и все Х{ компакты, 1 < г < п.

По существу, счётную тесноту СР(Х), где X — компакт, установил Гротендик. Общий случай тихоновских пространств рассмотрен в [4], [7]. Для п — 2 вопрос о счётности тесноты СГ(Х\ х Х2), Х{ — компакты, % = 1, 2, решён в [8].

1.10. ТЕОРЕМА. Пусть Х{, 1 < г < п, п>2, — компакты. Тогда ¿(СГ(Х 1 х • • • х Хп)) < Ко тогда и только тогда, когда

среди компактов Х{, 1 < 1 < п, не менее (го — 1) разрежённых и не менее (п — 1) имеют счётное число Суслина.

В качестве следствия доказано, что если в теореме заменить компактность на локальную компактность, то в характери-

>

ф стике добавится сг-компактность. Отметим ещё одно следствие теоремы — получен критерий секвенциальности пространства СГ(Х 1 х ... х Хп) , где Хг, 1 < I <п — компакты.

Во втором параграфе рассматриваются пространства раздельно непрерывных функций, определённые на произведении двух пространств. Это наиболее важный для приложений случай.

Вопрос, с которого начинается параграф, формулируется так: Когда СГ{Х х У) С В^Х х У), или СГ{Х х У) С В(Х х У)?

Разумеется, СГ(Х х У) в некоторых случаях, например, одно из пространств X или У дискретно, может совпадать и с С(Х х У), но для важных классов пространств это совпадение встречается в исключительных случаях.

Напомним, что В\(Х х У) и В(Х х У), как обычно, обозначение для пространств функций первого бэровского класса, то есть поточечных пределов последовательностей непрерывных функций, и, соответственно, для пространств бэровских функций, то есть функций, принадлежащих секвенциальному замыканию пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости. Пространства В\(Х х У) и В(Х х У) рассматриваются в топологии поточечной сходимости.

Классический результат, полученный Лебегом и, независимо, Куратовским, утверждает, что СГ(Х х У) С В\(Х х У), если X, У — сепарабельные метрические пространства. Затем Кура-товский доказал это включение для произвольных метрических

пространств (см. [6]).

Здесь рассматривается другой важный случай — X и У — компакты. Выясняется, что в отличие от метрических пространств включения Cr{X х У) С В\(Х х У) и Cr(X х У) С В(Х х У) справедливы не всегда. Точнее, справедлива

2.1. ТЕОРЕМА. Пусть X и У компактны. Тогда следущие условия эквивалентны:

1) СГ(Х х У) cBi{XxY),

2) СГ(Х х У) С В(Х х У),

3) СГ(Х х У) С [С(Х х У)]к0, ^ mm {с(Х), с(У)} <

Здесь С(Х х У) рассматривается как подпространство RXxY, и [С(Х х У]Но = ü{T:Tc С(Х х У), |Т| < Заметим, что для произвольного топологического пространства Z справедливо включение B(Z) С [C(Z)]^Q. Но уже для отрезка I В{1) ф [С(/)]к0 = R1 • Пространства Z, для которых [C(Z)]^0 = Rz, были охарактеризованы Архангельским и Шахматовым [4].

Как известно, пространства со счётной сетью близки по своим свойствам к сепарабельным метрическим пространствам. Ещё один результат:

2.3. ТЕОРЕМА. Пусть X uY —регулярные пространства со счётной сетью. Тогда Cr(X х У) С В(Х х У).

Далее в параграфе продолжено изучение основных кардинальных характеристик пространств раздельно непрерывных функций — тесноты и сетевого веса, но уже для произвольного кардинала. Так, теорема 1.9 полностью решает вопрос о счётном

сетевом весе. Из результатов этого параграфа следует, что естественное обобщение этого результата — то есть все сомножители имеют сетевой вес < т, и все, кроме одного, по мощности > не превосходят г — неверно. Точнее — этого достаточно, но не

необходимо. В теореме 2.8 для произвольного тихоновского пространства X доказано, что Г(Х$0) < ЮГ(Х х X). Из этой теоремы, теоремы 2.1 и известных результатов о В\{Х х У) можно получить оценки сверху для тесноты и сетевого веса. Так, справедливо

2.9. СЛЕДСТВИЕ. Пусть X — тихоновское пространство счётного псевдохарактера. Тогда ЮГ(Х х X) = пшСг(Х х Х) = \Х\.

В §3 общий вопрос формулируется следующим образом: пусть / : ХхУ раздельно непрерывное отображение, и все образы всех слоёв /({х} х У) и f(X х {?/}) обладают тем или и