Топологии раздельной непрерывности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах

Гриншпон Яков Самуилович

Топологии раздельной непрерывности

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2006

Работа выполнена на кафедре теории функций Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Гулько Сергей Порфирьевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Голубятников Владимир Петрович;

кандидат физико-математических наук Охезин Дмитрий Сергеевич.

Ведущая организация: Московский государственный

университет имени Ломоносова.

Защита состоится 5 октября 2006 года в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

30. о4

Автореферат разослан --2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета А. Е. Гутман

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При рассмотрении функций многих переменных в математическом анализе совершенно естественно возникает два понятия непрерывности: непрерывность по каждой из переменных в отдельности (раздельная непрерывность) и непрерывность по совокупности всех переменных (совместная непрерывность). При этом совместная непрерывность сводится путем определения новой структуры на произведении исходных пространств к обычному понятию непрерывности, например, для любых метрических пространств X, У и Z совместная непрерывность отображения / : X х У —>■ X эквивалентна его непрерывности относительно метрики р{(х1, г/1), (хг, Уг)) = у/~р'х(х1, хг) + Ру(у1,3/2)1 определенной на произведении X х У.

Однако в рамках теории метрических пространств оказывается невозможным таким же образом свести понятие раздельной непрерывности к обычному понятию непрерывности. Топологии же раздельной непрерывности позволяют изучать раздельно непрерывные отображения как непрерывные отображения относительно этих топологий.

Изучение раздельно непрерывных отображений началось в работах Бэра, Лебега и Хана конца XIX - первой четверти XX века и продолжалось в многочисленных статьях математиков на протяжении всего XX века. Эти исследования велись, в основном, в трех направлениях: изучение множества точек непрерывности раздельно непрерывных отображений, бэровская и борелевская классификации раздельно непрерывных отображений и определяемость раздельно непрерывных отображений своими значениями на некотором множестве (см., например, [9], [10]).

Исследования последнего времени показывают, что с понятием раздельной непрерывности связан целый ряд актуальных проблем, относящихся к функциональному анализу и общей топологии. Это, напри-

мер, проблемы классификации компактов и выявления соотношений между тройственными пространствами ([4]), проблема диагонализи-руемости топологических пространств ([1]), проблема описания пространств, в которых второй игрок имеет выигрышную стратегию в игре Шоке ([2]) и т.д.

Таким образом, было бы чрезвычайно полезным изучить свойства топологий раздельной непрерывности и тем самым свести перечисленные проблемы, связанные с раздельно непрерывными отображениями, к задачам, касающимся обычных непрерывных отображений относительно некоторой топологии раздельной непрерывности.

Простейшая топология раздельной непрерывности X ® У упоминается в книгах [6] и [3] в качестве примера топологии, которую можно определить на произведении топологических пространств, объявив множество £? С X х У открытым в X ® У тогда и только тогда, когда для любых а 6 X и Ь 6 У сечения {у € У; (а, у) 6 <5} и {ж € Х-, {х, Ь) € О} открыты в пространствах У и X соответственно. Данная топология в ряде случаев оказывается нерегулярной, в частности, произведение действительных прямых, наделенное этой топологией не является регулярным ([7], [5]). Поэтому в работе [8] К. Д. Найт, В. Моран и Д. С. Пим определяют вполне регулярную топологию раздельной непрерывности Х®У следующим образом: рассмотрим семейство всех вполне регулярных топологий на множестве X х У, которые слабее топологии пространства X ® У, и через X ® У обозначим множество ХхУ, наделенное слабейшей топологией, которая сильнее всех топологий из рассматриваемого семейства.

Топологии раздельной непрерывности изучены крайне мало, особенно это относится к более важной для приложений вполне регулярной топологии X ® У. По мнению авторов статьи [8], полученные ими результаты о пространстве Х®У носят фрагментарный характер. Свя-

зано это, в первую очередь, с тем, что для топологии X®Y , в отличие от топологии X ® У, не удалось найти адекватного описания окрестности точки. Достаточно полное описание свойств пространства X ® У получено ими лишь в том случае, когда X ® У = X ® У. В частности, достаточные условия нормальности пространства X ® Y были сформулированы только для таких произведений, один из сомножителей которых X или Y является локально счетным.

Таким образом, все вышеизложенное позволяет считать задачу описания топологий раздельной непрерывности актуальной проблемой теории раздельно непрерывных отображений.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование различных свойств топологий раздельной непрерывности X ® Y и X ® У. А именно, исследование компактности, счетной компактности, псевдокомпактности, линделефовости, полноты по Чеху, нормальности, коллективной нормальности и счетной паракомпактности данных топологий.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Дано полное описание компактных, счетно компактных, секвенциально компактных и псевдокомпактных подпространств в пространствах X ® У и X ® У при условии, что данное подпространство является наследственно нормальным в стандартной топологии произведения X х У.

• Получен критерий полноты по Чеху пространства X®Y в классе пространств с наследственно нормальным стандартным произведением X х У.

• Получены необходимые условия нормальности и достаточные условия коллективной нормальности пространства X ® У.

• Показано, что пространство [0; А) ® (0; ц) — [0; А) ® [0; ц) является нормальным и счетно паракомпактным, если хотя бы один из ординалов А или ц счетен, но пространство [0;^) ® [0; о^х) не является ни нормальным, ни счетно паракомпактным.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях раздельно непрерывных отображений с помощью топологий раздельной непрерывности, а также при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.); на III Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2003 г.); на ХЫ, ХЫ1 и ХЫП Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2003 г., 2004 г. и 2005 г.); на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004 г.); на XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(Москва, 2006 г.). Основные результаты докладывались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН и неоднократно обсуждались на семинарах кафедры теории функций Томского государственного университета. По теме диссертации имеется 12 публикаций.

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Первая и третья главы содержат по четыре параграфа, а вторая глава — три параграфа. Полный объем диссертации составляет 72 страницы.

Содержание диссертации

Введение содержит определение топологий раздельной непрерывности, описание простейших известных свойств этих топологий, а также изложение основных полученных в диссертационной работе результатов.

Глава 1 посвящена изучению свойств типа компактности топологий раздельной непрерывности. В §1 вводятся понятия локально крестовых и сильно локально крестовых множеств и и устанавливаются некоторые связанные с этими объектами факты. При этом символами _ЕххУ> Ех®у и Ех®у обозначаются подпространства в пространствах ХхУ, ХвУи^вУ соответственно.

Определение. Пусть X и У — топологические пространства. Крестом точки {а, Ь) € X х У назовем множество сгозб(о, 6) = {{а, у); у е У} и {{ж, ¿>); х € X}. Множество Е С X х У назовем локально крестовым (сильно локально крестовым) в X х У, если у каждой точки {а, Ь) е Е ( (а, Ь) € X х У ) существует окрестность I/ в пространстве ЕххУ (х х у) такая, что С/ С сго8в(а, Ь) (у П Е С сговвСа, Ь)).

Теорема. Пусть X и У — вполне регулярные пространства, Е С X х У и Е;схУ ~ пространство Фреше-Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ех®у = Ех^у = Еххг;

2) Ех®у — Ехху;

3) Е — локально крестовое множество.

Теорема. Пусть X и У — вполне регулярные пространства, Е с X х У и X х У — пространство Фреше-Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) = ЁХ®Г = ~ЕХхГ;

3) Е — сильно локально крестовое множество.

В §2 получен критерий, полностью описывающий компактные, счетно компактные, секвенциально компактные и псевдокомпактные подпространства в топологиях раздельной непрерывности в том случае, когда данное подпространство является наследственно нормальным в стандартной топологии произведения.

Теорема. Пусть X и У — вполне регулярные пространства, ЕСХхУи

ЕххУ — наследственно нормальное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ех®у — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

2) ЕХфУ ~ компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство ;

3) Еху У — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и Е — сильно локально крестовое множество в X хУ;

4) ЕххУ ~ компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и Е — локально крестовое множество;

5) %хУ — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и существует конечный набор точек {(сх.с^), (сг,^)». • • > (сп, в?„)} С Е такой, что Е с

п

и сгоз5(С*,(4); к=1

6) ЕххУ представимо в виде конечного объединения пространств,

гомеоморфных компактным (счетно компактным, секвенциально компактным, псевдокомпактным) подпространствам пространств X «У.

Данный критерий совместно с результатами статей [7] и [8] позволяет строить примеры нерегулярных (например, К® К) и регулярных не нормальных (например, К ® Ж) пространств, в которых совпадают все понятия типа компактности.

Также из этой теоремы вытекает, что пространства X ® У и X ® У только в тривиальном случае, когда один из сомножителей конечен, могут обладать свойствами типа компактности.

Итак, топологии раздельной непрерывности крайне редко удовлетворяют свойствам типа компактности. Естественно попытаться ослабить эти свойства до линделефовости и полноты по Чеху. В §3 и §4 доказаны следующие критерии.

Определение. Пусть X и У — топологические пространства. Отображение / : X —> У называется Г-уплотнением, если / — непрерывное отображение с конечными прообразами точек. Говорят, что пространство X Р-уплотняется в пространство У, если существует Р-уплотнение / : X —>■ У.

Теорема. Пусть X и У — топологические пространства такие, что X Р-уплотняется в У и пространство X х У является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X ® У — финально компактное пространство;

2) X ® У — линделефово пространство;

3) X — счетное и У — линделефово пространства.

Теорема. Пусть X и У — топологические пространства такие,

что пространство X х У является наследственно нормальным. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X ® Y — полное по Чеху пространство;

2) одно из пространств X или Y является дискретным, а второе — полным по Чеху.

В главе 2 исследуются нормальность и коллективная нормальность вполне регулярной топологии раздельной непрерывности. Данный вопрос возникает совершенно естественно, так как пространство X ® Y всегда удовлетворяет аксиоме Т3i, и, учитывая, что именно аксиомы отделимости сыграли определяющую роль в ограничении применения пространства X ® Y, логично провести исследование, в каких случаях пространство X ®Y удовлетворяет следующей аксиоме Т4.

§1 посвящен нахождению необходимого условия нормальности пространства X ® Y.

Теорема. Пусть пространство X содержит полное по Чеху неразреженное подпространство, которое F-уплотняется в пространство Y, и пусть пространство X х Y является совершенно нормальным. Тогда пространство X ®Y не является нормальным.

Данная теорема позволяет приводить многочисленные примеры пар пространств X и У, для которых произведение X <2>Y не является нормальным. В частности, не будут нормальными пространства R ® R и А ® К, где К. — это действительная прямая, а А — это пространство "двух стрелок".

Главным результатом §2 является достаточное условие коллективной нормальности вполне регулярной топологии раздельной непрерывности.

Теорема. Пусть X — разреженный наследственный параком-пакт, Y — паракомпакт. Тогда пространство X ® Y коллективно нормально.

Результаты, изложенные в §1 и §2, приводят к формулировке в §3 одного из наиболее важных свойств, описывающих нормальность про-

странства X ® У, а именно, критерия нормальности для некоторого класса пространств, включающего в себя, в частности, полные метрические пространства.

Теорема. Пусть пространство X х У является совершенно нормальным, и пусть полный по Чеху наследственный паракомпакт X Р-уплотняется в паракомпакт У. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X ® У — нормальное пространство;

2) X — разреженное пространство;

3) пространство X не содержит подмножеств, совершенно отображающихся на отрезок [0; 1].

Глава 3 посвящена изучению топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. В §1 приведены необходимые понятия и сведения из теории ординалов.

В §2 дано полное описание топологии, индуцированной на диагональ {(а, а); а < А} из пространства [0; А) ® [0; А).

Теорема. Фундаментальная система окрестностей точки (р, р) в пространстве {{а, а); а < А} С [0;А) ® [0;А) состоит:

1) из множества {{р, £*)}> если с1р ^ и>;

2) из множеств вида {{а, а); а£^}и {(^р)}). где Р — замкнутое неограниченное в [0; р) множество, конфинальность всех изолированных точек которого меньше шх, если с{ р > ш.

§3 посвящен изучению нормальности и коллективной нормальности пространств вида [0; А) ® [0; р) и [0; А) ® [0; р) и тем самым обобщает результаты главы 2 на непаракомпактный случай.

Теорема. Пусть с£ X > и> и р > X. Тогда пространство [0; А)®[0; р.) не является нормальным.

Теорема. Пусть с1 X = и>1 и р и)\. Тогда пространство [0; А) ® [0; р) не является нормальным.

Теорема. Пусть А — ординал и 6 — счетный ординал. Тогда пространство [0; А)®[0; 5) = [0; А)®[0; 5) является коллективно нормальным.

Теорема. Пусть А С [0; и^) и В С [0; Ш1). Тогда пространство А® В является нормальным тогда и только тогда, хотя бы одно из множеств А или В нестационарно.

Эти теоремы совместно с результатами главы 2 показывают, что для топологий раздельной непрерывности свойство нормальности является заметно более редким по сравнению со стандартной топологией произведения. Например, пространство [0;шх) ® [0; с^), в отличие от пространства [0;и>1) х [0;а>х), не обладает свойством нормальности.

В §4 проведено исследование счетной слабой паракомпактности пространства [0; А) ® [0; ц).

Теорема. Пусть А — ординал и 5 — счетный ординал. Тогда пространство [0; А)®[0; 6) = [0; А)®[0;5) является наследственно счетно слабо паракомпактным.

Теорема. Пусть с1 А = и>1 и ц ^ X. Тогда пространство [0; А) ® [0; /л) не является счетно слабо паракомпактным.

Как следствие, получаем, что пространство [0; А) ® [0; <5), где 5 — счетный ординал, является нормальным и счетно паракомпактным, а пространство [0; и^)® [0; ых) не является счетно слабо паракомпактным пространством. Однако в этом пространстве существует достаточно большое наследственно счетно слабо паракомпактное подпространство ([0;а>1) ® [0;ш1)) \ {{а, а); а < Ш1>.

Литература

1. Arhangel'skii A.V. An operation on topological space. // Applied General Topology — 2000. — Vol. 1. — N 1. — P. 13-28.

2. Burke D.K., Pol R. Note on separate continuity and the Namioka property. // Topology and its Applications. — 2005. — Vol. 152. — P. 258268.

3. Cecil E. Topological spaces. — Prague: Academia, 1966.

4. Gul'ko S. P., Sokolov G. A. Compact spaces of separately continuous functions in two variables. // Topology and its Applications. — 2000. — Vol. 107. — P. 89-96.

5. Hart J. E., Kunen K. On the regularity of the topology of separate continuity. // Topology and its Applications. — 2002. — Vol. 123. — P. 103123.

6. Isbell J. R. Uniform spaces. Mathematical Surveys, 12. — American Mathematical Society, 1964.

7. Knight C. J., Moran W., Pym J. S. The topologies of separate continuity. I. // Proceedings of Cambridge Philosophy Society. — 1970.

— N 68. - P. 663-671.

8. Knight C. JM Moran W., Pym J.S. The topologies of separate continuity. II. // Proceedings of Cambridge Philosophy Society. — 1972.

— N 71. — P. 307-319.

9. Maslyuchenko V. K., Maslyuchenko О. V., Mykhaylyuk V. V., Sobchuk O.V. Paracompactness and separately continuous mappings. // General Topology in Banach Spaces. — Nova Sci. Publ., Huntington, N.Y.

— 2001. — P. 147-169.

10. Piotrowski Z, Wingler E. On Sierpinski's theorem on the determination of separately continuous functions. // Q & A in General Topology. — 1997. — N. 15. — P. 15-19.

Работы автора по теме диссертации

1. Гриншпон Я. С. Описание компактов в топологиях раздельной непрерывности. // Материалы ХЫ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, 2003.

- С. 34.

2. Гриншпон Я. С. Критерий компактности в топологиях раздельной непрерывности. // Международная конференция по математике и механике. Тезисы докладов. — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. — С. 64.

3. Гриншпон Я. С. Нерегулярность топологии раздельной непрерывности. // Лобачевские чтения — 2003. Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции. Труды математического центра имени Лобачевского. Том 21. — Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2003. — С. 99-100.

4. Гриншпон Я. С. Компактность в топологиях раздельной непрерывности. // Международная конференция по математике и механике. Избранные доклады. — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. — С. 50-54.

5. Гриншпон Я. С. Нормальность вполне регулярной топологии раздельной непрерывности. // Вестник Томского государственного университета. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. — № 280. — С. 27-30.

6. Гриншпон Я. С. Пример, различающий топологии раздельной непрерывности. // Материалы ХЫ1 Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, 2004.

- С. 67-68.

7. Гриншпон Я. С. Локально крестовые и сильно локально крестовые множества. // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика» — Новосибирск. Изд-во Новосибирского университета, 2005. - С. 65.

8. Гриншпон Я. С. Локально крестовые множества в топологиях раздельной непрерывности. // Вестник Томского государственного университета. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". — Томск: Изд-во Томского университета, 2005. — № 290. — С. 18-23.

9. Гриншпон Я. С. Коллективная и наследственная нормальность вполне регулярной топологии раздельной непрерывности. // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Том IV. — М.: Изд-во Московского университета, 2006. — С. 78-79.

10. Гриншпон Я. С. Счетная паракомпактность топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. // Труды XVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. — М.: Изд-во Московского университета, 2006. — С. 26-30.

11. Grinshpon Ya. S. Topology of separate continuity on the square of the Cech-complete space. // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решет-няка. Тезисы докладов. — Новосибирск: Изд-во Института математики имени С. Л. Соболева СО РАН, 2004. — С. 88.

12. Grinshpon Ya. S. Criterion of normality of the completely regular topology of separate continuity. // Serdica Mathematical Journal. — 2006. — № 32. — P. 57-62.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии редакционно-издательского отдела ТГУ Лицензия ПД № 00208 от 20 декабря 1999 г.

Заказ № 169 от «22 » 08 2006 г. Тираж 400 экз.

Введение

Терминология и обозначения

1 Свойства типа компактности топологий раздельной непрерывности

§1. Локально крестовые и сильно локально крестовые множества.

§2. Свойства типа компактности.

§3. Финальная компактность и линделефовость.

§4. Полнота по Чеху.

2 Свойства типа нормальности для топологий раздельной непрерывности щ

§1. Необходимое условие нормальности.

§2. Достаточное условие свойств типа нормальности.

§3. Критерий нормальности

3 Топологии раздельной непрерывности на произведении ординалов

§1. Основные необходимые сведения об ординалах.

§2. Диагональ на квадрате отрезка ординалов.

§3. Свойства типа нормальности.

§4. Счетная слабая паракомпактность

Ф Литература

При рассмотрении функций многих переменных в математическом анализе естественным образом возникает два понятия непрерывности: непрерывность по каждой из переменных в отдельности (раздельная непрерывность) и непрерывность по совокупности всех переменных (совместная непрерывность). Отметим, что оба этих понятия не требует наличия дополнительной структуры на области определения отображений, т.е. на декартовом произведении пространств. Действительно, пусть (Х,рх), (У, py) и (Z, pz) — метрические пространства. Тогда отображение / : X х У Z называют совместно непрерывным (раздельно непрерывным) тогда и только тогда, когда для любых элементов aG-ХиЬеУи любого положительного числа е существует положительное число 8 такое, что для всех элементов х € X и у € У, удовлетворяющих условиям рх(а,х) < 5 и ру(Ь,у) < 5, выполняется pz(f{^,y),f(a,b)) < е (,Pz(f(a,y),f(a,b)) <£npz(f(x,b),f(a,b)) <е).

При этом совместная непрерывность путем задания дополнительной структуры на произведении пространств сводится к обычному понятию непрерывности. В случае метрических пространств такой структурой является любая из эквивалентных Метрик РХхУ«®1,У1).(®2.&» = РХ(Х1,Х2)+ ру(УиУ2), Pxxy((si,l/i),(®2,lfe)) = mzx{px(xi,x2)] py(2/1,2/2)} или pxxY((^l) 2/i)i 2/2)) = \/Рх(хьх2)+Ру(УиУ2)- Эти метрики удовлетворяют условию: отображение / : (X, Рх)х (У, Py) (Z> Pz) совместно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : (X х У, Pxxy) (Z, pz) непрерывно.

Однако в рамках теории метрических пространств оказывается невозможным таким же образом свести понятие раздельной непрерывности к обычному понятию непрерывности. Топологии же раздельной непрерывности позволяют изучать раздельно непрерывные отображения, заданные на произведении топологических пространств, как непрерывные отображения относительно этих новых топологий.

Для полноты изложения приведем определения топологий раздельной непрерывности X®Y и X®Y в той форме, которая будет использоваться в данной диссертации. Пусть X и У — топологические пространства. На их декартовом произведении X xY определяется топологическое пространство X ® Y следующим образом: множество G С X х Y открыто в X ® Y тогда и только тогда, когда для любых а £ X и Ь е У сечения Cfl* = {у G У; (а, у) G G} и G«b = {х е X; (х,Ъ) G G} открыты в пространствах Y и X соответственно.

Рассмотрим теперь семейство всех вполне регулярных топологий на множестве X х У, которые слабее топологии пространства X <8> У, и через X ® У обозначим множество X х У, наделенное слабейшей топологией, которая сильнее всех топологий из рассматриваемого семейства.

Основные характеристические свойства введенных топологий, оправдывающие используемые в диссертации названия "топология раздельной непрерывности"и "вполне регулярная топология раздельной непрерывности", формулируются следующим образом:

- для любых топологических пространств X, У и Z отображение / : X х У Z раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : X ® У Z непрерывно;

-для любых вполне регулярных пространств X, У и Z пространство X®Y вполне регулярно и отображение / : X х У —» Z раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда отображение / : X ® У Z непрерывно.

Топологии раздельной непрерывности исследовались крайне мало. Топология пространства X&Y приводится в качестве примера топологии, которую можно определить на произведении любых топологических пространств (или даже более общих пространств замыканий) в таких книгах, как [13] (под названием тензорное произведение) и [8] (под названием индуктивное произведение). Многие основные факты о пространстве X ® Y были доказаны в [16] и [12], в частности, было показано, что в ряде случаев пространство X <S> У не является регулярным.

Попытка же изучения топологии пространства X ® Y была предпринята только в одной работе [17], однако сами авторы работы отмечают, что полученные ими результаты носят фрагментарный характер, что, в первую очередь, связано с тем, что для пространства X ® Y, в отличие от пространства X ® Y, не удалось найти адекватного описания окрестности точки. Достаточно полное описание свойств пространства X ® Y получено ими лишь в том случае, когда X ® Y = X <g> Y. Таким образом, даже пространства R ® aN и R ® R оказались практически не изученными.

Топологии раздельной непрерывности позволяют индуцировать на подмножество Е С X х Y три различные топологии ЕХху, Ex®y и Ex^y- Изучение пространств Ех®у и Ех^у вызывает еще большие затруднения, чем изучение содержащих их пространств X®Y и X®Y. Связано это с тем, что топологии подпространств зависят от того, в какие произведения они вложены, т.е. если Е С {Xi х Yi) П х У^), то могут выполняться неравенства Exl®yi Ф EX2®y2 и Ф ^x2®y2- Более того, существуют даже сепарабельные метрические пространства Х^ С Х\ и Уг С Yi, для которых топологии Х2 ® Yi и Х2 ® Y2 не совпадают с топологиями, наследуемыми из пространств Xi ® Yi и Х\ ® Yi соответственно ([16], 2.1; [17], 6.5).

Очевидно, что пространства X ® Y и X ® Y существенно различны по своим свойствам (конструктивный пример, различающий топологии раздельной непрерывности (т.е. множество, открытое в одной топологии и не открытое в другой), был построен в [26]) и что более интересной с точки зрения дальнейших приложений является вполне регулярная топология раздельной непрерывности. Действительно, пространства непрерывных вещественнозначных функций практически всегда строятся только для вполне регулярных пространств ([3]). Следовательно, для адаптации Cp-теории для изучения пространств раздельно непрерывных функций (см., например, [11]) необходимо, чтобы пространство, относительно которого раздельная непрерывность превращается в непрерывность, было вполне регулярным. Поэтому основные результаты диссертации посвящены пространствам вида X <g> У. Пространство же X ® У изучено лишь в тех случаях, когда его свойства в некоторой степени совпадают со свойствами пространства X ® У.

В первой главе диссертации исследуются свойства типа компактности топологий раздельной непрерывности. Для описания этих свойств в первом параграфе вводятся понятия локально крестовых и сильно локально крестовых множеств, т.е. подмножеств декартового произведения X х У, которые в некотором смысле сосредоточены на подпространствах вида {а} х У и X х {6}.

Для любых точек а е X и b 6 Y обозначим cross(a,b) = {(а,у); у £ Y} U {(х, 6); х € X}. Множество Е С XxY назовем локально крестовым (сильно локально крестовым) в XxY, если у каждой точки (a,b) € Е ( (а,Ь) € X х Y ) существует окрестность U в пространстве Ex%y {х х у) такая, что U С cross (а, Ь) (и П Е С cross(а,Ь)).

Основным результатом первого параграфа является теорема

Теорема 1.1.6. Пусть X uY — вполне регулярные пространства, Е С X х У и Exxy — пространство Фреше-Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ех®у = ~ Exxy;

EX®Y = Exxy!

3) E — локально крестовое множество.

Теорема 1.1.6 фактически утверждает, что индуцированные из произведений XxY,X®YnX<g)Y топологии совпадают достаточно редко, а именно, только на локально крестовых подмножествах. Отметим, что для сильно локально крестовых множеств аналогичный результат верен и для замыкания множества Е (теорема 1.1.10).

Во втором параграфе сформулирован критерий, полностью описывающий компактные, счетно компактные, секвенциально компактные и псевдокомпактные подпространства в топологиях раздельной непрерывности в том случае, когда данное подпространство является наследственно нормальным в стандартной топологии произведения. Отметим, что ранее был известен только критерий счетной компактности для пространства X ® Y ([16], 4.3).

Теорема 1.2.3. Пусть X uY — вполне регулярные пространства, Е С X х Y и Exxy ~ наследственно нормальное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ex®y — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство;

2) EXqY ~~ компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство ;

3) Exxy — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и Е — сильно локально крестовое множество в X х Y;

4) Exxy — компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и Е — локально крестовое множество;

5) Exxy ~ компактное (счетно компактное, секвенциально компактное, псевдокомпактное) пространство и существует конечный набор точек п ci, di), (с2, d2),(cn, dn)} С Е такой, что Е = |J cross (с^, dk); k=l

6) EXxy представимо в виде конечного объединения пространств, гомеоморф-пых компактным (счетно компактным, секвенциально компактным, псевдокомпактным) подпространствам пространств X и Y.

Из этого результата вытекает, что топологии раздельной непрерывности только в тривиальном случае, когда одно из сомножителей конечен, обладают свойствами типа компактности (следствие 1.2.4).

Также в качестве интересного следствия, выделим результат 1.2.7, показывающий, что компактность в пространстве Rn ® Rm можно описать в терминах, не зависящих от рассматриваемой на произведении топологии.

Результаты второго параграфа позволили построить примеры нерегулярных и регулярных не нормальных пространств (например, R®RhR®R),b которых совпадают все понятия типа компактности (следствие 1.2.6).

Также отметим, что некоторые аналогичные результаты верны и для пространства X <g> Y (теорема 1.2.8 и следствие 1.2.9).

Так как топологии раздельной непрерывности практически никогда не обладают свойствами типа компактности, то естественно попытаться ослабить данные свойства, например, до линделефовости или полноты по Чеху. В третьем параграфе показано, что если один из сомножителей X уплотняется в другой сомножитель У, то пространство X&Y линделефово в том и только в том случае, когда пространство X счетно, a Y линделефово (теорема 1.3.7). Аналогичный результат получен в четвертом параграфе и для полных по Чеху произведений: пространство X ® Y полно по Чеху тогда и только тогда, когда одно из пространств X или Y дискретно, а второе — полно по Чеху (теорема 1.4.4).

Следующим шагом в исследовании топологий раздельной непрерывности является дальнейшее ослабление свойств типа компактности и рассмотрение свойств типа нормальности. Действительно, так как топология пространства X ® Y всегда удовлетворяет аксиоме Тц, и, учитывая, что именно аксиомы отделимости сыграли определяющую роль в ограничении применения пространства X <g> Y, логично провести исследование, в каких случаях пространство X ® Y удовлетворяет следующей аксиоме Т4. Таким образом, для пространства X ® Y совершенно естественно ставится вопрос о нормальности и ее усилениях вида коллективной или наследственной нормальности. Ответ на этот вопрос для достаточно широкого класса пространств получен во второй главе.

Первый параграф второй главы посвящен нахождению необходимого условия нормальности пространства X ® У. Для формулировки этого условия мы вводим понятие F-уплотнения, как непрерывного отображения с конечными прообразами точек, и говорим, что пространство X F-уплотняется в пространство Y, если существует F-уплотнение / : X У.

Теорема 2.1.3. Пусть пространство X содержит полное по Чеху неразреженное подпространство, которое F-уплотняется в пространство У, и пусть пространство XxY является совершенно нормальным. Тогда пространство X<&Y не является нормальным.

Данная теорема кроме известных примеров ненормальных пространств вида R ® R, [0; 1] <g> R или [0; 1] ® [0; 1] ([17]) позволяет приводить и новые примеры. В частности, пространство A®R, где А — это пространство "двух стрелок", не обладает свойством нормальности (пример 2.1.7). Таким образом, свойство нормальности является заметно более редким для топологий раздельной непрерывности по сравнению со стандартной топологией произведения.

Также отметим, что, очевидным образом, для вполне регулярной топологии раздельной непрерывности не имеет места аналог знаменитой теоремы Даукера: произведение X х [0; 1] является нормальным тогда и только тогда, когда X — нормальное счетно паракомпактное пространство. Однако, если заменить в формулировке теоремы Даукера отрезок на сходящуюся последовательность с пределом, то необходимое условие этой теоремы оказывается верным и в случае топологии раздельной непрерывности (теорема 2.1.9).

Во втором параграфе вводится понятие согласованной топологии (определение 2.2.1), которое включает в себя все рассматриваемые топологии на декартовом произведении топологических пространств и, тем самым, дает возможность доказывать результаты, общие для пространств X ®Y, X ®Y и X xY.

Главным результатом второго параграфа являются достаточное условие коллективной нормальности вполне регулярной топологии раздельной непрерывности.

Теорема 2.2.10. Пусть X — разреженный наследственный паракомпакт, У — паракомпакт. Тогда пространство X ®Y коллективно нормально.

Отметим, что ранее достаточные условия нормальности (а точнее, паракомпактности) пространства X О У были получены только в случае локальной счетности одного из сомножителей X и Y ([17], 7.5).

Результаты, изложенные в первом и втором параграфах второй главы, приводят к формулировке одного из наиболее важных свойств, описывающих нормальность пространства X <g> У, а именно, критерия нормальности для некоторого класса пространств, включающего в себя, в частности, все полные метрические пространства.

Теорема 2.3.1. Пусть пространство X х Y является совершенно нормальным, и пусть полный по Чеху наследственный паракомпакт X F-уплотняется в пара-компактное пространство Y. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X ®Y — нормальное пространство;

2) X — разреженное пространство;

3) пространство X не содержит подмножеств, совершенно отображающихся на отрезок [0; 1].

Фактически первые две главы показывают, что топологии раздельной непрерывности, к сожалению, крайне редко обладают хорошими свойствами типа компактности или нормальности. Наиболее ярко сильная несовместимость топологий раздельной непрерывности и различных видов компактности и нормальности видна при рассмотрении квадратов топологических пространств:

Эквивалентные свойства для пространств X 0 X и X

Х®Х X Результат

Компактность Конечность Следствие 1.2.5

Счетная компактность Конечность Следствие 1.2.5

Секвенциальная компактность Конечность Следствие 1.2.5

Псевдокомпактность Конечность Следствие 1.2.5

Линделефовость Счетность Следствие 1.3.8

Полнота по Чеху Дискретность Следствие 1.4.5

Нормальность Разреженность Следствие 2.3.3 в предположении наследственной нормальности пространства X х X со стандартной топологией произведения, а нормальность — в предположении полноты по Чеху и паракомпактности пространства X и совершенной нормальности пространства X х

X)

Третья глава посвящено изучению топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. В первом параграфе приведены без доказательств необходимые сведения из теории ординалов, а во втором параграфе дано полное описание топологии, индуцированной на диагональ {(а, а); а < Л} из пространства [0; А) ® [0; Л) (теорема 3.2.2). Отметим, что проблема описания диагонали в пространствах вида X ® X поставлена в разделе б статьи [17], где она решена только в предположении наследственной нормальности пространства X х X. Также во втором параграфе дано частичное описание окрестностей множеств вида {(а, а); а € 5}, где S — стационарное множество (предложение 3.2.6). Эти описания понадобятся нам при исследовании нормальности и счетной паракомпактности произведений ординалов.

Третий параграф посвящен изучению свойств типа нормальности для пространств вида [0; Л) ® [0; /i) и [0; А) <8> [0; ц). Пространства ординалов являются одним из наиболее простых примеров непаракомпактных пространств, поэтому исследование свойств типа нормальности топологий раздельной непрерывности на их произведении вызывает большой интерес с точки зрения сравнения их с паракомпактных случаем, рассмотренным во второй главе диссертации. Также интересно сравнение стандартной топологии произведения и топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов, так как полученные во второй главе результаты утверждали совпадение этих свойств для паракомпактных разреженных пространств.

Как показывает теорема 3.3.2, несмотря на то, что ординалы являются разреженными пространствами, свойство нормальности для пространств вида [0; А) <8> [0; /х) и [0; А) х [0;р) различны (например, пространство [Ojwj) х [0;o>i) нормально, а пространство [0; Wi) ® [0; Ui) не нормально). Автор не знает, существует ли обратный пример нормального пространства X ® Y и не нормального пространства X х Y. Известные примеры ненормальных произведений ординалов со стандартной топологией (например, [0;wi) х [0;wi]) остаются ненормальными и в случае топологий

раздельной непрерывности (теорема 3.3.1).

Также отличаются свойства типа нормальности для произведений подпространств пространств ординалов. Это видно из следующего критерия нормальности:

Теорема 3.3.3. Пусть А С [0;o;i) и В С [0; wi). Тогда пространство А® В является нормальным тогда и только тогда, хотя бы одно из множеств А или В нестационарно.

Достаточное же условие нормальности (а точнее, даже коллективной нормальности) для произведения ординалов оказывается верным только в случае счетности одного из сомножителей. Отметим, что доказать достаточное условие коллективной нормальности для пространства [0; Л) ® [0; ц), которое сильнее соответствующего достаточного условия для пространства [0; А) ® [0; ц), оказалось возможным благодаря введенному во второй главе диссертации понятию согласованной топологии.

Теорема 3.3.4. Пусть А — ординал и 5 — счетный ординал. Тогда пространство [0; А) ® [0; S) является коллективно нормальным.

Наиболее выразительно соответствие между нормальностью топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов и счетностью сомножителя проявляется при рассмотрении в качестве одного из сомножителей ординала В этом случае пространства [0; wi) <g> [0; А) и [0; toi) ® [0; А) нормальны тогда и только тогда, когда ординал А счетен (следствие 3.3.б).

Отметим также, что из результатов второй и третьей глав вытекает, что класс пространств X, для которых произведение X ® aN нормально (такие пространства мы называем раздельно непрерывными пространства Даукера), строго уже класса непаракомпактных пространств и шире класса нормальных не счетно параком-пактных пространств (следствие 3.3.7). Совпадает ли данный класс, как в случае стандартной топологии произведения, с нормальными не счетно паракомпактными пространствами, автору неизвестно.

При рассмотрении же такого свойства типа нормальности, как наследственная нормальность, выяснилось, что пространства [0; А) ® [0; /х) и [0; А) <Э [0; ц) наследственно нормальны фактически только в тривиальном случае счетности обоих сомножителей Ли ц (теорема 3.3.8).

В четвертом параграфе проведено исследование счетной слабой паракомпактности пространства [0; Л) ® [0Основным результатом является

Теорема 3.4.2. Пусть А — ординал и 8 — счетный ординал. Тогда пространство [0; А) ® [0; 8) = [0; А) <Э [0; 8) является наследственно счетно слабо паракомпактным.

Как следствие, получаем, что пространство [0; А)®[0; <5), где 8 — счетный ординал, является нормальным и счетно паракомпактным (следствие 3.4.2).

В качестве же примера не счетно слабо паракомпактного пространства можно привести произведение [0;o>i) <8> [0; cji) (теорема 3.4.5). Однако, интересно заметить, что в этом пространстве существует достаточно большое наследственно счетно слабо паракомпактное подпространство [0;wi) ® [0;wi))\{{a, а); а < и>\} (теорема 3.4.14).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С. П. Гулько за постановку задач и плодотворное обсуждение результатов.

Терминология и обозначения

Все рассматриваемые ниже топологические пространства предполагаются хаусдор-фовыми. Если же топологическое пространство должно удовлетворять более сильным аксиомам отделимости (в частности, вполне регулярность), то это условие указывается в каждом случае отдельно.

Для любых множеств X и У через X х Y будем обозначать их декартовое произведение, т.е. множество упорядоченных вида (х,у), где х G X и у € Y. Если, кроме того, на множествах X и Y задана некоторая топология, то, употребляя обозначение X х Y, будем подразумевать, что это декартово произведение наделено стандартной топологией произведения.

Для топологических пространств X и У на множестве X х У также будем рассматривать определенное в [16] топологическое пространство Х®У, т.е. пространство с топологией раздельной непрерывности. Если же пространства X и У являются вполне регулярными, то на множестве X х У может быть задано еще одно топологическое пространство X <g> У, т.е. пространство с вполне регулярной топологией раздельной непрерывности ([17]).

Для любого подмножества Е С XxY через Exxy> Ex®y и Ex^y будем обозначать подпространства в соответствующих пространствах Хх У, X&Y и X®Y. Кроме того,

- -рхху -=х®y будем использовать индексы у знака замыкания, например, Е ,Е и Е , для указания топологии, относительно которой производится операция замыкания.

Если X и У — произвольные множества, а€Х, Ь eY п Е С X xY, то сечения множества Е по первой координате а или по второй координате Ь будем записывать следующим образом: Е$а = {у е Y; (а,у) Е Е} или Е*ь = {j G I; (х,6) 6 Е}. Символом cross(a, b) будем обозначать крест точки (а, Ь), т.е. множество {(а, у); у 6 Y}U{{x,b); хеХ).

В определении различных классов топологических пространств мы следует книге Р. Энгелькинга [7]. Для произвольного топологического пространства X и ординала а через X^ обозначается производное множество порядка а. Если X разреженное, то для него существует высота разреженности ht(X) = min{a; Х^ = 0}.

Для стандартных топологических пространств используем следующие обозначения: R — пространство действительных чисел; Q — пространство рациональных чисел; А — "две стрелки"; N — пространство натуральных чисел; аГ = Г U {оо} и ДГ = Г U {оо} — одноточечные компактификация и линделефикация соответственно дискретного пространства Г, в частности, aN = {1,2,, оо} — одноточечная компактификация счетного дискретного пространства.

Ординалы обозначаем греческими буквами и наименьшим ординалом считаем нуль, таким образом, {п; п < а>} = NU {0}. Для начальных ординалов будем применять символ и>а, где а — индекс данного ординала ([5]), в частности, ш = щ — первый бесконечный ординал, uii — первый несчетный ординал.

Для упорядоченных пространств будем употреблять стандартные обозначения для открытых, полуоткрытых и замкнутых интервалов вида (а;/3), [а;/?], [а;/?) и а; Д.

1. Справочная книга по математической логике. Часть И. Теория множеств. / под ред. Дж. Барвайса. — М.: Наука, 1982. — 375 с.

2. Александров П. С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. — М.: Наука, 1971. — 144 с.

3. Архангельский А. В. Топологические пространства функций. М.: Издательство Московского университета, 1989. — 223 с.

4. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей то-пологиии. Функциональные пространства. — М. Наука, 1975. — 408 с.

5. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — 416 с.

6. Чобан М.М., Додон Н.К. Теория ^-разреженных пространств. — Кишинев: "Штиница", 1979.-99 с.

7. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 751 с.

8. Cech Е. Topological spaces. — Prague: Academia, 1966. — 893 p.

9. Corson H. Normality in subsets of product spaces. // American Journal of Mathematics. 1959. - № 81. - P. 785-196.

10. Dowker C.H. On countably paracompact spaces. // Canadian Journal of Mathematics. 1951. - № 3. - P. 219-224.

11. Gul'ko S.P., Sokolov G. A. Compact spaces of separately continuous functions in two variables. // Topology and its Applications. 2000. - Vol. 107. - P. 89-96.

12. Hart J.E., Kunen K. On the regularity of the topology of separate continuity. // Topology and its Applications. 2002. - № 123. - P. 103-123.

13. Isbell J. R. Uniform spaces. Mathematical Surveys, 12. — American Mathematical Society, 1964.

14. Kemoto N., Ohta H., Tamano K. Products of spaces of ordinal numbers, // Topology and its Applications. 1992. - № 45. - P. 119-130.

15. Kemoto N., Smith K.D. The product of of two ordinals is hereditarily countably metacompact. // Topology and its Applications. — 1996. — № 74. — P. 91-96.

16. Knight C.J., Moran W., Pym J.S. The topologies of separate continuity. I. J J Proceedings of Cambridge Philosophy Society. 1970. - № 68. - P. 663-671.

17. Knight C.J., Moran W., Pym J.S. The topologies of separate continuity. II. // Proceedings of Cambridge Philosophy Society. 1972. - № 71. - P. 307-319.

18. Maslyuchenko V.K., Maslyuchenko O.V., Mykhaylyuk V.V., Sobchuk O.V. Paracompactness and separately continuous mappings. // General Topology in Banach Spaces. Nova Sci. Publ., Huntington, N.Y, - 2001. - P. 147-169,

19. Morita K. Products of normal spaces with metric spaces. // Mathematika Annalen. 1964. - № 154. - P. 365-382.

20. Rudin M.E. A normal space X for which X x I is not normal. // Fundamenta Mathematica. 1971. - № 73. - p. 179-186.

21. Гриншпон Я. С. Критерий компактности в топологиях раздельной непрерывности. // Международная конференция по математике и механике. Тезисы докладов. — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. — С. 64.

22. Гриншпон Я. С. Компактность в топологиях раздельной непрерывности. // Международная конференция по математике и механике. Избранные доклады. — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. — С. 50-54.

23. Гриншпон Я. С. Нормальность вполне регулярной топологии раздельной непрерывности. // Вестник Томского государственного университета. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". — Томск: Изд-во Томского университета, 2003. № 280. - С. 27-30.

24. Гриншпон Я. С. Локально крестовые множества в топологиях раздельной непрерывности. // Вестник Томского государственного университета. Серия "Математика. Кибернетика. Информатика". — Томск: Изд-во Томского университета, 2005. № 290. - С. 18-23.

25. Гриншпон Я. С. Счетная паракомпактность топологий раздельной непрерывности на произведении ординалов. // Труды XVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. — М.: Изд-во Московского университета, 2006. С. 26-30.

26. Grinshpon Ya. S. Criterion of normality of the completely regular topology of separate continuity. // Serdica Mathematical Journal. 2006. - № 32. - P. 57-62.