Совершенные пространства измеримых векторнозначных функций и интегральные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Совершенные пространства измеримых векторнозначных функций $ I. Исходные обозначения и терминология

§ 2. Определение и простейшие свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций

§ 3. Свойства совершенных пространств в слабой топологии.

§ 4. Свойства совершенных пространств в некоторых топологиях, промежуточных между слабой и сильной

§ 5. Подпространство [ L хJ совершенного пространства L~x.

Глава 2. Интегральные операторы в совершенных пространствах измеримых векторнозначных функций

§ б. Исходные определения и факты

§ 7. Сильная и слабая непрерывность интегрального оператора и критерий представимости в интегральном виде дуального к нему оператора.

§ 8. Секвенциальная непрерывность в слабой и нормальной топологиях интегрального оператора.

§9. <А р ft и £с> -непрерывные операторы

§10. Вполне непрерывные интегральные операторы.

В данной диссертационной работе изучаются совершенные пространства измеримых В-значных функций и некоторые классы линейных интегральных операторов, действующих в таких пространствах.

Пространства измеримых числовых функций являются классическим объектом в исследованиях по математическому анализу. В приложениях наиболее часто используются пространства Лебега, Орлича, Люксембурга. Все они содержатся в классе совершенных пространств, который введён в рассмотрение и изучался Ж.Дьедо-не, И.Га льпериным, Ж.Лоренц, В.Люксембургом. Большой вклад в создание теории совершенных пространств внесли советские математики Я.Б.Рутицкий, П.П.Забрейко, Ю.И.Грибанов. Совершенное пространство - это пространство измеримых функций, совпада- , щее со своим вторым дуальным и удовлетворяющее некоторым условиям отделимости. В общей теории таких пространств важным является тот факт, что дуальные друг к другу пространства данного типа находятся в двойственности в смысле Бурбаки и обладают целым рядом интересных свойств относительно различных топологий. Например, они равномерно ограничены и секвенциально слабо полны. При некоторых естественных ограничениях там имеют место критерий сильной сходимости, подобный теореме Витали о сходимости в пространствах Лебега, и удобный для применения критерий сильной компактности.

Многие задачи из различных разделов анализа сводятся к изучению интегральных операторов. К настоящему моменту общая теория таких операторов развита довольно подробно. Отметим здесь исследования М.А.Красносельского / 25 /, В.Люксембурга и А.Заа-нена / 45 /, П.П.Забрейко / 16,17 /, В.Б.Короткова / 21,23 /, Ю.И.Грибанова / .8-11 /, П.Шептицкого /50/. Для приложений наиболее интересны классы совершенных, нормальных и регулярных интегральных операторов. Эти классы операторов в совершенных пространствах измеримых числовых функций обладают целым рядом важных свойств непрерывности.

В последние два десятилетия при решении конкретных математических задач всё более широко используются векторнозначные функции. Этим объясняется возросший интерес к пространствам измеримых В-значных функций. Многие важные результаты по общей теории таких пространств получены совсем недавно в работах Ж.Брукса и Н.Динкуляну / 33,34 /, А.Макдональда / 46,47 /, Ю.Батта / 32 /, Ж.Буржина / 35 /, Н.Кака / 36,37 /, А.В.Бух-валова /5*/, Ж.Дистеля / 39 /.

Работа состоит из двух глав и разделена на десять парар-рафов.

В первой главе изучаются свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций в различных отделимых локально выпуклых топологиях, определяемых двойственностью между ними.

В § I приведены исходные определения и факты теории меры, векторного интегрирования и общей теории двойственности векторных пространств. Пусть(S , £-0 -пространство с 6" -конечной, неотрицательной и полной мерой, X и^ -банаховы пространства в двойственности относительно билинейной формы < • , • > . Через L у s L Ь Д. ^-обозначается пространство всех классов измеримых функций ^ • S X равных -почти всюду.

В § 2 определяется основной объект исследования первой главы - класс совершенных пространств измеримых В-значных функций и устанавливаются его простейшие свойства.

Пусть L ^ L*0- L - дуальные друг к другу совершенные пространства измеримых числовых функций. Совершенным пространством измеримых В-значных функций называется нормальное векторное пространство

Совершенные пространства 1 х и приводятся в двойственность билинейной формой. и равномерно ограничены относительно неё, т.е. любое слабо ограниченное подмножество из ограничено в сильной топологии / теорема 2.2 /.

В § 3 изучаются свойства совершенного пространства [ в слабой топологии [ > L^-y ) • Доказаны достаточные признаки слабой фундаментальности и слабой сходимости ограниченных направленностей из I . Далее устанавливаются критерии слабой фундаментальности и слабой сходимости последовательностей Lv / теоремы 3.2 и 3.3 /. л

При доказательстве некоторых утверждений о свойствах пространства I в слабой топологии естественно возникает допол-л нительное предположение о банаховом пространстве д » состоящее в том, что оно обладает свойством Радона - Никодима / XG ^a/CS > ) ®т0 значит» чт0 любая абсолютно непрерывная относительно векторная мера-О —> X конечной вариации представима интегралом Бохнера. Например доказывается, что для секвенциальной слабой полноты пространства необходимо и достаточно; чтобы пространство X было секвенциально полным в топологии С"С X , ^ ) и R-a/CS / теорема 3.4 / и устанавливается следующий критерий слабой квазиполноты

Теорема 3.5. Для того, чтобы совершенное пространствоJ было квазиполным в слабой топологии С L. ^ необходимо и достаточно, чтобы пространства ] и X были квазиполными в слабых топологиях6~( L. I— ) и б'СХ^ ) соответственно и X R-л/ CS ^^ , fu- ) .

С помощью признаков слабой фундаментальности и слабой; сходимости характеризуются слабо секвенциально предкомпактные, слабо секвенциально компактные и относительно слабо компактные подмножества совершенного пространства L. / теорема 3.6, 3.7 и 3.8 /.

Вообще говоря не ясно, как в [ связаны различные' виды слабой компактности. Установлена следующая

Теорема 3.9. Для того чтобы в совершенном пространстве х в слабой топологии [ 5 ) совпадали классы относительно компактных и относительно секвенциально компактных множеств, необходимо, а если , то и достаточно, чтобы в X в топологии совпадали классы относительно компактных и относительно секвенциально компактных множеств.

В § 4 исследуются свойства совершенного пространства L. х в топологиях, промежуточных между нормальной ъ L*^ ) и сильной L^ >/-^"n^ ) . Через W С. L*) обозначается семейство нормальных оболочек всех одноточечных подмножеств . ^ \ из [ , через wCL)

-семейство нормальных оболочек всех

I I ограниченных подмножеств из ] . Пусть W С L. ) - такое семейство нормальных ограниченных подмножеств из , что w cL )c.WCL)^WCL> Топология ^Ху/ с L х s [.^пространства L^ -это топология, определяемая семейством полунорм Ve va/CL4)

1 VeV s J J' v

Нормальная топология ( [ x > L^ ) - (. Lx i ' a силь~ Ha^tLx,L*) = 6VC.Lx Любая топология

J = <>~v37 LLy s 3 определяется двойственностью между L. и L

Установлено, что совершенное пространство L^ полно в любой топологии L х 3 ) и его естественное вложение в

F -пространство L* непрерывно, а также, в [ в топологии -Jt L х ^ L vj ) равносильны различные понятия относительной компактности /теоремы 4.1 и 4.2 /.

Среди топологий пространства [ ^ , промежуточных между нормальной и сильной, большое значение имеет топология б^у CL к > L* )> где (, L ) -семейство всех нормальных ограниченных подмножеств л/с- 1 таких, что

SU^ { = О w -> оо Ч' е /V ^ w J при любой функции \у. и любой последовательности измеримых множеств А ^ 0 .

Для топологий совершенного пространства L. ,промежу-точных между С L х , L ^ ) и СL^ > ij^ ) доказывается критерий сходимости последовательностей и критерий относительной компактности множеств / теоремы 4.4 и 4.5 /.

Топология CL х ^ [ vj) естественно возникает при формулировке условий согласуемости топологии ( [ ^ ^ jj^ ) пространства [ у с двойственностью между ! и Ц^, .

А \ J

Теорема 4.6. Топология С L * > L^ ) совершенного пространства L х согласуется с двойственностью между [^ и / ^, тогда и только тогда, когда w(.L )c.v\/(L)cO\7(^L?) » пространство полурефлексивно в топологии 6s- С ^ X ) И Jfc R.VCS Д.

Отсюда следует, что сильная топология пространства ]

I * Х согласуется с двойственностью между L и , тогда и только тогда, когда совершенное пространство полурефлексивно о в слабой топологии и значит для того чтобы было рефлексивным в сильной топологии совершенное пространство L. ^ , необходимо и достаточно , чтобы были рефлексивными в сильных топологиях пространства и X • Последнее утверждение - критерий рефлексивности пространства Lv - в случае когда ( - банахово л идеальное пространство, было установлено А.В.Бухваловым /5/.

В § 5 изучаются свойства нормального подпространства!.LK1 совершенного пространства (х в сильной топологии. Пространство ^ L^l состоит из всех функций j-<= L х таких, что

С uftl-Hriolrw-O, д/е w CLf) при любой последрвательности измеримых множеств А ^ I pf . Установлено, что\1—х"3 является замкнутым подпространством в L.x /теорема 5.1/. Для последовательностей изЦ1х~]1 доказывается критерий сходимости, подобный теореме Витали о сходимости в пространствах Лебега, и для подмножеств из Li— у~\ доказывается критерий относительной компактности / теоремы 5.2 и 5.3 /. Утверждения теорем 4.1, 4.2, 5.2 и 5.3 получены автором совместно с Ю.И.Грибановым / 52 /.

Во второй главе изучаются свойства непрерывности в различных топологиях вполне интегральных операторов, в частности совершенных и нормальных интегральных операторов, действующих из одного совершенного пространства |х- Lx CS ) в другое М * = > 3 ) . Далее У\ и У , U. и V - пары банаховых пространств в двойственности.

Под интегральным оператором A'- Lv понимается оператор вида

Операторнозначная функция К * S ~~^ \Л } » называемая ядром оператора А ? предполагается - измеримой, а интеграл понимается в смысле Бохнера. Здесь пространство всех непрерывных операторов из X в 1Л.

В § б приведены исходные определения и факты теории линейных операторов. Если пространство X секвенциально полно в топологии X 5 У ) » то будем писать X £S\A/C С ) ^ а если любая ограниченная последовательность из X содержит фундаментальную в топологии СЧХ^У) подпоследовательность, то будем писать X 6 R. С^}. Через Ь^С Х^ 1/L) обозначается подпространство В ( X > 1/L) > состоящее из всех операторов, непрерывных в топологиях X 5 id ) и lA 3 V ) , а через

СХ51Л) подпространство В^С X > ЯЛ.) » состоящее из всех вполне непрерывных операторов.

Интегральный оператор /\ : ~*> V-) с ядром называется вполне интегральным, если интегральный оператор ъ J действует из пространства [ в пространство L . Любой интегральный оператор А L * И является вполне интегральным.

В § 7 изучаются условия сильной и слабой непрерывности вполне интегральных операторов. На класс вполне интегральных операторов, действующих из метризуемого совершенного пространства

L х в метризуемое совершенное пространство ^, обобщается утверждение С.Банаха о сильной непрерывности любого интегрального оператора в пространствах Лебега / теорема 7.1 /.

Для приложений особый интерес представляет класс слабо непрерывных операторов. Линейный оператор Д : [ —> И ^ слабо непрерывен, тогда и только тогда, когда существует линей-ныи оператор такой, что при любых £ € | ^ и Cj £* у . Слабо сопряжённый к /\ оператор А называют также дуальным.

Известно, что любой интегральный оператор АL.—> М слабо непрерывен. Это утверждение доказано П.П.Забрейко /17/ и Ю.И.Грибановым / 9 /. В общем случае справедлива следующая

Теорема 7.2. Если ^ £ S \Л/С С X ) и ij е R л/( S X ^ ) > то любой вполне интегральный оператор А ' [. —*» И с ядром . А k^* S х Т •—> fe ^ С X > IX. ^ слабо непрерывен.

Оператор, сопряжённый к интегральному, вообще говоря не обязан быть интегральным. Соответствующий пример интегрального оператора в пространстве построен В.Б.Коротковым / 22 /. Ю.И.Грибанов установил простые для проверки необходите и достаточные условия представимости в интегральном виде оператора, дуального к интегральному оператору А L.-> / 9 /. Установлено обобщение этого утверждения.

Теорема 7.3. Пусть Д*. [^-^^-слабо непрерывный вполне интегральный оператор с ядром КЬ X \АУ Для того чтобы дуальный к Д оператор Д : —> был представим в интегральном виде, необходимо и достаточно, чтобы для любой функции cj Ь при -почти каждом интегрируема функция K*CS ^ ^^О • ^сли выполняется последнее условие, то измеримая операторнозначная функция

• Ь ^Т 2>^CV> У ) является ядром оператора А /через \С обозначается слабо сопряжённый к к" оператор /.

В § 8 устанавливается новое общее свойство непрерывности интегральных операторов /\ L.^^ секвенциальная непрерывность в слабой и нормальной топологиях.

Интегральный оператор А с ядром К-ЬуТ—> "Ц^ называется совершенным, если для ^ -почти всех точек -t вТ функция 5"b !) \\ £z » и нормальным, если интегральный оператор <х '

L ->М .

Установлено, что любой слабо непрерывный совершенный интегральный оператор A -Lv-> М с ядром х | СЛ U.)

W. Сс. * секвенциально непрерывен в топологиях 6-iLK>L ^ |6Ч СН^ / теорема 8.1 /. Для класса нормальных интегральных операторов доказана следующая

Теорема 8.4. Пусть V R ( U.) • Любой нормальный интегральный оператор с ядром W'-SxT^B СХ U.) секвенциально непрерывен в слабой и нормальной топологиях

С помощью доказанных утверждений и интересного результата Е.М.Никишина о возможности локального вложения в простран-/ * ство L любого выпуклого множества ограниченного в тополо ° гическом векторном пространстве и , устанавливается следующая

Теорема 8.7. Пусть V t R,C\A-) • Любой слабо непрерывный вполне интегральный оператор А с ядром SvT^&^CX^U-), действующий из нормируемого совершенного пространства L в совершенное пространство И , секвенциально непрерывен в топологиях <Г( L х , L^ ) ^ЮЧ^М V )•

Отметим два важных следствия доказанного свойства. В.Б.Коротков недавно установил, что любой интегральный оператор /\ \ | ? , л <. ь ^ оо переводит любую слабо сходящуюся последовательность из L в последовательность, сходящуюся по мере на каждом интегрируемом множестве / 23 /. Оказывается, что если \/ £ R. С1Л-))то любой вполне интегральный оператор А с ядром К • Ь х"Т -> В^ ^ » Действующий из нормируемого совершенного пространства L в прост

LO iL переводит любую сходящуюся в топологии Гу \ последовательность из Lv в последовательность сходящуюся Л по мере на каждом интегрируемом множестве / теорема 8.8 /.

Если пространство L ^LL^l, Vе Q (.U ) ?Х<=-ЙХ^), то любой вполне интегральный оператор А с ядром 1<6$хТ-> действующий из нормируемого совершенного пространства [ к

1° в пространство L компактен по мере, т.е. он переводит любое ограниченное множество из Ly в относительно компактное в -пространстве L ^ множество. Подобные условия компактности по мере интегрального оператора А , действующего из идеального пространства L в идеальное пространство И установлены П.П.Забрейко / 17 /.

В § 9 установлены некоторые свойства о*. -, -, ^ - и оО-непрерывных операторов, которые естественно возникают при рассмотрении вполне непрерывных операторов. В частности, в терминах секвенциальной непрерывности характеризуются р -непрерывные операторы и установлены условия -непрерывности $ -непрерывного оператора.

В § 10 исследуются вполне непрерывные операторы, действующие из нормируемого совершенного пространства Lv в нормиЛ руемое совершенное пространство М ^ . Установлено, что для полной непрерывности любого вполне совершенного и любого усиленно нормального -интегрального оператора А • L ^LH с ядром S Х.Т —>Внеобходимо и достаточно, чтобы он был оС - непрерывным / теоремы 10.5 и 10.6 /. Доказывается, что ^ -непрерывный слабо непрерывный оператор А вполне непрерывен, если оба оператора А и Д^являются либо вполне совершенными, либо усиленно нормальными интегральными операторами / теорема 10.8 /. С помощью этих утверждений доказываются некоторые частные достаточные признаки полной непрерывности интегральных операторов, действующих в пространства L или из пространства L^ , а также устанавливаются достаточные условия полной'непрерывности интегральных операторов А • LPX-* 7i < оо <. <х? / теоремы 10.1010.17 /<

В заключении ^формулируем основные результаты работы:

1. Установлены новые свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций в слабой топологии и топологиях, промежуточных между нормальной и сильной. В частности, доказаны критерии слабой секвенциальной полноты и слабой квазиполноты [ / теоремы 3.4 и 3.5 /, критерий совпадения классов относиА тельно слабо компактных и относительно секвенциально сяабо компактных множество пространства L. / теоремы 3.9 и 4.7 /,

-II* и критерий согласуемости с двойственностью между и I топологии пространства / промежуточной между нормальной л и сильной / теорема 4.6 /.

2.На класс вполне интегральных операторов/4*

Л * обобщается утверждение о слабой непрерывности и критерий представимости в интегральном виде слабо сопряжённого к Д оператора /теоремы 7.2 и 7.3 /.

3. Для классов совершенных и нормальных интегральных операторов /4 : L v —> VA , а если нормируемое совершенное пространство, то и для класса вполне интегральных операторов Д*. Ly-"*^^ установлено новое общее свойство непрерывности о» секвенциальная непрерывность в слабой и нормальной топологиях / теоремы 8.1, 8.4 и 8.7 /.

СОВЕРШЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ВЕКТ0РН03НАЧНЫХ ФУНКЦИЙ § I Исходные обозначения и терминология

На протяжении всей работы мы будем в основном придерживаться терминологии и обозначения монографий И.Данфорда и Дж.Шварца / 12 / и Н.Бурбаки / 3 /.

Всюду в дальнейшем Д. , СТ, А ~ пространства с 6* -конечными неотрицательными полными мерамиА } их произведение.

Все рассматриваете в работе векторные пространства предполагаются вещественными. Если X -банахово пространство, то через X обозначается сопряжённое к нему пространство.

Пусть X - банахово пространство. Векторнозначная функция

Уу f S X называется И - простой, если-j--21 , гДе X u <г Л » а измеримые множества Д попарно непересеis W каются. Функция^ »Ь-> X называется ^л. - измеримой, если существует последовательность X -простых функций Ь —> X таких, что

Ь.^ \\С 0*0 - t-Cb)\l = О оо J к J для JU. -почти всех Se . Через ) будем обозначать векторное пространство всех классов измеримых функций из S в X совпадающих у*. - почти всюду. Как обычно будем отождествлять измеримую функцию с классом, которому она принадлежит.

Множество называется нормальным, если из , к" > l)f-CS)N 4 \\ -почти всюду следует ^ е \С .

Нормальной оболочкой kl множества К. ^ будем называть л наименьшее нормальное множество, содержащее К. .

Пусть л/с - нормальное множество. По определению, множество

Vx 4f He V} о

Если множество л/с. L , то через л/^. будем обозначать множество всех функций ^вд/таких, что ^и. -почти всюду. Интегралом X -простой функции С = по интегрируел А \ ^к мому множеству/4 ( о*-СЛ ) < ) называется элемент и.

Измеримая функция ->Х называется интегрируемой /по Бохнеру/ по измеримому множеству А , если существует такая последовательность Ц-простых функций S —> X , что uL^-0

V4 —> сгО i ^ 7 ч* -почти всюду на А , и \ llVcs)- £^(ло1Ыои. ® о . w j -> с*Э J д J w J J

Тогда интегралом функции по Л называется элемент

Данное определение интеграла функции j- по множествуА корректно, т.е. не зависит от выбора последовательности X -простых функций с указанными свойствами.

Через iLy ~ t ^и)обозначается Подпространство пространства , состоящее из всех интегрируемых но S функций.

Говорят, что банахово пространство Х> обладает свойством Радона - Никодима относительно пространства с мерой CS»X. и пишут X £ в» л/С S ^L л у.") , если любая абсолютно непрерывная относительно^ векторная мера 3 : И—> Х- конечной вариации представима интегралом Бохнера, т.е. существует функция X такая, что для любого множества А £ L • Если для любого пространства с мерой C.S то говорят, что X обладает свойством Радона - Никодима и пишут Х^ • Например свойством Радона-Никодима обладает любое рефлексивное банахово пространство и любое сепарабельное банахово пространство, линейно изометричное пространству, сопряжённому к некоторому банахову пространству / 13, с. 174 /.

Пусть Р -некоторое семейство полунорм на векторном пространстве W,1lSмножество всех подмножеств из\А/, определяемых неравенствами вида pCw) 5s X , где Р5 А >0 .В пространстве

А/ существует однозначно определенная локально выпуклая топология t , согласующаяся со структурой векторного пространства и имеющая фундаментальной системой окрестностей нуля множество пересечений всевозможных конечных наборов множеств из и/. Топология l называется топологией, определяемой семейъ ством полунорм I . Множество £г с W ограничено в топологии v., тогда и только тогда, когда bw-p PCVA/} < ОС we Gt для любой полунорш р €г\ . Любая локально выпуклая топология чГ на\А/определяется некоторым семейством полунорм.

Пусть\А/— локально выпуклое пространство, топология t которого определяется семейством полунорм Г . Говорят, что направленность!.^*) в

W сходится в топологии L к элементу W и пишут если

W - ~ ^^ wot. -> PCW^-NA/^ = О

ОС ' для любой полунормы рв \ . НаправленностьСул/^ ) в W Фундаментальна в топологии , если ьС w, - W, ) - О о/ j I А для любой полунормы |> € Р . Пространство \/V называется квазиполным в топологии l если любая ограниченная и фундаментальная направленность его элементов сходится в топологии 'с* •

Множество (у с \Д/ называется предкомпактным в топологии 'с , если любая направленность его элементов содержит поднаправлен-ность, фундаментальную в топологииt , и относительно компактным в топологии ТГ , компактным в топологии Т" , если любая направленность его элементов содержит поднаправленность, сходящуюся в топологии t к элементу соответственно пространстваW множества (у

Множество называется секвенциально предкомпактным в топологии ^ , если любая последовательность его элементов содержит подпоследовательность, фундаментальную в топологии tT , и относительно секвенциально компактным в топологии 'ТГ секвенциально компактным в топологии , если любая последовательность его элементов содержит подпоследовательность, схудящуюся в топологии Т к элементу соответственно пространства W , множества G .

Пусть Е и F - векторные пространства над полем вещественных чисел и на произведении £ * F определена билинейная форма &С- • Напомним, что и V" находятся в двойственности относительно , если для каждого £ 4= О из Е существует у Q= V такое, что О > и Для каждого из 1" существует хеЕ. такое, что В С* ^ ) Ф О • Отделимую локально выпуклую топологию, которая обозначается символом б^ С Ь >V~ ) , определяет в tl семейство полунорм pCxO ^-V^bC^j^^ Lie-V- . Поменяв ролями Е и F , определяют топологию ( р Ъ. ) в F.

Будем говорить, что отделимая локально выпуклая топология в h определяется двойственностью между Е и V" , если она задается семейством полунорм

Р СХ) - Sutp IBcx^jM „

1 yet > где множество Сг в ограничены в топологии 6*С V" ^ Е ) и образуют покрытие пространства Г . ■

Среди отделимых локально выпуклых топологий в Е , определяемых двойственностью мейду Е и V" , существует слабейшая - это топология б^С Ь и сильнейшая топология которая определяется семейством полунорм , где множество & пробегает класс всех множеств в F , ограниченных в топологии в~С F J Ъ. ) • В связи с этим топологии £"( Е J V" ^ И ф С Е > V" ) называются слабой и сильной топологиями в Е- , определяемыми двойственностью между с и Ь

Напомним, что отделимая локально выпуклая топология ^ в Е согласуется с двойственностью между Ь- и , если каждый линейный функционал на Е > непрерывный в топологии 't , имеет вид В С' > ) > гДе ^ ^ • Каждая такая топология в Е определяется двойственностью между t и V" . Если топологяялГ в Е согласуется с двойственностью между EL и \г , то пространство, топологическое сопряженное к Е. относительно топологии t, отождествимо с пространством V" . Пространство Е: в топологии t называется пол.урефлексивным, если каноническое вложение fc. —> tz^ является отображением "на

Среди отделимых локально выпуклых топологий в Е. , согласующихся с двойственностью между Е и F существует ела-, бейшая - это топология ^ и сильнейшая - это топология Макки L . Последняя топология определяется семейством полунорм р^. , где множество G- пробегает класс всех уравновешенных выпуклых множеств в F , компактных в топологии

X и У - банаховы пространства в двойственности относительно билинейной формы <•■,•> , если векторные пространства

X и У находятся в двойственности относительно билинейной формы < • , • > , являются банаховыми пространствами, для любого х £ X

IUU Su- Р Л <* ,«-J>\ ^ W & \ и для любого У

Для любого у 6-У линейный функционал <• непрерывен на банаховом пространстве X и его норма равна \\ у \\ . Таким образом, банахово пространство ^ может быть отождествлено с подпространством в // • Меняя ролями X и получаем, что X отождест-вимо с подпространством в У'.

1. Балак-ришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. - М.: Мир, 1974. - 257 с.

2. Банах С. Курс функционального анализа. Киев: Радянська школа, 1948.

3. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959. - 410 с.

4. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. - 272 с.

5. Бухвалов А.В. Геометрические свойства банаховых пространств измеримых вектор-функций. ДАН СССР, 1978, т.239, I 6, с. 1279-1282.

6. Грибанов Ю.И. Некоторые классы локально выпуклых топологических пространств. П. Изв. вузов. Матем., 1967, № 6, с. 26-38.

7. Грибанов Ю.И. Некоторые классы локально выпуклых топологических пространств. Ш. Изв. вузов. Матем., 1968, № I, с. 50-63.

8. Грибанов Ю.И. Линейные операторы в совершенных пространствах функций, I. Изв. вузов. Мат ем., 1969, 6, с.47-57.

9. Грибанов Ю.И. Линейные операторы в совершенных пространствах функций, П. Изв. вузов, Матем., 1970, № 8, с.48-58.

10. Грибанов Ю.И. Линейные операторы в совершенных пространствах функций, 1У. Изв. вузов. Матем., 1970, £ II, с.31-38.

11. Грибанов Ю.И. Непрерывность линейных интегральных операторов в метризуемых векторных топологических пространствах измеримых функций. Функциональный анализ и теория функций / Казанок. гос. ун-т, 1967, т.127, сб.4, кн.1, с.ПО-ПЗ.

12. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. -М.: ИЛ, 1962.

13. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств. Избранные главы. Киев: Вища школа, 1980. - 215 с.

14. Забрейко П.П. Нелинейные интегральные операторы. Тр. семинара по функцион. анализу / Вороненок, гос. ун-т, 1966, вып.8, с.3-148.

15. Забрейко П.П. Идеальные пространства функций, I. Вест. Яросл. университ., 1974, вып.8, с.12-52.

16. Забрейко П.П. 0 некоторых свойствах линейных операторов, действующих в пространствах } . Докл. АН СССР, 1964, т.159, В 5, с.975-977.

17. Забрейко П.П. Исследования по теории интегральных операторов: Дис. . д-ра физ.-мат. наук Воронежск. гос. ун-т. Воронеж, 1968. Машинопись.

18. Забрейко П.П., Обрадович П. К теории банаховых пространств вектор-функций. Тр. семинара по функцион. анализу / Воронежск. гос. ун-т, 1968, вып.10, с.12-21.

19. Интегральные уравнения / Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. М.: Наука, 1968. - 444 с.

20. Келли Д.Л. Общая топология. М.: Наука, 1968. - 383 с.

21. Коротков В.Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983. - 222 с.

22. Коротков В.Б. Интегральные операторы. Новосибирск: изд. Новосиб. ун-та, 1977. - 66 с.

23. Коротков В.Б. 0 регулярной.и компактной факторизации интегральных операторов в L . Мат. заметки, 1982, т.32, № 5, с.601-606.

24. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 499 с.

25. Красносельский Е.И., Соболевский Е.И. 0 признаках полнойнепрерывности линейных и нелинейных интегральных операторов. Док. АН СССР, 1962, т.142, I.

26. Макаров А.С. Некоторые вопросы банаховых функциональных пространств и нелинейных операторов в них: Дис. . канд. физ.--мат. наук / Казанск. гос. ун-т. Казань, 1975, Машинопись.

27. Наводнов В.Г. Слабая полнота и слабая компактность множествв банаховом пространстве измеримых вектор-функций. Марийск. политехнич. ин-т. Йошкар-Ола, 1979, 16 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 7.5.79. В 1645-79 Деп.

28. Никишин Е.М. Резонансные теоремы и надлинейные операторы. -Успехи мат. наук, 1970, т.15, вып.6, с.129-191.29. функциональный анализ / Под ред. С.Г.Крейна. 2-е изд. М.: Наука, 1972. 544 с.

29. Шефер I. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. - 357 с.

30. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. - 1066 с.

31. ВсЛ-t О 1л. we&M. со\м. Cc^t Сц. цэсьслл ^QJLuulcL у^еоли^сл CLwck иАс^'саХ&г. Си.w utlv, (u-cu^ // вs^cxcjw, . —

32. ОЛаллл, ust-4, p. TW-otjeA^e^ oLe. JLuuxJ2jL"be. сДз. cJU. <to oocXrte. douM» Сад cU- Ico^Le. ^vv-Ob-aJ^i^ TWAA€. . . .teclvvwct/wj^ otu. ^XKju^VJCyuuCLclo(L. HjcU koik . -У.АмЖ/и. JC*XJl.>49S4, v.iip.S-f- US'.41 .ФСнлиЛсы^с л/, ^etf&t -196G, kZLjo.

33. Few 16-Кииоъыл**- Ръсе. л/си£.Лса.о/. Sec.

34. СгелЛои S.F. zbpc^cZo LPC?*>X).-c^aoud. bie^e. Q^cuit. ,/c's. ^ ьаХиЬ. iSi •

35. Hcc£uu><> P.R., Su^oUa. \/.S. о^-иОгльЖ&Ъ, Ом L^ sf^cL&zs, , -в&г&и. HelcUii&uft л/ы-Чеьк* SfiStLu^Mc45.U*. So^OueM. S^-tCCC-Xl*,. — lM:A 46. иСсагМяи-осЛЛ JJ. L- V^&kob saJL^c/ кс'Охл fu^a^tic^t^, уго^е*. Ц ,-M. еХ McJk., v. л/4, jo.SSZ-S??.

36. M-o^toU^aJlc/ J.i. iz&JujLof fCc'^Lt s^eusei.i?/.-^ # MoUk.sfm> inI-^ссЫ^сб : Pk. <D. J UuUy/e^vt'fyj -is??.50. p. A/obei otd'icu^. " of MtufLtсЛПо теме диссертации опубликованы следующие статьи:

37. Кузьмин Ю.Н. Некоторые свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций в слабой топологии. Казанск. гос. ун-т. Казань, 1980, 27 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 20.3.80. 1079-80 Деп.

38. Грибанов Ю.И., Кузьмин Ю.Н. 0 некоторых топологических свойствах пространств измеримых векторнозначных функций, порожденных совершенными пространствами функции. В кн.: Конструктивная теория функций и функциональный анализ, вып.П. Казань, 1979, с.27-32.

39. Кузьмин Ю.Н. 0 согласуемости нормальной топологии с двойственностью. В кн.: Интеграл и мера. Куйбышев, 1982, с.38-42.

40. Кузьмин Ю.Н. 0 непрерывности линейных интегральных операторов. В кн.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. Всесоюзной конф. Минск, 1982, с. 96-97.