Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЛИЕВ МАРАТ АМУРХАНОВИЧ

ОРТОГОНАЛЬНО АДДИТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В РЕШЕТОЧНО НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — "математический анализ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2004

Работа выполнена в Институте прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН.

Научные руководители

доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Кусраев; доктор технических наук, профессор И.Д. Музаев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. П. Кондаков; доктор физико-математических наук, профессор A.B. Бухвалов.

Ведущая организация:

Новосибирский государственный университет.

Защита диссертации состоится * _> QjcX J-Sjpjl.2004 г. в

_{—£—» час. на заседании диссертационного совета К.212.208.06.

по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ростовском государственном университете по адресу: (34400) г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: 344006, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «_

QJL

ULbJCJ-Flp 0-9004

Ученый секретарь

диссертационного совета К.212.208.06. кандидат физико-математических наук

В Д Кряквин

ЗУЗ

цозгъм

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Основные объекты изучения в функциональном анализе -это операторы и функционалы, действующие в различных функциональных пространствах. Исторически в функциональном анализе сложились два методологических подхода: один, связанный с изучением топлогический структуры функциональных пространств; второй опирается на порядковые свойства аналитических объектов. В духе первой парадигмы развивалась общая теория банаховых пространств и банаховых алгебр, разработанная Банахом, Ханом, Штейн-гаузом и др. С порядковым подходом связана теория векторных решеток, созданная в трудах Л. В. Канторовича, Ф. Рисса, Г. Фрейден-таля и других. Аппарат теории векторных решеток оказался хорошо приспособлен для решения многих трудных аналитических задач. На языке векторных решеток хорошо описываются важные классы операторов, в том числе и интегральные операторы, являющиеся, по замечанию П. Халмоша, „ядром"функционального анализа. Так, например, проблема, поставленная в 30-годах Д. фон Нейманом, о характеризации интегральных операторов в пространствах ¿2 (Л, Е, /х) была решена лишь в 1974 году. Эту задачу решил советский математик А. В. Бухвалов, с помощью, развитого к тому времени, исчисления порядково ограниченных операторов в векторных решетках. В середине 80-х годов прошлого столетия критерий интегрального представления был получен для нелинейных ортогонально аддитивных операторов, действующих в пространствах измеримых функций. Этот результат, полученный испанскими математиками Ж. Мазоном и С. де Леоном, опирался на более раннее результаты М. А. Красносельского, П. П. Забрейко, С. Г. Крейна, В. Г. Наводнова и многих других. Теория Ж. Мазона и де Леона, так же как, и в линейном случае, основана на технике векторных решеток.

В последние десятилетия 20 века в функциональном анализе наметился подход, унифицирующий топологическую и порядковую технику и открывающий новые возможности и перспективы. Этот подход связан с понятиями решеточно нормируемого пространства (РНП) и мажорируемого оператора, введенными еще в середине 30-х годов Л.В.Канторовичем. После первых важных приложений к вопросу о разрешимости функциональных уравнений почти полвека в этой области не было существенных продвижений. Бурный прогресс наступил с начала 80-х годов в связи с проникновением в функциональ-

Ри< НАЯ

' i К А

1 РГ

ный анализ новых идей из математической логики и развитием бу-левозначного анализа. В частности, в 1987 году, используя технику РНП, А. Г. Кусраев распространил критерий интегрального представления линейных операторов на операторы, действующие в пространствах измеримых вектор-функций. В настоящее время теория реше-точио нормированных пространств и линейных мажорируемых операторов в них, представляющая собой богатую теорию с многочисленными приложениями в анализе, подробно изложена в итоговой монографии А. Г. Кусраева "Мажорируемые операторы", Москва, Наука, 2003, - 619 с.

2. Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является изучение нелинейных, ортогонально аддитивных мажорируемых операторов (мажорируемых операторов Урысона), действующих в решеточно нормированных пространствах. Для этого класса операторов выясняются условия мажорируемости, латеральной непрерывности, интегральной представимости. Основным результатом работы является нахождение необходимых и достаточных условий для представления ортогонально аддитивного мажорируемого оператора в виде слабого интегрального оператора Урысона.

3. Методы исследования. Результаты работы получены с использованием методов теории меры и теории булевых алгебр, теории векторных решеток и решеточно нормированных пространств, теории мажорируемых и интегральных операторов.

4. Научная новизна. Новизна научной работы состоит в том, что вводится новый класс операторов, действующих в решеточно нормируемых пространствах — мажорируемые операторы Урысона. Частным случаем таких операторов, когда РНП в которых действует оператор — ¿^-пространства, являются абстрактные операторы Урысона, изучавшиеся указанными выше авторами. Для общих мажорируемых операторов Урысона доказывается ряд важных структурных теорем. В пространстве всех мажорируемых операторов Урысона Мц(У, И^), действующих между РНП V и IV, выделяются интересные подклассы латерально непрерывных и ортогонально (т-аддитивных операторов. Для них также доказывается ряд структурных теорем. Для пространства Мц{у, У/), аналогично линейному случаю, изучается проблема разложимости мажорантной нормы, являющаяся важной характеристикой пространства. Все, перечисленное выше, служит необходимым инструментарием для доказательства основного результата диссертации — критерия слабого интегрального представления мажорируемо-

го оператора Урысона.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Результаты работы могут быть применены в теории абстрактных операторных уравнений в функциональных пространствах, при изучении решеточно нормируемых пространств и мажорируемых операторов.

Апробация работы. Результаты работы по мере их получения докладывались на семинаре «Алгебра и анализ» в СОГУ (руководители: профессор А. Г. Кусраев, профессор В. А. Койбаев), на семинаре кафедры математического анализа РГУ (руководитель — профессор Ю. Ф. Коробейник), на Международных конференциях «Порядковый анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, 10-13 апреля 2003 г., 14-18 апреля 2004 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1]-[5]. В полученных результатах научному руководителю профессору А. Г. Кусраеву принадлежит постановка задачи и общие рекомендации к их решению, а автору диссертации — реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Список литературы содержит 108 наименований. Объем диссертации — 83 страницы, набранные с использованием пакета

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации и приведены основные результаты диссертации.

Глава 1. В этой главе излагаются необходимые предварительные сведения из теории векторных решеток, теории решеточно нормируемых пространств и теории абстрактных операторов Урысона, действующих в векторных решетках. В ней собраны и компактно представлены необходимые для понимания текста диссертации, результаты, разбросанные по малодоступным журнальным публикациям. Приведем одно определение, используемое на протяжении всего текста. Пару (У, Е), где V — векторное пространство, а Е — векторная решетка, называют решеточно нормированным пространством, если на V задана .Е-значная норма, т.е. оператор | • | : V —» Е+, удовлетворяющий условиям:

| х| =0^1 = 0; |Лх| = |А| \х\ (А 6 К, хе V); \х + У\ < М + М (х, у е V).

Пространство У{ а также норму | • |) называют разложимым, если выполняется еще одно условие:

Уг) 6 V, Уе5, е2 £ Е+ | = ег + е2 => (Зг^, г>2 € V, г = г 1 + г>2); |г>1| = еь |и2| = е2.

Если данное свойство выполняется лишь для дизъюнктных е\ и е2, то норма называется ¿¿-разложимой.

Глава 2. Вторая глава начинается с того, что вводится понятие мажорируемого ортогонально аддитивного оператора — мажорируемого оператора Урысона. Это основной объект диссертационного исследования и изучению различных свойств таких операторов посвящена вся работа. Введем некоторые технические понятия. Пусть (У,Е) и {IV, Е) это РНП, нормируемые решетками Е и Е. Ь1(Е, F) — пространство абстрактных операторов Урысона, действующих между Е и Р. Как установили Ж. Мазон и С. де Леон Ы{Е, Р1) является векторной решеткой, если порядок определить с помощью конуса {5 € Р) : 5и > 0, (Уи € Е)}. Оператор Т : V IV называ-

ется ортогонально аддитивным, если Т(у + ш) = Ту + Ти>, когда у

и w дизъюнктны. Оператор Т : V —» W называется мажорируемым оператором Урысона, если выполняются следующие условия:

1) Т ортогонально аддитивен;

2) существует S € Ub\m(E, F) такой, что выполняется неравенство-\Tv\ <S(M),(i;e V).

Под ортогональной аддитивностью понимается, что оператор аддитивен на дизъюнктных элементах. Под Ua¡m(E, F) понимается множество ортогонально аддитивных, положительных, возрастающих, симметричных операторов. Выражаясь точнее, Т € Usim(E,F) Т ортогонально аддитивен, Те € F+ для любого вектора е 6 Е, Т возрастает на Е+ и кроме того Т(—е) = Те для любого е € Е+. Мажорируемые операторы Урысона являются обобщением абстрактных операторов Урысона в случае общих решеточно нормированных пространств и совпадают с последними, когда РНП (V,E) и (W,F) — векторные решетки.

Оператор S, обладающий указанными свойствами называется мажорантой Т. Множество всех мажорант обозначается через maj(T). Множество Usim{E,F) само является подрешеткой U{E,F), и поэтому наследует векторный порядок из U(E, F). Наименьший элемент в maj(T) относительно этого естественного порядка, называется точной мажорантой оператора Т и обозначается | Т|. Множество всех мажорируемых операторов Урысона из V в W обозначается через My(V, W). Следует отметить, что пространство M¡j{V, W) нормируется векторной решеткой Ubim(E,F), т.е. является решеточно нормированным пространством. Векторную решетку называют решеткой с проекциями (решеткой с главными проекциями), если каждая полоса (главная полоса) допускает порядковый проектор. В первом параграфе первой главы доказывается, что множество Иь,т(Е,F), где Е — решетка с проекциями на главные полосы, a F — /^-пространство, будет конусом и порядково полной подрешеткой в U{E, F). Далее, в том же параграфе, доказывается теорема о существовании точной мажоранты и приводится формула, по которой она может быть вычислена.

Теорема [2.1.3]. Пусть пространство W разложимо, а решетка F порядкова полна. Тогда для любого мажорируемого оператора Т : V W существует точная мажоранта | Т\ и отображение Т » | Т| является решеточной нормой со значением в пространстве U(E,F).

При этом точная мажоранта может быть вычислена по формулам:

Второй параграф посвящен изучению проблемы разложимости мажорантной нормы. В теории решеточно нормируемых пространств это понятие играет важную роль. В случае, сложно устроенного, решеточно нормируемого пространства разложимость решеточной нормы является нетривальным утверждением. Вместе с тем, разложимость существенно необходима для доказательства критерия интегральной представимости. Однако, простейшие примеры показывают, что мажорантная норма в пространстве Ми(Е,Е) не обладает свойством разложимости. Тем не менее некоторый ослабленный аналог разложимости нормы оператора, достаточный для доказательства теоремы об интегральном представлении, сохраняется. Для доказательства теоремы о разложимости, строится вспомогательная конструкция. Для этого изучается булева алгебра осколков положительного симметричного оператора.

Пусть и € Е+ и е А (и — е) = 0 для некоторого 0 < е € Е. Тогда е называют осколком элемента и. Множество всех осколков и является булевой алгеброй. Решеточные операции индуцируются из Е, а булево дополнение имеет вид е* := и — е.

В этом параграфе, мы следуем схеме, впервые примененной Р. Алипрантисом и О. Беркиншоу и в дальнейшем упрощенной А. Г. Ку-сраевым и Е. В. Колесниковым. Теоремы, получаемые на этом пути получили название теорем типа "вверх-вниз". Суть их состоит в том, что некое, сложно устроенное множество получается из значительно более простого, применением операций типа "вверх-вниз". Особенность нашей ситуации в том, что нас интересуют не все осколки, а только симметричные, т.е. те, которые принадлежат ия\т. Воспользуемся более техническим языком.

Операторы вида \/Г=1где 7г, попарно дизъюнктные порядковые проекторы в Г, а и, произвольные порядковые проекторы в Е, будем называть простыми осколками Множество таких операторов обозначим через Л5. Множество всех симметричных осколков обозначим через В$-

(К1±Ы), (г Ф з, е & Е+). \Т\ (е) = |Т| (е+)+ |Т| (е_);ее£.

Введем следующие обозначения: пусть С С тогда под Ст, будем понимать множество — Ст := {е € Bs' существует сеть (eQ) С

* С, еа 1 е}. Аналогично определяем С* и полагаем Сп := (Ст)'. Так как, мы работаем, одновременно, с симметричными и произвольными осколками, то требуется определенная осторожность. В лемме 2.2.1

* второго параграфа доказывается, что если S — симметричный осколок симметричного оператора Т, то и 7гScr также будет симметричным осколком Т. Следующие две леммы (2.2.3, 2.2.4.) служат подготовительным инструментом к теореме, устанавливающей равенство: Bs = Au.

Теорема [2.2.5]. Пусть Е и F те же , что и в предыдущей лемме, Р € Usim и S € Bp, тогда справедливы соотношения: (а) для любых: е е Е, е > 0, 1 6 Шр существует К € Ар и |5 - К\{е) < el; (б) для любого е€ Е, существует R е Ар и |S - -R|(e) = 0.

После теоремы 2.2.5 следуют две технические леммы, подготавливающие почву для теоремы о разложимости. Затем доказывается важное утверждение (лемма 2.2.8.) — симметричные осколки образуют булеву подалгебру в булевой алгебре осколков симметричного оператора. И заканчивается второй параграф теоремой о частичной разложимости мажорантной нормы.

Теорема |2.2.9]. Пусть (V, Е) — решеточно нормированное пространство, a (W,F) — пространство Банаха-Канторовича и в К-пространстве F есть слабая порядковая единица. Тогда для любого Т е Mu(V, W) и любых S, Р € Usim(E, F) таких, что

О < S < \Т\ ; 0 < Р < \ Т\ ; P±S; P + S= |Т| ; найдется оператор St € My{V, W) и

\Т\ = |Sr| + ir-Sj-l ; 15т| =5; |T-Sr| = P

Третий параграф второй главы посвящен нелинейному аналогу порядково непрерывных операторов. В пространстве Ы{Е,Р) этим аналогом являются вполне аддитивные и латерально непрерывные »» операторы. Оператор Т 6 Мц{Е, Р) называется вполне аддитивным

(вполне а-аддитивным) если выполняются равенства:

Т = ,

= Тгиг,

«€Н / €6Е

ос \ оо

1=1

'г 1

где п>£ — семейство попарно дизъюнктных элементов. Свойство полной аддитивности хорошо наследуется при мажорации. Параграф начинается с теоремы, придающей этой формулировке точный математический смысл.

Теорема [2.3.1]. Оператор Т вполне аддитивен тогда и только тогда, когда вполне аддитивна его точная мажоранта.

Для латерально непрерывных операторов справедлива аналогичная теорема.

Теорема [2.3.2]. Оператор Т € Ми(У,Ш) латерально непрерывен тогда и только тогда, когда латерально непрерывна его точная мажоранта.

Свойства латеральной непрерывности и полной аддитивности близки, но не совпадают. Если же ограничиться <т-аддитивностью и а-непрерывностью, то эти два класса операторов эквивалентны. В пункте 2.3.4 мы рассматриваем один класс операторов, используемых в дальнейшем при рассмотрении пространств измеримых вектор-функций. Это операторы, коммутирующие с порядковыми проекторами. Примером такого оператора является абстрактный оператор Немыцкого, действующий в векторных решетках. Выясняется, что все такие операторы латерально непрерывны.

Теорема [2.3.4]. Пусть (V, Е) и {IV, Е) — пространства Банаха-Канторовича, Е подрешетка в Е и V — подпространство И7. Если оператор Т : (V, Е) —> Е) коммутирует с проектором, то Т это ортогонально аддитивный, латерально непрерывный оператор.

Используя общую технику решеточно нормированных пространств, мы получаем теорему, которая описывает структуру подпространства латерально непрерывных (сг-латерально непрерывных) операторов.

Теорема [2.3.5]. Множество вполне аддитивных и латерально непрерывных операторов образуют полосы в пространстве Ми(У, IV)

Множества а-аддитивных и латерально а-непрерывных операторов совпадают и образуют полосу в пространстве My(V, W).

Глава 3. В этой главе изучаются мажорируемые операторы Уры-сона, действующие в пространствах измеримых вектор-функций. В этой главе общая техника, развитая выше, применяется к операторам, действующим в решеточно нормированных пространствах Е(Х) и FS(Y, Z). В третьей главе Е и F — порядковые идеалы в пространствах измеримых почти всюду конечных функций, X — сепарабельное банахово пространство, Y — банахово пространство, такое что существует сепарабельное нормирующее подространство Z С Y* и Y С Z*.

Глава начинается с рассмотрения одного класса вектор-функций, скаляризация, которых дают ядра слабых интегральных операторов. Пусть (Л, Ei, v) и (В, Т>2, fi) — пространства с сг-конечными мерами, а U — вектор-функция трех переменных, отображающая произведение В х А х X в У. Будем говорить, что функция U принадлежит классу Я, если U удовлетворяет следующим условиям:

1) U(s, t, 0) = 0 А-п.в. для (s, t) € В х А;

2) U(- ,х) Z-слабо измерима для всех х € X;

3) U(s,t,-) А-п.в. Z-слабо равномерно непрерывна на каждом замкнутом ограниченном шаре X. Пусть 21 — счетное, всюду плотное множество в X. С каждой вектор-функцией U € Я свяжем ее решеточную норму по правилу:

\U\ (s,t,r) := sup{|(z,C/(s,f,x))| : ||х|| < г; z € Я; N1 < 1}.

Возьмем теперь сильно измеримую вектор-функцию й: А —> X, и предположим что для всех z € Z и почти всех s € В существует интеграл

w(s, z) = J (г, C/(s, f, «(*))) du{t)

A

и линейный функционал г —» s) непрерывен при почти всех s € В. Тогда, будет определена слабо измеримая вектор-функция s —> u(s, z). Для класса эквивалентности измеримой вектор-функции й обозначим через Тй класс эквивалентности вектор-функции s —»сj(s, •). Если Тй существует и | Тй | £ F, то определен ортогонально аддитивный оператор Т: Е(Х) - + FS(Y, Z). При этом говорят, что определен слабый

интегральный оператор Т с ядром U и, допуская некоторую вольность, пишут

(z, Tu) (s) = j (г, U (s, t, u(t)) dv(t).

A

Основная теорема этой главы — критерий слабого интегрального представления мажорируемого оператора Урысона. Эта теорема является результатом цепочки вспомогательных построений.

Параграф первый третьей главы начинается с технической леммы 3.1.2, утверждающей, что для ортогонально аддитивного мажорируемого оператора, действующего из пространства Е(Х) в пространство Lo(n), супремум конечного числа разностей образов sup1<t<„ \Tft —Tgi\ реализуется на разности двух элементов \Tû—Tv\. В следующем пункте 3.1.3 вводится вспомогательное пространство Е*(Х), состоящее из вектор-функций двух переменных таких h(s,t), что функция |М,.)| € Е® "оо (м). Далее доказывается лемма, что для слабого интегрального оператора, действующего из Е(Х) в Fs(y, Z) с ядром U, для почти всех s £ В, существует! интеграл:

J U(s,t, h(s,t))dn(t)).

Вектор-функция h(-, •) в интеграле, принадлежит Е*(Х). В следующем пункте 3.1.4, с каждой вектор-функции g € Е(Х), мы связываем скалярную функцию двух переменных:

M§(s,t) :=sup{{z,U{s,tMs,t)) : \h\ (M) < (i)lB(s))}.

Далее устанавливается, что определенная таким образом функция Mg(s,t), совпадает с \U\ (s,t, jд\ (t)) Л-п.в. В следующем пункте 3.1.5 развитый выше, технический инструментарий используется для доказательства важной теоремы о том, что для слабого интегрального оператора, мажорируемость эквивалентна существованию мажорирующего интегрального оператора, действующего в пространствах скалярных функций.

Теорема [3.1.5]. Пусть Т : Е{Х) -» FS(Y, Z) - слабый интегральный оператор с ядром U. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — мажорируемый оператор;

2) из Е в Е определен интегральный оператор Урысона Б с ядром \Щ.

Кроме того 5 будет точной мажорантой оператора Т.

В следующем пункте исследуются мажорируемые операторы, действующие в пространствах ступенчатых вектор-функций. Общая идея состоит в том, чтобы получить критерий слабого интегрального представления для пространства таких вектор-функций, а потом, пользуясь бо-полнотой, распространить его на все пространство Е(Х).

Через Е1(Х) обозначим множество вектор-функций вида

п

АгГ\А] — 0;

1=1

Л, € £и ||£,|| € <0; А С виррЯ. РНП Е1(Х) нормированно векторной решеткой Е1, где

Напомним, что Е1(Х) Ьо-плотное подпространство в Е(Х).

Следующая теорема характеризует слабые интегральные операторы в пространствах ступенчатых вектор-функций.

Теорема (3.1.6]. Пусть Т : Е1(Х) -* - мажорируемый,

ортогонально аддитивный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — слабый интегральный оператор;

2) для любой ограниченной последовательности (йп)^=1 С Е1(Х), такой что,

\ип\ У 0, следует \ Тип\ У 0.

Данная теорема напоминает формулировкой линейный случай: для слабых интегральных представлений необходимо и достаточно, чтобы оператор усиливал сходимость в нуле. Напоминает линейный случай и техника доказательства: используется тот факт, что порядковый идеал интегральных операторов Урысона, действующих между Е1 и Е является полосой в К-пространстве всех абстрактных операторов Урысона И(Е1,Е), а также второй существенный момент

доказательства - частичная разложимость мажорантной нормы оператора.

Во втором параграфе третьей главы доказывается основной результат диссертации — критерий слабого интегрального представления мажорируемого ортогонально аддитивного оператора, определенного на всем пространстве Е(Х). Для того, чтобы распространить критерий слабого интегрального представления с всюду плотного под-ространства на все пространство, требуется установить при некоторых более слабых предположениях ^-равномерную непрерывность ядра по третьему аргументу. Этот результат доказывается в теореме 3.2.1.

Теорема [3.2.1]. Пусть Т : Е(Х) -> РДУ,^) - мажорируемый оператор Урысона и Т\ЕцХ) слабый интегральный оператор, кроме того, для любых последовательностей (/„), (дп) С Е(Х), таких что | /п | , 19п I < д, п € N, д € Е+, справедлива импликация

\гп-дп\^0^\тгп-тдп\^0.

Тогда функция и(з, f, •) Z-слабо равномерно непрерывна на множестве 21Л В(с), \-п.в. для й) € В х А. Здесь

В{с) = {х € X : ||х|| < с, с € Q}.

Доказательство теоремы состоит из четырех этапов и занимает большую часть второго параграфа третьей главы. И, наконец, после этого, устанавливается теорема о представимости ортогонально аддитивного, мажорируемого оператора (мажорируемого оператора Урысона) в виде слабого интегрального оператора Урысона.

Теорема [3.2.2]. Пусть Т — мажорируемый оператор Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — слабый интегральный оператор Урысона.

2) Для любых последовательностей

(Л), (дп) € Е(Х), |/;| , |р„| <д,д&Е+,

справедлива импликация

| /п - & | 0 =► |Т/„ - Тдп\ ^ 0.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1) изучение нового класса ортогонально аддитивных, мажорируемых операторов (мажорируемых операторов Урысона), действующих в решетом но нормированных пространствах;

2) условия мажорируемости, существования и вычисления точной мажоранты мажорируемого оператора Урысона;

3) условия разложимости мажорантной нормы мажорируемого оператора Урысона;

4) изучение латерально непрерывных и вполне аддитивных мажорируемых операторов Урысона;

5) изучение слабых интегральных мажорируемых операторов Урысона;

6) критерий слабого интегрального представления мажорируемого оператора Урысона.

Работы автора по теме диссертации:

1. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Владикавказский. мат. журн, 1999. Т. 1, вып. 3. С. 33-43.

2. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Слабое интегральное представление мажорируемых ортогонально аддитивных операторов // Владикавказский. мат. журн, 1999. Т. 1, вып 4. С. 22-39.

3. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Доклады РАН, 2000. Т. 372, № 3. С. 305-307.

4. ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивые мажорированные операторы // Проблемы математического анализа. Тезисы докладов Владикавказ - 1994. С. 41-42.

5 ПлиевМ А. Слабое интегральное предствление мажорированных операторов Урысона // Проблемы математического анализа Тезисы докладов Владикавказ - 1995 С 16

РНБ Русский фонд

2006-4 343

Подписано к печати 15.05.2004. Формат бумаги 60 x 84 1/16

Усл. п. л. 0,93. Тираж 100 экз.

_"_:-

Отпечатано на ротапринте ИПМИ ВНЦ РАН ^

362025. Владикавказ, ул Маркуса 24 ^ ч* * ' I

£ 5 V (

I \\у

17 СЕ»' '

К традиционным методам функционального анализа относится построение аналитических представлений различных абстрактных пространств (векторных решеток, нормированных алгебр и др.) и действующих в них операторов (линейных, нелинейных, монотонных и т.п.). Это обусловлено прежде всего тем, что наличие у объекта того или иного аналитического представления значительно облегчает работу с ним. Например, вместо списка абстрактных свойств оператора мы получаем его выражение в виде конкретной формулы, в которую автоматически заложены все эти свойства. (Такой формой может быть матрица, интеграл с ядром и т.п.).

§1. История вопроса

0.1.1. Функциональный анализ, зародившийся в конце 19, начале 20 века, как синтетическая дисциплина, объединяющая принципы алгебры, геометрии и анализа, получил свое название из-за простейшего оператора — функционала. Именно функционалы и операторы, а также различные пространства, составленные из них, стали основным объектом исследований в этой новой дисциплине. Ясно, что поэтому поиск общей формы различных классов линейных и нелинейных операторов является всегда важной и актуальной задачей анализа. Эта задача привлекала математиков в начале двадцатого столетия — на заре становления функционального анализа, и сейчас ею занимаются крупные и известные ученые. Это направление начинается с основополагающих работ Ф. Рисса, М. Фреше, Г. Штейнгауза. изучавших линейные непрерывные функционалы в классических банаховых пространствах. Поиску аналитического представления линейных операторов со значениями в банаховых пространствах начинается в 1930-х годах с работ И.М. Гельфанда, Н. Дан-форда, С. Бохнера, Б. Петтиса и других. С именем Л. В. Канторовича связано фундаментальное понятие частично упорядоченного векторного пространства. Л. В. Канторович и его ученики развили функциональный анализ в этих пространствах. Одним из важных вопросов, рассматриваемых в рамках этой идеологии, также было аналитическое представление операторов и функционалов, действующих в этих пространствах. Примером такого представления является, например, спектральная теорема, описывающая строение нормальных операторов в гильбертовом пространстве.

0.1.2. Для приложений большое значение имеет возможность представить оператор в виде некоторого интеграла от параметра. Важность такого представления обусловлена тем, что интегральный оператор во многих классических пространствах обладает хорошими свойствами: непрерывностью, компактностью и др. Возникающие же в приложениях дифференциальные уравнения при некоторых условиях могут быть сведены к интегральным и ввиду хороших свойств интегрального оператора облегчается изучение исходного оператора. В 1935 году Джон фон Нейман поставил проблему характеризации линейного оператора в Ъч. Эта проблема была решена в 1974 году советским математиком А. В. Бухва-ловым на основе исчисления порядково ограниченных линейных операторов в векторных решетках. Независимое доказательство этого же результата было представлено также нидерландским математиком А. Ше-пом. Для решения этой задачи в более общих пространствах измеримых вектор-функций потребовались более изощренные средства — методы теории мажорируемых операторов. Это проблему решил в 1987 году советский математик А. Г. Кусраев. Для нелинейных операторов аналогичные исследования появились позже. Лишь в конце 60-х годов польскими математиками Л. Дреновским и В. Орличем были указаны условия интегрального представления для нелинейных, ортогонально-аддитивных функционалов, определенных на идеалах пространства измеримых, почти всюду конечных функций. Для распространения этого результата на операторы вновь оказалась плодотворной техника векторных решеток. Для широкого класса нелинейных операторов удалось построить порядковое исчисление, аналогичное линейному случаю. Развивая идеи А. В. Бухвалова, испанский математик Сегура де Леон в [96] получил критерий интегрального представления для нелинейных ортогонально аддитивных операторов вида Т : Е —> F, где Е и ^ — порядковые идеалы в пространстве измеримых почти всюду конечных функций.

0.1.3. В настоящее время в вопросах представления операторов со значениями в абстрактных пространствах выделяются два направления. Первое направление — изучение операторов со значениями в нормированных пространствах. Второе направление — изучение операторов со значениями в К-пространствах. Синтез идей и методов этих двух направлений приводит к новым возможностям. Технически это осуществляется с помощью теории решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов. В основе понятия мажорируемого (доминиро-ванного) оператора лежит простая идея, восходящая, по крайней мере, к методу мажорант Коши. Грубо говоря, ее можно выразить следующим образом. Если рассматриваемый оператор (уравнение) мажорируется другим оператором (уравнением), называемым мажорантой или доминантой, то свойства последнего существенно влияют на свойства первого. Таким образом, оператор (или уравнение) с "хорошей" мажорантой должен обладать "хорошими" свойствами. Математический аппарат в рамках которого идея мажорирования принимает законченную и естественную форму, был предложен Л. В. Канторовичем в 1935 - б г., который ввел фундаментальные понятия векторного пространства, нормированного элементами векторной решетки, и линейного оператора в таких пространствах, мажорируемого линейным положительным или сублинейным возрастающим оператором. Он также применил эти понятия к решению функциональных уравнений.

0.1. 4. В последующие годы многие авторы изучали различные частные случаи решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов в них. Однако эти исследования проводились в рамках и духе теории векторных и нормированных решеток. Мажорируемые операторы как объект самостоятельного исследования оформились лишь в конце 80-х годов. В настоящее время теория мажорируемых операторов находится в состоянии бурпшо развития, углубляются связи с другими разделами математики. Современное развитие теории решеточно нормированных пространств связано с работами А. Г. Кусраева и его учеников: А. Е. Гутмана, Э. Ю. Емельянова, Е. В. Колесникова, С. А. Малюгина, В. 3. Стрижевского, К. Т. Тибилова, Г. Н. Шотаева и других. В этих работах установлены многие важные свойства решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов и исследованы интересные конкретные случаи. В процессе развития теории выявились интересные связи с другими разделами математики, в частности, с нестандартными моделями теории множеств и теорией банаховых пространств. Многие вопросы геометрии банаховых пространств, теории операторов оказались более ясными в общем контексте решеточно нормированных пространств. Теория мажорируемых операторов с многочисленными приложениями в разных разделах анализа изложена в итоговой монографии

А. Г. Кусраева "Мажорируемые операторы", Москва, Наука, 2003. Цель настоящей работы — продолжить этот круг исследований: ввести новый класс — ортогонально аддитивных операторов, действующих в реше-точно нормированных пространствах, изучить их общие свойства. Для случая операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, получить критерий слабого интегрального представления.

§2. Обзор литературы

0.2.1. Если обратиться к истокам, то задача об аналитическом представлении оператора начинается с нахождения сопряженного к классическим банаховым пространствам: С[0,1], Ьр[0,1], 1Р, с, со и другим. Интегральное представление непрерывных линейных функционалов наС[0,1] было получено Ф. Риссом [105]. В дальнейшем были получены различные обобщения теоремы Ф. Рисса. В частности, А. А. Марков [58] и С. Каку-тани [85] доказали теорему Ф. Рисса для непрерывных линейных функционалов на С(<5), где ф — компакт. Аналогичным вопросом занимался и А. Д. Александров [3], исследовавший пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости нормального пространства, однако, такие в которых несчетные суммы открытых множеств не обязательно открыты. Общая форма линейных непрерывных функционалов на 1/2 (0,1) была получена М. Фреше. Эта же теорема для Ьр{0,1), (1 < р < оо) была доказана Ф. Риссом. Для случая пространств с конечной мерой последняя теорема была установлена О. Никодимом [98] и, позднее, Н. Данфордом [16].

0.2.2. Приблизительно с середины 30-х годов различными авторами стали рассматриваться операторы со значениями в банаховом пространстве. Общая форма линейного непрерывного оператора из Ьр{0,1) в банахово пространство была получена в 1938 году И. М. Гельфандом [84] и Н. Данфордом [17]. Этот результат был обобщен Данфордом и Пет-тисом на пространства с мерой [83]. Представлением некоторых классов операторов из ЬР(А, /и) в банахово пространство в середине 50-х годов занимался Н. Динкуляну [78]. Представление операторов из С(С2) в банахово пространство при различных условиях на <3 рассматривали И. М. Гельфанд [84] и Н. Динкуляну [78]. Основы теории функции вещественного переменного со значениями, принадлежащими полуупорядоченному линейному пространству, были заложены Л. В. Канторовичем и его учениками [21,23,24,27,28]. В работе [28] Л. В. Канторович пишет.

Функции вещественного переменного, значения которых суть элементы ВапасЬ'ского пространства изучались различными авторами. Однако теория таких функций является гораздо более бедной, чем теория функций с вещественными значениями. Здесь я хочу дать набросок тесь рии функций значения которых принадлежат некоторому линейному полуупорядоченному пространству. В этой теории находят отражение все основные теоремы классической теории функций, однако построение этой теории приходится вести иным способом."

В упомянутой серии работ обзор [24] полностью посвящен задачам представления различных классов операторов со значениями в /^-пространствах. Здесь, в частности, получены представления операторов рз С(0,1),£р(0,1) в ^-пространство с помощью абстрактных интегралов Стильтьеса и Хеллингера. В этой же работе даны многочисленные приложения полученных представлений к различным задачам анализа. В работах [25,26] были рассмотрены приложения абстрактной теории к задачам функциональных уравнений. Ряд работ о представлении операторов со значениями в ^-пространстве был выполнен Б. 3. Вулихом и Г. Я. Лозановским [13, 14].

Теорема о представлении положительного оператора из C(Q) в К-пространство, где Q — компакт, была получена, с использованием аппарата борелевских векторнозначных мер М. Райтом [106]. Обобщение теоремы Райта на операторы из C(Q) в решеточно нормированное пространство принадлежит А. Г. Кусраеву и С. А. Малюгину [47].

0.2.3. Интегральные операторы являются важным и часто встречающимся классом операторов. Вопрос о разрешимости того или иного дифференциального уравнения часто зависит от свойства, соответствующего интегрального оператора. Кроме того многие задачи математической физики формулируются на языке интегро-дифференциальных уравнений. Интегральные операторы в пространствах L2, в связи с задачами квантовой механики, изучались Джоном фон Нейманом [97][97]. Критерий интегрального представления линейных операторов, действующих, в этих пространствах, вывел А. В. Бухвалов [8]. Другие критерии интегральной представимости были получены С. И. Ждановым [18] и JT. Лес-снером [89]. Наряду с задачей о представимости линейного оператора в интегральной форме с измеримым ядром значительный интерес представляет задача о представимости линейных операторов в интегральной форме с ядрами, удовлетворяющими различным условиям. Первые важные результаты в этом направлении были получены в 1930-х годах Л. В. Канторовичем, И. М. Гельфандом, Н. Данфордом [75,84,29]. Результаты этих авторов получили дальнейшее развитие в работах Д. А. Владимирова [11]. В.Б. Короткова [31-38], A.B. Бухвалова [4-10], А Ше-па [101,102] и др. В середине 70-х годов в работах Арвесона и Сурура [73,74,103,104] изучались псевдоинтегральные операторы.

0.2.4. Результаты об интегральной представимости носят порядковый характер и их доказательство существенно опирается на исчисление порядково ограниченных операторов. В работах [43,44,45,48] А. Г. Ку-сраев показал, что аналогичные вопросы для операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, могут успешно решаться на основе теории мажорируемых операторов. Ряд результатов в этом направлении был получен В. Г. Наводным [58,59], Ю.Г. Кузьминым [39] и Т. Кевином [86, 87]. Оригинальный метод изучения положительных операторов в порядковых структурах был рассмотрен в работах Д. Магарам [91-95]. Указанные выше методы привели, в частности, к решению задачи интегрального представления мажорируемых операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, а также аналитического представления операторов, действующих в пространствах Банаха-Канторовича. В монографии [48] А. Г. Кусраев и С. А. Малюгин приводят теорему о представлении мажорируемого оператора, действующего из С((д) (<2 — компакт) в пространство Банаха-Канторовича с помощью регулярных борелевских мер. В серии работ [43, 44, 45] А. Г. Кусраев вводит для линейных операторов в идеальных пространствах измеримых вектор-функций понятие слабого и сильного интегрального оператора. Там же, обобщая результаты А. В. Бухвалова, доказываются критерии сильного и слабого представления для линейных мажорируемых операторов в пространствах измеримых вектор-функций.

0.2.5. Если теория линейных интегральных уравнений является достаточно разработанным разделом анализа, то для нелинейных уравнений ситуация оказалась сложнее. Нелинейными интегральными уравнениями и операторами занимались многие математики. Важные элементы этой теории рассматривались в работах М. А. Красносельского и его учеников [19,20]. В середине 60-годов польскими математиками — Л. Дреновским и В. Орличем был выполнен цикл работ, посвященный нелинейным ортогонально аддитивным функционалам [79-81]. Был дан критерий представления такого функционала в интегральной форме. В конце 80-годов испанскими математиками — Ж. Мазоном и С. Сегу-рой де Леоном этот результат был обобщен на случай операторов, действующих в пространствах измеримых функций [96,99]. Таким образом возникла задача — перенести результаты Ж. Мазона и С. Сегуры де Леона, с использованием техники мажорируемых операторов, на операторы, действующие в пространствах измеримых вектор-функций. Этой теме посвящена настоящая диссертационная работа.

§3. Основные результаты

0.3.1. Коротко изложим основные положения диссертации, вынесенные на защиту. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые сведения о векторных решетках, булевых алгебрах, решеточно нормированных пространствах и ортогонально аддитивных операторах. Вторая и третья глава посвящены результатам автора. Во второй главе изучаются ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах. Первый параграф носит технический характер — в нем собраны основные используемые в работе определения, обозначения, вспомогательные факты. Здесь же вводятся понятия ортогонально аддитивного оператора, действующего в решеточно нормированных пространствах, рассматриваются конкретные примеры таких операторов и некоторые их свойства. Во втором параграфе выясняются условия существования точной мажоранты ортогонально аддитивного оператора, приводятся формулы по которым вычисляется точная мажоранта. Кроме того вводятся два класса операторов: латерально непрерывные и вполне аддитивные операторы. Доказывается теорема, что оператор латерально непрерывен (вполне аддитивен) тогда и только тогда, когда латерально непрерывна (вполне аддитивна) его точная мажоранта. Приведем точные формулировки.

0.3.2. Теорема[2.1.3]. Пусть Т : V —► V — мажорируемый ортогонально аддитивный оператор, действующий из РНП (V, Е) в ПБК (ТУ, Р), и кроме того норма в V разложима, а решетка Р порядков а полна. Тогда оператор Т имеет наименьшую мажоранту.

Пусть выполняются условия теоремы 0.3.2. Тогда точная мажоранта оператора Т может быть вычислена по формулам: п п

Г|(е)=8ир{^|Г«4| \щ\ <е;\щ\ ± |и,-| ; е е Е+} (1) ¿=1 ¿=1

Т\(е)=\Т\(е+)+\Т\(е~);ееЕ. (2)

Во втором параграфе изучаются вопросы разложимости мажорантной нормы. Модифицируя технику, использованную в случае линейных операторов, удается получить некоторый частичный вариант разложимости нормы оператора. Сформулируем точный результат.

0.3.3. Теорема [2.2.9]. Пусть (У,Е) — рептеточно нормированное пространство, (ТУ, Р) — пространство Банаха-Канторовича, и в К-пространстве Р есть слабая порядковая единица. Тогда для любыхТ £ Му(У, ТУ), 5, Ре ¿4/ш (Е, F), таких что

0 <5< \Т\ ,0 <Р< \Т\ + \Т\ , (3) существуют операторы Рт, Бт С ТУ), такие что

Т = 5т + Рг; |5г| =5; =Р\ |Г| = |5г| + \РТ\ . (4)

В третьем параграфе вводятся латерально непрерывные и вполне аддитивные операторы. Доказываются следующие теоремы.

0.3.4. Теорема [2.3.2]. Мажорируемый операторТ латерально непрерывен (вполне аддитивен) тогда и только тогда, когда латерально непрерывна (вполне аддитивна) его точная мажоранта.

Доказано,, что множества вполне ст-аддитивных и латерально ст-непре-рывных операторов совпадают.

0.3.5. Теорема [2.3.5]. Множества латерально непрерывных и вполне аддитивных операторов образуют полосы в пространствеМ(/(У, IV).

Третья глава посвящена ортогонально аддитивным операторам в пространствах измеримых вектор-функций. Рассматриваются слабые интегральные операторы Урысона, действующие в таких пространствах:

За

На протяжении всей третьей главы на банаховы пространствах и У на- • кладываются следующие ограничения: X — сепарабельное банахово пространство, а банаховом пространстве У найдется счетное, всюду плотное подмножество С Z, где Z с У* — нормирующее подпространство в У*.

В первом параграфе даются необходимые определения. Выясняются необходимые и достаточные условия мажорируемости слабого интегрального оператора. Доказывается важная теорема.

0.3.6. Теорема [3.1.5]. Пусть Т : Е(Х) ^(У, 2) - слабый интегральный оператор с ядром С/. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — мажорируемый оператор;

2) из Е в Г определен интегральный оператор Урысона 5 с ядром

Щ.

Кроме того 5 будет точной мажорантой оператора Т.

В этом же параграфе строится слабое интегральное представление мажорируемого оператора Урысона с определенного на Е1(Х) — пространстве ступенчатых вектор-функций. Доказываются две теоремы.

0.3. 7. Теорема [3.1.6]. Пусть Т : Е1{Х) г) это мажорируемый оператор Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — слабый интегральный оператор Урысона;

2) для любой ограниченной последовательности /п € Е1(Х) такой, что 0(1/), выполняется | Т¡п| —> (0)(п.в.).

Во втором параграфе доказывается основной результат работы - критерий слабого интегрального представления мажорируемого оператора, определенного на всем пространстве вектор-функций. Предварительно получается важная теорема о ядре.

0.3.8. Теорема [3.2.1]. Пусть Т : Е{Х) -> это мажори- 4 руемый оператор Урысона, такой что ~ слабый интегральный оператор с ядром и и для любых ограниченных последовательностей /п, дп е Е(Х), \и~дп\ 0(1/), выполняется \Тдп-Т/п\ 0(п.в.) Тогда и будет Z-слабо равномерно непрерывна на множестве АП В (с). Где

В(с) :={хеХ: |М| < с; с е О}- (5)

Следующая теорема характеризует слабые интегральные операторы Урысона.

0.3. 9. Теорема [3.2.2]. Пусть Т : Е(Х) -> г) - мажорируемый оператор Урысона. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Т — слабый интегральный оператор Урысона;

2) для любых двух ограниченных последовательностей вектор-функций /п, 9п, | /п ~ 9п\ 0{и) выполняется | Т/п - Тдп| 0 (п.в.).

Часть публикаций выполнена совместно с А. Г. Кусраевым. В полученных результатах научному руководителю профессору А. Г. Кусраеву принадлежит постановка задачи и общие рекомендации к их решению, а автору диссертации — реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений. Автор выражает искреннюю благодарность Анатолию Георгиевичу Кусраеву и Иллариону Давидовичу Музаеву за многолетнюю моральную поддержку, внимание к работе и полезные обсуждения.

1. Акилов Г. П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа. Новосибирск: Наука, 1980.

2. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука, 1978.

3. Александров А. Д. Аддитивные функции множеств в абстрактных пространствах // Мат. сборник. 1940. Т. 50, № 8. С. 307-348.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование, меры Ха-ара, свертка и представления. М.: Мир, 1970.

5. БухваловА. В. Об интегральном представлении линейных операторов // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1974. Т. 47. С. 5-14.

6. БухваловА. В. Критерий интегральной представимости линейных операторов // Функцион. анализ и его прил. 1975. Т. 9, № 1. С. 51.

7. БухваловА. В. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой // Изв. вузов. Математика. 1975. № 11. С. 21-32.

8. БухваловА. В. Приложения теории порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах I/ // Успехи математических наук, 1983, Т. 38, № 6. С. 37-38.

9. БухваловА. В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций. В кн. Математический анализ. Изд. ВИНИТИ. 1988. С. 3-4.

10. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969.

11. ВулихБ. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М., Физматгиз, 1961.

12. Вулих Б. 3., Лозановский Г. Я. О представлении вполне линейных и регулярных функционалов в полуупорядоченных пространствах// Мат. сборник. 1971. Т. 84, № 3. С. 331-352.

13. Гутман А. Е. О представлении решеточно нормированных пространств // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 2. С. 41-54.

14. ДанфордН., Шварц Д. Линейные операторы. Общая теория. М., Изд-во иностр. лит., 1962.

15. ДанфордН., ШварцД. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1974.

16. ЖдановС. И. О некоторых вопросах общей теории линейных систем // Оптимизация. 1973. № 12. С. 52-76.

17. ЗабрейкоП. П., КошелевА. И., КрасносельскийМ. А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

18. Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

19. Канторович Л. В. О полуупорядоченных линейных пространствах и их применении к теории линейных операций // Докл. АН СССР. 1935. Т. 4, № 1-2. С. 11-14.

20. Канторович Л. В. К общей теории операций в полуупорядоченных пространствах // Докл. АН СССР. 1936. Т. 1, № 7. С. 211-214.

21. Канторович Л. В. О некоторых классах линейных операций // Докл. АН СССР. 1936. Т. 3, № 1. С. 9-13.

22. Канторович Л. В. Общие формы некоторых классов линейных операций // Докл. АН СССР. 1936. Т. 3, № 9. С. 101-106.

23. Канторович Л. В. Об одном классе функциональных уравнений // Докл. АН СССР. 1936. Т. 4, № 5. С. 211-216.

24. Канторович Л. В. О функциональных уравнениях // Тр. ЛГУ. 1937. Т. 3, №.7. С. 17-33.

25. Канторович Л. В. Основы теории функций вещественного переменного со значениями, принадлежащими полуупорядоченному линейному пространству // Докл. АН СССР. 1936. Т. 2,№ 9. С. 359-364.

26. Канторович Л. В., АкиловГ. П. Функциональный анализ. М., Наука, 1984, 742 с.

27. Канторович Л. В., ВулихБ. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядочнных пространствах. М.; Л.: Гостехиздат, 1950, 548 с.

28. КолесниковЕ. В., Кусраев А. Г., Малюгин С. А. О мажорируемых операторах. Новосибирск. 1988. 32 с. (Препринт/ АН СССР. Сиб. отделение. Инс-т математики; № 26.)

29. Короткое В. Б. О сильных интегральных операторах // Мат. заметки. 1974. Т. 16,' № 6, С. 907-912.

30. Коротков В. Б. О некоторых свойствах частично интегральных операторов // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, № 4, С. 752-754.

31. Коротков В. Б. Интегральные и частично интегральные операторы .// Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19, № 1, С. 70-90.

32. Коротков В. Б. О некоторых свойствах интегральных и частично интегральных операторов в Д // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 1, С. 98-105.

33. Коротков В. Б. К задачам Халмоша — Сандера об интегральных операторах в Ь2 // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 3, С. 214-216.

34. Коротков В. Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1983.

35. Коротков В. Б. Некоторые вопросы теории интегральных операторов. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988.

36. Коротков В. Б. О частично интегральных операторах // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 5, С. 80-83.

37. Кузьмин Ю. Н. Совершенные пространства измеримых вектор-нозначных функций и интегральные операторы. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. 01.01.01. Казань, 1984. 16 с.

38. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966. 594 с.

39. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1985, 254 с.

40. Кусраев А. Г. О пространствах Банаха-Канторовича // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, № 2, С. 119-124.

41. Кусраев А. Г. Об интегральном представлении мажорированных операторов в пространствах вектор-функций // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, № 4, С. 788-792.

42. Кусраев А. Г. Об аналитическом представлении мажорируемых операторов // Докл. АН СССР. 1987. Т. 94, С. 1055-1058.

43. Кусраев А. Г. Линейные операторы в решеточно нормированных пространствах // Исследования по геометрии в целом и математическому анализу. Новосибирск: Наука, 1987. С. 84-123.

44. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. Москва. Наука, 2003.

45. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. О порядково непрерывной составляющей мажорированного оператора // Сиб. мат. журн. 1987, Т. 28. № 4, С. 127-139.

46. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. некоторые вопросы теории векторных мер. Новосибирск: Ин-т математики. 1988. 182 с.

47. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Владикавказский, мат. журн, 1999. Том 1, вып. 3, С. 33-43.

48. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Слабое интегральное представление мажорируемых ортогонально аддитивных операторов // Владикавказский. мат. журн, 1999. Том 1, вып 4, С. 22-39.

49. КусраевА. Г., ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Доклады Академии Наук, 2000. Том 372, № 3, С. 305-307.

50. Кусраев А. Г. СтрижевскийВ. 3. Решеточно нормируемые пространства и мажорируемые операторы // Исследования по геометрии и функциональному анализу. Новосибирск: Наука, 1987. С. 132157.

51. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы // Линейные операторы, согласованные с порядком. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. (Тр. РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики т. 29. 1995 г.)

52. КутателадзеС. С. Основы функционального анализа. Новосибирск: Наука, 1983.

53. Лозановский Г. Я. О почти интегральных операторах // Вестн. ЛГУ. Математика, механика и астрономия. 1966. № 7. с. 35 44.

54. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применения в математической экономике. М.: Наука, 1985. '

55. Марков А. А. Средние значения и внешние плотности // Мат. сб. 1938. Т. 46. № 4. С. 165-191.

56. НаводновВ. Г. Об интегральном представлении операторов, действующих из банахова пространства измеримых вектор функций в банахово пространство / Изв. вузов. Математика. 1983. № 3, С. 82-84.

57. НаводновВ. Г. Пространства векторнозначных и операторнознач-ных функций и их применение к аналитическому представлению операторов. Автореф. диис. канд. физ. мат. наук. 01.01.01. Казань. 1984. 16 с.

58. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

59. ПлиевМ. А. Ортогонально аддитивые мажорированные операторы // Проблемы математического анализа. Тезисы докладов. Владикавказ 1994. С. 41-42.

60. ПлиевМ. А. Слабое интегральное предствление мажорированных операторов Урысона // Проблемы математического анализа. Тезисы докладов. Владикавказ 1995. С. 16.

61. РиссФ. Секефальви-НадьБ. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

62. СикорскийР. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969.

63. ТибиловК. Т. О псевдоинтегральных операторах в пространствах измеримых вектор-функций /'/ Сиб. мат. журн. 1988. Т. 31, № 5, С. 149-156.

64. ШотаевГ. Н. О билинейных функционалах в решеточно нормированных пространствах // Оптимизация. 1986. Вып. 37. С. 38-50.

65. ШотаевГ. Н. О тензорном произведении решеточно нормированных пространств // Сиб. мат. журп. 1988. Т. 29, № 4, С. 195-202.

66. ХалмошП. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.

67. ХалмошП. Сандер В. Ограниченные линейные операторы в пространствах L2. М.: Мир, 1985.

68. ШеферХ. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

69. AliprantisC. D., BurkinshawO. Positive operators. New York: Acad. Press, 1985.

70. AliprantisC. D. BurkinshawO. The components of positive operator // Math. Z. 1987. V. 184. P. 245-257.

71. ArwesonW. Operators algabras and invariant subspases // Ann. of Math. 1974. V. 100, № 2. P. 433-532.

72. ArwesonW. An invitation to C* algebras. Berlin a.o. Springer, 1976. 106 p.

73. DunfordN. Uniformity in linear spases // Trans. Math. Soc. 1938. V. 44. P. 305-356.

74. DiedonneJ. History of functional analysis. Amsterdam, New York, Oxford: Noth Holland, 1981.

75. Diestel J., Uhl J. J. Vector Measure. Providence, RL: Amer. Math. Soc. 1977, 322 p.

76. DinculeknuN. Vector Measure. Berlin: VEB Deutscher der Wissenschaften, 1966, 432 p.

77. DrewnoskiL., OrlichW. On ortogonally additive functionals. Bull. Acad. Polon. Sei. Scr. Sei. Math. Astronom, rhys. 1968. V. 16. P. 883888.

78. DrewnoskiL., OrlichW. On representation of ortogonally additive functionals // ibid. 1969. V. 17. P. 167-173.

79. Drewnoski L. Orlicz W. Continuity and representation of orthogonally additive functionals // Bull. Acad. Pol. Sei., Ser. sei. math. astr. et phys. 1969. V. 17. № 10. P. 647-653.

80. DunfordN. Uniformity in linear spases // Trans. Amer. Math. Soc. 1938. V. 44. P. 305-356.

81. DunfordN., PettisB. Linear operations of summable functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. V. 47. P. 323-392.

82. Gelfandl. Abstrakte Funktionen and lineare Operatoren // Mat. sb. 1938. V. 4, № 2. P. 235-286.

83. KakutaniS. Concrete representation of abstract (M) spases // Ann. of Math. 1-941. V. 42, № 2. P. 994-1024.

84. Kevin T. A. Representation compact and weakly compact operators on the spase of Bochner integrable functions // Pasif. J. Math. 1981. V. 92, № 2. P. 257-267.

85. Kevin T. A. The Radon-Nicodim property for the spase of operators // J. London. Math. Soc. 1983. V. 28, № 1. P. 113-122.

86. KusraevA. G. Dominated operators. I // Siberian Adv. Math. 1994. V. 4, № 3, P. 51-82.

87. LessnerL. A lattice theoretic charakterisation of an integral operator // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. V. 53, № 2. P. 391-395.

88. Luxemburg W. A. J.; ZaarienA. C. Riesis Spases. 1. Amsterdam: Noth Holland, 1971. 514 p.

89. MaharamD. Deeomnositions of measure algebras integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V.69. № 1. P.142-160.

90. MaharamD. The representation abstract integrals // Trans. Math. Soc. 1953. V. 75. № 1. P. 154-184.

91. MaharamD. On kernel representation of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. V. 79. № 1. P. 229-255.

92. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math. 1984. V. 26. P. 263-267.

93. MaharamD. The representation abstract measure function // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. V. 65, № 2. P. 279-330.

94. Mazon J. M., Segura de Leon S. Order bounded ortogonally additive operators // Rev. Roumane Math. Pures Appl. 1990. V. 35, № 4. P. 329-353.

95. Neumann J. Charakterisirung des Spectrums eines Integraloperators // Act. Sei. et Ind. Paris. 1935. № 229.

96. Nikodim O. M. Contribution a la theorie des fonctionnelles de la mesure des ensembles abstraits // Mathematica. Cluj. 1931. V. 5. P. 130-141.

97. Segura de LeonS. Bukhvalov type characterization of Uryson operators // Studia Math. 1991. V. 99. P. 199-220.

98. SchaeferH. H. Banach Lattices and Positive Operators. Berlin etc.: Springer, 1974, 376 p.

99. Schep A. Kernels operators // Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 1979. V. A82, № 1. P. 39-53.

100. Schep A. Generalized Carleman operators // Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 1980. V. A83 .Y" 1. P. 49-59.

101. SourourA. R. Pseudo-integral operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 253. P. 339-363.

102. SourourA. R. Characterization and order properties of pseudo-integral operators // Pasific J. Math. 1982. V. 99, № 1. P. 145-158.

103. RieszF. Sur les operations fonctionneles lineaires // C.R. Acad. Sci. 1909. V. 149. P. 974-977.

104. Wright J. D. M. Stone-algebra valued measures and integrals / / Proc. London. Math. Soc. 1969. V. 19, № 1. P. 107-122.

105. Zaanen A. C. Riesz spases. Amsterdam e.a. Noth. Holl/ Publ. Co. 1983. 720 p.