О некоторых классах решеточно-нормированных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение . 4

Глава I. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ЛИНЕЙНЫХ РЕШЕТОК. 10

§1. И -линеалы с условием (о) и некоторые их свойства. 10

§2. Суммируемые семейства в -линеалах. 18-

§3. Условно оЬ -полные линейные решетки. 25-

§4. Решеточно-нормированные линейные пространства. 27-

Глава П. УСЛОВИЯ ПОЛНОТЫ РЕШЕТОЧНО-НОРМИРОВАННЫХ

ПРОСТРАНСТВ . 33

§1. (вю*,) -полнота решеточно-нормированных пространств . 33

§2. Соотношения между некоторыми условиями в И8 -линеалах . 39

§3. Условия полноты некоторого класса линейных топологических решеток . 43

§4. (&>с) -полнота решеточно-нормированных пространств . 50

§5. Связь между -полнотой и (т)-полнотой.60-

§6. /6 -пополнения решеточно-нормированных линейных решеток . 65

Глава Ш. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ПОЛНОТА РЕШЕТ0ЧН0-Н0РМИР0ВАН

НЫХ ПРОСТРАНСТВ . 74

§1. Некоторые свойства интервально -полных решеточно-нормированных пространств . 74-

§2. Интервальная (&кь)-полнота решеточнонормированных пространств . 77

§3. Некоторые свойства решеточно-нормированных решеток с непрерывной решеточной нормой.82-

Глава 1У. РЕАЛИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕТ0ЧН0-Н0РМИР0ВАН

НЫХ ПРОСТРАНСТВ.91

§1. Решеточно-нормированные пространства алгебраически и решеточно изоморфные некоторому подпространству нормирующего К? -линеала. 92

§2. Решеточно-нормированные пространства алгебраически изоморфные и решеточно изометричные подпространству пространства Нд 14 —> ) . 97

§3. Решеточно-нормированные пространства изоморфные и решеточно изометричные подпространствам пространств

2® У, 2 (У). .Ю4-Ю

Глава У. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ.109

§1. Линейные операторы в векторных решетках.109

§2. Линейные операторы и функционалы в решеточно-норнормированных пространствах.113

Теория решеточно-нормированных пространств явпяется одной из ветвей функционального анализа, развитие которой началось в 30-х годах и тесно связано с работами Л.В.Канторовича [21]-¡25] , Б.З.Вулиха [17] , С.Н.Спугина [чб] , [Ч7] . Позднее решеточно-нормированные пространства изучали С.А.Скпяднев [из] - [45] , А.В.Бухвалов (10] , К.Э. Агаджанян [2] , Р.Кристеску [3^ , О.Я.Бендерский [55] и др. авторы.

Методы теории решеточно-нормированных пространств находят широкое применение в различных областях математики, например, к нахождению решений функциональных уравнений /см. [23] , \2.ч\ / и операторных уравнений /см. [чб] - [50] /.

Для практических применений решеточно-нормированных пространств большое значение и ж ют пространства, названные Л.В.Канторовичем пространством типа В^ , а в нашей терминологии {&<-) -полные пространства.

Основной задачей настоящей диссертации является исследование условий (Ьс*с) (в*.)- полноты и интервальной котк некоторых классов решеточно-нормированных пространств.

Диссертация состоит из 5 глав.

Первая глава посвящена некоторым классам линейных решеток. Ее результаты используются в других главах диссертации. Некоторые теоремы этой главы, в виду своей общности, представляют самостоятельный интерес.

В первом параграфе рассматриваются К> -линеалы с условием (О) . занимающие промежуточное место между произвольными -линеалами и К, -линеалами счетного типа. В общем случае не всякий -линеал обладает свойством (о).Приводится пример такого линеала. Рассматриваются некоторые свойства - линеалов с условием (о). Доказывается, что любой элемент ос <е (ГХ плело та-вим в виде (Ъ) -предела последовательность элементов К -линеала X с условием (о) .

Во втором пала графе рассматриваются суммируемые семейства в К, -пространстве. Относительно некоторой (р) -сходимости, которая связана с (О) -сходимостью соотношением: если х^ О ,

Р) то ос^ —О . Доказывается, что для Ср) -суммируемых семекств справедливы многие теоремы, верные для числовых суммплуемых семейств /см. №€/. Дается необходимое и достаточное условие с,четности типа Ц -пространства.

В третьем параграфе рассматриваются условно об -полнее ре-метки или ^-пространства. Понятие К^ -пространства было введено А.ГкВекслеоом [п] , Показывается, что для №. -плостланоС ств имеют место многие результаты справедливые для -пространств. При этом -пространство является частным видом /^-плои оС странства. В частности, указывается, что всякое -пространство о об -типа является К -пространством /теорема 1.3.2/.

В четвертом параграфе дается опоеделение реметочно-ноомиро-ванного пространства и изучаются некоторые СЕойптпа этих пространств.

Если И -линеал является решеточно-нормированным пространством и решеточная норма в нем монотонна на положительных элементах, то такой К. -линеал обозначается -линеалом. Рассматриваются некоторые свойства К. Б-линеалов, В частности докззЕжается, что если в —пространстве А выполняется з7словие (4) и нормирующий К, -линеал есть К - пространство счетного типа, то счетного типа /теорема 1.4.3-/- Эта теорема находит мирокое применение во второй и третьей главах диссертации.

Во второй главе предметом изучения являются условия полноты решеточно нормированных пространств, что является одной из основных задач настоящей диссертации.

В первом параграфе этой главы дается определение (ЁЮ*) -полноты решеточно-нормированных пространств. В теоремах П.1.1, П.1.2 и ПЛ.З доказываются необходимый и достаточный признак (&!СЪ)- ПОЛНОТЫ -линеала и -ПОЛНОТЫ /¿9 -пространства.

Во второй половине параграфа рассматриваются: пространство вектор функции Е(Х), пространство со смешанной нормой Е С^З и пространство всех операторов с абстрактной нормой Н^ (Х~~> Е) »которые играют большую роль функциональном анализе,и доказывается их вкг)

-полнота.

Второй параграф главы посвящен соотношению между некоторыми условиями в

-линеалах. Хорошо известно, что в

Л' -линеалах, используя условия (В), (С) . описываются многие топологические и порядковые свойства пространств. В частности, условия полноты и интервальной полноты К, АГ -линеалов. Было замечено, что условие С А) эквивалентно более слабому условию Г4Д а условие (Ь) -более слабому условию С В^) . В этом параграфе показывается, что соотношения эквивалентности между аналогичными условиями в /¿Б -линеалах нет. Приводится пример - прост ранства, в котором (Л^) не эквивалентно (А^) . В теоремах П.2.1 и П.2.2 доказываются условия эквивалентности

Аг) <$=> (А-ы) , (в)4=> (В^).

В третьем параграфе рассматриваются линейные топологические решетки, которые являются важным примером решеточно-нормированных пространств. Дается определение А^ -пространства и приводятся условия полноты этих пространств.

В четвертом параграфе рассматриваются условия (вк.) - полноты решеточно-нормированных пространств. Доказываются теоремы, которые являются обобщением на общий случай теорем, доказанных для члг - пространств. При этом, используя условие (%) , доказывается результат, который является новым и для теорий нормированных пространств / теорема П.4Л /, а, именно, этой теоремой в нормированном случае описывается более широкий класс (£) -полных кат -пространств, чем /¿3 - пространства, которые по многим порядковым и топологическим свойствам схожи с -пространствами. Приводится необходимое и достаточное условие (&с) -полноты регулярных К 5 -пространств /теорема П.4.2 / и даются необходимые и достаточные условия (&с) -полноты некоторых классов № -линеалов. В заключении параграфа рассматриваются /Й -линеалы с аддитивно-ограниченной решеточной нормой. Доказывается, что [&-)-полный /¿Э -линеал с аддитивно-ограниченной нормой является полным - пространством с условием (А). Из следствия к этой теореме вытекает результат, доказанный в [44] /теорема I/ при более сильных требованиях.

Связи между к,) -полнотой и (Т) -полнотой в случае,когда нормирующий Ц -линеал является А^/ -линеалом посвящен пятый параграф. Из теорем, доказанных в этом параграфе и результатов § I гл. П легко вытекают ряд теорем известных в теории нормированных пространств /см. [<20] , [9] /.

В шестом параграфе изучаются вопросы А^ -пополнения решеточно-нормированных линейных решеток. В частности, доказывается, что если в -линеале А выполнены условия (А) , (В) и л

0) ,то X является

-пространством с условиями (А), (В).

Промежуточное место между произвольными -линеалами и сЪ) -полными /¿^ -линеалами занимают интервально (^±1) -полные ¡{5 -линеалы. Так называется всякий -линеал X , в котором (вкг) -полон любой порядковым интервал вида [эc}yJ

Условия интервальной (вкг) -полноты решеточно-нормированных пространств рассматриваются в Ш главе. При этом обобщаются некоторые теоремы, известные для нормированных: решеток [141 . Некоторые свойства решеточно-нормированных решеток с непрерывной решеточной нормой рассматриваются в третьем параграфе этой главы. В частности, доказывается теорема Ш. 3.5 : для того чтобы - пополнение № -линеала X с условием Со) было -пространством с условием (35) , необходимо и достаточно, чтобы решеточная норма в X была непрерывной.

Вопросам реализации решеточно-нормированных пространств посвящена четвертая глава диссертации.

В первом параграфе рассматриваются условия, когда решеточно-нормированное пространство алгебраически и решеточно изоморфно некоторому подпространству нормирующего М -линеала.

Во втором параграфе приводятся условия, когда решеточно-нор-мированное пространство алгебраически изоморфно и решеточно изо-метрично пространству У 2) , где У -нормированное пространство, Ъ -нормирующий М -линеал. Аналогичный вопрос, но относительно пространства и рассматривается в§3.

В пятой главе диссертации рассматриваются линейные функционалы и операторы в линейных и линейных решеточно-нормированных решетках. В этой главе обобщаются ряд теорем из £177 . Во втором параграфе главы изучаются линейные операторы и функционалы в решеточно-нормированных пространствах. В теореме У.2.2 рассматриваются соотношения менаду классами операторов: , Но >

И^ , Н ^ .В теореме У. 2.6 доказывается, что в ¡¿£ -пространствах с условиями (-Я) и (&) классы (о) -линейных, регулярных, (в/с) -линейных и вполне линейных функционалов совпадают. В заключении пятой главы доказывается, что в /¿5 -линеалах с условиям (Л) , ((Ъ) и (о) классы (вк) -линейных и регулярных функционалов совпадают.

- 10