Разложение и продолжение мажорированных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДШИЯ НШ СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕИНИЕ Институт математики

На правах рукописи

ШШШИКОВ Евгений Витальавач

Ш 517,98 :

РАЗЛОЖЕНИЕ И ПРОДОЛЖЕНИЕ ' МАЖОРИРОВАННЫХ ОПЕРАТОРОВ ..'

;01.01.01 - математический анализ

Автореферат ' . диссертации на соискание ученой степени . кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1989

Диссертация выполнена в Новосибирском государственном уняверсзгегв шаш Ленинского комсомола, !

- • Нау^шй рзшвод&еаль - доктор физико-математичееких яаук

С.С.фтателадзё. О^нциашшз ояшзнеита - доктор физико-штемааичвских наук

М-.Л.Аграновска£,

кандидат фазико-шхешгетеских наук

Ведущее учреждение - Ленинградский гос$дщ>ственшй ,• университет. ' .

Защита состоится "_" 1989 г. в часов на'

заседании специализированного совета К 002.23,02 в Институте математики СО АН СССР по адресу} $30090, Новосибирск, 90, Университетский, проспект, 4»

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ш СО АН СССР.

Автореферат, разослан "_" 1989 г. \ ,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ . "

Астузльность 'темы. Диссертация посвящена рсшеншэ некоторых задач теории упорядочении* векторных пространств» основы кеторой были заложены в середина 1930-х-годов Г.Биркгофои, Д„В.Канторовичем» Ф.Риссом и др.

Наряду с задачей интегрирования в банаховых пространствах, мдорики матеиатихсуи предпринимались пошит построения теории интегрирования в упорядоченных векторных пространствах, из обладающих, вообще говоря, нормой. Основной здесь является задача продолжения положительного оператора, служащего предин-гегралом, до порядково непрерывного. Причем, наличие структуры гарядка позволяет использовать наиболее естественною кокстругс-;ию интеграла - схему Даниеля - Стоуна.'Первые результаты в ¡том направлении были получены Л.В.Канторовичем. Им была.ус-?ановяена теорема о продолжении положительного оператора, дей-'.твующего в регулярное К-пространство [43 . Итог, эти ис-ледованиям был подведен М.Райтом [ 16 ] . Здесь было установлено, что схема Даниеля -Стоуна применима тогда и только тог-

да, когда пространство образов слабо (Z,*^) -дистрибутивна. Впервые подобный критерий был установлен Д.Л»Владимировым для продолжения мер со значениями в булевых алгебрах счетного типа (см. ( 2 ] ). Заметим также, что построенный по указанной схема порядково неирзрывшй оператор не обладал одним из важнейших ссойств интеграла Лебега - не имеет места,теорема Радона -Никодима. Деш выполнения отого условия приходилось вводить дополнительное кесткоэ ограничение модулярности меры (см. [ 15 3 ) Попытка избавиться от вире ограничений была предпринята A.B. Еикстсдом [ 14 j . Осознав необходимость модульной структуры, он применяет схему .Даниеля - Стоуна для решетки вектор-функций со значениями в,пшерстоуновом пространстве. На атом дуги полу : чается теорема Радона - Никодима, но появляется новое необозри ; мое условие - правильность меры. Здесь ке' ставятся вопрос о ' справедливости полученных результатов Для произвольные пространств локально счетного типа. Таким образом.основные результаты в этом направлении получены при существенных ограничениях на рассматриваемые "пространства и классы.отображений.,

Еще, одной важной, задачей теории упорядоченных векторных пространств является описание пространства,регулярных операторов. Т.е. операторов, имеющих положительную мажоранту. Многими авторами изучались различные.классы регулярных операторов. Так например, А.В.Бухваловым.[ I ] 'били описаны интегральные операторы, С.С.Кутателодзе 18 ] изучил главные компоненты рещз-точных гомоморфизмов, В.Люксембургом и А.Шепом [ 12 J было получено аналитическое представление компоненты оператора Мага рам, Оставал еж открытым вопрос об описании компоненты произвольного положительного оператора и, в частности, о выяснении

'руктуры одной из важнейших ее характеристик - алгебры осксл-|0 заданного оператора, В [10, 13] С.Д.Алипрантисом» О.Бур-шшоу и Р. де Пагто было получено решение этих вопросов для . яожительных операторов» действующих из произвольного И -про-'ранства в гиперстоуново. Лишь недавно А.Г.Кусраевым и В»3. 'рияевским [ 7 3 было снято'излишнее ограничение гиперстоуко-¡стй пространства образов. В { 7, 13 3 яри соответствующих ^положениях, были получены формулы проектирования на главные мпоненты. В то еэ время, неисследованным осталось К »пространно регулярных операторов, заданных на векторной решетке, ото Уясняется тем, что большинство конструкций опиралось на на-:чие достаточного количества проекторов в области олредслошш яратора. , '

. Успехи з изучении пространства регулярных1 операторов шляп, в последнее время? к бурному разш'пга теории рзкз'гочш» ■рмированншс. пространств и иадорфуегш операторов. Впорвкэ .ей абстрактной кажорафи 'ваш гедсищгга Д.В.К&нгорогздсм з II3 и впоследствии использослш пи. при пострении обобщен- • го метода декорант Копи для {¿еггсшя щупкцкотгалыагя: уравнений 3]. . Позаз1 простракстаа, тгармкропашгсзг езгстокп^и рггаеткт.:;;, .осматривались кнопки авторами.;Шшаа■ мжоргфуемого опзра-ра возникло как еетестясшюа' обобщение'. понятий огракипзнко-• оператора в. норэдровашшх пространстсш; и рцуяярюго опе-тора; в упорядоченных пространствах. Ваяний И корозо кзвест-й пр.шер мажорируемого оператора пргдстакллот- собой интеграл хнера, Наиболее существенные продвияения в-это» направлении лучены в работах А»Г,Куораева и его учеников. Здесь рассмат-вались. пространства, нормированные условно, полными 'векторны-

ми' решетками. Бщ установлен критерий полноты таких пространств, доказана разложимость мажорантной нормы. Несмотря на существенные продвижения б этой области, предположение полноты 'нормирующей ре-детки оставляет в стороне от исследования многие естественные примеры решеточно нормированных пространств. В [ 6 ] поставлена задача освободиться от этого ограничения.

Целью настоящей работы является построение удовлетворительной конструкции интеграла в упорядоченных векторных пространствах» изучение пространства регулярных операторов, кссле-" доваше основных свойств пространства мажорируемых операторов без предположения о.полноте нормирующих решеток. Все эти зада-, ад иазш геснув- связь» и основными проблемами здесь являются вопроси продолжения операторов и их разложения на дизъюнктные сосювяйхцве. • . •

Научная новизна. Все основные результаты работы являются •

ШВЫ.«!.

X. Предложена принципиально новая конструкция секторного интеграла,, включающая в себя наряду с классической схемой Даниеял - Стоуна еще один шар - взятие циклической оболочки. . Установлена теорема Радона - Никодима для векторньк мер.

2. Введен новый класс проекторов в пространстве регулярны;: опораторов. Изучена структура алгебры осколков положительного оператора. Получена новая формула проектирования на главные компоненты.

3. Исследованы основные свойства решеточно нормированных пространств без предположения о полноте нормирующей решетки: • получен критерий полноты таких пространств, установлена разложимость мажорантной нормы, получены формулы разложения мажори-

руемого оператора.

Теоретическая ...и „практическая ценреть. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут кайти применение в теории операторов.

Методы .исслмованад. В работе используются методы теории упорядоченных векторных пространств, теории векторной двойственности, элементы булешэиачиого анализа,

Апробация, работ»» Результаты диссертации докладывались на ОТ Всесоюзной научной студенческой конференции в Новосибирском государственном укиверситото (19©' г.), на XI и ХП Всесоюзных школах по теории опэпаторов s функциональных пространствах (Челябинск,1983 г. и Тпибов, 1987 г.), на семинаре по ^-тциональному анализу в Икотн-туте матсматига СО АН СССР (1988 г.), .

Структура.и „объем,.работы.. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы 87 страниц. Библиография включает 95 наименований» Результаты параграфов 1,2, 1.3 получены совместно с Г.П.Акиловкм и А.Г.Кусраевш. Он«' ' носят вспомогательный характер. Все основные результаты, выносимые на защиту, получены самостоятельно. *

Публикации. Основные' результаты диссертации опубдиковаш в работах С 17-22 ]

СОДОШЩИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой и второй главах предлагаемой работы решаются задачи построения векторного интеграла в упорядоченных векторных пространствах и изучения структуры пространства регулярных операторов» Полученные результаты имеют приложение к теории мажорируемых операторов, рассмотренной в третьей главе.

Особое место в пространстве регулярных операторов занимает операторы Магарш» т.е. порадково непрерывные операторы, сохраняющие порядковые интервалы. Операторы Магарам обладают . • -многими "хорошими" свойствами и играют в векторной двойственности ту же роль, что и интеграл Лебега в скалярной двойственности (см, 15} .}, _ -

Пусть заданы векторная решетка Е , некоторое К -пространство Р и положительный оператор Ф ■ • В [5] ставится задача дать обозримую конструкцию пополнения решетки Е так, чтобы Ф распространялся до оператора Магарам. Так ке, как и в случае скалярной двойственности, роль универсального пополнения здесь' играет второе операторно сопряженное пространство. В параграфе 1.-1 изучаются свойства канонического вложения I векторной рейетки £ в пространство регулярных операторов, отображающих компоненту I Ф] порожденную оператором Ф , в И -пространство Р . Установлено, что естественное распространение Ф оператора Ф на наименьший идеал Е , содержащий решетку £ Е , является.существенно положительным оператором Магарам. Кроме того решетка с £ плотна в Ев следующем смысле. Каждый элемент Е является точной, верхней

л • . ,

гранью некоторой возрастающей,последовательности элементов, вяляющихся, s-свою-очередь» точными нижними гранями убывающих последовательностей элементов из циклической' оболочки решетки lB (см, 1,1,5). Цусть L,(Ф) - наибольший фундамент в максимальном расширении тЕ пространства Е , на который оператор распространяется по непрерывности.

Оператор Ф : L,(Ф) ~~ F естественно считать интегралов

построенным по предынтегралу Ф Е F .В параграфе 1.2 приводятся описания полученных пополнений в терминах самой решетки, т.е. не апеллируя к сопряженному пространству (см. 1,2,7, 1,2.Ю>,. Основным здесь является понятие фильтра в упорядоченном пространстве. В 1.3 вводится категория векторных прзддатегралов

РШР) . Устанавливается универсальность построенных пространств (1.3Л, 1.3.4), теорема Радона - Нико-дшЗа для положительных.операторов (1.3.2),

В 1,2, 1.3 дана абстрактная конструкция интеграла, Пусть на Ъ -алгебре 8 -подмножеств множества X звдата F -злачная мера ji , Тогда ставится задача построения -пространства . суммируемых функций на исходном множества X . Рассмотрим циклическую оболочку V решетки 8 -простых функций наХ , .т.е. множество функций вида if{x) ¡- 0-2. Л^Д s где

(ДЗ - разбиение единичного проектора , (B^)cz Q ц (Зк^) - ограниченное множество действительных чиеел., Элементы векторной решетки V будем называть, FВ -простыми функциями, и для каждого U = О -S-X^f.^ положим <P(iS) ~ * 0^2 А^Д/* ( SjJ Mepy^u , следуя L 14 J ,, назовем

правильной, если ш/Ф ТтГд. ) =0 для любой убывающей к нулю . последовательности. (V^l^ V ■ ' . Условие правильности являет-

ся необходимым и достаточным дгя реализации пространства 1,(Ф) на множестве X .

ТЕОРЕМА (1,4.6). %сть мера ^и ■■ В Р правильна и к (Ф, V) - векторная решетка, построенная по предштегралу , используя схему Дашеля - Стоуна. Тогда есть п, -пространство и оператор является Ъ -непрерывны?.). Кроме того, если (Л)С-1*(Ф,V) возрастающая последовательность и 5ЦF , то

зир&б1(<Р,У). .

Произвольные функции

будем считать эквивалентными, если

ФОН» -О . Векторную решетку классов эквивалентности обозначим через I, (Ф, V) , Символом {/>] , обозначим компоненту, порожденную мерой ^ в Н -пространстве М (В, Р) /** -значных зарядов на алге'бре В .

ТЕОРЕМА (1.4.7, 1.4,9)Пусть мера у/ - правильна. Тогда выполнены следующие утверждения: ;

1) есть //-пространство.

2) Ф : и Ф, V) ~~ Г

- существенно положительный

✓ - • - .

оператор Магарам. . , ,

3) Для любого заряда г>£ {/и] найдется функция

, для

которой 'ЪШ'Щ-у.ь)

при 6 е Ь

В.частном случае, когда пространство Г имеет локально ■ ' счетный тип, указанные теоремы являются решением соответствующей проблемы, поставленной в[14} -

Одной из важнейших характеристик компоненты положительного оператора является алгебра его осколков. Изучению ее структуры посвящена вторая глава. В параграфе 2.1 вводится, новый

класс элементарных осколков положительного оператора Ф-'Я , порожденный идеалами решетки Е . Изучаются его

основные свойства, В 2,2 устанавливается, что элементарные осколки порождают всю алгебру •£? (Ф) осколков оператора Ф .

ТЕОРЕМА (2,2.2), %сть Ф положительный оператор, действующий из векторной реиетки Е ' в К-пространство Е . Тогда для любого 6 £ Е + отображение .

Фх •—$ир [ Ф (пёл х) '• о & /V / (хе £*) ЗГгФх же Фхл - 31, Фх- (Х6Ё)

является осколком оператора Ф и для множества С осколков вида ":;; , где +

и а € /V имееф место равенство

ет-с11:

В случае, когда Е есть решетка с проекторами, следствием данной теоремы являются результаты об алгебре: осколков из

[ 7 , 13 ] (см. 2.2.5). Параграф 2.3 содержит описание полученных результатов на языке исходных пространств. Здесь-используется понятие решеток с дизъюнктностью, вводится критерий дизъюнктности положительных операторов. В 2.4 установлены некоторые формулы проектирования. ■'.'..■"

ТЕОРЕМА (2.4.4).-Пусть Е - векторная решетка,. /7 - некоторое Я -пространство и 3,Т - положительные операторы, действующие из £* в Е . Тогда для любого осе Е* справедлива следующая формула проектирования на компоненту оператора

Тх -¿л/¿ир//Ге <Рг(Р),ее1о,х]].

Результаты третьей главы позволяют установить основные факты о пространствах, нормируемых произвольными архимедовыми векторными решетками. В 3,1 вводятся понятия векторной нормы, сходимости, полноты пространств, понятие мажорируемого опера' тора. Пусть X - векторное пространство и Я - векторная решетка. Отображение II II'X £ ■ * • называется векторной ( Р -значной) н'ормой, если I) для любого £ X верно №11 е Е* и ахиао влечет х«о ? 2) яас+уи'б « Ш ♦ ЩИ ' ? 3) ЯЛЛП-ШШ • , где Х,усХ и ¡X 6 й . Норма II )! ¡X — Е называется разложимой • (по Канторовичу), если для любого х& X а

найдется I/сX такой, что ЯуЦ"е , (¡X-уI)« 11X1!-с Решеточно нормированное пространство с разложимой нормой {! ¡1 -полное относительно сходимости по норме," называется простран-. ством Банаха - Канторовича. .

ТЕОРЕМА (3.2.2). Решеточно нормированное пространство . с разложимой нормой полно тогда и только тогда, когда оно 1 -полно и с1 -полно.. »

Данная теорема является усилением .соответствующего критерия ,полноты из I 7 1 ^ так как здесь не требуется априорная полнота нормирующей решетки. ■

Пусть (Х,Е) и (V, Г) решеточно нормированные пространства. Линейный оператор , Т !У V называется мажорируемым, если для некоторого положительного оператора

Ф :E —F выполнена оценка IlTxll ^ <PllX!l (хеХ)

ТЕОРЕМА (3.3.2). %сть (X, Е) и (Y, F) решеточно нормированные пространства с разложимыми нормами.к (Y, р) - полно. Тогда для кавдого мажорируемого оператора Т :Х У существует наименьшая мажоранта IlTlt 6 L* (В , F) и пространство (M(X,Y), Li (E,F)) всех глажорируемых операторов, наделенное майорантной нормой» является пространством Банаха -Канторовича.,

Параграф 3.4 посвящен вычислении осколков мажорируемого • 1 оператора. Здесь, в частности» решены некоторые проблемы, поставленные в [6]. . В 3.5 приводится конструкция пополнения решеточно нормированного пространства ».продолжения мажорированного оператора. ■

Автор Еыраяает благодарность А.Г.Кусраеву и С.С.Кутате-ладзе за постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бухвалов A.B. Приложения методов теории порядково ограда-

. Р

ченных операторов-в пространствах L //Успехи мат. наук. ' - 1983. - Т. 38, п б. - С. 37-83.

2. Владимиров. Д.А. Булевы алгебры. - М.: Наука, 1969. - 320 с.

3. Канторович Л.В, Принцип мажорант и метод Ньютона // Докл. АН СССР. - 1951, - Т. 76, # Г. - С. 17-20..

4. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. - М.-Л.: Гостех-издат, 1956. - 548 с. *

5. Кусраев А.Г. Векторная двойственность и ее приложения. -

Новосибирск? Наука, 1985,

6. %сраев Л.Г. Линейные операторы в решеточно нормированных пространствах // Тр. Ин-та математики / АН СССР. Сиб. отд-н нио. - 1987. - Т, 9j Исследования по геометрии и анализу. -С, 84-123,

7. Кусраев А.Г,, Стрижевский В.З. Решеточио нормированные пространства и мажорированные операторы // Тр. Ин-та математики / АН СССР. Сиб, отд-ние. - 1987, - Т. 7s Исследования по геометрии и анализу. - С. 132-157.

8. Кутателадзе С.С. Опорные множества сублинейных операторов// Докл. АН СССР. - 1976, - Т. 230, № 5. - С. 1029-1032,

9. Кутателадзе С,С. О выпуклом анализа в модулях // Сиб. мат. журн. - 1981. - Т. 22, № 4. - С. II8-I28.

Ю. filiprantis С. fr, burkiashaw 0. The components of a positive op&rator //Math-¿. - тз. -bd Щ, a/2. -C.Z45-Z57.

11. \i(mtorovLc L.V. The method of seccesive aprox¿ma-lion for functional equations //Acta. Maih. -

12. Luxemburg Ш.З., Schep ДА. 8 Radon-Ntcodym type theorem, for positive operators and actual //May . Math. - /378. ~ v40, yJ, - p. 35? -

' -375.

13. Pagter R. de. The components of- a positive cperator // Indag. Hath. - /983. - к45, -р.г?.9-24/.

14. IPicAsteczct / Ц/. Лоле - а£де£гй - valued measures : integration of vector - vataed

functions and Radon Nicodym, type, theorems// Proc. London. Math. See. - 19SZ. - к а/г. -p. ¡93-226.

'15. Wright 3.D. M. Й ñadon ~/У¿codijrn theorem for Stone -atgeSra ~ vaéued measures // Trans. Йmer. Math'. Зое. ~mo.-~v.1JO, У/. ~ р. 75-94.

16. Wrlg&i У. âM.' /7/г extension theorem //J London Math. Soc. ~ m. - voe. VJ. -p. 53/ - 539.

' Работы автора по теме диссертацииs

17. Акилов Т.П., Колесников Е.В., Кусраев. А.Г. Лебегово расширение положительного оператора // Докл. АН СССР, - 1988, -Т. 298з 3 3. - С. 521-524. '

18. Колесников Е.В, 0 структуре пор'ядково сопряженного пространства // Тез. докл. XI Всесоюзной школы по теор. операторов в функц. пространствах. -"Челябинск, 1966. - С. 53,

19. Колесников Ё,В. Об алгебре проекторов пространства регу-ллрных операторов // Тез» докл. ХП Всесоюзной школы по теор. операторов в функц, пространствах. - Тамбов, 1987, -С. 101.

20. Колесников Е.В. Осколки положительного оператора // Оптимизация. - Интт математики СО АН СССР.- 1987. - Вып. 40. -С. I4I-I46.

21. Колесников Е.В. Об осколках мажорированного оператора // Оптимизация. - Ин-т математики СО АН СССР. - 1988. - Вып. 43. - С. 81-85. '.'■■"

22. Колесников Е.В., Кусраев А.Г., Малюгин С.я. О мажорируемых операторах. - Новосибирск, 1988. - 32 с. - (Препринт /.АН : СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т математикиj Jf>-2S). л^ /7

15 ' -О' .

•Подписано к почата' 10,02.89 ■ МН 10041

Формат бумаги 60x84 Объем I ц.л. т уч.-гад. л. Заказ 60 . . : Tupas 100 ' .

Отпечатшо на ротапринте Института ш.темагтки СО АН СССР 63009Ö, 'Новосибирск, 9Q -, "• .