Структура пространства порядково-непрерывных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Регулярные и порядке во-непрерывные операторы в ^-пространствах . II

§ I.I. Компонента положительного оператора

§ 1.2. Метод £-соответствий

§ 1.3. Тензорное произведение ^-пространств

Глава 2. Решеточно-нормированные пространства и мажорированные операторы

§ 2.1. Полнота и пополнение.

§ 2.2. О пространстве мажорированных операторов

§ 2.3. Продолжение мажорированных операторов

§ 2.4. Пространства непрерывных вектор-функций

Наличие естественных порядков во многих объектах классического анализа привело к интенсивному развитию теории упорядоченных векторных пространств, основы которой были заложены в работах Д.В.Канторовича и его школы [18-20, 64] . Значение теории упорядоченных векторных пространств определяется тем, что, с одной стороны, она служит мощным средством исследования конкретных пространств, и, с другой стороны, существуют тесные связи между этой теорией и такими разделами математики, как общая теория банаховых пространств, теория меры и интеграла, теория функций, выпуклый анализ, общая топология. Особенно усилились эти связи за последние годы. Обзоры по этой тематике имеются в работах [10-12, 18, 29, 34, 39, 50 ] .

Одним из важнейших результатов теории упорядоченных векторных пространств является спектральная теорема Фрей-денталя (см., например, [20, 15, 70 J ). По существу эта теорема показывает, что если <( , £ являются элементами

-пространства и & i -и ^ е , то <с может быть аппроксимирован линейными комбинациями "осколков" е , т.е. таких элементов р ( О ^ р i е ), что р л (е -fi-(S>. Этот результат, имеющий многочисленные интересные приложения [15, 66 J , подчеркивает важность изучения структуры полной булевой алгебры "осколков" t - базы главной компоненты (el^^ . Информация о базе ^-{-пространства (eS^'f в свою очередь, приводит к выяснению устройства самой комл J поненты I в] . Особенно важной и трудной эта проблема является для пространства регулярных и, в частности, по-рядково-непрерывных операторов. Она связана с вопросами аналитического описания операторов, действующих в -пространствах, такими, как например, интегральные и факториза-ционные представления £5,6,9,10,15,16,29,55,58,63,67-72, 77-80 ] .

Одним из основных инструментов исследования базы пространства регулярных операторов является дизъюнктность. Первые результаты в этом направлении были получены А. Г, Штекером и, частично, Б.З.Вулихом (см. (l5, 20j ) и относятся к пространству порядково-непрерывных функционалов. Ими получен следующий признак. Для дизъюнктности положительных порядково-непрерывных функционалов необходимо и достаточно, чтобы были дизъюнктны компоненты их существенной положительности fl5, 20 J . Хотя этот признак в части достаточности остается справедливым и для произвольных положительных операторов, он не переносится в полном объеме на операторный случай. Объясняется это тем, что компонента существенной положительности порядково-непрерывного положительного оператора недостаточно информативна и, в частности, не отражает структуры его образа. Заметим, что этот признак не переносится даже на случай произвольных положительных функционалов. Признак дизъюнктности порядково-непрерывных функционалов привел сразу же к аналитическому описанию базы пространства порядково-непрерывных функционалов. Вслед за этим были получены общие представления порядково-непрерывных функционалов /~15, 20, 16 ] и реализационные теоремы для пространства регулярных функционалов [16, 28, 35 ] . А.Г •Пинскером было доказано, что компоненты по-рядково-непрерывных и сингулярных функционалов образуют разложение пространства регулярных функционалов [20] .

Дальнейшее продвижение в этой области связано с введенным Г.Я.Лозановским классом операторов близких к функционалам: классом почти интегральных операторов [41] . Г.Я.Лозанов-ский в [41 ] , а, затем, Ю.Сынначке в f50J показали, что в непрерывном ^-пространстве тождественный оператор дизъюнктен компоненте почти интегральных операторов. Почти интегральные операторы были позднее подробно изучены А.В.Бухваловым в [ю] . Этой же тематике посвящены работы [78-80 J . А.Г.Кусраевым было получено описание базы компоненты почти интегральных операторов и, как следствие этого, соответствующее аналитическое представление.

С.С.Кутателадзе [33, 34, 30] , В.Люксембургом и А.Шепом [69] изучены главные компоненты, порождаемые соответственно порядково-непрерывными решеточными гомоморфизмами и порядково-непрерывными положительными операторами, переводящими порядковые отрезки в порядковые отрезки (так называемыми операторами Магарам). В [69] дано аналитическое описание упомянутых компонент. Такое описание было получено с помощью следующего факта. Компонента, порожденная образом положительного оператора Магарам, имеет базу изоморфную правильной подалгебре базы компоненты существенной положительности. Ранее такого сорта результат был установлен в [28 J для одного важного случая оператора Магарам, а именно, для оператора ограничения. При этом была установлена возможность одновременного продолжения регулярных операторов с мажорирующей подрешетки. В работе А.Г.Кусраева [29] установлена булевозначная реализация операторов Магарам, из которой легко выводятся известные результаты, а также некоторые новые факты. Основной момент при этом заключается в том, что произвольный оператор Ма-гарам является интерпретацией в подходящей булевозначной модели порядково-непрерывного положительного функционала.

Более общие классы операторов начали изучаться в последнее время. В работах [57, 75] получен критерий дизъюнктности операторов, действующих из произвольного

-пространства в J^-пространство с достаточным числом порядково-непрерывных функционалов. В работе [57] , в тех же предположениях, получена формула проектирования на главные компоненты в ^-пространстве регулярных операторов. Эти результаты, несомненно, означают большой прогресс в теории регулярных операторов, хотя они и получены при существенных ограничениях. Стоит также отметить работу где изучается оператор проектирования на компоненту порядково-непрерывных операторов.

Другой подход к исследованию структурных свойств пространства операторов поставляет аппарат тензорных произведений. Тензорное произведение позволяет рассматривать пространство билинейных отображений как пространство линейных отображений и, тем самым, пространство линейных операторов как пространство линейных функционалов. Последнее же, зачастую, поддается детальному исследованию (как, например, пространство порядково-непрерывных функционалов). Тензорное произведение упорядоченных пространств рассматривалось многими авторами [9,39,55,61,74 ] . Обычно оно снабжалось некоторой нормой и исследовалось методом теории банаховых пространств. Тензорное произведение банаховых решеток исследовалось в [9,34,51,54,74 ] , где оно, наделенное естественным порядком, превращалось в банахову решетку.

В j6l] строится тензорное произведение архимедовых векторных решеток относительно класса положительных билинейных операторов. Однако такое тензорное произведение не может быть использовано для описания порядково-непрерывных билинейных операторов.

Еще одна развивающаяся область функционального анализа связана с введенными Л.В.Канторовичем пространствами с обобщенной (решеточной) нормой [l9, 20, 653. Она позволяет в абстрактной форме охватить некоторые аспекты, являющиеся существенными для исследования конкретных функциональных уравнений, которые не могли найти отражения в банаховой теории. Это, во-первых, идея мажорации одного уравнения другим, играющая болыцую роль при исследовании уравнений; во-вторых, возможность использования в качестве значений нормы вместо вещественных чисел элементов ^-пространства, что приводит к существенному уточнению оценок.

Пространства с обобщенной нормой являются естественными объектами векторной двойственности (см. [26,27,29,31]), идея построения которой была высказана Г.Г1.Акиловым. Математические объекты с обобщенной нормой рассматривались многими авторами [5-9, 18-25, 42-46, 52, 53, 65] . Наиболее близкими по тематике к данной работе являются статьи [21-24, 45 ] , где исследуются в довольно частном случае вопросы полноты и пополнения пространств с обобщенной нормой. В [45] показано, что пространство с обобщенной нормой, принимающей значения в регулярном ^-пространстве, допускает секвенциальное пополнение. В ["21, 22] изучается полнота относительно 4г-сходимости пространства операторов с абстрактной нормой и пространства непрерывных вектор-функций. Общий критерий полноты пространств с обобщенной нормой недавно получен А.Г.Кусраевым (см., например, [3l] ). Следует также отметить работы А.В.Бухвалова [б, 9], в которых исследуются важные конкретные пространства с обобщенной нормой: пространства вектор-функций, мажорированных операторов и операторов с абстрактной нормой.

Суммируя изложенное, можно сказать, что в последние годы в теории упорядоченных пространств произошли существенные сдвиги. С одной стороны, интенсивно развивается изучение пространства регулярных операторов, а с другой -появились новые глубокие результаты о структуре пространств с обобщенной нормой и операторов, действующих в них.

Настоящая работа посвящена исследованиям в этих двух направлениях. В первой главе диссертации изучается структура пространства регулярных операторов, действующих в ^-пространствах, а во второй - структурные свойства пространств с обобщенной нормой.

В параграфе I.I изучается структура главных компонент пространства регулярных операторов. Описывается база произвольной главной компоненты этого пространства и доказывается признак принадлежности положительного оператора компоненте, порозденной другим положительным оператором. Выводится форцула проектирования на главные компоненты пространства регулярных операторов. Эти результаты являются усилением соответствующих результатов Б.Пагте, С.Алипран-тиса, О.Буркиншоу [75, 57J .

В параграфе 1.2 предлагается новый подход к понятию носителя порядково-непрерывного оператора, на основании которого дается явное описание классов порядково-непрерывных решеточных гомоморфизмов и операторов Магарам. Используя такое описание, доказываются признаки дизъюнктности операторов из указанных классов. Показывается, что, в случае непрерывных ^-пространств, решеточные гомоморфизмы и операторы Магарам дизъюнктны компоненте почти интегральных операторов. Этот факт обобщает результаты Г.Я.Лозанов-ского [413 и Ю.Сынначке [50 ] .

Параграф 1.3 посвящен построению тензорного произведения в классе рефлексивных по Накано ^-пространств относительно регулярных порядково-непрерывных по каждой из переменных билинейных операторов.

Во второй главе изучается структура пространств с обобщенной нормой (в диссертации они называются решеточно-нормированными пространствами). При этом существенно используются результаты первой главы.

В параграфе 2.1 исследуются вопросы полноты и пополнения решеточно-нормированных пространств. Доказываются один критерий полноты и существование единственного (с точностью до алгебраического изоморфизма и линейной изометрии) пополнения.

В параграфе 2.2 рассматривается пространство мажорированных операторов и дается положительный ответ на вопрос из монографии [20] о разложимости обобщенной нормы в этом пространстве.

В параграфе 2.3 рассматривается пространство мажорированных операторов, имеющих порядково-непрерывные мажоранты, и показывается их однозначная распространимость на пополнение.

Последний параграф второй главы носит иллюстративный характер. В нем изучаются структура и полнота пространств непрерывных вектор-функций. Для этих пространств доказывается» в частности, аналог теоремы Петтиса об измеримых вектор-функциях.

Результаты диссертации докладывались в Новосибирском и Ленинградском государственных университетах, в Институте математики СО АН СССР, на IX школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тернополь, 1984 г.).

Основные результаты работы опубликованы в [31, 32, 47-49] .

1. Абрамович Ю.А., Векслер А.И., Колдунов А.В. Об операторах, сохраняющих дизъюнктность. - Докл. АН СССР, 1979, т.248, № 5, с.ЮЗЗ-ЮЗб.

2. Абрамович Ю.А., Векслер А.И., Колдунов А.В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность, их непрерывность и мультипликативное представление. Линейные операторы и их приложения, сб. научных статей, Ленинград, 1981, с.13-34.

3. Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: "Наука", 1978, 368 с.

4. Антоновский М.Я., Болтянский В.Г., Сарымсаков Т.А. Очерк теории топологических полуполей. Успехи мат. наук, 1966, т.21, B.4U30), с. 185-218.

5. Бух вал о в А. В. Об аналитическом представлении линейных операторов при помощи измеримых вектор-функций. Известия высш. учебн. заведений. Математика, 1977, № 7(182),с.21-31.

6. Бухвалов А.В. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой. Известия высш. учебн. заведений. Математика, 1975, № 11(162), с.21-32.

7. Бухвалов А.В. 0 двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций. Известия АН СССР, сер. математика, 1975, т.39, № 6, с.1285-1309.

8. Бухвалов А.В. О некоторых свойствах нормы и полуупорядочения в пространствах операторов. Оптимизация/Институт математики СО АН СССР, 1973, вып.12(29), с.23-28.

9. Бухвалов А. В. Пространства вектор-функций и тензорные произведения. Сиб. мат. ж., 1972, т.13, № 6, с.1229-1238.

10. Бухвалов А.В. Приложения методов теории порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах1. . Успехи мат. наук, 1983, т.38, № 6, с.37-83.

11. Бухвалов А.В., Векслер А.И., Гейлер В.А. Нормированные решетки. В кн.: Математический анализ. М.: изд. ВИНИТИ, 1980, т.18, с.125-154.

12. Бухвалов А.В., Векслер А.И., Лозановский Г.Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. -Успехи мат. наук, 1979, т.34, № 2, с.137-183.

13. Векслер А.И., Гейлер В.А. 0 порядковой и дизъюнктной полноте линейных полуупорядоченных пространств. Сиб. мат. ж., 1972, т.13, # I, с.43-51.

14. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969, 320 с.

15. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 196I, 408 с.

16. Вулих Б.З., Лозановский Г.Я. 0 представлении вполне линейных и регулярных функционалов в полуупорядоченных пространствах. Мат. сб., 1971, т.84, # 3, с.331-352.

17. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М., ИЛ, 1962.

18. Канторович Л.В. Принцип мажорант и метод Ньютона. Докл. АН СССР, 1951, т.76, № I, с.17-20.

19. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Полуупорядоченные группы и линейные полуупорядоченные пространства. Успехи мат. наук, 1951, т.6, вып.3(43), с.31-98.

20. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорадоченных пространствах. М.: Физ-матгиз, 1950, 548 с.

21. Карабанов А.П. О некоторых классах решеточно-нормированных пространств. Функциональный анализ, г.Ульяновск, вып.15, 1980, еЛ13-120.

22. Карабанов А.П. 0 некоторых классах решеточно-норми-рованных пространств. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук/ /Воронежск. гос. ун-т. Воронеж, 1984, 12 с.

23. Карабанов А.П. О -пополнении нормированных и линейных топологических структур. Сиб. мат. ж., 1970, т.И, » б, с. 1400-1402.

24. Карабанов А.П. Об одном классе 0) -полных /(Ж-пространств. Сиб. мат. ж., 1977, т.18, № 3, с.708-710.

25. Нусраев А.Г. Абстрактное дезинтегрирование в пространствах Канторовича. Сиб. мат. ж., 1984, т.25, № 5, с.79-89.

26. Кусраев А.Г. Булевозначный анализ двойственности расширенных модулей. Докл. АН СССР, 1982, т. 267, № 5,с.1049-1052.

27. Кусраев A.F. 0 некоторых категориях и функторах булевозначного анализа. Докл. АН СССР, 1983, т.27, № 2, с.283-286.

28. Кусраев А.Г. Об одном свойстве базы ^«пространства регулярных операторов и некоторых его применениях.- Новосибирск, 1977. 16 с. - (Препринт/ИМ СО АН СССР).

29. Кусраев А.Г. Общие формулы дезинтегрирования. -Докл. АН СССР, 1982, т.265, № 6, с.1312-1316.

30. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Локальный выпуклый анализ. В сб.: "Современные проблемы математики. Том 19 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)". М., 1982, с.155-206.

31. Кусраев А.Г., Стрижевекий В.З. Решеточно-нормированные пространства и классы непрерывных вектор-функций. -Оптимизация/Ин-т математики СО АН СССР, 1984, вып.34(51), с.24-36.

32. Кусраев А.Г., Стрижевский В.З. О структуре решеточ-но-нормированных пространств. Новосибирск, 1984, - 30 с. -(ПрепринтAIM СО АН СССР).

33. Кутателадзе С.С. Опорные множества сублинейных операторов. Докл. АН СССР, 1976, т.230, № 5, с.1029-1032.

34. Кутателадзе С. С. Выпуклые операторы. Успехи мат. наук, 1979, т.34, № I, с.167-196.

35. Кутателадзе С.С. Модули, допускающие выпуклый анализ. Докл. АН СССР, 1980, т.252, № 4, с.789-791.

36. Кутателадзе С.С., рубинов A.M. Двойственность Минковского и её приложения. Новосибирск, Наука, 1976, 254с.

37. Левин В.Л. К двойственности некоторых классов линейных операторов, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками. Сиб. мат. ж., 1973, т.14, вып.З, с.599-608.

38. Левин В.Л. О двух классах отображений, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками. -Сиб. мат. ж., 1969, т.10, вып.4, с.903-909.

39. Левин В.Л. Тензорные произведения и функторы в категориях банаховых пространств, определяемые /^-линеалами. Тр. Моск. Математ. об-ва, 1969, т.20, с.43-82.

40. Лозановский Г.Я. О реализации пространств регулярных функционалов и некоторых ее применениях. Докл. АН СССР, 1969, т.188, № 3, с.522-524.

41. Лозановский Г.Я. О почти интегральных операторах в KB -пространствах. Вестн. Ленингр. ун-та, 1966, № 7, с.35-44.

42. Миронов A.B.t Сарымсаков Т.А. К понятию нормы линейного оператора в локально выпуклом пространстве. Докл. АН СССР, 1972, т.204, № I, с.38-41.

43. Митягин Б.С., Шварц А.С. функторы в категориях банаховых пространств. Успехи мат. наук, т.19, вып.2(116), с.65-182.

44. Сарымсаков Т.А., Рубштейн Б.А., Чилин В.И. Полные тензорные произведения топологических полуполей. Докл. АН СССР, 1974, т.216, №6, с.1225-1228.

45. Скляднев С.А. О пополнении структурно-нормированных пространств. Тр. семинара по функциональному анализу. Воронежский ун-т, 1968, вып. 10, с. 122-129.

46. Скляднев С.А. Представление структурно-полныхj(S -линеалов. Труды научно-исследовательского института ВГУ, Воронеж, 1971, вып.З, с.126-131.

47. Стрижевский В.З. Об одном методе исследования дизъюнктности порядково-непрерывных операторов. Оптимиза-ция/Ин-т математики СО АН СССР, 1984, вып.34(51), с.37-52.

48. Стрижевский В.З. Об одной теореме Петтиса. IX школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тез. докл., Тернополь, 1984, с.134.

49. Стрижевский В.З. Тензорные произведения рефяексив-ных ^-пространств. Оптимизация/Йн-т математики СО АН СССР, 1983, вып.33(50), с.40-43.

50. Сынначке Ю. 0 почти интегральных операторах в пространствах. Вестн. Ленингр. ун-та, 1971, № 13, с.81-89.

51. Худалов В.Т. Тензорные произведения банаховых пространств с конусами. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук/ Ленингр. гос. ун-т. Ленинград, 1980, 14 с.

52. Шамаев И.И. Гомоморфизм структурно-нормированных модулей. Сиб. мат. ж., 1980, т.21, № 4, с.231.

53. Шамаев И.И. Гильбертовы произведения пространств Канторовича. Сиб. мат. ж., 1977, т.18, № 3, с.715.