Алгебраические и порядковые свойства множества линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

На правах рукописи УДК 517.98

БЛУДОВСКАЯ Ольга Альбертовна

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ПОРЯДКОВЫЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРОВ, СОХРАНЯЮЩИХ ДИЗЪЮНКТНОСТЪ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Колдунов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.И. Векслер кандидат физико-математических наук, доцент А. С. Бондарев

Ведущая организация - Сыктывкарский государственный университет

Защита состоится "/V" года в 16 ~ часов на заседании

Диссертационного Совета К 113.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Российском государственном педагогическом университете имени А.И. Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 1, ауд. 209)

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке РГПУ им. А.И. Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 5)

Автореферат разослан 1996 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета

И.Б. Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Дня теории векторных решеток характерно выделение и изучение порядковых свойств функционалов и операторов. Одним из основных понятий в теории векторных решеток является понятие линейного оператора, действующего в векторных решетках.

В этом смысле показательно, что уже в ЗОх годах JI.B. Канторович доказывает известную теорему Рисса-Канторовича об условной полноте пространства линейных регулярных операторов, действующих в условно полную векторную решетку, тем самым обобщая результат другого создателя теории векторных решеток Ф. Рисса о порядковых свойствах пространства линейных регулярных функционалов в пространстве непрерывных функций на С([0,1]). Интересно, что этот факт указывает на характерный для теории векторных решеток перенос методов исследования из классических ситуаций функционального анализа (например, пространств типа С(К) на компакте К, Lp) в более абстрактную ситуацию векторной решетки.

Исследованием линейных регулярных операторов, действующих в векторных решетках, занимались ученики JI.B. Канторовича Б.З. Вулих и А.Г. Пинскер, а также представители японской школы теории векторных решеток, среди которых прежде всего надо отметить X. Накано. Проблемами, близкими к этой тематике, занимались и представители воронежской школы: М.А. Красносельский, П.П. Забрейко и другие. В настоящее время теория линейных операторов - важнейший раздел теории векторных решеток.

С 80х годов в теории линейных операторов, действующих в векторных решетках, большой интерес стал уделяться линейным операторам, сохраняющим дизъюнктностъ, (или d-гомоморфизмам). Вопросы, связанные с d-гомоморфизмами и их частными случаями (d-изоморфизмами, ортоморфизмами, решеточными гомоморфизмами) ставились, например, в работах следующих авторов: Ю.А. Абрамовича, А.И. Векслера, A.B. Колдунова, А. Викстеда, М. Майера, В. де Паггера, Д.

Харта и других. В последнее время значительное внимание стало уделяться сохраняющим дизъюнктность операторам, действующим в банаховых решетках; их исследованием занимались такие математики как В. Аренда, А. Викстед, К. Гуйсманз и другие. Типичным примером таких операторов являются операторы подстановки с весом в пространствах С(К) и Ьр(/л). Напомним, что если Е есть ИП (идеальное пространство) на (Ть^ьЦО, то есть на пространстве Т\ с ст-алгеброй 21 измеримых множеств и ст-конечной мерой Ц1 на Еь Р - ИП на (Гг.^Цг), ю: Т2->Т\ -измеримое отображение, geL0, то оператор подстановки с весом задается следующим образом:

Аналоги операторов подстановки с весом можно рассматривать и в пространствах С(К), тогда должны быть непрерывными.

В связи с этим представляются актуальными постановка и решение классических вопросов теории линейных регулярных операторов для операторов, сохраняющих дизъюнктность. Например, как уже было отмечено, пространство Ь (Х,Т) всех линейных регулярных операторов, действующих в архимедовых векторных решетках X и У, в случае условной полноты У является векторной решеткой, более того, условно полной. С другой стороны М. Манер, изучая свойства множества ОгШ(1) всех порядково ограниченных нерасширяющих операторов (ортоморфизмов), действующих в векторной решетке X, то есть множества всех порядково ограниченных операторов, для которых образ элемента хеХ снова лежит в полосе {х}^, доказал, что множество ОПЬ(Х) является векторной решеткой и без предположения условной полноты X. Множество сИ (Х,У) всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, действующих из архимедовой векторной решетки X в архимедову векторную решетку Г, является промежуточным между пространством £ (Х,¥) и множеством ОгЙ1(ЛЭ. Поэтому естественным образом при изучении порядковых свойств множества с1Ь (Х,Т) возникают следующие вопросы: является ли множество с1Ь (Х,Т) всех регулярных с1-гомоморфизмов векторной решеткой? Является ли существенным

требование условной полноты векторной решетки Y при ответе на этот вопрос для множества dL (X,Y)7

Оказывается, что аналоги результатов JI.B. Канторовича и М. Майера не могут бьггь получены для множества dL (X,Y) всех регулярных d-гомоморфизмов: несмотря на то, что в множестве dL (X,Y) для любого оператора существует его супремум с нулевым оператором, множество всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, не является решеткой. Это связано с тем, что рассматриваемое множество операторов не является линейным, а именно, множество dL (X,Y) не является замкнутым относительно сложения.

Таким образом, при изучении порядковых свойств множества всех регулярных d-гомоморфизмов возникает более сложная ситуация, чем в случае пространства всех линейных регулярных операторов и в случае множества всех ортоморфизмов, так как при решении задач, связанных с порядковыми свойствами множества dL (X,Y), возникает необходимость в той или иной мере решения задач, связанных с алгебраическими свойствами этого множества.

Надо отметить, что при решении указанных выше проблем в множестве всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, является существенным полученный Ю.А. Абрамовичем, А.И. Векслером и A.B. Колдуновым результат о локальном мультипликативном представлении всякого регулярного d-гомоморфизма, то есть о возможности локального представления данного оператора в виде оператора, устроенного аналогично оператору подстановки с весом. Использование такого представления для операторов из множества dL (X,Y) существенно облегчает решение ряда вопросов в изучаемом множестве операторов, так как дает возможность сведения абстрактной векторно-решеточной ситуации к рассмотрению конкретных свойств непрерывных функций и свойств компакта. Надо отметить, что подобное

т"

представление использовалось ранее М. Манером для доказательства решеточной структуры множества Orth(Ji) всех ортоморфизмов в векторной решетке X.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение алгебраических и порядковых свойств множества <1Ь (Х,У) всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, действующих в архимедовых векторных решетках X и У. Описание строения введенного Л.В. Канторовичем оператора, являющегося супремумом двух сохраняющих дизъюнктность операторов в пространстве Ь (XX) всех линейных регулярных операторов, действующих в условно полную векторную решетку У. Доказательство теорем о существовании суммы, супремума и инфимума для двух операторов в множестве с1Ь (X,У).

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются методы теории упорядоченных пространств, теории векторных решеток, а также методы теории линейных операторов и линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, действующих в векторных решетках.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы являются новыми. Укажем некоторые из них:

- дано необходимое и достаточное условие для существования суммы двух операторов в множестве сИ (Х,У) всех регулярных <1-гомоморфизмов, действующих в архимедовых векторных решетках X и Г;

- дано описание строения оператора, введенного Л.В. Канторовичем, являющегося супремумом двух сохраняющих дизъюнктность операторов в пространстве Ь (Х,У), где У является условно полной векторной решеткой;

- доказана теорема о достаточном условии существования супремума двух операторов в множестве ей, (А', У);

- доказана теорема о необходимом и достаточном условии одновременного существования супремума и инфимума двух операторов в множестве ей, (Х,У);

- дано необходимое и достаточное условие для существования супремума двух операторов в множестве сИ (Х,У), где У - условно полная векторная решетка;

- дано необходимое и достаточное условие дизъюнктности двух положительных операторов из множества <И (Х,К), когда У является условно полной векторной решеткой.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего изучения линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, а также для других классов операторов, близких к ним, (например, класса операторов подстановки с весом).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на городских семинарах по полуупорядоченным пространствам в РГТТУ им. А.И. Герцена, а также на Герценовских чтениях в 1995 и 1996 годах.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 4 работы, которые отражают ее основное содержание.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух частей и списка литературы. Первая часть посвящена изучению алгебраических свойств множества всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность. Во второй части исследуются решеточные свойства рассматриваемого множества операторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится краткий исторический обзор, формулируются задачи исследования и основные результаты диссертации. Во втором параграфе диссертации формулируются и доказываются некоторые предварительные результаты. Так, например, доказывается следующий важный результат:

Для любого оператора Т из множества с1Ь (Х,У) всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктностъ, действующих в архимедовых векторных решетках Х,И, существуют операторы Т+,Т. ееИГ(Х,Т) такие, что

Т=Т+-Т., Т+=Т\Л, Т. = (-ГМ).

Первая часть диссертации посвящена алгебраическим свойствам упорядоченного множества £#, (Х,Т). Известно, что упорядоченное пространство Ь (Х,У) всех линейных регулярных операторов, действующих в архимедовых векторных решетках X и У, является линейным. Однако, его упорядоченное подмножество сИ (Х,У) всех операторов ТеЬ (Х,7) таких, что Т сохраняет дизъюнктность, не является замкнутым относительно сложения, что подтверждают простые примеры, рассмотренные в диссертации.

В параграфе 3 первой части диссертации вводится следующее отношение между операторами в множестве с1Ь (Х,Т).

Определение 3.1. Для операторов Т\,Т2 из множества <1Ь (Х,У) будем писать Т\ *Г2, если

Х\ с1 Х2 в X влечет Т\Х\ ё Т2х2 в У.

В §3 доказано несколько свойств введенного отношения.

Предложение 3.2, Для операторов Т\,Т2ес1Ь (X,У) условие Т\ ШТ2 выполняется тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия (Г,)+*(72)+) (7\)+*(Г2)., (Г,).*(Г2)+, (Г,).*(Г2)..

Отметим еще одно свойство отношения (*).

Если для операторов 7ьГ2ег#, (Х,Т) выполнено условие Т\ЪТъ то выполнено и условие ХГ\ *//7г для любых вещественных Я, ц.

В этом же параграфе, используя технику локального мультипликативного представления операторов из множества Л, (Х,У), доказывается, что для операторов Т\,Т2е.с1Ь (Х,У) отношение Т\ШТ2 является необходимым и достаточным для существования суммы Т\+Т2 в множестве с!Ь (Х,Т).

В четвертом параграфе доказывается, что введенное для операторов Т\,Т2е.с1Ь (Х,У) отношение Т^Т2 является достаточным (но не необходимым) для существования Т\\/Тг и Т\лТ2 в множестве ей, (Г,У).

Предложение 4.1. Если для операторов Т\,Тгес1Ь (Х,У) выполнено условие Т\ то оператор Р(Т\,Т2), заданный следующим образом:

Дад^ГгН Г2-7\М), является супремумом операторов Т\,Т2 в пространстве Ь (Х,Т) и в множестве йЬ ОС,У). Оператор -Р(/Г\,-Т2) является инфимумом

операторов ТиТ2 « МДТ) и в <И~(Х,У).

Введенный в Предложении 4.1 оператор Р(Т\,Тг) на произвольном элементе хеХ принимает значение

Р{ТиТ2)х = Г,(XV0) V Г2(*\Ю) + ЩхлО) л Т2(хл0), (1) и если для операторов ТиТ2ес1Ь (Х,Г) выполнено условие Т\ШТ2, то Р(ГьТ2)ес1Ь~(Х,1'). Однако, из условия Р(ГиТ2)есИ~(Х,Г) не следует условие Т\ * Т2.

Ясно, что если оператор Р(Т\,Т2), заданный по формуле (1), принадлежит множеству ¿1 (Х,У), то Р(ГиТ2)~Т]\/Т2 в множестве сИ (Х,У), однако оператор Р(ТиТ2) не всегда является аддитивным и не всегда сохраняет дизъюнктность. Кроме того, из рассмотренных в диссертации примеров следует, что если дая ТиТ2 существует супремум в множестве (¡Ь (Х,У), то он не всегда совпадает с оператором Р(Т\,Т2). Ниже (см. §7) будет дано условие, которое является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор Р(Т\,Т2) являлся супремумом операторов Т\,Т2 в множестве <Ж (Х,У).

В следующих доказанных предложениях устанавливается связь между условием (*) и свойствами оператора Р(Т\,Т2).

Предложение 4.2. Оператор аддитивен тогда и только

тогда, когда выполнены условия (7х)+*(7,2)+ и (Г1).*(Г2)-

Предложение 4.3. Оператор Р{ТГТ2) сохраняет дизъюнктность тогда и только тогда, когда выполнено условие

(Г,)+*(Г2)+.

В этом же параграфе доказана основная теорема первой части диссертации.

Теорема 4.6. Для операторов Ту,Т2е.с1Ь (Х,У) следующие условия эквивалентны.

(1).Оператор Т\+Тг принадлежит множеству сИ (Х,У).

(2). Для операторов Т\,Т2 выполнено условие Тх&Тг ■

(3). Существует оператор Те (Л (Х,У) такой, что -ТйТ\,Т2<.Т.

(4).Операторы Р(Тг,Т2) и Р(-ТХ,Т^) принадлежат множеству АЬ

Из Теоремы 4.6 и свойств отношения (*) непосредственно вытекает справедливость следующего утверждения:

Если для операторов Г\,Т2ес1Ь (Х,У) оператор Т\+Т2 принадлежит множеству </Х (Х,Т), то множеству сИ (Х,Т) принадлежит и линейная комбинация А.Т\+/лТ2 (Х,цеТЬ).

В пятом параграфе диссертации на основе Теоремы 4.6. доказывается тот факт, что каждое линейное подмножество упорядоченного множества сИ {Х,У) можно погрузить в некоторый векторно-решеточный идеал в множестве ¿Ь (Х,У). Это обстоятельство позволяет устанавливать для множества ¿/X (Х,У) свойства, аналогичные хорошо известным свойствам векторных решеток.

Вторая часть диссертации посвящена изучению решеточных свойств упорядоченного множества <ИЬ (Х,У), начало которому было положено в первой части работы. Поскольку условие (*), введенное в Определении 3.1, является достаточным условием существования супремума и инфимума двух элементов в множестве сИ, (Х,Г), но не является необходимым, то возникает вопрос о более слабых условиях, обеспечивающих существование в множестве ей, (Х,У) супремума (или инфимума) двух операторов. Причем особый интерес представляет случай, когда векторная решетка Г является условно полной, поскольку для этого случая известен классический результат Л.В. Канторовича о строении оператора Т^Т2 в пространстве Ь (Х,У).

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать операторы 7\, Г2 е с1Ь~(Х, Т)<^1~(Х,кУ), где кУ - дедекиндово пополнение векторной решетки У. Тогда в Ь~(Х,кУ) существует введенный Л.В. Канторовичем оператор Е{Т\,Т2): Х->к¥, который на положительных элементах хеХ+ задается следующим образом:

Е(ТиТ2)х = v{ + Т2х2, где х1ух2Ь 0 и х,+х2 = х },

(5). Оператор P(-Tv-T^ принадлежит множеству dL (X,Y).

Если же для операторов Г,,Г2 выполнено любое из условий (1)-(5), то TxvT2 = P(TVT2), Г,л72= -Р(-Г,,-:Г2).

Следствие. Для операторов TvT2edL ÇX,Y) оператор P(TVT2) является супремумом TVT2 в множестве dL (X,Y) тогда и только тогда, когда выполнены условия

(Ti)+*(T2)+ и (ГО-ВД). Следующий результат показывает, что при выполнении любого из условий (1)-(5) Теоремы 7.2 значение оператора E(TVT2) может быть найдено на основе взятия только конечного супремума в векторной решетке Y. Другими словами, Предложение 7.3 дает удобное описание классического оператора E(TVT2) для частного случая сохраняющих дизъюнктность операторов.

Предложение 7.3. Для операторов TvT2edL (X,Y) следующие условия эквивалентны.

(1). Для операторов ГрГ2 выполнены условия

(Г,)+*(Г2)+ и <7\).*(Г2).;

(2). Операторы P(TX,TJ и E(TVT2) совпадают.

Следствие. Если для операторов TvT2edL ÇX,Y) выполнено любое из условий (1)-(5) Теоремы 7.2, то

riv7'2 = £(7'1,r2) = P(ri,r2), Т,лГ2= -E(-Tv-T2) = -P(-Tv-T2). В восьмом параграфе второй части диссертации рассмотрен важный случай, когда векторная решетка Y является условно полной. Основные результаты работы, полученные для произвольной векторной решеткиГ, уточняются для этого частного случая.

Теорема 8.2. Пусть Y -условно полная векторная решетка. Для операторов T\,Ti^dL (X,Y) следующие утверждения эквивалентны.

(1). Существует супремум операторов Т\,Т2 в множестве dL (X,Y).

(2). Для операторов Т\,Г2 выполнено условие (Ti)+&(T2)+.

(3). Существует оператор TedL (X,Y) такой, что Т\,Т2йТ.

(4). Оператор Е(ТьТ2) принадлежит множеству dL~(X,Y).

Используя результат Теоремы 8.3, может быть получен ответ на важный вопрос о дизъюнктности двух положительных операторов из множества dL (X,Y), где Y - условно полная векторная решетка.

Теорема 8.5. Пусть Y - условно полная векторная решетка, операторы T\,T2e.dL (X,Y) и Т],Т2>0. Операторы Т\,Т2 дизъюнктны (то есть Т\ лГ2=0) тогда и только тогда, когда выполнено условие (Г\ХЛТ2Х)е(Я^Г,,T2))dd для любого х^О.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1.Блудовская O.A., Алгебраические свойства семейства линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнкгносгь, РПТУ им. А.И. Герцена, Спб, 1995.- Деп. в ВИНИТИ N3317-В95, Юс.

2.Блудовская O.A., Порядковые свойства множества линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнкгносгь, РГПУ им. А.И. Герцена, Спб, 1996,- Деп. в ВИНИТИ N1710-B96, 11с.

3.Блудовская O.A., Порядковые свойства множества линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнкгносгь, со значениями в К-пространстве, РГПУ им. А.И. Герцена, Спб, 1996,- Деп. в ВИНИТИ N1709-B96, 11с.

4.Блудовская O.A., Особенности строения супремума двух линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнкгностъ, РГПУ им. А.И. Герцена, Спб, 1996,- Деп. в ВИНИТИ N1708-B96,11с.