Спектральные свойства мажорируемых операторов на решеточно нормированных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

О 2.а ^

МОДУЛЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт математики

На пранах рукописи

ЧЕРДАК Ввдкм Борисович

УЩ 517.98

СШСГРМЫШЕ СБСйТбА МАМРЙРЖЖ ОПЕРА ТОРСГ!

кл режточш 1ЮРШР0М1т'пространствах 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой стспрни кандидата физико-математических ,;ауч

Новосибирск -1?.'10

Диссертация 'выполнена в Институте математики СО АН СССР.

Научные руководители S кандидат фиэиио-ыатемагичеокия

наук, с.н.с. Г'.П.Акилов

доктор фи з и ко -м атем а ги чо с J. и х наук, в,н.с. А.Г.Куераев

Официальные оппоненты$ доктор физико-математических

наук, профессор А.Б.Бухвалов

кандидат физико-математических наук, доцент И.И.Шамаеи

Ведущая организация ~ Ленинградский государственный

университет

Защита состоится "__"__г. в_часов

на заседании специализированного совета К 002.23,02 в Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КМ СО АН СССР.

Автореферат разослан "__"_ I9S0 г.

Учьный секретарь совем

к.ф.-м.н. / / / у: ° ^.В»Иванов

'уЛу*—-*—v

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Диссертации посвящена изучении спектральных свойств мажорируемых операторов на решточно нормированных пространствах.

Изучению спектральных свойств линейных операторов ке нормированных и частично упорядоченных пространствах посвжцз-ны работы целого ряда математиков, в том числе С.Банахи, А.Вейля, Й.М.Гельфанда, М.Г.Крзйва, 0.Перрона, Г.Фробениусл и многих других. Важность этих работ определялась использованием их результатов, кок в самом функциональном анализе и теории дифференциальных уравнений, так и приложениями их в квантовой механике, теории твердого тела и друг..х областях физики.

В теории линейных операторов изучение спектральных свойств занимает одну из ключевых: позиций, так ке,к имеются глубокие внутренние взаимосвязи мегду спектральными свойства!"! линейного оператора с силой стороны и структурой век-торног ) пространства с другой.

В последние годы наметился явный ipcrpecc в изучении спектральных свойств операторов на банаховых решета, х. Достаточно упомянуть работы В.Арента, А.К.Китовера, В. де Паг-

тера, Х.Шефвра. Задача об описании структуры порядкового спек трь регулярного оператора впервые изучалась Х.Шефером [ij . В работе [2] В.Арелт показал, что G(T)- Gc( Т) для V-компактного регулярного оператора на банаховой пешетке

е.

Эти результаты нашли дальнейшее применение в работах Б.Арвнзё) А.Сурура и Д.Харт,

ß недавней работе Б. да Шгтера [3 ] получено положительное решение долгое время остававшейся нерешенной проблем] ó существовании Т-инвариантного идеала у положительного компактного кваэинильпотентного оператора на банаховой решетке , Как следствие этой работы явилась серия обобщений тео ремы Андо-Крегера, предложенная Шефероы,. Гроблером, В.Каселе сом. .

Большое внимание уделяется изучению Спектральных свойст сохраняющих дизъшктность операторов. Для решения этой задач в большинстве работ используется представление решеточных гомоморфизмов в виде операторов взвешенного сдвига на соот-ьетствушщих функциональных пространствах. Особенно выделим "в этой связи работу В.Арента и Д.Харт ^ 4 ] , в которой

1. Sckaefer Н. //Haik.Z. ' W&--&J. 154.-ЙЛЗ-*'

2. Arendt W. цМи.Ъ.-

3. Parier b.je ff Math. Z.~..-Bol.132. -S.143 i;

4. Arendt W., HarlD.//Funct. Anal.- isxe.

V.öä ; - Р. {Чд->сч.

подробно изучена структура спектра квазиобратимого оператора на порядково полной баннховой решетке,

В то же время существенное развитие претерпевает в настоящее время тоория решеточно нормированных пространств, основы которой были заложены Л.В.Кгшторовичем в ЗО-х годах. Эта теория позволяет в абстрактной форме Охватить некоторые аспекты, являющиеся существенными для исследования конкретных функциональных уравнений, которое не могли найти отражения в банаховой теории. Это-во-первнх,.идея мажорэции одного уравнения другим, играющая большую роль при исследовании уравнений; во-вторых, возмс ,<ность использования в качестве значений нормы вместо вещественных чиоел элементов К -пространства, что приводит к существенному уточнению опенок.

Значительное продвижение в теории решеточно нормированных пространств и мажорапии линейных операторов и последние годы связано с работами Г.П.Лкилова, Л.Г.Кусраева, С.С.Кутп-теледзе и их учеников. Следует также отметить работы А.В.Бух-валова, в которых исследуются важные, конкретные решеточно нормированные пространства; пространства вектор-"укнций, мажорируемых операторов и операторов с абстрактной нормой.

Построение теории векторной^двойственности ] позво-. лило А.Г.Кусраеву, В.З.Стрижеискому, К.В.Колесникову и другим глубоко продвинуть тесрик. мажорируемых операторе-1, что ч привело к переосмыслению саг.'оП идеологии мажорации.

Оп-зтим, что одним из ведущих "опросов, которые явно

о. Кусраев А.Г. Векторная двойственность и ее прило-- ния. Норосибирск: Ноу;:а, >565.

или неявно присутствуют во многих задачах теории мажорируемых операторов, является »опрос о "наследовании" оператором свойств его точной мячсоранты, т.е. о том, что можно сказать о тех или иных свойствах оператора, зная свойства игнорирующих регулярных операторов. Так как общего решения этой проблемы не существует, то в каждом конкретном случав возникает необходимость самостоятельного исследования. Изучению вопроса о "наследовании" спектральных свойств мажорируемыми операторами и лосвящнна настоящая работа.

Целью диссертации является изучение мажорируемых операторов на реикзточно нормированных пространствах и исследование зависимости спектральных свойств мажорируемых операторов от свойств точной мажоранты. -

Научная ноьизна. Все основные результаты являются новыми.

1. Определен порядковый спектр мажорируемого оператора. Доказано совпадение порядкового и обычного спектров для V' -компактных и квазиобратимых операторов.

2. Изучен вопрос о существовании I -инвариантных собст-* ьеачых идеалов компактных операторов, облагающих кеазиниль-нотелтными точными мажорантами.

3. Определен класс с/ -гомоморфизмов, являющийся обобщением класса сохраняющих Дизъюнктность операторов, действующих на банаховых решетках. Ддя таких операторов построено спектральное разложения и получена формула, связывающая спектр оператора и спектр его точной мажоранты.

4. Изучены спектральные свойства квазиобратиыых операторов на 1ШК. Показано, что такие опгчаторы могут быть разлом кены в гримов сушу операторов специального вида, описала

б

структура их спектров.

Все результаты, рыносимые на защит}', полученн самостоятельно.

Теоретическая и..практическая ценность. ,Диссертационная работа иосит теоре^к- скип характер. Полученные результаты могут применяться в теории мажорируемых операторов, в теории операторов взвешенного сдвига.

Метбды исследованит. В работе используются мг;то,г.н функционального анализа, теории упорядоченных пространств и мажорируемых операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ХП, ХШ и Х1У Школах по теории операторов а функциональных пространствах (Тамбов, 1987 г., Куйбышев, 1988 р. и Новгород, 1989 г.), на семинаре по функциональному анализ} в Института математики СО АН СССР (1987-1989 гг.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух гла-, разбитых на девять параграфов и списка литературы. Объем работы 98 страниц. Библиография включает 03 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работая [ 1-4] .

СОлШАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ - <

В первой главе диссерты^и изучаются спектральные свойства мажорируемых компактных операторов. Рассмотрим подробнее результаты первой главы. В § I.I вводятся необходимые определения теории мажорируемых операторов на решеяочно нор-

О

мированных пространствах,

В § 1.2 рассматривается вопрос о существовании и свойствах точной мажоранты компактного оператора. Вопрос не является тривиальным, т.к.' даже на болаховых решетках сущаствуют компактные, но не регулярные операторы, а также компактные регулярные операторы, имеющие некомпактный модуль.

Второй вопрос, рассматриваемый в § 1.2, - это вопрос о существовании инвариантных идеалов у компактного оператора на банаховом пространстве со смешанной нормой.

Пусть (X.I-I, Е; - Ь о-полное банахово пространство со смешанной нормой, dim Е > i .

Подпространство / с X назовем слабым идеалом в X , если i 11 нормальное подмножество в Е .

1.2.12, ТЕОРШ. Цусть TCh(X) - ненулевой компактный оператор, такой, что точная мажоранта IТ I - квазиниль-потонтный оператор. Тогда в X существует нетривиальный т -инвариантный слабый идеал.

1.2.14. СЛЕДСТВИЕ. Цусть Т£ ^(Е) - ненулевой компактный оператор с квазинильпотентньш модулем. Тогда в £ существует нетривиальный Т-инвариантный идеал.

В § 1.3 определяется порядковый спектр мажорируемого оператора и исследуются его свойства. Пусть (X . • • •. банахово пространство со смешанной нормой, Т € Л1(Х). Порядковой спектром оператора Т назовем спектр Т в банаховой алгеоре АЦХ ) . Сформулируем основной результат. •

1,3.4. ТЕОРШ. Цусть (X ,11, £) - банахово пространство со смеш иой нормой. Если Т€М(Х) - ^-компактный оператор, то

Яс (Т) - &(Т).

Параграф 1.4 иллюстрирует возможности применения теоремы 1.3.4 для исследования существенных порядковых спектров мажорируемых операторов.

Вторая глава мссертации посвящена исследованию свойств сохраняющих диэъшктность операторов на решеточно нормированных пространствах.

В первом параграфе определяется класс операторов, являющийся аналогом сохраняющих диэъшктность операторов на банаховых решетках..

Дан ответ на вопрос о связи спектра </ -гомоморфизма и спектра его точной магоранты.

2Л.11. ТЕОРЕМА. Пусть (X ,1-1,£)- Ьо-полное банахово пространство со смешанной нормой, Т и Т - ^ -гомоморфизмы. Тогда

!<э(т)| = <?(|Т|)п +

Последние три параграфа диссертации посвящены изучению с1 -гомоморфизмов, имевдих своей точной мажорантой оператор Магарам.

В 3 2.2 и 2.3 строятся разложения таких операторов в прямую сумму операторов специального вида. °

Оператор Т £. М 00 назовем имеющим строгий период ^ , если Т" С Ог"{;к(Х) и для любой ненулевой компоненты В <= X существует ненулевая компонента А с В такая, что Д ,ТА А попарно дизъюнктны.

2.3.7. ТВОРШ. Пусть (X !■>, - банахово про^ран-

ство со смешанной нормой. Для любого квазиобратимого оператора Т' € Л1(К) существует единственная последовательность -инвариантных компонент X„ , удовлетворяющая условиям;.

* = Фп^с-Д*

б) Т( у - имеет строгий период И ,

Т1 ,, - а периодичен.

I Л О"

В последнем параграфе 2.4 изучаются строение и свойства спектра квазиобратимого оператора. Как и следовало ожидать, структура спектра таких операторов существенно зависит от структуры спектров элементов его разложения, тлеющих строгий период ("V , В частности, справедливы следующие утверждения.

2.4.4, ТйОРША. Цусть квазиобратимый оператор Т имеет трогий п ркод п, для некоторого »г 6 V . Тогда для любого корня ^ -й степени из единицы <£ (/шествует обратимый оператор N € 2ГХ) такой, что М 'ТМ = /Т . Более того,<э (Т> = оС(Г(Т) и Рв (Т) = Рв (Т).

2.4.6. ТЯОРЕМА. Пусть X ^ - ' Г-инвариантные кс./понеитч в У , определенные в 2.3.7, такие, что ЧГ ^ имеет строгий период И, . Ц/сть Гп * { X»/.. и К,* ГС, 6 (Т)^) ^

Тогда множество Й. - инвариантно относительно вращения и

Автор глубоко признателгч А.Г.Цусраеву за внимание к работе и Ё.В.Колесникову за полезные обсуждения.

Публикации автора по теме диссертации

Г. Об одном классе мажорируемых операторов // Тезисы дскл. ХП Школы по теории операторов в функциональных пространствах. Тамбов, 14-И) сентября 1987 г. - Часть И, Тамбов, 1987.

Об одном классе мажорируемых операторов // В миэация, № 42/ Ин-т математики. Сиб. отд-ние АН СССР. Новосибирск, 1988. - С. И2-П8. 3. ¥'' -компактный операторы в решеточно нормированных пространствах // Тезисы докл. ХШ Всесоюзной школы по теории

о

операторов в функциональных пространствах. Куйбышев, 6-13 октября 1У88 г. - Куйбышев, 1988. О мажоранте компактного оператора // Тезисы докл. ХЬУ Школы по теории операторов в функциональных пространствах. Новгород, 6-14 сентября 1989 г. - Часть Ш, Новгород, 1989,