Аналитическое представление мажорируемых операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЬНИЕ Институт математики

па правах рукописи ТИБИЛОВ Константин Ту&арович УДК 517.98

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАЕОРИРУЕМКХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 - математически., анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1990

Диссертация выполнена в отделе анализа и геометрии Института математики СО АН СССР.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук А.Г.КУСРЛЕВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор А.В.БУХВАПОВ

кандидат физико-математических наук, доцент В.Н.ДЯТЛОВ

Ведуцая организация - Ленинградский государственный

университет

Защита состоится "__"__1990 г. в 16 час.

н~ заседании специализированного совета К 002.23.02 в Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Ново-сибирк 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМ СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"__1990 г.

Ученый секретарь совет* ц , / к.ф.-и.н. / // В.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РлБОТЫ

Актуальность темы. Поиск общей формы линейного оператора является классической задачей. Возникшая на заре функционального анализа, она лривлека. г „лимание специалистов и по сей день. :-то направление начинается с основополагающих работ Ф.Рисса, М.Фр„ше, Г.Штейнгауза, О.Никодима и др., получивших описание сопряженного к классическим банаховы;/ пространствам. К середине 1930-х годов в обиход математиков прочно еошло понятие банахова пространс ?ва. Вопроса' представления линейных операторов со значениями в банаховых пространствах били посвящены работы И.М.Гельфанда, Н.Данфорда, С.Бохнера, Б,Петтиса и др. Из более поздних авторов следует отметить работы Н.Дин-куляну, А.Йоьеску-Тулча и К.Ионеску-Тулча.

Новую идеологию, связанную с порядком, привнес в функциональный анализ Л.В.Канторович. Он, в часалости, заметил, что теория абстрактных вектор-функций наиболее адекватным и полк.« обра; )м расширяет с. ллярную теорию, сохраняя все богатств'" ее содержания, имеш.о в тех случаях, когда области *>чаче..лй представляют собой /ч -пространство. То же самое относится и к операторам, действующим в Ц пространс вах. Стали классическг-ми полученные им соаместно со своим учеником Б.З.Вулихом .-го-ремы об аналитическом представлении операторов, действующих в

-пространство.

Из операторов, действующих н пространствах измеримых функций» ля нас наибольший «нтерес представляют так называемые интегральные операторы, В 1936 г. Дк. фон Нейман поставил задачу о характериэации интегральных операторов в 1*2. В 1974 г. эта задача была решена А.В.Бухваловым. Другие критерии интегральной представимости были получены С.И.Ждановым и Л.Дессне-ром. Другое направление исследований связано с задачей о пред: 'авимости линейных операторов в интегральной форме с ядрами, удовлетворяющими различным условиям. Первые важные результаты по этой задаче были получены в 1930-х годах И„М.Гельфандом, л.В.Канторовичем и Б.З.Вулихом, Н.Данфордоу и Б.Петтисом. Результат. этих авторов получили дальнейшее- развитие в работах Б.Б.Короткова, М„...Красносельского и его учеников, Ю.И.Грибанова, Д.А.Р адимирова, В.Д.Степанова и др.

В сер дине 1970-х годов началось изучение класса псевдоинтегральных операторов, порозденных измеримыми случайными ядрами. Впервые их ввел В.Арвесон в связи с изучением операторных алгебр в /л2- Б начало 1980-х годов А.Р.Сурур развил общую тео~чю таких операторов - выяснилось, что это в точности порядково-непрерывные операторы.

"аки.'л образом, в вопросах представления операторов со значениями в абстрактных пространствах выделяются два направ-лени", слабо связанных друг с другом. Первое направление « изучение операторов со значениями в нормированных пространствах. Второе напрг—шение - изучение шератпов со значениями В /ч -прос^ранстъях. Синтез идей и методов этих чаправлен"й приводит- к новым возможностям. Технически это осуществляется

с помощью теории решеточно нормированных пространств к мажорируемых операторов. Сама идея решеточно нормированного прост ранстви и мажорируемого оператора принацлен.-.т Л.В.Кантоиовичу. Существенное продвижение в этом направлении связано с работами А.Г.Кусраева и его учеников, в которых были установлены важные структурные свойства рейв' 1чно нормированных пространств V мажорируемых операторов, а также исследованы конкретные задачи. Выяснилось, в частности, вопросы об интегральной представимости операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, естественно решать на основе теории мажорируемых операторов. Ряг ргЧот в этом направлении выполнено таг те В.Г.Наводновьм, ЬЛ .Кузьминым, А„Кевином.

Пе.ть наст чцей работы - продолжить указанный круг нес., дований и получить для мажорируемых операторов в пространств*: измеримых вектор-функций аналоги псевдоинтегрального представления, а также представления взкторнымч и случайными мерами.

Научная новизна. Основными результатами Диссертации являются?

1. Введены понятия слабого псевдс..н,г-егрального оператора и сильного псеедоинтегрального оператора и изу ены некоторые «х свойства.

2. доказаны критерии слабой и сильной -севдоинтегральной тредставимости мажорируемых операторов ь пространствах изм'-жмых чектор-фуикций.

3. Получены г риаиты теоремы Радона - Никодиг/а длг мано-мруемых операторов.

4. Д).л векторной меры со значениям" в пространства*. со мешанной нор.юй доказывается теорема о совпадении прост-анств векторт..: мер ограниченной векторной вариа;.ли и о. ?а-

5

киченрой скалярной вариации.

5. Доказаны теоремы о представлении мажорируемых операторов с помощью векторных и случайных мер.

Ь. Установлен вариаь/ теоремы Рисса о представление для ыаяорируемых операторов.

Все основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми и "олучены самостоятельно.

Теоретическая и практи"еская ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории операторов, теории интегральных уравнений о банаховых пространствах. Результаты диссертации могут быть включены в спецкурсы для студентов-математиков.

Методы исследования. В работе используются методы теории секторных мер и интеграла Бохнера, теории интегральных и псевдоинтегральных операторов, теории мажорируемых операторов и рететочно нормированных пространств.

Апробация работы. Есе основные результаты обсуждались • по меш их получения на семинаре лаборатории функционального анализа Института математики СО АН СССР, докладывались на Х1У и XУ Школах по теории операторов в функциональных пространствах (Новгород, 1989 г.; Ульяновск, 1990 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит ко введения, двух глав и списка литературы. Объем;работы 82 страниц ыашг'описного текста. Библиография включает 88 наименований.

публикации. Основный результаты диссертации опубликованы а работах ] .

СОДЕРЖАНИЕ Дк'ПСЕРТЛ' !И.!

Вваение носит ьспомогательный характер Приводится краткий обзор литературы, эскизно излагаются основные результаты работы. Здесь же собраны необходимые сведения и результаты иг теории решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов, теории векторных мер, интеграла Е хнера и других разделов анализа, используемые в дальнейшем.

Рассмотрим произвольные ре'лггочно нормированные пространства [ X ч р т Ь. I ч ( Ут ^ ) Г I . Линейный оператор Т

У—> V называют мажорируемым, если существует такой положительный оператор и ■ £ —> Г , назыв. гмкй мажорантой / , что ^ ( I (¡°(х)) для любого ЭС £ X . В К-пространстве регулярных операторов существует наименьший оператор среди всех мажорант, который будем обозначать через ¡Т\ . При этом выполняется нормативное неравенство ^('Т^^/ТЦ^М) (ХеХ) . Оператор /Т/ называют мажорантной нормой оператора Т . Линейный оператор

называется О-непрерывньи, если 0 ~ ТХи. - О для любого О-сходящегося к ну-

лю направления [ж^сХ) •

В первой главе изучаются мажорируемые операторы в пространствах измеримых вектор-функций. Перечг"лим обозначения, которые фиксированы в первой главе: ^ ф 7 - произведе-

ние пространств с полной сепарабельно^ (у -конечной мерой

и [Ь^уГПг] ; X и V - банаховы пространстна; 5 ¡¡М-] $ (_ // -пространст о классов эквивалентности всех измеримых почти всюду (п.в.)

конечных функций на

пространство классов эквивалентности всех сильно 171-измеримых (= измеримых по Бохнеру) вектор-функций из

(? в X ;

Ни - идеальные пространства, содержащиея в ¿(^«/и Б (''^соответственно; ^¿(Х,^) - пространство линейных ограниченных операторов из л в У ; ¡-¡г (Е , Ь | - пространство рогу, .рных операторе^ из

Ев Р ; Г^^Л)-

пространство, сопряженное к ; (¡^{У- пространство билинейных операторов из в 5 с абстрактной нормой. Каноническая билинейная форма всех встречающихся ниже двойственностей обозначается символом , • > . Векторные нормы обозначаются через ^

В пеивом параграфе приводятся предварительные сведения из теории псевдоинтеггчльных операторов к теории интеграла Бохне-ра. Вводятся также понятия слабого псевдоинтегрального и сильного 'сеьдоинтегрального операторов. Перейдем к точным формулировкам.

1 каждым элементом

свяжем измеримую функцию е по Формуле /V/: I —^(Щ А). Положим по определению

ЕМ»{<«$КХ):КГ«£]

Зафиксируем нормирующее подпространство . Это

оэна^яет, что для любого

уе У

норму можно вычислять по

Обозначим ч чез Ж 2)

множество всех вект р-функци?' иУ' 3 V , удовлетворяющих условиям: (а) для всех

2 С 2 измерима функция б—>< 1лГ(з),2 •• (5£ В) ; (б) Существует "змеримая функция У 6 5 (ю1.г) таг^я, что для :зсех

2 , выполняется неравенство 2>

$ Ц (2] для - почти всех 5 £ В . Введем в

[У) отношение эквивалентности , полагая

в том и только в том случае, если для вг х 2 6 2 выполняется <иГт(5/,2 > = Н > дл- т2-почти всез ¿еВ. Для и(У, 21 (а также для соответствующего класса эквивалентности, обозначаемого той тге буквой) положим

/иг/.- = 5и/»{'<иГ12>:2€2 Лф*},

где > - класс эквивалентности измерь.,ой функции

■ Обозначим

Приведем определение псевдоинтегрального оператора. Счетно-аддитивную функцию множества уК., зэпаннуи на (ф,^] назовем представляющей мерой, если: (а) существует с ;е?ное число попарно непересекающихся измсри-'ых множеств Зп.^ ЗЬ , таких, что Ъ = и1 В п. и (А * Вп) для всех УЬ ; (б) /^У обращается в нуль на гранично нулевых множества: , г е. на прямоугольниках До * Во £2— таких, что 1%1 (Ао]=0

или ГП.2 [Во]-0 ( /Ш _ вариг-^ия меры М ). Если

/ Д # тх Ч ' '

| 5 "ч I _ стандартное борелеЕское пространство с ме-

рой, тоу^- допускает дезинтегрирование, т.е. можно представить £. виде

•Шг (с/5]. П; л этом случайная мера - это ггс Сражение Б->из Ц в го^грак-

ство ограниченных борелевских мер на /~\ , удовлетворяющее ус-

ловида: (а) егта Ав* " ^(Ао)=0 , ,0 ^Щ-Э

для т.2-почти всех 5€ В ; Й ) для любого отоб^ж*-

9

лия 5 ->ЛЛ.з(А0) и $->/Д*/М<>) являются борелевски-

г—* г~ и с / \

¡.,л функциями. Оператор / г.—? О 1^2,1 допускает, по определи ,ию, псевдоинтеграл ное представление, если существует

представляющая мера ^ на такая, что для всех

Ь- имеет место представление

/ ((з)т-г Щ =Я-си[<&,с/;

П ** О I/

-51 ,

Б

-де дев (т2) , <= ¿1 (¡/¿1} . Если (АДгтЦ -стандартное борелеЕСкое пространство с мерой, то псевдоинтегральный оператор Т : £-->

допускает явное представление

иеЕ).

Введем понятия слабого псевдоинтегрального и сильного лсевдо^тегрального операторов. Оператор-функция : $

называется слабо измеримой, если для любых X е X , 2 6 2.. измерима функция (-¿. --^

5)х,г> ( (¿,5)е(. В дальнейшем > _ класс

эквивалентности измеримой функции

2 ■■ ( ё $ I • Слабо измеримую оператор-функцию 0)-> назовем регулярной, если существует ¡¡{\: - $и/>[ < А'ос , 2 > :ЦхЦ< 1 , /г/* / ] , где супремум берзтея в /^-пространстве . Оператор-функция ¡{ ' 6{—н-пывается просто измеримой, если для чюбого "ЭС^Х измерима по Бохнеру ректор-ф)ун"ция —. Оператор Т:

~ р5 (У,2) называется слабы;.« псевдоинтегральным, если существуют представляющая мера ^ на и слабо измеримая оператор-функция Ц : -оператора Т ) такие, что ля всех 1/ё , 2. е ¿1 имеет место представление

1< Та-, 2 > (в) С] (в) тг Щ ф ША еЩ, ->

где 5(т2| 1 (АДт,) - стандартное борелевское пространство с мерой, то слабый псевдоинтегральный оператор /У,допускает "явнсе" представление ■

/

А

Оператор Т >'Ь. ("Х}—У) называется сильным псевдоинтегральным оператором, если существуют представляющая у -ра на ((? 7 5Г | 11 просто измеримая оператор-функция

/ч; $-(ядро оператора Т ) такие, что для

всех V £ справедливо представление

где

Интеграл понимается в смысле Бохнера. Если [Д - стандартное борелевское

пространство с мерой, то сильный псевдоинтегральный оператор Т< Ь (X)—^ Г(У) допускает явное представление

(Ти-н^/кМ/М/«'^).

В заключение параграфа i оказано (теоремы I.I.7 и I.I.8), uto слабый (сильный) псевдоинтегральный оператор Т мажорируем в тем и Tcwij>iy> |Ь лрм случае, если ево ядро регулярно.

¡БЭДфоы -л^-аг-руфе .формулируются и доказываются основные peuyj таты первой главы - критерии слабой псевдоинтегральной представимости (теорема J.2.I) и сильной псевдоинтегральной пред1 .'азимости (теорема 1.2.4) для мажорируемых операторов в пространствах измеримых вектор-функций.

TE0PL.,A I (I.2.I). Для мажорируемого оператора Т'•£(¥) ——р [равносильны следующие условия:

(1) Оператор Т* О-непрерывен;

(2) Оператор Т допускает слабое псевдоинтегральное представление;

(3) Оператор /Т/.'Е—> I" допускает псевдоинтегральное представление..

TLOPfííA 2 (1,2.4). Если банахово пространство V обладает свойством Радона - Кикодима, то для мажорируемого оператора / Е- |У>} > F( Vj равносильны следующие условия:

(1) Оператор Т О-непрерывеи;

(2) Оператор Т допускает сильное псевдоинтегральное представление;

(3) Оператор /Т//£1—>F допускает псевдоинтегральное - представление;

(4) Оператор Г/7 допускает слабое псевдоинтегральное представление.

В третьем параграфе приводится ряд приложений доказанных кри'.-Г'иев. Здесь сформулированы, в частности, варианты теоремы Радона - Никодиыа (теоремы 1.3.2 и I.3-.7) для мажорируемых

операторов.

ТЕОРЕМА 3 (1.3.2, 1.3.7). Пусть положительный1 олёрётор'

-~> р допускает псевдоинтегральное представление

с представляющей мерой уЛ- , а мажорируемый опе£йт'о£ Т ■ ¿1 (Х)—- А (V, 2) удовлетворяет усЛ'овйю Тогда существует регулярная слабо измеримая: ойёр'й^р-функция

¡\ • -(Х,2'| такая, что "~Р имеет 1бое псевдоинтегральное представление, а ¡Т) - псевдоинтегральное представление с одной и той же представляющей мерой ^ и с ядрами ¡1 и соответственно. Если У обладает свойством Радона - Никодима, то .утверждение теоремы остается в силе с заменой слабого представления на сильное.

Доказываются также теоремы об общем виде мажорируемых операторов в некоторых классах измеримых вектор-функций (теоремы 1.3.3 и 1.3.8).

Вторая глава посвящена векторным мерам и воп; >сш представления мажорируемых операторов с помощью векторных и случайных мер.

В первом параграфе вводятся п. нятия векторной и скалярной вариации для векторной меры со значениями в пространствах со смешанной нормой. Доказывается теорема о совпадении пространств векторных мер ограниченной векторной вариации и векторных мер ограниченной скалярной вариации.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы представления мажорируемых операторов векторными мерами. Во втором и третьем параграфе кроме обозначений первой главы приняты следующие: £с 5(т*| , £-фундамент;

-С1® С с (ш) } ; - огранич. ные ад-

дитивные ,еры из $ в Г ; £5 ^ЬСУ "ггастранг"пво

ТЗ

р. гулярных просто измеримых оператор-функций /ч : А— тагмх, что ¡¡^¡сЕ ; (01 ,Р(У]) - пространство

векторных ><ер | из (В в Р(У1 ограниченной вариации, та* ких, что вариация

рирус'че О -непрерывные операторы.

Обозна ;м 14/-'= , ЕР - фундамент

в 5(т.)

, состоящий из ядер псевдоинтегральных операторов из Ь в Г с представляющей мерой . Одним из основных результатов второго параграфа является следующая

ТЬОРг-МА ч (2.2.2). Существует изометрический изоморфизм

А (Е М, И (£Р% (X (X, У]|.

Если -три этом изоморфизме оператору Т соответствует мера \ : (В /СГ(Х4 тс

где Убь(У>1 , $ £ , у^ - представляющая мера

»юевдоиктегрального оператора Е-—^ Р •

Б третьем параграфе ввог'тся понятие случайной зры и приводя сл теорема с представлении мажорируемых операторов с помощью случайных мер. Назовем случайной мерой функцию от двух неременных ^

такую, что

( 'С С А , 1а.((В,$1] - ограниченные аддитивные меры из

# в £ ), и при любо.. является

измеримой функцией. Обозначим множество всех случайных мер иеиез 5-^0. (А*®, £} . Проведем в ^ 8>)

факторизацтч. Положим, для ^ е ,ч

(•, ^{'■>') если для любого-¿е^й

для \ТЦ -почти всех А . В дальнеПаем пространство классов эквивалентности всех случайных мер, в котором естественным образом вводится структура векторной решетки. Класс эквивалентности, содержащий случайную меру ^■('1') . обозначим через ('}'}] . а класс эквивалентности, содержащий измеримую функции через [^ I' • Часть 5-^(2 ¡МЛ) т_{ая. что

{' т $}] ^ Е' при всех € & , обозначим через • Случайной мере ь1а (А , И) мо^но сопоставить векторную меру ^ £ 5 следувщим

образом: = (*, -¿)] Це^. Обозначь \/: =

Доказывается следующая

ТЕОРЕМА 5 (2.3.2). Оператор Те, \/1 допускает

представление

х^М^/МЬИ А)

где уи. £ - случайная мера. Суце ,т-

густ^алгебраический н решеточный изоморфизм а (Ь. > V] С"1 Б(Д<£> , ¡¿^ , при котором оператору г/7 соответствует класс эквивалентности, содержащий сл; чайную меру ^ из представления.

В четвертом параграфе доказывается вариант теоремы Рисса для мажорируемых операторов. Для этого предварительно вводится понятие вектор-функция ограниченной вариации и интеграла СжИльтьеса оо значениям:: в 4 ляеточно нормированных пространствах.

Автор выражает глубокую благодарность А.Г.Кусраеву за постоянное вниме ле и помощь пел рабс-е над диссертацией.

Работы автора по теме диссертации г

1. Тибилов К. Т. Теорема Рисса для мажорируемых операторов // Новосибирск? Институт математики СО АН СССР. - Оптимизация- № 43„ - 1988» - С'0 86-93.

2. А.^бклов К„Т„ 0 лсевдоинтегральной представимости мажорируемого оператора // Х1У .-¿еола по теории операторов в функциональных пространствах. - Новгород,, 1989. - Тезисы док ладов. Часть Ш. -■ С. 62.

3„ Ти 1лов К Т. О псевдоинтегральных операторах в пространствах измеримых вектор-функций // Сиб. мат. яурн. - 1990„ - Т. 31„ № б. - С. 149-156.

4. Тибилов К.Т. 0 представлении мажорируемых операторов векторными мерами // Новосибирск Институт математики СО АН СССРо - Оптимизация. - . - 1990. - С. ПБ~1Ъ6.

5. Тибилов К.Т„ 0 представлении одного класса регулярных операторов// ХУ Школа по теории операторов в функциональных пространствах. - Ульяновск, 1990„ - Тезисы докладов. Часть

О . - С. 90 .