Метрическая n-неразложимость в упорядоченных решеточно нормированных пространствах и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^ На правах рукописи

УДК 517.98

Раднаев Виталий Антонович

Метрическая п-неразложимость в упорядоченных решеточно нормированных пространствах и ее приложения

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа Новосибирского государственного университета

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Кусраев, доктор физико-математических наук, профессор С. С. Кутателадзе.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г. Ш. Рубинштейн, кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Рубан.

Ведущая организация

Якутский государственный университет

Защита состоится « % » 1997 г. в часов на заседании

диссертациошюго совета К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН но адресу: 630090, г. Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан «й_» сентября 1997 г.

Ученый секретарь диссертациошюго совета кандидат физико-математических наук

А. С. Романов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию некоторых вопросов теории векторных решеток и положительных операторов, решеточно нормированных пространств, теории сублинейных операторов и субдифференциального исчисления, связанных единым образом на основе концепции метрической п-неразложимости.

Идейной предпосылкой этой концепции послужило понятие порядковой дискретности, которое сыграло важную роль в становлении теории векторных решеток. Многие просто устроенные классы упорядоченных векторных пространств, например, К-пространства последовательностей я, 1Р, с, конечномерные пространства являются дискретными векторными решетками, изучение которых и явилось толчком к развитию общей теории векторных решеток. Различные виды дискретных элементов и функционалов на векторных решетках изучались рядом известных отечественных и зарубежных математиков, таких как М. Вольф, Б. 3. Вулих, Ж. А. Креншоу, Г. Я. Лозановский, А. Г. Пинскер, А. И. Юдин, С. Ямамуро и другими.

В то же время при изучении операторов требуются более общие аналоги дискретности, чем обычные понятия атома, неразложимого и дискретного элементов. Классическим в данном направлении является критерий С. С. Кутателадзе решеточного гомоморфизма, во многом проясняющий природу дискретности в векгорнозначном случае. В последнее двадцатилетие вопросы, связанные с дискретностью и безатомностыо в теории векторных решеток и положительных операторов изучались Л. Вейсом, П. Войтащиком, Н. Ж. Калтоном, А. Г. Кусраевым, С. А. Малюгиным, Б. де Пагтером, С. Б. Хьюсмансом, И. И. Шамаевым и другими.

Однако многие изучаемые объекты в теориях векторных решеток, упорядоченных решеточно нормированных пространств и положительных операторов, не будучи дискретными в каком-либо известном смысле, являются по существу таковыми в некотором более общем смысле. Например, в пространстве И" любой элемент характеризуется тем свойством, что он не разлагается в сумму более п ненулевых попарно дизъюнктных элементов. Аналог такой «неразложимости порядка п», как будет показано, имеет место и в более общих пространствах, в частности, в пространстве регулярных операторов для п-дизъюнктных операторов.

з

Напомним, что линейный оператор Т, действующий между векторными решетками X и Е, называется п-дизыонктным, если, во-первых, Т является порядково ограниченным и, во-вторых, для любых попарно дизъюнктных

п

элементов х0, х1г хп е X выполнено соотношение А | Т(х{) I = 0.

¿=0

Этот важный класс операторов исследовался в последние годы такими математиками, как С. Ж. Верно, Д. С. Каросер, Б. де Пагтер, В. А. Фельдман, С. Б. Хыосманс.

Свойство «неразложимости порядка п», которое легло в основу концепции метрической п-неразложимости, удобно изучать в классе векторных решеток с некоторой обобщенной метрической функцией. Хорошей базой для этого являются решеточно нормированные решетки, т.е. упорядоченные решеточно нормированные пространства, обладающие дополнительной порядковой квалификацией - структурой векторной решетки и нормой, естественным образом согласованной с порядком.

Цель работы. Основная цель настоящей диссертационной работы -развить концепцию метрической п-неразложимости и с ее помощью продолжить дальнейшее изучение п-дизъюнкгаых операторов, а также исследовать сублинейные операторы, являющиеся верхними огибающими семейств п-дизъюнюгных операторов.

Методика исследования. В работе применяются методы теории векторных решеток, решеточно нормированных пространств, положительных операторов, теории сублинейных операторов, техника субдифференциального исчисления.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Укажем основные из них:

- разработана концепция метрической п-неразложимости в упорядоченных решеточно нормированных пространствах, развивающая классические понятия дискретности в теории векторных решеток и положительных операторов;

- предложен новый подход к исследованию регулярных операторов, действующих в пространства Канторовича, основанный на интерпретации свойств оператора на языке ассоциированной с ней решетки Банаха-Канторовича. На этом пути установлены разнообразные характеризации

п-дизъюшсгных операторов, среди которых выделяются описания п-дизъюнктных операторов в терминах ортоморфизмов и проекторов, обобщающие и дополняющие известный критерий С. С. Кугателадзе решеточного гомоморфизма. Уточняется теорема С. Ж. Верно, С. Б. Хьюсманса и Б. де Пагтера о разложении п-дизъюнктного оператора. Получен критерий п-дизъюнкпгого оператора, развивающий результат С. Б. Хьюсманса и В. А. Ж. Люксембурга о решеточных гомоморфизмах, описана булева алгебра осколков п-дизъюнкгного оператора;

- изучены сублинейные операторы, являющиеся верхними огибающими семейств положительных п-дизъюнктных операторов. Получены описания возникающих субдифференциалов и их крайних точек, обобщающие соответствующие результаты С. С. Кутателадзе при п=1. Установлены характеризации решеточно-безатомных субдифференциалов, решеток Банаха-Канторовича с решеточно-без атомным сопряженным пространством, обобщающие критерии Г. Я. Лозановского, Б. де Пагтера и В. Внука безатомности сопряженного пространства банаховой решетки.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании порядково ограниченных операторов, сублинейных операторов, а также в дальпейшем развитии теории решеточно нормированных пространств.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994), обсуждались на семинарах лаборатории функционального анализа Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева, объединенном семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева под руководством академика Ю. Г. Решетника.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2], указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и занимает 108 страниц. Библиография включает 85 наименований.

Основное содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности исследуемой тематики, приводится обзор литературы по указанной проблематике. Изложена краткая характеристика основных результатов диссертации, а также используемых методов.

Глава 0 носит вспомогательный характер. Она содержит предварительные сведения, обозначения и терминологию из теории векторных решеток и решеточно-нормированных пространств, теории положительных операторов, а также из теории сублинейных операторов и субдифференциального исчисления.

В главе 1 развивается концепция метрической n-неразложимости в упорядоченных решеточно нормированных пространствах. Предполагается, что рассматриваемые упорядоченные решеточно нормированные пространства обладают дополнительной порядковой квалификацией -структурой векторной решетки и нормой, естественным образом согласованной с порядком. Сформулируем точное определение.

Пусть (X, |-|, Е) - решеточно нормированное пространство (РНП). Если X является векторной решеткой, а векторная норма ||:Х —> Е является монотонной, т.е. из неравенства |х|<|у| (х,у еХ) следует, что |:г| < |у|, то тройка (X, |-|, Е) называется решеточно нормированной решеткой (PHP).

В § 1.1 вводятся основные понятия метрической п-перазложимосги и изучаются их простейшие взаимосвязи. Даются некоторые примеры. Центральным изучаемым понятием здесь является следующее:

Пусть (X, |-|, Е) - PHP. Элемент х е X называем метрически

п-неразложпиым, если для любых х0, х} ,..., хп е Х+ таких, что

п

п

=1x1 и xi а Xj = 0 выполнено соотношение А |х,| =0.

i=0 » = 0

Метрически 1-неразложимые элементы для удобства названы метрически-неразложим ым и.

Доказывается, что сумма п метрически-неразложимых элементов является метрически n-неразложимым элементом (теорема 1.1.9). Обращение этого результата связано с наличием модульной структуры в

рассматриваемой PHP, естественным образом согласованной с имеющимися операциями.

Пусть А — решеточно-упорядоченное кольцо с положительной единицей 1А, SC = (X, ||, Е) - PHP. Будем говорить, что ЗС допускает согласованную модульную структуру над А, если, во-первых, X и Е являются одновременно упорядоченными унитарными А-модулями, во-вторых, векторная норма является модульно-однородной, т.е. \ах\ = а|х| (а е х е X).

В § 1.2 устанавливается критерий решеточно нормированной решетки (X, ||, Е), допускающей согласованную модульную структуру над кольцом Рг(Е) конечнозначных разложений единицы в булевой алгебре проекторов Рг(Е), а также исследуется вопрос о продолжении модульной структуры РНП с подкольца Рг(Е) конечнозначных разложений единицы на кольцо

ортоморфизмов Orth(E).

Стоит отметить, что изучаемые понятия метрической n-неразложимости, такие как метрические атомы, модульно-дискретные и метрически-неразложимые элементы являются естественными аналогами понятий атома, дискретного и неразложимого элементов векторной решетки. В следующем параграфе (§ 1.3) изучаются взаимосвязи между этими элементами.

В РНП (X, |-|, Е) элементы х, у е X называются сильно дизъюнктными, если выполняется |х| _L |у|. Всякое семейство в РНП, состоящее из попарно сильно дизъюнктных элементов, называется сильно дизъюнктным семейством. Решеточно нормированная решетка называется od-попной, если всякое ее порядково ограниченное сильно дизъюнктное семейство элементов имеет точную верхнюю границу.

В § 1.4 установлен основной результат главы 1:

Теорема 1-4.4. Пусть (X, Е) - od-полная PHP с согласованной модульной структурой над кольцом Рг(Е), где Е - векторная решетка с проещиями на главные компоненты. Тогда всякий метрически п-неразлоэктмый элемент в X разлагается в дизъюнктную сумму п метрически-неразложимых элементов.

В этом же параграфе получена следующая характеризация метрически n-неразложимых элементов в терминах ортоморфизмов и проекторов.

Теорема 1.4.8. Пусть (X, J-|, Е) - PHP с согласованной модульной структурой над кольцом Рг(Е), где Е - векторная решетка с проекциями на главные компоненты. Следующие условия для элемента хеХ эквивалентны:

(1) х является метрически п-неразложимим элементом;

+ п

(2) для любых Хд, хь..., хпе X таких, что Ix! = Y. xi > найдется

i = 0

разбиение единицы {к0, пv ... кп} в булевой алгебре Рг(Е) такое, что для всех i = 0,1,...,п справедливо равенство щх^ = 0.

В случае если (X, |-|, Е) - PHP с согласованной модульной структурой над кольцом Orth(E), где Е - векторная решетка с проекциями, то, камсОое из утверждений (1) и (2) эквивалентно следующему:

+ "

(3) для каждых OCqj ... е X таких, что 1х| =

г=0

x¿ л Xj = 0 (ü=j) найдутся полож-ительные ортоморфизмы {ао.о^,...,^} с

п

Orth(E), для которых выполнено Ха< = ^Е " aixi ~ ® {г—0,1,...,п).

1=0

В § 1.5 дается описание булевой алгебры осколков метрически n-неразложимого элемента. Для элемента х булева алгебра его осколков обознается через V(x).

Теорема 1.5.1. Пусть (X, ||, Е) - PHP с согласованной модульной структурой над кольцом Рг(Е), где Е - векторная решетка с проекциями на главные компоненты, х - метрически п-нерахчолсимый элемент, разложение х в дизъюнктную сумму, состоящую из ненулевых метрически-неразложимых элементов. Тогда булевы алгебры <в (х), '€ (х3) X ... X ^ (xn), Pr({|x7|}dd) X ... х Pr({|xnl}dd) изоморфны, причем:

(1) отображение cp(TCj,...,7i:n) := tejXj +...+ кпхп осуществляет изоморфизм между булевыми алгебрами Pr({|x2|}dd) х ... х Pr({|xn|}dd) и «'(х);

(2) отображение := у1 +...+ уп осуществляет изоморфизм между булевыми алгебрами V (x¡) х ... х 7? (х„) и 'в (х).

В этом параграфе также установлено следующее свойство метрически п-неразложимых элементов.

Теорема 1.5.3. Пусть (X, ||, Е) — od-полная PHP с согласованной модульной структурой над Рг(£), где Е - с проекциями на главные компоненты, п е N. Eam - сильно дизъюнктное порядково

ограниченное семейство метрически п-неразложимых элементов в X, то их сумма х — о-Е 1, также является метрически п-неразложгшым

элементом.

Глава 2 посвящена применению концепции метрической n-неразложимости к теории векторных решеток и положительных операторов. Центральной областью ее приложения является теория положительных операторов. На этом пути предложен новый подход к исследованию порядково ограниченных операторов, основанный на интерпретации свойств оператора в терминах ассоциированной с пей решетки Банаха-Канторовича (РБК). Сформулируем основной результат параграфа.

Пусть X - векторная решетка, Е - K-пространство. Для оператора Г е Lr(X,E) положим ХТ : - {Se Lr{X£): 3 а е Orth+(£) : \S\< аШ}. Нетрудно показать, что 3k является подмодулем и порядковым идеалом в LT{X,E). Определим отображение |-| : Xr —> Orth+(£) следующим образом:

\S\ : = inf{а е Orth+(Е): \S\< а|Т|} (S е £т).

Предложетше 2.1.1.

(1) Тройка (£т, ||, Orth+(E)) является порядково полной

разложимой РБК с согласованной модульной структурой над Orth(E).

(2) Порядковая ограниченность множества в Щ равносильна его ограниченности по норме.

(5) Для всех Ть Т2 е выполнено \T1 v Т2| - |TJ v |Т2|.

(4) Сильная дизъюнктность операторов Ть Tz е cfT равносильна дизъюнктности их образов, т.е. |Tj| _L ¡T^l <=> im(Tj) _L imiTz)-

Таким образом, появляется возможность проинтерпретировать свойства регулярного оператора в терминах ассоциированной РБК. В рамках указанного подхода применение концепции метрической

n-неразложимости является эффективным инструментом исследования п-дизъюнктных операторов.

В § 2.2 устанавливаются различные харакгеризации п-дизъюнктных операторов. Следующее утверждение представляет собой эквивалентную формулировку определения положительного n-дизъюнктного оператора.

Здесь для набора элементов {xq, х3, ..., хп} условимся считать, что х-1:= хп, х„+3:= х().

Теорема 2.2.4. Пусть X, Е - векторные решетки, Т е L+(X,E). Для положительного оператора Т, действующего из X в Е, следующие утверждения эквивалентны:

(1) оператор Т является п-дизыонктным;

(2) для всех х0, х3,..., хп е X выполняется п п

Т( Vij)= V Т(х0 v ... v x£_2v xi+,v ...v xrt). t=0 ¿=0

Центральным результатом главы 2 является

Теорема 2.2.5. Пусть X — векторная решетка, Е — К-пространство. Для оператора Т е Lr(X, Е) следующие утверждения равносильны:

(1) оператор Т является п-дизыонктным;

(2) для каждого набора t = (Т0, Tj,..., Тп), где Т{ е L+ (X, Е)

п

(i=0,l,...,n), X Ti = существует набор а = (а0, а3, ... ,ап)

»=о

п

элементов Orth (Е), для которых X = 1Е и найдется матрица

о

У '-

0 Т,° Г,{ 0

Ч П

ггтО

X

Т} о

Т^оЛ п

п

v

где Tj е L (X,E), Т* = 0

чТ0п Т,71 ... Т/1 ... 0 у {1—0,1,...,п;]—0,1,...,п) и сумма элементов в каждой строке равна 1Т|,

п

такая, что справедливо равенство а ° 3~ = г, т.е. £ = для всех

3=0

г—0, 2,...,п;

(3) для любых операторов Т0, T¡,..., Тп г- L (Х,Е) таких, что

Yj T¿ — ITI найдутся ортоморфизмы а0, a¡, ... ,ап е Orth+(£) такие,

«=о

п

что £ a¿ — ¡e н найдется матрица

¿=о

<Р =

' о si

S

■sí

о

S?

, где S? 6 L+(X,E), Sf=0,

Si ... Sí ... O,

су.шзд элементов в i-ofi строке матрицы У равна a¿|TI, а сумма элементов

в j-ом столбце равняется (г—0,1,...,п; j=0,l,...,n);

(4) для любых попарно дизъюнктных операторов

п

Т0, Tj, Т„ е L (Х,Е) такта, что £ T¿ = ITI найдутся ортоморфизмы

¿-о

п

а0, а2, ап е Orth (£) такие, что £ оц = /к и для каждого

г-О

г= 0,1,...,п выполнено с^Т—0;

(5) для любых попарно

дизъюнктных

операторов

Тп, Ть Тп е таких, что X Т{ ~ |Т| найдется разбиение

¿=о

единицы (тс£)"ц в булевой алгебре порядковых проекторов на

компоненты в Е такое, что для всех i е {0,1,...,п} выполняется щТ~0;

(6) оператор Т является метрически п-перазложимым элементом решетки Банаха-Канторовича, ассоциированной с Т.

Отметим, что в случае при п — 1 для Т > 0, т.е. для решеточного гомоморфизма эквивалентность (1) <=> (2) впервые была установлена С. С. Кутателадзе. Одним из важных следствий теоремы 2.2.5 является следующий критерий п-дизъюнктного оператора, развивающий один результат С. Б. Хьюсманса и В. А. Ж. Люксембурга о решеточных гомоморфизмах.

0

и

Теорема 2.2.7. Пусть X - векторная решетка, Е - К-пространство. Для оператора Те Lr{X,E) следующие утверждения эквивалентны:

(1) оператор Т является п-дизыонктнылг,

(2) для любых попарно дизъюнктных между собой операторов

п

Т0, Т!,..., Т„ е LT(X, Е) таких, что £ Т^ = |Т| и для любых элементов

г-О

п

х0, Xj, ..., хп е X выполнено Л|Г;(х,-,)| = О;

(3) для любых попарно дизъюнктных между собой операторов

п

Т0, ТJ,..., Тп е Lr(X, Е) ma/сих, что X Tf = t "Г[ и для любого элемента

г = 0

п -

х е Х+ выполнено А ITi(xn = 0.

¿=о1 1

Другое важное следствие теоремы 2.2.5 уточняет известный результат Верно, Хыосманса и де Пагтера о разложении п-дизъюиктного оператора, действующего в К-пространство.

Теорема 2.2.9. Пусть X - векторная решетка, Е — К-пространство, Т является п-дизъюнктным оператором из X в Е. Тогда существуют п сохраняющих дизъюнктность операторов Ть Т2, —, Тп е

п

Lr(X, Е) таких, что Т{ _L Tj (tej) и Ц Т{ = Т. Кроме того, полученное

i = 1

разложение единственно с точностью до перемешиваний относительно

т

булевой алгебры Рг(Е), а именно, если Т = £ еще одно разложение

> = 1

Т в дизъюнктную сумму операторов S ь ..., Sm (тп е N), сохраняющих дизъюнктность, то для каждого i — 1, ..., т найдется дизъюнктное

п

семейство проекторов (тг{3, ... ,щп) с Рг(£) такое, что Si — fj.

Огметим, что И. И. Шамаевым в случае, когда в условиях теоремы 2.2.9 векторная решетка X является К-пространством, было установлено существование дизъюнктного разложения оператора по заданному произвольному разложению в сумму ряда решеточных гомоморфизмов и получено другое, в терминах базы пространства X, описание конечных сумм решеточных гомоморфизмов.

В § 2.3 устанавливается один из основных результатов главы -характеризация булевой алгебры осколков п-дизъюнктного оператора.

Теорема 2.3.1. Пусть X - векторная решетка, Е — К-пространство, Т - п-дизъюнктнын оператор из X в Е, а Т7, Т2, ..., Тп в ЬГ(Х,Е) -операторы, сохраняющие дизъюнктность, причем для всех г =1,...,п

п

Тг *(), Тг ± Т,- (г^) и £ т{ = Т. Кроме того, пусть Е1:={1т(Т,)}<1<1.

¿=1

Тогда булева ачгебра г€ (Т) осколков Т изоморфна декартовому

произведению Рг(Е^) х ... х Рг(Еп) булевых ачгебр Рг(Ег), причем отображение, действующее по правилу:

ф (ли ..., жп):= л,Т1 + ... + лпТп , осуществляет изоморфизм между булевыми алгебрами Рг(Е1)х...хРг(Еп) и е(Т).

В этом параграфе также выделим следующее

Предложение 2.3.4. Пусть X - векторная решетка, Е -К-пространство, п е 14, (^)^н - порядково ограниченное семейство п-дизъюнктных операторов таких, что гтп(6\) Л. гтп^З1,,) Тогда оператор £ = о- £ 5е также является п-дизъюнктным.

В § 2.4 изучаются п-дизъюнктные операторы, действующие между РНП. Пусть X и У - РНП, нормтфованные посредством векторных решеток ЕиГ соответственно. Мажорируемый оператор Т, действующий из X в У называется п-дизъюнктным, если для всякого сильно дизъюнктного набора {х(), х^..., хп} с X вьшолнено соотношение ¡Тх0| л .. .л \Тхп\ = 0. В следующей теореме, уточняющей теорему А. Г. Кусраева об п-дизъюнктных операторах, действующих между РНП, термин «оператор, сохраняющий дизъюнктность» понимается в смысле теории РНП, т.е. это в точности 1-дизъюнктный оператор согласно предыдущему определению.

Теорема 2.4.3. Пусть (X, |-|, Е) - разложимое РНП, (У, |-|, Е) -пространство Банаха-Канторовича. Мажорируемый оператор ТеМ(Х,У) будет п-дитыонктным в том и только в том случае, если он представим в виде сильно дизъюнктной суммы п операторов Т2, Т2, ■■■, Тп е М(Х,У), сохраняющих дизъюнктность.

В заключение главы, в § 2.5, даются приложения метрической n-неразложимости к теории векторных решеток. Здесь исследуются конечные суммы атомов и их взаимосвязь с порядково непрерывными п-дизъюнктными функционалами.

Центральная тема главы 3 — исследование сублинейных операторов, являющихся верхними огибающими семейств положительных п-дизъюнктных операторов.

Пусть X и Е — векторные решетки, Р:Х -> Е — сублинейный оператор из X в Е. Будем говорить, что Р сохраняет п-супремумы, если для всех Xq, x¡, хп е X, справедливо равенство:

П 71

Р( v X i) = V Pía: 0v...vx¿_i v a:i+1v...va:Ilj, где для набора

i=0 ,=0

элементов {х0, x¡,..., хп} условимся считать, что хп, хп+1:= х0.

Отметим, что если Р - линейный оператор, то приведенное определение означает, что Р является положительным п-дизъюнкпшм оператором (см. теорему 2.2.5). В § 3.1 проверяется, что сумма п сублинейных операторов, сохраняющих конечные верхние грани, сохраняет n-супремумы (предложение 3.1.3). Однако, в отличие от случая те-дизъюнктных операторов, действующих в /Г-пространства, сублинейные операторы, сохраняющие n-супремумы, hj представимы в виде сумм п сублинейных операторов, сохраняющих конечные верхние грани (пример 3.1.4). Более глубокие аналогии между сублинейными операторами, сохраняющими n-супремумы и п-дизъюнктными операторами раскрываются при изучении субдифференциалов сублинейных операторов, сохраняющих n-супремумы. Например, следующая характеризация сублинейного оператора, сохраняющего п-супремумы, является развитием на сублинейный случай эквивалентности (1) о (2) в теореме 2.2.5.

Теорема 3.1.6. Пусть X - векторная решетка, Е -К-пространство. Дня возрастающего сублинейного оператора

Р е Sbl(X, Е) следующие утверждения равносильны:

(1) Р сохраняет п-супремумы;

(2) для каждого набора г = (Т0, Т г,..„ Тп), где Тг е Ь+(Х, Е)

п

(г=0,1,...,п), ^ Тг е дР существует набор а — (а0, аи ... элементов

¿ = о

ОйЬ+(£), для которых 2 ~ ^к и найдется матрица

3 = 0

<л

О Т,° ... Тг° ... т° То1 о ... т/ ... Т>

То V

где Г/ е Ь\Х,Е), Т/ = О

чт0п т,п ... т,п ... о у

(г—0,1,...,п; ¿=0,1,...,п), и сумма элементов каждой строки матрицы У лежит в субдифференциа1е дР, причем так, что справедливо равенство

п

Ь, т.е. X — Т{ для всех {=0,1,..„п.

у=о

Дальнейшие взаимосвязи между сублинейными операторами, сохраняющими п-супремумы, и п-дизъюнктными операторами обнаруживаются при изучении крайних точек субдифференциалов.

Теорема 3.1.7. Крайние точки субдифференциача сублинейного оператора, сохраняющего п-супремумы и действующего в К-пространство, жыяются п-дизъюнктными операторами.

Отметим, что для сублинейного оператора, сохраняющего конечные верхние грани и действующего в расширенное К-пространство, теоремы 3.1.6-3.1.7 были ранее получены С. С. Кутателадзе.

В § 3.1 устанавливается центральный результат главы - характеризация сублинейных операторов, сохраняющих п-супремумы, как верхних огибающих семейств положительных п-дгоъюнктных операторов:

Теорема 3.1.9. Пусть X - векторная решетка, Е - К-пространство. Тогда сублинейный оператор Р: X -> Е представим в виде поточечной верхней огибающей семейства положительных п-дизыонктных операторов в том и только в том случае, когда Р является оператором, сохраняющим п-супремумы.

В § 3.2 вводятся и изучаются точные «-миноранты сублинейных операторов. Всюду предполагается, что X - векторная решетка, Е -

0

К-пространство. Символом n-Hom(X,E) обозначается множество положительных п-дизъюиктных операторов, действующих из X в Е. Сублинейный оператор Л : X —> Е называем п-минорантой сублинейного оператора Р : X Е, если Л <, Р поточечно и Л сохраняет п-супремумы. При этом сублинейный оператор Р будем называть п-минорируемым. Для n-минорируемого оператора Р ее п-миноранту Л назовем точной, если дРГ\п-Нот(Х,Е) = д,ЛГ\п-Нот(Х,Е).

Теорема 3.2.4. Всякий п-минорируемый сублинейный оператор обладает единственной точной п-минорантой. При этом для точной п-мииоранты Мп(Р) сублинейного оператора Р справедливы следукпцие представления:

(1) Лп(Р)(х) = sup {Q (х) : Q — п-миноранта Р} (х е X);

(2) Жп(Р){х) = sup {Т(х) : Т е дРГМг-Нот(ХЖ)} (х e X).

Для удобства 1-минорируемый сублинейный оператор Р называем мипорируемым сублинейным оператором, и, соответственно, точную 1-миноранту Л](Р) обозначаем через Л{Р) и называем точной минорантой Р. В этом параграфе также устанавливаются формулы точных минорант различных классов сублинейных операторов. Приведем типичный результат такого рода.

Предложение 3.2.6. Возрастающий сублинейный оператор Р: X Е является минорируемым и его точную миноранту Л(Р) можно вычислить по формуле

Л(Р)(х) := inf{ sup P(xfc) : Xj,...^r„ e X, x < Xj v...v xn, n e N}

fc=l,...,n

(xeX).

Понятие точной миноранты сублинейного оператора оказывается эффективным инструментом установления критериев решеточной безатомности субдифференциала, или, другими словами, критериев отсутствия в субдифференциале ненулевых решеточных гомоморфизмов. В параграфе 3.3 устанавливаются критерии решеточной безатомности субдифференциала на примере монотонных векторных полунорм. Один из этих критериев формулируется ниже. Обозначим символом Prt(E) множество всех разбиений единицы в булевой алгебре Рг(Е) проекторов на Е.

Теорема 3.3.6. Пусть X - векторная решетка, Е - К-пространство с порядковой единицей 1. Для монотонной векторной полунормы Р : X Е равносильны следующие утверждения:

(1) субдифференциал дР является решеточно-безатомным;

(2) для всех х е Х+ inf{ sup P(xk): 0 < xJt..., хп е X,

k=l,...,n

х < Xjv...v хп, neN) = 0;

(3) для каждого х е Х+ и s е R, с > 0 существует разбиение единицы (тг^ен е Pit (Е) такое, что для каждого £ е 5 найдутся положительные элементы х}д, ..., е X (п(Е,) е N), удовлетворяющие условиям х < xj£ v ... v xn{%)t e,, щР(хц) < г. -1 (I = 1, ..., n(q)).

С помощью полученных критериев решеточной безатомности субдифференциалов устанавливаются основные результаты § 3.3 -векторнозначные аналоги харакгеризаций Лозановского, де Пагтера и Внука безатомности сопряженного пространства банаховой решетки. Отметим один результат такого рода.

Теорема 3.3.12. Пусть Е - К-пространство с порядковой единицей 1, (X, |-|, Е) - решетка Банаха-Канторовича. Следующие утверждения равносгаьны:

(1) сопряженное пространство X* решеточно-безатомно;

(2) для любых х е Х+, е е R, б > О, существует сильно дизъюнктная

UO

последовательность (xn)„€N с X такая, что х = о- £ хп, и для

п=\

каждого п е N найдутся положительные элементы х",..., x£fn)e X {k(n) е N), д.чя которых хп < x"v...vx£(n) и |х™| ^ е-1 (I =1,...,к(п)).

Центральная тема § 3.4 - вопросы геометрического строения решеточного субдифференциала сублинейного оператора. Решеточным субдифференциачом днР сублинейного оператора Р называется совокупность всех решеточных гомоморфизмов, лежащих в опорном множестве сублинейного оператора. Для минорируемого сублинейного оператора Р (= для сублинейного оператора, имеющего непустой решеточный субдифференциал), устанавливается взаимосвязь между

формулой Хана-Банаха для решеточного субдифференциала днР и формулой замены переменной в точной миноранте <М{Р).

Теорема 3.4.8. Пусть X, У — векторные решетки, Е — К-пространство, Р : X -> Е — минорируемыи сублинейный оператор, Т — решеточный гомоморфизм изУвХ.

Рассмотрим следующие утверждения:

(1) 3Н(Р • Т) = (5„ Р)-Т;

(2) Л(Р • Г) = Л(Р) о Т.

Тогда справедлива импликация (1) (2), а если, кроме того, выполнено одно из условий:

а)Р ;> 0;

б) гт(Т) = X,

то утверждения (1) и (2) равносильны.

Отсюда вытекает основной результат данного парахрафа - формула Хана-Банаха для решеточного субдифференциала.

Теорема 3.4.9. Пусть X, У - векторные решетки, Е -К-пространство, Р : X -> Е - сублинейный оператор, сохраняющий конечные верхние границы, Т - решеточный гомоморфизм из векторной решетки У в X. Кроме того, выполнено одно из условий:

(а) Р*0,

(б) гтп(Т) = X.

Тогда для РиТ справедлива формула Хана-Банаха: 3„(Р-Т) = (ам Р) • Т.

Стоит подчеркнуть, что когда Т - вложение векторной подрешетки У в X, эта формула в точности выражает известное свойство мажорированного продолжения решеточного гомоморфизма.