Асимптотическое поведение положительных операторов на банаховых решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Исследования положительных операторов и операторных полугрупп на банаховых решетках ведутся давно, и исходным пунктом этих исследований зачастую служит теория положительных матриц (см., например, [Sch2, Chapter I]). В связи с этим важную роль играет изучение классов операторов, таких, что пространство, на котором они действуют расщепляется в прямую сумму конечномерной банаховой решетки, где оператор представляется в виде положительной обратимой матрицы, и подпространства, где степени оператора сильно сходятся к нулю. В последнее время операторы такого типа (называемые стягивающими) привлекают к себе все более значительный интерес со стороны исследователей в различных разделах математики, что мотивируется появлением подобных операторов в прикладных задачах теории вероятностей, дифференциальных уравнений и др. (см., например, [La], [LLY], [KL], [Ко2]). Рассмотрим это понятие более подробно, не ограничивая рассмотрение только положительными операторами.

Пусть для некоторого непрерывного оператора Т, действующего в банаховом пространстве X, удалось построить указанное выше расщепление, т.е. представить X в виде прямой суммы Х[ + Х2 инвариантных относительно Т подпространств, причем Х\ конечномерно и Т\хг — изометрия Хг по отношению к некоторой подходящей эквивалентной норме, а последовательность (Тп\х2) сходится к нулю в сильной операторной топологии. Тогда для любого х Е Вх {у Е X : \\у\\ < 1} выполняется

dist(Tnx,BXl) ■■= inf{j|Tnrr - z\\ : z E BXl} 0 (n oo), где Bxj — единичный шар в X±. Множество Bx1 является ко-

нечномерным и, тем самым, компактным аттрактором оператора Т.

Верно и обратное, а именно, пусть оператор Т имеет компактный аттрактор, т.е. существует компактное множество F такое, что для любого х Е Вх выполняется

dist(rna:,F) 0 (тг-> оо).

Тогда Т расщепляется на изометричную составляющую конечного ранга и затухающую составляющую. Это утверждение является важной составной частью теоремы, которая была установлена А. Ласотой, Т.У. Ли и Д.А. Йорком в [LLY] для марковских операторов, действующих в Li(fi), а затем многократно передоказывалась и уточнялась различными авторами ([Kol], [Si], [Ва], [Но], [Ra2]). В диссертационной работе предлагается новое ин-финитезимальной доказательство этого результата в несколько более общем контексте (см. теорема 4.1) — для стягивающих од-нопараметрических операторных полугрупп. Заметим, что возникшая около тридцати пяти лет назад глубокая и имеющая многочисленные применения теория Гликсберга — Джекобса — Де Лю (см., например, [Кг, §2.4], [Ly, Глава 4, §3]), позволившая найти единый подход к исследованию стягивающих операторов ([Si], [Ra2]), к сожалению, не дает прозрачного и ясного способа построения соответствующего расщепления стягивающих операторов, что и послужило одной из главных причин для автора диссертационной работы попытаться привлечь технику инфини-тезимального анализа для прояснения ситуации. Как оказалось, инфинитезимальный анализ удачно применяется и при решении ряда других проблем, рассматриваемых в работе. И хотя все приведенные ниже доказательства имеют стандартные аналоги, автор в работе придерживается "нестандартного подхода" который зачастую выглядит проще и экономит время на понимание

идеи того или иного доказательства.

Переформулируем теорему Ласоты — Ли — Йорка следующим образом: оператор с компактным аттрактором имеет конечномерный аттрактор. Такая формулировка приводит к вопросу о том, какие ограничения на аттрактор усиливаются автоматически. Укажем два важных результата, связанных с этим вопросом. Д. Коморник [Ко2] показал, что положительный оператор со слабо компактным аттрактором, действующий в пространстве Ьх(^), всегда имеет компактный аттрактор. Ф. Рэбигер [На2] установил, что нерасширяющий (т.е. имеющий норму, не превосходящую единицы) положительный эргодичный оператор в банаховой решетке, имеющий квази-порядково ограниченный аттрактор (т.е. аттрактор, лежащий в сумме порядкового интервала и шара радиуса, меньшего единицы), имеет порядково ограниченный аттрактор. В диссертационной работе устанавливаются теоремы 6.2 и 5.1, обобщающие указанные результаты Коморника и Рэбигера, и, кроме того, усиливается теорема об эргодической внутренней характеризации ^ТВ-пространств полученная недавно в [Е\¥].

При дальнейшем рассмотрении вопроса о расщеплении операторов на периодическую и затухающую составляющие, привлекает внимание класс асимптотически периодичных операторов. Всякий оператор этого класса эргодичен и допускает расщепление на периодическую составляющую конечного ранга и затухающую. Этот момент повлек за собой интересный и важный круг вопросов, связанных с сохранением при доминировании сильной устойчивости и почти периодичности положительных представлений абелевых полугрупп на равномерно порядково выпуклых банаховых пространствах и банаховых решетках с порядково непрерывной нормой.

Отметим, что проблема выяснения того, какие свойства поло-

жительных операторов и, в более общей постановке, положительных представлений абелевых полугрупп наследуются при переходе к доминируемому оператору, имеет много интересных и важных аспектов, связанных, например, с такими понятиями, как компактность, слабая компактность, свойство Данфорда — Пет-тиса (см. обзор соответствующих результатов в [АВ], [Za]). Последние десять лет интенсивно исследуются условия сохранения асимптотических свойств (т.е. связанных не с индивидуальным оператором, а с предельным поведением всей операторной полугруппы) при доминировании (см., например, обзор литературы в [Ral], [RW]). Важным результатом в этом направлении является недавно установленная в [EKRW] наследуемость при доминировании сильной устойчивости [EKRW, Theorem 4.5] и почти периодичности [EKRW, Theorem 4.3] однопараметрических положительных операторных полугрупп на банаховых решетках с по-рядково непрерывной нормой. В диссертационной работе предлагаются обобщения указанных теорем на случай банаховых представлений произвольных абелевых полугрупп, при этом, в отличие от [EKRW], здесь выбран подход к изложению, частично использующий нестандартные методы анализа.

Скажем насколько слов о истории становления нестандартного анализа. Инфинитезимальные методы давно и успешно применяются в различных разделах математики. Концепция бесконечно малых величин лежит в основе многочисленных приложений, связанных с интегрированием и дифференцированием. Однако строгое логическое обоснование инфинитезимальный анализ получил сравнительно недавно — в начале шестидесятых годов — в работах А. Робинсона (см. [Ro]). Впоследствии значительный вклад в его развитие был внесен В. Люксембургом, А. Берн-штейном, К. Строяном, Е. Нельсоном и др. (см. [AFNL], [Gord], [Lu], [SL]). Отметим две важные особенности, благодаря кото-

рым применение инфинитезимального анализа оказывается весьма плодотворным. Первая из них заключается в возможности гиперконечной аппроксимации изучаемых математических объектов. Вторая особенность связана с принципом насыщения и состоит в том, что нестандартные расширения обладают некоторыми свойствами типа компактности, что позволяет конструировать с их помощью различного рода пополнения и компакти-фикации.

В качестве основного исследовательского инструмента в диссертационной работе используется классический или робинсонов-ский вариант нестандартного анализа. Отметим, что нас будут интересовать лишь те свойства изучаемых объектов, которые инвариантны относительно выбора нестандартного расширения базовой суперструктуры, удовлетворяющего общему принципу насыщения. По этой причине всюду предполагается, что используемое нестандартное расширение базовой суперструктуры является полинасыщенным. Будем придерживаться такого же уровня строгости в применении аппарата инфинитезимального анализа, какой был принят в [АГ]МЪ], [Бе]. В частности, все исходные изучаемые объекты предполагаются вложенными в свои нестандартные расширения.

Отметим, что основные результаты диссертационной работы, такие как теоремы 5.1, 6.2, 8.1, 9.1 и некоторые другие, являются новыми и нетривиальными уже для классических банаховых решеток Ьр(р,) интегрируемых с р-й степенью по некоторой мере // функций при 1 < р < оо. Большинство результатов, представленных в работе, справедливы для векторных пространств как над вещественным, так и над комплексным полем скаляров. Те случаи, в которых спецификация поля скаляров существенна, будут оговариваться особо.

Перечислим основные результаты, изложенные в диссертации.

Глава 1 носит вводный характер и содержит краткий обзор необходимых для понимания дальнейшего материала фактов теории операторов, теории упорядоченных банаховых пространств и банаховых решеток, а так же робинсоновского инфинитезималь-ного анализа. Одной из главных целей этой главы, наряду с изложением некоторых необщеизвестных, но используемых далее в диссертационной работе результатов, является фиксация некоторых понятий и обозначений. Большинство приведенных в главе результатов снабжено ссылками на источники, в которых имеются соответствующие доказательства. Небольшая часть лемм свеже сопровождается доказательствами. Сделано это в тех случаях, когда подходящая ссылка либо отсутствует, либо не содержит утверждения в нужной формулировке.

Во второй главе предлагается новый инфинитезимальный подход к вопросу о предельном поведении орбит положительных операторов и однопараметрических полугрупп на банаховых решетках. Основные результаты, изложенные в главе, связаны с положительными операторами на банаховых решетках с порядко-во непрерывной нормой и на Х-В-пространствах. Здесь дается инфинитезимальное доказательство теоремы Ласоты — Йорка — Ли об асимптотическом разложении положительного оператора с компактным аттрактором, основанное на простой, но плодотворной идее рассмотрения гиперконечной степени оператора. Это доказательство представляет в явном виде элементы изучаемого асимптотического разложения. Затем рассматривается асимптотическое поведение оператора с квази-порядково ограниченным аттрактором. Устанавливается ряд теорем, обобщающих результаты полученные недавно в [Ыа2], [Е\¥]. В конце главы приводятся приложения установленных результатов

к изучению асимптотическои структуры положительных операторов, имеющих квази-порядково ограниченные аттракторы на банаховых решетках с порядково непрерывной нормой и на К В -пространствах. Полученные результаты обобщают ряд теорем установленных ранее в [Е\¥], [КХ], [Яа2], [81].

В главе 3 изучается вопрос о сохранении при доминировании сильной устойчивости и почти периодичности положительных представлений абелевых полугрупп на равномерно порядково выпуклых банаховых пространствах и на банаховых решетках с порядково непрерывной нормой. В частности, исследуется асимптотическое поведение доминированных представлений абелевых полугрупп (нелинейными) нерасширяющими отображениями положительного конуса равномерно порядково выпуклого банахова пространства. Затем рассматривается вопрос об асимптотическом поведении доминированных представлений абелевых полугрупп положительными операторами на банаховых решетках с порядково непрерывной нормой. Установленные в этой главе результаты обобщают на случай операторных представлений произвольных абелевых полугрупп основные теоремы работы [ЕКК\¥], доказанные там для однопараметрических представлений.

Глава 1. Предварительные сведения

В главе дается краткий обзор ряда разделов теории операторов, теории упорядоченных банаховых пространств и банаховых решеток, а так же робинсоновского инфинитезимального анализа.

В первом параграфе речь пойдет об ограниченных операторах в банаховых пространствах, в частности, об эргодичных и почти периодичных операторных представлениях абелевых полугрупп. Здесь, в основном, будут рассмотрены некоторые важные для дальнейшего понятия и результаты, касающиеся асимптотического поведения операторных полугрупп. Мы будем следовать в этом параграфе книгам [Кг, Ки, Ьу, Уо].

Во втором параграфе кратко изложены некоторые разделы, касающиеся упорядоченных банаховых пространств, банаховых решеток и положительных операторов. Полное изложение этих тем имеется в специальных монографиях [ВКК, ВИ, Ме, 8сЬ2, Ъд\. Мы будем стремиться следовать этим источникам в выборе обозначений и терминологии.

Поскольку в качестве основного исследовательского инструмента в диссертационной работе используется робинсоновский нестандартный анализ в классическом варианте, в третьем параграфе дается краткое введение в эту теорию с выделением важных для наших целей деталей. В этой части мы будем опираться на материал, изложенный в [АГ]ЧЬ, вон!, Бе, Ьи, \¥о].

§1. Ограниченные операторы в банаховых

пространствах

Здесь мы коснемся некоторых разделов теории операторов, связанных с понятиями эргодичности и почти периодичности. В частности, будут рассмотрены теоремы о разложении для эр-годичных и почти периодичных представлениях абелевых полугрупп. За доказательствами этих и других формулируемых в параграфе теорем отсылаем к [Kr, Ly, Yo].

1.1. Пусть X — банахово пространство. Символом Вх будем обозначать открытый единичный шар {х £ X : ||а;|| < 1} пространства X. Если i С X, то символом со А или со (А) обо-

т т

значается {^Гс^ж; : Х{ Е А, О < с^, с^ = 1, m Е IN} — i= 1 i= 1 выпуклая оболочка А. Через А + В обозначим множество {х-\-у :

х е А, у Е В}.

Напомним, что для пространства В линейных функционалов на линейном пространстве А, сг(А, В) — слабейшая топология на А, по отношению к которой все функционалы из В непрерывны. Слабой топологией банахова пространства X называется cr(X, X*)-топология, где X* — пространство непрерывных линейных функционалов на X. w* - Топологией называется а(Х*, Х)-топология на А'*. Символ lim обозначает предел в сильной (порожденной нормой) топологии, w-lim — предел в слабой топологии и го*-lim — предел в w*-топологии. Замыкание множества А С X обозначается cl А, а замыкание А в слабой топологии обозначается w-cl А. Через со А, как обычно, обозначаем clco А.

1.2. Значение функционала h Е X* на элементе х £ X мы часто будем обозначать символом (х,/г). Напомним, что через

L(X) обозначают пространство ограниченных линейных операторов на X, а через I — тождественный оператор.

Оператор Т называется квази-нерасширяющим, если нормы

степеней Tfc, (к > 0) равномерно ограничены (эирЦТ^Ц < сю).

fc>o

Заметим, что банахово пространство X, на котором задан квази-нерасширяюгций оператор Т, можно перенормировать эквивалентной нормой || • ||Ti \\х\\т '= sup ||Тп:г|| так, что по отно-

п>0

шению к новой норме оператор Т станет нерасширяющим, т.е. ЦГяЦт < 1М|т Для всех х G X.

Оператор Т называется ограниченным по Чезаро, если нормы

п-1

средних по Чезаро Ап = Ап(Т) = n~1 Yl Т1 равномерно ограни-

¿=о

чены. Ограниченность по Чезаро, очевидно, является более слабым условием чем квази-нерасширяемость. Отметим также, что ввиду равенства

п~1Тп~1 = - — Ап_ь (1.1)

п

условие

lim п~1Тп~1х = 0 (1.2)

п—>оо

необходимо для сходимости последовательности Апх. Последнее выполняется при всех ж, если оператор Т квази-нерасширяющий.

1.3. Теорема. Пусть Т — ограниченный по Чезаро линейный оператор на пространстве X. Для любого х Е X, удовлетворяющего (1.2), и любого у £ X следующие утверждения эквивалентны:

(1) Ту = уиуес0{х,Тх,Т2х,...у,

(2) у = lim Апх;

п—* оо

(3) у = w - lim Апх;

п—юо

(4) у — слабая предельная точка последовательности (Апх).

Приведенная формулировка стохастической эргодической теоремы есть частный случай результатов В. Эберлейна (см. теорему 1.12 ниже), но основное утверждение содержится уже в работах Ф. Рисса (для X — Lv), К. Иосиды и С. Какутани (для общих банаховых пространств) конца тридцатых годов [Кг, §2.1, Theorem 1.1], [Yo, VIII, §3, Теорема 2].

1.4. Следующий важный частный случай теоремы 1.3 был установлен (для гильбертовых пространств) еще в работе Дж. фон Неймана [Кг, §2.1, Theorem 1.2].

Теорема. Если Т — квази-нерасширяющий линейный оператор на рефлексивном банаховом пространстве X, то средние по Чезаро Ап(Т)х сходятся по норме к Т-инвариантному пределу для любого х Е X.

1.5. Наша следующая цель — теорема о разложении для пространства

Хе = XJT) = {х Е х : 3 lim Апх}.

п—*оо

Ясно, что если оператор Т ограничен по Чезаро, то Хе — замкнутое линейное подпространство X. Оператор Т называется эргодичным, если X = Хе. Мы будем использовать следующие обозначения:

F = F(T) := {х Е X : Тх = ж}, N := {х-Тх : х Е X} = (1-Т)Х

Следующая теорема, в основном, принадлежит Иосиде [Кг, §2.1, Theorem 1.3], [Yo, VIII, §3, Corollary 1].

Теорема. Пусть Т — ограниченный по Чезаро линейный оператор и пусть условие (1.2) выполняется для всех х Е X. Тогда Хе = FQclN. Оператор Р, сопоставляющий каждому х Е Хе

предел Рх := lim Апх, является проекцией Хе на F. Более то-

п—юо

го, Р = Р2 = TP = РТ, и для всякого z Е X эквивалентны следующие утвержден