Неспектральный асимптотический анализ однопараметрических операторных полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Сибирское отделение Российской Академии наук Институт математики им. С.Л. Соболева

I

На правах рукописи

Емельянов Эдуард Юрьевич

НЕСПЕКТРАЛЬНЫЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРНЫХ ПОЛУГРУПП

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-2003

Работа выполнена в лаборатории функционального анализа Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г.Г. Магарил-Ильяев;

доктор физико-математических наук С.А. Малюгин;

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Семенов

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита диссертации состоится ~б2 2004 г. в 1Цчас на заседании

диссертационного совета Д 003.015 03 прй Институте математики им С Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им СЛ. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 11 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук А.С Романов

2004-4 21138

7699'Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пусть Т — однопараметрическая операторная полугруппа действующая в банаховом пространстве X. Будем считать, что Т либо параметризована неотрицательным вещественным параметром Т = (Ti)(g]R+ и сильно непрерывна, либо, что Т = является полугруппой неотри-

цательных целых степеней некоторого оператора. Изучение однопарамет-рических полугрупп мотивированно тем, что они возникают при исследовании линейных уравнений в частных производных — так называемые Со-полугруппы, а также при исследовании дискретных процессов описываемых итерациями одного оператора.

Имеется огромное количест во исследований по операторным полугруппам, и в них важное место занимает асимптотический анализ. Это связано с тем, что с практической точки зрения часто бывает полезно знать является ли рассматриваемый процесс затухающим, цикличным, или асимптотически периодичным Обычный подход к исследованию данного вопроса основан на изучении спектра инфинитезимального генератора полугруппы В конечномерном случае (dim X < оо) такой поход дает исчерпывающий ответ на этот вопрос благодаря классической теореме Ляпунова.

В бесконечномерном же случае наряду с, как правило нетривиальной, проблемой вычисления спектра генератора полугруппы, подобный подход наталкивается на отсутствие подходящего обобщения теоремы Ляпунова, хотя в ряде случаев теорема Ляпунова и допускает удовлетворительное обобщения, связанные с именами Ю Любича, К. Фонга, В. Арендта и Ч Бэтти. Например, при исследовании асимптотического поведения марковских полугрупп на L1-пространствах применение спектральных методов является мало эффективным

Сравнительно недавно существенный прогресс в исследовании асимптотического поведения марковских полугрупп, без использования спректральных методов, был достигнут в работах А. Ласоты, Й. Коморника, Р. Рудницкого, В. Бартошека, М. Маккея, и ряда других математиков. Наиболее существенные результаты, полученные в этих исследованиях, а так-же их приложения

к теории вероятностей и теории динамических систем изложены в монографии Ласоты и Маккея 1.

Параллельно, неспектральный анализ развивался и для более общих, нежели марковские, операторных полугрупп в работах Аренда, Бэтти, Ф Рэбиге-ра, М. Вольфа, и других математиков Следует так-же отметить более ранние работы Ш Аюпова, Т Грабарника, Т Сарымсакова в которых интересные результаты об асимптотическом поведении марковских полугрупп на некоммутативных ¿'-пространствах были получены так-же без использова ния спектральных методов.

Цель работы. Основная цель настоящей работы — развитие неспектральных методов анализа и их применение, не только к марковским полугруппам на ¿'-пространствах, но и к однопараметрическим операторным полугруппам значительно более общей природы В частности, рассматриваются положительные полугруппы на предсопряженном пространстве к алгебре фон Неймана (при этом удалось получить значительно более сильные результа ты чем те, что были получены в работах Сарымсакова и его учеников 15-20 лет назад) и положительные полугруппы на банаховой решетке. В основном, на протяжении настоящей работы, исследуются два вопроса Первый из них связан с выяснением условий при которых полугруппа асимптотически конечномерна, эргодична в среднем, почти периодична или асимптотически устойчива. Второй касается условий сохранения при доминировании различных асимптотических свойств положительных полугрупп. Помимо этого исследуется связь между геометрией банахова пространства и некоторыми асимптотическими свойствами ограниченных операторных полугрупп действующих в нем.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми 1) Установлено, что существование у операторной полугруппы констриктора имеющего меру некомпак! ности Хаусдорфа меньше единицы равносильно асимптотической конечномерности этой полугруппы Установлено что существование у операторной полугруппы, действующей в рефлексивном банаховом пространстве, констриктора имеющего меру некомпактности Хаусдорфа

'Lasota А , Mackey М С Chaos, fractals, and noise Stochastic aspects of dynamics Second edition Applied Mathematical Sciences, V 97 Springer-Verlag, New York 1994

меньше единицы влечет существование компактного констриктора. Эти результаты являются новыми даже для операторных полугрупп действующих в гильбертовом пространстве.

2) Получен критерий существования инвариантной плотности у марковской полугруппы, и, с использованием этого критерия установлено, что оператор Перрона - Фробениуса Р эргодичен в среднем тогда и только тогда, когда существует плотность w такая, что lim sup \\Pnf — w|| < 2 для всякой плотно-

п~> оо

сти /. Установлено, что марковский оператор Т эргодичен в среднем и имеет единственную инвариантную плотность в том и только том случае, когда Т обладает нетривиальной средней нижней граничной функцией, т.е , когда найдется такая О Ф h 6 L\, что

l™J(h~An(T)f)+\\=0

n-l

для любой плотности /, где Ап(Т) = i J Г - средние по Чезаро операто-

к= о

раТ.

3) Введен новый класс упорядоченных банаховых пространств, включающий как банаховы решетки так и некоммутативные ¿'-пространства. Исследованы асимптотические свойства положительных операторных полугрупп в этих пространствах. В частности, установлена теорема об улучшении констриктора и получен ряд теорем о сохранении эргодичности в среднем и почти периодичности при асимптотическом доминировании.

4) Исследовано асимптотическое поведение положительных операторных полугрупп в некоммутативных L1-пространствах Установлена теорема о том, что существование у полугруппы констриктора вида [—и, и] -I- rjB, где {- и, и] — порядковый интервал, 0<ту<1иВ — единичный шар, влечет существование констриктора вида [w,w], где w — неподвижная точка полугруппы Эта теорема позволяет, среди прочего, дать простое доказательство критерия Грабарника - Сарымсакова асимптотической устойчивости полугруппы

' марковских операторов действующих в предсопряженном пространстве ал-

гебры фон Неймана. Установлено, что марковский оператор Т действующий в некоммутативном L1-пространстве М. эргодичен в среднем и имеет единственное инвариантное нормальное состояние в том и только том случае, когда Т обладает нетривиальным средним нижним граничным элементом,

тр., когда найдется такой 0 ф h € М,+ , что

hmI(A-A.(T)/) + |=0

для любого нормального состояния /.

5) Установлена теорема о сохранении при асимптотическом доминировании устойчивости и почти периодичности положительной операторной полугруппы действующей в банаховой решетке с порядково-непрерывной нормой. 9ia теорема завершает исследования Ф. Андрю, Д. Мазона, Д. Мартинеса, Б Пагтера и др. о нахождении условий на полугруппу или на банахову решетку при которых указанные асимптотические свойства сохраняются

6) Дан положительный ответ на давно стоявшую проблему J1 Сачестона о том является ли рефлексивной банахова решетка в которой всякий ограниченный со степенями линейный оператор эргодичен в среднем

Методы исследования. В работе используются методы теории линейны* операторов, операторных алгебр, теории меры, геометрии банаховых пространств и ряда общих разделов функционального анализа

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа иосш теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории операторов и ее приложениях.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на конференции Pos ihvity and its Applications (Анкара, Турция, 1998) и (Наймеген, Голландия 2001), на конференции Quantum Probability and Infinite Dimensional Analy sis (Котбус, Германия, 2001), на научных семинарах Института математики СО РАН в 1998-2003 годах, на научных семинарах Иноитутов математической статистики университетов Гетингена (рук U Krengel 2002) и Бонн,-) (рук S Albeveiio, 2002), технических университетов Ульма (рук W Arendi 2001), Дрездена (рук. J. Voigt, 2002) и Анкары (рук. A. Aytuiia, 2002-2003). а так-же на семинарах Институтов математики при университетах Тюбингена (рук. М. Wolff, 2000-2002) и Штутгарта (рук. В. Kümmerer, 2000-2002).

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [1], [2], [3], [4] [5], [6], [7], [8], [9], [10], [111, (12], [13], [14[ и (15]. Статьи [7], [8], [9], [10], [11]

[12], [13], [14] и [15] совместные, из них в диссертацию включены результаты принадлежащие автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения; пяти глав, разбитых на параграфы; и списка литературы Нумерация теорем, лемм, примеров и т.п - сквозная. Объем работы — 190 страниц; библиография — 117 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Здесь будут отмечены наиболее существенные результаты диссертации. При этом, для удобства чтения и сокращения объема автореферата все результаты приводятся только в дискретном случае - для полугруппы неотрицательных степеней оператора Во введении дано краткое обоснование актуальности исследуемой тематики и общая целевая установка работы, приводится краткая характеристика основных результатов, изложенных в диссертации, а также используемых методов

Глава 1. Операторные полугруппы на банаховых пространствах

В параграфе 1 1 вводятся основные понятия и обозначения, а также напоминаются некоторые теоремы об операторах и операторных полугруппах на банаховых пространствах, такие как, теоремы об эргодичности в среднем, теорема Гликсберга - Де Лю - Джекобса об отщеплении граничного спектра и др.. Остальные пояснения делаются по мере их использовании в дальнейшем изложении. Как правило, читатель отсылается к монографии Кренгеля 2.

Параграф 1 2 содержит результаты о полугруппах, обладающих, в определенном смысле, небольшими констрикторами, опубликованные в работах [3], [7] и [12] Исследования проведенные в этом параграфе завершают тематику операторов с компактными констрикторами которой посвящен ряд работ

2Krengel U Ergodic Theorems // De Gruyter, Berlin - New York 1985.

Ласоты, Бартошека, Фонга, Сайна и др. Результаты параграфа представляют интерес с точки зрения теории операторов на банаховых пространствах и теории Со-полугрупп

§1.1. Предварительные сведения об операторных полугруппах, эргодичности в среднем и почти периодичности. Этот параграф носш вспомогательный характер Здесь, для удобства читателя, приводятся те результат теории операторных полугрупп которые необходимы для понимания основного текста Мы упоминаем лишь основные факгы и понятия, более полное изложение темы можно найти в стандартных монографиях §1.2. Констриктивные и квази-констриктивные полугруппы. Параграф содержит весьма общие результаты о полугруппах обладающих (квази) компактными констрикторами, полученные в работах [3], [7] и [12] Не вдаваясь в детали, кратко сформулируем один из результатов этого параграфа. Пусть Т -- нерастягивающий (т.е. ||Т|| < 1) линейный оператор на X Фонг в работе 3 и Сайн в работе 4 показали, что Т обладает компактным констриктором (т.е существует компактное множество К такое, что lim^dist(rnx, К) — 0 для любого х € X, ||х|| < 1) в том и только том случае когда X разлагается в прямую сумму Т-инвариантвых подпространств Х0(Т) = {х ■ Jim \\Тпх\\ = 0} и Хт(Т), причем dimX,(T) < оо В работе [12] автор и М. Вольф показали (см следствие 42 параграфа 1 2), что в том случае, когда X рефлексивно, для существования подобного разложения достаточно чтобы нашлось вещественное 77, 0 < т) < 1 такое, что для некоторого компактного К\ будет lim sup dist{Тпх,К\) < т). Последнее условие

п—> оо

существенно легче для проверки, чем условие lim dist(71"г, К) = 0, однако в рефлексивном случае они оказываются равносильными Отметим, что в статье [7] исследованы различные обобщения на случай (не обязательно мульти-параметрических) абелевых операторных полугрупп Начало исследований в этом направлении было положено в работе (14), где был построен первый пример нерастягивагащего оператора на Со имеющего квази-компактный кон-стристор (те множество типа К + tjBj , где К — компакт, 0 < т] < 1, а В\ — единичный шар в Cq), но не имеющего компактного констриктора В нере-

3Ву Куок Фонг Асимптотическая почти периодичность и компактифицирующие представления полугрупп//У кр. мат. журн 1981 Т38 С.688-692

"Sine R Constricted systems// Rocky Mountain J Math 1991 V 21 P 1373-1383

флексивном случае существование квази-компактного констриктора влечет асимптотическую конечномерность полугруппы — этот результат установлен в теореме 34 В работе |3] специально рассмотрен случай Co-полугрупп, и ряд результатов доказан с применением нестандартного анализа.

Глава 2. Положительные полугруппы на /^-пространствах

Во второй гласе исследуется асимптотическое поведение положительных (главным образом марковских) операторных полугрупп на ¿'-пространствах. Здесь применяется и развивается ряд методов неспектрального анализа, введенных недавно различными авторами. Кроме того п этой главе даются новые доказательства ряда результатов Ласоты и Коморника, в частности критерия Ласоты 5 асимптотической устойчивости марковского оператора.

§2.1. Марковские полугруппы на ¿'-пространствах. Основные результаты параграфа опубликованы в [4]. Упомянем один из них. Пусть Т марковский операюр на ¿'-пространстве Е Ясно, что если Т имеет инвариантную плотность, скажем и, то lim sup \\Тпи—u|| < 2, хотя-бы потому, что

п—foo

||T"u-u|| = 0 при всех п € IN В работе [4] автором показано (см теорему 54), что при наличии плотности w для которой lira sup |jT"w - ги]| < 2, оператор

п—юо

Т имеет инвариантную плотность. Одним из приложений этого результата является критерий эргодичности в среднем — теорема 62 установленная во втором параграфе.

§2.2. Эргодичность в среднем положительных полугрупп на L1-пространствах. Результаты параграфа опубликованы в работах [1] и [4] Отметим некоторые из них Недавно Корнфсльд и Лин 6 показали, что вся кий эргодичный в среднем марковский оператор слабо почти периодичен. Теорема 56 обобщает этот результат на случай ограниченных положительных полугрупп Установлен следующий критерий эргодичности — теорема 58:

5Lasota A Statistical stability of deterministic systems // Lecture Notes in Math. 1983 V 1017. P.386-419.

6Kornfeld I, Lin M Weak almost periodicity of ^-contractions and со boundaries of non-smgular transformations // Studia Math 2000 V 138 P 225-240.

Пусть Т — марковский оператор на L1 -пространстве, такой, что сучцг-ствует элемент у С- L\ и вещественное число г], 0 < г} < 1, удовлетворяющие условию:

hm sup ||(v4n(T)/ — 2/)+|| < г].

n-»oo 11 и

Тогда Т эргодичен в среднем

§2.3. Асимптотическая устойчивость, нижние граничные функции и теорема о разложении. Здесь дано новое доказательство критерия Ласоты асимптотической устойчивости марковского оператора и установлен аналог этого критерия в случае если вместо сходимости по норме рассматривается сходимость по Чезаро — теорема 66. Отметим, что терема 66, равно как и ряд других результатов параграфа является следствиями теоремы 58

Остальная часть работы посвящена положительным операторным полугруппам в упорядоченных банаховых пространствах Центральную роль здесь играет третья глава.

Глава 3. Положительные полугруппы в упорядоченных банаховых пространствах

Здесь изучаются положительные операторные полугруппы действующие в ряде важных упорядоченных банаховых пространствах, а именно — в сильно нормальных пространствах (в этот класс в частности попадают С*-алгебры, предсопряженные пространства к алгебрам фон Неймана, а так-же банаховы решетки), и в равномерно иорядково-выпуклых пространствах (//-пространства при 1 < р < оо, а так-же предсопряженные к алгебрам фон Неймана) Среди результатов главы следует выделить теорему 82 говорящую о том, что при достаточно общих предположениях (например если рассматриваемое банахово пространство рефлексивно) из существования у полугруппы квази-порядково ограниченного констриктора вытекает существование порядково-ограниченного констриктора весьма регулярной формы Эта теорема является далеко идущим обобщением основной леммы 3 3 работы 7 в

TRäbiger F. Attractors and asymptotic periodicity of positive operators on Banach lattices// Forum Math. 1955. V 7 P 665-683

которой рассматривался случай нерастягивающего оператора на банаховой решетке, а так-же теоремы 1 из [15], в которой условие нерастягиваемости уже опущено, однако по прежнему рассматривался лишь случай дискретной полугруппы. Результаты главы опубликованы в [10], [11] и [13].

§3.1. Идеально упорядоченные и равномерно порядково-выпуклые банаховы пространства. В этом параграфе напоминаются основные свойства упорядоченных банаховых пространств и положительных операторов в них. Затем вводятся и обсуждаются сильно нормальные банаховы пространства и равномерно порядково-выпуклые банаховы пространства. Параграф носит вспомогательный характер.

§3.2. Полугруппы с порядково-ограниченными констрикторами. В

этом параграфе установлена теорема 82 об улучшении констриктора — ключевой момент в доказательстве теоремы 71 параграфа 2.3 а так-же ряда результатов параграфов 4.2 и 5.2:

Пусть Т — положительный оператор в сильно нормальном банаховом пространстве X. Если Т имеет констриктор {—у. у] + r/Вх для некоторого вещественного г), 0 < rj < 1, и если замыкание по норме выпуклой оболочки орбиты {Гп?/}£10 содержит Т-инвариантную точку w, то порядковый интервал w,w] является констриктором оператора Т.

Отметим, что наличие Т-инвариантной точки у замыкания орбиты {Тпу}™0 равносильно тому что (Tny)^L0 сходится по Чезаро, а последнее всегда имеет место, если оператор Т эргодичен в среднем. Эта теорема является сильным обобщением вышеупомянутого результата Рэбигера (где рассматривались лишь нерастягивающие операторы в банаховых решетках) а так-же основного результата работы [15] - теоремы 1, где условие нерастягиваемости оператора опущено, однако по прежнему рассматривался лишь случай банаховой решетки

§3.3. Асимптотическое доминирование. Здесь вводится понятие асим-пюаического доминирования, которое является обобщением обычного доминирования, но учитывает лишь асимптотическое сравнение операторов Точнее, оператор Т асимптотически доминирует оператор S, если для любого х € Х+:

lim ||(Tnx-Snx).|| = 0

Это понятие исследуется для положительных операторов и сильно нормальных банаховых пространствах в которых порядковые интервалы слабо компактны, называемых для краткости - идеально упорядоченные банаховы пространства. В частности, теорема 87 говорит о том, что при асимптотическом доминировании операторов в идеально упорядоченных банаховых пространствах сохраняется эргодичность в среднем, что обобщает теорему Арен-дта - Бэтти 8 в которой подобный результат установлен для обычного доминирования положительных операторов в банаховых решетках с порядково-непрерывной нормой. Далее, теоремы 93 и 94 устанавливают сохранение при асимптотическом доминировании сильной устойчивости и почти периодичности положительных операторов действующих в равномерно порядково-выпу'клые банаховых пространствах. Отметим так-же теорему 90:

Пусть X — идеально упорядоченное банахово пространство, и Т положительный, ограниченный со степенями, эргодичный в среднем линейный оператор на X Тогда Тт эргодичен в среднем для всех m € IN.

Без ограничения на структуру упорядоченного пространства этот результат не верен, даже для операторов с достаточно регулярными свойствами, например для операторов Купмана на С{К). Для банаховых решеток с порядково-непрерывной нормой, эта теорема была получена Деринником и Кренгелем в работе 9.

Глава 4. Положительные полугруппы на предсопряженных пространствах алгебр фон Неймана

В этой главе рассматриваются положительные полугруппы на некоммутативных L1 -пространствах (те. на предсопряженных пространствах к некоммутативным алгебрам фон Неймана) Глава содержит ряд результатов о марковских операторах на некоммутативных ¿'-пространствах близких по формулировке к результатам главы 2. Однако техника доказательства в некоммутативном случае совершенно иная, поскольку базовые факты про ¿'-пространства

8Arendt W , Batty CJK Domination and ergodicity for positive semigroups// Proc Amer Math. Soc 1992 V 114 No 3 P 743-747

eDerriennic Y , Krengel U Subadditive mean ergodic theorems // Ergodic Theory Dynam ical Systems 1981 V.l No.l P 33-48.

как правило не допускают обобщения на некоммутативный случай, в частности, некоммутативные L1 -пространства не являются банаховыми решетками. Результаты главы опубликованы в [8], [9], [10) и [llj.

§4.1. Одно геометрическое свойство предсопряженного пространства алгебры фон Неймана. В этом параграфе установлена теорема 97 говорящая о том, что если M алгебра фон Неймана, то самосопряженная часть Msa предсопряженного пространства М, этой алгебры является сильно нормальным банаховым пространством. Эта достаточно нетривиальная теорема позволяет применять многие результаты главы 3 к положительным полугруппам на М,- Кроме того, попутно, в теореме 100 установлено, что самосопряженная часть С*-алгебры также является сильно нормальным банаховым пространством.

§4.2. Нижние граничные элементы марковских полутрупп на пред-сопряженном пространстве алгебры фон НеЗмана. Центральным результатом параграфа является теорема 101, дающая условия, которые обеспечивают эргодичность в среднем марковской полугруппы на Л4,. В коммутативном случае этот результат установлен в параграфе 2.2. Для одного марковского оператора эта теорема выглядит так:

Пусть Т — марковский оператор на M,, g G М.+, « г; € Е, 0 < t) < 1 такие, что lim sup dist(An(T)/, [—5,5]) < г) для любого нормального состояния f 6

n-too

M,, где Ап(Т) — средние по Чезаро Тогда Т эргодичен в среднем.

Эта теорема вместе с теоремой 97 и теоремой 82 позволяет получить основной результат главы — теорему 106 Кроме того, теорема 101 — ключевой момент в доказательстве теоремы 102, принадлежащей Сарымсакову, Гра-барнику и Аюпову Отметим, что теорема 102 была анонсирована в 10 а затем в 11 Однако в этих работах не приведено ее доказательство, и было ли оно где-либо опубликовано, автору неизвестно. Отметим также, что теорема 101 применяется в доказательстве теоремы 103 обобщающей теорему Сарымса-кова - Грабарника Аюпова в случае сходимости по Чезаро. Частный случай

10Ayupov Sh.A., Sarymsakov Т A Markov operators on quantum probability spaces// Probability theory and applications, Proc World Congr Bernoulli Soc., Tashkent/USSR 1986. V.l. P 445-454.

"Сарымсаков T.A , Грабарник ТЯ Регулярность монотонных непрерывных сжимающих операторов на алгебрах фон Неймана// Доклады АН Уз.ССР 1987 Т.6 С.9-11

(достаточный впрочем для доказательства теоремы 102) теоремы 101 опубликован в |9]. Затем в общей форме эта теорема опубликована в |8]

§4.3. Констрикторы и асимптотическое доминирование. Здесь сделана попытка получить, насколько это вообще возможно, аналог декомпозиционной теоремы Коморника - Ласоты 73 Наиболее сильный результат в этом направлении содержится в теореме 106. В частном случае одного оператора она звучит так:

Пусть М. — алгебра фон Неймана и Т — положительный оператор на Ai,. Предположим, что Т обладает констриктором \-у,у\ + г)ВМш для некоторого 0 < -ц < 1 и некоторого у € Л4 + . Тогда существует предел

т-1

w lim -Ь J2 Т у, причем [—w, w\ будет констриктором оператора Т В

т-юо т fc=0

частности, Т слабо почти периодичен.

Теорема 106 имеет ряд следствий, которые, при дополнительных предположениях на алгебру М и на оператор Т являются достаточно удовлетворительными некоммутативными версиями теоремы 73. Эти следствия также обсуждаются в параграфе.

Глава 5. Положительные полугруппы на банаховых

решетках

Эта глава посвящена положительным полугруппам на банаховых решетках Отметим, что многие результаты главы 3 справедливы для банаховых решо ток, поскольку они всегда имеют сильно нормальный конус в силу предложения 76 Результаты главы 5 содержатся в работах [2], [6], [11], [13], [14] и (15].

§5.1. Предварительные сведения. В параграфе напоминаются базовые понятия, касающиеся банаховых решеток и положительных операторов действующих в них Затем обсуждается проблема перенормировки банаховой решетки с фиксированным положительным дважды ограниченным со степенями оператором и приводится пример когда невозможна перенормировка в результате которой этот оператор станет положительной изометрией — пример 118.

§5.2. Асимптотическое доминирование. В параграфе обсуждается сохранение эргодичности в среднем и (слабой) почти периодичности положительных операторных полугрупп при доминировании. Пусть 5 и Т — положительные линейные операторы на банаховой решетке такие, что S < Т. Возникает вопрос, какие свойства оператора Т наследуются оператором S Множество результатов в этом направлении относится к сохранению компактности, слабой компактности, свойства Данфорда - Петтиса, свойства быть ядерным оператором и др. (обзор этих результатов имеется у Али-прантиса и Буркиншоу 12, у Мейера-Ниберга 13, а так-же у Заанена 14). В последние 15-20 лет возникла необходимость в исследовании спектральных и асимптотических свойств доминированных операторов, таких, как эргодичность в среднем и равномерная эргодичность, почти периодичность, квазикомпактность или соотношения включения периферических спектров. Эти исследования связаны с именами Андрю, Мазона, Арендта, Бэтти, Касселе-са, Пагтера, Шепа, Рэбигера и др.. Например, Рэбигер в работе 15 показал, что если Т — положительный оператор на банаховой решетке Е с порядково-непрерывной нормой, такой, что степени Т" сильно сходятся к проектору Рт конечного ранга, то для каждого оператора S на Е такого, что 0 < 5 < Т, степени Sn тоже сильно сходятся к проектору конечного ранга. Это заключение останется верным, если вместо условия конечности ранга Рт потребовать, чтобы спектр о(Т) оператора Т не содержал единичной окружности 16. Кроме того, в вышеупомянутых работах Рэбигера и Вольфа аналогичное утверждение установлено для наследования почти периодичности при доминировании Достаточно долгое время стоял вопрос: а нужно ли вообще накладывать дополнительные условия на оператор Т чтобы сохранить при доминировании сходимость степеней оператора или почти периодичность7 Как было показано в работе [11], сохранение (даже при асимптотическом

12Aliprantis С D , Burkinshaw О Positive compact operators on Banach lattices// Math Z 1980. V.174 P 289-298

13Meyer-Nieberg P Banach Lattices// Universitext Springer-Verlag, Berlin. 1991.

HZaanen А.С Riesz Spaces II// North-Holland Amsterdam. 1983

I5Räbiger F Stability and ergodicity of dominated semigroups II The strong case// Math Ann 1993 V 297 P 103-116

I6Räbiger F., Wolff M P H Spectral and asymptotic properties of dominated operators// J Austral. Math Soc (Series A) 1997 V.63. P.16-31

доминировании) этих свойств имеет место без каких-либо дополнительных предположений. Эти результаты, являющиеся основным содержанием параграфа, установлены в теоремах 120 и 121.

§5.3. Геометрия банаховых решеток и асимптотическое поведение операторных полугрупп действующих на них. Параграф посвящен исследованию того, как геометрия банаховой решетки влияет на асимптотические свойства положительной полугруппы, действующей в ней Коснемся подробнее одной из такого рода проблем Как известно, в любом рефлексивном банаховом пространстве всякий ограниченный со степенями оператор эргодичен в среднем. Верно ли обратное? Точнее, можно ли доказать, что если всякий ограниченный со степенями оператор в банаховом пространстве эргодичен в среднем, то это пространство рефлексивно Это старая проблема теории банаховых пространств, она была поставлена Сачестоном в 17. В общем случае проблема не решена до сих пор, однако для некоторых классов банаховых пространств удается получить положительный ответ Так в 1986 г. Р. Захаропол дал положительный ответ для -пространств, а именно, он показал, что если Е банахова решетка, являющаяся ^„-пространством, то каждый ограниченный со степенями положительный оператор Т Е —» Е эргодичен в среднем, тогда и только тогда когда Е рефлексивно Этот результат развивался и обобщался в различных направлениях в работах Рэби-гера, автора, автора совместно с Вольфом, Фонфа, Лина и Вошашика Так, Рэбигером было построено несколько примеров не эргодичных в среднем операторов Т, удовлетворяющих условию 0 < Т < I в банаховых решетках, являющихся К„-пространствами или в банаховых решетках содержащих топологически ортогональную систему и не имеющих порядково-непрерывной нормы. Затем автор, в работе [6] дал положительный ответ на вопрос Са-честона для произвольных банаховых решеток Этот результат обобщался и модифицировался в работах [13], [14] и в 18 В частности в работе [14] был дан положительный ответ на вопрос Сачестона для банаховых пространств допускающих изоморфное вложение с0, а в работе Фонфа, Лина и Войташика

"Sucheston L Problems, Probability in Banach Spaces// Lecture Notes in Math 1976 V 526. P.285-289.

18Fonf V.P , Lin M., Wojtaszttyk P Ergodic Characterization of Reflexivitv of Banach spaces// J Funct Anal 2001 V 187 P 146-162

вопрос Сачсотона был закрыт для банаховых пространств имеющих базис Помимо проблемы Сачестона, в этом параграфе исследуются разнообразие связи геометрии банаховых решеток и асимптотических свойств операторных полугрупп действующих в них.

Работы автора по теме диссертации

[1] Емельянов Э Ю Условия регулярности марковских полугрупп на AL-пространствах// Мат. Труды (в печати)

[2] Emel'yanov E.Yu. A remark to a theorem of Yu. A. Abramovich// Proc. Amer. Math Soc. 2003.

[31 Емельянов Э Ю Условия асимптотической конечномерности Co-полугруппы// Сиб Мат Журнал 2003 Т.44. No.5. С.1015-1021

[4] Emel'yanov E.Yu. Invariant densities and mean ergodicity of Markov operators// Israel J. Math 2003. V.136. P.373-379.

[5] Emel'yanov E.Yu. Some aspects of the theory of bounded groups of operators in Banach spaces// Siberian Adv. Math 1997. V.7. No.l. P.26-31

[6] Emel'yanov E Yu Banach lattices on which every power-bounded operator is mean ergodic//Positivity 1997 V.l No 4 P 291-296.

Совместные работы

[7] Emel'yanov E Yu . Wolff M P.H. Quasi constricted linear representations of abelian semigroups on Banach spaces// Math. Nachr. 2002 V.233-234 P.103-110.

[8] Emel'yanov E Yu , Wolff M.P.H. Asymptotic properties of Markov semigroups on preduals of von Neumann algebras// Препринт N 98, август 2002, CO РАН, Институт Математики им. С JI. Соболева, 16 стр.

[9j Emel'yanov E.Yu., Wolff M P H. Asymptotic behaviour of Markov semigroup on noncommutative ¿'-spaces// Proceedings of the Conference "Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis "March 15-20, 2001 - Burg/Spreewald, (2001), Proceedings of the Conference "QP-PQ Quantum Probability and White Noise Analysis", World Scientific 2002 V.XVI

[10] Emel'yanov E.Yu , Wolff M P.H Positive operators on Banach spaces ordered by strongly normal cone// Proceedings of the Conference "Positivity and its Applications"Nijmegen, The Netherlands, (2001), Positivity 2003 V.7. No. 1-2. P.3-22.

[11] Emel'yanov EYu, Kohler U , Rabiger F., Wolff M P.H Stability and almost periodicity of asymptotically dominated semigroups of positive operators// Proc. Amer. Math. Soc. 2001 V 129. P.2633-2642.

[12] Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Quasi constricted linear operators on Banach spaces// Studia Math. 2001. V.144. No.2. P.169-179.

[13] Emel'yanov E Yu., Rabiger F , Wolff M P H Asymptotic behavior of positive operators on Banach lattices// Positivity 2000. V 4. No 3. P 245-251

[14] Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Mean ergodicity on Banach lattices and Banach spaces// Arch. Math. (Basel) 1999. V 72 No.3 P.214-218.

[15] Emel'yanov E Yu , Gorokhova S G A sufficient condition for the order boundedness of the attractor of a positive mean ergodic operator acting on a Banach lattice// Siberian Adv Math 1999. V 9 No 3 P.78-85.

Емельянов Эдуард Юрьевич

Неспектральный асимптотический анализ одногхараметрических операторных полугрупп

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 07.10.03. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ N 55.

Отпечатано на полиграфическом участке ИМ СО РАН просп. Академика Коптюга, 4, 630090, Новосибирск, Россия

».1455

РНБ Русский фонд

2004-4 21138

ВВЕДЕНИЕ 4.

Глава 1. ОПЕРАТОРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

1.1. Предварительные сведения об операторных полугруппах, эргодичности в среднем и почти периодичности 16.

1.2. Констриктивные и квази-констриктивные полугруппы 30.

Глава 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА ^-ПРОСТРАНСТВАХ

2.1. Марковские полугруппы на Х^-пространствах 55.

2.2. Эргодичность в среднем положительных полугрупп на L1-пространствах 65.

2.3. Асимптотическая устойчивость, нижние граничные функции и теорема о разложении 78.

Глава 3. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА УПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

3.1. Идеально упорядоченные и равномерно порядково-выпуклые банаховы пространства 93.

3.2. Полугруппы с порядково-ограниченными констрикторами 98.

3.3. Асимптотическое доминирование 105.

Глава 4. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА ПРЕДСО-ПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АЛГЕБР ФОН НЕЙМАНА

4.1. Одно геометрическое свойство предсопряженного пространства алгебры фон Неймана 119.

4.2. Нижние граничные элементы марковских полугрупп на предсопряженном пространстве алгебры фон Неймана 125.

4.3. Констрикторы и асимптотическое доминирование 132.

Глава 5. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ НА БАНАХОВЫХ РЕШЕТКАХ

5.1. Предварительные сведения 144.

5.2. Асимптотическое доминирование 152.

5.3. Геометрия банаховых решеток и асимптотическое поведение операторных полугрупп действующих на них 162.

Пусть Т — однопараметрическая операторная полугруппа действующая на банаховом пространстве X. Обычно мы предполагаем, что Т либо параметризована неотрицательным вещественным параметром Т = №)teIR+ и сильно непрерывна, либо, что Т = (ТГ1)пе2+ является полугруппой неотрицательных целых степеней некоторого оператора. Кроме того по умолчанию, будем считать, что рассматриваемые полугруппы состоят из ограниченных линейных операторов. Изучение однопараметрических полугрупп мотивированно главным образом тем, что они возникают при исследовании линейных уравнений в частных производных — так называемые Co-полугруппы, а также при исследовании дискретных процессов описываемых итерациями одного оператора.

Имеется большое количество монографий по операторным полугруппам, например [55], [ИЗ], [64], [94], [46], [75], [9], не говоря уже о бесчисленном море журнальных публикаций. В изучении операторных полугрупп важное место занимает асимптотический анализ их поведения. Это связано с тем, что с практической точки зрения часто бывает нужно знать является ли рассматриваемый процесс затухающим, цикличным, или асимптотически периодичным. Классический подход к исследованию данного вопроса основан на изучении спектра инфинитезимального генератора полугруппы. Этот поход дает исчерпывающий ответ в конечномерном случае dim X < оо благодаря теореме Ляпунова.

В бесконечномерном же случае наряду с, как правило нетривиальной, проблемой вычисления спектра генератора полугруппы, подобный подход наталкивается на отсутствие подходящего обобщения теоремы Ляпунова, хотя иногда теорема Ляпунова допускает разумное обобщение (см., например, [77], [9], [86], [5]). В ряде же случаев такой подход не дает удовлетворительных результатов, в частности, при исследовании асимптотического поведения марковских полугрупп на L1 -пространствах. Значительный прогресс в исследовании асимптотического поведения марковских полугрупп сравнительно недавно был достигнут в работах Ласоты, Коморника, Рудницкого, Бартошека, Маккея, и ряда других математиков, без использования спректральных методов. Наиболее существенные результаты, полученные в этих исследованиях, а так-же их приложения к теории вероятностей и динамических систем изложены в монографии Ласоты и Маккея [69]. В настоящей работе неспектральные методы анализа развиваются, и применяются не только к марковским полугруппам (чему посвящена, однако, целая глава), но и к операторным полугруппам значительно более общей природы. Так, мы будем рассматривать положительные полугруппы на предсопряженном простран-Ф стве к алгебре фон Неймана (L1-пространства как известно являются предсопряженными коммутативных алгебр фон Неймана) и положительные полугруппы на банаховых решетках. Первая глава, впрочем, имеет дело с операторными полугруппами на произвольных банаховых пространствах. На протяжении настоящей работы, грубо говоря, рассматриваются два вопроса. Первый из них связан с выяснением условий при которых полугруппа асимптотическое конечномерна, эргодична в среднем, почти периодична или асимптотически устойчива. Второй вопрос касается сохранения при доминировании различных асимптотических свойств положительных полугрупп.

Настоящая работа состоит из пяти глав. В параграфе 1.1 (первом параграфе первой главы) для удобства читателя мы приводим ряд результатов теории операторных полугрупп необходимых для понимания основного текста. Здесь упомянуты лишь основные факты и понятия, более полное изложение темы можно найти в стандартных монографиях, например в [113], [65] и [75]. Параграф 1.2 содержит весьма общие результаты о полугруппах обладающих (квази) компактными констрикторами, полученные в работах [34], [38] и [29]. Не вдаваясь в детали, кратко сформу-i лируем один из результатов этого параграфа. Пусть Т — нерастягивающий (ЦТ|| < 1) линейный оператор на X. К. Фонг в работе [84] и Р. Сайн в работе [106] показали, что Т обладает компактным констриктором (т.е. существует компактное множество К такое, что ^lirn dist(Tnx, К) = 0 для любого х € X, ||ж|| < 1) в том и только том случае когда X разлагается в прямую сумму Т-инвариантных подпространств Xq(Т) = {ж : ^lim ||T"cc|| = 0} и ХГ{Т), причем dim ХГ(Т) < оо. В работе [34] М. Вольф и автор показали (см. следствие 42 параграфа 1.2), что в том случае когда X рефлексивно для существования подобного разложения вполне достаточно чтобы нашлось вещественное г], 0 < г/ < 1 такое, что для некоторого компактного К\ будет lim sup dist(Tna;, К\) < г). п-юо

Последнее условие существенно легче для проверки, чем условие jlim)dist(Tna;, К) = 0, однако в рефлексивном случае они оказываются равносильными. В статье [38] изучаются различные обобщения на случай (не обязательно мульти-параметрических) абеле-вых операторных полугрупп. Мы не будем касаться в настоящей работе такого рода обобщений. Отметим, что начало исследований т в этом направлении было положено в работе [33], где был построен первый пример нерастягивающего оператора на cq имеющего квази-компактный констристор (т.е. множество типа К + г}В\, где К — компакт, 0 < rf < 1, а, В\ — единичный шар в со), но не имеющего компактного констриктора. В работе [29] специально рассмотрен случай Co-полугрупп, и ряд результатов доказан с применением нестандартного анализа. В настоящей работе автор избегает применения нестандартного анализа, поскольку это потребовало бы написания значительного объема вводного текста. Результаты параграфа 1.2 по-видимому интересны с точки зре-* ния теории операторов на банаховых пространствах и, вероятно, с точки зрения теории Co-полугрупп. За небольшим исключением, данные результаты в других главах не используются. Во второй главе исследуется асимптотическое поведение положительных (главным образом марковских) операторных полугрупп на /^-пространствах. Здесь развивается и используется ряд новых методов, введенных недавно различными авторами. Основные результаты параграфа 2.1 опубликованы в [27]. Упомянем один из них. Пусть Т — марковский оператор на /^-пространстве Е. Ясно, что если Т имеет инвариантную плотность, скажем и, то lim sup ||Tnu — и\\ < 2, хотя-бы потому, что \\Тпи — и|| = О п—>оо при всех п Е IN. В работе [27] автором показано (см. теорему 54), что при наличие плотности w для которой lim sup \\Tnw — < 2 n—»oo оператор T имеет инвариантную плотность. Одним из приложений этого результата является критерий эргодичности в среднем — теорема 62 установленная во втором параграфе. Результаты параграфов 2.2 и 2.3 опубликованы в работах [39] и [27] (см. также обзор в [30]). Отметим некоторые из них. Недавно И. Корнфельд и М. Лин [62] показали (см. также более раннюю работу Й. Коморника [60]), что всякий эргодичный в среднем марковский оператор слабо почти периодичен. Теорема 56 обобщает этот результат на случай ограниченных положительных полугрупп. Еще одним результатом является аналог критерия А. Ласоты асимптотической устойчивости марковского оператора в случае если вместо сходимости по норме используется сходимость по Чезаро - теорема 66. Отметим, что терема 66, равно как и ряд других результатов параграфов 2.2 и 2.3 являются следствиями теоремы 58. В главе 2 также даются новые доказательства ряда результатов Ласоты и Коморника, в частности критерия Ласоты 65 асимптотической устойчивости марковского оператора. Остальная часть работы посвящена положительным операторным полугруппам на упорядоченных банаховых пространствах. Центральную роль здесь играет третья глава. В ней изучаются положительные полугруппы действующие на ряде важных классов упорядоченных банаховых пространств, а именно — на сильно нормальных пространствах (в этот класс в частности попадают С*-алгебры, предсопряженные пространства к алгебрам фон Неймана, а так-же банаховы решетки), и на равномерно порядково-выпуклых пространствах (/^-пространства при 1 < р < оо, а также предсопряженные к алгебрам фон Неймана). Среди результатов этой главы следует отметить теорему 82 говорящую о том, что при достаточно общих предположениях (например всегда когда рассматриваемое банахово пространство рефлексивно) из существования у полугруппы квази-порядково ограниченного констриктора можно сделать заключение о существовании порядково-ограниченного констриктора весьма регулярной формы. Эта теорема из работы [36] является далеко идущим обобщением основной леммы 3.3 работы [90] в которой рассматривался случай нерас-тягивающего оператора на банаховой решетке, а так-же теоремы 1 из [47], где условие нерастягиваемости опущено, однако по прежнему рассматривался лишь случай дискретной однопараметриче-ской полугруппы на банаховой решетке. Так-же стоит отметить ряд результатов касающихся наследования при асимптотическом доминировании эргодичности в среднем, почти периодичности и устойчивости приведенных в параграфе 3.3, но для их обсуждения надо обратиться непосредственно к тексту параграфа. Эти результаты опубликованы в [31], [32] и в [36]. Главы 4 и 5 можно читать независимо, но обе они основаны на результатах третьей главы. В четвертой главе рассматриваются положительные полугруппы на некоммутативных /^-пространствах (т.е. на предсопряженных пространствах к некоммутативным алгебрам фон Неймана). Отметим что эта глава содержит ряд результатов о марковских операторах на некоммутативных /^-пространствах близких по формулировке к результатам главы 2. Однако техника доказательства в некоммутативном случае совершенно новая, поскольку базовые факты про L^пространства как правило не допускают обобщения на некоммутативный случай, в частности, некоммутативные /^-пространства не являются банаховыми решетками. Результаты четвертой главы содержатся в [31], [35], [36] и в [37].

Остановимся на некоторых из них. Прежде всего это теорема 97 говорящая о том, что если М. — алгебра Неймана, а Л4за — самосопряженная часть предсопряженного пространства М* алгебры Л4, то конус М+ положительных нормальных линейных функционалов на Л4 сильно нормален в Msa. Этот достаточно нетривиальный факт позволяет применять многие результаты главы 3 к положительным полугруппам на .М*. Отметим также, что попутно в параграфе 4.1 устанавливается, что самосопряженная часть С*-алгебры А также имеет сильно нормальный конус. Теорема 97 опубликована в [36] и в [37].

Центральным результатом параграфа 4.2 является теорема 101, дающая условия, которые обеспечивают эргодичность в среднем марковской полугруппы на At*. Для коммутативного случая этот результат рассмотрен в параграфе 2.2. В частном случае одного марковского оператора эта теорема выглядит так. Пусть Т — марковский оператор на Л4*, д G Л4+, и 77 € IR, 0 < 77 < 1 такие, что lim sup dist(An(T)f, [—д,д]) < rj для любого нормального состояп-»оо п—1 ния f е М*, где Ап(Т) — £ £ Тк — среднее по Чезаро. Тогда Т к=0 эргодичен в среднем. Эта теорема вместе с теоремой 97 и теоремой 82 позволяет получить основной результат главы — теорему 106. Кроме того, теорема 101 — ключевой момент в доказательстве теоремы Сарымсакова - Грабарника - Аюпова 102 [10, Thm.2.4], [97, Thm.l], Отметим, что эта теорема 102 была анонсирована в [10] а затем в [97]. Однако в этих работах не приведено ее доказательство, и было ли оно где-либо опубликовано, автору неизвестно. Отметим также, что теорема 101 применяется в доказательстве теоремы 103 обобщающей теорему Сарымсакова - Грабарника -Аюпова в случае сходимости по Чезаро. Частный случай (впрочем достаточный для доказательства теоремы 102) теоремы 101 опубликован в [35]. Затем в общей форме эта теорема опубликована в препринте [37].

В параграфе 4.3 мы попытались, насколько возможно, получить аналог декомпозиционной теоремы Коморника - Ласоты 73. Наиболее сильный результат который удалось здесь получить - теорема 106. В частом случае одного оператора эта теорема звучит так. Пусть М. — алгебра фон Неймана и Т — положительный оператор на М.*. Предположим, что Т обладает констриктором у, у]+г}Вм, Для некоторого 0 < rj < 1 и некоторого у € .М+. То, тп—1 , гда существует предел w := ^lim^ ^ £ Тку и множество [—w, ги] — 0-констриктор для Т. В частности, Т слабо почти периодичен. Эта теорема имеет ряд следствий, которые при дополнительных предположениях на алгебру Л4 и на оператор Т являются достаточно удовлетворительными некоммутативными версиями теоремы 73. Результаты параграфа в основном взяты из работ [36] и [37].

Пятая глава посвящена положительным полугруппам на банаховых решетках. Банаховы решетки это банаховы пространства, наделенные решеточными операциями, согласованными со сложением векторов и умножением на скаляры, /^-пространства, где 1 < р < оо, С (К) и некоторые другие пространства являются примерами банаховых решеток. Отметим, что многие результаты главы 3 справедливы для банаховых решеток, поскольку они всегда имеют сильно нормальный конус (предложение 76). Результаты главы 5 содержатся в работах [26], [33], [47], [32], [31] и [28]. В параграфе 5.1 даются основные определения, касающиеся банаховых решеток и положительных операторов действующих на них.

В параграфе 5.2 обсуждается сохранение эргодичности в среднем и (слабой) почти периодичности положительных операторных noлугрупп при доминировании. Пусть S и Т — положительные линейные операторы на банаховой решетке такие, что S < Т. Возникает вопрос, какие свойства оператора Т наследуются оператором S. Множество результатов в этом направлении относится к сохранению компактности, слабой компактности, свойства Данфорда - Петтиса, свойства быть ядерным оператором и др. (см. обзор этих результатов [4], [80], [114]). В последние 15-20 лет возник интерес к исследованию спектральных и асимптотических свойств доминированных операторов, таких, как эргодичность в среднем и равномерная эргодичность, почти периодичность, квазикомпактность или соотношения включения периферических спектров (см. [6], [8], [19], [79], [82], [88], [89], [90], [91] и т.д.). Большинство результатов можно сформулировать как для (степеней) операторов, так и для Со-полугрупп. Например, Ф. Рэбигер в работе [89, Thm.3.9] показал, что если Т — положительный оператор на банаховой решетке Е с порядково-непрерывной нормой такой, что степени Тп сильно сходятся к проектору Рт конечного ранга, то для каждого оператора S на Е такого, что 0 < S < Т, степени Sn тоже сильно сходятся к проектору конечного ранга. Это заключение останется верным, если вместо условия конечности ранга Рт потребовать, чтобы спектр <т (Т) оператора Т не содержал единичной окружности (см. [91, Сог.4.3]). Аналогичное утверждение, как оказалось, справедливо для наследования почти периодичности при доминировании (см. [89, Prop.3.10], [91, Thm.4.2]). Нужно ли вообще накладывать дополнительные условия на оператор Т чтобы сохранить при доминировании сходимость степеней оператора или почти периодичность? Как было показано в работе [31], сохранение (даже при асимптотическом доминировании) этих свойств имеет место без каких-либо дополнительных предположений. Из результатов главы 3 выводится наследование соответствующих свойств полугрупп на банаховых решетках с порядково-непрерывной нормой даже без предположения нерасширяемости асимптотически доминированной полугруппы (теоремы 120 и 121). Основные результаты параграфа опубликованы в [32} и [31].

Параграф 5.3 посвящен исследованию того, как геометрия банаховой решетки влияет на асимптотические свойства положительной полугруппы, действующей в ней. Поскольку, здесь результаты как правило одни и те-же, как для дискретных так и для непрерывных полугрупп, ограничимся рассмотрением лишь полугруппы степеней одного оператора. Коснемся подробнее одной из такого рода проблем. Как известно, в любом рефлексивном банаховом пространстве всякий ограниченный со степенями оператор эргоди-чен в среднем. Верно ли обратное? Точнее, можно ли доказать, что если всякий ограниченный со степенями оператор на банаховом пространстве эргодичен в среднем, то это пространство рефлексивно. Это старая проблема теории банаховых пространств, она была поставлена JI. Сачестоном [107]. В общем случае проблема не решена, однако для некоторых классов банаховых пространств удается получить положительный ответ. Так в 1986 г. Р. Захаропол [115] дал положительный ответ для ^-пространств, именно, он показал, что если Е — банахова решетка, являющаяся ^-пространством, то каждый ограниченный со степенями положительный оператор Т : Е Е эргодичен в среднем, тогда и только тогда когда Е рефлексивно. Этот результат развивался и обобщался в различных направлениях в работах Рэбигера [87], автора [26], автора совместно с Вольфом и Рэбигером [34], [33], В. Фонфа, М. Лина и Р. Войташика [45]. Так Рэбигером [87] было построено несколько примеров не эргодичных в среднем операторов Т, удовлетворяющих условию 0 < Т < I на банаховых решетках, не являющихся ^-пространствами или на банаховых решетках содержащих топологически ортогональную систему и не имеющих порядково-непрерывной нормы. Затем автором, в работе [26] был дан положительный ответ на вопрос Сачестона для произвольных банаховых решеток. Этот результат обобщался и модифицировался в работах [34], [33] и [45]. В частности в работе [34] был дан положительный ответ на вопрос Сачестона для банаховых пространств допускающих изоморфное вложение со, а в работе [45] вопрос Сачестона был закрыт для банаховых пространств имеющих базис. Помимо проблемы Сачестона, в этом параграфе рассматриваются многочисленные связи геометрии банаховых решеток и асимптотических свойств операторных полугрупп действующих на них. В параграфе представлены результаты работ [26], [34] и [33].

Основные результаты диссертации докладывались автором на конференции Positivity and its Applications в Анкаре (Турция, 1998 г.) и Наймегене (Голландия 2001 г.), на конференции Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis в Котбу-ce (Германия, 2001 г.), а так-же на научных семинарах ИМ СО РАН (1998, 2000, 2002 гг.), институтов мат. статистики университетов Гетингена (Германия, 2002 г.) и Бонна (Германия, 2002 г.), технических университетов Ульма (Германия, 2001 г.), Дрездена (Германия, 2002 г.) и Анкары (Турция, 2002, 2003 гг.), а так-же на семинарах институтов математики при университетах Тюбингена и Штуттгарта (Германия, 2000-2002 гг.)

Результаты диссертации изложены в работах [26], [27], [28], [29],

33], [32], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40] и [31]. Статьи [33], [32],

34], [35], [36], [37], [38], [39], [40] и [31] совместные, в диссертацию из них включены результаты принадлежащие автору.

1. Абрамович Ю.А. Изометрии нормированных решеток// Оптимизация 1988. Т.43(60). 74-80.

2. Акешапп А. The dual space of an operator algebra// Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V.126 P.286-302.

3. Allan G.R., Ransford T.J. Power-dominated elements in a Banach algebra// Studia Math. 1989. V.94. No.l. P.63-79.

4. Aliprantis CD., Burkinshaw O. Positive compact operators on Banach lattices// Math. Z. 1980. V.174. P.289-298.

5. Ahprantis CD., Burkinshaw O. Positive Operators// Academic Press, Orlando, London. 1985.

6. Andreu F., Mazon J.M. On the boundary spectrum of dominated Co-semigroups// Semigroup Forum 1989. V.38. P.129-139.

7. Arendt W., Batty C.J.K. Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups// Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V.306. No.2. P.837-852.

8. Arendt W., Batty C.J.K. Domination and ergodicity for positive semigroups// Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V.114. No.3. P. 743-747.

9. Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M., Neubrander F. Vector- valued Laplace transforms and Cauchy problems// Monographs in Mathematics. V.96. Basel: Birkhaeuser 2001.

10. Calderon A. Sur les measures invariantes// C.R. Acad. Sci. Paris 1955. V.240. P.1960-1962.

11. Caselles V. On the peripheral spectrum of positive opera tors// Israel J. Math. 1987. V.58. P. 144-160.

12. Choi M.D., Effros E.G. Injectivity and operator spaces// J. Funct. Anal. 1977. V.24. P.156-209.

13. Day M.M. On the basis problem im normed spaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1962. V.13. P.655-658.

14. Diestel J. Sequences and series in Banach spaces// Gradu ate Texts in Mathematics, V.92. Springer-Verlag, New York - Berlin 1984.

15. Dodds P.G., Fremlin D.H. Compact operators in Banach lat tices// Israel J. Math. 1979. V.34. No.4. P.287-320.

16. Derriennic Y., Krengel U. Subadditive mean ergodic theo rems// Ergodic Theory Dynamical Systems 1981. V.l. No.l. P.33-48.

17. Dowker Y.N. On measurable transformations in finite mea sure spaces// Ann. of Math. (2) 1955. V.62. P.504-516.

18. Emel'yanov E.Yu. Banach lattices on which every power- bounded operator is mean ergodic// Positivity 1997. V.l. No.4. P.291-296.

19. Emel'yanov E.Yu. Invariant densities and mean ergodicity of Markov operators// Israel J. Math. 2003. V.136. P.373-379. •к^

20. Ayupov Sh.A., Sarymsakov Т.A. Markov operators on quantum probability spaces// Probability theory and applications, Proc. World Congr. BernouUi Soc, Tashkent/USSR 1986. V.l. P.445-454.

21. Bartoszek W. Asymptotic periodicity of the iterates of positive contractions on Banach lattices// Studia Math. 1988. V.91. P.179-188.

22. Bartoszek W. On asymptotic cychcity of doubly stochastic operators// Ann. Pol. Math. 1999. V.72. P.146-152.

23. Bartoszek W., Brown T. On Frobenius-Perron operators which overlap supports// Bull. Pohsh Acad. Sci. Math. 1997. V.45. P.17-24.

24. Boyarsky A. Randomness implies order// J. Math. Anal. Appl. 1980. V.76. P.483-497.

25. Batty C.J.K. On some ergodic properties for continuous and affine functions// Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 1978. V.28. P.209-215.

26. Batty C.J.K., Robinson D.W. Positive one-parameter semigroups on ordered Banach spaces// Acta Applicandae Math. 1984. V.2. P.221-296.

27. Векслер A.И., Гейлер В.A. Порядковая и дизъюнктная полнота линейных полуупорядоченных пространств// Сиб. Мат. Журн. 1972. Т.13. No.l. 30-35.

28. Emel'yanov E.Yu. A remark to a theorem of Yu. A. Abramovich// Proc. Amer. Math. Soc. 2003.

29. Емельянов Э.Ю. Условия асимптотической конечномерности Co-полугруппы// Сиб. Мат. Журнал 2003. Т.44. No.5. 1015-1021.

30. Емельянов Э.Ю. Условия регулярности марковских полугрупп на AL-пространствах// Мат. Труды (в печати)

31. Emel'yanov E.Yu., Gorokhova S.G. A sufficient condition for the order boundedness of the attractor of a positive mean -** ergodic operator acting on a Banach lattice// Siberian Adv. Math. 1999. V.9.No.3. P.78-85.

32. Emel'yanov E.Yu., Kohler U., Rabiger F., Wolff M.P.H. Stability and almost periodicity of asymptotically dominated semigroups of positive operators// Proc. Amer. Math. Soc. 2001. V.129. P.2633-2642.

33. Emel'yanov E.Yu., Rabiger F., Wolff M.P.H. Asymptotic •», behavior of positive operators on Banach lattices// Positivity 2000. V.4. No.3. P.245-251.

34. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Mean ergodicity on Banach lattices and Banach spaces// Arch. Math. (Basel) 1999. V.72. No.3. P.214-218.

35. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Quasi constricted linear operators on Banach spaces// Studia Math. 2001. V.144. No.2. P.169-179.

36. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Asymptotic properties of Markov semigroups on preduals of von Neumann algebras// Препринт N.98, август 2002, CO PAH, Институт Математики им. Л. Соболева, 16 стр.

37. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Quasi constricted linear representations of abelian semigroups on Banach spaces// Math. Nachr. 2002. V.233-234. P.103-110.

38. Emel'yanov E.Yu., Wolff M.P.H. Mean lower bounds for Markov operators// Ann. Pol. Math. 2003.

39. Emihon R. Mean-Bounded Operators and Mean Ergodic Theorems// J. Funct. Anal. 1985. V.61. P.1-14.

41. Foguel S.R. The Ergodic Theory of Markov Processes// Van Nostrand-Reinhold, New York 1969.

42. Foguel S.R., Weiss B. On convex power series of a conservative Markov operator// Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V.38. P.325-330.

43. Fonf V.P., Lin M., Wojtaszczyk P. Ergodic Characterization of Reflexivity of Banach spaces// J. Funct. Anal. 2001. V.187. P.146-162.

44. Gelfand I. Zur Theorie der Charaktere der Abelschen topolo- gischen Gruppen// Мат. Сборник (N.S.) 1941. V.9(51). C.49-50.

45. Goldstein J.A. Semigroups of linear operators and applications// Oxfcird Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. 1985. x+245 pp.

46. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов// Успехи мат. наук 1957. Т.З. No.l. 43-118.

47. GouUet de Rugy А. La structure ideale des M-spaces// J. Math. Pures Appl. IX., Se. 1972. V.51. P.331-373.

48. Groh U. The peripheral point spectrum of Schwarz operators on C*-algebras// Math. Z. 1981. V.176. P.311-318. '

49. Groh и. Spectrum and asymptotic behaviour of completely positive maps on B(H)// Math. Japon. 1984. V.29. No.3. P.395-402.

50. Groh U. Spectral theory of positive semigroups on W*- algebras and their preduals// (in R. Nagel (ed.) One-parameter semigroups of positive operators) Lecture Notes in Math. 1986. V.1184.

51. Groh U., Neubrander F. Stabilitat starkstetiger, positiver Operatorhalbgruppen auf C*-Algebren// Math. Ann. 1981. V.256. No.4. P.509-516.

52. Helmberg H. On the converse of the Hopf'f ergodic theorem// Zeitschr. Warscheinlichkeitsth. verw Gebiete 1972. V.21. P.165-179.

53. Hille E. Functional Analysis and Semi-Groups// Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. V.31. Amer. Math. Soc, New York. 1948.

54. Hirschfeld R.A. On Nulls of Linear Operators// Math. Z. 1967. V.96. P.216-222.

55. Jamison B. Irreducible Markov operators on C{S)// Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V.24. P.366-370.

56. Katznelson Y., Tzafriri L. On power bounded operators// J. Funct. Anal. 1986. V.68. P.313-328. h 183

57. Komornik J. Asymptotic periodicity of the iterates of weakly constrictive Markov operators// Tohoku Math. J. (2) 1986. V.38. No.l. P.15-27.

58. Komornik J. Asymptotic periodicity of Markov and related operators// Dynamics reported, Dynam. Report. Expositions Dynam. Systems (N.S.) 1993. V.2. P.31-68.

59. Komornik J., Lasota A. Asymptotic decomposition of Markov operators// Bull. Polish Acad. Sci. Math. 1987. V.35. No.5-6. P.321-327.

60. Kornfeld I., Lin M. Weak almost periodicity of Li- contractions and coboundaries of non-singular transformations / / Studia Math. 2000. V.138. P.225-240.

61. Крейн М.Г., Красносельский M.A., Мильман Д.П. О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве и о некоторых геометрических вопросах Сб. трудов ин-та матем. АН УССР. 1948. Т.Н. 97-112.

62. Krein S.G. Linear Differential Equations in Banach spaces// Translations of Math. Monographs, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1971.

63. Krengel U. Ergodic Theorems// De Gruyter, Berlin - New York. 1985.

64. Lamperti J. On the isometries of certain function-spaces// Pacific J. Math. 1958. V.8. P.459-466.

65. Lasota A. Statistical stability of deterministic systems// Lecture Notes in Math. 1983. V.1017. P.386-419.

66. Lasota A., Li T.Y., Yorke J.A. Asymptotic periodicity of the iterates of Markov operators// Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V.286. P.751-764.

67. Lin M. Support overlapping L^ contractions and exact non-singular transformations// Colloq. Math. 2000. V.84/85. Part.2. P.515-520.

68. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. Vol. I / / Ergeb. Math. Grenzgeb. V.92. Springer, Berlin. 1977.

69. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. Vol. I I / / Ergeb. Math. Grenzgeb. Springer, Berlin. 1979.

70. ЛюбичЮ.И. Введение в теорию банаховых представлений групп// Харьков.: Вища шк. Издательство при Харьк. унте. 1985.

71. Любич М.Ю., Любич Ю.И. Спектральная теория почти периодических представлений полугрупп// Укр. мат. журн. 1984. Т.36. 632-636.

72. Lyubich Yu.L, Vu Quoc Phong Asymptotic stability of linear differential equations on Banach spaces// Studia Math. 1988. V.88. No.l. P.37-42.

73. Martinez J. The essential spectral radius of dominated positive operators// Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V.118. P.489-492.

74. Martinez J., Mazon J.M. Quasi-compactness of dominated positive operators and Co-semigroups// Math. Z. 1991. V.207. No.l. P.109-120.

75. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices// Universitext. Springer- Verlag, Berlin. 1991.

76. R. Nagel (ed.) One-parameter semigroups of positive operators// Lecture Notes in Mathematics 1986. V.1184. 82. de Pagter В., Schep A. Measures of non-compactness of operators in Banach lattices// J. Funct. Anal. 1988. V.78. P.31-55.

77. Pedersen G.K. C*-algebras and their automorphism groups// Academic Press London New York San Francisco. 1979.

78. By KyoK Фонг (Vu Quoc Phong) Асимптотическая почти периодичность и компактифицирующие представления полугрупп// Укр. мат. журн. 1985. Т.38. 688-692. ЧГ) •**

79. Vu Quoc Phong A short proof of the Y. Katznelson's and 1.. Tzafriri's theorem// Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V.115. No.4. P.1023-1024.

80. Vu Quoc Phong Almost periodic and strongly stable semigroups of operators// Banach Center Publ. Pohsh Acad. Sci. Warsaw 1997. V.38. P.401-426.

81. Rabiger F. Ergodic Banach lattices// Indag. Math. (N.S.) 1990. V.l. No.4. P.483-488.

82. Rabiger F. Stability and ergodicity of dominated semigroups: I. The uniform case// Math. Z. 1993. V.214. P.43-54.

83. Rabiger F. Stability and ergodicity of dominated semigroups: II. The strong case// Math. Ann. 1993. V.297. P.103-116.

84. Rabiger F. Attractors and asymptotic periodicity of positive operators on Banach lattices// Forum Math. 1995. V.7. P.665-683.

85. Rabiger F., Wolff M.P.H. Spectral and asymptotic properties of dominated operators// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 1997. V.63. P.16-31.

86. Rabiger F., Wolff M.P.H. On the approximation of positive operators and the behaviour of the spectra of the approxi-mants// Integr. Equ. Oper. Theory 1997. V.28. P.72-86.

87. Rabiger F., Wolff M.P.H. Spectral and asymptotic properties of resolvent-dominated operators// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 2000. V.68. P. 181-2001. >^

88. Robinson D.W. Basic theory of one-parameter semigroups// Proc. Centre Math. Anal., Austrahan National University. Canberra 1982. iv+138 pp.

89. Sakai S. C*-algebras and H^*-algebras// Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 60. Springer-Verlag, New York - Heidelberg. 1971.

90. Сарымсаков T.A. Введение в квантовую теорию вероятностей// Фан, Ташкент. 1985. 184 стр.

91. Сарымсаков Т.А., Грабарник Т.Я. Регулярность монотонных непрерывных сжимающих операторов на алгебрах фон Неймана// Доклады АН Уз.ССР 1987. Т.6. 9-11.

92. Saxon S., Levin М. Every countable-codimensional subspace of a barrelled space is barrelled// Proc. Amer. Math. Soc. 1971. V.29. P.91-96.

93. Schaefer H.H. Banach Lattices and Positive Operators// Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 215. Springer-Verlag, New York - Heidelberg. 1974.

94. Schaefer H.H. On positive contractions in Z^-spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1980. V.257. P.261-268.

95. Schaefer H.H. (with Wolff M.P.H.) Topological Vector Spaces// 2nd ed. Graduate Texts in Mathematics, 3. Springer-Verlag, New York. 1999.

96. Segal I.E. A non-commutative extension of abstract integration// Annals Math. 1953. V.57. P.401-457. -v?

97. Sine R. A mean ergodic theorem// Proc. Amer. Math. Soc. 1970. V.24. No.2. P.438-439.

98. Sine R. A note on the ergodic properties of homeomor- phisms// Proc. Amer. Math. Soc. 1976. V.57. No.l. P.169-172.

99. Sine R. Weakly constricted operators and Jamison's conver gence theorem// Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V.106. No.3. P.751-755.

100. Sine R. Constricted systems// Rocky Mountain J. Math. 1991. V.21. P.1373-1383.

101. Sucheston L. Problems, Probability in Banach Spaces// Lec ture Notes in Math. 1976. V.526. P.285-289.

102. Takesaki M. Theory of Operator Algebras I / / Springer- Verlag, New York - Heidelberg. 1979.

103. Yau-Chuen Wong, Kung-Fu Ng Partially Ordered Toplogical Vector Spaces// Clarendon Press: Oxford. 1973. I l l . Yau-Chuen Wong, Kung-Fu Ng Partially Ordered Toplogical Vector Spaces// Clarendon Press: Oxford. 1973.

104. Wolff M.P.H. Functional analysis. Nonstandard analysis for the working mathematician// Math. Appl. Kluwer Acad. Publ. -^ Dordrecht. 2000. V.510. P.97-136.

105. Yosida K. Functional analysis// Second edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berhn. 1968. -^

106. Zaanen А.С. Riesz Spaces II / / North-Holland: Amsterdam. 1983.

107. Zaharopol R. Mean Ergodicity of Power-Bounded Operators in Countably Order Complete Banach Lattices// Math. Z. 1986. V.192. No.l. P.81-88.

108. Zaharopol R. Strongly asymptotically stable Frobenius- Perron operators// Proc. Amer. Math. Soc. 2000. V.128. No.l2. P.3547-3552.

109. Zemanek J. On the Gelfand - Hille theorems// Functional analysis and operator theory (Warsaw, 1992). Banach Center Publ. V.30. P.369-385. Polish Acad. Sci. - Warsaw 1994.