Асимптотические свойства полугрупп операторов и их связь с геометрией Банахова пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Сторожук Константин Валерьевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ И ИХ СВЯЗЬ С ГЕОМЕТРИЕЙ БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

2 0 НОЯ 2014

Новосибирск — 2014

005555537

005555537

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Официальные оппоненты: Баскаков Анатолий Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет», кафедра математических методов исследования операций, зав. кафедрой;

Шамаров Николай Николаевич, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», кафедра математического анализа, доцент;

Шульман Виктор Семенович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вологодский государственный университет», кафедра высшей математики, профессор.

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Защита состоится 24 декабря 2014 г. в 16.30 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. академика Коптюга, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии

2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Теория операторных полугрупп, возникнув, как средство исследования динамических систем и автономных дифференциальных уравнений, стала источником многих новых задач. Эта теория актуальна для функционального анализа и для других областей математики и естествознания. Большое место занимает исследование асимптотических свойств полугрупп. Полугруппа операторов {Т£ \ X —> X \ Ь > О, Т1+я = Т4 о Тд} на банаховом пространстве X называется асимптотически конечномерной, если пространство «исчезающих» векторов Хо = {х Е X | Тгх —^ 0} имеет конечную коразмерность в X. Такое название было введено для ограниченных полугрупп Емельяновым и Вольфом [1, 2]. Для таких полугрупп мы в главе 1 показываем замкнутость Хо и доказываем некоторые факты о (не)стабилизируемости дополняющих Хо конечномерных подпространств.

Важное место как в теории полугрупп, так и в приложениях занимают вопросы реализации асимптотически «плохого» поведения эволюционного процесса на конкретных начальных данных. Пример одного из утверждений на эту тему: если 11Т411 ^ 0, то найдётся х € X такой, что /0°° |Т{(:е)|с?£ = оо. Подобная тематика восходит к исследованиям Датко [3], Паци [4], Зябчика [5] и Литтмана [6]. Часть их результатов нетрудно получить из теорем Далецкого и Крейна [7]. Результаты Далецкого и Крейна обобщил Ролевич в [8], получив аналог теоремы Датко — Паци для эволюционного семейства операторов. Теоремы типа Ролевича получены, например, в работе Бусе и Драгомира [9] и Чжена [10]. Во второй главе мы обобщаем результаты Ролевича и даем им короткое и простое доказательство.

Другой круг вопросов второй главы — реализация «плохого» поведения в слабой топологии. Например, когда можно утверждать, что Зх е X, х' 6 X' /0°° \ (х',Тгх)\<И = оо? Подобными и более спе-

циальными вопросами занимались Притчард и Зябчик [11], Хуанг и Лун [12], Вейсс [13]. Обзор этой темы можно найти в статье ван Нервена [14]. Мы усиливаем некоторые его результаты.

Наличие компакта К (Z X, притягивающего орбиты полугруппы в том или ином смысле, влечет хорошие асимптотические свойства полугруппы. Например, если существует компакт К такой, что Ух е Вх Иши^оо р(Тпх, К) = 0, то полугруппа асимптотически конечномерна. Результаты, которые можно изложить на этом языке, имеются у Ласоты, Ли, Йорка и Джеймса [15, 16], Бартожека [17]. Общий случай исследовали By [18] и Сайн [19], они использовали спектральное разложение слабо почти периодической полугруппы — методы, восходящие к работам Джекобса [20] и де Лю и Гликсбер-га [21]. Мы устанавливаем асимптотическую конечномерность полугруппы при условии наличия компакта, который всего лишь иногда притягивает, т.е. Vre е Вх lim infn^oc р(Тпх, К) = 0. Эта теорема содержит в качестве частного случая результаты By и Сайна. Наш подход, кроме того, позволяет получить в вещественном случае теорему, для комплексного X полученную Ансари и Бурдоном в [22] и Миллером в [23]: изометрия Т : X —► X не бывает суперциклической.

Более слабые условия притяжения орбит компактом К имеют вид: Ух £ Вх lim sup (или lim mi)n^ocp(Tnx, К) < rj < 1. Исследование такого условия начато в работе Емельянова и Вольфа [24]. Отдельные вопросы на эту тему исследовались Коморником и Ласотой [25], Ребигером, Емельяновым, Вольфом, Гороховой [26, 27, 28], Емельяновым и Эркурсун [29]. В главе 4 мы устанавливаем, что граница асимптотической конечномерности проходит через г] = Нам удалось построить не асимптотически конечномерный пример с условием «liminf < Этим решён отрицательно вопрос (problem 1.3.33), поставленный в книге Емельянова [30].

Одна из популярных и важных для приложений тем в теории операторов — инвариантные подпространства. Известен результат, восходящий к Годеману [31]: линейная изометрия комплексного банахова пространства имеет инвариантное подпространство. Вермер [32] показал, что если Т : X X таков, что \\Тп\\ = 0{\п\к),

п—>±эо

то инвариантные подпространства есть. Методы построения спектральных подпространств восходят к Данфорду [33] и Лифу [34]). Подробная теория таких вопросов разработана в статье Любича, Ма-цаева и Фельдмана [35]. Приложения некоторых спектральных методов к вещественному случаю описаны, у Баскакова и Загорского [36]. Основной результат главы 5 — аналогичное утверждение в вещественном случае. Заметим: теоремы об инвариантных пространствах компактных операторов Ароншайна—Смита [37] и Ломоносова [38] на вещественный случай обобщались, см. Абрамович, Алипрантис, Сироткин и Троицкий [39].

Имеется тесная связь между свойствами полугруппы и геометрией банахова пространства, на котором она действует. Крейн [40] ввёл понятие нормального конуса. Емельянов и Вольф [41], изучая положительные операторные полугруппы, ввели условие строгой нормальности, но было неясно, вдруг нормальный конус строго нормален? В главе 6 мы строим нормальные, но не строго нормальные конусы и характеризуем строгую нормальность конуса в терминах геометрии его гиперплоской базы, используя свойство midpoint locally uniform rotundity (MLUR), введенное Андерсоном [42]. Кадец [43] показал, что сепарабельное банахово пространство изоморфно MLUR-пространству. См. Смит [44], где имеется много примеров.

Теория операторных групп и полугрупп возникла при необходимости изучать конкретные динамические системы. В главе 7 установлен Липшицев вариант теоремы о строении орбит неголономной системы векторных полей, которая восходит к Каратеодори [45] (ана-

литический случай); Рашевскому [46] и Чоу [47] (гладкий случай). В частности, мы обобщаем результаты Грешнова [48] и Белых и Греш-иова [49]. Одна из наших теорем этой главы применима и к динамическим системам в банаховом пространстве. Такие распределения изучались, например, в [50]. Мы также показываем, как применить теорему об орбите Стефана [51] и Зюссманна [52] для доказательства одного из вариантов С1-теоремы Рашевского — Чоу, полученной Водопьяновым и Басалаевым в [53]. (Отметим, что в работе [53] получена ещё и оценка расстояния в метрике Карно-Каратеодори, которую наши методы получить не позволяют.)

Степень разработанности. Направление, развитию которого посвящена диссертация, активно разрабатывается на протяжении нескольких десятилетий. Часть затронутых задач имеет недолгую историю, однако к ним за короткое время было привлечено большое количество специалистов. Данная тема-является достаточно разработанной в мире и активно развивается. В то же время, по мнению автора, в России этой тематике уделяется недостаточно внимания.

Цели и задачи исследования. Исследовать пространство уходящих в нуль векторов у асимптотически конечномерных полугрупп операторов и устойчивость дополнительных к нему подпространств. Получить новые асимптотические нижние оценки на скорость роста полугруппы в зависимости от её спектральных свойств. Изучить, как компакт, в том или ином смысле притягивающий орбиты векторов, влияет на асимптотические свойства полугруппы. Показать наличие инвариантных подпространств у линейных изометрий вещественного пространства. Построить примеры упорядоченных пространств с новыми свойствами упорядочивающих конусов, опираясь на геометрические свойства сфер в нормированном пространстве. Исследовать свойства орбит липшицева неголономного распределения и распределений малой гладкости.

Положения, выносимые на защиту, таковы:

1. Доказана замкнутость пространства Хо исчезающих векторов у асимптотически счетномерных полугрупп. Доказано, что если у асимптотически конечномерной полугруппы ||Т^|| = o(t), то под-

t—>оо

пространства, дополняющее Ха в X, почти стабилизируемы. Построена асимптотически двумерная полугруппа, для которой существует как инвариантное, так и не почти стабилизируемое дополнения к Xq.

2. Предложено элементарное короткое доказательство теоремы Ролевича для эволюционных семейств операторов. Получены новые нижние оценки на скорость роста полугруппы в слабой топологии.

3. Доказано, что если Т ограничен со степенями и суперцикличен, то Хо = 0. Дано понятие компактной суперцикличности. Показано, что в бесконечномерном банаховом пространстве (в вещественном и в комплексном) нет компактно-суперциклических изометрий.

4. Доказана асимптотическая конечномерность и расщепляемость ограниченной полугруппы при условии существования компакта К такого, что Ух е Вх liminf „^œ р{Тпх, К) = 0 (liminf = 0)и даже при более слабом условии (liminf < т] < В рефлексивном случае установлена асимптотическая конечномерность полугруппы при условии (liminf < т] < 1). Построены изометрии на пространствах С(М) непрерывных функций, удовлетворяющие условию liminf <

5. Доказано, что линейная изометрия Т : X —> X вещественного пространства имеет инвариантное подпространство, если dim X > 2.

6. Построены примеры нормальных, но не строго нормальных конусов. Установлена связь свойств конуса и геометрии его базы.

7. Доказана теорема Каратеодори в липшицевом случае. Показано, что орбита неголономного липшицева fc-мерного распределения содержит топологический (к + 1)-мерный куб.

Научная новизна. Результаты новы и получены лично автором.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты имеют теоретическое значение. Они могут быть использованы в исследованиях по функциональному анализу, теории динамических систем, а также при преподавании соответствующих курсов в университетах.

Методология и методы исследования. В работе использованы методы теории операторов, спектральная теория. Были использованы также некоторые результаты из топологии.

Степень достоверности и апробация результатов. Доказательства подробны. Результаты докладывались на Международном математическом конгрессе (2006 г., Мадрид), на международной конференции, посвященной 100-летию С.Л.Соболева (2008 г., Новосибирск), на конференции «Современные проблемы анализа и геометрии», (2009 г, Новосибирск) на международной конференции «Ordered spaces and applications» (2011 г, Афины), на международной конференции, посвященной 100-летию А.Д. Александрова, 2012 г., Санкт-Петербург) и др. Результаты докладывались на на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» (рук. акад. И. А. Тай-манов), на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН (руководитель акад. Ю. Г. Решетняк), на семинаре в ИМ СО РАН по геометрическому анализу (руководитель д.ф.-м.н. С. К. Водопьянов), на семинаре по бесконечномерному анализу в МГУ (руководители — д.ф.-м.н О.Г. Смолянов и д.ф.-м.н. Е.Т.Шавгулидзе) и др.

Публикации. Результаты опубликованы в десяти публикациях в журналах, рекомендованных ВАК [62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 102 источников. Объем диссертации 144 стр.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Всюду предполагаем, что полугруппа действует непрерывно при О < 4 < оо, т. е. для каждого V € X функция í н-> Т4(и) непрерывна при t > 0. Полугруппа называется Со — полугруппой, если эта функция непрерывна и в нуле. Мы изучаем и полугруппы степеней оператора.

Полугруппа ограничена, если все операторы Т^ ограничены по норме некоторой константой С < оо. Оператор называем ограниченным со степенями, если полугруппа {Тп \ п € М} ограничена. Подпространство У С X называем инвариантным, если для каждого £ > 0 Г{У С У.

Пространство Хо = {х 6 X \ Т^х —> 0} инвариантно. Говорим, что полугруппа расщепляема, если существует инвариантное подпространство Ь, дополняющее Хо. Полугруппа асимптотически конечномерна, если коразмерность Хо в X конечна.

Глава 1 — асимптотически конечномерные полугруппы операторов. Результаты опубликованы в работе [62].

В §1.1 данной главы мы показываем (теорема 1.1), что у асимптотически конечномерных (и даже счетномерных) полугрупп пространство Хо всегда замкнуто. Для замкнутости Хо достаточно наличия в X замкнутого дополнительного к Хо подпространства Ь. Из этой теоремы, в частности, следует, что условие замкнутости пространства Хо, входившее в определение квазисжимающей полугруппы в работе Емельянова и Вольфа [1], выполнено автоматически.

В §1.2 мы изучаем вопросы стабилизируемости конечномерных подпространств, дополняющих Хо в X. Пусть X = Хо®£. Оператор

гг, ( <*г Ъг \

Т( : X —> X задается треугольной матрицей вида Т1 = I :

\ 0 Цг )

Хо хЬ-» Хо хЬи диагонализируемость эквивалентна расщепляе-мости полугруппы. Расщепляемости может не быть (пример 2).

Угол (раствор) между двумя подпространствами А и В G X — это число Z(A, В) = min{ sup {р(а, В)}, supbeB ш=1{р(&, Л)}}. На

аеЛ,|а| = 1

множестве n-мерных подпространств в X угол играет роль метрики.

Теорема 1.2: Если T¿ — асимптотически конечномерная ограниченная полугруппа, то любое n-мерное подпространство L с X, дополняющее Xq в X, является почти стабилизируемым, т. е. для каждого t sup?<t Á(TpL, Tp+qL) —» 0 при Р —> оо.

Можно сказать, что L, эволюционируя, «вязнет» в X при t —» оо.

Пространство L называется стабилизируемым, если у TtL существует предельное положение L^, т.е. такое, что Z(TtL, Ь^) —> 0.

t—»оо

В §1.3 мы исследуем орбиты асимптотически конечномерной полугруппы в слабой топологии пространства X. Теорема 1.3, показывает, что в случае слабой почти периодичности полугруппы, т. е. компактности замыканий орбит векторов в слабой топологии X всякое подпространство L, дополняющее Хо, стабилизируемо. В частности, такова ограниченная полугруппа на рефлексивном X.

В §1.4 мы доказываем теорему 1.4, содержащую пример неограниченной асимптотически двумерной полугруппы, в котором существует как инвариантное дополнение к Xq, так и двумерное подпространство L, дополняющее Xq, но не являющееся даже почти стабилизируемым. Это показывает, что условие ограниченности полугруппы в теореме 1.2 существенна уже в случае codirn Xq = 2.

В §1.5 доказана теорема 1.5, обобщающая теорему 1.2 на асимптотически конечномерные полугруппы, для которых ||Tt|| = o(í)|i_>0o-Из этой теоремы следует, что если codim Xq = 1, то ограниченность полугруппы в теореме 1.2 несущественна.

Отметим, что аналоги теорем 1.2 и 1.3 для Co-полугрупп операторов содержатся в статьях [1, 2], где они доказываются с использованием методов нестандартного анализа.

Глава 2 — к теоремам Ролевича и ван Нервена. ( [63] и [66]).

Пусть Ть : X —у X —Со-полугрупиа. Число шо(Т) = Нт^^ 12-1ЕЫ1 называется показателем равномерного роста полугруппы. Полугруппа называется равномерно экспоненциально устойчивой (РЭУ), или равномерно экспоненциально ограниченной, если о>о < 0. В конечномерном случае это условие эквивалентно стремлению \Тгх\ к нулю при £ —> оо для каждого х Е X, т.е. тому, что Хо = X. Стандартный бесконечномерный контрпример — полугруппа сдвигов, скажем, на пространстве £2(М+). Здесь ||Т^|| = 1, но Хо = X. Однако, отсутствие свойства РЭУ у полугруппы влечет существование векторов, орбиты которых если и уходят в ноль, то «очень медленно», например, для каждой неубывающей функции / : (0, оо) —> (0, оо) существует х € X такой, что

Датко получил этот результат в [3] для функции /(г) = г2 и гильбертова X. (Это — аналог теоремы Ляпунова об устойчивости.) Паци обобщил этот результат в [4] для банахова пространства и функций вида f(z) = гр, р £ [1,оо). Зябчик в [5] показал, что если / : (0, оо) —> (0, оо) выпукла, возрастает, Итя_,о /(з) = 0 и Со-полугруппа Тг не РЭУ, то существует х € X такой, что для каждого а > 0 /0°° /(а • \TtxDdt = оо. Для непрерывных строго возрастающих функций соответствующий результат получил Литтман в [6].

Далецкий и Крейн в [7] исследовали связь скорости роста решений х(£) как стационарной, так и нестационарной задач Коши с показателями роста эволюционного оператора и(¿, т) : X —> X. Из их результатов, в частности, следуют результаты Датко и Паци.

Ролевич в [8], обобщил результаты Далецкого — Крейна и Зяб-чика, получив аналог теоремы Датко — Паци для эволюционного семейства операторов. Теоремы типа Ролевича получены, например, в работе Бусе и Драгомира [9] и Чжена [10].

(1)

В §2.1 доказана теорема 2.1, являющаяся некоторым усилением теоремы Ролевича. Основным достижением параграфа автор диссертации считает не эти усиления, а идею короткого доказательства.

В §2.2 исследуются некоторые вопросы поведения полугруппы с точки зрения слабой топологии. Эти вопросы впервые появились и стали обсуждаться в [11, 12, 13]. Обзор этой темы можно найти в статье ван Нервена [14]. Вопрос, аналогичный формуле (1) для слабой топологии таков: когда можно утверждать, что для каждой неубывающей положительной функции /г

Одного только отсутствия свойства (РЭУ) здесь не достаточно, как показывает пример (см. [54]; [55], пример 1.5) полугруппы сдвигов на 1,1(М+, е1сИ) П ЬР(Ш+). Эта полугруппа не РЭУ, но слабо Ь1-устойчива, т.е. Ух 6 X, х' е X' /0°° \ {х'\ сИ < оо.

Геометрически пример выглядит довольно неожиданным: некоторые орбиты «далеки» от нуля; в то же время орбита каждого вектора х проводит почти все время «сколь угодно близко» к каждой гиперплоскости (кегж').

Мы уже ввели показатель равномерного роста полугруппы а>о. Опишем теперь показатель роста Пусть А — генератор полугруппы, 0{А) с X — область определения А. Рассмотрим абстрактную задачу Коши ~ = Аг, г(0) — х е X. Отображение г(Ь) = Тгх — решение этой задачи. Если начальные данные х принадлежат -О(Л), то соответствующее отображение естественно называть классическим, или гладким, решением, а начальные данные х — гладким вектором. Числа ш0 и определяют рост произвольных (и, соответственно, гладких) решений:

Бх ех, х' ех' / л(| (х', ад |) м = оо. (2)

Ясно, что из\ < и>о. Полугруппа РЭУ тогда и только тогда, когда и>о(Т) < 0. Если ^г(Т) < 0, то говорят об экспоненциальной устойчивости (ЭУ).Для ограниченных Со-полугрупп, не являющихся ЭУ, оценка снизу (2) была известна, см. ([14], теоремы 4.6.3(1) и 4.6.4). Сформулируем этот результат.

Предложение 2: Если ограниченная С\)-полу группа 'Д : X —> X не является экспоненциально устойчивой, т.е. > 0, то выполнены следующие утверждения:

1) для каждой «хорошей» функции Н > 0 найдутся х £ X и х' £ X' такие, что /0°° Н(\(х', Тгх)\)сИ = оо;

2) существует е > 0 такое, что для всех т > 0 найдутся единичные х £ X и х' £ X' такие, что т < тев^ | \(х',Тгх}\ > е}.

Мы усиливаем этот результат в двух направлениях. Во-первых, он оказывается справедлив и для неограниченных полугрупп. Во-вторых, неравенство и>\ > 0 удалось заменить более слабым предположением в0 (Л) > 0. Здесь йо(^) — абсцисса равномерной ограниченности резольвенты А, т.е. нижняя граница таких чисел г, для которых норма ||(Л — А/)-11| равномерно ограничена в комплексной полуплоскости 11е(А) > г. Всегда шо > во > и>\\ бывают и строгие неравенства. Эти обобщения легко следуют из следующей теоремы.

Теорема 2.2. Пусть : X —* X — С0-полугруппа, во(^) > 0. Для любых двух последовательностей 0 < т\ < т,2 < ■■• и > 0, 7/с —» 0 найдутся х' £ X', х £ X и семейство множеств £4 С М+ таких, что

Ук£ N ц(ик) > тк, V* € Щ \{х',Тгх)\ >

В §2.3 мы показываем (теорема 2.3), что если нижняя граница спектра ¿'(Л) > 0 достигается, то в теореме 2.2 вектор х можно подобрать «бесконечно гладкий», т.е. из множества П„ецО(Лгг).

Теорема 2.3 кажется довольно естественной, если иметь в виду полугруппу сдвигов: ясно, что функция [0, оо) может убывать сколь угодно медленно, и бесконечная дифференцируемость, как локальное явление, здесь не помеха.

Глава 3 — притягивающие компакты, теорема Ву — Сайна и компактная суперцикличность. Результаты опубликованы в [64].

Здесь мы в основном изучаем полугруппу {Тп : X —> X | п е N} степеней линейного оператора Т : X —>■ X. Предполагается, что полУгРУппа ограничена. Оператор Т называется асимптотически конечномерным, если полугруппа его степеней асимптотически конечномерна, т.е. коразмерность подпространства исчезающих векторов Хо конечна.

Подмножество К С X назовем притягивающим для Т, если

Vz € Вх Hm р(Тпх, К) = 0. (lim = 0)

п—>оо

Известно, что для ограниченного со степенями оператора существование притягивающего компакта влечет и асимптотическую конечномерность и расщепляемость (X = Х0 @L). Аналогичные факты верны и для ограниченной Со-полугруппы. Этот результат был получен в работе Ласоты, Ли и Йорка [15] для марковских полугрупп в Li, для положительных операторов в банаховых решетках — в статье Бартожека [17]. Для операторов Фробениуса — Перрона условие, аналогичное условию (lim = 0), изучалось ещё в работе Ласоты, Йорка и Джеймса [16]. Общий случай был получен в работах Ву [18] и Сайна [19].

Оказывается, заключение теоремы Ву — Сайна остается справедливым, даже если существует лишь «иногда притягивающий» компакт К:

Vx € Вх lim inf р{Тпх, К) = 0. (lim inf = 0)

n—> оо

Статьи [18], [19] используют результаты о спектральном разложении слабо почти периодической полугруппы, восходящие к работам Джекобса [20] и де Лю — Гликсберга [21]. Мы используем более элементарный факт: непустоту существенного спектра ограниченного оператора.

В §3.1 показано, что изометрия не может «иногда притягиваться» компактом.

Теорема 3.1. Пусть сИтХ = оо. Если Т : X —> X — изометрия, то «иногда притягивающих» компактов у Т нет.

В §3.2 теорема 3.1 применяется к доказательству упомянутого усиления результатов из [18], [19]. Результатом являются две теоремы.

Теорема 3.2. Если Т удовлетворяет условию (ЦтЫ: = 0), то полугруппа {Тп)п^п асимптотически конечномерна и расщепляема, т.е. выполнено (X = Хо © Ь).

Теорема 3.3 — аналогичное утверждение для Со-полугруппы Т4.

Параграф 3.3 посвящен другому приложению теоремы 3.1. Пусть X — вещественное или комплексное бесконечномерное банахово пространство. Оператор Т называется суперциклическим, если орбита некоторого вектора х £ X, будучи умножена на основное поле, плотна в X. Сам вектор х называется суперциклическим вектором.

Мы доказываем (в том числе для вещественного X) теорему, для комплексного X полученную Ансари и Бурдоном в [22] и Миллером в [23]:

Теорема 3.4. Изометрия Т : X —> X не может быть суперциклической. Более того, если Т ограничен со степенями и суперциклический, то Тпх стремится к нулю для каждого х 6 X.

И в [22], и в [23] использовалось то, что любая изометрия ком-

плексного X имеет инвариантное замкнутое подпространство. В пятой главе мы докажем этот факт и в вещественном случае. Однако теорема 3.4 (для вещественного и комплексного случая) из теоремы 3.1 следует непосредственно. Вообще, в [23] Миллер доказал, что изометрия комплексного X не может быть даже финитно-суперциклической т.е. для любого конечного множества К С. X множество .Р ■ О(К) не является всюду плотным в X. Позже, однако, Перис в [56] показал, что для локально выпуклых пространств финитная суперцикличность равносильна суперцикличности. Более слабое свойство N-суперцикличности было введёно Бурдоном, Фельдманом и Шапиро в [57, 58]. Оператор Т Д^-суперцикличен, если существует конечномерное подпространство Ь С X такое, что

С1(¥ ■ 0(ВЬ)) = X. (*)

Последнее эквивалентно тому, что Вх содержится в замыкании орбиты О(Ь) конечномерного подпространства Ь. Поэтому естественно назвать оператор Т : X —> X компактно-суперциклическим, если существует компакт К С X такой, что

С1 (О(К)) э Вх.

(Определение содержательно в бесконечномерном пространстве.)

Заметим: аналогичное условию (*) условие «С1(Р • О {К) = X» выполнено в любом сепарабельном банаховом пространстве X даже для тождественного отображения Т = Ы : X —> X. В качестве компакта К возьмем последовательность К = где {хп} — про-

извольная плотная последовательность в Вх-

Например, для биективной изометрии Т : X —> X существование иногда притягивающего компакта равносильно компактной суперцикличности Г-1. Поэтому теорему 3.1 можно переформулировать так: В бесконечномерном X нет компактно-суперциклических изометрии.

Глава 4 — границы асимптотической конечномерности [65, 67, 68].

Как и в предыдущей главе, Т : X —> X — линейный оператор, ограниченный со степенями. Для преемственности формулировок перепишем условие притягивающего компакта (lim = 0) в следующем, очевидно эквивалентном виде

Vz е Вх lim sup р{Тпх, К) = 0. (lim sup = 0)

ro—>oo

В прошлой главе мы показали, что заключение теоремы By — Сайна об асимптотической конечномерности и расщепляемости полугруппы остается верным, даже если компакт лишь «иногда притягивает» (условие «liminf = 0»). В этой главе мы исследуем асимптотическую конечномерность (или её отсутствие) при выполнении более слабых условий

Ух € Вх Hm sup р(Тпх, К) < г/ < 1, (lim sup < 7?)

п—>оо

Ух € Вх lim inf р{Тпх, К) < Г] < 1. (lim inf < rj)

п—>оо

Постановку соответствующих задач можно выразить в терминах малой меры некомпактности притягивающих множеств. Мерой некомпактности х(^) произвольного подмножества А в нормированном пространстве называется нижняя грань таких чисел г, для которых А можно поместить в объединение конечного семейства шаров радиуса г (или — что эквивалентно — семейства шаров радиуса г с центрами в некотором компакте). Компакты — в точности множества меры некомпактности 0. С другой стороны, всякий шар радиуса R в бесконечномерном пространстве имеет меру некомпактности R. Условие, например, (lim sup < г?) формулируется так: существует притягивающее орбиты единичных векторов множество А, мера некомпактности которого равна т]. В этих терминах, в частности, сформулирован результат работы Емельянова [2].

В случае (lim sup < rj) асимптотическая конечномерность установлена Емельяновым и Вольфом в [24], см. также работу [1], где, среди прочего, условие (lim sup < rj) исследовано для произвольных абелевых полугрупп операторов. В более ранних работах вариант условия (lim sup < 77) исследовался в работе Коморника и Ласоты [25] для марковских операторов в Li, затем для банаховых решеток — в работах Ребигера, Емельянова, Вольфа и Гороховой [26, 27, 28]. В контексте марковских операторов по-видимому в самом общем на настоящий момент виде условие (lim sup < 77) исследовано в работе Емельянова и Эркурсун [29] — для сетей, названных ими сетями Лотца — Ребигера.

В настоящей главе мы задаёмся вопросом: имеется ли асимптотическая конечномерность при выполнении самого слабого ограничения (liminf < 77), т.е. когда компакт К «притягивает лишь иногда и не сильно». Этот вопрос поставлен в книге Емельянова [30], (problem 1.3.33).

В §4.1 мы, опираясь на понятие аппроксимативно собственных векторов, вводим понятие «медленно меняющихся векторов». Это — те аппроксимативно собственные векторы, которые почти не укорачиваются при итерациях Т. Более строго: оператор Т имеет медленно меняющиеся векторы, если для любого е > 0 существует единичный вектор х, такой, что ЗА, |А| = 1, \Тх — Аж| < е и \Тпх\ > 1-е Vn = 0,1,2....

Теорема 4.1 утверждает, что медленные векторы уже есть, коль скоро Хо ф X; если же codirn Xq = 00, то есть сколь угодно многомерные подпространства, сферы которых состоят лишь из медленных векторов.

Результаты §4.1 используются в §4.2 для доказательства асимптотической конечномерности при условии (liminf < 77 < 1) в случае рефлексивного X (теорема 4.2). Результат без труда можно полу-

чить и для однопараметрической полугруппы \T^ : X —* X, Ь > 0}. (Вспомним: как раз в рефлексивном случае асимптотическая конечномерность у ограниченной полугруппы влечет расщепляемость, см. теорему 1.3).

В оставшихся параграфах мы показываем, что число 1) — \ служит границей асимптотической конечномерности. Именно, в §4.3 основным результатом является теорема 4.3, в которой асимптотическая конечномерность установлена при условии «Нт пт! < т] < ^» , а в §4.4 доказаны теоремы 4.4 и 4.5, в которых показано устройство изометрий на пространствах С(М) непрерывных функций на произвольном нульмерном компакте М, удовлетворяющих условию Пт ¡п£ < ^, где в роли притягивающего множества К можно подобрать точку. Тем самым мы даем отрицательный ответ на вопрос из [30].

В частности, если с — банахово пространство сходящихся последовательностей, Ап € С, |АП| = 1, Ап —► А и {А, Ах, Аг, • • •} — множество Кронекера, то оператор умножения Т : с —» с, (Тх)п — \пхп — изометрия, удовлетворяющая условию (Итш£ <

Отметим, что операторы из с в с вида (Г/) Т1 - ^п/п 5 ^71 А^О

(Ап попарно различны), согласно наблюдению Любича [59], не обладая полной системой собственных конечномерных подпространств, являются тем не менее скалярно почти периодичными. Вообще, в [59] Любич показал, что в рефлексивном пространстве (и вообще, в слабо полном пространстве) полнота системы собственных подпространств эквивалентна скалярной почти периодичности. Возможно, результаты §4.2 справедливы для слабо полного пространства, а не только для рефлексивного.

Глава 5 — инвариантные пространства у операторов на вещественных банаховых пространствах. Результаты изложены в [69].

Инвариантное подпространство — собственное замкнутое подпространство X, переходящее в себя под действием оператора Т : X —у X. Изометрии комплексного банахова пространства имеют инвариантные подпространства — доказательство этого восходит к теореме 3 из работы Годемана [31]. Основной результат главы 5 — существование инвариантных подпространств у изометрий вещественных банаховых пространств.

Пусть Т : X —> X — ограниченный линейный оператор на комплексном банаховом пространстве. Символами <т(Т) и Д(А, Т) обозначим его спектр и резольвенту. Пусть сректр <т(Т) несвязен, -Р и а\Р — открыто-замкнутые части спектра. Охватим контуром 7 множество Р. Образ [Р] и ядро спектрального проектора Р =

Я(Х, Т)с1\ — инвариантные подпространства и <т(Г|[^]) = Р.

Пусть спектр связен. Тогда, вырезая контуром 7 подмножество Р в спектре, надо домножать резольвенту на весовую функцию д, малую в окрестности пересечения 7 П.Р: f(T) = ^ /7 Д(А, Т)д(\)(1\. Так строятся спектральные подпространства при ограничениях на рост резольвенты, (см. Данфорд [33] или Лиф [34]), которые заведомо выполнены, если степени оператора Т±п растут не слишком быстро. Например, условие неквазианалитичности < оо гарантирует отделимость спектра, как показано в работе Любича, Мацаева и Фельдмана [35].

Пусть теперь X вещественно. Спектральный проектор, соответствующий симметричной (относительно сопряжения в С) компоненте спектра комплексификации Тс : Хс —> Хс, если спектр несвязен, даёт симметричное (относительно сопряжения в Хс) инвариантное подпространство Ье- Его вещественная часть Ь с X будет Т-инвариантной. Этот метод описан подробно у Баскакова и Загорского [36]. Между тем и в случае связного спектра Тс нетрудно получить симметричное Тс-подпространство методом, обрисованным

выше: нужно построить /(Тс), охватывая часть спектра симметричным контуром с симметричной функцией д. «Вещественная часть» образа /(Тс) будет Т-инвариантным в X. Используя понятия локального спектра и локальной резольвенты, мы получаем теорему, в комплексном случае доказанную Вермером в [32].

Теорема 5.1. Пусть X — вещественное банахово пространство, Т : X —» X — обратимый линейный оператор с оценкой роста степеней ||Т™|| = 0(\п\к),к < оо. Если сШпХ > 2, то оператор

п—»±оо

Т имеет инвариантное подпространство. В частности, любая линейная изометрия Т : X —> X имеет инвариантное подпространство.

Заметим, что, в отличие от результатов Вермера и Годемана, теоремы об инвариантных пространствах компактных операторов Ароншайна—Смита и Ломоносова на вещественный случай обобщались, см. статью Абрамовича, Алипрантиса, Сироткина и Троицкого [39] и ссылки там.

Не все инвариантные подпространства получают спектральными методами. Бывают операторы вольтерровского типа, сужение которых на любое инвариантное подпространство имеет тот и се спектр, что и исходный оператор, см. работу [60] Любича и Мацаева. Вообще говоря, если у Тс есть инвариантные подпространства, то неизвестно, есть ли среди них симметричные; утверждение о существовании таковых равносильно гипотезе 3 работы [39].

Глава 6 — о геометрии конусов и сфер. [70].

В работе Крейна [40] введено понятие нормального конуса. В работе Емельянова и Вольфа [41], в которой исследовались полугруппы положительных операторов, появилось условие строгой нормальности. Там же было отмечено, что неизвестно, является ли каждый нормальный конус строго нормальным.

Основной результат данной главы — примеры нормальных, но не строго нормальных конусов и характеризация строгой нормальности телесного конуса К в терминах геометрии его гиперплоской базы.

Пусть Е — нормированное упорядоченное пространство, К = Х+ — его положительный конус. Этот конус упорядочивает пространство X так: х < у у — х € К. Конус порождает Е, если Е = К — К. Порядковый интервал (а, Ь) — это множество (а, Ъ) = {х \ а < х < Ь}.

Обозначим , В) расстояние между множествами А и В.

В нашей терминологии конус является нормальным, если функция р(х, у) = сйв£((0, х), (0, у)), заданная на множестве К хК, непрерывна в (0,0), т.е. при приближении положительного х к нулю порядковый интервал (0, х) стягивается в нуль. Заметим, что в работе [40] Крейн дополнительно требовал в определении нормальности, чтобы конус был телесный, т.е. имел непустую внутренность. Потом это требование ушло. Тем не менее, все конусы в данной главе телесные.

Строгая нормальность, определенная в [41], означает непрерывность функции р на всем К х К. Последнее означает, что для положительных х, у близких между собой порядковые интервалы (0, х) и {0, у) также близки.

Оарактеризуем строгую нормальность телесного конуса К в терминах геометрии множества В — его гиперплоской базы.

Теорема 6.1 утверждает, что если В — гиперплоское сечение, порождающее конус (база конуса) и точка х 6 В не крайняя, но лежит в замыкании множества крайних точек В, то функция р разрывна в х. Отсюда вытекает, что уже в М4 имеется нормальный, но не сильно нормальный конус. В самом деле, в М3 есть выпуклые компакты с незамкнутым множеством крайних точек. Конус в М4 с такой трехмерной базой — искомый.

В таких примерах функция р полунепрерывна снизу, т.е. предельный порядковый интервал может лишь «увеличиться». В бес-

конечномерных пространствах бывает, наоборот, «схлопывание» порядкового интервала. Опишем, как такое возможно. Нормированное пространство строго выпукло, если каждая точка S единичной сферы является крайней точкой шара Be- Пространство называется равномерно выпуклым, если из того, что хп G S,yn G S и того, что Хп+Уп —> S следует, что \хп — уп\ —> 0. Пространство называется локально равномерно выпуклым (Ловаглиа, [61]), если в предыдущем определении дополнительно «закрепить» один конец хорд: хп = х е S. Если следить не за концами, а за серединами хорд, то получится так называемое условие midpoint locally uniform rotundity (MLUR). Более точно, X обладает свойством (MLUR), если для точек хп ± vn из того, что хп —> х G 5 и \х ± ип| —> 1 следует, что vn —> 0. Геометрически это условие означает, что любая точка х сферы S равномерно далека от середин длинных хорд этой сферы.

Теорема 6.4. Пусть X строго выпукло, В — единичный шар в X. Конус К сКх X, порождаемый базой {1} х В строго нормален тогда и только тогда, когда X € МLUR.

Изучению свойства MLUR, сравнению его с другими характеристиками выпуклости сферы, вопросам двойственности и возможностям MLUR и не-MLUR перенормировок посвящено заметное количество работ. Кадец [43] показал, что сепарабельное банахово пространство изоморфно локально равномерно выпуклому, а, значит, и MLUR, пространству. С другой стороны, большинство хороших пространств допускают не-MLUR перенормировки. Укажем работу Смита [44], где можно найти три примера не-MLUR пространств.

Глава 7 — теорема Каратеодори — Рашевского — Чоу для липшицевых неголономных распределений. [71].

Пусть Н — гладкое /с-мер нос распределение линейных подпространств на К" или в касательном расслоении к гладкому много-

образию Мп. Обозначим символом [Н, Н] распределение, порождаемое коммутаторами (скобками Ли) всевозможных гладких векторных полей, лежащих в Н (такие поля называют горизонтальными, или Н-полями, а их траектории — горизонтальными кривыми). Если Н инволютивно, т.е. [Н, Н] С Н, то оно интегрируемо, т.е. касается ^-мерных интегральных многообразий (теорема Фробениуса).

Если распределение Н порождено достаточно гладкими векторными полями ... ,Хк, то распределения Щ порождаются итерированными коммутаторами (длин, не больших /) этих полей. Если максимальное подпространство Нт совпадает с К", то распределение Н называется вполне неинтегрируемым или вполне неголоном-ным. Условие вполне неинтегрируемости такого Н называется условием Хермандера для полей Х\,..., Хк.

Теорема Рашевского — Чоу [46, 47] утверждает: если Н вполне неголономно, то любые точки можно соединить Н-траекториями, т.е. кусочно гладкими кривыми, касающимися распределения Н.

В работе Каратеодори [45] содержится результат, согласно которому орбиты неинтегрируемого аналитического распределения коразмерности 1 совпадают со всем многообразием. Теорема Рашевского — Чоу является естественным геометрическим обобщением результата Каратеодори. Основной результат нашей главы — теорема Каратеодори в липшицевом случае (теорема 7.1).

Из этой теоремы следует, в частности, теорема Рашевского — Чоу для двух липшицевых векторных полей в К3. В работе Грешнова [48] такая теорема была доказана для векторных полей специального вида (зависящих от двух переменных). Наше доказательство не дает оценок на метрику Карно — Каратеодори типа полученных в [48], ибо опирается на топологические методы. Зато топологичность доказательства позволяет обобщить формулировку приведенной теоремы в двух направлениях.

Во-первых, можно ослабить условие лппшицевости Н, потребовав просто хорошие свойства решений задач Коши для векторных полей, порождающих распределение Н (теорема 7.2). Из теоремы 7.2 следует, в частности, теорема Рашевского — Чоу для векторных полей специального вида с измеримыми коэффициентами по части переменных, доказанная в работе Белых и Грешнова [49]. Во-вторых, показано, что в случае коразмерности большей 1 можно утверждать во всяком случае, что орбита неинтегрируемого ¿-распределения содержит топологический (к + 1)-мерный куб. Именно, если X есть R" или даже банахово пространство, то справедлива

Теорема 7.3. Пусть к-мерное липшицево распределение Н в пространстве X не интегрируемо в точке р. Тогда локальные Н-орбиты точки р содержат гомеоморфный образ к + 1-мерного куба.

В конце главы кратко обсуждается теорема об орбите, доказанная в работах Стефана [51] и Зюссманна [52] и приводится ее приложение для доказательства одного из вариантов С1-теоремы Рашевского — Чоу, впервые полученной в работе [53]. Некоторые аргументы (например, лемма об орбите), позволяют предположить, что для липшицевых распределений тоже выполнена теорема об орбите, аналогичная теоремам Стефана и Зюссмана. Пока что это гипотеза.

Список литературы

[1] Emel'yanov, E.U.; Wolff, М. Quasi constricted linear representations of abelian semigroups on Banach spaces. // Math. Nachr. - 2002. - V. 233/234. - P. 103-110.

[2] Емельянов Э. Ю. Условия асимптотической конечномерности Со-полугруппы // Сиб. мат. журн. - 2003. - Т. 44, №5. - С. 1015-1020.

[3] R. Datko. Extending a theorem of A.M.Liapounov to Hilbert space // J.Math.Anal.Appl. - 1970. - V.32. - P. 610 - 616.

[4] A. Pazy. On the applicability of Lyapunov's theorem in Hilbert Space // SIAM J. Math.Anal. - 1972. - V.3. - P. 291-294.

[5] Zabczyk, J. Remarks on the control of discrete-time distributed parameter systems // SIAM J. Control. - 1974. - V.12. - P. 721-735.

[6] W.Littman. A generalization of a theorem of Datko and Pazy, in / Lecture Notes in Control and Inform. Sci., v. 130, Springer-Verlag, Berlin, 1989, pp. 318-323.

[7] Ю.Л.Далецкий, М.Г.Крейн. Устойчивость дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М.:Наука, 1970 г.

[8] S. Rolewicz. On uniform iV-equistability // J. Math. Anal. Appl. - 1986.

- V.115. - P. 434-441.

[9] Buse, C.; Dragomir, S. New characterizations of asymptotic stability for evolution families on Banach spaces // Electron. J. Differential Equations. - 2004. - V.38. - 9 pp. (electronic).

[10] Q. Zheng. Exponential stability and perturbation problems for linear evolution systems in Banach spaces (Chinese, english rewiew) //J. Sichuan Univ. - 1988. - V.25,№4. - P. 401-411.

[11] Pritchard, A. J.; Zabczyk, J. Stability and stabilizability of infinite-dimensional systems // SIAM Rev. - 1981. - V.23, №. 1. - P. 25-52.

[12] Huang, Fa Lun. Characteristic conditions for exponential stability of linear dynamical systems in Hilbert spaces // Ann. Differential Equations 1. -1985. - №. 1. - P. 43-56.

[13] Weiss, G. Weak instability of a linear semigroups on a Hilbert space implies exponential stability // J.Differential Equations. - 1988. —V. 76.

- №2. - P. 269-285.

[14] Van Neerven, J. M. A. M. The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators / Birkhauser, Basel, 1996.

[15] Lasota A., Li T. Y., Yorke J. A. Asymptotic periodicity of the iterates of Markov operators // Trans. Amer. Math. Soc. - 1984. - V. 286, №2. - P. 751-764.

[16] Lasota, A.; Yorke, James A. Exact dynamical systems and the Frobenius-Perron operator // Trans. Amer. Math. Soc. - 1982. - V.273, №1. - P. 375-384.

Bartoszek, W. Asymptotic periodicity of the iterates of positive contractions on Banach lattices // Studia Math. - 1988. - V.91, №3.

- P. 179-188.

By Куок Фонг. Асимптотическая почти периодичность и компактифицирующие представления полугрупп // Укр. мат. журн. - 1986. -Т.38. - С. 688-692.

R. Sine. Constricted systems // Rocky Mountain J. Math. - 1991. - V.21.

- P. 1373-1383.

Konrad Jacobs. Fastperiodizitatseigenschaften allgemeiner Halbgruppen in Banach-Raumen // Math. Z. - 1957. - V. 67. - P. 83-92. K. de Leeuw, I. Glicksberg. The decomposition of certain group representations //J. Anal. Math. - 1965. - V.15. - P. 135-192. S. Ansari, P. Bourdon. Some properties of cyclic operators // Acta Sci. Math. (Szeged). - 1997. - V. 63 (1-2). - P. 195-207. V.G. Miller. Remarks on finitely hypercyclic and finitely supercyclic operators // Integral Equations Operator Theory. - 1997. - V. 29, №1. -P. 110—115.

E.Yu. Emel'yanow; M.P.H. Wolff. Quasi constricted linear operators on Banach spaces // Studia Math. - 2001. - V. 144, №2. - P. 169-179. Komornik, Jozef; Lasota, Andrzej. Asymptotic decomposition of Markov operators // Bull. Polish Acad. Sci. Math. - 1987. - V.35, №5-6. - P. 321-327.

Rabiger, F. Attractors and asymptotic periodicity of positive operators on Banach lattices // Forum Math. - 1995. - V. 7, №. 6. - P. 665—683. Emel'yanov, E. Yu.; Wolff, M. Mean ergodicity on Banach lattices and Banach spaces // Arch. Math. (Basel). - 1999. - V.72, №. 3. - P. 214—218. С. Г. Горохова, Э. Ю. Емельянов. Достаточное условие порядковой ограниченности аттрактора положительного эргодичного оператора, действующего в банаховой решетке // Матем. тр. - 1999, №2(2). - С. 3-11.

[29] Emel'yanov, Е.; Erkursun, N. Lotz-Rabiger's nets of Markov operators in Li-spaces // J. Math. Anal. Appl. - 2010. - V. 371. - P. 777-783.

[30] Emel'yanov E. Yu. Non-spectral asymtotic analysis of one-parameter operator semigroups. / Basel, Birkhâuser Verlag (Oper. Theory: Advances and Appl.; V. 173), 2007.

[31] R. Godement. Théorèmes taubériens et théorie spectrale // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3. - 1947. - V.64. -P. 119-138.

[32] Wermer, J. The existence of invariant subspaces // Duke Math. J. - 1952. - V.19. - P. 615-622.

[33] N. Dunford. Spectral Theory, II. Resolutions of the identity // Pacific J. Math. - 1952. - V.2. - P. 559-614.

[34] Leaf, G.К. A spectral theory for a class of linear operators // Pacific J. Math. - 1963. - V.13. - P. 141-155.

[35] Ю. И. Любич, В. И. Мацаев, Г. M. Фельдман. Об операторах с отделимым спектром // Функц. анализ и его прил. - 1973. Т.7, №2. - С. 52-61.

[36] А. Г. Баскаков, А. С. Загорский. К спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах // Мат. заметки. - 2007. - Т. 81, вып. 1. - С. 17-31.

[37] Aronszajn, N; Smith, К. Invariant subspaces of completely continuous operators // Annals of Mathematics. Second Series. - 1954. V.60, №2. -P. 345-350. (Русский перевод: Математика 2 : 1 (1958), 97-102.)

[38] В. И. Ломоносов. Об инвариантных подпространствах семейства операторов, коммутирующих с вполне непрерывным // Функц. анализ и его прил. - 1973. - Т.7, №3. - С. 55—56.

[39] Abramovich, Y. A.; Aliprantis, С. D.; Sirotkin, G.; Troitsky, V. G. Some open problems and conjectures associated with the invariant subspace problem // Positivity. - 2005. - V.9, №. 3. - P. 273-286.

[40] Krein, M. Propriétés fondamentales des ensembles coniques normaux dans l'espace de Banach // (French) С. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.) - 1940. - V. 28. - P. 13-17.

[41] Emelyanov, E. Yu.; Wolff, M. P. H. Positive operators on Banach spaces ordered by strongly normal cones // Positivity. - 2003. - V.7, №. 1-2. -P. 3-22.

[42] К. W. Anderson. Midpoint local uniform convexity, and other geometric properties of Banach spaces / Ph.D. dissertation, Univ. Illinois, Urbana, IL, 1960.

[43] Кадец, M. И. О пространствах, изоморфных локально равномерно выпуклым пространствам // Изв. вузов, математика. - 1959. - №6(13) - С. 51—57.

[44] Smith, Mark A. Some examples concerning rotundity in Banach spaces // Math. Ann. - 1978. - V. 233, №. 2. - P. 155-161.

[45] Caratheodory, C. Untersuchungen Auber die Grundlagen der Termodynamik // Math. Ann. - 1909. - V. 67. - P. 93-161.

[46] Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголо-номного пространства допустимой линией // Ученые записки Московского государственного педагогического института им. К. Либк-нехта, физ.-мат. серия. - 1938. - Т. 3, №2. - С. 83—94.

[47] Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung // Math. Ann. - 1939. V. 117. - P. 98-105.

[48] Грешнов А. В. Об одном классе липшицевых векторных полей в Е3 // Сиб. мат. журн. - 2010. - Т. 51, №3. - С. 517-527.

[49] Белых А. В., Грешнов А. В. Квазипространства, индуцированные измеримыми в Е3 векторными полями // Сиб. мат. журн. - 2012. - Т. 53, №6. - С. 1231-1244.

[50] Lathuille, A.; Pelletier, F. On Sussmann theorem for orbits of sets of vector fields on Banach manifolds // Bull. Sci. Math. - 2012. - V. 136, №. 5. - P. 579-616.

[51] Stefan, P. Accessible sets, orbits, and foliations with singularities // Proc. London Math. Soc. (3) - 1974. - V. 29. - P. 699-713.

[52] H.J. Sussmann. Orbits of families of vector fields and integrability of distributions // Trans. Amer. Math. Soc. - 1973. - V.180. - P. 171—188.

[53] Basalaev S. G., Vodopyanov S.K. Approximate differentiability of mappings of Carnot-Caratheodory spaces // Eurasian Mathematical Journal. - 2013. - V. 4, №2. - P. 10-48.

[54] G. Greiner, J. Voigt, and M. Wolff. On the spectral bound of the generator of semigroups of positive operators. //J. Operator Th. - 1981. - V. 5, №2. - P. 245-256.

[55] Van Neerven, J. M. A. M.; Straub, В.; Weis, L. On the asymptotic behaviour of a semigroup of linear operators. // Indag. Math. (N.S.)

- 1995. - V.6, №4. - P. 453-476.

[56] A. Peris. Multi-hypercyclic operators are hypercyclic. // Math. Z. - 2001.

- V.236, №4. - P. 779-786.

[57] N. Feldman. n-Supercyclic operators. // Studia Math. - 2002. - V. 151, №2. - P. 141-159.

[58] P. Bourdon, N. Feldman, J. Shapiro. Some properties of N-supercyclic operators. // Studia Math. - 2004. - V.165, No 2. - P. 135—157.

[59] Любич Ю. И. Об условиях полноты системы собственных векторов корректного оператора. // УМН. - 1963. - Т.18, №.1, С. 165-171.

[60] Любич Ю. И., Мацаев В. И. К спектральной теории линейных операторов в банаховом пространстве. // ДАН СССР. - 1960. - Т.131, №1.

- С. 21-23.

[61] A. R. Lovaglia. Locally uniformly convex Banach spaces. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1955. - V.78. - P. 225-238.

Работы автора по теме диссертации

[62] Сторожук К. В. Стабилизируемость в асимптотически конечномерных полугруппах // Сиб. мат. журн. - 2003. Т. 44, №6. - С. 1365-1376.

[63] К. V. Storozhuk. On the Rolewicz theorem for evolution operators // Proc. Amer. Math. Soc. - 2007. - V.135, №. 6. - P. 1861-1863.

[64] К. V. Storozhuk. An extension of the Vu-Sine theorem and compact-supercyclicity //J. Math. Anal. Appl. - 2007. V. 332, №2. - P. 13651370.

[65] Сторожук К. В. Медленно меняющиеся векторы и асимптотическая конечномерность полугруппы операторов // Сиб. мат. журн. - 2009.

- Т. 50, №4. - С. 928-932.

[66] Сторожук К. В. Препятствия к равномерной устойчивости Со-полугруппы // Сиб. мат. журн. - 2010. - Т. 51, №2. - С. 410-419.

[67] Сторожук К. В. Условие асимптотической конечномерности полугруппы операторов // Сиб. мат. журн. - 2011. - Т. 52, №6. - С. 13891393.

[68] Сторожук К. В. Изометрии с плотными обмотками тора в С(М) // Функц. анализ и его прил. - 2012. - Т. 46, №3. - С. 89-91.

[69] Сторожук К. В. Симметричные инвариантные подпространства у комплексификаций линейных операторов // Мат. заметки. - 2012. Т.91, №4. - С. 938-940.

[70] К. V. Storozhuk. Strongly normal cones and midpoint locally uniform rotundity // Positivity. - 2013. - V. 17, Issue 3. - P. 935-940.

[71] Сторожук К. В. Теорема Каратеодори — Рашевского — Чоу для лип-шицевых неголономных распределений // Сиб. мат. журн. - 2013. -Т. 54, №6. - С. 1380-1387.

Подписано в печать 23.10.2014 г. Печать цифровая. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2 Тираж 100 экз. Заказ № 236

Отпечатано в типографии «Срочная полиграфия» ИП Малыгин Алексей Михайлович 630090, Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 6/1, оф. 104 Тел. (383) 217-43-46, 8-913-922-19-07