Нелинейные уравнения с монотонными операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

§ I. Существование неподвижных точек монотонных операторов.

§ 2. Существование положительных собственных векторов монотонных операторов.

§ 3. Заполнение позитивным спектром положительного монотонного оператора промежутка.

§ 4. Существование непрерывных ветвей положительных собственных векторов вогнутых операторов.

§ 5. Сходимость метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонными операторами. . . III

§ 6. Задача о динамике доходов при внешних расходах / задача математической экономики /.

В работах М.А.Красносельского [ 42-50 , 20-22 ] t И.А.Бахтина [ I-I6, Г8-30, 76 ] и ряда других математиков [ 31-35, 51-52 , 54, 56-59, 61-76 ] развита глобальная теория положительных решений нелинейных уравнений с монотонными операторами в банаховых пространствах [ 39,41,53 ] с конусами. Одним из важных ее разделов, получивших наиболее плодотворное развитие, является теория нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.

Теория положительных решений с монотонными и вогнутыми операторами нашла важные приложения как в общей теории операторных уравнений, так и в различных задачах естествознания и , в частности, в теории нелинейных колебаний [ 44-45, 52 ], в теории нелинейных краевых задач [ 43 ] , в теории устойчивости f 44 ] г в задаче о формах потери устойчивости стержня переменной жесткости [20,24 ] , в задаче о критическом режиме ядерного реактора [ 6 ] , в математической экономике [ 40,55,70 ] и т.д.

Теория, нелинейных уравнений с монотонными операторами разрабатывалась в основном в банаховых пространствах с нормальными конусами. При этом, как правило, предполагалось, что оператор оставляет инвариантным некоторый конусной отрезок.

Принципиально новый шаг в развитии теории нелинейных уравнений с вогнутыми операторами сделали. И.А.Бахтин [ 26-30 ] , Т.В.Токарева [ 68 ] и Чыонг Суан Дык Ха [ 7Г-73 ] которые отказались от требования нормальности конуса [ 18-19, 36-37, 43, 5г] .

Необходимость дальнейшего развития теории положительных решений нелинейных уравнений с монотонными и вогнутыми операторами в банаховых пространствах с конусами, не обладающими свойством нормальности, в частности, обуславливается тем обстоятельством, что во многих естественных функциональных пространствах конус неотрицательных функций не обладает свойством нормальности. Так, например, в пространствах ^[o^J ~Раз fa непрерывно дифференцируемых на отрезке [о, Л ] функций, в пространстве Vj-0 функций ограниченного изменения на отрезке [О, А ] , в пространствах Соболева WpP [ 60 ], суммируемых по модулю вместе со своими обобщенными производными t -порядка (t^^) со степенью р> 4 функциями в некоторой ограниченной области Q- TL -мерного евклиоп дова пространства |\ , конус неотрицательных функций не обладает свойством нормальности.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию теории положительных решений нелинейных уравнений с монотонными и вогнутыми операторами в вещественных банаховых, пространствах с экстремальными и произвольными конусами.

Непрерывность по норме, компактность и существование инвариантного конусного отрезка для оператора, как правило, не предполагаются.

При каждом из предположений:

I/ монотонный оператор Я О -непрерывен [ 38 ] , конус к -экстремален [ 18 ] ; 2/ оператор Л равномерно ^-вогнут, при некоторых \>0 и J2-0> Q из последовательности

IN) можно извлечь О -сходящуюся подпоследовательность [ 38 ];

3/ оператор J\ U0-вогнут, конус |<! d -экстремален [ 18 ] , исследованы вопросы существования неподвижных точек, положительных собственных векторов операторов, заполнения позитивным спектром оператора промежутка, существования непрерывных ветвей положительных собственных векторов операторов; обоснована сходимость метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонными операторами. Наконец, некоторые из полученных результатов применены к исследованию разрешимости нелинейной задачи о динамике доходов при внешних расходах.

Так как для монотонных и вогнутых разрывных некомпактных операторов в банаховых пространствах с произвольными конусами недостаточно разработана теория неподвижных точек, то возникает задача об отыскании условий существования неподвижных точек для таких операторов.

Особый интерес представляет случай, когда заранее не предполагается, что оператор оставляет инвариантным некоторый конусной отрезок.

В диссертации доказана следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия:

1/ оператор А равномерно tlQ -вогнут;

2/ существуют элементы Х0) О , такие, что что некоторая подпоследовательность f^nK) последовательности i?n = (п £ IN ) имеет О -предел Эе^ •

Тогда X* > О и - .

Отметим, что теория равномерно ti0 -вогнутых операторов в банаховых пространствах с нормальными конусами была разработана И.А.Бахтиным [ 3,4,6 ] .

В.И.Бахтин показал [ 32 J , что в банаховых пространствах с конусами, не обладающими свойством нормальности, равномерно

UG -вогнутые операторы, оставляющие инвариантным конусной отрезок, могут не иметь неподвижных точек.

Приведенная теорема и другие теоремы о неподвижных точках равномерно U0 -вогнутых операторов в нашей диссертации относятся именно к этому случаю, когда конус не обладает свойством нормальности.

Так как для нелинейных монотонных не вполне непрерывных oneраторов в банаховых пространствах с конусами вопрос о существовании положительных собственных векторов практически не разрабатывался, а для вогнутых разрывных некомпактных операторов в банаховых пространствах с конусами, не обладающими ствойством нормальности, получены лишь первые результаты, то возникает задача о получении общих теорем существования положительных собственных векторов для таких операторов» В диссертации доказана Теорема 2*1» Пусть выполнены условия;

I/положительный монотонный на конусе Ц оператор J\(J\o~ о) О -непрерывен;

2/ линейный оператор Р , являющийся -UQ -производной Фре-ше оператора А в нуле по конусу Ц , обладает свойствами: а/ Лх <Р& (Х>0) з б/ оператор Р -положителен; в/ оператор Р имеет в конусе (<( собственный вектор , соответствующий собственному числу : Рэс0 = ССа ;

III ■ г Р г

3/ конус К а -экстремален.

Тогда оператор J\ тлеет в конусе 14 собственные векторы. Б банаховых пространствах с нормальными конусами позитивный спектр U0 -вогнутого вполне непрерывного и равномерно tCQ -вогнутого оператора совпадает с интервалом. В случае, когда конус \1 не обладает свойством нормальности, не решен воцрос о совпадении позитивного спектра с интервалом даже для UQ -вогнутых вполне непрерывных операторов. Вопрос о сплошности позитивного спектра нелинейного монотонного не вполне непрерывного оператора по существу не разрабатывался.

В банаховых пространствах с конусами, не обладающими свойством нормальности, получены для вогнутых разрывных некомпактных операторов лишь первые теоремы о совпадении позитивного спектра с интервалом.

В диссертации доказана следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия:

I/ воспроизводящий, конус И dL -экстремален;

2/ ограниченный оператор A UQ -вогнут;

3/ оператор А имеет в конусе W по крайней мере один собственный вектор;

4/ существуют линейный Uc -положительный вполне непрерывный оператор Q и числа £0 , R 0> О , такие , что

Qz^Ax (ЪеЮ где Ха - позитивное собственное число оператора Q »

Тогда позитивный спектр S+(А) оператора А совпадает с некоторым интервалом (о(0 f$0) С fOj оо) ,

М.А.Красносельский показал, что в банаховом пространстве с конусом множество положительных собственных векторов вогнутого вполне непрерывного оператора образует нецрерывную ветвь бесконечной длины [ 42 , 43 ] .

В банаховых пространствах с нормальными конусами аналогичная теорема о существовании Ц0 -непрерывной ветви бесконечной длины положительных собственных векторов равномерно UQ -вогнутого оператора была доказана И.А.Бахтиным [ 6 ] в предположении, что оператор А имеет в конусе К по крайней мере один собственный вектор.

Определение. Говорят, что семейство Х(Л) (As S (А)~ = (ос0) р0)) положительных собственных векторов оператора А образует О -непрерывную ветвь бесконечной длины, если функция ОС. (А) О -непрерывна в интервале (ocQj и выполняются равенства о- йт &(A)=>Oj о-km ас(/\) = оо.

В диссертации доказана

Теорема 4.1. Пусть 1/ оператор J\ вогнут;

2/ при каждом Дб S*(J\) оператор J\ имеет в конусе к единственный собственный вектор 5С(/1) : А Л ()[) = А * 3/ оператор А(Ао^о) О -непрерывен на конусе Ц ; 4/ линейные операторы Р и Q , являющиеся соответственно iiQ -производной Фреше в нуле по конусу 14 и асимптотической UQ -производной по конусу 14 оператора А , обладают свойствами: а/ (&>o)j б/ операторы Р и б? U0 -положительны и имеют в конусе Ц собственные векторы Хр и Ог^ г соответствующие собственным числам И \й :

5/ конус к Ь. -экстремален.

Тогда семейство (Аб S £Д) = СЛ^ ^ Ар)) положительных собственных векторов оператора образует О -непрерывную ветвь бесконечной душны.

Б работах М.А.Красносельского [ 22 ] и И.А.Бахтина [2, б] обоснована сходимость метода последовательных приближений для нелинейных уравнений с вогнутыми операторами в пространствах с нормальными конусами.

В банаховых пространствах с конусами, не обладающими свойствами нормальности, этот метод был обоснован при сильных ограни*^ чениях на оператор И.А.Бахтшшм и Чыонг Суан Дык Ха [ 26 ] .

В диссертации доказана

Теорема 5.3. Пусть выполнена условия:

1/ конус Й С Е воспроизводящий;

2/ о -вогнутый оператор А компактен на конусе (4 ;

3/ существуют линейный -положительный вполне непрерывный оператор Q и числа R0> О , такие, что и

Ял Ое Ц) oceU, lltfll^Ro);

4/ позитивный спектр S+(/l) оператора J\ не пуст. Тогда V<£0>0 и \/Д 6 S+M) последовательность яп= X (пе IN) по норме сходится к решению X (А) уравнения х = 4-А& • Л

Некоторые результаты диссертации применены к исследованию разрешимости нелинейной задачи о динамике доходов при внешних расходах. Эта задача сводится к задаче разрешимости уравнения

Я ос. +а = / I / в банаховом пространстве Е с конусом Ц , где А — положительный на конусе Ц оператор, - скалярный параметр, ае Е\0 - фиксированный элемент. В диссертации доказана Теорема 6.2. Пусть выполнены условия: I/ конус U телесен и к -экстремален; 2/ оператор J\ положителен, монотонен и О -непрерывен на конусе Ц

3/ линейный оператор Q является асимптотической производной оператора А по конусу (<! ; 4/ параметр $>А (&) » гДе

X (Q)= Lnfl\\\>0; Qz^Ax,

Тогда уравнение / I / имеет в (4 \ О решение при любом а >о.

Задача о динамике доходов при внешних расходах при других ограничениях исследовалась в работах [40, 55 , 7Q ].

Перейдем к описашю содержания диссертации по параграфам.

В § I приводятся теоремы существования неподвижных точек монотонных операторов,, действующих в вещественном банаховом пространстве с конусом.

Существование неподвижных точек монотонных операторов исследовалось в работах Г.Биркгофа [ 43 ] , А.Тарского, М.А.Красно-сельского [ 43 ] г И.А.Бахтина [2,6, 9-Il] ,. В.Я.Стеценко [ 61 г 62] , В.И.Опойцева [ 56-59 ] и ряда других математиков [ 33-35 ] .

В отличие от многих авторов мы в большинстве случаев не предполагаем существования инвариантного конусного отрезка и не требуем нормальности конуса и компактности и непрерывности по норме оператора.

Наиболее важными здесь, на наш взгляд, являются теоремы 1.8 и I.I4.

Теоремы Г.1, 1.2 и 1.8 получены в соавторстве с Ж.А.Бахтиным.

В § 2 приводятся теоремы существования положительных собственных векторов положительных монотонных операторов, действующих в вещественном банаховом пространстве с конусом.

Новизна результатов этого параграфа заключается в томг что вопрос о существовании положительных собственных векторов произвольных монотонных не вполне непрерывных операторов до сих пор серьезно не исследовался и что наши результаты, полученные для равномерно -вогнутых операторов в банаховых пространствах с конусами, не обладающими свойствами нормальности, принципиально отличаются от известных результатов такого сорта в вещественном банаховом пространстве с нормальным конусом.

В § 3 в вещественном банаховом пространстве с экстремальными и произвольными конусами приводятся теоремы о заполнении позитивным спектром положительного монотонного оператора фиксированного интервала.

Новизна результатов этого параграфа заключается в том, что такого сорта теоремы не были известны для произвольных нелинейных монотонных операторов и для равномерно ^о -вогнутых операторов, действующих в вещественном банаховом пространстве с конусом, не обладающим свойством нормальности.

Отметим здесь в числе важных теоремы З.Х и 3.2.

Вопрос о заполнении позитивным спектром U0 -вогнутого и равномерно Ua -вогнутого оператора промежутка при других ограничениях исследовался в работах М.А.Красносельского t 42 , 43 ], И.А.Бахтина f 2,6,7 J , Чыонг Суан Дык Ха [ 29 ] и ряда других математиков С 61, 63 ] .

Б § 4 приводятся теоремы существования непрерывных, О -непрерывных и U0 -непрерывных ветвей положительных собственных векторов вогнутых операторов. Понятие непрерывной ветви собственных векторов оператора было введено М.А.Красносельским, а О -непрерывной и U0 -непрерывной ветвей - И.А.Бахтиным.

Принципиально новой здесь является теорема 4.1.

Важная теорема 4.3 получена в соавторстве с И.А.Бахтиным.

В § 5 приводится обоснование сходимости метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонными операторами, действующими в вещественном банаховом пространстве с конусом.

При других ограничениях обоснование сходимости метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с вогнутыми операторами было дано И.А.Бахтиным [ 2, 6 J и М.А.Красносельским [ 22 ] и затем дополнялось рядом других авторов [ 26,

68 J .

В заключительном 6hvi параграфе приведено приложение некоторых из полученных результатов к одной задаче математической экономики - к исследованию разрешимости нелинейной задачи о динамике доходов при внешних расходах.

При других ограничениях эта задача исследовалась в работах Х.Никайдо [55] , Д.К.Каримова, Б.Я.Стеценко [40 ] и В.А.Филина [70].

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [?5, 76 ] .

Результаты диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе, на научном семинаре по функциональному анализу в Воронежском государственном педагогическом институте и на отчетных научных конференциях профессорско-преподавательского состава и аспирантов ВГПЙ.

Автор выражает благодарность проф. И.А.Бахтину за руководство и помощь при подготовке диссертации.

1. Бахтин И.А. Об одном классе уравнении с положительными операторами . -Докл. АН СССР, 1957,т.117,Ж,с. 3-16.

2. Бахтин И.А. О положительных решениях нелинейных уравнений с вогнутыми операторами. -Дис. . канд. физ. -мат. наук. -Воронеж, 1958.-134 с.

3. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с вогнутыми и равномерно вогнутыми операторами.-Докл.АН СССР,1959,т.126,Ж,с.9-12.

4. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами. -Сиб.мат .ж., 1963, т. 4, Ш, с.268-286.

5. Бахтин И.А. О существовании собственных векторов у линейных положительных не вполне непрерывных операторов.-Матем.сб*, 1964,т.64/106/,Ж,с.I02-II4.

6. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами.-Дис. .докт.физ.-мат.наук.-Воронеж,1966.-408 с.

7. Бахтин И.А. Об условиях сплошности позитивного спектра вогнутого оператора.-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1979,вып.13,с. 60-68.

8. Бахтин И.А. Теорема существования положительных собственных векторов для линейных положительных не вполне непрерывных операторов .-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1981,с.10-19.

9. Бахтин И.А. Теоремы о неподвижных точках монотонных операторов .-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1982,вып.18,с.13-25.

10. Бахтин И.А. Об одном классе нелинейных уравнений с вогнутыми вполне непрерывными операторами.-В кн.:Теория операторов в функц.пространствах,Воронеж,1983,с.3-14.

11. Бахтин И.А. О существовании положительных собственных векторов линейных положительных монотонно компактных операторов.-Б сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1984,вып.22,с.3-16.

12. Бахтин И.А. Теоремы о неподвижных точках вогнутых операторов.-Воронеж,1984.-17 с.-Рукопись представлена Воронежским пед. ин-том.Деп. в ВИНИТИ 27 июня 1984,J& 4394-84 Деп.

13. Бахтин И.А. Неподвижные точки вогнутых операторов в банаховых пространствах с экстремальными конусами.-Воронеж,1984,14 с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп. в ВИНИТИ 27 июня 1984,$ 4391-84 Деп.

14. Бахтин И.А. Положительные решения нелинейных уравнений в окрестности старшей точки бифуркации:учебное пособие для спецкурса. -Воронеж, пединститут ,Г983.-76 с.

15. Бахтин И.А. О нормальности (г -экстремальных конусов.-В сб.: Функц.анализ,Ульяновск,1982,вып. 19,с.3-7.

16. Бахтин И.А. Конусы в пространствах Банаха:учебное пособие, ч.1.-Воронеж:пединститут,1975.-184 с.

17. Бахтин И.А., Бахтина А.А. Конусы в пространствах Банаха:учебное пособие для спецкурса,ч.2.-Воронеж:пединститут,1976.-135 с.

18. Бахтин Й.А., Красносельский М.А. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жесткости.-Докл.АН СССР, 1955, т. 105, М, с. 621-624.

19. Бахтин И.А., Красносельский М.А. К теории уравнений с вогнутыми операторами.-Докл.АН СССР,1958,т.123,Ж,с.17-20.

20. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами.-Сиб.матем. ж.,1961,т.2, ЖЗ,с.318-330.

21. Бахтин И.А., Лубашевский В.К, Об одном свойстве положительных собственных векторов вогнутых операторов.-Б кн.:Тр.центр.зо-нальн.объединения матем.кафедр:Функц.анализ и теория функций, Калинин,1971,вып.2,с.38-41.

22. Бахтин И.А., Лубашевский В.К. 0 продольном изгибе стержня переменной жесткости, шарнирно закрепленного на концах.-В кн.: Прикладной анализ.Воронеж,университет,1979,с.15-23.

23. Бахтин И.А., Токарева Т.В. 0 существовании положительных собственных векторов у одного класса вогнутых разрывных некомпактных операторов.-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1980,вып.14, с.36-46.

24. Бахтин И.А., Чыонг Суан Дык 2а. 0 сходимости метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1980,вып.14,с. 47-55.

25. Бахтин И.А., Чыонг Суан Дык Ха. 0 существовании положительных собственных векторов у одного класса вогнутых операторов.-В сб.:§ункц,анализ,Ульяновск,1981,с.33-43.

26. Бахтин И.А., Чыонг Суан Дык Ха. Буществование положительных собственных векторов вогнутых операторов.-Воронеж,1982.-24с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп. в ВИНИТИ 9 июля I982,J£ 3681-82 Деп.

27. Бахтин Й.А., Чыонг Суан Дык Ха. Структура позитивного спектра вогнутого оператора.-Воронеж,1982,-34 с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп. в ВИНИТИ 9 июля 1982,JS 3684-82 Деп.

28. Бахтин И.А., Чыонг Суан Дык Ха. Об одном классе нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.-Воронеж, 1982.-35 с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп. в ВИНИТИ 5 августа 1982,1* 4318-82 Деп.

29. Бахтина А.А. Положительные решения нелинейных уравнений с почтиU0 -вогнутыми операторами.-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск, 1983,вып.21,с.23-37.

30. Бахтин В.И. Решение двух проблем функционального анализа в полуупорядоченных пространствах.-В сб.:Фушщ.анализ,Ульяновск, 1982,вып.18,с.26-35.

31. Бахтин В.И. Теоремы существования неподвижных точек для монотонных операторов.-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1982,вып.19, с.8-19.

32. Бахтин В.И. О существовании неподвижных точек вогнутых операторов .-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1983,вып.20,с.20-31.

33. Бахтин В.И. О существовании неподвижных точек монотонных операторов .-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1984,вып.22,с.17-28.

34. Вулих Б.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах: учебное пособие.-Калинин:университет,1977.-84 с.

35. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах:учебное пособие.-Калинин:университет, 1978.-84 с.

36. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.-М.:Физматгиз,1961.-408 с.

37. Канторович Л .В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.-М.: Наука, 1977.-742 с.

38. Каримов Д.Х., Стеценко В.Я. Теоретические аспекты динамики отраслевого дохода.-В кн.:Вопросы совершенствования планирования и управления,Душанбе,1974,вып.2,с.32-37.

39. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.:Наука,1968.-496 с.

40. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.-М.:Гостехиздат,1956,-392 с.

41. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений .-М.:Физматгиз,1962.-394 с.

42. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений.-М.:Наука,1966.-332 с.

43. Красносельский М.А., Бурд Б.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания.-М.:Наука,1970.-352 с.

44. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко Б.Я. Приблшкенное решение операторных уравнений. Наука, 1969. -456 с.

45. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа.-М.:Наука,1975.-512 с.

46. Красносельский М.А., Ладыженский Л.А. Структура спектра положительных неоднородных операторов.-Тр.Моск.об-ва,1954,т.3,с. 321-346.

47. Красносельский М.А., Ладыженский Л.А. Об объеме понятия -вогнутого оператора. -Изв.вузов, сер .матем., 1959,$5, с,112-121.

48. Мухтаров С.Н. Об уравнениях с неразложимыми положительными операторами.-Дне. канд.физ.ниат.наук.-Душанбе,1965,-148 с»

49. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика.-М.:Мир, 1972.-520 с.

50. Опойцев В.И. Гетерогенные и комбинированно-вогнутые операторы .-Сиб .матем.ж., 1975, т. 16, М, с.781-792.

51. Опойцев В.й. Обращение принципа сжимающих отображении.-Успехи матем.наук,1976,т.31,вып.4/190/,с.169-198.

52. Опойцев В.И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов .-Тр.Моек.матем.об-ва,1978, т.36,с.237-273.

53. Опойцев В.И., Хурадзе Т.А. Позитивный спектр псевдовогнутого оператора.-Сиб.матем.ж.,1978,т.19,М,с.849-856.

54. Соболев C.JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике.-Л.:ЛГУ,1950.-256 с.

55. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусами.-Дис. .докт.физ.-адат.наук.-Воронеж, 1968.-312 с.

56. Стеценко В.Я. Признаки существования положительного решения у линейного операторного уравнения.-Докл.АН" Тадж.ССР,1979,т. 22,}£2, с. 84-87.

57. Токарева Т.В. Структура позитивного спектра одного класса вогнутых разрывных некомпактных операторов.-В сб.:Функц.анализ , Ульяновск , 1980 , вып . 14 , с . 139-149 .

58. Токарева Т.В. Свойства положительных собственных векторов одного класса вогнутых разрывных некомпактных операторов.-Всб.:Функц.анализ,Ульяновск,1980,вып.15,с.145-156.

59. Токарева Т.В. Об одном классе нелинейных уравнений с вогнутыми операторами, зависящими от параметра.-В сб.:Функц.анализ, Ульяновск,1982,вып.18,с.I02-II4.

60. Токарева Т.В. Положительные решения одного класса нелинейных уравнений с вогнутыми операторами, зависящими от параметра.-Веб.:Функц.анализ,Ульяновск,1982,вып.19,с.I07-II9.

61. Токарева Т.В. Существование положительного собственного вектора линейного положительного оператора.-Воронеж,1984.-22 с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп.в ВИНИТИ 27 июня 1984,^ 4395-84 Деп.

62. Токарева Т.Б. О положительных собственных векторах и неподвижных точках вогнутых операторов.-Воронеж,1984.-15 с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп.в ВИНИТИ 27 июня 1984,В 4396-84 Деп.

63. Урысон П.С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений.-Труды по топологии и другим областям математикиД.-М.-Л.:Гос-техиздат,1951,с.45-77.

64. Филин В.А. Положительные решения операторных уравнений, содержащих параметр.-Дис. .канд.физ *-мат.наук.-Душанбе,1977. -80 с.

65. Чыонг Суан Дык Ха. Поведение положительных собственных векторов вогнутого не вполне непрерывного оператора вблизи границы позитивного спектра.-В сб.:Функц.анализ,Ульяновск,1981,вып.16, с.ПЗ-П9.

66. Чыонг Суан Дык Ха. Непрерывные ветви положительных собственных векторов вогнутых операторов.-Воронеж,1982.-33 с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп.в ВИНИТИ 9 июля 1982,№ 3682-82 Деп.

67. Чыонг Суан Дык Ха. Положительные решения одного класса нелинейных интегральных зфавнений с вогнутыми операторами в пространстве Соболева.-Воронеж,1982.-19 с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп.в ВИНИТИ 8 сентября 1982,В 480882 Деп.

68. Яновский Л.П. О позитивном спектре обобщенно вогнутого опера-тора.-В кн.:Функц.анализ,Ульяновск,1982,вып.19,с.I9I-I96.

69. Бахтин И.А., Ле Тхи Тхиен Хыонг. Неподвижные точки равномерно вогнутых операторов.-Воронеж,1983.-27 с.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп.в ВИНИТИ 27 июня 1984,№4386-84 Деп.

70. Бахтин И.А., Ле Тхи Тхиен Хыонг. Положительные решения нелинейных уравнений с монотонными операторами.-Воронеж,1983.21 о.-Рукопись представлена Воронежским пед.ин-том.Деп.в ВИНИТИ 27 июня 1984,$ 4390-84 Деп.