Ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005049138

КУСРАЕВА ЗАЛИНА АНАТОЛЬЕВНА

Ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 ] ЯНВ /013

Новосибирск — 2013

005049138

Работа выполнена в отделе функционального анализа Федерального государственного бюджетного учреждения науки Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства Республики Северная Осетия-Алания.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Фетисов Валерий Георгиевич

Официальные оппоненты:

Гутман Александр Ефимович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, лаборатория функционального анализа, заведующий лабораторией

Рубан Анатолий Альбертович, кандидат физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики», факультет информатики и вычислительной техники, кафедра прикладной математики и кибернетики, доцент

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Защита состоится « Щ » С 2013 года в ^ ^ . О О часов на заседании

диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного учреждения науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Полиномы от бесконечного числа неременных или, точнее, полиномы, определенные в бесконечномерных пространствах, появились в конце XIX века и с самого начала были связаны с исследованиями по бесконечномерной голоморфности. Первые шаги в этом направлении предприняли В. Вольтерра (1887) и X. фон Кох (1899). Важные этапы становления связаны с работами Д. Гильберта, М. Фреше, Р. Гато. Дальнейшее развитие происходило с формированием функционального анализа, в частности, с построенном теории тензорных произведений и топологических векторных пространств [см. S. Dineen. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces—Berlin: Springer, 1999,—xv+543 p.].

Несмотря на, это изучение порядковых свойств полиномов в векторных решетках начато недавно. Первая работа, в которой рассматривались полиномы в банаховой решетке, появилась в 2005 году [В. С. Grecu, R. A. Ryan. Polynomials on Banach spaces with unconditional bases // Proc. Amer. Math. Soc.-2005.-V. 133, № 4.-P. 1083-1091|. В ней было показано, что однородные полиномы на бесконечномерном банаховом пространстве с безусловным базисом допускают разложение в безусловно сходящийся ряд мономов лишь в том случае, если они регулярны, т. е. представимы-ми в виде разности двух положительных однородных полиномов, причем положительность понимается относительно естественной структуры банаховой решетки в банаховом пространстве с базисом. С этого момента проявляется возрастающий интерес к порядковым свойствам полипомов.

Класс ортогонально аддитивных полиномов в банаховой функциональной решетке ввел К. Сандаресан в [К. Sundaresaii. Geometry of spaces of homogeneous polynomials on Banach lattices // Applied geometry and discrete mathematics.—DIMACS Ser. Discrete Math. Compute. Sei. Math. Soc—Providence, RI.—1991,—P. 571-586]. В этой работе было установлено, что если р > п, то любой n-однородный ортогонально аддитивный полином Р : Lv —> R допускает представление

где g G Позже аналогичные результаты получили Д. Перез-Гарсиа

и И. Виллануева [D. Perez-Garcia D., I. Villanueva. Orthogonally additive polynomials on spaces of continuous functions // J. Math. Anal. Appl — 2005—V. 306, № 1,—P. 97-105] для полиномов, определенных на пространстве непрерывных функций С(К), со значениями в банаховом пространстве. Наконец, И. Беньямини, С. Лассаль и Дж. Ллавона в [Y. Benyamini, S. Lassalle, J. G. Llavona. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.-2006.-V. 38, № 3.-P. 459-469] установили, что непрерывный ортогонально аддитивный п-однородный полином, действующий из функциональной банаховой решетки Е в произвольное банахово пространство, представим в виде: P(f) = S(fn) (/ 6 Е) с линейным непрерывным оператором S.

В 1930-х годах А. Майкл, вслед за М. Фреше и Р. Гато, начал изучение взаимосвязи однородных полиномов и полилинейных форм. С тех пор полилинейные операторы играют важную роль в теории полиномов. В то же время, изучение порядковых свойств полилинейных операторов в векторных решетках, относится к более позднему времени: началом можно считать работу X. Накапо о билинейных операторах, вышедшую в 1953 году. Спустя двадцать лет билинейные операторы Накапо в векторных и банаховых решетках были повторно введены и исследованы в 1970-80-х годах в работах Р. Кристеску, Д. Фремлина, Г. Витстока, А. Г. Кусрае-ва, X. Шефера. С начала 2000-х годов возрастает интерес к порядковым свойствам полилинейных операторов. В этот период появились новые мотивации-, новые объекты и методы исследования, новые взаимосвязи с другими разделами теории векторных решеток и положительных операторов.

Итак, изучение полиномов в бесконечномерных пространствах в значительной мере стимулировано исследованиями в области бесконечномерной голоморфности. В литературе достаточно хорошо представлены алгебраические свойства полиномов, а также взаимосвязи полиномов с геометрическими и линейно-топологическими свойствами банаховых пространств. Чем более детально изучены полиномы, тем больше возможностей для продвижения в структурной теории голоморфных функций в бесконечномерных пространствах. С этой точки зрения порядковые свойства полиномов — еще одна методика исследования бесконечномерной

голоморфности.

В то же время, полиномы в векторных решетках обладают интересными порядковыми свойствами, а классы полиномов в банаховых решетках, определяемые в смешанных терминах нормы и порядка, имеют богатую структуру и заслуживают самостоятельного изучения. Таким образом, тема диссертационной работы является актуальной.

Целью диссертационной работы является решение следующей актуальной задачи современного функционального анализа: найти общую форму теорем о представлении ортогонально аддитивных полиномов и применить их к детальному исследованию структуры, орт,тонально аддитивных полипомов.

Методы исследования. В работе широко использованы методы теории векторных решеток и положительных операторов. Используемый инструментарий включает: однородное функциональное исчисление в равномерно полных векторных решетках, линеаризацию орторегулярных полилинейных операторов посредством степени векторной решетки, /алгебры ортоморфизмов архимедовой векторной решетки. Кроме того, в разных частях работы привлекаются различные методы алгебраической теории полиномов, теории борнологических пространств, теории меры и интеграла, общей топологии.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. В работе получены следующие новые результаты:

(1) линеаризация и симметричность полилинейного ортосимметрич-ного оператора из произведения векторных решеток в борнологическое пространство;

(2) преобразование сумм порядка в и геометрических средних посредством ^-однородного полинома;

(3) представление ортогонально аддитивных полиномов в виде композиции линейного оператора и специального полинома, заменяющего отсутствующую в векторной решетке степенную функцию;

(4) решение полиномиальной проблемы Викстеда и существование ортогонально аддитивных полиномов, не допускающих линеаризацию;

(5) однородное функциональное исчисление ортогонально аддитивных полиномов;

(6) одновременное продолжение ортогонально аддитивных полиномов в векторных решетках и характсризация крайних продолжений положительного ортогонально аддитивного полипома;

(7) теорема Радона — Никодима и теорема Хана о разложении для ортогонально аддитивных однородных полиномов;

(8) мультипликативное представление ортогонально аддитивных полиномов, сохраняющих дизъюнктность;

(9) критерий интегральной представимости ортогонально аддитивных полипомов; варианты теорем Вулиха — Канторовича и Дапфорда — Пет-тиса для ортогонально аддитивных однородных полиномов.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут быть использованы специалистами в области теории положительных операторов, а также бесконечномерной голоморфности. Полученные результаты дают новые возможности для получения более детальной информации о строении ортогонально аддитивных полиномов, с одной стороны, и дальнейших приложений в теории банаховых решеток и положительных операторов, — с другой.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались но мере их получения па семинаре по математическому анализу в Южном математическом институте ВНЦ РАН; на международных конференциях «РозШуШу VI» (20-24 июня 2009, Мадрид, Испания), «Математический анализ и математическое моделирование» (12-19 июля 2010, Владикавказ, Россия), «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (4-8 июня 2011, Волгодонск, Россия), «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки» (май 2010-2012, Владикавказ, Россия); на I и II региональных междисциилинарпых конференциях молодых ученых «Наука — Обществу» (18-20 марта 2010; 29 ноября 2012, Владикавказ, Россия); на «Владикавказской молодежной математической школе» (2007-2012).

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-7] и [8].

Вклад соавторов. В единственной совместной работе [8] автору принадлежат теоремы 1 и 2, выносимые на защиту.

2. Краткое содержание работы

В диссертационной работе используются термины и результаты из теории векторных решеток и положительных операторов. Все рассматриваемые векторные решетки считаются архимедовыми. Всюду приняты обозначения: N — множество натуральных чисел, К — поле действительных чисел.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, дается обзор литературы по изучаемому вопросу, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе собран вспомогательный материал: факты, Определения, обозначения. Первый параграф содержит простейшие свойства полилинейных операторов, используемые в дальнейшем. Здесь наиболее важный факт гласит, что пространство регулярных полилинейных операторов является /•¡'-пространством и совпадает с пространством полилинейных операторов порядково ограниченной вариации, при условии, что пространство образов является К-пространством (теорема 1.1.1).

Центральное понятие во втором параграфе — ортосимметричпость. Ортосимметричный полилинейный оператор, действующий в векторных решетках, симметричен (теорема 1.2.2). Полилинейный оператор <р : Е3 —» F называют решеточным полиморфизмом, если |</?(£ь • • •, = у(|х11,..., |х5|) для всех хх,... ,х3 £ Е. Дается описание решеточных полиморфизмов (теорема 1.2.5). Отсюда выводится, что решеточный полиморфизм ортосимметричсп тогда и только тогда, когда он симметричен (теорема 1.2.0).

Третий параграф посвящен построению однородного функционального исчисления в равномерно полных векторных решетках и в равномерно полных /-алгебрах. Функциональное исчисление позволяет, в частности, корректно определить в произвольной равномерно полной векторной ре-

тетке Е суммы 65 порядка 5 и геометрические средние (5:

( Ы

(1)

/ лг

<8(х 1,...,а,'лт) Ц|а.ч|

\г=1

В четвертом параграфе вводим понятие степени векторной решетки.

Определение 1. Пусть 2 ^ $ 6 N и Е — архимедова векторная решетка. Пара (Е©„) называется э-ой степенью Е, если выполнены следующие условия:

(1) Еза — векторная решетка;

(2) ©з : Е х • • • х Е —* Е"в — ортосимметричный решеточный з-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим э-морфизмомом степени;

(3) для любой векторной решетки Е и любого ортосимметричпого решеточного .5-морфизма р : Е х ■ • ■ х Е —> Е существует единственный решеточный гомоморфизм 5 : Е110 —> F такой, что 5 о ©5 = р.

Для удобства полагают также Е1е = Е и ©1 = 1е- При 2 ^ « € N для любой векторной решетки Е существует единственная с точностью до решеточного изомофизма я-ая степень (Еяе,<Э3). Как обычно для х\,...,х3 е Е вместо 0,(11,...,^) пишут ц ©5 • • • ©8 х,.

Два отображения : Е —> Е8°, определяемые формулами

(•)50 : х н-» х"в := х (Э3 ■ ■ • 08 х, I : х (-» х 05 \х\ 08 • • ■ О, \х\,

играют исключительно важную роль в дальнейшем. Первое из них — специальный ортогонально аддитивный полином, порождаемый каноническим в-морфизмом ©з (см. определение 1) и называемый каноническим полиномом. В дальнейшем он играет роль отсутствующей в векторной решетке степенной функции. Второе является нечетной функцией и осуществляет порядковый (нелинейный) изоморфизм из Е на Ев0

Основной результат пятого параграфа гласит, что ограниченный ортосимметричный я-линейный оператор <р из С((^У в банахово пространство

X допускает представление в виде

ip{xi,... ,ха) = S{xi ■ ... ■ xs) (xi,... ,xs e C{Q)),

где S : C(Q) -»1- линейный ограниченный оператор.

Во второй главе представлена общая теория полиномов в векторных решетках. В первом параграфе приводятся необходимые сведения из алгебраической теории полиномов.

Определение 2. Пусть X и Y — векторные пространства и s — целое число ^ 1 . Отображение Р : X —* Y называется однородным полиномом степени s (или s-однородным полиномом), если существует s-линейный оператор : Xя —> Y такой, что

Р(х) =tp(x,...,x) (хеХ).

Для любого полипома Р : X —> Y существует и притом единственный симметричный .s-линейный оператор tp : Xs —> Y такой, что выполняется указанное равенство. Этот оператор <р, называют порождающим для полинома Р и обозначают через Р. Введем основной объект исследования.

Определение 3. Пусть Е — векторная решетка. Полином Р : Е —> Y называется ортогонально аддитивным или ортпоаддитпивным, если для любых дизъюнктных х,у е Е выполняется Р(х + у) — Р{х) + Р(у). Напомним, что дизъюнктностъ элементов ж и у означает А |г/| = 0.

Во втором параграфе вводятся борнологические пространства и рассматриваются простейшие свойства ограниченных полипомов. Анализ различных результатов о представлении ортогонально аддитивных полиномов показывает, что они существенно зависят от порядковой структуры в области определения, в то-время как в области значений существенна лишь борнология, а не порядок или топология. Привлечение борнологи-ческих пространств в образах и степени векторной решетки в прообразах позволяет унифицировать различные подходы к задаче о линеаризации ортогонально аддитивного полинома и получить наиболее общие результаты такого типа. Отметим, что векторная решетка рассматривается с борнологией иорядково ограниченных множеств.

Здесь же приводится результат о линеаризации ортосимметричного оператора. Пусть Lb(E,Y) и Lb(sE',Y) обозначают пространства ограни-

ченных линейных и s-линейных операторов соответственно. Следующий результат был известен partee при условии, что Y — векторная решетка.

Теорема 1 (2.2.1). Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, Y — выпуклое борпологическое или локально выпуклое пространство и <р : Es —> Y — ограниченный ортоснмметричный s-линейный оператор. Отображение : Es° —> Y, где

{Sv о г1)(х) = <р(х, \х\,|х|) (а: € Е),

есть единственный ограниченный линейный оператор, для которого у = S¡p о Qs. При этом соответствие <р у-* Sv является изоморфизмом векторных пространств Lb(sE; Y) и Ьь(Е; Y).

В третьем параграфе вначале устанавливается предварительный результат о представлении однородных ортогонально аддитивных полиномов, определенных на пространстве непрерывных функций (теорема 2.3.1). Затем из него выводится важный факт о том, что ограниченный s-однородный полином Р из векторной решетки в выпуклое борпологическое пространство ортогонально аддитивен в том и только в том случае, если порождающее его s-линейное отображение Р : Е" —* Y ортосим-метрично (лемма 2.3.3). Далее доказывается следующий глубокий факт, известный ранее только в случае, когда Y = F — векторная решетка.

Теорема 2 (2.3.2). Допустим, что Е — векторная решетка и Y — выпуклое борнологическое пространство или локально выпуклое пространство. Тогда любое ограниченное ортосимметричное полилинейное отображение из Es в Y симметрично.

Четвертый параграф второй главы содержит основные результаты о представлении ортогонально аддитивных полиномов. Обозначим через V^{SE, Y) и Lb(Es°, Y) пространства ограниченных s-однородных ортогонально аддитивных полиномов из Е в Y и линейных ограниченных операторов из Es0 в У соответственно.

Теорема 3 (2.4.1, 2.4.3). Пусть Е — векторная решетка, a Y — выпуклое борнологическое пространство, причем либо Е равномерно полно, либо Y — полно. Тогда для любого ортогонально аддитивного ограниченного s-однородного полинома Р : Е —> Y существует единственный

ограниченный линейный оператор 5 : Е50 У такой, что

Р(а;) = 5(х50) (хеЕ). (2)

Более того, соответствие Р <—> 5 осуществляет изоморфизм векторных пространств РЬ0(3Е, У) и Ьь(Ея°,У).

Теорема 4 (2.4.4, 2.4.5). Пусть Е — векторная решетка, У — выпуклое борпологичсскос пространство, причем либо Е равномерно полно, либо У — полно. Тогда для любого ограниченного ортогонально аддитивного полинома Р : Е —> У степени в ^ 1 существует единственный набор ограниченных линейных операторов : Ек° —* У (к := 1,..., э) и константа 5о € У такие, что

3

Р(х) = Бо + Х)^*0) (хеЕ). к=1

В заключении параграфа приведено следствие из теоремы 2.4.1, раскрывающее связь ¿-однородного полинома с суммами порядка 5 и средним геометрическим: если Е — равномерно полная векторная решетка, У — выпуклое борнологическое пространство и Р ■. Е —> У — ортогонально аддитивный ограниченный ¿'-однородный полином, то имеют место следующие равенства (теорема 2.4.6):

Р(ея{х 1,...,хм)) = Р(х0 + ••• + Р{хм) (хи...,хК е Е+)\

Р(@{хи...,х3)) = Р(хь...,х5) (хи...,х3 е Е+),

где 6, иб определены в (1), а Р см. после определения 2.

В пятом параграфе приведена специализация общих теорем о представлении для векторных решеток и рассмотрен полиномиальный вариант проблемы Э. Викстеда.

Определение 4. Говорят, что однородный полином Р : Е —> F со-х'раняет полосы или является нсрасширяющим, если для любых х,у € Е таких, что у1х выполняется у!Рх, это эквивалентно следующему: для любого х 6 Е имеем Рх е {ж}-1-1".

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Полиномиальной проблемой Викстеда назовем следующую задачу: дать описание векторных рептеток, п которых любой перасширяющий полином порядково ограничен.

Определение 6. Булеву ст-алгебру В называют а-дистрибутивной, если для любой двойной последовательности (frn,m)n,meN в В выполнено условие:

V A bn,m = A V Ь»Мп)■

neNmeN yjeNNn£N

Определение 7. Элемент е € G+ именуют локально постоянным относительно / £ G+, если е = sup^eS ^Щ/ Для некоторого числового семейства и семейства (п^)^^ попарно дизъюнктных порядковых проекторов. Расширенное /^-пространство G называют локально одномерным, если все элементы G+ являются локально постоянными относительно выбранной единицы 1.

Теорема 5 (2.5.4). Пусть G — расширенное К-пространство. Следующие утверждения эквиваленты:

(1) G локально одномерно;

(2) булева алгебра ф(С) а-днетрибутивна;

(3) всякий нерасширяющий однородный полином Р : G —> G степени ^ 1 порядково ограничен;

(4) существует 1 ^ s £ N такое, что всякий псрастиряющий s-одпородпый полипом Г : G —» G порядково ограничен.

В этом же параграфе установлено, что в каждом расширенном К-пространстве, не являющемся локально одномерным, для каждого 2 ^ .s £ N существует s-однородный полином Р, не допускающий представления Р(х) = S(xs) (х £ G) (теорема 2.5.5).

В третьей главе приведены некоторые приложения. Результаты о представлении ортогонально аддитивных полиномов позволяют переносить некоторые факты о строении линейных порядково ограниченных операторов S па полиномы Р (см. формулу (2)). Такой перенос не является автоматическим, так как требует детального знания того, как связаны между собой конструкции в векторных решетках Е и Eso.

Так, например, для непрерывной положительно однородной функции / : К^ К+ определим новую (функцию /., : -» К+ по формуле:

/.(«!,. • • М = {№, ■ ■ ((¿ь. .. Л) е <).

Тогда Л также непрерывна и положительно однородна, следовательно, элемент /„(¿ч,..., хдг) € £ корректно определен для а.'1,..., хм из равномерно полной векторной решетки Е. При этом взаимосвязь между функциональными исчислениями в Е и Е80 выражается формулой

Этот факт (лемма 3.1.4) оказывается ключевым при переносе формул порядкового исчислению с линейных операторов на полиномы: для конечного набора регулярных ортогонально аддитивных полиномов Р\,..., Ры получены явные формулы для вычисления выражений вида /(Ръ • •., Ри) и д{Р\,.. •, РдО, ГД° / и 9 ~ непрерывные сублинейная и суперлинсйпая функции на или (теорема 3.1.4). Эти результаты изложены в первом параграфе.

Во втором параграфе рассматривается вопрос о продолжении однородных ортогонально аддитивных полиномов, с мажорирующей подре-шетки на всю решетку. Пусть й — мажорирующая подрешетка векторной решетки Е. Обозначим через "РК'Е, Р) пространство регулярных ограниченных ортоаддитивных «-однородных полиномов. Выяснено, что если рассматриваемый положительный полипом из С в некоторое К-простраиство Р ортогонально аддитивен, то его положительное продолжение на Е можно выбрать также ортогонально аддитивным. Однако, имеет место более сильное утверждение: существует «одновременное продолжение» регулярных ортогонально аддитивных однородных полиномов. Последнее означает существование порядково непрерывного решеточного изоморфизма £ : Тт0{*в, Р) Т>Г0{3Е, Р) такого, что Кр о £ = I, где Кр : 7^(5Р,Р) -> ТЦ'й, Р) — оператор ограничения на С, а I — тождественный оператор па Р£(5<7, Р) (теорема 3.2.5).

Далее дана характеризация крайних продолжений положительного ортогонально аддитивного полинома, аналогичная теореме Липецкого — Плахки — Томсена для линейных операторов.

Теорема 6 (3.2.7). Пусть Е, F и G — векторные решетки, причем F порядково полня, Е и G равномерно полны и G подрепгстка Е. Предположим, что множество S{P) положительных ортоаддитивных продолжений Р непусто для некоторого положительного ортогонально аддитивного s-однородного полинома Р : Е —> F. Тогда полином Р е £(Р) является крайним продолжением полинома Р в том и только в том случае, когда для любого х 6 Е выполняется

inf {Р(| (xs + its)" |) : ueG} = 0.

В третьем параграфе устанавливаются аналоги классических теоремы Радона — Никодима и теоремы Хана о разложении для ортогонально аддитивных полипомов в /^-пространствах (теоремы 3.3.2 и 3.3.3).

Определение 8. Пусть Е и F — векторные решетки, а Р — монотонное отображение из Е в G. Говорят, что Р обладает свойством Магарам, если Р([0,х]) = [0, Р(.т)] для любого х е Е+. Положительный порядко-во непрерывный однородный полином, обладающий свойством Магарам, называют полиномом Магарам.

Теорема 7 (3.3.2). Пусть Е и G — некоторые К-пространства, а Р и Q — положительные ортогонально аддитивные полиномы из Е в G. Если Q — полином Магарам, то эквивалентны утверждения: (1 )Pe{Q}^;

(2) Р(х) е {Q(x)}хх для всех х е Е+;

(3) существует ортоморфизм 0 ^ р е Ort,h°°(S) та кой, что

P(x) = Q(px) (xeV(p));

(4) существует возрастающая последовательность положительных ортоморфизмов (pn), pn S Orth(£)+, такая, что

Р(х) = sup Q(pnx) (х 6 Е+).

п

Этот результат выводится по изложенной выше схеме: нужно в представлении (2) применить теорему В. Люксембурга и А. Шепа (теоре-

ма 3.3.1) к оператору S. Но при этом необходимо знать как связаны ортоморфизмы в решетках Е и Езв. А именно, оказалось, что имеет место решеточный изоморфизм (лемма 3.3.1 и замечание 3.3.2):

Orth°°(.E)so ~ OrthtxJ(£,S0).

Имеет место также следующий вариант теоремы Хана о разложении: Если Р е Vg(E,F) таков, что \Р\ — полином Магарам, то существует порядковый проектор тт в Е такой, что Р+ = |Р| о ix.

В четвертом параграфе для ортогонально аддитивных полиномов доказан аналог теорем А. Е. Гутмана о мультипликативном представлении линейных операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Определение 9. Говорят, что полипом Р : Е —> F сохраняет дизъюнктность, если \х\ А \у\ = 0 влечет \Р{х)\ А \Р(у)\ = 0 для любых элементов х,у £ Е.

Пусть К и Q — экстремально несвязные компакты, а Е и F — фундаменты в расширенных /^-пространствах Е := С^К) и Т := CX(Q) соответственно. Пусть Co{Q, К) обозначает множество непрерывных функций а : Qq —> К, определенных на открыто-замкнутых подмножествах dorn (er) := Q0 С Q. Для а € C0(Q,K) и х € Ск{К) определим функцию х • а : Q —> R формулой:

/ . w ч. = если q 6 dorn (ff);

^•ffJWJ— если q € Q \ dorn (er).

Теорема 8 (3.4.4). Пусть Р : Е —> F — порядково ограниченный ортогонально аддитивный s-однородный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют отображение a € C0(Q,K), семейство положительных функций в СЖ(К) и семейство попарно дизъ-

юнктных функций из Cao(Q) такие, что е Е для всех £ е Е, и

справедливо представление:

Р(х) = o-J2 W^iw^Y .ff) (х € Е).

i£H

В пятом параграфе третьей главы установлен вариант критерия интегральной представимости А. В. Бухвалова для ортогонально аддитивных

однородных полиномов, действующий между идеальными пространствами. Рассмотрим идеальные пространства Ей? над пространствами с мерой (П2,£2,/л) и (^Ь^ъ^) соответственно (меры /гиг/ ст-конечны).

Определение 10. Говорят, что я-одиородпый полином Р : Е —> Р допускает интегральное представление, если существует и := А ® р-измеримая функция К : х —> К такая, что

Теорема 9 (3.5.5). Пусть Р : Е -» Г — ортогонально аддитивный ¡-однородный полином. Следующие утверждения эквивалентны:

(1) Р допускает интегральное представление;

(2) если 0 < хп ^ х е Е (п 6 К) и ж„ -> О по мере /г, то Рж„ -> О Х-почти всюду;

(3) оператор Р удовлетворяет условиям: (а) если ^{Вп) —♦ О (Вп е Е) и Хв„ ^ х 6 £ (п е М), то Р(хв„.) —> 0 \-почти всюду; (Ь) если О < хп < а: € Е (п е М) и хп —> 0 ц-почти всюду, то Рхп —> 0 Х-почти всюду.

Даются также полиномиальные варианты классических теорем Вули-ха — Канторовича (теорема 3.5.7) и Данфорда — Петтиса (теорема 3.5.9) об интегральном представлении.

3. Аннотация

Диссертация посвящена развитию теории ортогонально аддитивных полиномов в векторных решетках. В работе используются методы теории пространств Канторовича, теории мажорируемых операторов, общей топологии и векторных мер.

В диссертационной работе получены: теоремы о линеаризации и симметричности полилинейного ортосимметричного оператора; формулы для преобразование сумм порядка в и геометрических средних посредством «-однородного полинома; теоремы о представлении ортогонально аддитивных полиномов; решение полиномиальной проблемы Викстеда; формулы однородного функционального исчисления ортогонально аддитивных полиномов; теорема об одновременном продолжении ортогонально

аддитивных полиномов в векторных решетках и характеризация крайних продолжений положительного ортогонально аддитивного полинома; теорема Радона — Никодима и терема Хана о разложении для ортогонально аддитивных однородных полиномов; мультипликативное представление ортогонально аддитивных полиномов, сохраняющих дизъюнктность; критерий интегральной представимости ортогонально аддитивных полиномов; варианты теорем Вулиха — Канторовича и Данфорда — Петтиса для ортогонально аддитивных однородных полиномов.

Диссертация носит теоретический характер, полученные в ней результаты могут быть использованы специалистами в области теории положительных операторов, а также в теории бесконечномерной голоморфности.

4. Публикации по теме диссертации

1. Кусраева 3. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов // Материалы первой региональной междисциплинарной конференции молодых ученых «Наука — Обществу». Тезисы докладов,— ВНЦ РАН и РСО-А, 2010.—URL: http://vncran.ru/news/25/.

2. Кусраева 3. А. Об интегральной представимости однородных ортогонально аддитивных полиномов // Сборник работ междунар. па-учно-практичес.кой конф. «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки».—Владикавказ: СОГУ, 2010.—С. 329-332.

3. Кусраева 3. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Труды междунар. конф. молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование».— Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН.-2010.-С. 100-101.

4. Кусраева 3. А. О крайних продолжениях положительного ортогонально аддитивного полинома // Тезисы докл. междунар. конф. «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование».—Волгодонск, 2011—URL: http://www.smath.ru/ upload / docs/thesis2011 .pdf.

5. Кусраева 3. А. О представлениии ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн,—2011.—Т. 52, № 2.-С. 315-325.

6. Кусраева 3. А. О продолжении ортогонально аддитивных регулярных полиномов // Владикавк. мат. журн.—2011,—Т. 13, № 4.—С. 2834.

7. Кусраева 3. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Мат. заметки—2012.—Т. 91, № 5,—С. 704710.

8. Кусраева 3. А., Тасоев Б. Б. О полиномах Магарам // Владикавк. мат. журн.—2012,—Т. 14, № 4.-С. 45-51

Кусраева Залина Анатольевна

ОРТОГОНАЛЬНО АДДИТИВНЫЕ ПОЛИНОМЫ В ВЕКТОРНЫХ РЕШЕТКАХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано п печать 17.12.2012. Усл. п. л. 1,03 Формат бумаги 60х841/ю. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИПО СОИГСИ им. В. И. Абаева 362040, г. Владикавказ, пр. Мира, 10.

Глава 0. Введение

0.1. Обзор литературы.

0.2. Актуальность темы исследования.

0.3. Краткое содержание работы.

0.4. Основные положения, выносимые на защиту.

0.5. Методы исследования.

0.6. Апробация работы.

Глава 1. Полилинейные операторы

1.1. Пространство регулярных полилинейных операторов

1.2. Ортосимметричность.

1.3. Однородное функциональное исчисление.

1.4. Степень векторной решетки.

1.5. Полилинейные операторы на решетке С (К).

Глава 2. Представление ортоаддитивных полиномов

2.1. Предварительные сведения о полиномах.

2.2. Полиномы в борнологических пространствах

2.3. Полиномы в пространстве непрерывных функций

2.4. Основные теоремы о представлении.

2.5. Полиномы в векторных решетках.

0.2. Актуальность темы исследования

Изучение полиномов в бесконечномерных пространствах в значительной мере стимулировано исследованиями в области бесконечномерной голоморфности. В литературе достаточно хорошо представлены алгебраические свойства полиномов, а также взаимосвязи полиномов с геометрическими и линейно-топологическими свойствами банаховых пространств, см. [57]. Чем более детально изучены полиномы, тем больше возможностей для продвижения в структурной теории голоморфных функций в бесконечномерных пространствах. С этой точки зрения порядковые свойства полиномов — еще одна методика исследования бесконечномерной голоморфности, см, например, [61] и [54].

В то же время, полиномы в векторных решетках обладают интересными порядковыми свойствами, а классы полиномов в банаховых решетках, определяемые в смешанных терминах нормы и порядка, имеют богатую структуру и заслуживают самостоятельного изучения. Наибольший прогресс достигнут в изучении класса ортогонально аддитивных полиномов, см [24, 25, 26, 27, 38, 44, 53, 67, 72, 85, 93, 94]. Эти результаты дают новые возможности для получения более детальной информации о строении ортогонально аддитивных полиномов, с одной стороны, и дальнейших приложений в теории банаховых решеток и положительных операторов, — с другой.

0.3. Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Об операторах, сохраняющих дизъюнктность // Докл. АН СССР.—1979.—Т. 248, № 5.-С. 1033-1036.

2. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства.—Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

3. Бухвалов А. В. Об интегральном представлении линейных операторов // Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР (ЛОМИ).—1974.—Т. 47.-С. 5-14.

4. Бухвалов А. В. Приложения методов порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах Ьр // Успехи мат. наук.—1983.—Т. 38, № 6.-С. 37-83.

5. Бухвалов А. В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций // Итоги науки и техники. Математический анализ.—М.: ВИНИТИ, 1988.—Т. 26.—С. 3-63.

6. Владимиров Д. А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.—318 с.

7. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных прост-ранств.-М.: ГИФМЛ, 1961.-407 с.

8. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные спорядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995 —С. 63-211.

9. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.-812 с.

10. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах,—М.; Л.: Гостехиз-дат, 1950.-548 с.

11. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.—М.: Мир, 1971.-392 с.

12. Кусраев А. Г. Об одном свойстве базы А'-пространства и некоторых его применениях.— Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1977.-16 с.

13. Кусраев А. Г. Общие формулы дезинтегрирования // Докл. АН СССР.—1982.—Т. 265, № 6.-С. 1312-1316.

14. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы,—М.: Наука, 2003.— 619 с.

15. Кусраев А. Г. О строении ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках // Докл. РАН,—2006.—Т. 408, № 1.— С. 25-27.

16. Кусраев А. Г. Ортосимметричиые билинейные операторы в векторных решетках // Исследования по современному анализу и математическому моделированию.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН.—2008,—С. 186-225.

17. Кусраев А. Г. Однородные функции регулярных линейных и билинейных операторов // Владикавк. мат. журн.—2009.—Т. 11, № З.-С. 38-43.

18. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктность // Владикавк. мат. журн.—2004,—Т. 6, № 1.-С. 58-70.

19. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О некоторых свойствах ортосим-метричных билинейных операторов // Исследования по математическому анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН.—2011.—Т. 1.— С. 104-124.

20. Кусраева 3. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов // Материалы первой региональной междисциплинарной конференции молодых ученых «Наука Обществу». Тезисы докладов.—ВНЦ РАН.-2010

21. Кусраева 3. А. Об интегральной представимости однородных ортогонально аддитивных полиномов // Сборник работ международной научно-практической конференции «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки».—Владикавказ: СОГУ.— 2010.—С. 329-332.

22. Кусраева 3. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Труды международной конф. молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование».—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН.—2010.— С. 100-101.

23. Кусраева 3. А. О представлениии ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн—2011—Т. 52, № 2.-С. 315-325.

24. Кусраева 3. А. О продолжении ортогонально аддитивных регулярных полиномов // Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, № 4.-С. 28-34.

25. Кусраева 3. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Мат. заметки.—2012—Т. 91, № 5.— С. 704-710.

26. Кусраева 3. А., Тасоев Б. Б. О полиномах Магарам // Владикавк. мат. журн—2012—Т. 14,№ 4.

27. Кутателадзе С. С. Опорные множества сублинейных операторов // Докл. АН СССР.—1976.—Т. 230, № 5.-С. 1029-1032.

28. Кутателадзе С. С. Выпуклые операторы // Успехи мат. наук.— 1979.—Т. 34, № 1.-С. 167-196.

29. Кутателадзе С. С. Теорема Крейна — Мильмана и ее обращение // Сиб. мат. журн.—1980.—Т 21, № 1.-С. 130-138.

30. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН им. С.Л. Соболева.—2006.—хп+356 с.

31. Шефер X. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.-359 с.

32. Шотаев Г. Н. Некоторые свойства билинейных регулярных операторов // Владикавк. мат. журн. —1999.— Т. 1, № 2.—С. 44-47.

33. Энгелькинг Р. Общая топология.—М.: Мир, 1986.—751 с.

34. Abramovich Yu. A. Multiplicative representation of disjointness preserving operators // Indag. Math. N.S.—1983—V. 45, № 3, P. 265-279.

35. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators // New York: Academic Press.—1985.—xvi+367 p.

36. Ben Amor F. On orthosymmetric bilinear operators // Positivity.— 2010.—V. 14, № l.-P. 123-134.

37. Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.-2006.-V. 38, № 3.-P. 459-469.

38. Birkhoff G., Piece R.S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Cli§nc-1956.-V. 28.—P. 41-69.

39. Boulabiar K. Products in almost /-algebras // Comment. Math. Univ. Carolinae.—2000.—V. 41, № 4.-P. 747-759.

40. Boulabiar K. On products in lattice-ordered algebras // J. Aust. Math. Soc.-2003.-V. 75.-P. 13-40.

41. Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: /-algebras and functional calculus // Comm. Algebra.-2006.-V. 34, № 4.-P. 14351442.

42. Boulabiar K., Buskes G., and Page R. On some properties of bilinear maps of order bounded variation // Positivity.—2005.—V. 9, № 3.— P. 401-414.

43. Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products // J. of Math. Analysis and Applications.—2011.—V. 388.— P. 845-862.

44. Bu Q., Buskes G., Kusraev A. G. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey // Positivity/ Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.—Basel a.o.: Birkhäuser.-2007.-P. 97-126.

45. Buskes G., Kusraev A. G. Representation and extension of orthoregular bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.—2007.— V. 9, № l.-P. 16-29.

46. Buskes, G., de Pagter.B., van Rooij. A. Functional calculus on Riesz spaces // Indag. Math.(N. S.).-1991.-V. 4, № 2.-P. 423-436.

47. Buskes G., van Rooij A. Almost /-algebras: commutativity and the Cauchy-Schwarz inequality // Positivity—2000 —V. 4, № 3 — P. 227-231.

48. Buskes G., van Rooij A. Almost /-algebras: structure and Dedekind completion // Positivity.-2000.-V. .4, № 3.-P. 233-243.

49. Buskes G., van Rooij A. The bornological tensor product of two Riesz spaces: proof and background material. Ordered algebraic structures // Dev. Math—Dordeecht: Kluwer Acad. Publ., 2002 — V. 7.-P. 189-203.

50. Buskes G., van Rooij A. Bounded variation and tensor products of Banach lattices // Positivity.-2003.-V. 7, № 1/2.-P. 47-59.

51. Buskes G., van Rooij A. Squares of Riesz spaces // Rocky Mountain J. of Math.—2004.—V. 31, № l.-P. 45-56.

52. Carando D., Lassale S., Zalduendo I. Orthogonally additive polynomials over C(K) are measures — a short proof // Int. Eq. and Oper. Theory.-2006.-V. 56, № 4.-P. 597-602.

53. Carando D., Lassale S., Zalduendo I. Orthogonally additive holomorphic functions of bounded type over C(K) // arXiv:0810.5352vl math FA. .-2008.

54. Cristescu R. Ordered vector spaces and linear operators // Translated from the Romanian.—Tunbridge: Abacus Press, 1976.

55. Defant A., Kalton, N. Unconditionality in spaces of m-homogeneous polynomials // Q. J. Math.-2005.-V. 56, № l.-P. 53-64.

56. Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces.— Berlin: Springer, 1999.—xv+543 p.

57. Fremlin D. H. Tensor products of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.-1972.-V. 94.-P. 778-798.

58. Fremlin D. H. Tensor products of Banach lattices // Math. Ann.— 1974.—V. 211.—P. 87-106.60. van Gaans O. The Riesz part of a positive bilinear form // Circumspace.—Nijmegen: Katholieke Universiteit Nijmegen, 2001.—P. 19-30.

59. Grecu B. C., Ryan R. A. Polynomials on Banach spaces with unconditional bases // Proc. Amer. Math. Soc.—2005.—V. 133, № 4.-P. 1083-1091.

60. Gutman A. E. Locally one-dimensional if-spaces and er-distributive Boolean algebras // Siberian Adv. Math.-1995.-V. 5, № 2.-P. 99121.

61. Gutman A. E. Disjointness preserving operators // Vector Latticesand Integral Operators /Ed. S. S. Kutateladze.—Dordrecht etc.: Kluwer—1996.—P. 361-454.

62. Gutman A. E., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. The Wickstead Problem.—Vladikavkaz: IAMI VSC RAS.-2007.-№ 3.-44 p.

63. Hogbe-Nlend H. Theorie des Bornologie et Applications.—Berlin etc.: Springer, 1971.-P. 168.

64. Ibort A., Linares P., Llavona J. G. On the representation of orthogonally additive polynomials in lp // Publ. RIMS, Kyoto Univ.—2009.—V. 45, № 2.-P. 519-524.

65. Ibort A., Linares P., Llavona J. G. A representation theorem for orthogonally additive polynomials on Riesz spaces // arXiv: 1203.2379vl math.Fa.— 2012.

66. Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities.— Basel-Boston-Berlin: Birkhauser.—2009.

67. Kusraev A. G. Orthosymmetric biliniar operators // Vladikavkaz: VSC RAS, 2007.-34 p.-(Prep./IAMI VSC RAS; № 1.)

68. Kusraev A. G. On some properties of orthosymmetric bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.-2008.-V. 10, № 3.-P. 29-33.

69. Kusraev A. G. A Radon-Nikodym type theorem for orthosymmetric bilinear operators // Positivity.-2010.-V. 14, № 2.-P. 225-238.

70. Linares P. Orthogonal additive polynomials and applications. Thesis.—Departamento de Análisis Matemático. Universidad Complutense de Madrid—2009

71. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Vol. 2. Function Spaces.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1979.—243 p.

72. Loane J. Polynomials on Riesz Spaces. Thesis.—Department of Mathematics National University of Ireland, Galway.—2007.

73. Luxemburg W. A. J., Schep A. A Radon-Nikodym type theorem for positive operators and a dual // Indag. Math—1978.—V. 10— P. 357-375.

74. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz Spaces. V. 1.— Amsterdam and London: North-Holland, 1971,—514 p.

75. McPolin P. T. N., Wickstead A. W. The order boundedness of band preserving operators on uniformly complete vector lattices // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.-1985.-V. 97, № 3.-P. 481-487.

76. Meyer M. Le stabilisateur d'un espace vectoriel réticulé // C.r. Acad. sci. A.-1976.-V. 283.—P. 249-250.

77. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.—Berlin etc.: Springer,—1991.

78. Maharam D. The representation of abstract integrals // Trans. Amer. Math. Soc-1953 -V. 75, № l.-P. 154-184.

79. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math.—1984.— V. 26.—P. 263-277.

80. Nakano H. Product spaces of semi-ordered linear spaces // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. Ser. I.-1953.-V. 12.-P. 163-210.

81. Page R. On bilinear maps of order bounded variation. Thesis.— University of Mississippi, 2005.

82. De Pagter B. /-algebras and orthomorphisms. Thesis-Leiden, 1981.

83. Perez-Garcia D., Villanueva I. Orthogonally additive polynomialson spaces of continuous functions // J. Math. Anal. Appl.—2005.— V. 306, № l.-P. 97-105.

84. Quinn J. Intermediate Riesz spaces // Pacific J. of Math.—1975.— V-56, № l.-P. 225-263.

85. Ryan R. A. Introduction to tensor products of Banach spaces.— London: Springer, 2002.—xiv+225 p.

86. Schaefer H.H. Banach lattices and positive operators.—Berlin etc.: Springer, 1974.—xi+376 p.

87. Schaefer H, H. Aspects of Banach lattices // In: Studies in Functional Analysis, MM A Studies in Math.-1980.-V. 21.-P. 158221.

88. Schaefer H. H. Positive bilinear forms and the Radon-Nikodym theorem // Funct. Anal.: Survey and Resent Results. 3.—Amsterdam e.a., 1984, P. 135-143. (Proc 3rd Conf. Parderborn.-24-29 May,1983.)

89. Schep A. R. Factorization of positive multilinear maps // Illinois J. Math.—1984.—V. 28.-P. 579-591.

90. Schwarz H.-V. Banach lattices and operators.—Leipzig: Teubner,1984.-208 p.

91. Sundaresan K. Geometry of spaces of homogeneous polynomials on Banach lattices // Aplplied geometry and discrete mathematics.— DIMACS Ser. Discrete Math. Compute. Sci. Math. Soc — Providence, RI.-1991.-P. 571-586.

92. Toumi M. A. Orthogonally additive polynomials on Dedekind acomplete vector lattices // Proc. Irish Royal Academy.—2011.— V. 110.-P. 83-94.

93. Wickstead A. W. Representation and duality of multiplication operators on Archimedean Riesz spaces // Compositio Math.— 1977.—V. 35, № 3.-P. 225-238.

94. Wittstock G. Ordered normed tensor products, Foundations of quantum mechanics and ordered linear spaces // Advanced Study Inst., Marburg, Lecture Notes in Phys.—Springer.—Berlin.—1974.— V. 29.—P. 67-84.

95. Wittstock G. Eine Bemerkung liber Tensorprodukte von Banachverbanden // Arch. Math.-Basel.-1974.-V. 2.-P. 627634.

96. Zaanen A. C. Riesz spaces. V. 2.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1983.-720 p.

97. Zalduendo I. Extending polynomials on Banach spaces-a survey // Revista de la Union Mathematica Argentina.—2005.— V.46, №2-P. 45-72.