Интегралы от скалярных функций в векторной мере и линейные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Г Б ОН

. Л '*< МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Рол-пискли Государственный педагогический Университет имени А.И.Герцена

На правах ругописи

АРЕШКИНА Аглая Георгиевна

ИНТЕГРАЛУ ОТ СКАЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ Р *» .КГОРДОЙ МЕРЕ Н ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРА" 41

01.01.01. - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1995

Работа выполнена в Российском государственном гидрометеорологическом институте

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент В.Н.Исаков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н.А.Широков

кандидат физико-математических наук, Е.А. Рисс

Ведущая организация: Сыктывкарский Государственный университет

Защита состоится " " сих-^лА 1995 г. в 16 часов 15 мин.' на заседании Диссертационного совета К 113.05.14 по защите диссертаций при Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена по адресу: 191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, корп.1, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан 1ч /ч Р т л 1995 г.

Ученый секретарь

- 3 -

ОбЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ И ОбЗОР ЕЕ СОДЕРЖАНИЯ

Актуальность теш

Представленная диссертация связана с теорией интегралов от скалярных функций, по аддитивной векторной мере. Она свяяян° также с теорией линвл^г с Гнолоч-мндекясн ¿шнвйинх

ииори-про» е интегральной форме, в частности, с их представлением интегралами по скалярной мере. Наконец, она связана с приближенным решением линейных операторных уравнений. Все эти вопросы относятся к числу фундаментальных направлений развития математического анализа, им посвящены многочисленные исследования математиков разных стран и получение каких-то новых результатов в этих областях представляется актуальном.

Цель работы

Известны несколько определений неопределенных интегралов от скалярных функций по аддитивной векторной мере. Первая цель работы состоит в разработке аксиоматического описания таких интегралов, в установлении их взаимоопределяющих связей с теорией линейных непрерывных операторов, в разработке на аксиоматической основе свойств таких интегралов и иллюстрации тем самым простоты, с которой эти свойства являются следствиями аксиом.

Вторая цель состоит в нахождении необходимых и достаточных условий для того, чтобы аддитивная векторная мера была дифференцируемой относительно скалярной меры. Другими словами речь идет об установлении теоремы Радона-Никодима для векторных мер, значения которых принадлежат некоторому банахову фундаментальному пространству.

Третья цель связана с идеей использования этой теоремы к нахождению условий представимости линейного непрерывного оператора интегралами по скалярной мере.

Наконец, четвертая цель состоит в разработке нового итерационного процесса приближенного решения линейных операторных уравнений.

Научная ровизна

I. Впервые дано аксиоматическое описание неопределенного интеграла от скалярных функций x(t), teT, образующих некоторое Р-пространство X над измеримым пространством (Т, по

аддитивной векторной мере v, определенной на Sj со значениями в БФП Z

{j"x(t)dv / eeST}. (1)

2. Установлена тождественность каждого такого неопределенного интеграла по мере v с линейным непрерывным оператором ív:X—+Z, влекущая, в случае, когда X является БФП, изометрический изоморфизм между пространством всех аддитивных векторных мер v:S—r-Z, определяющих неопределенный интеграл (I), и пространством £(X,Z).

3. Доказана теорема Радона-Никодим для аддитивных "векторных мер v: Zj,-»- г{7",2г,цг), то есть найдены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять мера v, для

справедливости равенства u

lV-п.в. г

v(e)-í-jKCc.t)^, ees,,. (2)

e

4. Получены широкие достаточные условия представимости линейного оператора Г: 11г*Ът интегралом по скалярной мере V. Высказана гипотеза о том, что эти условия и необхпя?"!;.

5. Разработан новый'итсрзмионжй матод решения линейных

Ах=у, хеХ,

где X - линейное полное сепарабельное метрическое пространство, а Уэу - евклидово пространство.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. В аксиоматическом описании неопределенных интегралов (1)и в развитии теории таких интегралов на аксиоматической основе.

2. В получении общего интегрального представления любого линейного непрерывного оператора Г: K-*■Z в форме

где :ух(е)=Г(хв); его частными случаями являются извест-

ные интегральные представления тех или иных классов линейных функционалов и операторов .

3. Доказана теорема Радона-Никодима для аддитивных векторных мер в случае функциональных пространств, получены ноше широкие достаточные условия представимости линейного оператора интегралом по скалярной мере.

Теоретическое значение исследования состоит

т

Практическое значение исследования состоит;

1. В наиболее простом введении в курсах функционального анализа интегралов от скалярных функций по векторной мере и установлении свойств таких интегралов.

2. В наличии преимуществ разработанного итерационного метода приближенного решения линейных операторных уравнений по сравнении с проекционными методами Бубнова-Галеркина и Галер-кина-Летрова.

Апробация работы

Результаты исследований докладывались в HII-й всесоюзной школе по теории линейных операторов в функциональных пространствах (г. Куйбышев, 1988 г.), на научных конференциях "Герценовские чтения", проводившейся цри ЛПШ им. А.И.Герцена в апреле 1989 г. и в апреле 1990 г.

ООЪвм в РТРСТУРЭ pagQTH

Работа состоит из пяти глав (из которых первая глава со-даркит общую характеристику работы и обзор ее содержания), заключения и списка литературы, общим объемом 108 стр. В начале работы помещено оглавление.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Результаты, полученные в диссертации изложены в главах

II-V.

Глава г.

Л.Череа <Т, Sj,, обозначается измеримое пространство с о-алгеброй измеримых множеств и с конечной, полной о-адмтюшо* мерой черва обовначаетоя некоторое .

F-пространство F.T - измеримых функций х: Т —»Ж , отождествляемых по мере nt; предполагается, что 1(t) s IcXj, Vx е Хт Ve€2T : х xQ€ и ||x хе1ИВ28» множество H всех 2Т -простых

функций плотно в Xj. Через Z обозначается некоторое В - пространство .

«- ^"cr-p^ue^ww- -¿¡»¡вершим на Ху по от-чъцс-кьы к '¿уищии 1>:ЯТ—»Z называется семейство Z - значных функций тожества, обозначаемое через

{fxdWec^}^ <1У

Удовлетворесщее следующим аксиомам: I,. Ve е 2Т: J 1(t) йг' =

е

v(e); 1г. Vx € Хт Ve е ST: jx%adv =Jxdv; I3. Vx1 .x^Xp Vee^T:

т e

J(x, + xg)dv=|xtdv + Jx2dv; I4. VxeX^, V VeeST: J" Xxdv =

e e e e

r 11-4 Г

e e

Из атих якстюм следует, что v-вддитивная мера, абсолютно

непрерывная относительно Если Vx е Хт, Ven|0, e^Sj,

n=1,2,...: |х х0 Я—то мера v -о-аддативна.

л

§3.Теорема L. Если задан интеграл (I) , то существует единственный линейный непрерывный оператор tv: Z такой,

'НПО

Vx € Xji tv(x) = Jxdv. (2)

Наоборот, если i : Xj,—»• Z - -собой линейный непрерывный оператор, то v(e) = Г(хв)> е с Sj, - аддитивная мера, v « nt.

- а -

существует неопределенный интеграл (I) и справедливо (2), где l = tv.

§4. В дальнейшем считаем Х_ - Б®. Пусть h е Я , h =

к **

S \.у , 2ЭД? = (е.}, - измеримое подразделение Т, е.е 7L.

ЛТ 1 а1 1 1 IX

Определение 2. Аддитивная мера v :ST—*■ Ъ называется ограниченной на U , если

sup {8|TXiv(ei)H 7 РН} = gh^o.heW^ .

Число К называется нормой меры v.

Теорема 2. Аддитивная мера v :2Т—»• Z, абсолютно непрерывная относительно определяет на Х^ неопределенный интеграл (I) тогда и только тогда, когда мера v ограничена на Н .

В этом случае gfvy = gv||.

Обозначим через AO(T,ET,[it,Z) множество всех ограниченных, аддитивных, абсолютно непрерывных относительно векторных мер v: —*Ъ .

Теорема 3. является полнил нормированным

пространством, изометрически изоморфным £(XT,Z).

§5. Доказывается ряд свойств интегралов (I), в том числе две теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла.

Глава 3.

§1.Рассмотрен случай, когда Х^ = L1 (Т, 2,r, (it). Теорема I. Аддитивная, абсолютно непрерывная относительно ц мера v: £ —Z ограничена на 7i . тогда и только тог-

L

да, когда

3 К. е К Ve € Ие>112« К jit(e). (3)

Нижняя грань чисел К равна || v ||.

Следствие I. Аддитивная лера v, v« ^ , определяет на I1 неопределенный интеграл тогда и только тогда, когда она

а-аддитивна и выполнятся условие (3).

» *

3*. lip^rrrpcsiüuöo h~ riszzsSiyuHvctcu изоморфно полному нор-вированному пространству АО(Т, 2Т, (¿t, Ж). Общий вид линейньх непрерывных функционалов на L1 бается формулой

Vx e Xj,: f(x) = Jx(t) dvf,

где v*(e) = f(xe), Ve € При тол |f| =

Показано, что это утверждение равносильно теореме Штейн-гауза-Данфорда: (L1)* з Lw.

§2. Теорема g. Мера ц в пространстве L1 (Т, 2Т, ц ) определяет т L1неопределенный интеграл (6 смысле гл.2), тож-дественний с иласическим.

§3. Производится сравнение неопределенного интеграла в смысла гл.2 с аналогичным интегралом Бартла, Данфорода и Шварца.

§4. ТЕОРЕМА 4! В L^CE, Ет> nt) всякая аддитивная мера v: 2Т —»• Z, v « nt, ограничена, ее норма равна полувариации меры V.

Отсюда получаются теоремы Динкуляну, Гильдебрандта и Фихтенгольца-Канторовича.

§5. Теорема 5. Пусть не только Х^, но и Zr = Z(Г, 2^,-ii^) - БФП, v: ST —»• ZT, v - аддитивна,v « nt. Если 3 N(x) € 1T VeeET :|£v(e)1(x)| s N(x>.nt(e), ^-п.в..

u aup {lh»L,(T , u ,}eC<-

Ihl^l.he«^ т?' ^t'

то мера v ограничена на Я^ и

|v| ^ К BNCOf.

Глава 4.

Пусть f линейный непрерывный оператор, действующий из = (T.Ej,,^) в ZT = Z(T.Sj.,^). В гл. 4 рассматривается вопрос о представимости f в виде

хО^. (4)

т

Хотя несколькими математиками найдены необходимые и достаточные условия интегральиости оператора f, мы предлагаем новый подход к решению этой проблемы и новые условия интегральности оператора f. А именно, из (4) при х=хе, eeZj, следует, что

*(Ха> = v(e) « Jscs.t)^,

е

иначе говоря, мера v(e) дифференцируема относительно и

dv = *:(ttt)d(it. (5)

Поскольку оператор t представим в общей интегральной форме (см. гл. 2)

VxeX: i(x) = Jx(t)dv, (б)

т

подставляя формально (б) в (6) получаем (4). В гл.4 находятся необходимые и достаточные условия дифференцируемое™ а-аддитивной 2_-значной меры v относительно ц. и

сиравадгатвости (5), и в широких условиях доказывается законность подстановки (5) в (6).

В §1 вводится понятие "ц -почти везде поточечной с - ад дитивности и абсолютной непрерывности" меры —*ЪГ относительно В 5?. и-нот»"« 2', УСЛСЕ23 ¿н>-'«»".г": л достаточно для дифферепцируемости V по ц^.и справедливости (5); в § 3 доказывается (теорема 9), что если мера ^-ограничена (в смысле гл. II), а дц— ^-существенно ограничена на Т, то справедливо представление (4).

Глава 5.

§1. Формулируется алгоритм приближенного метода решения уравнений Ах = у , где А - линейный непрерывный оператор, отображающий линейное полное метрическое сепарабельное пространство X в евклидово пространство ¥. Предполагается обрати мость оператора А на множестве £££ . Здесь ке дается обоснование приведенного алгоритма.

В § 2 обсуждается вопрос об устойчивости счета по приведенному плгор-итму. производится сравнение предложенного метода с проекционными методами Бубнова-Талергаша и Галеркина-Петрова. В отличие от последних приведенный метод является итеративным: вычисление п+1-го шага приближения к корню сводится к вычислению поправкй Ьп к п-ому приближению. В связи с этим число арифметических операций, необходимых для вычисления меньше числа арифметических операций, необходимых для вычисления п+1 приближения по методу Бубнова-Гаяеркина.

§3. Обсуждается возможность применения предложенного метода в функциональном пространстве ^ = КТ,^, в случае.

когда существует на более чем счетное подмножество М алгебры такое, что замыкание линейной оболочки множества характе-ритических функций множеств из М плотно в X. Приводятся конкретные примеры таких пространств,, допускающих применение предложенного метода. 1/

Публикации по теме диссертации

1. Арешкина А.Г. Интегралы от скалярных функций по векторной мере и линейные операторы //Деп. ВИНИТИ, N 6959-В.87, от 28.09.87 г.

2. Арешкина А.Г. Интегралы от скалярных функций по векторной мере и линейные операторы //Математический анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания. Межвузовский сборник научных трудов. ЛГПИ им. А.И. Герцена. Ленинград, 1988, 37-42.

3. Арешкина А.Г. Интегралы от скалярных функций по векторной мере и линейные операторы //XIII всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Куйбышев, 1988, 14-15.

4. Арешкина А.Г. О представлении векторных мер и линейных операторов интегралами по скалярной мере //Межвузовский сборник научных трудов "Актуальные вопросы истории и методики преподавания математического анализа". (ЛГПИ им. А.И. Герцена). Деп. в ОЩШ "Школа и педагогика АПН СССР и Гособразовакия СССР, 1990, 2-25.

V Содержание §1 получено в соавторстве с проф. Г.Я.Ареш-киным.

5. Лреппшн Г.Я., Арешкина А.Г. Решение линейных уравнений

с помощью полиномов Фурье //Математический анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания. Межвузовский сборник научных трудов. ЛГПИ им. А.11. Герцена. Ленинград, 1989, ВЗ-6В.

С Т а «гхишшпа А Г Аттрпггот» ТТПиЛго*ПИППт ТШ-

" " ' л .....~ ' ' • 1 1. 1

ШОИИЛ ЛШ0Й1ШХ УраЕНЗШТЙ с помсзьп полиномов Фурье //Натемьти-ческпй анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания. Межвузовский сборник научных трудов. ЛГПИ игл. А.И. Герцена. Ленинград, 1990, 27-34.

7. Арешкин Г.Я., Арешкина А.Г. Решение линейных уравнений с помощью полиномов Фурье //Деп. ВИНИТИ, N 3460-В 89, 24.№.89 г.