Равномерная непрерывность неаддитивных функций множества и их применение к векторному интегрированию тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЕВЩШИЕз

Глава I. НЕПРЕРЫШОСТЬ АБСОЖЯНО ПОЛУАДЩШШЫХ ФУНВДЙ МНОЖЕСТВА.

§ I. Обозначения, определения и некоторые свова функций множва

§ 2. О продолжении,ойства (POУИJ

§3.0 равностепенной абсолютной не1цзерыв

Глава 2. НЕКОТОРЫЕ ЙРЩШШИЯ СВОЙСТВА САКСА

§ 4. Обобщение теоремы Са

§ 5. Ограниченнь вариации векторной функции множва

§ 6. Ограниченность полувариации, векторной функции множества и теорема Бартла

Данфорда - Шварца.с

§ 7. Свойство Дарбу.о £

Глава 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРНОЙ ШКЩИ ПО ВЕКТОРНОЙ МЕРЕ

§ 8. Основные определения и теоремы теории интегрирования, проенной Барт

§9.0 переходе к пределу под зна интеграла Бартла

ЖТЕРАТУРА.'.о

Теория меры и интеграла превратилась к настоящему времени в весьма обширную область функционального анализа, имеющую многочисленные применения в различных разделах математики.

Существует два подхода к определению меры и возможности образования интеграла. Один из них обычно называется "слабой" теорией, в которой векторная мера на локально компактном пространстве Т определяется как непрерывное линейное отображение пространства непрерывных на Т числовых функций в отделимое локально выпуклое пространство X . Интегралом относительно меры называют элемент из X, определяемый формулой/17/.

В "слабой" теории широко применяется теория топологических векторных пространств и, в частности, теория двойственности.

В так называемой "сильной" теории понятие интеграла основывается на понятии меры /21/, /37/, как счетно аддитивной функции множества, определенной на некотором классе подмножеств множества Т . В этш случае одним из основных методов изучения мер является метод мажорирования на меру свойств неотрицательной функции множества, к которой не предъявляется требование аддитивности /см., например, /7/, /13/, /19/» [Ж]/. С функциями множества, не обязательно аддитивными, тесно связаны также теория вероятности /31/ и теория игр [М].

Поэтому в последние годы одним, из главных направлений развития теории меры и интеграла является изучение различных классов неаддитивных функций множества /см,, /б/, [ч] % /12/, /13/, /36/, /48/, /52//.

Изучение таких классов функций множества позволяет, с одной стороны, проникнуть в сущность и взаимосвязь изучаемых свойств, с другой - получить ноше результаты в классической теории меры /см., например, /з/, /б/, /8/, /19/, /48//. В связи с этим, в диссертации основное внимание уделено изучению свойств неаддитивных функций множества, а также развиты приложения полученных результатов в теории векторного интегрирования.

Интегрирование векторных функций по отношению к векторной мере было рассмотрено Гавурином. /18/, Бохнером и Тей-лорш /44/. Эти интегралы - типа интеграла Римана - построены по методу так называемого билинейного интеграла, в основе которого лежит векторнозначная билинейная функция, связывающая пространство значений векторной меры с пространством значений интегрирушой векторной функции. Билинейные интегралы типа Лебега были построены Прайс см /58/, риккартом /59/, Дэйем /47/. Аналогичным образом Бартл /41/ построил теорию интеграла лебеговского типа для случая, ковда интегрируемая функция и мера принимают значения из разных линейных нормированных пространств. Основные положения этой теории мы приводим в параграфе 8.

В настоящей работе рассмотрены вопросы предельного перехода под знакш интеграла Бартла.

Необходимо отметить, что теоремы о предельном переходе под знаком интеграла относятся к центральным теоремам каждой теории интегрирования. Они постоянно усовершенствовались и об об пелись по мере развития других отделов математики /см., например, /2/, /9/, /II/, /25/, /3$/,

Переходим к более подробному изложению содержания данной диссертации.

Первая глава посвящена изучению равномерной непрерывности функций множества.

В § I приведены основные определения и рассмотрены некоторые свойства функций множества.

В § 2 рассмотрены вопросы о продолжении свойства {РО^/^ с кольца множеств М, М с Я на кольцо Я .

В связи с исследованиями сходимости и компактности функций множества /10/ возникла, необходимость изучения вопроса о сохранении свойства /РА/ /равномерная аддитивность /21//. Впервые импликация => /для РаБН0~ мерно ограниченных мер, заданных С (А.) , эде кольцо - счетное, получена в работе Г.Я.Арешкина /1о/. Позднее В.Н.Алексюк /4/ снимает требование счетности кольца множеств Я .

На векторные меры эта импликация обобщена в работах /1^/,

МЛ

Однако понятие /РА/ теряет смысл в случае функций множества, которые не обладают свойством счетной аддитивности. Поэтому вместо /РА/ рассматривают, ставшее уже классическим, понятие равномерного отсутствия ускользающей нагрузки /РОУН/, которое впервые было предложено А.Д.Александровым [\]. Оказалось, что свойства /РА/ и /РОУН/ эквивалентны для мер, заданных на кольце множеств /У. Вопрос о продолжимости свойства (РОЩ для неаддативных функций множества изучался В.М .Климкинш [гч] /для треугольных функций множества/, Г.Я.Арешкинда.и Н.С.1усельниковш /14/ /для /f -треугольных функций множества/. Pix результаты мы распространяем впервые на новые классы функций множества в работе /29/. Дальнейшие обобщения были получены В.Н.Алексюксм /7/ и Д.Д .Рашкиныл /36/.

В настоящей работе рассмотрены вопросы сохранения свойства (РОУН) для широкого класса скальных функций множества, Креме того представлены весьма общие результаты о сконденсированност функций множества и связи этого понятия с /РОУН/.

Основным результатом является следующее утверждение:

Пусть <р - { V} - семейство монотонных равностепенно абсолютно полуаддитивных функций множества, заданных на кольце R, . Если функции множества семейства ф сконденсированы на кольце М С Я , то справедлива импликация

Исследования этого параграфа применяются далее на протяжении. всей диссертации.

В § 3 изучается равностепенная абсолютная непрерывность последовательности функций множества.

Одним из важнейших результатов в теории функций множества является следующая теорема Витали - Хана - Сакса /21. Ш. 7. 2/:

Пусть ( Т^ f ju.) - пространство с мерой, а { Ä^J последовательность определенных на абсолютно непрерывных относительноуи. векторных или скальных аддитивных функций множества. Если предел (£) существует для каждого £ € 'Е , то п Ап(£/=0 равномерно относительно Л - 2,.

Известно, что эта теорема не справедлива для мер, заданных на кольце множеств /51/. В связи с этим мы устанавливаем новые критерии равностепенной абсолютной непрерывности , ^ % ^ ^ , на кольце множеств ^ , при условии абсолютной непрерывности, на кольце М С Я .

Эти 1фитери& позволила получить следующее обобщение теоремы Витали - Хана - Сакса:

Пусть на 6 - кольце & , порождением кольцом , заданы непрерывные евдзху в нуле скалярные или векторные, то есть со значениями в линейном нормированном пространстве, аддитивные функции множества , ^ , п и пусть для любого множества £ € £ Ссуществует предел ¿¿¡п (£) . Если

1. % на кольце Я, п= ¿,2,.

2. функции множества последовательности Чп./ 0б" ладают свойством {С) на /£ , то £ < !{&) < <

В случае, когда Я = *Р С&), ^ = 2/ /г - 2 г получаем теорему Витала - 1ана - Сакса в обычной формулировке.

Отадетим, что понятие равностепенной абсолютной непрерывности, имеющее важное значение в теории интегрирования, в случае, коэда М ~ £ } ^ = I/; п= хорошо изучено в работах /19/, /23/, /45/,

48/, [Ы]. В общем случае первые достаточные условия получены В.М .Климкинда. для векторных мер /2б/ и полумер /28/, В .А .Алякиныы для полугрупповых мер /8/.

Полученные результаты позволили доказать /см. § 9/ качественно новые теоремы типа Лебега и Витали о предельном переходе под знаксм интеграла Бартла. вторая глава посвящена изучению вопроса ограниченности вариации и полувариации векторных функций множества.

В § 4 известная теорема Сакса /60/ обобщается на класс функций множества, без какой-либо "формы полуаддитивности". Полученное утверждение успешно применяется во всех последующих параграфах данной главы.

В § 5 рассматривается вопрос ограниченности вариации /^р - вариации, см. определение 5.2/ неаддитивной функции множества, заданной на кольце множеств со значениями в ЛВП.

Исследования параграфа 4 позволили установить условия, при выполнении которых ^ - вариация векторной функции множества является ограниченной. Сформулируем этот результат.

Пусть ¥: & у атомически стационарная по преднорме £ функция множества, А - вариация /У>/ /V - полуаддитивная. Если ^ - вариация /Щ^ функции обладает свойством Сакса на множестве /"<=• , то она конечная на множестве £

Отсвда легко устанавливаются необходимые и достаточные условия ограниченности ^ - вариации конечно-аддитивной функции множества и векторнозначной меры.

В § 6 получены необходимые и достаточные условия ограниченности полувариации векторной функции множества.

В теории интегрирования функции по векторной мере важную роль играют полувариации /см. определение 6.1/ векторной меры //21/, /35/, /41/, /42//63/

Известно, что полувариации векторной меры ^ ' У на б" - алгебре ^Е относительно пространств X и У не обязательно конечны и не всегда обладают свойством, указанным в известной теореме Бартла - Данфорда - Шварца /21. 1У. Однако наличие таких свойств у полувариаций векторной меры Р 2Е I/ относительно пространств X и

У существенно улучшает теорию интегрирования векторной функции по векторной мере //&б/, /41//.

Интенсивное развитие теории функций множества привело к естественной необходимости обобщения теоремы Бартла - Дан-форда - Шварца на классы множеств, которые не являются б -алгебрами и для векторных функций множества, которые не обладают свойством счетной аддитивности /см., например, /27/, /32//.

В данном параграфе теорема Бартла - Данфорда - Шварца обобщается на случай конечно-аддитивных функций множества, заданных на кольце со значениями в ЛБП. Приведем это обобщение.

Пусть конечно-аддитивная функция множества ¥ : Я У , заданная на кольце Я , имеет конечную (А ) - полувариацию. Для того, чтобы существовала конечная положительная аддитивная функция множества Л А у , такая, что з ' п

1. Л А обладает свойством /о. у. н./ на кольце Я

2. ± //У//Аг/С£)

3. {¿т. //¥>// необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:

1. (А,/) - полувариация М^обладает свойством /о. у. н./ на кольце Я ;

2. Ра - вариации функций множества, семейства

О /> ф - { х'е обладают свойством .

Также здесь найдены достаточные условия равномерной ограниченности последовательности полувариаций конечно-аддитивных функций множества со значениями в ЛБП.

Полученные результаты находят применения в параграфе 9.

Б § 7 рассматривается свойство Дарбу о множестве значений непрерывной внешней меры. Для неатомических функций множества этот вопрос достаточно подробно исследован //15/, /36/, /50/, /56//. Впервые в работе /б5/ доказана теорема Дарбу для меры, имеющей конечное число атсмов. Однако общеизвестно, какую роль в теории меры и интеграла играет понятие непрерывной внешней меры. В связи с этим установлено, что теорема Дарбу справедлива для непрерывной внешней меры, имеющей конечное число атомов и определенной на классе множеств, замкнутей, относительно конечного объединения и счетного пересечения.

Третья глава посвящена вопросам интегрирования векторной функции по векторной мере.

В § 8 приводятся основные теоремы теории, интегрирования, построенной Бартлсм.

В § 8 изучается проблема предельного перехода под знаком билинейного векторного интеграла Бартла.

Впервые при исследовании: аналитическими методами проблем теории вероятности В.М .Дубровский [22] показал, что если последовательность конечных обобщенных мер сходится на 6 - алгебре ^ к мере Р , а последовательность скалярных измеримых и равномерно ограниченных функций { [п сходится в каждой точке множества Т к функции / №) , то / будет интегрируема по мере У и для любого измеримого множества £

В 1949 году Г.Я.Арешкин [%] ставит следующую проблему: пусть даны функции точки, /п {£) и меры ^ , причем каждая функция инте1рируема, соответственно, по мере ^ . Пусть последовательность мер / Ул.} некоторая образш сходится к мере Ф , а последовательность функций к функции . Требуется найти условия, при выполнении которых функция ? будет интегрируема по мере ? и для любого множества £ будет справедливо равенство /I/. Он ввел и изучил сходимость последовательности скалярных функций по мерам / к функции / /см. определение 9.1/, являющуюся аналогом сходимости, по мере.

Г.Я.Арешкин обобщил теорему В.М.Дубровского на случай, когда последовательность скалярных функций {№ )} сходится по мерам

У к пункции //¿У , а также доказал теорему Витали о предельней переходе под знаком интеграла. Приводим его результат.

Цусть последовательность конечных мер / У*} сходится на 6 - алгебре ^ к мере У , а последовательность /^г конечных измеримых и, соответственно, ^ - суммируемых функций сходится почти всюду относительно меры т к конечной функции Если интегралы последовательности {^ } равностепенно абсолютно непрерывны относительно мер { ^п } » то функция У является У - суммируемой и для любого измеримого множества ^ справедливо равенство /I/.

Фактически Г.Я.Арешкин рассматривает сходимость кемплекса / , ) к комплексу / / )

В дальнейшем проблема, поставленная Г.Я.Арешкинда, интенсивно исследуется. Так, например, Кафиеро /46/ формулирует признак предельного перехода под знаком интеграла в терминах равномерной аддитивности. В.Н.Алексюк [2] для случая скалярных функций точки и скалярных мер показывает, что равностепенная абсолютная непрерывность интегралов последовательности { ^ У*} относительно мер {^п! необходима и достаточна для выполнения равенства /I/.

Аналогичный вопрос рассматривался Г.Я.Арешкинда и В.М. Клшдкинш /II/ для случая, когда ^ - обобщенные меры, В.М.Климкиным /25/ для векторных мер, Л.В.Шкериной /40/ для билинейного векторного интеграла Бартла. И.Добраков /64/ обобщил результаты Кафиеро на векторные функции: и операторнозначные меры.

Однако во всех указанных работах предполагалось, что последовательность мер / сходится к мере У на каждом множестве £ , а последовательность функций / сходится всвду к функции / / .

Л.В.Шкерина /39/ изучает проблему предельного перехода под знаком, интеграла Данфорда, рассматривая сходимость последовательности векторных мер к мере ¥ , а последовательности функций / к функции / , как сходимость комплекса ( (/>П) / к комплексу / ^ > ^) . Ей удалось найти такую сходимость последовательности векторных мер / ^а} к мере У , что теорема Витали о предельном переходе под знаком интеграла верна в случае сходимости последовательности. { / скалярных функций по мере У к функции . Сформулируем этот результат.

Пусть ( Т, 9 </>) измеримое пространство с векторной мерой / и на б - алгебре ^ задана последовательность векторных мер / } , сходящаяся к , причем на в - алгебре 3 л Ж , где 3 - произвольное ф - нуль-множество из ^ , равномерно. Пусть, далее, последовательность / скальных, измеримых и, соответственно, ^ - интегрируемых функций сходится по мере ^ к конечной функции /^У . Если интегралы последовательности равностепенно абсолютно непрерывны относительно мер { Уп) , то функция / является ^ - интегрируемой и для любого измеримого множества £ . т / п. г/с = / /¿р

Проблему Г.Я.Арешкина мы изучаем в смысле сходимости комплекса ( ; ) к комплексу

Для билинейного векторного интеграла Бартла, имеющего прикладное значение решаются следующие задачи. Пусть последовательность векторных мер %} сходится на б - алгебре ^ к векторной мере У . I. Существует ли сходимость последовательности векторных функций к функции / ^^ , существенно более общее сходимости всщу, для которой из равностепенной абсолютной непрерывности интегралов последовательности {Jffnd(/?лJ относительно мер / ^п } следует

V - интегрируемость функции / У^У и выполнение равенства /I/.

2. Если такая сходимость существует, то установить и необходимые условия * - интегрируемости функции и выполнения равенства /I/.

Ключсм к решению поставленных вше задач послужила введенная нами сходимость последовательности функций {У^У/ почти всюду по мерам / Уп} к функции

У , являющаяся аналогом сходимости почти всюду относительно меры У , и условие

Одним из основных результатов этого параграфа является следующее предложение.

Пусть последовательность векторных мер / ^} сходится на 6* - алгебре ^Е к векторной мере У . Если:

1. последовательность полувариаций /// об лада ет свойством ( РСН).

2. последовательность / (измеримых и, соответственно, ^ - интегрируемых функций сходится почти всвду по мерам / %} к измеримой функции /У^У , удовлетворяющей условию [Р) , то для того, чтобы функция /У^У была У - интегрируемой и для любого множества £ £ достаточное если последовательность полувариаций /// ^ обладает свойством (С) , то и необходимо, чтобы интегралы последовательности й/ У*} были равностепенно абсолютно непрерывны относительно векторных мер {

Проведенные исследования позволяют получить аналоги предельных теорем Лебега и Витали для:

1. интеграла Лебега, коэда X, У, % - поле скал^ов;

2. второго интеграла Данфорда /53/, коэда Ъ/ - скальное, а X = £ - банаховы просоранства;

3. интеграла Бартла - Данфорда - Шварца когда / -скалярное, а У = % - банаховы пространства.

В случае скалярных мер сходимость последовательности функций {почти всюду относительно меры У к функции / влечет сходимость почти всюду по мерам ^п/ . Таким образом мы не только получаем результаты Г.Я.Арешкина /9/, но и устанавливаем необходимые условия для У - интегрируадости функции и возможности предельного перехода под знакш интеграла.

Отметим, что леша 9.2, являющаяся аналогом теоремы Рисса, позволила установить, что если комплекс сходится к комплексу по Л.В.Шкериной, то существует подпоследовательность /Лг /^^ последовательности /, для которой комплекс / У*) сходится к комплексу / ^ У/ и в нашем смысле. Следовательно, результаты Л.В.Шкериной /39/, установленные для интеграла Данфорда, непосредственно следуют из наших.

Вопрос предельного перехода под знакш билинейного векторного интеграла Бартла исследован также в терминах равномерной аддитивности и {РО^/А/].

Основные результаты диссертации изложены в работах /29/, /30/» /67-7^/. Озметим, что нами изучены также вопросы сходимости слабо регулярных функций множества /71/, обладающих свойством ( РО (//-/] .

На защиту выносятся следующие основные положения, которые являются новьми для рассматриваемого круга вопросов.

I/ Рассмотрена возможность продолжения свойства с некоторого кольца множеств на более широкое кольцо.

Установлены новые достаточные условия равностепенной абсолютной непрерывности на кольце множеств , при условии абсолютной непрерывности на кольце М & . Обобщена теорема Витали - Хана - Сакса.

Развиты приложения полученных результатов в теории интегрирования.

2/ Известная теорема Сакса обобщена на класс функций множества, без какой-либо формы "полуаддитивности". Получены необходимые и достаточные условия ограниченности вариации неадцитишой векторной функции множества и векторно-значной меры.

3/ Установлены критерии ограниченности, полувариации векторной функции множества. Обобщена теорема Бартла -Данфорда - Шварца на случай конечно-аддитивных векторных функций множества, заданных на кольце множеств.

Доказана теорема о равномерной ограниченности последовательности полувариаций конечно-аддитивных функций множества со значениями в ДВП.

4/ Обобщена теорема Дарбу о множестве значений меры на классы "неатсмических" функций множества без какой-либо формы "полуаддитишости", а также рассмотрен случай, когда функции множества имеют конечное число атсмов.

- 16

5/ Исследована проблема предельного перехода под знаком билинейного векторного инте1рала Бартла. Доказаны теоремы Лебега и Витали о переходе к пределу под знаком интеграла на случай, когда последовательность функций [ (-£)} сходится по мере г к шункции //¿у. Обобщена теорема Рисса.

Выражаю искреннюю благодарность и глубокую признательность научному руководителю доценту В.М.Климкину за научное руководство.

1. Александров А.Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах. - Матем,. сб., 1940, т. 8, с.307-348.

2. Алякин В.А. Некоторые вопросы теории многозначных и полугрупповых мер. Автореф. Дис. .канд. физ.-мат. наук.-Саратов, 1982. - 16 с.

3. Арешкин Г.Я. О переходе к пределу под знаком интеграла Лебега Радона. - Сообщ. АН Груз. ССР, 1949, т. 10,2, с. 69-76.хо.-----0 компактности семейства вполне аддитивныхфункщй множества. Учен. зап. ЛГПЙ им. А.И.Герцена, Л., 1962, т. 238, с. 102-118.

4. Арешкин Г.Я., Климкин В.М. Об однсм обобщении теоремы Витали о переходе к пределу под знаком интеграла. Учен, зап. ЛГПИ им. А.И.Герцена. Л., IS67, т. 987, с. 79-91.

5. Арешкин Г.Я., Алексюк В.Н., Климкин В.М. 0 некоторых свойствах векторнозначных мер. Учен. зап. ЛГШ им. А.И. Герцена. Л., 1971, т. 404, с. 298-321.

6. Арешкин Г.Я., Алексюк В.Н., Гусельников Н.С. Продолжение квазилипшицевых функций множества с алгебры на б" -алгебру. В шб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1973, выл. I, с. 214-225.

7. Арешкин Г.Я., Гусельников Н.С. 0 слабой равностепенной плотности и компактности семейств квазилипшицевых функций множества. В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1975, вып. 5, с. 3-13.

8. Арешкин Г.Я., Агафонова Л.В. Свойство Дарбу для N -треугольных функций множества. В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1978, вып. II, с. 15-23.

9. Безносиков Ф.Д. Об одном обобщении субмеры на булевой алгебре. В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1976, вып. 6, с. 15-24.

10. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления. М.: Наука, 1970. -320 с.

11. Гавурин М.К. (¿бег oUe ^¿¿е^^исАе J/it£gTzaii&n tcutte* .-Mat/?.-, 1936, У. 27, р. 255268.

12. Данфорд М., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962 - 896 с.

13. Меи ер П.А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир,1973 с. 322.

14. Попов В.А. Теорема Бартла Данфорда - Шварца и аддитивные миноранты полумер. - В сб.: Математический анализ и теория функций. М., 1973, вып. 2, с. 173-179.

15. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967- 257 с.

16. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир,1974 с. 165.

17. Рыбаков В.И. Теорша Радона Никодима и представление векторных мер интегралом. - ДАН СССР, 1968, т. 180,8 2, с. 282-285.

18. Рашкин Л.Д. Композиционно-треугольные функции множества. Автореф. Дис. .канд. физ.-мат. наук. - Свердловск, 1984. - 16 с.

19. Халмош П. Теория меры. -М.: ИЛ, 1953 291 с.

20. ХафизовМ.Х. Об абсолютной непрерывности векторно-значной меры. -Мат. заметки, 1975, т. 17, А? I, с. 71-78.

21. S~t¿yoié3 У. X. £g,c¿¿c&né¿naOrtj j-etj о/ /nernd-u QJbd újúp¿¿CQ¿¿OK4 tú 2J¿t¿}¿¿>0 ¿#é£g>z¿¿S cctezr-óbgertcáiAeotem. and c¿*n¿tc£ тггшгг&.-^У.**•^^1973, У. 10, №2, p. I65-Ï7I.

22. Caf¿e to 7. jO^uitipocû a¿ ¿¿rrete so¿¿o ¿S d^f/to d'¿/7t¿gm& d¿ /¿egât'iézatic} COK /НД4М. tfov¿¿i¿¿¿¿ con ¿n¿£gZ<£Ui£á:, &e/td. fc/г?. Maé. Usuir. />¿?¿/¿>?r¿¿ Tf 001.oo, У. 22,JÉ 2, p. 223-245.

23. Pttci Tfe> tA¿¿>vy ¿^ ¿Vitiép'Uiúá'úT?. ,Jhntr.AtaM. » 1940, У. 47, p. 1-50.1942, У. 52, p. 498-521. 60. -k2^ ¿¿/¿/¿¿¿Оя- ¿О && пс^г on ¿¿>??zep. 967-974.61 .iurtwixC ТАг УсА^Оу/гг - НаАя dûJd Méové/Tzj /¿pz -Л/тг-е*.1975, У. 82, № 8, p. 833-834.

24. SUtdéeé X алtoi UÂ<f. У 7. Vecéoz sneaj-wej. -jUtUA. S^twyJ, no 15, Ji/rtet. J/atA. loc.} jt1977.63. ^¿tcAod Л/. Jf d&ïni/tûficy о/ 2/ecïOï -craénetf ¿nea^ute*. ~ J^,f1971, 19. p. I085-I09I.