Функции множества со значениями в упорядоченном пространстве и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К.063.52.13 • по физико-математическим наукам

На правах рукописи

СРИБНАЯ Татьяна Аркадьевна

ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА СО ЗНАЧЕНИЯМИ В УПОРЯДОЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1994 р.

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор Климкин В.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Смолянов О.Г., доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В.П.

Ведущая организация: Воронежский государственный университе1

Защита диссертации состоится " л5"~" уряЛ^гхк-^1994 г. в /А "часов на заседании специализированного совета К 063.52.13 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ростовском государственном университете по адресу: 344104, г. Ростов-на-Дону, ул.Зорге, 5, механико-математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: Ростов-на-Дону, ул.Пушкинская, 148

Автореферат разослан " яс 1994 г.

Ученый секретарь

специализированного совета К 063.52.13 кандидат физико-математических наук, доцент

В.Д.Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Целью работы является изучение некоторых обратных задач теории меры.

Под обратной задачей понимается следующее. Пусть некоторая георема Т справедлива в классической теории меры. Ставится задача: найти условия на функции множества (сокращённо, ф.м.), вообще говоря, не предполагающие аддитивность и какие-либо её форды, при выполнении которых, утверждение, аналогичное теореме Т справедливо.

Например, в классической теории меры справедлив принцип огра-точенности - теорема Никодима: если Я3 = - семейство счёт-га-аддитивных скалярных мер, определённых не ^-алгебре.2 и для побого множества Е € 2

sup { I f(E) I , у € } < «=• ,

го

sup{ I f (Е) I , f € Т , Е € 2 } < .

Тогда обратная задача формулируется следующим образом. Пусть на в -алгебре (или на каком-либо классе множеств) задано некоторое семейство ф.м., о свойствах которого заранее ничего не известно. Требуется выяснить условия, при выполнении которых, семейство ф.м. будет равномерно ограниченным. Одной из первых работ, посвященных решению этой задачи была статья Добракова И. (Rocz. PoL. low. mziem. - ISt*. - V. Ih.-A! 2 (Ser. I)-P.Z0Í-Z05 ). Полностью задача решена Климкиным В.М. (Матем. сб.- 1989. - Т.180 - №3. - С.385-305).

Рассмотрим один из примеров, приводящих к задачам подобного рода. Пусть £ - 6" -алгебра подмножеств множества Т , пусть А = {м} - семейство всех конечных монотонных ф.м., заданных на 2. .В теории игр (Ауман Р., Шэпли Л. Значения для неатомиче-пких игр. - М.: Мир, Т977. - 357 с.) важную роль играет пространство BV(T,X) - банахово пространство функций множества, пре-цставимых в виде разности двух ф.м. из класса /А. ,для любой ф.м. f£BV(T.Z)

iifii-ínfíyuirn +?ст),

В силу теоремы Аумана - Шепли, утверждающей, что для любой ф.м. f € BV(T, •£)

"fll = sufZíl1>(Ej-f(Eк.л) I ,

где sup берется по множеству всех конечных возрастающих последс вательностей тожеств вида ^=£„<= .. =Т , равномерная ограниченность семейства ф.м. ?<=-BV(T,Z) является необходимым ус ловием ограниченности семейства Т в пространстве BV(T,1~)_ Таким образом, возникает вопрос, при каких условиях семействе скалярных ф.м. будет равномерно ограниченным.

Естественно, что при выяснении условий, достаточных для выло/ нения утверждений, аналогичных классическим теоремам теории мер! появляются те или иные классы неаддитивных ф.м.

В связи с этим возникает проблема изучения теории неаддитивш ф.м. Действительно, всякий результат, касающийся неаддитивных ф м., является некоторым достаточным условием выполнения соответс вующей обратной задачи теории меры. И подобно тому, как в класс! ческой теории меры шел переход от скалярных функций к векторным и многозначным, так и в теории неаддитивных ф.м. идет аналогичн: процесс.

Из сказанного следует целесообразность и полезность изучения различных классов неаддитивных ф.м. со значениями в частично уп рядоченном пространстве, являющихся основным

объектом исследования данной диссертации. Отметим, что всяки класс ф.м. со значениями в частично упорядоченном пространстве включает в себя класс многозначных ф.м., то есть таких функций, значениями которых являются непустые подмножества хаусдорфова т пологического пространства, а также класс ф.м. со значениями в группе с квазинормой.

Актуальность темы. Т. Предложенный взгляд на задачи теории mi ры позволяет выяснить границы применения аппарата теории меры д решения ее собственных задач, а также найти подходы к решению н которых задач, которые ранее не бьяи решены в рамках классическ теории меры.

2. В последнее время интенсивно изучаются ф.м. с неклассичес кими областями определения (см., например, работы Алексюка В.Н. Климкина В.Ы.,Пахаева Б.В., Свистулы М.Г.) и с неклассическими множествами значений (см..например, работы Артштейнэ Д., древне ского Л., Толстоногова А.А., Малюгина С.А., Алякина В.А., Прек^ пани А.-М.). Пзрвое связано с внутренней логикой развития теору меры и ее потребностями, а также с идеями квантовой механики. Второе, наряду с чисто теоретическим интересом, объясняется npi ложениями многозначных ф.м. в различных областях математики: в

етематической экономике, теории оптимального управления, теории гр, теории вероятности.

Различные классы неадцитивных ф.м. в последнее время являются бъектом исследования большого числа работ (см..например, работы обракова И., Пап Е., Гусельникова Н.С , Савельева Л.Я., Рашкина .Д., Никифорова В.М.), что вызвано как задачей развития общей еории ф.м., так и тем, что свойства этих более широких классов ф. . позволят в области аддитивных функций получить либо новые ре-ультаты, либо новые и более простые доказательства известных ра-ее утверждений.

В связи с вышесказанным представляется актуальным получение ут-ерждений, аналогичных классическим теоремам теории меры, для не-дцитивных ф.м. со значениями в частично упорядоченном пространст-е (в частности, для многозначных ф.м. и для ф.м. со значениями в руппе с квазинормой) на наиболее широких классах множеств.

Методика исследования. В диссертации используется и развивается редложенный Климкиным В.М. (Изв. ВУЗов.Матем. - 1975. - №2.-С. 16-ТТ8) метод изучения многозначных ф.м., как фунттий множества о значениями в частично упорядоченной полугруппе с определенными войстввми, или, как мы будем говорить в дальнейшем, в частично порядоченной полугруппе с базисом.

Научная новизна.

- Для семейства неадцитивных ф.м. со значениями в частично упо-ядоченном пространстве доказаны теоремы о продолжении одной из орм равномерной непрерывности с т -класса Р на т -класс

о соотношении между различными формами равномерной непрерывности а т -классе И .

- Для неаддитивных ф.м., заданных на классе множеств, более бщем, чем (Г-кольцо, а именно,на т -классе с ^-свойством, : принимающих значения в частично упорядоченном пространстве, до-азаны теоремы Брукса-Джеветта, Никодима, а также критерий Кафьеро 1авномерного отсутствия ускользающей нагрузки.

- Доказаны аналоги теорем Дьедонне и Гротендика для произволь-юго топологического пространства и для семейства неадитив-[ых слабо регулярных ф.м., заданных на алгебре 2! , со начениями в частично упорядоченном пространстве (теорема Гротен-[ика) и в равномерном пространстве (теорема Дьедонне).

- Доказано условие, при выполнении которого регулярная, непре-

б

рывная сверху в нуле ф.м., заданная на алгебре 2 , содержащей класс всех открытых множеств f -топологического пространства, и принимающая значения в частично упорядоченном пространстве, обладает свойством отсутствия ускользающей нагрузки.

-Доказана теорема о продолжении непрерывной сверху в нуле, обладающей свойством отсутствия ускользающей нагрузки с/, -квазитреугольной субмеры, заданной на m -классе Z и принимающей значения в частично упорядоченной полугруппе с базисом, на 6" -кольцо Z => 2 до L -квазитреугольной субмеры, непрерывной в нуле на 2

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение при исследовании ска лярных и векторных; аддитивных ф.м., при исследовании многозначных мер, а также при изучении вопросов, связанных с равномерной непре рывностыо семейства неаддитивных многозначных ф.м. и с продолжен« ем неаддитивных многозначных ф.м.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Х1У, ХУ научных конференциях молодых ученых Самарского госуниверситета (1989, 1990), на XII, XIII, ХУ и ХУ1 Всесоюзных школах по теории операторов в функциональнах пространствах (Тамбов, 1987; Самара, 1988; Ульяновск, 1990; Нижний Новгород, 1991), на Воронежской зимней школе по теории функций и дифференциальным уравнениям в ма тематическом моделировании (1993), на семинаре "Дифференциальные уравнения и меры на бесконечномерных пространствах" в Московском госуниверситете CI993), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (1993).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. В работах I и 2, выполненных в соавторстве, Климкину В.М. принадлежит постановка задач.

Структура и объем работы. Предлагаемая работа изложена на 134 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ, связанных с данной тематикой, приводятся основные результаты диссертации.

Первая глава (§§ 1-4) посвящена изучению равномерной непрерывности семейства неаддитивных функций множества со значениями в частично упорядоченном пространстве.

В § Т приведены основные определения и обозначения. Пусть Т - некоторое множество, 2 - непустой класс под-тожеств множества Т , ^ В 21 . Любые два непересекающихся, тожества А,В£Е , для которых А из 6 £ , называют парой шожеств из 2 и обозначают (А, В) 6 2

Последовательность попарно непересекающихся множеств называют ¡пектром, убывающую последовательность множеств с пустым пересе-гением - локализатором.

Пусть X - частично упорядоченное (сокращенно,ч.у.) множество, тусть е £Х - Базисом ч.у. множества X будем называть та-сое семейство элементов Н ^ [х & X : £ > В У , что

)бозначим через л множество тех элементов

х еХ

, для которых соотношение х е не выполняется. Пару (X* Н) будем называть ч.у. множеством с базисом, или ч.у. пространством.

Всюду в дальнейшем, говоря о свойствах ф.м. семейства го значениями в абелевой группе с квазинормой (&г 1-1)

I 9& 1=0, =1x1, х,у,£С)}

5удем иметь в виду, что этими свойствами обладают ф.м.£|^ эассматриваемые квк функции со значениями в ч.у. множестве К =

с обычным отношением порядка и с базисом Н = { — , г\ говоря же о свойствах ф.м., значениями которых являются непустые тодмножества хаусдорфова топологического пространства, будем иметь з виду, что рассматриваемые функции принимают значения в ч.у. мно-кестве всевозможных непустых подмножеств топологического пространства У с отношением порядка "с: " и с базисом, представляющим :обой фундаментальную систему окрестностей некоторой фиксированной гочки е £ У .

Определение I. Будем говорить, что ф.м. семейства <|>: 2.— (Х , Н), равномерно квазитреугольные, если =е и для любого элемента/ £Н существует такой элемент , что для любой ф.м. ^ £ Ф и для любой пары множеств (А, В) £ 2. справедливы условия: (А) если у ,тоу(АиВ)^Ь ,

(р ) если у(Аив)<{. , то .

Если выполнено только условие («¿) (только условие (р )), то ?).м. семейства Я3 = [f} будем называть равномерно о1 -квазитреугольными (соответственно, равномерно р -квазитреугольными). 2-5495

Если семейство состоит только из одной функции ^ ,

то будем говорить, что функция ^ ~ квазитреугольная (соответственно, Ь (или р )-квазитреугольная ). Приведем некоторые примеры.

Пусть (&, х) - топологическая абелева группа (сокращенно, т. а.г.). Обозначим через совокупность всевозможных непустых подмножеств т.а.г. & .Пусть A,B€j>t(G-). Положим А* Б = =. tol + 4л о- 6 A, i В В } . Обозначим через А и А + В

замыкание множеств А и А+В в топологии т .

Пусть 1Л - фундаментальная система окрестностей нуля в & .

Для любой окрестности U £ UL положим___

£( £(А,В) eJr(G)x ¿(G): A<=T+V , +

Тогда семейство {¿(U), UGlL} образует базу некоторой равномерности на Л (&) . Топологию на , определяемую этой равномерностью, обозначим z

Следуя Древновскому Л., соответствие JUL : Z-*- ¿К G)j

М. ( 0) = {-вс} t _будем называть

аддитивным, если Л (А(УВ) = JUL (А) * М. (В) для любой пары множеств (А, В)S Z ,

субадаитивным, если m.(aU В) <= JJL (А) t- JUL(B) для любой пары множеств (д, g ) е Z. , _

слабо квазиаддитивным, если JJ. (А) ¿=. jiL (A L/ß) -IL (ß) для любой пары множеств (А, В) £ 21 ,

квазиаддитивным, если оно субаддитивно и слабо квазиаддитивно. Семейства аддитивных и квазиаддитивных соответствий, определенных Древновским Л. ( RoC г. Pol. maiem. - 13 76 . - V. iS.--Ni (Ser, I),-P. 15-54 ), семейства i. -внешних мер, определенных Саженковым А.Н. (Метем.заметки. - 1979. - Т.25, -№6. - Г. 913-917, определение 3 ), семейства j- -композиционных Ф.м., определенных Климкиным В.М. (Матем.сб. - Т989. - Т.180. - №3. -С.385-395, определение I ) являются примерами семейств равномерно квазитреутольных ф.м.

О п р е д_е л е н и е 2. Будем говорить, что последовательность (х,Ле^Х Н - сходится к элементу е (и писать Н - tim х = е ), если для любого f\ £ Н существует

п " 9

такой номер п„ , что для всех п> п, справедливо хп п Определение 3. Будем говорить, что ф.м. семейства ; у: HJ, у = обладают на классе мно-

жеств Р =2 свойством:

- равномерного отсутствия ускользающей нагрузки, если для любого спектра i } <= .Р соотношение

H - ¿m f (EJ = £ (I)

выполняется равномерно относительно ^ 6 ,

- равностепенной непрерывности, если для любой последовательности множеств {En}<= Р , Ел ft , соотношение (I) выполняется равномерно относительно G Т

Если семейство ¥={1^} состоит только из одной функции ^ , то будем говорить, соответственно, что функция ^

- обладает свойством отсутствия ускользающей нагрузки на Р (или, что то же самое,не имеет ускользающей нагрузки на Р ),

- непрерывна в нуле на Р

Если для ф.м. у € Ф и для любого локализатора iEп) <=■ Р справедливо соотношение (I), то будем говорить, что ф.м. f непрерывна сверху в нуле на F

В §2 решается задача о продолжении свойства равномерного отсутствия ускользающей нагрузки.

Для семейства однозначных ф.м. вопрос о продолжении свойства равномерного отсутствия ускользающей нагрузки с кольца множеств на порожденное 6"-кольцо рассматривали Арешкин Г.Я., Алексюк В. Н., Климкин В.М. (Уч.зап.ЛГПИ им. А.И.Герцена. - Л., 1971. - Т. 401. - С.298-32Т), Арешкин Г.Я., Гусельников Н.С. (Сб.Матем.анализ. - M.: 1973. - B.I. - С.2И-219), Undtrs J>., L. (/4*-

nufcrcptt m*ih.~ 137Î.-V. S.-P. fZ3~131)t Brooks 1 K. (ReV.

Ko um ma.Hi. Pures el Aff> L.- 1J7t. - У. 13. - /J e. - P. 73 1 - 4 ) » Климкин В.М. (Матем.заметки. - 1977. - Т.2Т . - »6. - С.847-854), Шкерина Л.В. (Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Свердловск, 1980.

- 139 е.), Рашкин Л.Д. (Сб.: Вопросы функц.ан. Мера и интеграл.

- Куйб. гос.универ. - 1964. - С.82-90), Никифоров В.М. (Автореф. дис. ... канд.физ.-мат.наук. - Свердловск, 1985, - 14с.).

Для семейства многозначных ф.м. теорема о продолжении свойства равномерного отсутствия ускользающей нагрузки с кольца множеств Р на кольцо => F была доказана Алякиным В.А. (,Еис.... канд. физ.-мат.наук. - Самара, 1982. - 114 е.).

В §2 рассматривается вопрос о продолжении свойства равномерного отсутствия ускользающей нагрузки с класса множеств, не являющегося кольцом, на класс множеств, также не являющийся кольцом множеств.

Определение 4. Непустой класс множеств, замкнутый относительно образования разности, называется т -классом.

Найдено условие, при выполнении которого дая семейства неаддитивных ф.м. со значениями в ч.у. пространстве возможно продолжение свойства равномерного отсутствия ускользающей нагрузки с т -класса Р на т -класс => Р . Попутно рассмотрен вопрос о соотношении свойств равностепенной непрерывности и равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на т -классе 2Г

Определениеб. Будем говорить, что ф.м. семейства СР= С f} , сконденсированы на классе множест!

Р » если для любого элемента I € Я ) ддЯ любого мно-

жества Е £ 2. и для любого конечного набора ф.м. { у*, - • •, ...,</>„} «= °Р существует такое множество I € Р , что ^ ( Р) <- А для всех Я <=■ Б а £, Р £ 2 , к = 17" .

Теорема I. Пусть монотонные ф.м. семейства СР= С ^ } заданы на т -классе 2 ,принимают значения в ч.у. пространстве и являются равномерно оС -квазитреугольными. Если ф.м. семейства сконденсированы на т -классе Р<= 2 и обладают свойством равномерного отсутствия ускользавшей нагрузки на па -классе Р , то они обладают свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на т -классе 21

Теорема 2. Пусть ф.м. семейства aP~íf} заданы на -классе 2 , принимают значения в ч.у. пространстве и являются равномерно <£ -квэзитреугольными. Если каждая ф.м. У £ 'Р непрерывна сверху внуле, то функции множества семейства сР=Су} обладают свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на 22 тогда и только тогда, когда они обладают свойством равностепенной непрерывности на 21.

Следствие I. Пусть 2 - т -класс. Пусть Я3 = [у) - семейство заданных на 2 , равномерно квазитреугольных ф.м. со значениями:

1) в классе (в частности, семейство квазиаддитивных соответствий),

2) в т.а.г. (в частности, семейство -к -внешних мер),

3) в абелевой группе с квазинормой (в частности, семейство

/ -к омпозиционных ф.м.).

Если ф.м. семейства СР= С } сконденсированы на т -классе Р с. 2 и обладают свойством равномерного отсутствия усколъ зающей нагрузки на т -классе Р , то они обладают свойством

IT

равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на m -классе

Все предыдущие результаты о продолжении свойства равномерного отсутствия ускользающей нагрузки являются частными случаями результатов §2.

Исходной точкой исследований §3 является следующая теорема Брукса - .Ежеветта ( Proc. Nal. Acad. Sei USA.-1370.- V.S7-

- A/3.~ P.IZS'i- 1Z3¿): если Z- (Г -алгебра, В - банахово пространство, ^ : 51 -*- В - последовательность конечно-аддитивных ф.м., таких что каждая ,п £ Д/, обладает свойством отсутствия ускользающей нагрузки на Z , и для любого множества

£ 6Z существует (F) = %(Е) > т0 Ф-м> семей-

ства , л=о, 1^2,...} обладают свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на 2

В работе Faires ß.( An. In si. Fourier. — G-reno Sie. -ms.--V. Z6.-/J 4. - P.3S - /V 4 ) построен пример, показывающий, что на алгебре теорема Брукса - Джеветта не верна.

В связи с этим встает задача: найти условия, которым должна удовлетворять алгебра 2 , чтобы не быть (Г -алгеброй, но чтобы выполнялся аналог теоремы Брукса - Джеветта.

Решению этой задачи посвящены работы Motlo Á. (Proc. Roy¿L So с. E¿Ln&*r^k- i33i.~ Sed. A. 30.-f. /63-113), Sc.hi-c.her-míycr W. (Ulsj er ií iion e s Ma.iL- Wa.rszd.vi, <3gl. - \t.Z i'f.~ P. 1-33 ), CcLnde Loro L. (Ren¿. С С re. mui. Pa L t rmo,- 1SS6r V, 3 _ tf f. - p. ^33-H'i S) г PcLj> Е. С Ati î.. .5 t m. M a. i. Fi s. Univ. MoJ-ипл.- 1JS7.-V. 35. - P. Zi-31), Lucia P. t Mora.LesP. (Conj. SemCn. mai. Univ. Ba.nL. - iJ> ïf. - V. Z Z - P. f~Z3), Pr e сирлпи A-M. ( An. si. Uni-S. „ AL. I. Cut oc ' la. si , S. I. M cet. -

- IJM.-/.3Í,-?. Э 3 - loo) .

В §3 данной работы найдено условие, при котором m -класс 2 не замкнут относительно счетного объединения, ф.м. заданы на 2 , неаддитивны, принимают значения в ч.у. пространстве и имеет место аналог теоремы Брукса - Джеветта. Это условие заключается в следующем: для любых дизъюнктных спектров ( F„ } и {"£„} из существуют бесконечное множество Jh/ и множество F £ 2 такие, что f;«=-F, « £ Л^, и FK F =.Е„ F = * é п £ /У ,

и называется ^ -свойством класса множеств Именно, справедлив следующий результат.

ТеоремаЗ. Пусть 2-т -класс с £ -свойством, { „ } - последовательность заданных на 2 .равномерно р -квазигре-угольных ф.м. со значениями:

1) в классе МСг) (например, последовательность слабо квазиаддитивных соответствий),

2) в т.а.г. (£•, ъ) (например, последовательность 4. -внешних мер),

3) в абелевой группе с квазинормой (например, последовательность ^ -композиционных ф.м.).

Если для любого множества е 21 существуют,соответственно,

?- 'Е) = V- ^» г"^-у- ^= г° (Е)>

кгпХ = 1 у. (Е)|

и кааадая ф.м. у>п,п = о, 1,2.,..., обладает свойством отсутствия уснояь-зеющей нагрузки на 2! , то ф.м. последовательности { у<Л обладают свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на 21

Все полученные до этого обобщения теоремы Брукса - Джеветта на не (Г-полных классах множеств являются частными случаями результатов §3.

Очевидно, что если ф.м. семейства обладают свойством

равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на 2 ( то каждая ф.м. ч> £ не имеет ускользающей нагрузки на "Е. .В §4 построены примеры, показывающие, что обратное, вообще говоря, не верно.

В связи с этим хотелось бы выяснить условия, необходимые и, достаточные для того, чтобы ф.м. семейства СР= обладали свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на 2 при условии, что каждая ф.м.^ £ Ч3 не имеет ускользающей нагрузки на

В классической теории меры на этот вопрос ответил Кафьеро Ф.

( ЯепХ. Асе. Ь/в.х. LirctL.-1SS2.-V.1Si.-A/1Z.-P. <55-14 ).

Он доказал критерий равностепенной непрерывности, что в его частном случае равносильно критерию равномерного отсутствия ускользающей нагрузки, для последовательности конечных обобщенных мер на

(Г -кольце множеств.

В §4 показано, что на т -классе с ^ -свойством для ф.м. со значениями в ч.у. пространстве справедлив аналог теоремы Кафьеро.

Те о р е к а 4, Пусть ф.м. последовательности [ у „} заданы на пл -классе 21 с ^ -свойством, принимают значения в ч.у.

пространстве (X* Н) и являются равномерно квазитреугольныш. Если каждая ф.м. " е /л/» не имее'г ускользающей нагрузки на

2 , то для того, чтобы ф.м. последовательности обладали свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на 5Г , необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента Ъ е Н и для любого спектра {£„}<= 2 существовали такой номер п0 и такое множество £к £ , что

^ ^ ) <■ & . л» •

Из теоремы 4 в качестве следствий получены соответствующие утверждения для многозначных ф.м. и для ф.м. со значениями в абе-левой группе с квазинормой.

Теорема 4 содержит в себе критерии равномерного отсутствия ускользающей нагрузки, которые для последовательности аддитивных ф. м., заданных и обладающих свойством отсутствия ускользающей нагрузки на Г -кольце множеств, со значениями в т.а.г. доказал \VtSer Н. (Носку Моил{«.Сп 7. Ma.il,.-- 19*6-\f.AC.-Nl-Р. 253-275) , а для последовательности аддитивных ф.м., заданных и обладающих свойством отсутствия ускользающей нагрузки на кольце множеств с ^-свойством, со значениями неотделимой равномерной полугруппе - 3'»/»^««. А.В¿иал Р. (0. Mix.iL Апа.1. Лп1 i33i.-v.i5 ч.-ы г.-?. $ог- $гг).

В главе II (§5,6) изучаются вопросы равномерной непрерывности семейства слабо регулярных ф.м. со значениями в ч.у. пространстве. Кроме этого здесь найдено условие, при выполнении которого регулярная, непрерывная сверху в нуле ф.м. со значениями в ч.у. пространстве обладает свойством отсутствия ускользающей нагрузки.

В §5 доказаны аналоги известных теорем Дьедонне Ж. о сходимости ( Апас*. Ас«.с£. Bra.sC /.. Сс.- 1Э51.-У. 23 ГР. 21- 3 В, 2.74- 1?2 ) и Гротендика А. о равномерной непрерывности (Сап«.-¿Са.п lMa.th.--l353.-V. 51.- Р. 113- 173 ) для произвольного

6" -топологического пространства, причем функции множества заданы на алгебре, слабо регулярны, неаддитивны и принимают значения в ч.у. пространстве (теорема Гротендика) и в равномерном пространстве (теорема Дьедонне). В качестве следствий получены соответствующие результаты для регулярного хаусдорфова, для локально компактного и дот нормального пространств.

Следуя Александрову А.Д., пространство будем называть

-топологическим, если класс множеств п замкнут относитель-

но счетных соединений и конечных пересечений, Ф £ 4, Т £ г^ .

Множества из ij будем называть открытыми, а их дополнения -замкнутыми.

Пусть Т и в- некоторые классы не обязательно всех замкнутых множеств. Будем говорить, что классы множеств Э~ и S-1 - отделимы, если для любых непересекающихся множеств и С £ б- существуют такие открытые множества U, V е ^ ¡Л\Ч=Ф, что F <= и, С <= V ■

Определение 6. Пусть £ и М- некоторыэ подклассы класса множеств 2Z . Будем говорить, что ф.м. (Х+, Н)

слабо X -регулярная ( £ -регулярная) на классе JL , если для любого элемента / £ Н и для любого множества AI ёМ* существует такое множество L £ Z , что L <= М , М\ L £ 2, и

(соответственно, у Ш< Я для любого / <= Л(\L , д £ 2 ).

Теоремаб (Обобщение теоремы Гротендика). Пусть ff -топологическое пространство, пусть 5Г - некоторая алгебра подмножеств множества Т , причем , пусть £ класс всех замкнутых множеств, пусть б- и классы Э7 и ^ - отделимы. Пусть ф.м. семейства Т = заданы на алгебре 2 и принимают значения в ч.у. пространстве. Если ф.м. семейства °Р - C<f} равномерно квазитреугольные, слабо 3~ -регулярные на 2 и обладают свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки не ij , то они обладают свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на 2 .

Теоремаб (Обобщение теоремы Дьедонне). Пусть (Г, 2 , 3- и ß - те же, что в теореме 5. Пусть - последовательность квазиаддитивных соответствий у* 2 — jK или последовательность ^ -внешних мер & ■ Если ф.м.

последовательности слабо -регулярные на 2 ,

обладают свойством равномерного отсутствия ускользающей нагрузки на ^ и Для любого U£ 1 последовательность £ ( Ш } фундаментальная, то для любого Е 6 2 последовательность { "f„ С } фундаментальная.

Результаты §5 включают в себя обобщения теорем Дьедокне и Гротендика, полученные такими авторами, как GdnssLer Р. (M*if,. Sca.nd.-ttH.- V.Z3. - P.Z34- 1ЧЧ), Sie С л J. д. (Ргос. Amtr. Maib. &с.- <3 7S- Р. /31- О,),

К ки г а.п ос S. <ß„lL.W. fi,L.n. Jc£.-/.m.-

Исследования §6 связаны с работой Александрова А.Д. "Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах" (Матем.сб. -Т94Т. - Т.9(5Т). - С.563-628), в которой показано, что в любом некомпактном, нормальном, (Г-топологическом пространстве существует регулярная (относительно класса всех замкнутых множеств) конечная, аддитивная, не имеющая ускользающей нагрузки ф.м., которая не является Г-аддитивной.

Естественно встает вопрос: будет ли регулярная, конечная, 6"--аддитивная ф.м, обладать свойством отсутствия ускользающей нагрузки?

Положительный ответ на поставленный вопрос получается как частный случай следующего общего результата §6:

Теорема 7. Пусть (Т, ^)-Г-топологическое пространство, пусть 2. - некоторая алгебра подмножеств множества Т , причем 2 = , пусть 3~ - некоторый класс замкнутых множеств пространства CT, г^) , пусть £<=-5! - некоторый класс множеств. Пусть ф.м. ^ задана на алгебре Z и принимает значения в ч.у. пространстве. Если ф.м. ^ непрерывна сверху в нуле на 2í , квазитреугольная и $ -регулярная на классе множеств £ Ü ^ , то она обладает свойством отсутствия ускользающей нагрузки на классе множеств Z У

В главе ТГТ (§7) продолжены исследования Алексюкв В.Н., Еезносикова Ф.Д!. (Изв. Вузов. Матем. - Т972. - №4. - С.3-9), ДревНОБСКОГО Л. ( BuLL. Áca¿. PaL. Sc.i. Ser. ¡c¿, moith^a-sir-o/,. ei piius.-137Z.-У.го.-МЧ. - P. 2.77-ZS6 ), Гусельникова H.C. (Матем.заметки. - 1975. - Т.17. - №1. - C.2T-3T), Малюгина С.А. (Матем.заметки. - 1979. - Т.26. - №2. - С.285-292), Савельева Л.Я. (Сиб.' матем.ж. - 1983. - №2. - С.ГЗЗ-149), Добракова И. ( Molí h. SLoi/ac а .- 1SS1/. - v. - /V J. - Р. Z65 - Z 71 ) и др., посвященные проблеме продолжения неадцитивнкх ф.м.

В §7 рассматривается вопрос о продолжении «t -квазитреугольной субмеры (субмерой называется монотонная ф.м.), заданной на м -классе 2 и принимающей значения в ч.у. полугруппе с базисом.

Приведены примеры, показывающие, что »(--квазитреугольная субмера может не быть непрерывной в порожденной FU - топологии ( BuLL. Ata.i . Pol- Sei. le г. sei. ma-ih., л sí го п. t i j> hu s . - 137 Zr V. 2,0, - ЫЧ. - P. ZG3-2.7S ). Следовательно, при решении вопроса о продолжении <L -квазитреутольной субмеры у , нужно либо

строить топология на Z , относительно которой <-f была бы равномерно непрерывной, либо строить искомое продолжение конструктивно.

В §7 выбран второй путь, то есть продолжение Л -квазитреугольной субмеры строится конструктивно.

Доказана теорема о продолжении непрерывной сверху в нуле и обладающей свойством отсутствия ускользающей нагрузки </, -квазитреугольной субмеры со значениями в ч.у. полугруппе с базисом с m --класса Z на & -кольцо Z э2 до -квазитреугольной субмеры, непрерывной в нуле на ZI

В качестве следствий получены: теорема о продолжении векторной субмеры Добракова, ранее непосредственно доказанная Алякиным В./., Адольфом В.А. (Изв. ВУЗов. Матем. - 1968. - №12. - С.54-56), и являющаяся новой для рассматриваемого круга вопросов,следующая ниже теорема_о продолжении oi -квазитреугольной субмеры со значениями в IR

Те ope м а8. Пусть Z- m-класс подмножеств множества Т . Если о!« -квазитреугольная субмера непрерывна сверху в нуле и обладает свойством отсутствия ускользающей нагрузки на 2 , то существуют_(Г -кольцо 21 ^ Z и cL -квазитреугольная субмера ^ на Z , такие что _

1) Y является продолжением_ у на 2: ,

2) - полная функция на Z. ,

3) f сконденсирована на кольце R(Z), порожденном Z ,

4) sp непрерывна в нуле на 21 ,

5) множество Е£ Z тогда и только тогда, когда Б=Ад В , где И е Z^j.15 , »«Д1, J(A') = D

В заключение отметим, что работа с ф.м. со значениями в ч.у. пространстве позволила, с одной стороны,получить новые результаты для неаддитивных многозначных ф.м., а с другой стороны, новые результаты в области аддитивных вещественнозначных и векторно-значных ф.м.

Благодарю Климкина В.М. за научное руководство и постоянное внимание к работе.

- класс счетных объединений множеств класса 21 - класс счетных пересечений множеств класса 21

СЛИСОН РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Климкш В.М., Срибная Т.А. Исчерпываемость регулярной функции множества в топологическом пространстве // Матем.заметки. -1991. - Т.50. - №5. - С.43-4?.

2. Климкин В.М., Срибная Т.А. Продолжение квазитреугольной субмеры // Изв.ВУЗов. Матем. - 1992. - №2. - С.42-48.

3. Срибная Т.А. Равностепенная абсолютная непрерывность функций множества со значениями в частично упорядоченном пространстве. - реп. в ВИНИТИ от ГГ.07.89, Рукопись представлена Самарским госуниверситетом. - №4588 - В89. - 26 с.

4. Срибная Т.А. Функции множества со значениями в частично упорядоченном пространстве // Сб.: Функц.анализ. Линейные пространства. - Ульяновск, 1990. - С.Н7-Т26.

5. Срибная Т.А. К вопросу о равномерной непрерывности семейства неаддитивных функций множества // Матем.заметки - 1991. - Т. 50. - №6. - С.126-130.

6. Срибная Т.А. Об одной теореме Ф.Кафьеро // ХУ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. - Ульяновск, 1990. - C.8I.

7. Срибная Т.А. Продолжение квазитреугольной субмеры в частично упорядоченной полугруппе // ХУ1 Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез.докл. - Нижний Новгород, 1991. - С.216.

8. Срибная Т.А. Обобщение георемы Брукса - /.'жеветта для неаддитивных функций множества // Теория функций. .Еифференциальные■ уравнения в математическом моделировании: Тез.докл.школы. -Воронеж: ВГУ. - 1993. - С.122.