Гомологическая теория размерности малых категорий и упорядоченных множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

од

/ 2 ДЕН • На правах рукописи

Хусаинов Ахмет Аксанович

УДК 513.83

ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ МАЛЫХ КАТЕГОРИЙ И УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ

01.01.04 - Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1997

Работа выполнена в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете при финансовой поддержке грантового центра но исследованиям в области математики при Новосибирском госуниверситете

Оффициалъные оппоненты: доктор физико-математических наук

часов на заседании специализированного совета Д 002.23.02 при Институте математики Сибирского отделения РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Голубятников В.П.

доктор физико-математических наук

профессор Кузьмин Ю.В.

доктор физико-математических наук

профессор Яковлев A.B.

Ведущая организация: Московский государственный

университет им.Ломоносова

Защита состоится ^-вюХ^рЭх 1997 года в

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

д.ф.-м.н.

В.А.Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основы гомологической теории размерности малых категорий были заложены Барри Митчелом в серии ра-5от, опубликованных в 1968-1982 годах. Каждой малой категории с ставятся в соответствие три числа: когомологическая размерность o.d.c , размерность Хохшильда-Митчела dim с и зависящая эт абелевой категории «4 глобальная размерность gl.dim c«t категории erf функторов с -*■ л. Основной задачей теории размерности малых категорий является вычисление этих чисел, по заданной малой категории. Значительный вклад в развитие этой теории внесли О.А.Лаудал, У.Оберет, Ч.Ч.Ченг и Б.В.Новиков. Различным аспектам этой теории были посвящены докторские диссертации 3.3. йеха, Б.Митчела, В.Спирса, Х.Брюна, В.И.Кузьминова. В случае, когда малая категория является частично упорядоченным множеством, поскольку категория определенных на ней функторов изоморфна категории пучков над подходящим топологическим пространством, гомологическая теория размерности частично упорядоченных множеств является разделом гомологической теории размерности топологических пространств.

Теория глобальной размерности категории функторов восходит к теореме Гильберта о цепях сизигий, интерес к этой теории значительно повысился после подтверждения Д.Квилленом и A.A. Суслиным гипотезы Я.-П.Серра. Для частично упорядоченных множеств развитие этой теории стимулирует результат М.Хвппнера и ¡С.Ленцинга [1] о том, что проективные объекты в категории диаграмм модулей свободны.

Размерность Хохшильда-Митчела была введена в [2] .В случае, когда малая категория является моноидом, эта размерность равна размерности Хохшильда моноидного кольца. Митчелом установлено, что для любых малой категории с и абелевой категории «1 с точными суммами верна оценка gl.dim <м s dira с + gi.dim «4. Основанная Митчелом теория размерности Хохшильда-Митчела была успешно развита ЧЛ.Ченгом [3] и развивается по сей день [4] . Определенный прогресс был достигнут Х.-И.Бауэсом и Г.Виршингом 151, изучавшими когомологии категории факторизации, гомотопические свойства которой задолго до этого исследовались Д.Квил-леном.

Одна из задач гомологической теории размерности малых категорий - нахождение условий lim-ацикличности проективных систем объектов абелевой категории. Эта задача изучалась К.-Е.Русом [б], Дж.Милнором [73, Б.Греем [8], О.А.Лаудалом [9], Р.Де-евелам [Ю] , ее решение значительно продвинуто топологами -В.И.Кузьминовым [11 ]-[12], С.Мардезкичем и А.В.Прасоловым [13], Е.Г.Скляренко [14], Д.А.Эдвардсоы и Х.М.Хастингсом [15].

Центральным достижением теории размерности упорядоченных множеств явилось вычисление когомологической размерности частично упорядоченных мнокеств, двойственных направленным. Вклад в решение этой проблемы внесли К.Иенсен, Дкон Мур, Реми Гобло, Алекс Хеллер , окончательное решение получено Барри Митчелом [2], [16], установившим, что для направленных мнокеств конфинальности *п эта размерность равна п+1.

Но проблема вычисления размерности Хохшильда-Митчела остается открытой даже для линейно упорядоченных множеств.

Долгое время оставалась нерешенной проблема Б.Ыитчела [2] о размерности множества вещественных чисел. Решение этой проблемы С.Бальцержиком [171 было значительным вкладом. В настоящей диссертации удалось вычислить размерность более общих линейно упорядоченных множеств - подмножеств числовой прямой, имеющих мощность континуума. Однако при вычислении размерностей произвольных числовых множеств и подмножеств обобщенных кавторов-ских множеств пришлось привлечь дополнительные теоретико-множественные предположения.

Цель работы. Цель настоящей диссертации - показать, что во многих случаях проблемы вычисления размерности Хохшильда-Митчела и глобальной размерности категории функторов сводятся к изучению производных функторов функтора предела,следовательно могут быть решены классическими методами, разработанными ы. Андре, О.Лаудалом, У.Оберстом [18] . И, используя этот подход, решить конкретные проблемы вычисления этих размерностей для линейно упорядоченных и конечных частично упорядоченных множеств.

Научная новизна. Доказано, что для малых категорий с сокращениями размерность Хохшильда-Митчела равна размерности Ба-уэса-Виршинга. Приведен пример малой категории , для которой эти размерности не равны. Выработан новый подход к вычислению размерностей частично упорядоченного множества, основанный на изучении групп гомологий нервов открытых интервалов. Вычислены когомологическая размерность джойна и размерность Хохшильда-Митчела ординальной суммы частично упорядоченных множеств. Найден критерий выполнения равенств

gl.dim = dim <C + gl.dim <4 для конечных частично упорядоченных множеств с и абелевых категорий «а, установленный Б.Митчелом в частных случаях. Дан ответ на поставленный в 1966 году В.И.Кузьминовым вопрос [19, проблема 2.35] об ацикличности сумм копий ацикличного спектра конечно-поровденных абелевых групп. Построена допускающая компактную топологию проективная система абелевых групп над счетным направленным множеством, счетная сумма копий которой не lim-ациклична. Доказано , что размерность Хохишльда-Ыигчела всякого имеющего мощность континуума подмножества множества вещественных чисел равна 3- Доказано, что в предположении выполнения хотя бы для одного натурального числа п строгого неравенства 2 > кп+1 общая гипотеза Б.Митчела о размерности

линейно упорядоченных множеств неверна. Установлено,что выполни

нение для всех натуральных п равенств 2 = нп+1 эквивалентно утверждению о том, что размерность Хохшльда-Митчела всякого линейно упорядоченного, множества,содержащего полуплотное подмножество меньшей мощности, равной при некотором натуральном п , равна п+з . В предположении обобщенной гипотезы континуума общая гипотеза Б.Митчела подтверждена для линейно упорядоченного множества , содержащего полуплотное подмножество меньшей мощности, либо содержащегося в качестве полуплотного подмножества в линейно упорядоченном множестве большей мощности.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы как для развития гомологической теории размерности неотделимых то-

дологических пространств, так и при исследовании колец инци-денций частично упорядоченных множеств. Представляется возможным обобщение результатов на диаграммы в предабелевых категориях с дальнейшим применением в топологической алгебре и функциональном анализе.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на расширенном совместном заседании Московского математического общества и Московского топологического семинара, посвященном памяти академика П.С.Александрова (Москва, 1988), на Международной конференции по алгебре (Новосибирск, 1989), на Втором советско-японском симпозиуме по топологии ("Теория размерности и сменные вопросы", Хабаровск, 1989), на Второй международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.И.Ширшова ( Барнаул, 1991), на Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ( Новосибирск, 1996 ), посвященном памяти А.А.Ляпунова, А.П.Ершова, И.А.Полетаева. Результаты регулярно докладывались и обсуждались на семинарах "Топология", "Теория колец" в Институте математики СО РАН. В 1996 году основные результаты докладывались на семинаре им. Д.К.Фадцеева в Санкт-Петербургском отделении Института математики им. В.А. Стеклова, на семинаре кафедры высшей алгебры Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, на семинаре "Алгебра и геометрия" ИМ СО РАН им. С.Л.Соболева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Каздая глава разбита на параграфы. Объем диссертации - 210 страниц. Библиография содержит 89 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ниже везде Ab - категория абелевых груш и гомоморфизмоа. Верхние и нижние грани подмножеств множества натуральных чисел н будут рассматриваться в множестве (-ЦиНи W .

Для произвольной малой категории с категория функторов из (С в Ab абелева, допускает достаточное число инъективных и проективных объектов, обладает точными произведениями и точными направленными копределами, обозначим эту категорию через саь. Функтор предела lim£: <£Ab -> Ab точен слева и , стало быть, обладает правыми производными limj : саь -»- аъ -

Когомологической размерностью o.d.c малой категории с называется верхняя грань множества натуральных чисел п , для которых функторы 11л£ ненулевые.

Пусть с - малая категория. Для любой пары морфизмов а: a-»b , р: о-м! из с можно рассматривать отображение с(«,р): c(d,a)-xc(o,b) множеств морфизмов категории с, сопоставляющее каждому морфизму ч: й-»-а композицию . Это определяет

функтор с(-,=): £орхс Ens в категорию множеств Ens, определенный на декартовом произведении категории <сор ( дуальной категории с ) и категории с. Ниже повсюду 1: Епз-*аь будет функтором, сопоставляющим каждому множеству порожденную этим множеством свободную абелеву группу , а отображению - продолжающий это отображение гомоморфизм. Пусть LC: ioi>x<c-*-Ab - композиция функторов L и «(-,=). Нижняя грань длин п проективных резольвент о М pQ р1 ■*- ... Рп о объекта ыс в категории функторов <сорх<с-»-АЬ называется размерностью Хохшиль-

да-Митчела малой категории с и обозначается через dim с. Ясно, что размерность dim <£ будет равна верхней грани чисел пен , для которых функторы Extn(LC,-): (iopx<c)Ab -*■ аь ненулевые.

Для изучения груш Extn(LC,F), при Fe(<topxc)Ab, в [51 была предложена следующая конструкция, с успехом примененная ранее в теории гомотопических пределов в [20] :

Пусть с - малая категория. Ее категорией факторизаций называется категория, объектами которой служат все морфизмы категории с, а множества морфизмов « р между любыми а, р е Мог с состоят из всех таких пар (f,g) морфизмов категории с, что g«cfi = р . Композиция и тождественные морфизмы определяются покомпонентно.

Размерностью Бауэса-Виршинга Dim с малой категории с называется когомологическая размерность o.d.C' категории факторизаций.

Определен функтор (a,t):£'-> сорх<с, сопоставляющий каждому объекту категории <с*, суть морфизму а из с, пару (sa, t«) объектов из с, состоящую из начала в« и конца t« морфизма се, и действующий на морфизмах как (i,g) |—(f,g) . Х.-И.Бауэс и Г.Виршинг установили, что для любых малой категории с, функтора Р: <с0рхс —»- аь и натурального числа п имеет место изоморфизм Extn(L<t,F) а 11л^,Р<>(вД) , откуда немедленно вытекает неравенство dim с s Dim <С .

Пусть, например, <£ - частично упорядоченное множество. Замкнутым интервалом с концами a,be<D называется его подмножество [a,b]={xet : а*змЬ}. В этом случае категорию факторизаций можно интерпретировать как упорядоченное отношением включе-

ния множество его замкнутых интервалов.

В диссертации вопросы гомологической теории размерности малых категорий и упорядоченных множеств исследуются с помощью изучения когомологий категории факторизаций.

Во введении приводится краткий обзор работы.

. Глава I посвящена сравнению размерностей Хохшильда-Митче-ла и Бауэса-Вирпшнга, причем эти размерности определяются относительно произвольной абэлевой категории с точными произведениями.

Малая категория с , каждый являющийся ретракцией морфизм которой равен тождественному морфизму, называется категорией без ретракций.

Натуральной системой объектов в категории «й на малой категории с называется произвольный функтор с1-»- «л .

В §1.4 результаты [5] обобщаются на когомологии с коэффициентами в натуральных системах объектов абелевой категории, доказанные в [53 для натуральных систем абелевых групп.

Пусть *г - аОелева категория с точными произведениями, Р : с ->■ «4 - натуральная система объектов в «4 на малой категории <с . Рассмотрим положительный комплекс к*(с,?) объектов кп(с,Р), равных при п=о произведению псеС Р(10), а при п > о - произведениям Кп«с.Р) = Пц,^.....вп) ^«п-Г'--""^ • взятам по

всем последовательностям тампонируемых морфизмов («.,.о^,.--.«д)

категории с . Морфизмы <1п: Кп(с,Р)-»-кп+1 (с,Р) определяются как суммы (1п= ¿^ (-1 , где : Кп(с,Р)-^Кп+1 (с,?) - морфизмы, определяемые условием равенства композиции

.....

КП(<С,Р)--К1*1 (с,У)-^(«^-...-сс, )

при О < 1 < п+1 морфизму рг, V , при

^ ----»«1+1 "«1.....«п+1^

1=0 - КОМПОЗИЦИИ Р(а- , 1 )"РГ/ ч , 3 При 1=11+1 - КОМ-

позиции Р(1 .<*п+1 )"РГ(а . Объекты к-х когомологий комп-

лекса к*(с,Р) называются к-ми объектами когомологий категории с с коэффициентами в натуральной системе р и обозначаются через н1^«:,?).

Для произвольных малой категории <с и абелевой категории <4 с точными произведениями обозначим через Ит^ : <с«4 -*■ «4 правые к-е сателлиты функтора предела. Следующее утверждение обобщает результат [5, теорема 4.41, доказанный в [5] при «¿=АЬ.

Предложение 1.4-.2. Для любых малой категории с , абелевой категории а с точными произведениями и натуральной системы Р на <с в «1 для всех кем имеют место изоморфизмы Нк(с,Р)а<1зл1^,Р.

Для каздого п>0 объект Кп(с,Р) содеркит подобъект к"(<£,Р), равный произведению объектов Р(<хп"...) , взятому по последовательностям морфизмов, ни один из которых не равен товдест-венному. Положим к®(с,р) = к°(с,Р) . Если с - малая категория без ретракций, то подобъекты к^(<с,р) <=кп (<£,?) будут составлять подкомплекс К*(с,Р) комплекса К*(с,Р) .

Теорема 1.4.3. Пусть <с - малая категория без ретракций, - абелева категория с точными произведениями. Тогда для любой натуральной системы Р на с в »1 объекты нк(<с,Р) для всех кем

изоморфны к-м объектам когомологий комплекса к*(с,Р) .

Когомологической размерностью o.d.^c малой категории с относительно абелевой категории »4 с точными произведениями называется верхняя грань натуральных чисел п , для которых функторы lira£: сл л ненулевые.

В §1.4 доказано, что n-е объекты когомологий Хохшильда-Митчела с коэффициентами в функторе Т: <сорхс <4 изоморфны объектам Hn(c,P"(s,t)) когомологий с коэффициентами в натуральной системе P'-(s.t), для всех пеМ (следствие 1.4.5). Пользуясь этим обобщением соответствующего результата из [5], можно определить размерность Хохшильда-Митчела dim^t как верхнюю грань чисел п , для которых действующие на ?e(<Dopx<c)«t как F |—»• iimJ,P'-(s,t) функторы являются ненулевыми.

Аналогичную роль играет предложение 1.4.2. Оно позволяет определить размерность Dim^c Бауэса-Виршинга относительно произвольной абелевой категории «а с точными произведениями как когомологическую размерность o.d.^c категории факторизаций.

Устанавливаются неравенства o.d.rf<c & dimrfc i Dim^c , для любых малой категории с и абелевой категории «1 с точными произведениями. Ясно,что первое из неравенств может быть строгим. Пример 1.4.8 показывает, что для идемпотентного моноида Е, состоящего из двух элементов, размерности равны dim Е = О и Dim е = 1 , и значит второе из этих неравенств может быть строгим. Тем не менее в §1.5 доказана

Теорема 1.5.2. Для произвольной малой категории с с сокращениями и абелевой категории «4 с суммами и точными произведениями верно равенство Ditn^c = dim^« .

Эта теорема - основной результат главы I.

В работе [21] было установлено, что для любых малой категории € и подмножества z s Ыог с неравенство dim <£ & 1 влечет оценку dim е-1с s 1 размерности для категории частных категории <с , полученной обращением морфизмов из £ . Аналогичное утверждение для Dim доказано в [53- Теорема 1.5.2 позволяет дополнить эти факты утверадениемм о том , что для произвольной малой категории с с сокращениями размерность подкатегории iso (с) s с , состоящей из всех обратимых морфизмов категории с , не больше чем dim £ ( следствие 1.5.4 ) .

Б-Митчел [2] установил, что неравенства dim с * 1 недостаточно для того, чтобы категория <с была категорией итерированных частных категории путей ориентированного графа, ибо таковой не является Е, удовлетворяющая неравенству dim Е & 1. Мы видам, что даже из неравенства Dim с * 1 не следует, что с -категория итерированных частных свободной категории.

Глава II посвящена гомологической теории размерности частично упорядоченных множеств. Основным в этой главе является новый подход к вычислению размерностей удовлетворяющих условиям конечности частично упорядоченных множеств. При этом подходе нахождение размерностей сводится к исследованию груш гомо-логий нервов открытых интервалов.

Пусть . с - частично упорядоченное множество. Для любых ее элементов а,ъ е с открытым интервалом в с называется подмножество ]а,Ь[ = { хес : а < х < b } . Если в частично упорядоченном множестве с все открытые интервалы конечны, то а: называется локально-конечным .

Впервые исследования по теории размерности конечных частично упорядоченных множеств были начаты в диссертации Б.Мит-чела в i960 году. В [22] было установлено, что если с - непустое конечное частично упорядоченное множество, и для некоторой абелевой категории <л разность gl.dia <ы - gl.dim л равна ш;2 , то эта разность равна п и для любой другой абелевой категории а . Это позволило охарактеризовать конечные частично упорядоченные множества размерностей Хохшильда-Митчела о, 1, 2. Было дано описание [22, теорема 4.6] конечных частично упорядоченных множеств, для которых gl.dim <Ы - gl.dinwt г з . Это описание оказалось верным и для локально-конечных [23] . Однако в диссертации Спирса были построены примеры таких конечных частично упорядоченных множеств с, что число gl.dim <ы - gl.dim «г зависит от <4. Б.Митчел указал примеры конечных частично упорядоченных множеств «с, удовлетворящих для одних абелевых категорий «t строгим неравенствам gl.dim <ы < dim с + gl.dim *i , а для других - равенству gl.dim <Ш = dim <Е + gl.dim et .

В главе II для произвольной абелевой категории л , в терминах групп целочисленных гомологий нервов открытых интервалов характеризуются конечные частично упорядоченные множества, для которых имеющая место для всех абелевых категорий <4 оценка

gl.dim <М s dim С +gl.dim »4 превращается в равенство. В тех же терминах описываются пары локально-конечных частично упорядоченных множеств сию, удовлетворяющих равенству dim C*D = dim <С +■ dim D .

В §ы.1 вычисляется размерность ординальной суммы частично упорядоченных множеств.

Теорема II.1.5. Пусть х и у - произвольные частично упорядоченные множества. Тогда

dim (X+Y) = sup { dim X , dim Y, 1 + c.d. XopxY } . Пусть pt = {0} - состоящее из одного элемента частично упорядоченное множество. Положим сх = pt + х .

Дкойном x*y частично упорядоченных множеств х и y называется подмножество сх * cy \ {(0,0)} декартового произведения сх х cy . Отношение порядка на джойне определяется как ограничение отношения порядка произведения частично упорядоченных множеств ох и cy .

Доказывается, что для любых частично упорядоченных множеств х и Y верно равенство { предложение II.1.8 ) o.d.X*Y = 1 + o.d. X х Y . В §11.2 исследуются вопросы теории размерности конечных топологических пространств, основанной на теории когомологий с коэффициентами в пучке.

Частично упорядоченное множество <£ называется конечным ^лева, если для всех оес конечны множества

W(o,C) = {xe<C:z<o} . Теорема II.2.7. Пусть с и d - конечные слева частично упорядоченные множества. Тогда строгое неравенство

o.d. С х D < o.d.<t +■ o.d.D шеет место в том и только том случае, когда з * o.d.с < , 3 i o.d.D < оо и, сверх того, для любых аеС и xeD порядки тариодических частей групп целочисленных гомологи® Hp(W(a,c)) i Hq(W(z:,o)), при p=o.d.c - 2 и q=o.d.D-2, взаимно просты, а Hp+1(W(a,«)) = Hq+1(W(x,D)) = О .

В §и.з доказывается важное вспомогательное предложение II.3.2. В частности одним из его очевидных следствий является выполнение неравенств gl.dim <ы * dim с + gl.dim «4 не только для категорий «л, обладающих точными суммами, как это было установлено Б.Ыитчелом, но и для любых абелевых категорий «1 с суммами, допускающих достаточное число проективных объектов.

Предложение II.3.2. Пусть и - абелева категория с суммами и достаточным числом проективных объектов, с - малая категория. Тогда для любых функторов F,G: с-»-* существует спектральная последовательность первой четверти, типа

EP'4=limP, £ Ertq(P(sa),G(ta)) } Ert^F.G)

Основой предлагаемого подхода служит

Предложение II.3-7. Пусть «4 - произвольная абелева категория, с - малая категория. Если для всех оес множества Ob(c/o) конечны, либо для всех оес множества оъ(о/с) конечны, то для любых функторов P.G: с -+• «4 существует спектральная последовательность Е®'4 = lin^,{Extq(P(B«),G(t«))} Bxtp+<1(P,G) .

Для произвольных малой категории <с , абелевой категории л и объекта а&й определим объекты Нп(<е,а) как значения limj да правых п-х сателлитов < если эти сателлиты существуют ) на функторе да, принимающем постоянные значения, равные А на объектах и 1А:А-»-А - на морфизмах категории с . Существует единственный функтор с -*■ pt . Этот функтор определяет морфизмы Hn(pt,A)-*Hn(c,A). Пусть НП(С,А) - коядра этих морфизмов. При к<о и с*0 положим нк(е,А)=о. По техническим соображениям определим для пустого множества н-1(0,а)=а и 5^(0,а)=о при к * -1.

Для любых частично упорядоченного множества с , элемента

oec , аОелевой категории «t и объекта Ае«4 обозначим через А[о] функтор , принимающий на хе<с значения А[о] (х)=о при х*о,

и а[о](о)=А . Можно доказать, что в случае о л gl.dim «4 < ® глобальная размерность gl.dim с$л будет равна верхней грани чисел new , удовлетворяющих для некоторых А , в е <4 и a, b е с соотношению Extn(A[a].B[b]) # о .

К.Игусой и Д.Захарией [243 в случае, когда <4 - категория векторных пространств над полем к , для любых а < ь из с установлены изоморфизмы

Нп-2( ]а,Ъ[ , к ) * Ertn( k[a],k[b] ) . Этот факт обобщается на произвольные абелевы категории «4 :

Теорема II.4-4. Пусть с - конечное частично упорядоченное множество, а < ъ - элементы из с , »4 - произвольная абелева категория, А и в - объекты из «4. Тогда существует спектральная последовательность первой четверти

Нр_2( Ja,b[ , ExtQ(A,B) ) -»■ Brt^i Aia], Bib] ) .

Про абелеву группу А будем говорить, что она делится на mew, если для каждого аеА уравнение тх=а имеет по крайней мере одно решение в А .

Теорема II.4.8. Пусть с - непустое конечное частично упорядоченное множество размерности р = dim с , «4 - абелева категория конечной глобальной размерности q * о. Тогда неравенство gl.dim С4 < dim с + gl.dim «4 справедливо, если и только если выполнены следующие два условия: 1) р > Э ; 2) для любых элементов а л b из с группа нр_2()а,ъ[) нулевая, и для кавдой пары объектов А,в е ей группа Ext4(А,в) делится на порядок периодической части группы нр_3(]а,ь[) .

Пусть m(c) - верхняя грань чисел new , для каждого из которых существует такая пара элементов asb из с , что нп(]а,ь[) не равна нулю.

Следствие II.4.1 о. Следующие свойства конечного частично упорядоченного множества с размерности dim с i 3 эквивалентны:

(a) для любой аОвлевой категории <¿ конечной неотрицательной глобальной размерности имеет место равенство

gl.dim С<4 = dim <Е + gl.dim «4 ;

(b) для каждого простого числа m > 1 выполнено равенство gl.dim CZ^-mod = dim <с , где - поле вычетов по модулю m ; (о) группы гомологий E^í]a,b[) при п=ш(<Е) либо свободные, либо нулевые, для всех a s b из <с ;

(d) разность gl.dim <ш - gl.dim а не зависит от абелевой категории «4 неотрицательной конечной глобальной размерности.

В §11.5'найден критерий выполнения равенства dim с х г = dim с + dim с для локально конечных частично упорядоченных множеств:

Теорема и.5.1. Пусть <с и D - локально конечные частично упорядоченные множества. Тогда неравенство

dim С х ю < dim С +■ dim D справедливо, если и только если выполнены следующие условия:

(a) 3 < dim С < <» , 3 < dim D < <*> ;

(b) ДЛЯ ЛЮбЫХ aibH3€HxsyH3D , При р = dim <С - 2 И q. = dim с - 2 , группы нр(]а,Ь[) и H^Ux.yU нулевые, а порядки периодических частей групп Нр_1 (]а,ъ[) и н^ (]х,у[) взаимно просты.

Для произвольной категории «t проективными системами (объ-

ектоа и морфизмов ) в «4 называются функторы, принимающие значения в «<t и определенные на категориях , двойственных направленным множествам. В главе Iii изучаются вопросы, связанные с обращением в нуль значений производных функторов функтора предела на проективных системах абелевых груш. Для направленных множеств с конфинальности Кд , при -1 £ п а » справедливо равенство o.d.cop = ri+1 [16],однако в теории размерности частично упорядоченных множеств часто требуется уметь строить конкретные проективные системы F:cop-»Ab такие, что limn+1P * о . Этой задаче посвящен §lli:i.

Пусть с - малая категория. Для произвольного объекта сес через bh° обозначим композицию функторов Ь: Ешз-*аь и h°= с(о,-):с -»• Епв. Для произвольного функтора Г:<с -»■ Ab под суммой Е КОПИЙ £jvF будем понимать сумму ?е функторов Ре=Р .

Предложение ш.1.4. Для любой непустой малой категории с конечной когомологической размерности p=o.d.c значения

limc %or€ ^оес не равны нулевой группе.

Для произвольного множества в через |Е| обозначим мощность множества Е .

Следствие III.2.1. Если <£ - такое частично упорядоченное множество, что сор - направленное множество конфинальности для некоторого пен , то существует функтор Р:С-»АЬ, обладающий свойствами:

1) lin£+1 У * О ;

2) |*(о)| = ^ для всех сес .

Для иллюстрации других применений предложения ш.1.4 в

§111.2 строится проективная система, iim-ацикличность которой зависит от гипотезы континуума. Здесь и ниже под iim-ациклич-ной подразумевается такая проективная система абелевых груш, что для всех п > о выполнены соотношения lim11 р = о . Отроятся проективные системы F , над произвольными направленными множествами конфинальности , состоящие из свободных абелевых групп и ретракций, удовлетворяющие lim11? * о .

В §§з-4 главы III изучается вопрос о сохранении свойства lim-ацикличности проективной системы при переходе к сушам копий. В.И.Кузьмшов заметал, что суммы копий произвольной проективной системы конечных абелевых груш lim-ацикдичны и высказал предположение о том, что суммы копий iim-ацикличной проективной системы конечно-порозденных абелевых груш lim-ацикличны [19, проблема 2.35] . В §111.3 доказана эквивалентность этого предположения гипотезе Уайтхеда о том, что абелевы группы, обладающие свойством Ext(G,z) = о, свободны. Модели теории множеств, удовлетворяющие системе аксиом Цермело-Френ-келя и аксиоме выбора, ..будем называть моделями zpo. Существуют модели ZFC г в которых построены [25] ( как в предположении обобщенной гипотезы континуума, так и в ее отрицании ) несвободные абвлевыв группы, обладающие свойством Ext(G.z) = о . По каждой такой груше можно построить к предположению Кузьминова контрпример. Тем не менее, если модель ZFC удовлетворяет аксиоме конструктивности, то гипотеза Уайтхеда справедлива [25]. В этом случае предположение Кузьминова справедливо.

В §Ш.З обобщается свойство lim-ацикличности сумм копий проективной системы конечных абелевых груш. Пусть с - аддити-

вная группа приведенных по модулю 1 вещественных чисел , АЬ* -категория компактных абелевых групп и непрерывных гомоморфизмов, U:Ab*->Ab - забывающий топологическую структуру функтор.

Предложение ill.3-3. Пусть G = (G^^ - такая проективная система в АЬ*, что абелевые группы АЬ*(с^,0) для всех iei являются конечно-порожденными. Тогда суммы Е копий ( в lopAb ) проективной системы будут Иш-ацикличными для любых

множеств Е .

В частности, lim-ацикличнн суммы копий проективной системы WGi)}iej » Для которой состоит из конечномерных торов и непрерывных гомоморфизмов.

Основной результат главы III:

Теорема III.3-б. Следующие утверждения (К) и (W) эквивалентны:

(К) сумма Е копий всякой lira-ацикличной проективной системы конечно-пороздеиных абелевых груш iim-ациклична для любого множества Е ;

(W) если абелева груша G обладает свойсвом Ext(G,z) = о , то она свободна.

Тем самым дан ответ на вопрос [19, проблема 2.35].

Следствие ill.3.7 показывает, что в предположении аксиомы конструктивности проективная система конечно-порожденных абелевых групп {<\}ieI будет lim-ащошганой в том и только том случае, когда абелевая группа oolimI{Ab(Gi,z)} свободна.

В §Ш.4 построен пример lim-ацикличной проективной системы абелевых груш над счетным направленным множеством, счетная сумма копий которого не lim-ацшшгша.

Глава IV посвящена главным образом проблемам теории размерности линейно упорядоченных множеств. Обозначим через ь>п , при new , наименьший ординал мощности . В работе [2] была вычислена размерность вполне упорядоченных множеств всех, кроме изоморфных ы1 , ы2 , ... , ù>n , ... . Эти вычисления продолжил в диссертации Г.Брш и установил , что dim wn = n-и . Установленная в [26] для частично упорядоченных множеств формула dim £ = вир { dim [а,Ъ] : а,Ьес } позволила Б.Митчелу передоквзвть результат Г.Брюна. Б.Митчел установил неравенство dim с s и + 2 для линейно упорядоченных множеств мощности ^ и выдвинул следующее предположение:

Общая гипотеза Митчела. Размерность dim с произвольного линейно упорядоченного множества <t, супремум мощностей замкнутых интервалов которого sup { |[a,b]| : a,b е <с } равен , равна п + 2 .

кг>

Теорема С.Бальцержика [17] показывает, что при 2 > к., общая гипотеза Митчела неверна. Вопрос о том, справедлива ли

*п

она в предположении 2 = , оставался открытым. В настоящей работе дан отрицательный ответ на этот вопрос.

Поскольку обобщенная гипотеза континуума совместима с системой аксиом Цермело-Френкеля и аксиомой выбора, существуют модели ZEC, удовлетворяющие следующему предположению:

(сни) Для всех натуральных чисел п справедливы равенства кардинальных чисел 2 = нп+1 .

В главе IV доказано , что если предполагать утверждение (СНЩ) ложным, то общая гипотеза Митчела неверна. Тем не менее

вопрос о ее справедливости в предположении (СНо) остается открытым, и в различных частных случаях получает положительный ответ в главе I? .

Определение. Подмножество 1st частично упорядоченного множества « называется шлуплотным (в с ) , если каждый содержащий более одного элемента замкнутый интервал [а,ь] из с имеет непустое пересечение с I .

Всякое подмножество произвольного частично упорядоченного множества с будем рассматривать как частично упорядоченное множество, отношение порядка в котором равно ограничению определенного на с отношения порядка. В §IV.2 установлено следующее свойство монотонности размерности Хохшильда-Митчела на классе линейно упорядоченных множеств относительно вложимости:

Теорема IV.2.1. Пусть с - линейно упорядоченное множество. Тогда для каждого подмножества Is<£ имеет место неравенство

dim I s dim с .

Следствие IV.2.2. Если I - полуплотное подмножество в линейно упорядоченном множестве с, то

dim I s. dim ts1 + dim I .

На основе следствия IY.2.2 доказано, что если существует

хотя бы одно такое new, что 2 > кп+1 , то общая гипотеза Митчэла неверна ( следствие ГУ.2.3 ) .

В §rv.3 вычисляется размерность линейно упорядоченного множества, допускающего вложение в качестве полуплотного подмножества в линейно упорядоченное множество большей мощности.

Предложение IY.3.2. Пусть Let - полунлотное подмножество линейно упорядоченного множества с такое, что |i| = ^ < |<с( , при некотором пек .Тогда dim Г = п+2 в каждом из

следующих случаев: 1)п = 0; 2)п>оихп = 21 .

В §iv.4 вычисляются размерности несчетных линейно упорядоченных множеств, содержащих счетные полуплотные подмножества.

Теорема IV.4.1. Пусть <с - несчетное линейно упорядоченное множество, содержащее счетное полуплотное в с подмножество.

Тогда если 2*° < 2Iе' , то dim с = 3 .

Последний результат применяется к подмножествам числовой прямой к .

Теорема IV.4.2. Пусть с s R - произвольное подмножество

*п

числовой прямой. Тогда если мощность множества с равна 2 и , то dim с = 3 .

Это один из главных результатов диссертации. Из теоремы IV.4.1 вытекает также

Следствие IV.4.3. Если г < 2 , то размерность Хох-шильда-Митчела любого несчетного подмножества числовой прямой равна трем.

В §iv.5 следствие IV.2.2 обобщается на решетки ( теорема IV.5.1 ) . В §iv.6 вычисляется размерность линейно упорядоченного подмножества, содержащее полуплотное подмножество меньшей мощности.

Теорема iv.6.1. Пусть I - полуплотное подмножество линейно упорядоченного множества <с такое, что |с| > |1| = ¡^ для

некоторого 1 i п < а» . Тогда если ^ = 2*11-1 и г"11 < г'1' , то dira I - п + 3 .

к 1

Следствие IV.6.г. Если г = ^ при некотором 1 s n < а>,

то для всякого линейно упорядоченного множества с мощности 2 , содержащего полуплотное подмножество мощности Кд , имеет место равенство dim с = n + 3 .

Теорема IV.6.4. Предположение (СНЫ) равносильно следующему утверждению:

( D ) если линейно упорядоченное множество с содержит полуплотное в i подмножество меньшей мощности, равной «п для некоторого new , то dim с = n + 3 .

и

Для произвольного new рассмотрим множество сп = {0,1} всех функций, заданных на множестве w(t>n) = {а - ординал : « < о>п } и принимающих значения о и 1. Упорядочим элементы из <сп следующим образом: Для любых функций £,g:W(un) -»- {0,1} рассмотрим наименьший ординал р < ып среди ординалов « < ып таких, что f(cc) sí g(a) ; положим i < g если í(p) < g(p) , и t > g - в противном случае. Множество «п с определенным таким образом отношением порядка будет линейно упорядоченным множеством. Пусть Ндса^ - множество тех функций ф: w(un)-»> {0,1}, для каждой из которых существует такой ординал р < un , что Ф{р)~л и ф(«) = о при а > р. . Например HQ будет изоморфно множеству всех рациональных чисел, a <cQ - множеству Кантора. Следствие

*л-1

IY.6.2 показывает, что в предположении 2 = « размерность

dim «п равна n+З- Известно, что при том же предположении всякое линейно упорядоченное множество мощности к^ допускает вложение в . Для каждого ординала у < «п обозначим через {0,1 }v подмножество из Я^ , состоящее из таких функций <р: W(0>n) -*■ {0,1} , ЧТО ф(г) = 1 И <J>(a) = О при а > у . В ПрвДОО-

ложении (СНЫ) в §III.Y доказывается, что если линейно упорядоченное множество с мощности Кд допускает вложение в подмножество {0,1}7 с Нд для некоторого ординала у < ь>п , то dim с = п + 2 .

Теорема IV.7.3. Пусть £ - подмножество мощности 2 линейно упорядоченного множества {0,1}* , для некоторого ординала ч < «п+1 . Тогда, в предположении (снш) , размерность Хохшильда-Митчела dim с равна п + 3 •

' ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Установлено равенство размерностей Хохшильда-Митчела и Бауэса-Виршинга для малых категорий с сокращениями.

2. Разработан новый метод вычисления глобальной размерности категории функторов,определенных на конечном частично упорядоченном множестве и принимавдих значения в абелевой категории. В терминах групп гомологий нервов открытых интервалов найден критерий равенства этой размерности сумме глобальной размерности абелевой категории и размерности Хохшильда-Митчела конечного частично упорядоченного множества.

3. Решена поставленная в 1966 году проблема В.И.Кузьмино-ва об ацикличности сумм копий ацикличного спектра конечно-по-

рожденных абелевых груш.

4. Вычислена размерность Хохшильда-Митчела числовых множеств мощности континуума.

5. Доказано, что общая гипотеза В.Митчела о размерности линейно упорядоченного множества неверна даже в предположении гипотезы континуума.

6. В предположении обобщенной гипотезы континуума вычислена размерность Хохшильда-Митчела линейно упорядоченного множества, которое либо содержит плотное подмножество меньшей мощности, либо само допускает вложение в качестве плотного подмножества в линейно упорядоченное множество большей мощности.

ЛИТЕРАТУРА

1. H'ôppner Ы., Lenzing H. Projective diagrams over partially

ordered sets are free // J.Pure Appl.Algebra. 1981. Y.20.

P.7-12.

2. Mitchell B. Rings with several objects.//Adv. Math. 1972.

v.a. p.1-161.

3. Cheng C.O. Deltas of Hochsohild dimension one // Proo.

Amer.Math.Soo. 1977. V.67, M 2. P.221-223-

4. Cheng C.C., Wong R.ff. Hereditary deltas // J.Algebra.

1994. V.167, N 1. P.1-8.

5. Baues H.-J., Wirsching G. Cohomology of small categories

// J. Pure Appl. Algebra. 1985. V.38, N 2/3. P.187-211.

6. Roos J.-E. Sur les fonateurs derives de lim. Applications

// C.r.Aoad.soi. Paris. 1961. T.252,. N 24. P.3702-3704.

7. Milnor J. On axiomatic homology theories // Pacific J. ol Math. 1962. V.12, N 1. P.337-341.

8. Gray B.I. Spaoes of the same n-type, for all n // Topology. 1966. V.5, N 3. P.241-243.

9. Lauclal O.A. Note on projective limit on small categories// Proo.Amer.liath.Soo.1972. V.33, N 2. P.307-309.

10. Deheuvels R. Homologie des ensembles ordonees et espaoes topologiciues// Bull.Soo.math.Pranoe.1962. Ш.90. P.261-321.

11. Кузьминов В.И. О производных функторах функтора проективного предела//Сиб. мат. журн.1967. Т.8, N 2. С.333-345-

12. Кузьминов В.И. Производные функторы проективного предела и классы расширений // Сиб. мат. журн. 1971. Т.12, N 2. С.384-396.

13- MardeMiK S., Prasolov У. Strong homology is not additive// Proo.Amer.Math.Soo.1988. V.307, N 2. P.725-744.

14. Скляренко Е.Г. Некоторые применения функтора ^im1 // Мат. Сб. 1984. Т.123, И 3. С. 369-390 .

15. Edwards D.A., Hastings Н.М. On topological method in homologioal algebra// Proo. Amer. Math. Soo.1976. У.59, N 2. P.389-393-

16. Mitchell B. The oohomologioal dimension of a direct set // Ganad. J.Math.1973. V.25, N 2. P.233-238.

17. Baloerzyk S. The oohomologioal dimension of the ordered set of real numbers equals three// Fund.math. 1981. V.111, N 1. P.37-44.

18. Oberst U. Basisweiterung in der Homologie Icleiner Kategorien// Math.Z. 1967. Bd.100. S.36-58.

19. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 11-е, доп. Новосибирск: Ин-г математики СО АН СССР, 1990.

20. Dwyer W.G., Kan D.M. Function oomplexes for diagrams

of slmplioial sets// Indag. Math. 1983- Y.45. P.139-147.

21. Cheng C.C., Wu Y.-C., Mitchell B. Categories of fraotions preserve dimension one//Commun.Algebra.1980.У.8.P.927-939

22. Mitohell B. On the Dimension of Objeot and Categories II. Finite ordered sets// J.Algebra.1968.Y.9, M 3. P.341-368.

23. Cheng C.C. Pinite partially ordered sets of oohomologioal dimension one// J.Algebra. 1976. V.40, N 2. P.340-347.

24. Igusa K., Zaoharia D. On the oohomology of inoidenoe algebras of partially ordered sets//Commun. Algebra.1990. V.18, N 3. P.873-887.

25. Эклоф П. Теоретико-множественные методы в гомологической алгебре и теории абелевых групп. М.: Мир, 1986.

26. Mitohell В. A Remark on Promotives in Punotor Categories // J. Algebra. 1981. V.69, N 1. P.24-31.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

27. Хусаинов А.А. Когомологии малых категорий с коэффициентами в абелевой категории с точными произведениями // Сиб.мат. журн. 1989. Т.30, * 4. С. 210-215.

28. Husainov A.A. Cohomology of small oategories // Quest, and Answ.General Topology. 1990. V.8. Speoial Issue. P.179-184.

29. Хусаинов А.А. Гомотопическая эквивалентность накрытия и

спектральная последовательность расслоения // Сиб.мат.журн. 1991. Т.32, ЛИ. С. 141-147.

40. Хусаинов A.A. о группах рлоширвиий в категории абелешх диаграмм // СиС.мат. ¡гсурл.1992. Т.33, .№1 .С. 179-185.

41. Хусаинов A.A. О размерности Хохшильда-Митчела числовой прямой /7 Докл. Ali СССР. 199?. Т.32?, № С. .

"V. Хусаинов A.A. О размерности Хохшильда-Митчяпя упорядоч-нит. множеств "иб.мат.жури. 19'РГ'. Т.33, '>. <*..■"■ 11 i5.

• •. Хуояиног. A.A. Размори.'orí. Хпхшильда-Митчнля мт-ж^с тни ¡^-го-СТВОН1ШХ чисел равна 3 // Сиб.мат.журн. 199". Т.34. № 4. С.217-г;?7.

-■4. Хусаинов A.A. Размориость Хохшильда-Митчола линейно утр;; доченннх множеств и гипотеза континуума // Сиб. мат. журн. 1994. Т. Зг'. # г>- О,.1171 1184.

35. Husainov A.A. On the Hooh.eoliild-Mitoh.ell dimension of subsets of the reals // Second Intern. Conf. in Algebra. CBarnaul, 1991). Contemp. Math. 1995. V.184. P.207-213-

36. Хусаинов A.A. О размерности Хохшильда-Митчела малых кате-тегорий // Второй сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, ч.2. Новосибирск, Ин-т математики СО РАН. 1996. С. 196-197.

37. Хусаинов A.A. Не lim-ациюзичшб суммы копий // Сиб. мат. журн. 1996. Т.37, * 2. Р.464-474.

38. Хусаинов A.A. О глобальной размерности категории коммутативных диаграмм в абелевой категории // Сиб. мат. журн. 1996. Т.37, Л 5. С.1181-1194.