О циклических упорядоченных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ .2

Некоторые обозначения .

ГЛАВА I. П - МЕРНО ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ.

§ I. У1 - мерно циклически упорядоченные множества.16

§ 2. УЬ - мерно упорядоченные и П - мерно циклически упорядоченные группы . 24

ГЛАВА П. СТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП .

§ I. Понятие верхнего конуса циклического порядка в циклически упорядоченной группе . 33

§ 2. Некоторые свойства циклического порядка в группе . 36

§ 3. Свойства верхнего конуса циклического порядка.38

§ 4. Критерий верхнего конуса циклического порядка . 43

§ 5. О % - выпуклых подгруппах . 47

§ 6. Продолжение циклического порядка. Критерий циклической упорядочиваемости для абелевой группы.53

ГЛАВА Ш. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИИ.

§ I. Теорема о вложении для групп с линейно упорядоченным нормальным делителем.59

§ 2. Циклически упорядоченная группа и подгруппа бесконечно малых .69

§ 3. Критерий циклической упорядочиваемости групп.77

Актуальность теш

В различных областях математики находят приложение алгебраические системы, на которых задано некоторое отношение порядка, согласованное с алгебраической структурой. Теория упорядоченных систем является важным разделом современной алгебры. Крупный вклад в развитие этого раздела внесли Д.Гильберт, Г.Нейман, Г.Биркгоф, А.И.Мальцев, Е.Артин, О.Шрайер, Р.Бэр, Х.Хан, А.Робинсон и др. (см., например, [4], [13], [21], [25] ).

Одним из объектов изучения в теории упорядоченных алгебраических систем является класс упорядоченных групп. Наиболее детально изученными являются линейно и решеточно упорядоченные группы ( [4]г [5], [28] ). Отметим, что в значительной степени интерес к линейно упорядоченным группам первоначально стимулировался тесной связью архимедовски линейно упорядоченных групп с аддитивной группой вещественных чисел, установленной теоремой Гельдера [23].

Аналогичным образом, рассмотрение мультипликативной группы комплексных чисел приводит к понятию циклически упорядоченной группы; наиболее известным примером циклически упорядоченной группы является тороидальная группа [18]. Различные свойства циклически упорядоченных групп изучались в ряде работ, в том числе в [2], [26], [29], [30], [33]. Была исследована связь между линейно и циклически упорядоченными группами. В частности установлено, что каддуго линейно упорядоченную группу можно циклически упорядочить, а каждая циклически упорядоченная группа может быть получена специальным образом из некоторой линейно упорядоченной [29]. Исследовались также топологические свойства циклически упорядоченных групп Г33].

Введение понятия УЬ - мерного порядка позволяет рассматривать линейно и циклически упорядоченные группы с единой точки зрения. Распространению понятия упорядоченности на П - мерный случай посвящены работы [8 - II], [15], Г1б],[27]. В £9], Г14] с помощью аппарата 2-мерного порядка проводится изучение 2-упо-рядоченных полей.

В настоящей работе предложена аксиоматика У1 -мерно упорядоченных и \Х- мерно циклически упорядоченных групп, исследованы простейшие их свойства, приведены примеры. Подход к циклически упорядоченным группам как к двумерно упорядоченным системам, позволяет глубже изучить их внутреннюю структуру, в частности, ввести понятие верхнего конуса циклического порядка.

В различных разделах алгебры часто используются теоремы вложения [3], [28]. Наш получены теоремы вложения для групп с линейно упорядоченным нормальным делителем, в частности, найдено усиление теоремы Сверчковского [ 30] для циклически упорядоченных групп. Найден также теоретико-групповой критерий циклической упорядочиваемоети групп.

Цель работы

1. Построить элементы теории П -мерно циклически упорядоченных и УЬ -мерно упорядоченных групп. Исследовать класс локально конечных групп, допускающих \Ъ - упорядочивание.

2. Используя аппарат У1- мерного порядка, изучить внутреннюю структуру циклически упорядоченных групп. В частности, ввести понятие верхнего конуса циклического порядка, рассмотреть вопросы факторизации циклически упорядоченных групп, способы продолжения циклического порядка в группах.

3. Исследовать вопросы о вложении для некоторых классов групп с линейно упорядоченным нормальным делителем.

4. Получить критерий циклической упорядочиваемости группы.

Краткое содержание работы

Работа состоит из введения и трех глав.

В главе I рассматривается обобщение понятия циклически упорядоченного множества и циклически упорядоченной группы. Прежде всего, вводятся основные определения и обозначения.

Пусть Д е Д/, X - произвольное непустое множество и

- антисимметричная функция. Множество ,УСХ назовем невырожденным в 0(> ^ 1 если существуют ^ , . ^ У такие, что Ц-п,

Определение. Множество называется гранью в <Х, если существует элемент а еХ , для которого (Хги, сС)ФО . Грань О- называется (строго) внешней гранью в <Х> если ( ^ ^

Все элементы внешней грани называются внешними точками в ^Х, ^

По].

Замечание. Через х« , о*к. , Зк и т.д. будем обозначать линейно упорядоченное множество из К элементов:

Определение. Пару назовем \Ь - упорядоченным множеством, если функция ^ удовлетворяет следующим условиям:

С1. Если на Хп+г^Х , то в <Х«+х,^> существует, по крайней мере, две внешних грани.

02. Если ХпсХ, а, £,сеХ и а > £) = (Хл-* , ё, с)-1, то ^ (Хи-Л, 1 (аксиома транзитивности).

03. Пусть £сХ> Ш^Яя+Л, - грани причем Уг>/ . Тогда существует в - - ж та // \ кое, что № (£ Яп^ХУ) (аксиома плоскости).

Проиллюстрируем геометрический смысл аксиом С1-СЗ при , , , где - естественная ориентация на множестве точек плоскости, причем £ в точности тогда, когда точки X , ^ , X лежат на одной прямой.

Пусть на Хл+Я . Это означает, что существует, по крайней мере, три точки из , не лежащие на одной прямой. Грань будем отоадествлять с отрезком прямой, соединяющей две точки из , причем хотя бы одна из оставшихся точек из Хп+2, не лежит на этой прямой.

Аксиома С1 утверждает, что если во множестве {Хп+ъ,^ провести все грани, то существует, по крайней мере, две из них, для каздой из которых оставшиеся две точки лежат по одну сторону от нее.

Геометрический смысл аксиомы С2 заключается в следующем: если точки а, в, с лежат по одну сторону от грани (33*, Х& ), а точки а и с лежат по разные стороны от грани , 4 ), то точки в и с лежат по одну сторону от грани (Хл, & ).

Другими словами, на множестве {&, с} отношение ОС*у У у.) - ± является отношением порядка.

Рассмотрим теперь аксиому СЗ.

Пусть точки X* , Х&, ^ , лежат на одной прямой, причем 00^ * ОС а , ^¿Ф Цц . Пусть далее, ,

1 ОС с, и с £> £ и в 5 существует хотя бы одна точка, не лежащая на указанной ранее прямой. Тогда, для всех X* X £ (Х^Хл, { (¡/*,яО » или для всех X е Я в зависимости от расположения

Хл , Ць на прямой.

В работе показана эквивалентность аксиом BI-B5, В6" [16] \Ъ - упорядоченного множества с указанной аксиоматикой.

Определение. ti - упорядоченное множество f назовем П. - циклически упорядоченным, если X - невырожденное и функция ^ удовлетворяет условию

CIS. Если на Хп+асХ ^ принимает хотя бы одно значение, не равное нулю, то каждый элемент, принадлежащий X tt+z > является внешней точкой в (аксиома внешних граней).

Предложение. YI - мерный циклический порядок при YI-Z совпадает с обычным циклическим порядком [ЗОН .

Определение. Система <(£/.> называется YI - упорядоченной ( П - циклически упорядоченной) группой, если - fl

- упорядоченное (ft - циклически упорядоченное)множество,

- группа и функция порядка ^ согласована с алгебраической структурой £ :

Vf тЛХпи (KW>= K«Xiw*))

Приводятся примеры Я - упорядоченных и ti - циклически упорядоченных групп.

В частности, каждой линейно упорядоченной группе ',"0> можно сопоставить при четном ti Yl- циклически упорядоченную группу < /г, ^ , если положить

CLik<CLCo)\f. - . V(.CLin.<OL¿o*-.'<OLin-*.)l

Пусть Jl¿ - мультипликативная группа кватернионов с единичной нормой, M={0Ct}> Xr=CLri ¿rj+Ct-K + el г * Положим

CLd-CLo íi-lo Cd-Co di-CÍo

CU-Cío ¿z~L Си.-Со dz-do

CLz —CLo Сз-Со oís-do

Хч-cío 4ч-lo Cv - Со d<t-do

Тогда четырехмерная циклически упорядоченная группа.

Доказаны некоторые свойства \Ь - мерно упорядоченных и УЬ -- мерно циклически упорядоченных групп.

В частности справедлива

Теорема. Каждая локально конечная ГЬ - упорядоченная группа с невырожденным порядком является уь - циклически упорядоченной.

Одну из характеристик двумерно упорядоченных групп указывает следующая

Теоиема. Каадая двумерно упорядочиваемая группа тогда и только тогда вкладывается с сохранением порядка в группу С всех корней из единицы, когда она локально конечна.

Следствие. Группа С всех корней из единицы - максимальная локально конечная двумерно упорядочиваемая группа.

Заметим, что формально для понимания содержания глав П, Ш не требуется знакомства с понятием - мерно циклически упорядоченной группы. Однако, такое знакомство позволяет лучше понять содержание этих глав; с другой стороны, сами понятия и теоремы, изложенные в этих главах, наиболее естественным образом возникают, если рассматривать циклически упорядоченные группы как двумерно упорядоченные.

Глава П посвящена изучению строения циклически упорядоченных групп.

I. Верхний конус циклического порядка.

Пусть - циклически упорядоченная группа. Наряду с тернарным отношением будем пользоваться в дальнейшем также функцией и)', (г2—* О, , для которой и> С*, у> и>(*,у,зс)=4; и)(ос, Я)-О в точности тогда, когда, по крайней мере, два аргумента совпадают.

Показано, что функция ц) является функцией двумерного циклического порядка, а группа *,и)У есть двумерно циклически упорядоченная группа.

Определение. Множество £и'-{йсь£1й)сх-1)е,х)10} назовем верх-ншл конусом циклического порядка группы ^ £> %

В работе приведен ряд примеров верхнего конуса циклически упорядоченных групп. В частности, для циклически упорядоченной группы, полученной естественным образом из линейно упорядоченной группы, верхний конус циклического порядка и положительный конус линейного порядка совпадают.

Изучены свойства верхнего конуса циклического порядка. В частности, доказана

Теорема. По известному верхнему конусу циклического порядка этот порядок восстанавливается единственным образом.

Другими словами, пусть - группа, й)± и - функции циклических порядков на ^ А, • > . Если значения ы)± и совпадают на множестве всех троек вида (ос^ё, , то и)± = и)з/. Одним из основных результатов главы П является Теорема. Пусть - группа > Для того, чтобы множество £-было верхним конусом некоторого циклического порядка-на группе К *У , необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям:

СО Iй-V (¿"-Г'иро^с, с» в сз) у^х (ос-* д.и-яс.с.и'У> * (СЬ)

С¿Г) ЛеРо.ЛФе с.; ч Итак, циклический порядок в груше можно отождествить с верхним л ¿6 конусом (Г .

2. О циклическом и линейном порядках в группе.

Так как понятие положительного конуса линейно упорядоченной группы аналогично понятию верхнего конуса циклически упорядоченной группы, в теории циклически упорядоченных групп имеют место многие предложения, являющиеся аналогами теорем для линейно упорядоченных групп. Рассмотрим, в частности, вопрос о факторизации циклически упорядоченных групп.

Определение. Подгруппа Н циклически упорядоченной группы называется выпуклой в & , если

Ч^ъЧ^К С Ге,ОС,Ле//7)где

Справедливо следующее.

Предложение. Факторгруппу циклически упорядоченной группы £• по - выпушюму нормальному делителю Н можно циклически упорядочить, причем порядок в естественным образом индуцируется порядком из .

Подчеркнем, что указанная аналогия имеет место далеко не всегда. Например, ядро сохраняющего порядка гомоморфизма одной циклически упорядоченной группы в другую, в общем случае, не является вС - выпуклым нормальным делителем.

Пусть 0(£)=2г- Известно, что группы , можно циклически упорядочить ( [I8J ). Рассмотрим отображение такое, что /(&)= $г . Очевидно, -что / является гомомофзмом, сохраняющим щшшческий порядок, однако { не является % - выпуклой подгруппой группы .

- 10

Определение. Гомоморфизм циклически упорядоченной группы <£4/, в циклически упорядоченную группу <(0-2.», м)5> назовем тривиальным £ - гомоморфизмом, если У^ х (. Другими словами, ^ является тривиальным % - гомоморфизмом, если функция и)а тоздественно равна нулю на /(&).

Предложение. Ядро нетривиального £ - гомоморфизма одной циклически упорядоченной группы в другую является % - выпуклым нормальным делителем.

Имеет место

Теорема. Абелева группа циклически упорядочиваема в точности тогда, когда циклически упорядочиваема ее периодическая часть.

Предложение. Пусть £ - группа, ¿ - ее £• - линейно упорядоченный нормальный делитель, причем - циклически упорядоченная группа. Тогда группу 0- можно циклически упорядочить с продолжением порядка на Ь , причем Ь будет <£ - выпуклым нормальным делителем"" О- и порядок, индуцируемый на 0-/Ь , будет совпадать с исходным.

В главе Ш получен ряд результатов о вложении для некоторых классов упорядоченных групп, в частности, теорема, доказанная для циклически упорядоченных групп, является обобщением известной теоремы Сверчковского.

Одним из основных результатов этой главы служит

Теорема. Пусть (т - группа, I - ее 0- - линейно упорядоченный нормальный делитель. Если - коммутативна, то существует линейно упорядоченная группа 2* такая, что

1) Ь* с сохранением порядка;

2) ¿ есть Г -"линейно упорядоченный нормальный делитель группы С = ;

3) £ С ь/ь

Пусть *>14)У> - циклически упорядоченная груша, -- ее верхний конус.

Определение. Элемент называется бесконечно малым элементом, если \fctt Сх^еС") V .

Предложение. Множество ¿ всех бесконечно малых элементов циклически упорядоченной группы £ образует вместе с ее единицей X - выпуклый нормальный делитель группы £ .

Будем называть 1/ * подгруппой бесконечно малых элементов циклически упорядоченной группы % Ы>У.

Предложение. I есть £ - линейно упорядоченный нормальный делитель группы £ .

Определение. Циклически упорядоченную группу £ назовем архимедовской, если подгруппа бесконечно малых элементов ¿г{е}.

Эквивалентное определение архимедовски циклически упорядоченной группы было введено Сверчковским в Г 30 .

Предложение. Факторгруппа является архимедовски циклически упорядоченной группой.

Следствие. Тороидальная группа Тс есть максимальная архимедовски циклически упорядоченная группа.

К числу основных результатов главы Ш относятся

Теорема. Пусть % и>У- циклически упорядоченная группа,

- подгруппа бесконечно малых элементов £ . Тогда существует группа Ь * , являющаяся упорядоченным расширением Ь такая, что с сохранением порядка.

Следствие. (Теорема Сверчковского). Кавдая циклически упорядоченная группа вкладывается в прямое произведение тороидальной и некоторой линейно упорядоченной групп.

Получен также следующий критерий циклической упорядочивавмости групп:

Теорема. Группа О- циклически упорядочиваема в точности тогда, когда выполняются условия:

1) 71£)с То * где То - тороидальная группа;

2) 0-/Т((г) линейно упорядочиваема;

3) коммутант группы 0-' не содержит периодических элементов.

Следствие. Пусть Ь - циклически упорядоченный нормальный делитель группы £• , £ ' - не содержит периодических элементов и - линейно упорядоченная группа. Тогда группу £ можно циклически упорядочить.

Научная новизна

Введены понятия Д - упорядоченной и К> - циклически упорядоченной групп; при этом, I - упорядоченная группа есть линейно упорядоченная группа, 2 - циклически упорядоченная группа - обычная циклически упорядоченная группа. Исследован класс 11 - упорядоченных локально конечных групп. Получена характеристика группы С как максимальной локально конечной 2-упо-рядоченной группы с нетривиальным порядком.

Изучен класс циклически упорядоченных групп с использованием аппарата 2-порядка. Введено понятие верхнего конуса циклически упорядоченной группы, полностью определяющего циклический порядок в группе. Получен критерий того, что данное подмножество группы является верхним конусом некоторого циклического порядка. Рассмотрена факторизация циклически упорядоченной группы по X - выпуклому нормальному делителю. Изучены некоторые вопросы продолжения циклического порядка.

Получены теоремы вложения для групп с линейно упорядоченным нормальным делителем, в частности, для циклически упорядоченных групп. Изучена подгруппа бесконечно малых элементов циклически упорядоченной группы и факторгруппа по этой подгруппе. Получено усиление теоремы Сверчковского. Найдены необходимые и достаточные условия циклической упорядочиваемоети групп.

Все результаты диссертации, не сопровождаемые ссылками на работы других авторов, являются новыми.

Общая методика исследований

В данной работе используются теоретико-групповые методы теории упорядоченных алгебраических систем, а также аппарат УЬ --мерного порядка, разработанный в [83, [15], [16].

Практическая и теоретическая ценность

Диссертационная работа носит теоретический характер. Приведенное в ней исследование УЬ - циклически упорядоченных и УЬ - упорядоченных групп представляет интерес для теории упорядоченных алгебраических систем.

Методы изучения внутреннего строения циклически упорядоченных групп могут быть полезными при исследовании различных классов упорядоченных иистем. Разработанный метод доказательства теорем вложения может найти применение при решении различных теоретшео-групповых задач. Предложенные варианты аксиоматики

УЬ - мерного и УЬ - мерного циклических порядков могут найти применение в геометрии.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на конференции молодых ученых МГУ (г. Москва, 1982), на УП региональной конференции по

- 14 математике и механике в Томском государственном университете (1981), на Омской областной математической конференции (1981), на семинарах по упорядоченным системам при ИМ СО АН СССР (Новосибирск, 1981-1983 г.г.), на семинарах по упорядоченным системам при ТГУ (Томск, 1981-1984 г.г.), на ХУЛ Всесоюзной алгебраической конференции (Минск, 1983), на семинаре "алгебра и логика" в ИМ с ВЦ АН МССР (Кишинев, 1984).

Публикации

По теме диссертации опубликовано .семь работ.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав (II параграфов) и списка литературы из 33 наименований.

1. Бурбаки Н. Алгебра, гл. У1. Упорядоченные группы. Пер. с франц. - М.: Наука, 1965. - 300 с.

2. Желева С.Д. О циклически упорядоченных группах. Сибирский мат. журн. 1976, т. 17(5), с. 1046-1051.

3. Каргалолов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. - 286 с.

4. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы.- М.: Наука, 1972. 199 с.

5. Кокорин А.И., Копытов В.М. О некоторых классах упорядоченных групп. Успехи матем. наук, 1962, 17(6), с. 225-226.

6. Копытов В.М. О пополнении центра упорядоченной группы.- Матем. зап. Уральск, ун-та, 1963, т. 4 (3), с. 20-24.

7. Копытов В.М. Упорядоченные группы. В сб. ИНТ Алгебра. Топология. Геометрия, № 1981, с. 3-29.

8. Пестов Г.Г. Исследования по теории УЬ мерной функциипорядка. Канд. дисс. - Томск, 1966.

9. Пестов Г.Г., Терре А.И. К теории 2-мерно упорядоченных полей. В сб.: Группы и модули. - Томск, НУ, 1976, о. 35- 48.

10. Пестов Г.Г. Теоремы о внешних точках и гранях УЬ мерной точечной системы. - Тр. Томского ун-та, 1967, т. 191,с. 164-170.

11. Пестов Г.Г. VI упорядоченные множества. - Тр. Ирк. ун-та (матем.), 1970, т. 74 (6), с. 149-169.

12. Пестов Г.Г. О двумерно упорядоченных полях, Всесоюзный алг. коллоквиум, Резюме сообщений и докладов. Кишинев, 1971.

13. Робинсон А. Введение в теорию моделей и математику алгеб- 85 ры. Наука, 1967. - 376 с.

14. Терре А.И. Некоторые вопросы теории 2-упорядоченных полей. ■- Материалы 5-ой научной конференции по матем. и механике.- Томск, ТТУ, 1975, вып. I.

15. Терре А.И. Элементы геометрии УЬ мерного порядка.- Томск, 1982. 35 с. - Рукопись представлена редакцион-но-издательским Советом ТГУ. Деп. в ВИНИТИ 2.12.1982,5941-82.

16. Терре А.И. Вопросы аксиоматики П мерного порядка.- Тр. Томского ун-та, 1975, т. 258, с. 205-232.

17. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Пер. с англ. в 2-х т.- М.: Мир, 1974, т. I. 335 с.

18. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы.- Пер. с англ. М.: Мир, 1965. 342 с.

19. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. - 576 с.

20. Шмелькин А.Л. Абстрактная теория бесконечных групп. В сб.: Итоги науки и техники. Алгебра, М., 1966, с. 47-82.

21. Я. 5иски> ши1 ср.оыЬк>иг кя-фы.-мм. Апп,, </$?(), Ш(з>\ 5.

22. Волг Я. М^ссиъ угннф*, -Ькои1 аг-е скг^сЬ ъ-имтапЖ*, О\ со^¿п^^ 1 ^Рогс/л. — ВиМ. Лпиг.

23. Н&^скг 0, £> и огги. оЫг (Яисш^ШЛ. шго1 с1иЩ.к24. ^¿РЖ-1в к а, 4 с, гге-хсь.

24. Ыш,то-\п.У1 Ц.И. Оп. ^/ъоч^Ь*. -Лтгг. у. МсЛк^

25. ОШкссг /3. С. FlCtykl cfyciCacMfr ordttzd grou-f?*,— Cajt. Ma.UL.ftu£í; то, i,

26. JS/o-vocl L. On, ti-opcUptoL cmol or-oUr •íúnxMx- faùùf. y-Mzlk. i?, к, НИЧЬИМ

27. Bo4¿o MiCrvL. Hoéer-ío., BkzynLoEcu Л/с£аГ. Ог-скг-oiít tyr-ou.^, /в

28. Ксл^лг ihe. or-dtt-toL anoL tal-éy. ot-ck-r*ec¿ Qh4>uJoz. T- /77. \¡-t^¿n.LK PCráX., ÇztKJL //auA; >30. On. oHcLricjaL fyrouftirP+xyLcLcwA. JUaíh-.y 1GÍ-Í66.t

29. S. Ort tytX-Laalty onoLnd- ¿M¿e.M/aÁi of- in-Lt^tn.- Fu^cLcuvi. M^h., </£-?-/?Z.

30. Забарина А.И. К теории циклически упорядоченных групп. -- Математические заметки, 1982, 31, I, с. 3-12.

31. Забарина А.И. О циклически упорядоченных группах. ХУТ Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы, ч. П., Ленинград, 1981, с. 57.

32. Забарина А.И. О циклически упорядоченных группах. Томск, 1982, 2с., Деп. в ВИНИТИ 16-3-82 г., В 1197-82.

33. Забарина А.И., Пестов Г.Г. К теореме Сверчковского. Сибирский матем. журнал, 1984, 25, 4, с. 46-53.

34. Забарина А.И. О некоторых теоремах вложения. ХУЛ Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч. П., Минск, 1983, с. 76.