К теории упорядоченных полей и групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЕСТОВ Герман Гаврилович

К ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛЕЙ И ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург 2004

Работа выполнена в Томском государственном университете

Официальные оппоненты:

Защита состоится 30 ноября 2004 г. в 14.00 на заседании диссертационного Совета Д 004.006.03 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620 219 Екатеринбург, ул. С.Ковалевской 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН

Автореферат разослан 26 октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертэилоннпгп Слш-тя

доктор физико-математ! Кабанов В.В.

доктор физико-математических наук профессор Копытов В.М.

доктор физико-математических наук профессор Медведев И.Я.

доктор физико-математических наук профессор Мухин Ю.Н.

Ведущая организация:

Уральский государственный педагогический университет

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хотя линейно упорядоченные множества встречаются в математике с древнейших времен, Кантор, по-видимому, первый подверг систематическому изучению понятие линейного порядка. В частности, он ввел понятие вполне упорядоченного множества и начал изучение кардиналов и ординалов

[40].

Почти одновременно начинаются исследования упорядоченных, алгебраических систем. Отметим, прежде всего, работу Хана 1907 года [1] Hahn H.Uber die nichtarchimedischen Grossensysteme. В этой работе Хан вводит ряд основополагающих понятий, вошедших затем в арсенал теории упорядоченных алгебраических систем, таких как архимедовы и неархимедовы величины, неархимедовы упорядоченные группы и тела. Хан использует конструкцию обобщенных степенных рядов для получения структурных теорем об упорядоченных группах и телах. Работа Хана была, по необходимости, сложной, так как еще не был подготовлен комплекс теорем и понятий, относящихся к упорядоченным группам и телам.

В 1901 году в своем знаменитом докладе на математическом конгрессе Гильберт сформулировал вопрос о представимости положительного многочлена в виде суммы квадратов многочленов [68]. Работы по этой проблеме явились стимулом к изучению упорядоченных полей. Значительным шагом в этом направлении явились работы Артина и Шрайера [9] (1925), [10] (1927). Здесь было введено важнейшее понятие формально вещественного поля, получен критерий линейной упорядочиваемости поля. Для исследования линейно упорядоченных групп, тел и полей Хан использовал аппарат формальных степенных рядов. Капланский [11] получил структурные теоремы для линейно упорядоченного поля более продвинутыми методами, чем это было сделано Ханом. Он доказал, что каждое упорядоченное поле К вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов K[[G]j, где G - группа архимедовских классов поля К. Строение сечений в упорядоченном поле несет существенную информацию о свойствах самого поля. Поэтому логика исследования упорядоченных полей со временем привела к некоторой классификации сечений в упорядоченных полях. По-видимому, Дедекинд был первым математиком, использовавшим понятие

1 ГОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I

I библиотека I

У ¿""УЫ

сечения во множествах рациональных и вещественных чисел при построении своей теории вещественного числа [3]. Каждое архимедово поле изоморфно некоторому подполю поля всех вещественных чисел с его естественной упорядоченностью [21]. Таким образом, первые упорядоченные поля, сечения в которых подверглись изучению, были подполями К. С этим связаны понятия дедекиндова и недедекиндова сечения или щели [63]. Изучение неархимедовских полей приводит к определению сечений Гёльдера [22], по другой терминологии: сечений нулевой ширины [95], фундаментальных сечений. В 80-х годах прошлого века возникло понятие алгебраического сечения [1а], [95]. В теории линейно упорядоченных полей существенную роль играют различные замыкания упорядоченного поля. Этому направлению посвящено много работ, среди наиболее значительных назовем работу Р. Бэра [14], Макай 1970 года [5]. Наиболее основательному изучению подверглись понятия вещественного, топологического и архимедовского замыканий, хотя Бэр исследовал еще и некоторые комбинации замыканий. Мак Лейн исследовал поля формальных степенных рядов и доказал (1939), что эти поля вещественно замкнуты, если группа архимедовских классов О делима [28]. Эллинг (1962) исследовал мощности полей формальных степенных рядов [32]. Единственность линейного упорядочения вещественно замкнутого поля доказана Артином и Шрайером [9] (1925). В [99] (1969) Ершовым Ю. Л. описана конструкция формально вещественного поля с заданным числом неизоморфных порядков. В [5] найдена мощность множества вещественно замкнутых подполей алгебраически замкнутого поля.

Упорядоченное поле естественно рассматривать, как топологическое пространство, наделенное интервальной топологией; интервальная топология т(К) согласуется с алгебраической структурой поля К; К есть равномерное отделимое пространство, пополнение К по топологии т(К) определено единственным образом, с точностью до изоморфизма [23]. Топологическое замыкание (пополнение) упорядоченного поля К может быть осуществлено различными способами:

1) с помощью множества минимальных фильтров Коши в К [25], 2) с помощью фундаментальных а—последовательностей [12], где а - конфинальный характер (тип конфинальности)

упорядоченного поля, который всегда является регз'лярным кардиналом [90], 3) наконец, можно строить пополнение К, исходя из множества фундаментальных сечений в К [22]. Расширение поля до замыкания того или иного вида можно осуществить с помощью последовательности простых расширений - так называемых заполнений сечений [4]. Пусть (А, В) есть сечение в К. Продолжение порядка из К на поле К(г), удовлетворяющее условию А < г < В, в общем случае, не определено единственным образом [5].

Одним из центральных вопросов теории упорядоченных полей является установление изоморфизма двух упорядоченных полей. Значительным достижением здесь явилась теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена [30] (1955). В теории упорядоченных полей оказались плодотворными методы теории моделей. В частности, Тарским была установлена полнота теории вещественно замкнутого поля [16]. В последние десятилетия новым стимулом для исследований в области упорядоченных полей явилось развитие нестандартного анализа [36], [37], [38], стимулировавшее в частности, исследования строения нестандартной вещественной прямой [91], [92], [93], [8].

Важной темой теории упорядоченных полей является построение упорядоченного поля с помощью той или иной конструкции. Известно, что фактор-структура кольца по максимальному идеалу есть поле. Для построение поля используются и простые идеалы: сначала строится фактор-кольцо непрерывных комплекснозначных функций на компакте по простому идеалу, а затем - его поле частных. При определённых, не слишком обременительных, условиях на исходное кольцо поле частных является упорядоченным полем [4].

Конвей построил алгебраическую систему, которую он назвал No. Система № удовлетворяет определению линейно упорядоченного поля, за одним исключением: ее носитель не множество, а собственный класс. Каждое линейно упорядоченная группа и каждое линейно упорядоченное поле вкладывается в № [96], [97].

Параллельно теории упорядоченных полей быстро развивалась теория упорядоченных групп. При этом изучались линейно упорядоченные группы [70], и их различные модификации прежде всего, частично упорядоченные группы [2], решеточно

упорядоченные группы [17], [71]. Одним из направлений в теории упорядоченных групп явилась теория циклически упорядоченных групп (Ригер [74], Сверчковский [76], Желева [75]. Ригер исследовал топологию циклически упорядоченных групп, Сверчковский получил структурную теорему для циклически упорядоченных групп, Желева, в частности, предложила критерий циклической упорядочиваемости группы. Определение линейного порядка возникло в результате исследования расположения точек на прямой. Поле вещественных чисел явилось первым примером линейно упорядоченного поля. Полезность понятия линейного порядка в алгебре определяется его успешным использованием в теории упорядоченных групп, полей и других алгебраических систем.

Различные подходы к обобщению понятия линейного порядка по размерности предпринимались многими математикамми, начиная с Кантора [40], работы которого были продолжены Шварцем [41], Риссом [42], Вагнером [43].

Систематическое изучение обобщений понятия линейного порядка по размерности было предпринято в работах Шпернера по так называемым функциям порядка. В основу определения функции порядка у Шпернера положено свойство произвольной точки п—мерного аффинного пространства занимать по отношению к ориентированной гиперплоскости одно из трех положений: лежать на гиперплоскости, располагаться по ту или другую сторону гиперплоскости.

Многие работы Шпернера: [44], [45], [46], а также Глока [47], Бахмана и Клингенберга [48], Карцеля [49], [50], [51], Джоуссена [52], Ленца [53] посвящены чисто геометрическим вопросам, связанным с функцией порядка.

Одновременно изучаются алгебраические структуры, оснащенные функцией порядка: Шпернер [54], [55], Карцель [56], Керби [57].

В последующем, при определении функции ориентации аффинного пространства Глок [58] использовал аксиоматический подход. Идея обобщения линейного порядка по размерности получила последовательное развитие в независимых работах Л. Новака [59-62] и Г. Г. Пестова [8а-11а], [32а], [33а].

Терре А. И. развивает теорию двумерно упорядоченных полей [84], [85], а также двумерно упорядоченных колец [83] и тел [86], [87].

Обзоры различных разделов теории линейно упорядоченных полей имеются в [4] и [98].

Настоящая работа посвящена исследованию линейно упорядоченных полей с помощью развитого автором аппарата теории сечений, а также изучению двумерно упорядоченных систем, именно, циклически упорядоченных групп и двумерно упорядоченных полей.

Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.

Цель работы.

1) Развить теорию сечений в упорядоченных полях. Построить классификацию сечений в упорядоченном поле, исследовать поведение многочленов на сечениях различных типов, найти характе-ризацию различных замыканий упорядоченного поля в терминах сечений.

2) Получить новую теорему об изоморфизме, применимую к более широкому классу упорядоченных полей, чем классическая теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена.

3) Построить теорию циклически упорядоченных групп как часть теории двумерно упорядоченных групп. Найти критерий циклической упорядочиваемое™ группы. Найти новую структурную теорему для циклически упорядочиваемых групп.

4) Изучить топологию двумерно упорядоченного поля. Исследовать пополнение 2-упорядоченного поля. Доказать теорему о вещественной замкнутости базы алгебраически замкнутого 2-упорядоченного поля.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории линейно упорядоченных полей, методы теории групп, методы теории моделей и нестандартного анализа, результаты из теории топологических колец и полей. В работе систематически используются введенные в диссертации результаты и понятия: классификация сечений, теоремы о связи между строением сечений и свойствами упорядоченного поля, понятие представляющей группы, понятия 2-упорядоченной группы и 2-упорядоченного поля.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации явля-

ются новыми. Основными результатами можно считать следующие:

1. Построена классификация сечений в линейно упорядоченном поле по признакам поведения многочленов на сечении и по признаку симметрии сечения.

2. Даны характеризации топологического (непрерывного) замыкания, вещественного замыкания, архимедовского замыкания упорядоченного поля через свойства сечений в поле.

3. Описаны трансфинитные процессы построения основных типов замыканий с помощью так называемого заполнения сечений.

4. Доказаны теремы о поведении многочленов на сечениях различных типов.

5. Получены формулировка и доказательство новой теоремы об изоморфизме упорядоченных полей, имеющей более широкую сферу применимости, чем классическая теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена.

6. Дано доказательство новой структурной теоремы для циклически упорядоченных групп.

7. Доказана нормальность топологии 2-упорядоченного поля, исследовано топологическое пополнение 2-упорядоченного поля, доказана теорема о вещественной замкнутости базы алгебраически замкнутого поля.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по теории упорядоченных полей, теории циклически упорядоченных групп, теории полей характеристики нуль.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета в 1970 году, Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме 1971, Итоговой четвертой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета в 1974 году, Пятой итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета им. В. В. Куйбышева 1975, Ш Омской областной математической конференции 1982, XVI Всесоюзной алгебраической конференции 1981, XVII Всесоюзной алгебраической конференции 1983. IX Всесоюзном симпозиуме по

б

теории групп 1984, XVIII Всесоюзной алебраической конференции 1985. XIX Всесоюзной алгебраической конференции 1987, на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и идустри-альной математике (ИНПРИМ-98), на Мальцевских чтениях-01 (2001 год), на Мальцевских чтениях-02 (2002 год), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича, С.-Петербург 2002, на Международной конференции по математике и механике 16-18 сентября 2003 г., г. Томск, на Мальцевских чтениях-03 (2003 год).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех частей, списка литературы из 135 наименования, указателя обозначений и указателя терминов. Каждая часть разбита на главы, главы состоят из параграфов. Диссертация изложена на 261 странице машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая часть диссертации целиком посвящена теории линейно упорядоченных полей. Еще Хан [1] ввел понятие архимедовской эквивалентности элементов линейно упорядоченной группы и тела. Другими понятиями, постоянно используемыми в этой части, являются понятия алгебраического и трансцендентного сечений, понятия симметричного и несимметричного сечений, введенные автором [1а], а также понятия фундаментального и нефундаментального сечений. Последняя пара определений использовалась давно под разными названиями. Определения фундаментального и нефундаментального сечений характеризуют сечение по его ширине - равна ли она нулю, либо больше нуля. Определение алгебраического сечения сформулировано Делоном [95] (1992) и, в более простой форме, автором [1а] (1980). Эти определения эквивалентны, если сечение - собственное. Алгебраическое сечение в упорядоченном поле К отличается тем. что некоторый многочлен из К [х] меняет знак на этом сечении , в то время как в случае трансцендентого сечения не существует многочлена из К[х], меняющего знак на сечении. Наконец, классификация: "симметричное" - "несимметричное" сечение дает "геометрическую" характеристику сечения. Отметим еще давно принятую классификацию сечений по конфинальности и коинициальности, для упорядоченных структур эти понятия использовал Хаусдорф [31].

Такая система понятий для сечений позволяет ответить на многие вопросы из теории упорядоченных полей. Например, если (А, В) трансцендентное сечение в поле К, то все простые упорядоченные расширения К(г), в которых А < t < В, - изоморфны . Поскольку все сечения в вещественно замкнутом поле трансцен-дентны, то отсюда следует, что в случае вещественно замкнутого поля порядок с поля К на простое расширение К(г) продолжается единственным образом при условии, что в К(г) выполнено: А < г < В [15].

В терминах сечений удобно описываются такие виды замыканий, как вещественное замыкание, топологическое и архимедовское замыкания. Каждое из этих замыканий может быть получено с помощью трансфинитной последовательности простых расширений того или иного типа. При этом среди простых расширений выделяются расширения, удовлетворяющие дополнительным ограничениям, которые в дисссертации называются заполнением сечения. Исследование поведения многочленов на симметричных и несимметричных сечениях дает возможность сформулировать и доказать теорему об изоморфизме упорядоченных полей, родственную, в некотором смысле, теореме Эрдёша-Гиллмана-Хенриксена, но имеющую более широкую сферу применения.

Более тонкая классификация сечений, с привлечением мультипликативной группы поля, дает возможность сформулировать достаточные условия вещественной замкнутости поля. В заключение первой части изложены результаты, относящиеся к строению ультрастепени

Во второй и третьей части работы изучаются двумерно упорядоченные алгебраические системы.

Вторая часть посвящена циклически упорядоченных группам. Циклически упорядоченная группа расматривается, как двумерно упорядоченная. Это позволяет естественным образом ввести понятие верхнего конуса, играющего в теории циклически упорядоченных групп ту же роль, которую играет положительный конус в теории линейно упорядоченных групп. Сформулированы необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять подмножество группы, чтобы существовал циклический порядок в группе, для которого это подмножество является верхним конусом циклического порядка. Найдены,совместно с Заба-

риной А. И., необходимые и достаточные условия циклической упорядочиваемости группы. Получена новая структурная теорема для циклически упорядочиваемых групп, отличная от теоремы Сверчковского.

В третьей части развита теория двумерно упорядоченных полей. Понятие двумерно упорядоченного поля введено по аналогии с полем комплексных чисел, снабженнным обычной ориентацией комплексной плоскости. Получены необходимые и достаточные условия, которым удовлетворяет верхний конус двумерно упорядоченного поля. В поле без бесконечно малых относительно базы введена топология двумерно упорядоченного поля, доказано, что двумерно упорядоченное поле есть топологическое поле. Доказано, что как топологическое пространство оно нормально. Показано,что база алгебраически замкнутого 2-упорядоченного поля является вещественно замкнутой. Доказано, что поле алгебраических чисел допускает единственное 2-упорядочивание, с точностью до изоморфизма. Каждое поле характеристики нуль допускает либо линейное, либо двумерное упорядочивание, либо то и другое (см. ниже более точную формулировку этого результата).

Далее дадим более подробный обзор работы. Линейно упорядоченные поля. Элементы a, b упорядоченного поля К называются архимедовски эквивалентными, если существует такое натуральное число п, что п|а| > |Ь|,п|Ь| > |а|. [2]. Если а и b архимедовски эквивалентны , то будем писать:« ~ Ь. Следующая простая лемма имеет многочисленные следствия: Лемма 1.1.1. Пусть Кость упорядоченное поле, К - его вещественное замыканфе^ К, степень £ над К равна m . Тогда найдется такое натуральное п € N, п < т, и такой элемент b € К что £п архимедовски эквивалентно Ъ.

Следствие 1.1.2. Если мультипликативная группа упорядоченного поля К делима, то каждый элемент из вещественного замыкания поля К архимедовски эквивалентен некоторому элементу поля К.

Существенную роль в данной работе играет понятие сечения в упорядоченном поле. По-видимому, Дедекинд был первым математиком, использовавшим понятие сечения во множествах рациональных и вещественных чисел при построении своей теории вещественного числа [3]. Будем говорить, что многочлен

f(x) меняет знак на сечении (А,В), если существуют такие а € A, b € В, что на множестве А П [а, 6] многочлен строго положителен (строго отрицателен), а на множестве В П [а,Ь] - строго отрицателен (строго положителен.) Если существуют такие а £ А, b€ В, что f(x) > 0 (/(х) < 0) на [а,Ь], то будем говорить, что /(х) > 0 (/(я) < 0) на сечении (А, В). В том и другом случае будем говорить также, что многочлен f(x) сохраняет знак на сечении (А, В).

Сечение (А, В) в упорядоченном поле К назовем алгебраическим, если существует многочлен f(x) € К[х], меняющий знак на этом сечении. Наименьшая из степеней многочленов из К\х], меняющих знак на этом сечении, называется степенью сечения (А, В) [1а]. Обозначение: deg (А, В). Если все многочлены и.!£[®]о -храняют знак на (А, В), то это сечение называется трансцендентным. Упорядоченное поле К вещественно замкнуто тогда и только тогда, когда в К нет алгебраических сечений. Берег А сечения (А, В) называется длинным, если для каждого а а А существует такое а\ £ А, что (aj -t- (fli — a)) 6 В. Аналогично, берег В называется длинным, если для каждого b € В существует такое Ь\ € В, что (&i + (bi — b)) 6 А. Берег сечения, не являющийся длинным, называется коротким. Иначе, берег А сечения (А, В) называется коротким, если существует а 6 А, такое что для каждого ai & А, имеем: (ai + (ai — a)) (Е А. Такой элемент а короткого берега назовем близким к В. Лемма 1.3.2. Хотя бы один из берегов каждого сечения — длинный.

У каждого сечения либо оба берега - длинные , либо один берег -длинный, другой - короткий.

Если оба берега сечения - длинные, то это сечение называется симметричным. Если один берег сечения - длинный, а другой -короткий, то сечение называется несимметричным. Каждое расширение упорядоченного поля можно представить в виде трансфинитной последовательности простых расширений. Пусть (А, В) есть сечение в упорядоченном поле К. Если есть простое упорядоченное расширение поля К, в котором А < t < В, то будем говорить, что это расширение получено заполнением сечения (Л, В). [4].

Следствие 1.4.3. Если сечение {А, В) несимметрично, то в поле полученном заполнением этого сечения, существуют эле-

менты, архимедовски не эквивалентные никаким элементам из К [5а], [13а]

Следствие 1.4.3.а. Если РэК,ЬеР\К,А<Ь<Ви каждый элемент поля Кархимедовски эквивалентен некоторому элементу поля К, то сечение (А, В) в К симметрично . Лемма 1.4.7. Пусть ф есть изотонный изоморфизм упорядоченного поля К на упорядоченное поле Р. Тогда ф переводит симметричное сечение в симметричное, несимметричное - в несимметричное, алгебраическое - в алгебраическое, трансцендентное сечение - в трансцендентное, точку, близкую к правому берегу -в точку, близкую к правому берегу, длинный берег - в длинный, короткий - в короткий. Степень сечения при изоморфном отображении остается неизменной .

Лемма 1.4.8. Если в К при любых а 6 А, п 6 < По, разрешимо уравнение хп = а, то в этом поле все алгебраические сечения степени не выше симметричны. Теорема 1.4.9. Если мультипликативная группа упорядоченного поля К делима, то это поле вещественно замкнуто тогда и только тогда, когда каждое симметричное сечение в К транс-цендентно .

Пусть есть сечение в упорядоченном поле К. Сечение

(А, В) в упорядоченном поле называется фундаментальным, если для каждого существуют такие

Такие сечения называют также сечениями Гёльдера [22], деде-киндовыми сечениями [13], собственно дедекиндовыми сечениями [14].

Различие между внешними и внутренними определениями было с большой силой подчеркнуто П. С. Урысоном [35]. Мы будем различать внешние и внутренние определения различных свойств сечений. Внутренними будем называть такие определения свойств сечений в упорядоченном поле Р, которые сформулированы в терминах элементов поля Р. Внешними назовем такие определения, в которых используются некоторые вспомогательные расширения поля Р, не определенные единственным образом. Пусть (А, В) есть сечение в упорядоченном поле К, поле Р - упорядоченное расширение К, такое что

{х € Р\А < х < В} ф 0.

Обозначим:

Б = {х\х е Р,А < х <В} и назовем И центром сечения (А, В). Обозначим Е6 = {х - £\х 6 Р,А < х < В} = Е - £

У

= {ж - £|а; € Р,£ < х < В},

Е6~ = {£ - х|ж € Р, А < х < х1.}

Назовем Е ядром сечения (А,В). Е(~ назовем И; положительной и отрицательной частями ядра Е, соответственно. Лемма 2.2.1. Пусть (Л, В) - сечение в К, Р Э К, П - Р-центр сечения (А, В).

Тогда В есть длинный берег, если и только если, для каждого х, £> < х, х € Р существует такое у € Р что Б < у < х, и у + (у - х) < £>.

Лемма 2.2.2. а)Берег А - короткий, а берег В - длинный, тогда

и только тогда, когда Е(~ С Ес+ф .

Ь) Сечение {А,В) симметрично тогда и только тогда, когда

Лемма 2.2.7. Пусть Р Э К, (А, В) - сечение в К с длинным берегом В, с центром сечения I) ф 0. Если & € Б, то Еь+ =

Иными словами, множество не зависит от выбора £ 6 О. Следующие теоремы характеризуют поведение многочлена на сечении.

Теорема 4.1.1. Пусть (А, В) - сечение в упорядоченном поле К,/(х) € ЛТ[х]. Если с1е§; /(х) < с^ (А, В), то найдутся такие а € А, Ь 6 В, что для каждого упорядоченного расширения Р поля К

(1) }(х) > 0 всюду на [а, Ь]р или /(ж) < 0 всюду на [а,6]р,

(2) /(ж) строго монотонно на [а, Ь]р.

Теорема 4.2.1 Пусть {А, В) - симметричное сечение в упорядоченном поле К, /(х) € К [я]. Если сам многочлен }{х) и все его

производные не меняют знака на сечении (Л, В), то найдутся такие а 6 А, Ъ € В, что для каждого упорядоченного расширения Р поля К

(1) f(x) > 0 всюду на [а, 6]я,или f(x) < 0 всюду на [а, Ь]Р,

(2) f(x) строго монотонно на [а, Ь]р,

(3) Все значения /(ж) при х € [а, &]р архимедовски эквивалентны. Теорема 4.2.2 Пусть (JI, В) - симметричное сечение в упорядоченном поле

Если deg f(x) < deg (А,В), то найдутся такие а € А,Ь € В, что для каждого упорядоченного расширения Р поля К

(1) f(x) > 0 всюду на [а,Ь]р, или f(x) < 0 всюду на [а, Ь]р,

(2) f(x) строго монотонно на [а,Ь]р,

(3) Все значения f(x) при х 6 [а, Ь]р архимедовски эквивалентны.

Пусть {А, В) сечение в К, K(t) - простое упорядоченное расширение поля К. Порядок в .K(t), в общем случае, не определен однозначно, даже, если потребовать, чтобы t было трансцендент-но над К [5].

Теорема 5.1.1. Если сечение (Л, В) в упорядоченном поле К трансцендентно, то порядок из К единственным образом продолжается на поле K(t), полученное заполнением этого сечения. Теорема 5.1.2. Пусть (А, В) есть симметричное трансцендентное сечение в упорядоченном поле К, К (с) - его упорядоченное расширение, в котором А < с < В. Тогда каждый элемент из К (с) архимедовски эквивалентен некоторому элементу из К. Теорема 5.2.1. Если сечение (А, В) симметрично, то на поле K(t), полученное заполнением сечения (Л, В), можно так продолжить порядок из К, что каждый элемент из K(t) будет архимедовски эквивалентен некоторому элементу из К. Лемма 5.2.2. Пусть (Л, В) - алгебраическое сечение л К, К вещественное замыкание К.

Если меняет знак на

(А,В), то

1) многочлен f(x) неприводим над К,

2) существует единственный корень £ 6 К многочлена f(x), удовлетворяющий неравенству: А < £ < В,

3) в К(£) единственным образом определен порядок, продолжаю-

щий порядок на поле К и удовлетворяющий условию: А < £ < В. Следующая теорема имеет более широкую сферу приложения, чем теорема Эрдёша-Гиллмана-Хенриксена. Теорема 6.2.1 (об изоморфизме). Пусть К и Р - вещественно замкнутые упорядоченные поля, такие что card К = card Р = а> Ко) и конфинальность каждого симметричного сечения в обоих полях равна а. Тогда для того, чтобы К и Р были изоморфны как упорядоченные поля, необходимо и достаточно, чтобы группы архимедовских классов этих полей были упорядоченно изоморфны [13а].

Если Р есть расширение упорядоченного поля К, такое что Ух € РЗу € К (х ~ у), то Р называется архимедовским расширением (короче: а—расширением) поля К. Максимальное а—расширение упорядоченного поля К называется архимедовским замыканием поля К.

Упорядоченное поле F называется архимедовски замкнутым, или архимедовски полным, если F. есть свое архимедовское замыкание.

Это определение вполне аналогично определениям для решеточ-но упорядоченных групп.(см. [17], [18])

. Теорема 7.1.1. Упорядоченное поле архимедовски замкнуто, если и только если все сечения в этом поле несимметричны [34а]. Лемма 7.2.1. Пусть К есть подполе архимедовски замкнутого поля Р, (А, В) есть симметричное сечение в К. Тогда существует а£ Р, такое, что А < а < В.

Лемма 7.3.4. Если G есть архимедовская группа архимедовски замкнутого поля К, то существует представляющая группа Н С К группы G (То есть, подгруппа мультипликативной группы поля К, такая что в каждый класс архимедовской эквивалентности поля К попадает один и только один элемент из Н). Лемма 7.3.5. Пусть Р - архимедовски замкнутое поле, К С Р, Р - вещественное замыкание Р.

Если (А, В) - симметричное алгебраическое сечение в

где меняет знак на

p,f(0 = О, А < t < В, то £ G Р [34а].

Пусть G есть линейно упорядоченная мультипликативная абе-лева группа. Следуя [2], [17], обозначим через К[[<?]] множество

формальных степенных рядов вида:

где Гд - вещественные числа, а множество 8ирря: = {д 6 в\гд ф 0} есть вполне антиупорядоченное подмножество группы G (иными словами, в каждом подмножестве А С вирр х существует максимальный элемент.)

Для х, заданного рядом (0.1), введем обозначения: х(д) = гд, д ё

= шахвиррж. Заметим, что х ~ 1х. Во множестве М[[С?]] следующим образом вводятся операции сложения и умножения. Если

у, г € ![[(?]], у = £ гй'д, г = £ гд"д

дев д€в

то полагаем:

дев

Далее, положим:

У* = 1С

д€в

где

£ (2)

9192=9|9ь92бО

Сумма в (0.2) оказывается конечной, следовательно, коээффи-циенты Гд определены корректно. Далее, носители вирр(у + г) и зирр(1/2) вполне антиупорядочены. Множество М[[(7]] с так определенными операциями оказывается полем, которое мы будем называть полем формальных степенных рядов по группе G (подробности и доказательства см. в [2], [28] и, в других обозначениях, в [4]).

Теорема 7.4.2. Пусть К,Р - а-замкнутые поля, ф : К -> Р - изотонное вложение К в Р (то есть, ф есть инъекция К в

Р, сохраняющая алгебраические операции поля и отношение порядка). Если для каждого х 6 Р существует у € К, такой что ф(у) ~ х, то -ф есть изоморфизм поля К на поле Р. До сих пор классификация сечений в этой работе строилась исключительно с использованием аддитивной группы упорядоченного поля. Применяя более тонкую классификацию, использующую еще и мультипликативную группу поля, удается доказать теорему:

Теорема 9.5.1. Для того, чтобы упорядоченное поле К было вещественно замкнуто, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) Мультипликативная группа строго положительных элементов поля делима;

2) Для каждого подполя Ко С К конечной степени трансцендентности и каждого фундаментального в . алгебраического сечения (А, В) существует £ £ К, такой что А < £ < В. Теорема 9.5.2. Пусть Р есть вещественно замкнутое подполе упорядоченного поля К. Для того, чтобы упорядоченное поле К было вещественно замкнуто, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) Мультипликативная группа строго положительных элементов поля делима;

2) Для каждого подполя конечной степени трансцендентности над Р и каждого фундаментального в Ко алгебраического сечения (А, В) существует К, такой что А<£ < В.

В этой работе используются различные виды замыканий упорядоченных полей: топологическое замыкание, вещественное замыкание и архимедовское замыкание. Бэр [14] ввел еще так называемое дедекиндово замыкание.

Пусть К - упорядоченное поле. Вещественное замыкание поля

К будем обозначать через К, непрерывное замыкание - через К, архимедовское замыкание - через

Известно, что топологическое замыкание вещественно замкнутого поля также вещественно замкнуто [14]. Для каждого из этих замыканий существуют различные определения. Приведем некоторые из них.

Упорядоченное поле К называется непрерывным замыкани-ем,пополнением или

топологическим замыканием упорядоченного поля К, если К есть максимальное расширение К, в котором К плотно [14]. Упорядоченное поле К называется вещественным замыканием упорядоченного поля К, если есть максимальное упорядоченное алгебраическое расширение К. [9]

Упорядоченное поле К называется архимедовским замыканием упорядоченного поля К, если .К есть максимальное упорядоченное расширение поля К, в котором каждый элемент архимедовски эквивалентен некоторому элементу из поля К [1]. Все эти определения характеризуют замыкания упорядоченного поля, как максимальные расширения этого поля, удовлетворяющие некоторым условиям. Для каждого из этих определений-существуют эквивалентные определения в терминах сечений. Упорядоченное поле К называется непрерывным или топологическим замыканием упорядоченного поля К, если есть минимальное расширение К, в котором нет фундаментальных сечений и нет бесконечно малых относительно К. Упорядоченное поле К называется вещественным замыканием упорядоченного поля К, если К есть минимальное упорядоченное алгебраическое расширение К, в котором нет алгебраических сечений.

Упорядоченное поле К называется архимедовским замыканием упорядоченного поля если есть минимальное упорядоченное расширение К, в котором нет симметрических сечений. Обращает на себя внимание то, что эти три определения характеризуют различные виды замыканий упорядоченного поля, как минимальные расширения заданного поля, в которых сечения удовлетворяют некоторым условиям.

Пусть - сечение в упорядоченном поле К, и выпол-

нено одно из двух условий: а) Сечение (А, В) - алгебраическое, ¿е$/(х) = /(х) меняет знак на сечении

Ь) Сечение (А, В) - трансцендентное, £ - трансцендентен над К. Тогда будем говорить, что простое расширение получено регулярным заполнением сечения (А, В), если порядок продолжен с К на при условии:

Теорема 10.2.1. Пусть {А, В) есть сечение в упорядоченном поле К. Если получено регулярным заполнением сечения

{А, В), то порядок продолжается с ^ на К{£) единственным образом.

Теорема 10.2.2. Архимедово замыкание упорядоченного поля К может быть получено из поля К с помощью трансфинитной последовательности регулярных заполнений симметричных сечений .

Теорема 10.2.3. Вещественное замыкание упорядоченного поля К может быть получено из К с помощью трансфинитной последовательности заполнений алгебраических сечений . Теорема 10.2.4. Непрерывное замыкание упорядоченного поля К может быть получено из К с помощью трансфинитной последовательности заполнений фундаментальных сечений.

Вид замык. поля К Веществ, замык. К Тополог, замык. К Архимед, замык. К

Классич. определ. замыкан, поля К Максим. упорядоч. алгебраич. расшир. К Максим, упорядоч. расшир. К, в котором К плотно Максим, упорядоч. расш. К, такое, что Ух € К Зу € К(у ~ х.)

Определ. в термин, сечений Миним. упорядоч. расшир. К без алгебр, сечений Миним. упорядоч. расшир. К без фундам. сечений Миним. упорядоч. расшир. К без симметр. сечений

Постр. замык. Трансфин. последоват. регулярных заполнений алгебр. сечений Трансфин. последоват. заполнений фундамент, сечений Трансфин. последоват. регулярных заполнений симметр. сечений

Упорядоченное поле Р называется г]а —полем, если упорядоченное множество

есть т]а —множество [31]. Совершенно аналогично вводится определение г]а —группы. Лемма 11.2.3. Упорядоченное поле Р тогда и только тогда яв-

ляется r¡a -полем, когда

a) Для каждого сечения (А, В) в М л исЙДс^^^ б о coi В >

b) CÍM > Na,COÍ М > Ка-

Пусть К - упорядоченное поле, G - его группа архимедовских классов.

Теорема 11.2.5. Пусть К - упорядоченное поле, G - его группа архимедовских классов. Если G есть г]а— группа, то для каждого несимметричного сечения (А, В) в К выполнено неравенство max{cf A, coi В} > r¡a.

Пусть G - упорядоченная коммутативная группа, N - (бесконечный) кардинал. Обозначим:

K[[G,N]] = {х 6 t[[G]]|cardsuppx < N.}

Приведем краткий обзор результатов об ограниченных формальных рядах. Множество M[[G, N]] есть подполе поля формальных степенных рядов K[[G]] [28]. Назовем его полем ограниченных степенных рядов.

Если G есть делимая группа, то поля R[[G]], E[[G,N]] вещественно замкнуты [28], [4].

(ОКГ) Пусть G есть упорядоченная абелева группа, ¡3— кардинал,

Ко < Щ < cardG.

Тогда

card«[[G,N¿5]] = cardG. [32].

Каждый элемент из K|[G]] индуцирует в M.[[G, /3]] симметричное сечение. Наоборот, каждое симметричное сечение в R[[G,/3]] индуцируется некоторым элементом из

Симметричное сечение (А, В) в R[[G,/3]] фундаментально, если и только если, существует xq € R[[G]] \ M[[G,/3]], такой что А < хо < В, suppxo инверсно подобен fi и коинициален G [7]. Упорядоченное поле называется полным по Дедекинду, если каждое фундаментальное сечение в этом поле производится некоторым элементом поля (иначе: каждое фундаментальное сечение дедекиндово.)

Если Р < c/G, то поле M[[G,/3]] полно по Дедекинду [7]. Следствие 12.2.4.(ОКГ) Пусть К есть вещественно замкнутое

г)а— поле, G - группа архимедовских классов поля К, card К = N„. Тогда К изоморфно полю R[[(7, На]].

Существуют различные подходы к построению нестандарных моделей вещественной прямой ([4], [8], [36], [37]). В настоящей работе нестандартной вещественной прямой мы называем ультрастепень R по некоторому ультрафильтру над бесконечным множеством.

Теорема 12.3.6. (ОКГ) Пусть F - счетно-неполный Na+i—хороший ультрафильтр над множеством I, *Е— ультрастепень R по F, и абелева г р у rfJrear—T^-ft у п п а , такая что cardG =

Тогда упорядоченно изоморфна полю Отсюда вытекает ряд следствий о поле *R. Теорема 12.3.7. (ОКГ). В условиях предыдущей теоремы в поле множество симметричных фундамен-

тальных сечений имеет мощность такую же мощность

имеет и множество симметричных нефундаментальных сечений в каждом из этих полей .

Эта теорема была анонсирована в [18а] и доказана в [7]. Теорема 12.3.8. (ОКГ). В условиях предыдущей теоремы существует такое вложение поля *Е в поле R[[G]], что каждый элемент из M[[G]] \* R производит вАйкоторое симметричное сечение. Наоборот, каждое симметричное сечение в *Е производится некоторым элементом из Анонсировано в [18а] и доказано в [7].

Сечения в нестандартных моделях поля вещественных чисел исследованы в [7], [8].

Вторая часть: Циклически упорядоченные группы - начинается с определения двумерного порядка.

Двумерный порядок. Определение линейного порядка возникло в результате исследования расположения точек на прямой. Поле вещественных чисел явилось первым примером линейно упорядоченного поля.

Различные подходы к обобщению понятия линейного порядка по размерности предпринимались многими математиками, начиная с Кантора [40], работы которого были продолжены Шварцем [41], Риссом [42], Вагнером [43].

Систематическое изучение обобщений понятия линейного порядка по размерности было предпринято в работах Шпернера по так называемым функциям порядка. В основу определения функции порядка у Шпернера положено свойство произвольной точки п—мерного аффинного пространства занимать по отношению к ориентированной гиперплоскости одно из трех положений: лежать на гиперплоскости, располагаться по ту или другую сторону гиперплоскости.

Многие работы Шпернера: [44], [45], [46], а также Глока [47], Бах-мана и Клингенберга [48], Карцеля [49], [50], [51], Джоуссена [52], Ленца и Пейяша [53] посвящены чисто геометрическим вопросам, связанным с функцией порядка.

Одновременно изучаются алгебраические структуры, оснащенные функцией порядка: Шпернер [54], [55], Карцель [49], [50], [51], Керби [57].

В последующем, при определении функции ориентации аффинного пространства, Глок [58] использовал аксиоматический подход. Идея обобщения линейного порядка по размерности получила последовательное развитие в независимых работах Л. Новака [5962] и Г. Г. Пестова []8а-11а], [32а], [33а].

Полезность понятия линейного порядка в алгебре определяется его успешным использованием в теории упорядоченных групп, полей и других алгебраических систем. Исторически первой упорядоченной алгебраической системой было поле вещественных чисел. В линейно упорядоченном поле К функция порядка £ инвариантна при всех а относительно преобразования

и, при всех а> о, инвариантна относительно преобразования х —> ах.

В 1831 году Гаусс опубликовал "Теорию биквадратичных вычетов" [64], где содержится обоснование комплексных чисел и их геометрическая интерпретация. С тех пор эта интерпретация стала общепризнанной.

Ориентация вещественной прямой порождает естественное линейное упорядочивание поля вещественных чисел. Это наводит на мысль, что ориентация плоскости при гауссовой интерпретации поля комплексных чисел является естественным двумерным упорядочиванием этого поля.

Функцию положительной ориентации плоскости обозначим через Точнее, если

Определение 12.0.1 Пусть М есть множество, ((х,2/,г)-функция, заданная на М3 и принимающая значения -1,0, + 1. Если для каждого множества 5 С М, 3 < |5( < 5, существует инъекция такая что для всех выполнено равенство

то (М, £) называется двумерно упорядоченным множеством или 2-упорядоченным множеством, а £ - функцией 2-порядка. На плоскости существует 11 типов неизоморфных 2-упорядоченных множеств из 5 точек. Поэтому удобнее работать с аксиоматическим определением 2-упорядоченного множества, которое является частным случаем определения упорядоченного множества (см. [11а]).

Элементы множества будем называть точками этого множества. Упорядоченную пару (а,Ь), а,Ь € М,а ф Ь, назовем гранью множества М.

Пусть (7 = (а,Ь) есть грань множества (М, (). Если для всех х

х - (аа,Ьх),у = (02,62),г = (а3,Ь3),

то

сн

т(х,у>г) = ^ «г аз

Ьх

Ь2 Ьз

из М \ Gвыполнено: £(а,Ь,х) > 0 (или: ((а,Ь,х) < 0), то грань G называется внешней гранью М. Каждая точка, принадлежащая какой-нибудь внешней грани множества М, называется внешней точкой М.

Пусть - две различные грани множества М, имеющие

единственную общую точку о. Если существует е = ±1, такой что для всех ,х £ М,х $ (<? и С?1), таких что ((Сх,х) ф 0, выполнено равенство:

то грань 0\ называется смежной по а к грани О. Множество 5 С М назовем невырожденным, если существуют такие что

Теперь определение 2-упорядоченного множества можно переформулировать следующим образом.

Пусть на множестве М,\М\ > 3, задана ф у н к Ций^р и -нимающая значения 0, +1, -1. Пусть выполнены условия ("аксиомы" ):

меняет знак при перестановке каждой пары аргументов,

А2. если 5 есть невырожденное подмножество М, |5| = 4, то

a) для каждой пары точек х,у £ М существует т а т о

Ф 0,

b) в 5 существует внешняя грань,

АЗ. если 51 С М, ^х! = 5, С? есть грань,51, а € в, то существует в грань смежная к

Тогда называется 2-упорядоченным множеством.

Если {М,С) удовлетворяет аксиомам А1,А2а, то {М,() называется двумерной точечной системой.

Следствие 14.5.2. Пусть (5, С) - невырожденная точечная система из четырех точек. Тогда следующие условия эквивалентны: реализуема на плоскости, существует внешняя грань, существует не меньше двух внешних граней. Обобщенно периодические элементы Пусть О - группа, а € С. Используем обозначение: д~1ад = ая. Пусть^ </ь... ,дп б б. Обозначим: дГ1ад1... ,дп~1адп =

Выражение а91+" +3п будем называть обобщенной степенью эле-

мента а, а выражение (51 + ... + дп) - показателем обобщенной степени.

Как синоним термина обобщенная степень будем использовать термин О—степень.

Элемент а группы О называется обобщенно периодическим [2], или О—периодическим [70] если существует обобщенная степень элемента о, равная е.

Пусть к - наименьшее натуральное число, такое что . Назовем к О—порядком элемента а.

Свойства обобщенно периодических элементов были частично анонсированы в [19а].

Лемма 15.1.1. Обобщенная степень обобщенной степени элемента группы есть обобщенная степень этого элемента. Лемма 15.1.2. О— степень произведения двух элементов равна произведению

О— степеней этих элементов (вообще говоря, с разными показателями).

Лемма 15.2.1, Коммутатор неотрицательных степеней двух элементов группы равен обобщенной степени коммутатора этих элементов .

Лемма 15.2.2. Элемент а группы О принадлежит коммутанту О', если и только если выполнено условие (*): Существуют такие элементы Ь\,... ,Ьк € 6?, что а равен произведению некоторых степеней этих элементов, причем сумма показателей степеней у каждого из элементов: - равна

нулю [4а].

Следствие 15.2.3. Если элемент а (Е О равен произведению элементов и некоторых степеней элементов

Ьх,... , Ь„ £ (?, и сумма показателей степеней у каждого элемента равна нулю, то

Лемма 15.2.4. Обобщенная степень элемента коммутанта группы принадлежит коммутанту.

Обозначим множество всех обобщенно периодических элементов группы О через То (б). Заметим, что, в общем случае множество То((?) не является подгруппой группы О.

Теорема 15.3.2. Для того, чтобы множество То (б) обобщенно периодических элементов группы О было ее нормальным

делителем, необходимо и достаточно, чтобы множество To{G) было замкнуто относительно операции возведения в обобщенную степень.

Предложение 15.3.4. 1) Если некоторые степени элементов а,Ь перестановочны, то коммутатор G— периодичен.

2) Если некоторая степень элемента а принадлежит центру, то для каждого g d G коммутатор [а, д] обобщенно периодичен. Предложение 15.3.4. Пусть L - делимая нормальная подгруппа группы G, такая что фактор-группа G/L - абелева, и

Тогда, если обобщенная степень некоторого элемента принадлежит центру G, то и сам этот элемент - центральный. Подгруппа В группы G называется группой представителей фактор-группы G/H, если каждый смежный класс дН содержит не больше одного элемента группы В. Если каждый смежный класс дН содержит точно один элемент из В, то В называется представляющей группой для G/H.

Теорема 15.4.1. Пусть Я - делимая инвариантная подгруппа группы Тогда существует представляющая

подгруппа В группы G/H, и Я выделяется в G прямым слагаемым.

Циклически упорядоченные группы Если на множестве S задано тернарное отношение удовлетворяющее свойст-

вам:

i) для всех x,y,z из S, где х, у, z попарно различные, имеет место одно и только одно из отношений: (x,y,z), (z,y,x), с'г) из (а, Ь, с) следует (Ь,с, а), сз) из (а, 6, с) и (а,, d) следует (а, Ь, d), - то говорят, что множество S циклически упорядочено [74]. Для наших целей вместо отношения (а,Ь,с) удобнее использовать которую мы определяем так:

71) u(a,b1c) = 1, если, и только если (а, 6, с);

72) ui(a,b,c) = —1, если, и только если, (с,6,а);

73) и>(а, Ь, с) = 0, если, и только если, а = Ь, или Ь — с, или а = с. Лемма 1G.1.1. (о вставке). 1) При перестановке любой пары аргументов знак меняется на противоположный.

2) Если и(а,Ь,с) = 1,ш(а,(1,Ъ) = 1, то ш{<1,Ь,с) = 1 ,ш{а,(1,с) = 1.

3) Если ш(а,Ь,с) = 1 ,ш(Ь,с1,с) = 1, то ш(а,Ь,с1) — 1,ш(а,(1,с) — 1.

•Если в группе G задан циклический порядок ш, согласованный с алгебраической структурой группы, то есть, такой что

Ух, у, г, а 6 (7 (ш(ах,ау,аг) = ш{х,у, г)) = ш(ах,ау,аг),

то говорят, что группа G циклически упорядочена.(Это определение Ригера [74], изложенное в терминах функции порядка.) Примеры. 1) Мультипликативная группа То комплексных чисел единичного модуля (Тороидальная группа) В качестве функции порядка выступает стандартная ориентация плоскости Т](х,у,г). 2) Группа С - периодическая часть группы ТоВ дальнейшем через е обозначен нейтральный элемент группы О.

Лемма 16.2.14. Пусть в группе О заданы два различных циклических порядка: с верхним конусом С™1 и Ш2, с верхним конусом С"2. Тогда С"1 ф С2.

Совершенный (линейный) порядок в группе задается с помощью так называемого положительного конуса [70]. Циклический порядок единственным образом определяется заданием своего верхнего конуса. Каким условиям должно удовлетворять подмножество С группы О, чтобы существовал циклический порядок в этой группе, верхним конусом которого является подмножество С?"? Теорема 16.3.8. Пусть (5" есть подмножество группы Сг, Ро =

, о

Для того, чтобы подмножество было верхним конусом циклического порядка в группе О, необходимо и достаточно выполнение условий: (ис1) С и в"'1 = в, (ис2) \Р0\ < 2, (исЗ) а € в а-1£7иа С

(ис4) а,сев,Ь €<2", аГ1 6 С", Ье-1 € С ас"1 € С, (ис5) ег € в, (еО2 = е,ег ф е =*• е^" = С"-1.

О классе циклически упорядоченных групп

Теорема 16.4.2. Существует такая подгруппа В тороидальной

группы что

1) То = С х В, мощность В равна мощности континуума,

2) Множество В неизмеримо относительно меры Лебега в То,

3) Группа В делима и линейно упорядочиваема,

4) Множество В всюду плотно в

Замечание. Построение неизмеримого по Лебегу множества хорошо известно и для интервала (см.[65]) и для окружности (см.[66]). Отличительной чертой множества В является то, что В - не просто неизмеримое по Лебегу множество, но подгруппа группы естественным образом возникающая по теореме о представляющей подгруппе.

Первая формулировка необходимых и достаточных условий циклической упорядочиваемости группы была приведена в [75]. Однако, эти условия оказались недостаточными для циклической упорядочиваемости группы, хотя они и послужили отправной точкой для успешно завершившихся исследований в этом направлении [4а].

Теорема 16.4.7. Для того, чтобы группа G была циклически упорядочиваема, необходимо и достаточно выполнение условий:

a) Периодическая часть Т(0) группы О вкладывается в тороидальную группу:

b) Фактор-группа С/Т((?) линейно упорядочиваема;

c) Коммутант G' не содержит элементов конечного порядка [35а]. Теорема 16.4.8. Следующие условия эквивалентны:

a) Группа G допускает циклическое упорядочивание;

b) Существует такая линейно упорядочиваемая группа L, что G вкладывается в прямое произведение тороидальной группы То и группы L.

c) Существует такая линейно упорядочиваемая группа Ь, что G вкладывается в прямое произведение группы С корней из единицы и группы L. [35а]

Третья часть: Двумерно упорядоченные алгебраические системы. 2-упорядоченные поля.

Пусть на поле Р задан двумерный порядок ((х,у,г). Будем говорить, что двумерныый порядок совместим с алгебраической структурой поля Р, если для всех х,у,г,а € Р выполнено равенство:

и для всех х,у,г,а£ Р,аф 0, выполнено равенство:

С(ха,уа,га) = ((х,у,г).

Поле Р, на котором задан двумерный порядок, совместимый со структурой поля, называется двумерно упорядоченным, или 2-упорядоченным.

Пример. Естественным примером двумерно упорядоченного поля служит поле комплексных чисел С со стандартной функцией двумерного порядка в С(ориентацией комплексной плоскости):

Пусть Р - алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Тогда найдется такое вещественно замкнутое подполе что (см. [80]). Пусть

Функцию

С(21,г2,гз) =sg

х2 -XI у2 - у 1 хз -XI уз - У\

назовём стандартной функцией порядка в поле Р = К{г). Теорема 17.2.1. Пусть М С Р, М конечно. Тогда существует такая инъекция / : М —> Е2, что для всех х, у,х 6 М выполнено:

Следствие 17.2.2. Алгебраически замкнутое поле характеристики нуль допускает двумерное упорядочивание. Пусть (Р, 0 - 2-упорядоченное поле. Множество

назовем базой 2-порядка ( в поле Р.

Теорема 17.3.1. База 2-порядка в поле Р есть подполе Р.

Пусть а Ро- Обозначим (а{х,у) = С(х,У,о)-Лемма 17.3.2. Пусть а # Ро- Условие £(0,1,а) > 0 единственным образом определяет линейный порядок (а(х,у) в базе Ро-Назовем этот линейный порядок в базе Ро 2-упорядоченного поля Р каноническим линейным порядком в Ро-

Теорема 17.3.3. Канонический линейный порядок в базе Ро 2-упорядоченного поля Р согласован с алгебраической структурой базы. Иначе, (Ро, +, <о,0,1) есть линейно упорядоченное поле. Пусть (Р, £) есть 2-упорядоченное поле. Множество

Назовем верхним конусом 2-порядка в поле Р. Множество

Ри= {я€Р|С(0,1,х)>0}

назовем открытым верхним конусом 2-порядка в поле Р. Пусть Р есть подмножество поля Р.

Теорема 18.1.1. Для того, чтобы Р" было верхним конусом некоторого 2-порядка в поле Р, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: (С1) Р" + Р" =р«, (С2) Р" и (-Ри) = Р, (СЗ) (Р" \ {О})-1 = -Р" \ {0},

(С4) если а,се Ри ,Ь еРи ,ЬаГ1 ,сЬ~1 € Ри, то са'1 € Р" . Теорема 18.1.5. Если существует нетривиальный верхний конус поля Р, то характеристика Р равна нулю.

Лемма 18.2.1. Пусть Р есть поле характеристики отличной от двух, Если

1) А есть подгруппа аддитивной группы поля ¥,

2) 1 € А,

3) Ух (х € А х-1 € А),

то А есть подполе Р .

Теорема 18.2.2. Пусть Р" есть нетривиальный верхний конус поля Р. Тогда база есть подполе Р . Пусть Если

то пишем: х -< у.

Лемма 18.4 2. Пусть х,у 6 Ри,у У х,а 6 Р \ Р0~ Если ах, ау € Ри, то ау >- ах.

Пусть {Р, Ри) есть 2-упорядоченное поле. Множество

называется правым конусом 2-упорядоченного поля Ри.

Лемма 18.4.4. Пусть а,Ь 6Р" ПРГ. Тогда аЪ €Р" .

Пример. В поле С с верхним конусом С" = {г £ С\1тг > 0}

правый конус есть множество

что и оправдывает его название. Топология 2-упорядоченного поля

В 2-упорядоченном поле (Р, Ри) естественным образом задаются

два предпорядка. Пусть Ри есть открытый верхний конус поля

Р. Если х,у £ Р,(у - х) еРи, то пишем: х <иу, У >и х-Лемма 20.1.1. Бинарное отношение <„ есть отношение частичного порядка на Р, согласованного с операцией сложения в Р и умножения на элементы из Ро .

Пусть есть правый конус 2-упорядоченного поля Если

то пишем:

Лемма 20.1.2. Бинарное отношение < есть отношение частичного порядка на Р, согласованного с операцией сложения в Р и умножения на элементы из Ро-

Пусть есть 2-упорядоченное поле с правым конусом

Тогда множество

назовем единичной (ромбической) окрестностью точки 0. Пусть б £ Р_е > 0,й£Р. Обозначим:

Множество Уе(а) назовем (ромбической) е— окрестностью точки а.

Лемма 20.2.2. Для того, чтобы х 6 Vr(0), необходимо и доста-

точно выполнение неравенств:

г + X > 0, г - х > 0, (г + ж)2 > 0, (г - х)2 > 0.

Лемма 20.2.4. Пусть г,р Р Рп.О < г <г п. Тогда Vr(0) С Vp(0).

Лемма 20.2.5. Пусть еи£->. G (Pn+ \ Ш). Тогда

v!l(e) + W)cu.(« + 4-

Следствие 20.2.7. Если х 6 Vr(0), то х2 G ^(0). Если х € К(0), то ж-1 П ^(^во

ееРо,Е>0

назовем монадой нуля. Каждый элемент монады нуля называется бесконечно малым. Элемент а G Р называется бесконечно большим, если для каждого £ G Ро,£ >0, выполнено: а VE(0). Элемент а называется конечным, если существует е G P<j,e > 0, такой что а G V^(0). Теорема 20.3.1. / есть алгебра над Pq. Лемма 20.3.2. /ПР0 = {0}

Теорема 20.3.3. Каждая бесконечно малая в (Р,Ри) трансцен-дентна над базой Pq .

Лемма 20.3.4. Множество Pf конечных элементов 2-упорядоченного поля Р есть подкольцо поля Р. Лемма 20.3.5. I есть идеал в кольце конечных элементов РЛ Теорема 20.3.10. Следующие условия на 2-упорядоченное поле {Р,Ри) эквивалентны.

(a) В Р нет бесконечно больших элементов.

(b) Для каждого х G Р существует г G Рд", такое что т ±х > 0 . Лемма х > 0,г € Р0,г > 0, г - х > 0, г2+х2> 0.

Тогда х G V2,5r(0) .

Теорема 20.3.17. Если ~ w ЛТ ~~

х-1 GF362r-i(0).

Теорема 20.3.18. Величина, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая. Величина, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая.

Теорема 21.1.4. Если в 2-упорядоченном поле (Р,Ри) нет бесконечно малых, то множество всех ромбических окрестностей поля Р есть база топологии (топологии 2-порядка) в поле Р. [33а] Теорема 21.1.5. Если 2-упорядоченное поле Р алгебраично над базой 2- порядка, то в Р нет бесконечно больших и бесконечно малых элементов .

Теорема 21.1.6. Если в 2-упорядоченном поле {Р,Ри) нет бесконечно малых, то пространство {Р,т}, где - топология, порожденная 2-порядком, нормально.

Теорема 21.1.7. Если (Р,Ри) есть такое 2-упорядоченное поле, что Р алгебраично над базой Ро, то (Р,г), где т— топология 2-порядка, - нормальное пространство [33а].

Теорема 21.1.8. Если в 2-упорядоченном поле нет беско-

нечно малых относительно базы, то поле Р с топологией порядка есть топологическое поле (см. [80]).

Обозначим конфинальность базы Ро через а, топологию порядка в (Р, Р") обозначим через т. Фильтр Коши в точке 0 порождается множеством (базисом фильтра Коши), линейно упорядоченным по включению:

{^(о)|геР0,г>о.}

Конфинальность этого базиса равна конфинальности множества Р0, то есть, а. Следовательно, х(-Р) = а > 1, где х(Р) - конфи-нальный характер Р.

Каждая фундаментальная последовательность - по другой терминологии: последовательность Коши - имеет тот же конфиналь-ный характер а. Известно, что множество классов эквивалентности всевозможных последовательностей Коши топологического поля есть кольцо. Это кольцо является полем (пополнением поля Р) при выполнении условия (*):

Если фундаментальная последовательность в поле Р не

сходится к нулю, то последовательность фундаменталь-

на [90].

Теорема 21.2.1. Множество классов эквивалентности последовательностей Коши в 2-упорядоченном поле есть поле — пополнение поля (Р, т).

Линейно упорядоченные неархимедовы поля отличаются от поля

Ж прежде всего, наличием бесконечно малых элементов. В случае 2-упорядоченного поля положение усложняется. Кроме бесконечно малых относительно базы элементов, 2-упорядоченное поле может содержать еще так называемые бесконечно близкие к базе элементы. Пусть (Р,Ри) 2-упорядоченное поле. Элемент а называется бесконечно близким к базе Ро, если для каждого и для каждого натурального выполнено:

или для каждого натурального

Пример. Пусть <0)(а) - линейно упорядоченное поле с положительной бесконечно малой Введем в поле стандартный порядок:

Р?= {х + гу\х,у € Ж(а), у > 0.}

Здесь база Ро = К(а). Поле

есть подполе Р, и порядок с Рх переносится на Рг- Положим:

о о

База поля {Р2,Р^) есть <0>. В поле Р2 нет бесконечно малых. В то же время, как нетрудно видеть, элемент (тг + га) бесконечно близок к базе.

Теорема 21.3.4. Пусть Нтаг = а, где ат € Ро- Тогда а бесконечно близко к

Теорема 22.2.1. Пусть Ро есть база алгебраически замкнутого 2-упорядоченного поля (Р,Ри). Если L есть подполе базы Ро, (А, В) есть фундаментальное алгебраическое сечение в L, то существует единственный алгебраический над L элемент о € Ро, такой что А < а < В .

Теорема 22.3.1. Пусть К - формально вещественное, нормальное расширение поля рациональных чисел ($. Тогда никакое подполе К, включая и само поле К, не допускает 2-упорядочивания [2а], [28а], [33а].

Терре А. И. показал, что каждое поле характеристики нуль, не изоморфное никакому подполю формально вещественного нормального расширения поля О, допускает нетривиальное 2-упорядочивание [83]. Итак, справедлива Теорема 22.3.2

Пусть Р есть поле характеристики нуль. Тогда:

1) Если Р изоморфно подполю нормального формально вещественного расширения поля (Ц>, то Р линейно упорядочиваемо, но не допускает нетривиального 2-упорядочивания;

2) Если Р формально вещественно, но не изоморфно никакому подполю нормального расширения поля то Р допускает и линейное, и двумерное упорядочивание;

3) Если Р не является формально вещественным, то Р допускает только двумерное упорядочивание.

Теорема 22.4.2. Если 2-упорядоченное поле алгебраически замкнуто, то его база вещественно замкнута [2а], [28а], [35а]. Теорема 22.4.3. Поле всех алгебраических чисел допускает лишь единственнное, с точностью до изоморфизма, упорядочивание [2а], [28а], [35а].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Hahn H.Uber die nichtarchimedischen Grossensysteme, S.-B. Akad. Wiss. Wien, lla, 116 (1907), 601-655.

[2] Fuchs L. Partially ordered algebraic systems.Pergamen Press.1963

[3] Dedekind R. Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Achte Auflage, Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1967.

[4] Dales H.J., Woodin H. Super real fields. Clarenden Press.Oxford,1996, 356 p.

[5] Macai E.Notes on real closed fields. Ann Univ. Sci. Budapest., Sectio mat., Xlll 1970, 35-55

[6] Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М., Наука, 1965. [7] Галанова Н. Ю. Конфинальность и симметричность сечений в упорядоченных полях. // Исследования по математическому анализу и алгебре. Изд-во ТГУ, Томск, 1998, 138-143.

[8] Delay В. Coupures propres dans *R. Ann. Math. Blaise Pascal, Vol 4, N1, 1997, pp. 19-25

[9] Artin E., Schreier 0. Algebraische Konstruktion Reeller Korper, Abh. Math. Sem. Hamb. Univ. 5, 1925, 85-99

[10] Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Habmb. Abh. 5 (1927), 100-115.

[11] Kaplanski I. Maximal fields with valuations. Duke Math. J., 1942, 16, pp.399-418.

[12] Hauschield K. Cauchyfolgen von hoheren Typus in angeordneter Korpern. Zeitschrift fur mathematische logik und Grundlagen der Mathematic, 17, 1967, v. 13-1, 55-66.

[13] Massaza C. Sul completamento dei campi ordinati. Rendiconti del Seminario Maternatico, Univ. e Politechnico di Torino, 1969-70, v. 29, 329-348.

[14] Baer R. Dichte, Archimedizitat und Starrheit geordneter Korper, Math. Ann., 1970, 188, No.3, 165-205.

[15] Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры.М., Наука, 1967.

[16] Tarski A., McKinsey J. С. С. A Decision Method for elementary Algebra and Geometry.- 2 ed.- Berfkeley; Los Angeles, 1948.

.[17] Conrad, P., "Archimedean Extensions of Lattice-Ordered Groups," J. Indian Math. Soc, 30 (1966) 199-221 [18] Larnel, M., Lattice-Ordered Groups, Marcel Dekker, Inc, 1994.

[19] Scott D., On completing ordered fields, Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability (Internat. Sympos., Pasadena, Calif., 1967), Holt, Renehaart and Winston, New York, 1969, 274-278.

[20] Zervos S. P., Une propriete des corps commutatifs de caracteristique zero, Pract. Acad. Athenon, 36(1961), 139-143.

[21] Pickert G. Einfiirung in die Hoere Algebra, Gottingen, 1951.

[22] Hauschield K.Uber die Konstruktion von Erweiterungskorpern zu nichtarchimedisch angeordneten Korpern mit Hilfe von Helderschen Schnitten, Wiss. Z. Humboldt-Univ., Berlin Math.-Natur. Reihe 15(1966), 685-686.

[23] Бурбаки Н. Общая топология.Топологические группы.Числа и связанные с ними группы и пространства. М., Наука, 1969.

[24] Бурбаки Н. Теория множеств. М., Мир, 1956.

[25] Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М., Наука, 1968.

[26] П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука, 1977.

[27] Т. Иех. Теория множеств и метод форсинга. М., Мир, 1973.

[28] Mac Lane S. The universality of formal power series fields. Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1939), 888-890

[29] C.C.Chang and H.G.Keisler. Model theory, 3rd edn. North-Holland, Amsterdam, 1990.

[30] Erdosh P., Gillman L., Henriksen M. An isomorphism theorem for real closed fields, Ann. of Math., 1955, Ser. 2, 61, 542-554.

[31] Хаусдорф. Теория множеств, Гостехизда'т, М., 1937.

[32] Ailing N.L. On the existence of real-closed fields, that are 77Q-sets of power Ka. Trans. Amer. Math. Soc. 1962, 103, 341-352.

[33] Н.Ю.Галанова. О строении нестандартной вещественной прямой. Избранные доклады международной конференции Все-сибирские Чтения по Математике и Механике. Том 1.- Изд-во ТГУ, 1997, 63-78.

[34] Справочная книга по математической логике, ред. Дж. Барвейс, Часть 1, Теория моделей.М.:Наука, 1982.

[35] П. С. Урысон. О канторовых многообразиях, ч. 1., Труды по топологии и другим областям математики, том 1, Москва-Ленинград, ГИТТЛ, 1951. [36] Robinson A. Non-standard Analysis, North-Holland, Amsterdam, 1966.

[37] А. С. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Нестандартные методы

анализа, Новосибирск, Наука, 1990.

[38] С. Альбеверио, Й. Фенстад, Р. Хеэг-Крон, Т. Линдстрем. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математи-чееской физике, М.: Мир, 1990.

[39] М. Дэвис. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980.

[40] G. Cantor. Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. - In: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Berlin, Springer, 1932, S. 165-205.

[41] H. G. Schwarz. Ein Beitrag zur Theorie der Ordnunstypen. Halle, 1888.

[42] F. Riesz. Uber mehrfache Ordnungstypen.- Math. Ann. ,1905,. 61, S. 406-421.

[43] K. Wagner. Uber nicht-archimedische Metrisierbarkeit in n-fach geordneter Mengen.- Maath. Ann., 1958,134, No. 1, S. 33-40.

[44] E. Sperner. Die Ordnungsfunktionen einer Geometric- Arch. Math., 1948, 1, S. 9-12.

[45] E. Sperner. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie.- Arch. Math., 1949, 121, S. 107-130.

[46] E. Sperner. Konvexitat bei Ordnungsfunktionen.- Abh. Math. Scm. Univ. Hamburg, 1949, 16, S. 140-154.

[47] E. Glock. Ordnungsfunktionen, die auf Seiteneinteilungen besonderer Art fiihren. - Arch. Math., 1961, 12, No. 1, S. 71-77.

[48] F. Bachmann, W. Klingenberg. Uber Seiteneinteilungen in affinen und Euklidischen Ebenen.- Math. Ann., 1951, 123, S. 288-301.

[49] H. Karzel. Uber eine Ordnungsbeziehung am Dreieck.- Math. Z., 1956, 64, S.131-137.

[50] H. Karzel, H. Lenz, Uber Hilbrtsche und Spernersche Anordnung.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1962, 25, No. 1, S. 82-87.

[51] H. Karzel. Zur Erweiterung affiner Ordnungsfunktionen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1963, 26, No. 1, S. 17-22.

[52] J. Joussen. Uber die projektive Erweiterungsfaigkeit affiner Ordnungsfunktionen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1963, 26, No. 1, S. 23-28.

[53] H. Lenz, W. Pejas. Uber Hilbertsche und Spernersche Anordnung. II.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1967, 30, No. 1, S. 11-25.

[54] E. Sperner. Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung. - Arch. Math., 1948, l,No. 2, S. 148-153.

[55] E. Sperner. Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung.- S.-B. Heidelberger Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., 1949, No. 10, S. 413-448.

[56] H. Karzel. Erzeugbare Ordnungsfunctionen.- Math. Ann., 1954, 127, S. 228-242.

[57] W. Kerby. Angeordnete Fastkorper Ebenen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1969, 33, No. 1, S. 4-16.

[58] E. Glock. Die orientierungsfunktionen eines alfinen Raumes. -Math. Z., 1962, 78, No. 4, S. 319-360.

[59] L. G. Novoa. On n—ordered sets and order completeness. -Pacific J. Math., 1965, 15, No. 4, p. 1337-1345.

[60] L. G. Novoa. Ten axioms for three-dimensional Euclidean geometry.- Proc. Amer. Math. Soc, 1968, 19, p.146-152.

[61] L. G. Novoa. Independance of a certain axiomatic system. -Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 22, p.470.

[62] L. G. Novoa. Order characterization of the complex field.- Can. Math. Bull., 1978, 21, No.3, 313-318.

[63] Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А., Скорняков Л. А., Шестаков И. П. Общая алгебра, том 1, М.: Наука, 1990.

[64] Гаусс К. Ф. Теория биквадратичных вычетов. Труды по теории чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

[65] Натансон И. П. Теория функций вещественной пременной. М.: ГИТТЛ, 1959.

[66] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. [67] Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948

[68] Проблемы Гильберта. Сборник под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.

[69] Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen, t.III, 1935, 290-329.

[70] Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.

[71] Копытов В. М., Решёточно упорядоченные группы, М.: Наука, 1984.

[72] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

[73] Александров И. А., Соболев В. В. Аналитические функции

комплексного переменного. - М.: Высшая школа, 1984.

[74] Rieger L.S., On the ordered and cyclically ordered groups I-III, Vestni'k Krai. Ceske Spol. Nauk, 1946, No. 6, 1-31; 1947, No. 1, 1-33, 1948, No. 1, 11-26.

[75] Желева С. Д., О циклически упорядоченных группах. - Сиб. матем. ж., 1976, т. 17 (5), с. 1046-1051.

[76] Swierczkowski S., On cyclically ordered groups. - Fund. Math., 1953, 47, p 161-167.

[77] Levi F. W. Arithmetische Gesetze im Gebiete discreter Gruppen, Rend. Circolo mat. Palermo, 35 (1913), 225-236.

[78] Курош А. Г. Теория групп. - M.: Наука, 1967.

[79] Daiji Kijima and Mieo Nishi. The pseudo-convergent sets and the cuts of an ordered field, Hiroshima Math. J. 19 (1989), 89-98.

[80] ван дер Варден Б. Л. Алгебра. - М.: Наука, 1976.

[81] Ehrlich, Philip. Hahn's 'Uber die nichtarchimedischen Grossensysteme' and the development of the modern theory of magnitudes and numbers to measure them. From Dedekmd to Gddel (Boston, MA, 1992), 165-213, Synthese Lib., 251, Kllluwer Acad.Publ., Lordrecht, 1995.

[82] Zheleva S. D. Lattice cyclically ordered groups, Math. Balkanica (N.S.) 12 (1998), no 1-2,47-58. [83] Teppe А И., О классе двумерно упорядоченных ассоциативно-коммутативных колец, Четвертый Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Тезисы сообщений, Кишинев, 1980, 100-101.

[84] Терре А. И., Некоторые вопросы теории 2-упорядоченных полей, Материалы Пятой научной конференции по математике и механике, Томск, 1975, 85-86.

[85] Терре А. И., О классе двумерно упорядочиваемых полей. -Томск, 1983, 13с, Деп. в ВИНИТИ 26-8-83 г., 4681 - 83.

[86] Терре А. И., Строение архимедовых двумерно упорядоченных тел. - Томск, 1983, 32с, Деп. в ВИНИТИ 26-8-83 г., 4680 -83.

[87] Терре А. И., Строение квазиархимедовых двумерно упорядоченных тел. XVII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч. II, Минск, 1983.

[88] Терре А.И. Двумерно упорядоченные тела и поля. Дис. ...канд. физ.-мат. наук. Томск, 1984. [89] Арнаутов В. И., Водин-чар М. И., Михалев А. В., Введение в теорию топологических колец и модулей, Кишинев, "Штиница", 1981.

[90] Hafner Paul and Mazzola Guerino, The cofinal character of uniform spaces and ordered fields, Zetschr. f. math, Logik und Grundlagen d. Math., Bd. 17, S. 377-384 (1971).

[91] Kamo Sh. Nonstandard natural number systems with regular gaps, Tsukuba J. Math., vol. 5, No. (1981), 21-24. [92] Kamo Sh. Nonstandard natural number systems and nonstandard models, J. of Symb. Logic, vol. 46, No. 2 (Juin 1981), 365-376.

[93] H. J. Keisler., J. H. Schmerl. Making the hyperreal line both saturated and complete, J. of Symb. Logik, vol. 56, 3, (Sept. 1991), 1016-125.

[94] Rautenberg Wolfgang. Elementare Schemata nichtelementare Axiome, Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, Vol. 13 (1967), pp. 329-366.

[95] Delon Franchise. Plongement dense d'un corp ordonne dans sa cloture reelle, J. of Symb. Logic, vol. 56, No. 3 (Sept. 1991),pp. 974-980.

[96] Conway, J. H. On numbers and games. London Mathematical Society Monographs, 6, Academic Press, London.

[97] N. Ailing. Conway's field of surreal numbers, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 287 (1985), pp. 365-386.

[98] T. Y. Lam. The theory of ordered fields, in Ring theory and algebra III, 55, (ed. B.R. McDonald), M. Dekker, New York, 1980.

[99] Ю. Л. Ершов. О числе линейных порядков на поле.- Матем. заметки, 1969, 6, 2, 201-211.

[100] Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.

Работы автора по теме диссертации

[1а] Пестов Г. Г. Строение упорядоченных полей.- Томск: Изд-во ТГУ, 1980, 6,25 п.л.

[2а] Пестов Г. Г. О вещественно замкнутых подполях алгебраически замкнуого поля, Труды III Омской областной математической конференции, Омск, 1982, 1018-83 Деп. УДК 519.48, С. 79-80.

[За] Забарина А. И., Пестов Г. Г. К теореме Сверчковского // Сиб. матем. ж., 1984, т. XXV, No. 4, С. 56-43. [4а] Забарина А. И., Пестов Г. Г. О критерии циклической упо-рядочиваемости группы. Упорядоченные множества и решетки,. Межвуз. науч. Сб. (вып. 9) Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1986, С. 19-24.

[5а] Пестов Г.Г. Симметрия сечений в упорядоченном поле. Избранные доклады международной конференции Всесибирские Чтения по Математике и Механике. Том 1.- Изд-во ТГУ, 1997, С. 198-202.

[6а] Пестов Г. Г. Об архимедовской полноте и об изоморфизме упорядоченных полей. Избранные доклады международной конференции Всесибирские Чтения по Математике и Механике. Том 1.- Изд-во ТГУ, 1997, С. 203-208.

[7а] Галанова Н.Ю., Пестов Г.Г. Поля обобщенных степенных рядов. Всесибирские чтения по математике и механике, том 1, Математика, Изд. ТГУ, Томск-1997, С. 11-12. [8а] Пестов Г.Г. n-мерные точечные системы. Труды Томского ордена трудового красного знамени государственного университета, 1967, том 191, С. 158-163.

[9а] Пестов Г.Г. Теоремы о внешних точках и гранях п-мерной точечной системы. Труды Томского ордена трудового красного знамени государственного университета, 1967, том 191, С. 164-174.

[10а] Пестов Г.Г. Глубина точки и функция сечений п-мерной точечной системы. Труды Томского государственного университета, 1967, том 191, С. 174-178.

[11а] Пестов Г. Г. п—упорядоченные множества, Труды Иркутского государственного университета, том 74, серия математическая, вып. 6, Иркутск, 1970, С. 146-169.

[12а] Пестов Г. Г. О 2-упорядоченных полях, материалы итого-

вой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета им. В. В. Куйбышева, том 1, Томск, 1970, С. 156-157.

[13а] Пестов Г. Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Сиб. матем. ж., 2001, т. 42, N0. 6, С. 1350-1360. |14а] Пестов Г.Г., Терре А. И. Об одном способе задания 2-порядка, совместимого со структурой поля, Материалы четвертой итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета им. В. В. Куйбышева, том 1, изд-во Томского университета, 1974, С. 118-119. [15а] Пестов Г.Г., Терре А. И. К теории двумерно упорядоченных полей, Группы и модули, изд-во Томского университета, Томск, 1976. С.35-48.

[16а] Пестов Г. Г. Задача о сопряженных элементах для абелевой линейно упорядоченной группы.- XVII Всесоюзная алгебраическая конференция, тезисы сообщений, ч. 2, Минск.: 1983. С. 181. [17а] Пестов Г. Г., Забарина А. И. Об обобщенно периодических элементах, Исследования по математическому анализу и алгебре, вып. 3, Томский государственный университет, Томск-2001, С. 223-234.

[18а] Пестов Г.Г. О поле нестандартных вещественных чисел. Всесибирские чтения по математике и механике, тезисы докладов том 1, Математика, Изд. ТГУ, Томск-1997, С. 66-67. [19а] Забарина А. И., Пестов Г. Г. Обобщенно периодические элементы группы и ее коммутант. //XIX Всесоюзная алгебраическая конференция, тезисы сообщений, ч.1, 1987, С. 100. [20а] Пестов Г.Г. К теории 2-упорядоченных полей, Материалы пятой итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета им. В. В. Куйбышева, том 1, 1975, Изд-во Томского университета, С. 118-119. [21а] Пестов Г. Г. О о двумерно-упорядоченных полях, XI Всесоюзный алгебраический коллоквиум, резюме сообщений и докладов, Кишинев, 1971, С. 328-329.

[22а] Пестов Г. Г. Об архимедовски полных полях и теореме вложения Хана, Труды III Омской областной математической конференции, Омск, 1982, 1018-83 Деп. УДК 519.48, С. 81-82. [23а] Пестов Г. Г. К задаче о сопряженных элементах, Успехи математических наук, 1987, том 2, вып. 3 (255), С. 188. [24а] Забарина А. И. Пестов Г.Г., О классе циклически упоря-

доченных групп, IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы, Москва, 1984, С. 200.

[25а] Забарина А. И. Пестов Г.Г., Критерий циклической упорядочиваемости групп, ХУШ Всесоюзная алебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч. 1, Кишинев, 1985, С. 195. [26а] Пестов Г. Г. К теореме направленности. Вестник Томского государственного университета 269, серия "Математика. Кибернетика. Информатика," январь 2000, С. 60-62. [27а] Пестов Г. Г. Об определимых сечениях в упорядоченном поле, Международная конференция "Алгебра и ее приложения," Красноярск, 5-9 августа 2002г., Красноярск 2002, Тезисы докладов, С. 96.

[28а] Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томский государственный университет, Томск 2003, 8 п.л. [29а] Пестов Г. Г. Об архимедовском пополнении упорядоченного поля. XVI Всесоюзная алгебраическая конференция, Тезисы, ЛОМИ, Ленинград, 1981, С. 126.

[30а] Пестов Г.Г. О замыканиях упорядоченных полей. Международная конференция по математике и механике 16-18 сентября 2003 г., г.Томск, 2003, С. 52.

[31а] Забарина А.И., Пестов Г.Г. Об п-упорядоченных группах. Там же, С. 40.

[32а] Пестов Г.Г. Правый конус и ромбические окрестности в двумерно упорядоченном поле. Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации N0. 21, февраль 2004. С. 5-18. [33а] Пестов Г.Г. Топологические и алгебраические свойства двумерно- упорядоченных полей. Там же, С. 19-33. [34а] Пестов Г.Г. Теоремы о замыканиях линейно упорядоченных полей. Там же, 34-38.

[35а] Пестов Г.Г. О классе циклически упорядочиваемых групп. Там же, 39-43.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии Редакционно-издательского отдела ТГУ Лицензия ПД № 00208 от 20 декабря 1999 г.

Заказ № -/53" « 6 » 10 2004 г. Тираж 100 экз.

'206 00

РНБ Русский фонд

2005i4

22779

Введение О

I ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ

Глава 1. Виды сечений в упорядоченном поле.

1.1 Об архимедовской эквивалентности элементов поля.

1.2 Алгебраические сечения.

1.3 Длинные и короткие берега. Симметричные сечения.

1.4 О заполнении сечений.

Глава 2. Внешние и внутренние определения типов сечений.

2.1 О внешних и внутренних определениях.

2.2 Внешние определения типов сечений.

2.3 Определимые сечения.

Глава 3. Некоторые множества, связанные с сечениями.

3.1 Определения и свойства множеств, порожденных сечением.

3.2 Связь сечений в упорядоченном поле с сечениями в его архимедовской группе.

Глава 4. О значениях многочлена в окрестности сечения.

4.1 Поведение многочлена в окрестности произвольного сечения.

4.2 Поведение многочлена в окрестности симметричного сечения.

Глава 5. Простые расширения упорядоченных полей.

5.1 О заполнении трансцендентных сечений.

5.2 О заполнении симметричных сечений.

Глава 6. Теорема об изоморфизме упорядоченных полей.

6.1 Конфинальность множеств и сечений.

6.2 Достаточные условия изотонного изоморфизма.

Глава 7. Об архимедовски замкнутых полях.

• 7.1 Первоначальные определения.

7.2 О сечениях в архимедовски замкнутых полях.

7.3 Некоторые алгебраические свойства а—полей.

7.4 Архимедовские замыкания.

7.5 О полях формальных степенных рядов.

7.6 Сечения в поле формальных степенных рядов.

Глава 8. Дальнейшая классификация сечений.

8.1 Типы берегов сечения.

8.2 Внутренние определения типов.

8.3 Типы сечений.

8.4 Примеры сечений четырех типов.

8.5 0 типах алгебраических сечений.

Глава 9. О подполях упорядоченного поля.

9.1 Второе отношение эквивалентности в упорядоченном поле.

9.2 Классы [а].

9.3 Г-подполя.

9.4 Признак плотности поля в своем вещественном замыкании.

9.5 Признак вещественной замкнутости поля.

Глава 10. О замыканиях упорядоченных полей.

10.1 Определения замыканий упорядоченных полей.

10.2 О построении замыканий упорядоченных полей.

Глава 11. Порядковые характеристики групп и полей.

11.1 Конфинальность сечений в упорядоченном поле и в его группе архимедовских классов.

11.2 г}а—множества, группы и поля.

Глава 12. Поля ограниченных формальных рядов.

12.1 Предварительные замечания.

12.2 Исследование сечений в поле ограниченных формальных рядов.

12.3 0 нестандартной вещественной прямой.

II ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ.

Глава 14. ДВУМЕРНЫЙ ПОРЯДОК

14.1 К определению двумерного порядка.

14.2 Двумерный порядок как обобщение ориентации R2.

14.3 Функция 2-порядка.

14.4 Аксиоматика двумерного порядка.

14.5 О реализуемых четверках.

14.6 О прямых в 2-упорядоченном множестве.

Глава 15. ОБОБЩЁННО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

15.1 Определения и свойства.

15.2 Обобщенные степени и коммутант.

15.3 Множество обобщенно периодических элементов группы.

15.4 Представляющие подгруппы.

Глава 16. ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

16.1 Циклический порядок.

16.2 0 циклически упорядоченных группах.

16.3 Верхний конус группы.

16.4 0 классе циклически упорядочиваемых групп.

III 2-УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ.

Глава 17. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

17.1 Определение 2-упорядоченного поля. Примеры.

17.2 Стандартный 2-порядок в алгебраически замкнутом поле характеристики нуль.

17.3 База 2-порядка.

17.4 Верхний конус порядка.

Глава 18. ВЕРХНИЙ КОНУС ПОЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ МНОЖЕСТВА

18.1 Верхний конус поля.

18.2 База верхнего конуса как упорядоченное поле.

18.3 Задание 2-порядка с помощью верхнего конуса.

18.4 Отношение частичного порядка в верхнем конусе.

Глава 19. ПРАВЫЙ КОНУС 2-УПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛЯ

19.1 Правый конус, определение и свойства.

19.2 Признаки принадлежности к правому конусу.

Глава 20. РОМБИЧЕСКИЕ ОКРЕСТНОСТИ

20.1 Предпорядки в 2-упорядоченном поле.

20.2 Ромбические окрестности.

20.3 Бесконечно малые в 2-упорядоченом поле.

Глава 21. ПОЛЯ БЕЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ НАД БАЗОЙ

21.1 Топология поля без бесконечно малых над базой.

21.2 Топологическое пополнение 2-упорядоченного поля.

21.3 Элементы, бесконечно близкие к базе.

Глава 22. ОТОБРАЖЕНИЯ фиф

22.1 Задание фиф.

22.2 Алгебраические сечения в подполях базы.

22.3 Поля, не допускающие 2-упорядочивания.

22.4 Об алгебраически замкнутых 2-упорядоченных полях.

ПРОБЛЕМЫ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хотя линейно упорядоченные множества встречаются в математике с древнейших времен, Кантор, по-видимому, первый подверг систематическому изучению понятие линейного порядка. В частности, он ввел понятие вполне упорядоченного множества и начал изучение кардиналов и ординалов [40]. Почти одновременно начинаются исследования упорядоченных алгебраических систем. Отметим, прежде всего, работу Хана 1907 года [1] Hahn H.Uber die nichtarchimedischen Grössensysteme. В этой работе Хан вводит ряд основополагающих понятий, вошедших затем в арсенал теории упорядоченных алгебраических систем, таких как архимедовы и неархимедовы величины, неархимедовы упорядоченные группы и тела. Хан использует конструкцию обобщенных степенных рядов для получения структурных теорем об упорядоченных группах и телах. Работа Хана была, по необходимости, сложной, так как еще не был подготовлен комплекс теорем и понятий, относящихся к упорядоченным группам и телам.

L— - .: ■ ■ ■■.I .;. i 1901 году в своем знаменитом докладе на математическом "конгрессе Гильберт сформулировал вопрос о представимости положительного многочлена в виде суммы квадратов многочленов [68]. Работы по этой проблеме явились стимулом к изучению упорядоченных полей. Значитеьным шагом в этом направлении явились работы Артина и Шрайера [9](1925), [10](1927). Здесь было введено важнейшее понятие формально вещественного поля, получен критерий линейной упорядочиваемости поля. Для исследования линейно упорядоченных групп, тел и полей Хан использовал аппарат формальных степенных рядов. Капланский [11] получил структурные теоремы для линейно упорядоченного поля более продвинутыми методами, чем это было сделано Ханом. Он доказал, что каждое упорядоченное поле К вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов Е[[<?]], где G - группа архимедовских классов поля К.

Строение сечений в упорядоченном поле несет существенную информацию о свойствах самого поля. Поэтому логика исследования упорядоченных полей со временем привела к некоторой классификации сечений в упорядоченных полях. По-видимому, Дедекинд был первым математиком, использовавшим понятие сечения во множествах рациональных и вещественных чисел при построении своей теории вещественного числа ([3]). Каждое архимедово поле изоморфно некоторому подполю поля всех вещественных чисел с его естественной упорядоченностью [21]. Таким образом, первые упорядоченные поля, сечения в которых подверглись изучению, были подполями R. С этим связаны понятия дедекиндова и недедекиндова сечения или щели [63]. Изучение неархимедовских полей приводит к определению сечений Гёльдера [22], по другой терминологии: сечений нулевой ширины [95], фундаментальных сечений. В 80-х годах прошлого века возникло понятие алгебраического сечения [1п],[95]. В теории линейно упорядоченных полей существенную роль играют различные замыкания упорядоченного поля. Этому направлению посвящено много работ, среди наиболее значительных назовем работу Р. Бэра [14], Макай 1970 года [5]. Наиболее основательному изучению подверглись понятия вещественного, топологического и архимедовского замыканий, хотя Бэр исследовал еще и некоторые комбинации замыканий. Мак Лейн исследовал поля формальных степенных рядов К.[[С?]], М.[[С?,/3]] и доказал (1939), что эти поля вещественно замкнуты, если группа архимедовских классов (7 делима [28]. Эллинг (1962) исследовал мощности полей формальных степенных рядов [32].

Единственность линейного упорядочения вещественно замкнутого поля доказана Ар-тином и Шрайером [9] (1925). В [99] (1969) Ершовым Ю. Л. описана конструкция формально вещественного поля с заданным числом неизоморфных порядков. В [5] найдена мощность множества вещественно замкнутых подполей алгебраически замкнутого поля.

Упорядоченное поле естественно рассматривать, как топологическое пространство, наделенное интервальной топологией; интервальная топология т(К) согласуется с алгебраической структурой поля К; К есть равномерное отделимое пространство, пополнение К по топологии т(К) определено единственным образом, с точностью до изоморфизма [23]. Топологическое замыкание (пополнение) упорядоченного поля К может быть осуществлено различными способами:

1) с помощью множества минимальных фильтров Коши в К [II] . [2Я], 2) с помощью фундаментальных а—последовательностей [12], где а - конфинальный характер (тип конфинальности) упорядоченного поля, который всегда является регулярным кардиналом [90], 3) наконец, можно строить пополнение К, исходя из множества фундаментальных сечений в К [22].

Расширение поля до замыкания того или иного вида можно осуществить с помощью последовательности простых расширений - так называемых заполнений сечений [4]. Пусть (А, В) есть сечение в К. Продолжение порядка из К на поле К{Ь), удовлетворяющее условию А < Ь < В, в общем случае, не определено единственным образом [5].

Одним из центральных вопросов теории упорядоченных полей является установление изоморфизма двух упорядоченных полей. Значительным достижением здесь явилась теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена [30] (1955). В теории упорядоченных полей оказались плодотворными методы теории моделей. В частности, Тарским была установлена полнота теории вещественно замкнутого поля [16]. В последние десятилетия новым стимулом для исследований в области упорядоченных полей явилось развитие нестандартного анализа [36], [37], [38], стимулировавшее в частности, исследования строения нестандартной вещественной прямой [93], [91], [92], [8]. Важной темой теории упорядоченных полей является построение упорядоченного поля с помощью той или иной конструкции. Известно, что фактор-структура кольца по максимальному идеалу есть поле. Для построение поля используются и простые идеалы: сначала строится фактор-кольцо непрерывных комплекснозначных функций на компакте по простому идеалу, а затем - его поле частных. При определённых, не слишком обременительных, условиях на исходное кольцо поле частных является упорядоченным полем [4].

Конвей построил алгебраическую систему, которую он назвал N0. система N0 удовлетворяет определению линейно упорядоченного поля, за одним исключением: ее носитель не множество, а собственный класс. Каждое линейно упорядоченная группа и каждое линейно упорядоченное поле вкладывается в N0 [97], [96]. Параллельно теории упорядоченных полей быстро развивалась теория упорядоченных групп. При этом изучались линейно упорядоченные группы [70], и их различные модификации прежде всего, частично упорядоченные группы [2], решеточно упорядоченные группы [17],[71]. Одним из направлений в теории упорядоченных групп явилась теория циклически упорядоченных групп (Ригер [74], Сверчковский [76], Желева [75]). Ригер исследовал топологию циклически упорядоченных групп, Сверчковский получил структурную теорему для циклически упорядоченных групп, Желева, в частности, предложила критерий циклической упорядочиваемости группы. Определение линейного порядка возникло в результате исследования расположения точек на прямой. Поле вещественных чисел явилось первым примером линейно упорядоченного поля.

Полезность понятия линейного порядка в алгебре определяется его успешным использованием в теории упорядоченных групп, полей и других алгебраических систем. Различные подходы к обобщению понятия линейного порядка по размерности предпринимались многими математикамми, начиная с Кантора [40], работы которого были продолжены Шварцем [41], Риссом [42], Вагнером [43].

Систематическое изучение обобщений понятия линейного порядка по размерности было предпринято в работах Шпернера по так называемым функциям порядка. В основу определения функции порядка у Шпернера положено свойство произвольной точки п—мерного аффинного пространства занимать по отношению к ориентированной гиперплоскости одно из трех положений: лежать на гиперплоскости, располагаться по ту или другую сторону гиперплоскости.

Многие работы Шпернера: [44], [45], [46], а также Глока [47], Вахмана и Клингенберга [48], Карцеля [49],[50], [51], Джоуссена [52], Ленца[53] посвящены чисто геометрическим вопросам, связанным с функцией порядка.

Одновременно изучаются алгебраические структуры, оснащенные функцией порядка: Шпернер [55], [54], Карцель [56], Керби [57].

В последующем, при определении функции ориентации аффинного пространства Глок [58] использовал аксиоматический подход.

Идея обобщения линейного порядка по размерности получила последовательное развитие в независимых работах Л. Новака и Г. Г. Пестова.[^~^пХ£^л1,[Д?л7, Новак строит аксиоматическую теорию п—упорядоченных множеств [59], [60],[61] и применяет ее для исследования поля комплексных чисел [62].

Терре А. И. развивает теорию двумерно упорядоченных полей [85], [84], а также двумерно упорядоченных колец [83] и тел [86], [87].

Обзоры различных разделов теории линейно упорядоченных полей имеются в [4] и [95]. Настоящая работа посвящена исследованию линейно упорядоченных полей с помощью развитого автором аппарата теории сечений, а также изучению двумерно упорядоченных систем, именно, циклически упорядоченных групп и двумерно упорядоченных полей.

Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной. Цель работы.

1) Развить теорию сечений в упорядоченных полях. Построить классификацию сечений в упорядоченном поле, исследовать поведение многочленов на сечениях различных типов, найти характеризацию различных замыканий упорядоченного поля в терминах сечений.

2) Получить новую теорему об изоморфизме, применимую к более широкому классу упорядоченных полей, чем классическая теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена.

3) Построить теорию циклически упорядоченных групп как часть теории двумерно упорядоченных групп. Найти критерий циклической упорядочиваемости группы. Найти новую структурную теорему для циклически упорядочиваемых групп.

4) Изучить топологию двумерно упорядоченного поля. Исследовать пополнение 2-упорядоченного поля. Доказать теорему о вещественной замкнутости базы алгебраически замкнутого 2-упорядоченного поля.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории линейно упорядоченных полей, методы теории групп, методы теории моделей и нестандартного анализа, результаты из теории топологических колец и полей. В работе систематически используются введенные в диссертации результаты и понятия: классификация сечений, теоремы о связи между строением сечений и свойствами упорядоченного поля, понятие представляющей группы, понятия 2-упорядоченной группы и 2-упорядоченного поля.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами можно считать следующие:

1. Построена классификация сечений в линейно упорядоченном поле по признакам поведения многочленов на сечении и по признаку симметрии сечения.

2. Даны характеризации топологического (непрерывного) замыкания, вещественного замыкания, архимедовского замыкания упорядоченного поля через свойства сечений в поле.

3. Описаны трансфинитные процессы построения основных типов замыканий с помощью так называемого заполнения сечений.

4. Доказаны теремы о поведении многочленов на сечениях различных типов.

5. Получены формулировка и доказательство новой теоремы об изоморфизме упорядоченных полей, имеющей более широкую сферу применимости, чем классическая теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена.

6. Дано доказательство новой структурной теоремы для циклически, упорядоченных групп.

7. Доказана нормальность топологии 2-упорядоченного поля, исследовано топологическое пополнение 2-упорядоченного поля, доказана теорема о вещественной замкнутости базы алгебраически замкнутого поля.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по теории упорядоченных полей, теории циклически упорядоченных групп, теории полей характеристики нуль.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета в 1970 году, Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме 1971, Итоговой четвертой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета в 1974 году, Пятой итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета им. В. В. Куйбышева 1975, III Омской областной математической конференции 1982, XVI Всесоюзной алгебраической конференции 1981, XVII Всесоюзной алгебраической конференции 1983. IX Всесоюзном симпозиуме по теории групп 1984, XVIII Всесоюзной алебраической конференции 1985. XIX Всесоюзной алгебраической конференции 1987, на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и идустриальной математике (ИНПРИМ-98), на Мальцевских чтениях-01 (2001 год), на Мальцевских чтениях-02 (2002 год), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича, С.-Петербург 2002, на Международной конференции по математике и механике 16-18 сентября 2003 г., г. Томск, на Мальцевских чтениях-03 (2003 год). Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех частей, списка литературы из 13? наименования, указателя обозначений и указателя терминов. Каждая часть разбита на главы, главы состоят из параграфов. Диссертация изложена на 261 странице машинописного текста.

1. Hahn H.Uber die nichtarchimedischen Grössensysteme, S.-B. Akad. Wiss. Wien, IIa, 116 (1907), 601-655.

2. Fuchs L. Partially ordered algebraic systems.Pergamen Press.19633. . Dedekind R. Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Achte Auflage, Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1967.

3. Dales H.J., Woodin H. Super real fields. Clarenden Press.Oxford,1996, 356 p.

4. Macai E.Notes on real closed fields. Ann Univ. Sei. Budapest., Sectio mat., Xlll 1970, 35-55

5. Бурбаки H. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М., Наука, 1965.

6. Галанова Н. Ю. Конфинальность и симметричность сечений в упорядоченных полях. // Исследования по математическому анализу и алгебре. Изд-во ТГУ, Томск, 1998, 138-143.

7. Delay В. Coupures propres dans *R. Ann. Math. Blaise Pascal, Vol 4, N1, 1997, pp. 19-25

8. Artin E., Schreier 0. Algebraische Konstruktion Reeller Körper, Abh. Math. Sem. Hamb. Univ. 5, 1925, 85-99

9. Artin E., Schreier O. Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Habmb. Abh. 5 (1927), 100-115.

10. Kaplanski I. Maximal fields with valuations. Duke Math. J., 1942, 16, pp.399-418.

11. Hauschieid K. Cauchyfolgen von höheren Typus in angeordneter Körpern. Zeitschrift für mathematische logik und Grundlagen der Mathematic, v. 131, 55-66.

12. Massaza C. Sul completamento dei campi ordinati. Rendiconti del Seminario Matemático, Univ. e Politechnico di Torino, 1969-70, v. 29, 329-348.

13. Baer R. Dichte, Archimedizität und Starrheit geordneter Körper, Math. Ann., 1970, 188, No.3, 165-205.

14. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры.М., Наука, 1967.

15. Tarski A.,McKinsey J. С. С. A Decision Method for elementary Algebra and Geometry.- 2 ed.- Berfkeley; Los Angeles, 1948.

16. Conrad, P., "Archimedean Extensions of Lattice-Ordered Groups," J. Indian Math. Soc., 30 (1966) 199-221

17. Larnel, M., Lattice-Ordered Groups, Marcel Dekker, Inc, 1994.

18. Scott D., On completing ordered fields, Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability (Internat. Sympos., Pasadena, Calif., 1967), Holt, Renehaart and Winston, New York, 1969, 274-278.

19. Zervos S. P., Une propriété des corps commutatifs de caractéristique zéro, Pract. Acad. Athenon, 36(1961), 139-143.

20. Pickert G. Einfürung in die Höere Algebra, Göttingen, 1951.

21. Hauschieid K.Uber die Konstruktion von Erweiterungskörpern zu nichtarchimedisch angeordneten Körpern mit Hilfe von Hölderschen Schnitten, Wiss. Z. Humboldt-Univ., Berlin Math.- Natur. Reihe 15(1966), 685-686.

22. Бурбаки H. Общая топология.Топологические группы.Числа и связанные с ними группы и пространства. М., Наука, 1969.

23. Бурбаки Н. Теория множеств. М., Мир, 1956.

24. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М., Наука, 1968.

25. П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука, 1977.

26. Т. Йех. Теория множеств и метод форсинга. М., Мир, 1973.

27. Mac Lane S. The universality of formal power series fields. Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1939), 888-890

28. C.C.Chang and H.G.Keisler. Model theory, 3rd edn. North-Holland, Amsterdam, 1990.

29. Erdosh P., Gillman L., Henriksen M. An isomorphism theorem for real closed fields, Ann. of Math., 1955, Ser. 2, 61, 542-554.

30. Хаусдорф. Теория множеств, Гостехиздат, М., 1937.

31. Ailing N.L. On the existence of real-closed fields, that are r)a—sets of power Ka. Trans. Amer. Math. Soc. 1962, 103, 341-352.

32. Н.Ю.Галанова. О строении нестандартной вещественной прямой. Избранные доклады международной конференции Всесибирские Чтения по Математике и Механике. Том 1.- Изд-во ТГУ, 1997, 63-78.

33. Справочная книга по математической логике, ред. Дж. Барвейс, Часть 1, Теория моделей.М.:Наука, 1982.

34. П. С. Урысон. О канторовых многообразиях, ч. 1., Труды по топологии и другим областям математики, том 1, Москва-Ленинград, ГИТТЛ, 1951.

35. Robinson А. Non-standard Analysis, North-HoHand, Amsterdam, 1966.

36. А. С. Кусраев, С. С. Кутателадзе. Нестандартные методы анализа, Новосибирск, Наука, 1990.

37. С. Альбеверио, Й. Фенстад, Р. Хеэг-Крон, Т. Линдстрем. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математичееской физике, М.: Мир, 1990.

38. М. Дэвис. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980.

39. G. Cantor. Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. In: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Berlin, Springer, 1932, S. 165-205.

40. H. G. Schwarz. Ein Beitrag zur Theorie der Ordnunstypen. Halle, 1888.

41. F. Riesz. Über mehrfache Ordnungstypen.- Math. Ann. ,1905, 61, S. 406-421.

42. K. Wagner. Uber nicht-archimedische Metrisierbarkeit in n-fach geordneter Mengen.- Maath. Ann., 1958, 134, No. 1, S. 33-40.

43. E. Sperner. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie.- Arch. Math., 1948, 1, S. 912.

44. E. Sperner. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie.- Arch. Math., 1949, 121, S. 107-130.

45. E. Sperner. Konvexität bei Ordnungsfunktionen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1949, 16, S. 140-154.

46. E. Glock. Ordnungsfunktionen, die auf Seiteneinteilungen besonderer Art führen. -Arch. Math., 1961, 12, No. 1, S. 71-77.

47. F. Bachmann, W. Klingenberg. Uber Seiteneinteilungen in affinen und Euklidischen Ebenen.- Math. Ann., 1951, 123, S. 288-301.

48. H. Karzel. Uber eine Ordnungsbeziehung am Dreieck.- Math. Z., 1956, 64, S.131-137.

49. H. Karzel, H. Lenz, Über Hilbrtsche und Spernersche Anordnung.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1962, 25, No. 1, S. 82-87.

50. H. Karzel. Zur Erweiterung affiner Ordnungsfunktionen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1963, 26, No. 1, S. 17-22.

51. J. Joussen. Uber die projektive Erweiterungsfaigkeit affiner Ordnungsfunktionen.-Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1963, 26, No. 1, S. 23-28.

52. H. Lenz, W. Pejas. Uber Hilbertsche und Spernersche Anordnung. II.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1967, 30, No. 1, S. 11-25.

53. E. Sperner. Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung. -Arch. Math., 1948, l,No. 2, S. 148-153.

54. E. Sperner. Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung.- S.B. Heidelberger Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., 1949, No. 10, S. 413-448.

55. H. Karzel. Erzeugbare Ordnungsfunctionen.- Math. Ann., 1954, 127, S. 228-242.

56. W. Kerby. Angeordnete Fastkörper Ebenen.- Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1969, 33, No. 1, S. 4-16.

57. E. Glock. Die orientierungsfunktionen eines affinen Raumes.- Math. Z., 1962, 78, No. 4, S. 319-360.

58. L. G. Novoa. On n—ordered sets and order completeness.- Pacific J. Math.,1965, 15, No. 4, p.1337-1345.

59. L. G. Novoa. Ten axioms for three-dimensional Euclidean geometry.- Proc. Amer. Math. Soc., 1968, 19, p.146-152.

60. L. G. Novoa. Indépendance of a certain axiomatic system.- Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 22, p.470.

61. L. G. Novoa. Order characterization of the complex field.- Can. Math. Bull., 1978, 21, No.3, 313-318.

62. Мельников 0. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А., Скорняков JI. А., Шес-таков И. П. Общая алгебра, том 1, М.: Наука, 1990.

63. Гаусс К. Ф. Теория биквадратичных вычетов. Труды по теории чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

64. Натансон И. П. Теория функций вещественной пременной. М.: ГИТТЛ, 1959.

65. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

66. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948

67. Проблемы Гильберта. Сборник под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.

68. Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen, t.III, 1935, 290-329.

69. А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.

70. Копытов В. М., Решёточно упорядоченные группы, М.: Наука, 1984.

71. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

72. Александров И. А., Соболев В. В. Аналитические функции комплексного переменного. М.: Высшая школа, 1984.

73. Rieger L.S., On the ordered and cyclically ordered groups I-III, Vestnik Krai. Ceske Spol. Nauk, 1946, No. 6, 1-31, 1947, No. 1, 1-33, 1948, No. 1, 11-26.

74. Желева С. Д., О циклически упорядоченных группах. Сиб. матем. ж., 1976, т. 17 (5), с. 1046-1051.

75. Swierczkowski S., On cyclically ordered groups. Fund. Math., 1953, 47, p. 161-167.

76. Levi F. W. Arithmetische Gesetze im Gebiete discreter Gruppen, Rend. Circolo mat. Palermo, 35 (1913), 225-236.

77. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

78. Daiji Kijima and Mieo Nishi. The pseudo-convergent sets and the cuts of an ordered field, Hiroshima Math. J. 19 (1989), 89-98.80. ван дер Варден Б. JI. Алгебра. М.: Наука, 1976.

79. Zheleva S. D.Lattice cyclically ordered groups, Math. Balkanica (N.S.) 12 (1998), no 1-2, 47-58.

80. Терре А. И., О классе двумерно упорядоченных ассоциативно-коммутативных колец, Четвертый Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Тезисы сообщений, Кишинев, 1980, 100-101.

81. Терре А. И., Некоторые вопросы теории 2-упорядоченных полей, Материалы Пятой научной конференции по математике и механике, Томск, 1975, 85-86.

82. Терре А. И., О классе двумерно упорядочиваемых полей.- Томск, 1983, 13с., Деп. в ВИНИТИ 26-8-83 г., № 4681 83.

83. Терре А. И., Строение архимедовых двумерно упорядоченных тел. Томск, 1983, 32с., Деп. в ВИНИТИ 26-8-83 г., № 4680 - 83.

84. Терре А. И., Строение квазиархимедовых двумерно упорядоченных тел. XVII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч. II, Минск, 1983.

85. Терре А.И. Двумерно упорядоченные тела и поля. Дис. .канд. физ.-мат. наук. Томск, 1984.

86. Арнаутов В. И., Водинчар М. И., Михалев А. В., Введение в теорию топологических колец и модулей, Кишинев, "Штиница", 1981.

87. Hafner Paul and Mazzola Guerino, The cofinal character of uniform spaces and ordered fields, Zetschr. f. math, Logik und Grundlagen d. Math., Bd.17, S. 377-384 (1971).

88. Kamo Sh. Nonstandard natural number systems with regular gaps, Tsukuba J. Math., vol. 5, No. (1981), 21-24.

89. Kamo Sh. Nonstandard natural number systems and nonstandard models, J. of Symb. Logic, vol. 46, No. 2 (Juin 1981), 365-376.

90. H. J. Keisler., J. H. Schmerl. Making the hyperreal line both saturated and complete, J. of Symb. Logik, vol. 56, № 3, (Sept. 1991), 1016-125.

91. Rautenberg Wolfgang. Elementare Schemata nichtelementare Axiome, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, Vol.13 (1967), pp. 329366.

92. Delon Françoise. Plongement dense d'un corp ordonné dans sa clôture réelle, J. of Symb. Logic, vol. 56, No. 3 (Sept. 1991),pp. 974-980.

93. Conway, J. H. On numbers and games. London Mathematical Cociety Monographs, 6, Academic Press, London, 1976.

94. N. Ailing. Conway's field of surreal numbers, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 287 (1985), pp. 365-386.

95. T. Y. Lam. The theory of ordered fields, in Ring theory and algebra III, 55, (ed. B.R. McDonald), M. Dekker, New York, {Ж

96. Ю. JI. Ершов. О числе линейных порядков на поле.- Матем. заметки, 1969, 6, № 2, 201-211.