О двумерно упорядоченных полях

Фомина, Елена Анатольевна

О двумерно упорядоченных полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Фомина, Елена Анатольевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О двумерно упорядоченных полях»

Автореферат диссертации на тему "О двумерно упорядоченных полях"

На правах рукописи

Фомина Елена Анатольевна

О ДВУМЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛЯХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 3 ДЕК 2009

Томск-2009

003486995

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Томский государственный университет» на кафедре математического анализа

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Пестов Герман Гаврилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Копытов Валерий Матвеевич

доктор физико-математических наук, профессор Гриншпон Самуил Яковлевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет»

Защита состоится 17 декабря 2009 года в 14 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.21 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина 36, второй корпус, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан 12 ноября 2009 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.267.21 при ТГУ, кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие поля и тесно связанное с ним понятие группы оформились только в XIX веке.

Г. Кантор (1845-1918) [6] одним из первых начал систематическое изучение понятия линейного порядка. В частности, он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и начал изучение кардиналов и ординалов.

Теория упорядоченных групп и полей [1, 2] занимает заметное место в современной математике. Р. Бэр (1902-1979) начал изучение упорядоченных тел [25]. В последующем, стали исследоваться линейно и решёточно упорядоченные группы [7, 8,26].

В августе 1900 года в своём докладе на II Международном конгрессе математиков в Париже Д. Гильберт (1862-1943) сформулировал вопрос о представимости положительного многочлена в виде суммы квадратов многочленов (17-я проблема Гильберта) [19]. Работая над этим вопросом, Э. Артин (1898-1962) и О. Шрайер (1901-1929) начали исследования по теории линейно упорядоченных полей [24]. Они нашли алгебраическую хар актер из а дню полей, допускающих линейный порядок, который совместим с алгебраической структурой поля. Ими также было введено понятие формально вещественного поля и получен критерий линейной упорядочиваемое™ поля.

Строение сечений в упорядоченном поле даёт важную информацию о свойствах самого поля. По-видимому, Р. Дедекинд (1831-1916) был первым математиком, который использовал понятие сечения во множествах рациональных и вещественных чисел при построении своей теории вещественного числа [4, 27]. Известно, что каждое архимедово поле изоморфно некоторому подполю поля всех вещественных чисел с его естественной упорядоченностью [35]. Таким образом, первые упорядоченные поля, сечения в которых подверглись изучению, были подполями Л. Со временем логика исследования упорядоченных полей привела к некоторой классификации сечений в упорядоченных полях.

Изучение неархимедовых полей привело к определению сечений Гёльдера (1859-1937) и фундаментальных сечений [3]. В 80-х годах прошлого века Г.Г. Пестовым [13] и Ф. Делон [28] было введено понятие алгебраического сечения, В теории линейно упорядоченных полей существенную роль играют различные замыкания упорядоченного поля. Эти вопросы изучались, в частности, Р. Бэром [25]. Наиболее основательному из)-чению подверглись понятия вещественного, топологического и архимедовского замыканий, хотя Р. Бэр исследовал ещё и некоторые комбинации замыканий. Расширение поля до замыкания того или иного вида можно осуществить с помощью последовательности простых расширений - так называемых заполнений сечений [14].

Единственность линейного упорядочения вещественно замкнутого поля доказана Э. Артином и О. Шрайером в 1925 году. К концу 50-х годов прошлого века накопился большой материал в области упорядоченных алгебраических структур. Систематизация этого материала проведена венгерским математиком Л. Фуксом [23]. В 1969 году Ю.Л. Ершовым описана конструкция формально вещественного поля с заданным числом неизоморфных порядков [5].

Важной темой теории упорядоченных полей является построение упорядоченного поля с помощью той или иной конструкции. Известно, что фактор-структура кольца по максимальному идеалу есть поле. При определённых условиях на исходное кольцо поле частных является упорядоченным полем.

Определение линейного порядка возникло в результате исследования расположения точек на прямой. Поле вещественных чисел явилось первым примером линейно упорядоченного поля.

Различные подходы к обобщению понятия линейного порядка по размерности предпринимались многими математиками, начиная с Г. Кантора.

Систематическое изучение обобщений понятия порядка по размерности было предпринято в работах Э. Шпернера (1906-1980) [36] и Э. Глока [29].

Идея обобщения линейного порядка по размерности получила последовательное развитие в независимых работах Л. Новака [31-34] и Г. Г. Пестова [9-12]. В работах Г.Г. Пестова [16-18] и А.И. Терре [20, 22] введено определение двумерного порядка, двумерно упордоченного поля, определение верхнего конуса и получена характериация верхнего конуса поля.

В работах А.И. Терре [21] получены, в частности, следующие результаты.

Поле имеет характеристику нуль тогда и только тогда, когда оно допускает линейное или двумерное упорядочивание.

Поле характеристики нуль допускает единственное, с точностью до изоморфизма, двумерное упорядочивание тогда и только тогда, когда оно изоморфно полю алгебраических чисел над 0.

Все поля характеристики нуль можно разделить на три класса:

1) поля характеристики нуль, не являющиеся формально вещественными. Данные поля можно упорядочить двумерно, но не линейно;

2) формально вещественные поля, не допускающее изоморфного вложения ни в какое нормальное расширение поля Поля этого класса как линейно, так и двумерно упорядочиваемы;

3) поля, изоморфно вкладываемые в некоторое нормальное расширение поля <3. Такие поля допускают только линейное упорядочивание.

Пестовым Г.Г. введено понятие бесконечно близкого элемента к базе двумерно упорядоченного поля [15], изучены некоторые свойства этих элементов, сформулированы теоремы.

Данная работа является логическим продолжением этого направления исследований.

Цель работы

1. Установить связь между функциями \уа(х) и ср(х), определёнными на двумерно упорядоченном поле.

2. Доказать, что множество бесконечно близких к базе Рй элементов является подполем двумерно упорядоченного поля {Р, Ри).

3. Получить критерий бесконечной узости двумерно упорядоченного поля.

4. На основе заданного линейно упорядоченного поля построить конструкцию бесконечно узкого поля.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры, теории полей характеристики нуль, теории линейно и двумерно упорядоченных полей, элементы дифференциального исчисления.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Основными результатами можно считать следующие.

1. Доказано тождество, связывающее функции \у0(х) и ср(г), определённые на двумерно упорядоченном поле.

2. Доказано, что множество элементов, бесконечно близких к базе двумерно упорядоченного поля, есть подполе этого поля.

3. Получен критерий бесконечной узости двумерно упорядоченного поля: двумерно упорядоченное поле является бесконечно узким тогда и только тогда, когда правый конус поля является положительным конусом поля.

4. Описана конструкция двумерно упорядоченного бесконечно узкого поля на основе заданного линейно упорядоченного поля.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа представляет собой законченное научное исследование. Результаты работы имеют теоретическое значение. Они могут быть использованы в исследованиях по теории упорядоченных полей и теории полей характеристики нуль; в университетских спецкурсах для студентов старших курсов и аспирантов.

(г. Томск, апрель 2008 года) и XIII (г. Томск, апрель 2009 года) Всероссийских конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных «Наука и образование» (ТГПУ); на Всероссийской конференции по математике и механике, посвящённой 130-летию ТГУ и 60-летию ММФ (г. Томск, сентябрь 2008 года).

Структура и объём работы. Диссертационная работа изложена на 69 страницах машинописного текста. Она состоит из списка обозначений, введения, четырёх глав и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы. Полная библиография включает 46 наименований, из них 10 - работы автора по теме диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение. Во введении изложена история вопроса, представлен обзор результатов, связанных с тематикой диссертации, сформулированы основные результаты.

Первая глава начинается с основных определений теории двумерно упорядоченных полей.

Определение 1.1.1. Пусть х = (au b\). у - (а2, Ъ2), z = (о3, Ь3) - точки плоскости R1. Функция т|2 задаваемая формулой:

Oj-a,) (Ь2 -6,)!

(а,-о,) (Ь,-Ь,)|'

называется функцией стандартной ориентации плоскости R2.

Определение 1.1.2. Пусть M - произвольное непустое множество. Функция Ç, определённая следующим образом:

ÇM3-* {0, 1,-1}, УЛсМ,И|£5, существует инъекция ф: А -> R2, такая что V х, у, z е А выполнено: фс, у, г) = ifc(<i>(x), Ф(у), Ф(г)), называется функцией двумерного порядка, заданной на множестве М.

Определение 1.1.3. Поле Р называется двумерно упорядоченным полем, если функция двумерного порядка Ç, заданная на /\ согласована с алгебраической структурой поля.

Пусть (Р, С) есть двумерно упорядоченное поле; а,Ъ е Р, а*Ь. Множество {х 6 Р\ Ç(a, b, х) = 0} назовём прямой, проходящей через точки я, Ь.

Определение 1.1.4.Базой Pv двумерно упорядоченного поля (Р, Q называется множество:

Р0 = {хеРК(0,1,х) = 0}. Иначе: базой двумерно упорядоченного поля называется прямая, проходящая через точки 0 и 1.

о, fc, 1

■П2<Л у, z)=sg «2 Ьг 1 "Sg

о, 6, 1

Определение 1.1.5. Верхним конусом Р" поля (Р, называется множество: Г = {хеР|£(0, 1,х)>0}.

Выделяют открытый верхний конус Р" поля (Р, определённый следующим образом:

Р" = {хеР\ £(0, 1, х) > 0} = Р"\Р0. Известно [15], что верхний конус однозначно определяет двумерный порядок в поле.

Пример 1.1.2. Пусть - произвольное линейно упорядоченное поле. В поле ДО введём двумерный порядок г\(ги г2, г3) следующим образом. Пусть г, = х1 + где _>;,■ е F (1 <.} < 3). Тогда полагаем

Ух 1

Фь 22. 2з)= х2 У г 1 Уз 1

Поле (Р(>). л) является двумерно упорядоченным.

Определение 1.1.7. В поле (Р, Р") зададим предпорядок <„ следующим образом:

V*, у е Р, х <иу о (у-х) е Р". Определение 1.1.8. Введём в Р" бинарное отношение х- следующим образом. Будем считать, что у >~х, если:

1. у е Р(Г, х в Р"\Ра~, или

2. ух'1 е Г , если у е Г ,хе Р"\Ра-.

Лемма 1.1.2. Бинарное отношение >- есть строгое отношение предпорядка. Определение 1.1.9. Правым конусом Рг двумерно упорядоченного поля (Р, Р") называется множество:

Г = {х е {х б Р", х2 е Р"\Р0) -Р", х2 е -Р"\ Р0) V у е Р0+}. Пример 1.1.7. В поле С с верхним конусом:

С" = {г е С|1ш2>0}

правый конус есть множество:

С'= {ге С| Яег> 0лг = 0}. Расположение элементов С в поле С поясняет данное название.

Определение 1.1.10. В поле (Р, Р") зададим предпорядок < следующим образом:

\fx.y е Р,х<у, тогда и только тогда, когда (у - х) е Р'. Определение 1.2.1. Пусть (Р, Р") — двумерно упорядоченное поле с базой Ра. Элемент а е Р называется бесконечно близким к базе Р0, если:

\/п V/- е Р0 (г<а) => (а-г)" е Р"

или

Vn Vr e Л, (>• < a) => (a - г)" e -P" Множество бесконечно близких к базе элементов обозначим через В. Бесконечно близкий к базе элемент наглядно можно представить, как элемент с бесконечно малым аргументом.

В частности, элементы базы Р0 по определению являются бесконечно близкими к базе.

Пример 1.2.1. Рассмотрим расширение R(a) поля R с помощью бесконечно малой а и расширение R(a, i) поля R(a). В работе доказано, что элемент (я + а/) поля Р = Q(tc + ai) с R(a, i), является бесконечно близким к базе Q.

Далее в первой главе изучены некоторые свойства множества бесконечно близких к базе элементов. В частности, доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.2.1. Пусть а е В. Если а e Р", то

VnVr е Ри(г<а)=>(а-г)п е Р"глР'. Теорема 1.2.2. В + Р0 с В. Теорема 1.2.3. Р0+В с В.

Центральным результатом второй главы является доказательство тождества, связывающего функции \|га(г) и <р(х), определённые ниже.

Пусть а - бесконечно близкий к базе Р0 элемент. Для каждого х е Р0[а] определим в Р0 следующие два сечения:

= {г e Р0\га<их}- хуДх) = {г e Р0 | х <„ га}; qf(x) = {г e ?01 г <х>; ср+(х) = {г e Р0 \ х < г}. Известно [15], что указанные сечения фундаментальны. Элементы из непрерывного

замыкания Р0 поля Р0, которые производят эти сечения, обозначим соответственно

через \уа(х) и <р(х).

Имеет место следующая

Теорема 2.2.3. (об основном тождестве). Пусть Р есть двумерно упорядоченное поле. Если а есть бесконечно близкий к базе Р0 элемент, F(x) е Л][*]. то имеет место тождество:

ЧаЯа)) = Пф(Я)) = ф(Р(й)).

Заметим, что с помощью этого тождества вопрос о принадлежности элемента а верхнему конусу сводится к более лёгкому вопросу о знаке многочлена F в точке

Ф(я).

В третьей главе получен критерий бесконечной близости элемента двумерно упорядоченного поля к базе этого шля.

Теорема 3.4.1. Элемент а е Р" является бесконечно близким к базе Р0 элементом тогда и только тогда, когда:

VnVp еР0(р>а)=>(р-а)"е - Р" . Основным результатом третьей главы является следующая

Теорема 3.5.5. Множество В бесконечно близких к базе элементов является подполем 2-упорядоченного поля (Р, +, ■).

Четвёртая глава посвящена бесконечно узким двумерно упорядоченным полям.

Определение 4.1.1. Двумерно упорядоченное поле {К, К') называется бесконечно узким, если каждый его элемент бесконечно близок к базе K¡¡.

На основе линейно упорядоченного поля К0 построим бесконечно узкое поле

Ки

Теорема 4.1.2. Пусть Кй - линейно упорядоченное поле, элемент а -трансцендентен над Ко. Рассмотрим поле К\ ~ Ка(а). Тогда множество:

K^{f(a)\f(x)eUx),r(a)>0} есть верхний конус некоторого двумерного порядка, при котором К\ является бесконечно узким полем.

Таким образом, эта теорема доказывает существование бесконечно узких полей и указывает алгоритм их построения.

Так, например, линейно упорядоченное поле Q(rc) допускает структуру бесконечно узкого поля, где база есть поле Q, а элемент я - бесконечно близок к базе и принадлежит открытому верхнему конус)- построенного 2-порядка.

Конструкцию бесконечно узкого поля, определяемую теоремой 4.1.2, можно обобщить. Пусть К0 есть линейно упорядоченное поле, К0 есть топологическое замыкание поля Kq

Пусть Р - базис трансцендентности Кй над полем Ки. Известно, что на поле

Ки единственным образом продолжается линейный порядок с поля Kv. Сформулируем теперь центральный результат этой главы. Теорема 4.1.3. Рассмотрим расширение £ = ,Ко(Р) поля К0 с помощью указанного базиса трансцендентности р. Тогда множество

Г = {/"(а,,..., а„) |/(*ь ..., *„) е Ка(хи ..., х„), df(au ..., а„) > 0},

где

при х, = a¡, a¡ 6 p, dXi = 1, 9

есть верхний конус некоторого двумерного порядка в поле К, при котором К является бесконечно узким полем.

Пусть теперь поле -Г допускает и линейное, и двумерное упорядочивание. Всегда ли в этом случае оно будет бесконечно узким? Во втором параграфе этой

главы показано, что поле Г = допускает и линейное, и двумерное

упорядочивание, но не является бесконечно узким полем.

Уточнить структуру бесконечно узких полей помогает

Теорема 4.2.1. (Критерий бесконечно узкого поля). Пусть К двумерно упорядоченное поле. Поле К является бесконечно узким полем тогда и только тогда, когда правый конус К поля {К, 1С) является положительным конусом К* поля К.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Пестову Герману Гавриловичу за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы / Н. Бурбаки. -М. : Наука, 1965. - 300 с.

2. Варден Б.Л. ван дер. Алгебра / Б.Л. ван дер Варден. - СПб. : Лань, 2004. - 623 с.

3. Гёльдер О. Наглядное представление и мышление в геометрии // Новые вдеи в математике. - 1914. - Сб. 8. - С. 79-80.

4. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа / Р. Дедекинд. - М.: Либроком, 2009. - 50 с. - Сер. Физико-математическое наследие: математика (теория чисел).

5. Ершов Ю.Л. О числе линейных порядков на поле // Математические заметки. -1969. - Т. 6, вып. 2. - С. 201-211.

6. Кантор Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор ; под общ. ред. А Н. Колмогорова [и др.]. - М.: Наука, 1985. - 430 с.

7. Кокорин А.И. Линейно упорядоченные группы / А.И. Кокорин, В.М. Копытов. -М.: Наука. - 1972. - 200 с.

8. Копытов В.М. Решёточно упорядоченные группы / В.М. Копытов. - М.: Наука. -1984. - 320 с.

9. Пестов Г.Г. /»-мерные точечные системы // Труды Томского ордена Трудового Красного знамени государственного университета. - 1967. - Т. 191. - С. 158-163.

10. Пестов Г.Г. Теоремы о внешних точках и гранях «-мерной точечной системы // Труды Томского ордена Трудового Красного знамени государственного университета. - 1967. - Т. 191. - С. 164-174.

11. Пестов Г.Г. Глубина точки и функция сечений n-мерной точечной системы // Труды Томского ордена Трудового Красного знамени государственного университета. - 1967. - Т. 191. - С. 174-178.

12. Пестов Г.Г. и-упорвдоченные множества // Труды Иркутского государственного университета. Сер. математическая. - 1970. - Т. 74, вып. 6. - С. 146-169.

13. Пестов Г.Г. Строение упорядоченных полей / Г.Г. Пестов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1980.-82 с.

14. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Исследования по математическому анализу и алгебре : сб. научных трудов. - Томск : Изд-во ТГУ. -2000.-С. 93-104.

15. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля / Г.Г. Пестов,- Томск : Изд-во ТГУ, 2003. - 128 с.

16. Пестов Г.Г. К теории упорядоченных алгебраических систем : дис.... д-ра физ,-мат. наук: 01.01.06 : защищена 30.11.04 : утв. 13.05.05 / Герман Гаврилович Пестов. - Томск, 2003. - 261 с.

17. Пестов Г.Г. К теории упорядоченных полей и групп : автореферат дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Г.Г, Пестов. - Екатеринбург, 2004. - 44 с.

18. Пестов Г.Г. Упорядоченные поля и группы : сб. ст. / гл. ред. Г.В. Майер. -Томск: Изд-во ТГУ, 2004. - 44 с.

19. Проблемы Гильберта : сб. ст. / отв. ред. П.С. Александров. - М. : Наука, 1972. -240 с.

20. Терре А.И. Некоторые вопросы теории 2-упорядоченных полей // Материалы Пятой научной конференции по математике и механике. - Томск. - 1975. - С. 8586.

21. Терре А.И. О классе двумерно упорядочиваемых полей / А.И. Терре. - Томск, 1983. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.08.83, №4681-83.

22. Терре А.И. Строение архимедовых двумерно упорядоченных тел / А.И. Терре. -Томск, 1983.-32 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.08.83, №4680-83.

23. Фукс JI. Частично упорядоченные алгебраические системы / JI. Фукс. - М. ; Мир,

1965. - 343 с.

24. Шрайер О. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении : пер. с нем.: в 2 т. / О. Шрайер, Е. Шпернер. - M.-JL : ОНТИ, 1934. - Т. I. - 210 с.

25. Ваег R. Dichte, Archimedizität und Starrheit geordneter Körper // Math. Ann. - 1970. -Bd. 188,No. 3. -S. 165-205.

26. Conrad P. Archimedian Extensions of Lattice-Ordered Groups // J. Indian Math. Soc. -

1966.-Vol. 30.-P. 199-221.

27. Dedekind R. Stetigkeit und Irrationale Zahlen / R. Dedekind. - Achte Auflage. -Berlin: Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1967. -52 s.

28. Delon F. Plongement dense d'un corp ordonné dans sa cloture réelle // Journal of Symb. Logic. - 1991. - Vol. 56, No. 3. - P. 974-980.

29. Glock Б. Die orientierungsfunktionen eines affinen Raumes // Math. Z, - 1962. -Bd. 78,No. 4.-S. 319-360.

30. Hafner P., The cofinal character of uniform spaces and ordered fields / P. Hafher, G. Mazzola // Zetschr. fur math. Logik und Grundlagen d. Math. - 1971. - Bd. 17. -S. 377-384.

31. NovoaL.G. On л-ordered sets and order completeness // Pacific J. Math. -1965. -Vol. 15, No. 4.-P. 1337-1345.

32. NovoaL.G. Ten axioms for three-dimensional Euclidean geometry // Proc. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 19. - P. 146-152.

33. Novoa L.G. Independence of a certain axiomatic system II Proc. Amer. Math. Soc. -1969.-Vol. 22.-P. 470.

34. Novoa L.G. Order characterization of the complex field // Can. Math. Bull. - 1978. -Vol.21, No.3.- P. 313-318.

35. Pickert G. Einfîirung in die Hôere Algebra / G. Pickert. - Gottingen, 1951.

36. Sperner E. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie // Arch. Math. - 1940, - Bd. 121. -S. 107-130.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Фомина Е.А О бесконечно близких к базе элементах / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина II Вестник ТГУ. - 2007. - № 297. - С. 157-158. - 0,13 / 0,1 п.л.

(Поступила в научную редакцию «Вестника ТГУ» 01.12.06, принята к печати 08.12.06. Входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов ВАК (2001-2005 г.г., письмо ВАК от 30.11.06)).

2. Фомина Е.А. О 2-упорядоченных полях без бесконечно малых над базой / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина II Актуальные проблемы математики и методики её преподавания : материалы заочной Всероссийской научно-практической конференции. - 2007. - Томск : Изд-во. ТГПУ. - С. 32-39. - 0,5 / 0,25 п.л.

3. Фомина Е.А. Бесконечно близкие к базе элементы // Сб. материалов Науч. конф. молодых учёных, аспирантов и студентов ММФ ТГУ, посвященной 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера, 16-21 апреля 2007 г. Томск : Изд-во ТГУ, 2007. -С. 134-135.-0,13 п.л.

4. Фомина Е.А. О сечениях в базе 2-упорядоченного поля / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина//Вестник ТГУ. -2007. -№301.-С. 94-96. - 0,19 / 0,1 п.л.

5. Фомина Е.А. Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика. - 2007. -№ 1.-С. 50-53.-0,25/0,13 п.л.

6. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Всероссийская конференция по математике и механике, г. Томск, 22-25 сентября 2008 г.: тезисы докладов. - Томск: Изд-во ТГУ, 2008. - С. 65-66. - 0,13 п.л.

7. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика. - 2008. - № 3 (4). - С. 32-34. - 0,19 п.л.

8. Фомина Е.А. Критерий бесконечно узкого поля // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика. - 2009. - № 1 (5). - С. 27-30. - 0,25 п.л.

9. Фомина Е.А. Подполе В бесконечно близких к базе элементов / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика. - 2009. - № 2 (6). - С. 4147. - 0,44 / 0,22 п.л.

10. Фомина Е.А. Некоторые конструкции 2-упорядоченных полей // Наука и образование XII: Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых учёных (21-25 апреля 2008 г.) : в 6 т. - Томск : Изд-во ТГПУ, 2009. - Т. 1 : Естественные и точные науки, ч. 1 : Физика и математика. - С. 91-93. - 0,19 п.л.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии редакционно-издательского отдела ТГУ

Заказ от « 6» Н 2009 г. Тираж Но экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Фомина, Елена Анатольевна

Список обозначений

Введение

Глава I. Основные понятия теории двумерно упорядоченных полей

§ 1. Первоначальные определения теории двумерно упорядоченных полей. Примеры

§ 2. Множество бесконечно близких к базе элементов

§ 3. Симметричные сечения в базе

Глава II. Основное тождество двумерно упорядоченного поля

§1.0 двух функциях в двумерно упорядоченном поле

§ 2. Доказательство основного тождества теории двумерно упорядоченного поля

Глава III. Подполе В бесконечно близких к базе элементов

§1. Вспомогательные предложения

§2. Замкнутость множества В относительно сложения

§3. Симметрия множества В

§4. Критерий бесконечной близости к базе

§5. Множество В \{0} как мультипликативная группа.

Глава IV. Бесконечно узкие поля

§ 1. Некоторые конструкции бесконечно узких полей

§2. Критерий бесконечно узкого поля

Список используемой литературы

Работы автора по теме диссертации

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ г) 2 - функция стандартной ориентации плоскости R г) - стандартная функция порядка в поле F(i), где F есть произвольное линейно упорядоченное поле. - функция двумерного порядка.

Р, Q - двумерно упорядоченное поле.

Р0 - база двумерно упорядоченного поля.

Р0+ = {г е Pq\ г > 0} - множество положительных элементов базы Ро. /V - {г е Pol г < 0} - множество отрицательных элементов базы Pq. Ри - верхний конус двумерно упорядоченного поля.

Ри - открытый верхний конус двумерно упорядоченного поля. - предпорядок в двумерно упорядоченном поле (по верхнему конусу).

- - предпорядок в верхнем конусе.

Рг - правый конус двумерно упорядоченного поля. - предпорядок в двумерно упорядоченном поле (по правому конусу).

Pq - непрерывное (топологическое) замыкание поля Р{). В - множество бесконечно близких к базе элементов. \|/а(х) - функция, заданная в двумерно упорядоченном поле. ф(х) - функция, заданная в двумерно упорядоченном поле. (А, С) - сечение в линейно упорядоченном поле.

Введение диссертация по математике, на тему "О двумерно упорядоченных полях"

Актуальность темы. Понятие поля и тесно связанное с ним понятие группы оформились только в XIX веке.

Теория упорядоченных групп и полей [1,2] занимает заметное место в современной математике. Р. Бэр (1902-1979) начал изучение упорядоченных тел [25]. В последующем, стали исследоваться линейно и решёточно упорядоченные группы [7, 8, 26].

В августе 1900 года в своём докладе на II Международном конгрессе математиков в Париже Д.Гильберт (1862-1943) сформулировал вопрос о представимости положительного многочлена в виде суммы квадратов многочленов (17-я проблема Гильберта) [19]. Работая над этим вопросом, Э. Артин (1898-1962) и О. Шрайер (1901-1929) начали исследования по теории линейно упорядоченных полей [24]. Они нашли алгебраическую характеризацию полей, допускающих линейный порядок, который совместим с алгебраической структурой поля. Ими также было введено понятие формально вещественного поля и получен критерий линейной упорядочиваемости поля.

Строение сечений в упорядоченном поле даёт важную информацию о свойствах самого поля. По-видимому, Р. Дедекинд (1831-1916) был первым математиком, который использовал понятие сечения во множествах рациональных и вещественных чисел при построении своей теории вещественного числа [4, 27]. Известно, что каждое архимедово поле изоморфно некоторому подполю поля всех вещественных чисел с его естественной упорядоченностью [35]. Таким образом, первые упорядоченные поля, сечения в которых подверглись изучению, были подполями Ы. Со временем логика исследования упорядоченных полей привела к некоторой классификации сечений в упорядоченных полях.

В теории линейно упорядоченных полей существенную роль играют различные замыкания упорядоченного поля. Эти вопросы изучались, в частности, Р. Бэром [25]. Наиболее основательному изучению подверглись понятия вещественного, топологического и архимедовского замыканий, хотя Р. Бэр исследовал ещё и некоторые комбинации замыканий. Расширение поля до замыкания того или иного вида можно осуществить с помощью последовательности простых расширений - так называемых заполнений сечений [14].

Единственность линейного упорядочения вещественно замкнутого поля доказана Э. Артином и О. Шрайером в 1925 году. К концу 50-х годов прошлого века накопился большой материал в области упорядоченных алгебраических структур. Систематизация этого материала проведена венгерским математиком Л. Фуксом [23]. В 1969 году Ю.Л.Ершовым описана конструкция формально вещественного поля с заданным числом-неизоморфных порядков [5].

В работах А.И. Терре [21] получены, в частности, следующие результаты.

Все поля характеристики нуль можно разделить на три класса:

2) формально вещественные поля, не допускающее изоморфного вложения ни- в какое нормальное расширение поля Поля этого класса как линейно, так и двумерно упорядочиваемы;

3) поля, изоморфно вкладываемые в некоторое нормальное расширение поля <2. Такие поля допускают только линейное упорядочивание.

Данная работа является логическим продолжением этого направления исследований.

Цель работы

1. Доказать тождество, связывающее функции \[/0(х) и ф(.т), определённые на двумерно упорядоченном поле.

2. Доказать, что множество бесконечно близких к базе Р0 элементов является подполем двумерно упорядоченного поля (Р, Р").

3. Получить критерий бесконечной узости двумерно упорядоченного поля.

4. На основе заданного линейно упорядоченного поля построить конструкцию бесконечно узкого поля.

1. Доказано тождество, связывающее функции \\1а(х) и (р(х), определённые на двумерно упорядоченном поле.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях «Мальцевские чтения» в 2006, 2008 и 2009 годах (г. Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН); на Научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов ММФ ТГУ, посвященной 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера (г. Томск, апрель 2007 года); на XII (г. Томск, апрель 2008 года) и XIII (г. Томск, апрель 2009 года) Всероссийских конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных «Наука и образование» (ТГПУ); на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 130-летию ТГУ и 60-летию ММФ (г. Томск, сентябрь 2008 года).

Структура и объём работы. Диссертационная работа изложена на 69 страницах машинописного текста. Она состоит из списка обозначений, введения, четырёх глав и. списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы. Полная библиография включает 46 наименований, из них 10 — работы автора по теме диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава начинается с основных определений теории двумерно упорядоченных полей.

Определение 1.1.1. Пусть х = {а\, Ь\), у = (а2, 2 = {щ, 63) — точки плоскости Ы2. Функция т)2 задаваемая формулой:

Г|2(х, у, г) = sg а, 6, 1 аг Ъъ sg а2-я,) (¿>2 (а3-а,) Фъ-Ь{) о называется функцией стандартной ориентации плоскости К.

Определение 1.1.2. Пусть М- произвольное непустое множество. Функция определённая следующим образом:

Мъ —> (0, 1,-1}, УЛсМ, И|<5, существует инъекция ф: А —> И , такая что V х, у, г е А выполнено: фс, у, г) — г|2(ф(х), ф(у), ф(У)), называется функцией двумерного порядка, заданной на множестве М.

Определение 1.1.3. Поле Р называется двумерно упорядоченным полем, если функция двумерного порядка заданная на Р, согласована с алгебраической структурой поля.

Пусть (Р, С) есть двумерно упорядоченное поле; а, Ъ е Р, а^Ъ. Множество {х е Р\ Ца, Ь, х) = 0} назовём прямой, проходящей через точки а, Ь.

Определение 1.1.4. Базой Р0 двумерно упорядоченного поля (Р, С) называется множество:

Ро = {* е «О, 1,х) = 0}. Иначе: базой двумерно упорядоченного поля называется прямая, проходящая через точки 0 и 1.

Определение 1.1.5. Верхним конусом ри поля (р, 0 называется множество: ри={хер\ с(0, 1, х) > 0}. о

Выделяют открытый верхний конус Р" поля (р, С), определённый следующим образом: ри = {х £ р\ г;(о, 1, х) > 0} = ри\ р0.

Известно [15], что верхний конус однозначно определяет двумерный порядок в поле.

Пример 1.1.2. Пусть Т7 - произвольное линейно упорядоченное поле. В поле Г(Г) введём двумерный порядок Т](гь ~з) следующим образом. Пусть = X] + ¡ур где Xj,yJ < / < 3). Тогда полагаем

Ух 1

ЛОр 22' 2з) = х2 у 2 1

3 Уз 1

Поле г|> является двумерно упорядоченным.

Определение 1.1.7. В поле (Р, Р") зададим предпорядок <и следующим образом: х,уеР,х<иу<5{у-х) е Ри.

Определение 1.1.8. Введём в Ри бинарное отношение >- следующим образом. Будем считать, что у >- х, если:

1. у е Р0~, х е Р"\Р0~, или

2. 7х-1 е Р", если у е Р", х е Ри\Р0~.

Лемма 1.1.2. Бинарное отношение >- есть строгое отношение предпорядка.

Определение 1.1.9. Правым конусом Рг двумерно упорядоченного поля (Р, Р") называется множество:

Рг = {хеР\(хе Р", х2 е Ри\Р0) V (х е -Ри, х2 е Р0) vx е Р0+}.

Пример 1.1.7. В поле С с верхним конусом:

С" - {г е С| 1тг>0} правый конус есть множество:

С = {г е С| Яе г > 0 л г = 0}. Расположение элементов Сг в поле С поясняет это название.

Определение 1.1.10. В поле (Р, Ри) зададим предпорядок < следующим образом:

Уд-, у е Р,х <у, тогда и только тогда, когда (у-х) е Рг.

Определение 1.2.1. Пусть (Р,Ри) - двумерно упорядоченное поле с базой Ро. Элемент а е Р называется бесконечно близким к базе Р0, если:

Уп \/геР0(г<а)=$(а-г)п<=Ри или

Уп \/г <е Ро (г < а) => (а — г)п е - Р\ Множество бесконечно близких к базе элементов обозначим через В. Бесконечно близкий к базе элемент наглядно можно представить, как элемент с бесконечно малым аргументом.

В частности, элементы базы Р0 по определению являются бесконечно близкими к базе.

Пример 1.2.1. Рассмотрим расширение Ща) поля вещественных чисел Ы с помощью бесконечно малой а и расширение Ща, /) поля Ща). В работе доказано, что элемент (л; + аг) поля Р = СКл; + ш) с Ща, /), является бесконечно близким к базе

Далее в первой главе изучены некоторые свойства множества В бесконечно близких к базе элементов. В частности, доказаны следующие теоремы. о

Теорема 1.2.1. Пусть а е В. Если а е Р", то п Чг е Р0 0* < я) => О - г)" е ГпГ.

Теорема 1.2.2. В + Р0аВ.

Теорема 1.2.3. Р0+В с= В.

Пусть а - бесконечно близкий к базе Ро элемент. Для каждого х б Ро[а] определим в Ро следующие два сечения:

Ч'Д*) = {г е Р0 I га <и х}; уДх) = {г е Р0 | х <„ га}; ф~(лг) = {г е Р0 \г <х}; ф+(х) = {/• £ Р0 | х < г}. Известно [15], что указанные сечения фундаментальны. Элементы из непрерывного замыкания Р0 поля Р0, которые производят эти сечения, обозначим соответственно через \|/а(х) и ф(х).

Центральным результатом второй главы является доказательство тождества, связывающего функции \|/а(х) и ф(х). Имеет место следующая

Теорема 2.2.3. (об основном тождестве). Пусть Р есть двумерно упорядоченное поле. Если а есть бесконечно близкий к базе Р0 элемент, Р(х) е РоМ, то имеет место тождество:

Заметим, что с помощью этого тождества вопрос о принадлежности элемента а верхнему конусу сводится к более лёгкому вопросу о знаке многочлена Р в точке ф(я).

В третьей главе получен критерий бесконечной близости элемента двумерно упорядоченного поля к базе этого поля. о

Теорема 3.4.1. Элемент а еРи является бесконечно близким к базе Ро элементом тогда и только тогда, когда:

Уп Ур е Р0 (р > а) => (р - а)п е -Р" . Основным результатом третьей главы является следующая

Теорема 3.5.5. Множество В бесконечно близких к базе элементов является подпол ем 2-упорядоченного поля (Р, +, •>.

Четвёртая глава посвящена бесконечно узким двумерно упорядоченным полям.

Определение 4.1.1. Двумерно упорядоченное поле (К, К1') называется бесконечно узким, если каждый его элемент бесконечно близок к базе Ко.

На основе линейно упорядоченного поля Ко построим бесконечно узкое поле К\.

Теорема 4.1.2. Пусть Ко — линейно упорядоченное поле, элемент а -трансцендентен над К0. Рассмотрим поле К\ = К0(а). Тогда множество:

К" = {/(«) I/(*) е К0(х\Г(а) > 0} есть верхний конус некоторого двумерного порядка, при котором К\ является бесконечно узким полем.

Так, например, линейно упорядоченное поле (¿(и) допускает структуру бесконечно узкого поля, где база есть поле О, а элемент п — бесконечно близок к базе и принадлежит открытому верхнему конусу построенного 2-порядка.

Конструкцию бесконечно узкого поля, определяемую теоремой 4.1.2, можно обобщить. Пусть Ко есть линейно упорядоченное поле, К0 есть топологическое замыкание поля К0

Пусть Р - базис трансцендентности К0 над полем К0. Известно, что на поле К0 единственным образом продолжается линейный порядок с поля Ко

Сформулируем теперь центральный результат этой главы.

Теорема 4.1.3. Рассмотрим расширение = поля ^о с помощью указанного базиса трансцендентности (3. Тогда множество а„)\/(х1, .,х„) еК0(х1, .,*„), с?/(аи .,ап)> 0}, где дхх дхп при л:,- = я,-, ах е р, ¿¿X, = 1, есть верхний конус некоторого двумерного порядка в поле К, при котором К является бесконечно узким полем.

Пусть теперь поле Р допускает и линейное, и двумерное упорядочивание. Всегда ли в этом случае оно будет бесконечно узким? Во втором параграфе этой главы показано, что поле допускает и линейное, и двумерное упорядочивание, но не является бесконечно узким полем.

Уточнить структуру бесконечно узких полей помогает Теорема 4.2.1. (Критерий бесконечно узкого поля). Пусть К двумерно упорядоченное поле. Поле К является бесконечно узким полем тогда и только тогда, когда правый конус К поля (К, К") является положительным конусом К? поля К.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Фомина, Елена Анатольевна, Томск

1. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы / Н. Бурбаки. - М. : Наука, 1965.-300 с.

2. Варден Б.Л. ван дер. Алгебра / Б.Л. ван дер Варден. СПб. : Лань, 2004.623 с.

3. Гёльдер О. Наглядное представление и мышление в геометрии // Новые идеи в математике. 1914. - Сб. 8. - С. 79-80.

4. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа / Р. Дедекинд. М. : Либроком, 2009. - 50 с. - Сер. Физико-математическое наследие: математика (теория чисел).

5. Ершов Ю.Л. О числе линейных порядков на поле // Математические заметки. 1969.-Т. 6, вып. 2.-С. 201-211.

6. Кантор Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор ; под общ. ред. А.Н. Колмогорова и др.. М. : Наука, 1985. - 430 с.

7. Кокорин А.И. Линейно упорядоченные группы / А.И. Кокорин, В.М. Копытов. М. : Наука. - 1972. - 200 с.

8. Копытов В.М. Решёточно упорядоченные группы / В.М. Копытов. -М. : Наука. 1984.-320 с.

9. Пестов Г.Г. «-мерные точечные системы // Труды Томского ордена Трудового Красного знамени государственного университета. 1967. -Т. 191.-С. 158-163.

10. Пестов Г.Г. Теоремы о внешних точках и гранях /7-мерной точечной системы // Труды Томского ордена Трудового Красного знамени государственного университета. 1967. — Т. 191. — С. 164-174.

11. Пестов Г.Г. Глубина точки и функция сечений «-мерной точечной системы // Труды Томского ордена Трудового Красного знамени государственного университета. 1967. - Т. 191. - С. 174-178.

12. Пестов Г.Г. «-упорядоченные множества // Труды Иркутского государственного университета. Сер. математическая. 1970. - Т. 74, вып. 6.-С. 146-169.

13. Пестов Г.Г. Строение упорядоченных полей / Г.Г. Пестов. Томск : Изд-воТГУ, 1980.-82 с.

14. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Исследования по математическому анализу и алгебре : сб. научных трудов. Томск : Изд-во ТГУ. - 2000. - С. 93-104.

15. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля / Г.Г. Пестов Томск : Изд-во ТГУ, 2003. - 128 с.

16. Пестов Г.Г. К теории упорядоченных алгебраических систем : дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.06 : защищена 30.11.04 : утв. 13.05.05 / Герман Гаврилович Пестов. Томск, 2003. - 261 с.

17. Пестов Г.Г. К теории упорядоченных полей и групп : автореферат дис. . д-ра физ.-мат. наук / Г.Г. Пестов. Екатеринбург, 2004. - 44 с.

18. Пестов Г.Г. Упорядоченные поля и группы : сб. ст. / гл. ред. Г.В. Майер. -Томск : Изд-во ТГУ, 2004. 44 с.

19. Проблемы Гильберта : сб. ст. / отв. ред. П.С. Александров. М. : Наука, 1972.-240 с.

20. Терре А.И. Некоторые вопросы теории 2-упорядоченных полей // Материалы Пятой научной конференции по математике и механике. -Томск. 1975.-С. 85-86.

21. Терре А.И. О классе двумерно упорядочиваемых полей / А.И. Терре. -Томск, 1983. 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.08.83, №4681-83.

22. Терре А.И. Строение архимедовых двумерно упорядоченных тел / А.И. Терре. Томск, 1983. - 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.08.83, №4680-83.

23. Фукс JI. Частично упорядоченные алгебраические системы / Л. Фукс. -М. : Мир, 1965.-343 с.

24. Шрайер О. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении : пер. с нем. : в 2 т. / О. Шрайер, Е. Шпернер. М.-Л. : ОНТИ, 1934. - Т. 1.-210 с.

25. Baer R. Dichte, Archimedizität und Starrheit geordneter Körper // Math. Ann. 1970. - Bd. 188, No. 3. - S. 165-205.

26. Conrad P. Archimedian Extensions of Lattice-Ordered Groups // J. Indian Math. Soc. 1966. - Vol. 30. - P. 199-221.

27. Dedekind R. Stetigkeit und Irrationale Zahlen / R. Dedekind. Achte Auflage. - Berlin : Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1967. - 52 s.

28. Delon F. Plongement dense d'un corp ordonné dans sa cloture réelle // Journal ofSymb. Logic. 1991.-Vol. 56, No. 3.-P. 974-980.

29. Glock E. Die orientierungsfunktionen eines affinen Raumes // Math. Z. 1962. -Bd. 78, No. 4.-S. 319-360.

30. Hafner P. The cofinal character of uniform spaces and ordered fields / P. Hafner, G. Mazzola // Zetschr. fur math. Logik und Grundlagen d. Math. -1971.-Bd. 17.-S. 377-384.

31. NovoaL.G. On «-ordered sets and order completeness // Pacific J. Math. -1965.-Vol. 15, No. 4.-P. 1337-1345.

32. Novoa L.G. Ten axioms for three-dimensional Euclidean geometry // Proc. Amer. Math. Soc. 1968. - Vol. 19. - P. 146-152.

33. Novoa L.G. Independence of a certain axiomatic system // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. - Vol. 22. - P. 470.

34. Novoa L.G. Order characterization of the complex field // Can. Math. Bull. -1978. Vol.21, No.3.-P. 313-318.

35. Pickert G. Einfurung in die Höere Algebra / G. Pickert. Göttingen, 1951.

36. Spemer E. Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie // Arch. Math. 1940. -Bd. 121.-S. 107-130.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

37. Фомина Е.А. Бесконечно близкие к базе элементы // Сб. материалов Науч. конф. молодых учёных, аспирантов и студентов ММФ ТГУ, посвященной 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера, 16-21 апреля 2007 г. Томск : Изд-во ТГУ, 2007. С. 134-135. - 0,13 п.л.

38. Фомина Е.А. О сечениях в базе 2-упорядоченного поля / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина // Вестник ТГУ. 2007. - № 301. - С. 94-96. -0,19/0,1 п.л.

39. Фомина Е.А. Конструкция бесконечно узкого двумерно упорядоченного поля / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика. 2007. - № 1.-С. 50-53.-0,25/0,13 п.л.

40. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Всероссийская конференция по математике и механике, г. Томск, 22-25 сентября 2008 г. : тезисы докладов. Томск : Изд-во ТГУ, 2008. - С. 65-66. - 0,13 п.л.

41. Фомина Е.А. Об одном классе двумерно упорядоченных полей // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика. 2008. - № 3 (4). - С. 32-34. - 0,19 п.л.

42. Фомина Е.А. Критерий бесконечно узкого поля // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика. 2009. - № 1 (5). - С. 27-30. - 0,25 п.л.

43. Фомина Е.А. Подполе В бесконечно близких к базе элементов / Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина // Вестник ТГУ. Сер. Математика и механика. -2009. № 2 (6). - С. 41-47. - 0,44 / 0,22 п.л.