Многообразия разрешимых L-групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ ~ ОД

2 2 ОТ

На правах рукописи

Гурченкон Сергей Алексеевич

МНОГООБРАЗИЯ РАЗРЕШИМЫХ / ГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1996

Работа выполнена в Рубцовском индустриальном институте

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Шмелькин А.Л., доктор физико-математических наук профессор Смирнов Д.М., доктор физико-математических наук профессор Мухин Ю.Н.

Ведущая организация Алтайский государственный университет

Защита состоится 22 февраля 1996 г. в 1300 часов на заседании диссертационного совета Д 002.23.01 при Институте математики Сибирского отделения РАН по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан 11 января 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного с к.ф.-м.н.

Федоряев С.Т.

/

/

/

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Развитие теории многообразий ре-шеточно упорядоченных групп началось в 40-е годы в работах Г.Биркгофа [1], [2]. Важное значение для этой теории имеют работы А.И.Мальцева [1], [2], [3]. До 70-х годов исследование многообразий проводилось эпизодически и состояло, в основном, в характеризации тех или иных классов решеточно упорядоченных групп на языке тождественных соотношении. Систематическое изучение теории многообразий решеточно упорядоченных групп началось в начале 70-х годов. В настоящее время теория многообразий решеточно упорядоченных групп приобрела все черты разработанной теории с широким кругом задач, разнообразными методами исследований. В рамках этой теории первостепенное значение имеет исследование /-многообразий, порожденных разрешимыми решеточно упорядоченными группами. Причин здесь несколько.

Во-первых, это, конечно, желание и возможность пользоваться богатым аппаратом исследования разрешимых групп теории абстрактных групп. Во-вторых, тот факт, что единственное наибольшее многообразие нормальнозначных /-групп порождается ¿-многообразиями А",тг € говорит о необходимости изучать в первую очередь разрешимые /-многообразия. И, наконец, класс многообразий разрешимых решеточно упорядоченных групп весьма широк. Многие вопросы теории /многообразий удается решить, рассматривая этот класс (скажем, построить континуальные серии /-многообразий с теми или иными свойствами). С другой стороны, выявить какие-то /-многообразия, имеющие регулярное строение (скажем, в которых положительно решаются проблемы конечного базиса тождеств, независимого базиса тождеств и т.п.), по-видимому, можно надеяться в классе многообразий разрешимых решеточно упорядоченных групп.

Среди всех многообразий разрешимых решеточно упорядо-

чеииых групп в первую очередь мы будем рассматривать малые /-многообразия. Термин "малое /-многообразие" не формализован в строгом смысле. Мы под этим будем понимать следующее. Гласс, Холланд, Макклири [1] установили равенство Я — Следовательно, для каждого собственного /-многообразия 0 найдется наибольшее натуральное число п, обладающее свойством: А" С (?, Лп+1 %. (7. Такое число названо размерностью <Итп(0) /-многообразия £/. "Малое /многообразие" 0 - это /-многообразие, для которого сИт(0) = 1. Класс малых /-многообразий весьма широк. Сюда попадают все многообразия решеточно упорядоченных групп, в которых линейно упорядоченные группы абелевы, все многообразия жестких решеточно упорядоченных групп, все многообразия о-аппроксимируемых решеточно упорядоченных групп.

Цель работы - изучение многообразий решеточно упорядоченных групп, в которых линейно упорядоченные группы абелевы, и многообразий жестких решеточно упорядоченных групп. Полученные результаты и развитые методы применяются для изучения решетки многообразий решеточно упорядоченных групп.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут применяться и уже находят применение в научных исследованиях, используются при чтении алгебраических специальных курсов и подготовке учебных пособий и монографий. Отдельные результаты диссертации включены в учебные пособия Медведева [13], [14], книги Гласса, Холланда [1], Копытова [2], Копытова, Медведева [4].

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции памяти А.И. Мальцева (Новосибирск, 1989), на Международной конференции по упорядоченным алгебраическим структурам

(Франция, Люмини,1990), на Международной конференции по упорядоченным алгебраическим структурам (Франция, Люми-ни, 1993), на Международной алгебраической конференции к 1000-му заседанию семинара "Алгебра и логика" (Новосибирск, 1994), на Международной конференции "Группы в анализе и геометрии" (Омск, 1995), на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" в Новосибирском государственном университете, на семинаре кафедры алгебры Московского государственного университета. Результаты диссертации анонсированы в тезисах докладов 1С, 17, 18, 19 Всесоюзных алгебраических конференций, 10, 11 Всесоюзных симпозиумов по теории групп, Международной алгебраической конференции памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991), Международной алгебраической конференции памяти М.И. Каргаполова (Красноярск, 1993).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [2, 10-26] и совместной с В.М. Копытовым работе [1].

Обьем работы. Диссертация изложена на 134 страницах и состоит из списка обозначении, введения и четырех глав, содержащих 17 параграфов, и библиографии.

Содержание работы.

Решеточно упорядоченная группа (/-группа) - это алгебраическая система сигнатуры I = {•, е,\ДД}> совмещающая в себе структуру группы и решеточного порядка, связанные естественными соотношениями

х{и\/ и)у = хи\/ vy,x(u f\v)]) = хи Д иу.

Как самостоятельная дисциплина теория /-групп оформилась в 40-х годах, благодаря усилиям многих математиков, в пер-

вую очередь, А.И. Мальцева и Г. Биркгофа. В рамках теории ¿-групп последние 30 лет интенсивно развивается теория многообразий решеточно упорядоченных групп (¿-многообразий). В последние годы теория /-многообразий нашла достаточно полное отражение в монографической литературе (см. Копытов [2], Медведева [13], [14], Копытов, Медведев [4], Гласс [1], Гласс, Холланд [1]). В рамках данной работы нас будут интересовать следующие направления теории /-многообразий:

1. Многообразия решеточно упорядоченных групп, в которых линейно упорядоченные группы абелевы (многообразия ¿„).

2. Мощность решеток подмногообразий.

3. Независимый базис тождеств и накрытия.

4. Тождественные соотношения на решетках /-многообразий.

5. Делимость в /-многообразиях.

6. Амальгамы в /-многообразиях.

7. Другие вопросы о многообразиях жестких /-групп.

В изложении мы будем придерживаться общепринятой терминологии, все определения, понятия и факты, не приводимые ниже, можно найти по теории решеточно упорядоченных групп

- в книгах Копытова [2], Копытова, Медведева [4], Гласса [1], Гласса, Холланда [1], Бурбаки [1], Бигара, Каймела, Вольфен-штейна [1], Фукса [1]; по теории линейно упорядоченных групп

- в книгах Кокорина, Копытова [1], Муры, Ремтуллы [1]; по теории групп - в книгах Каргаполова, Мерзлякова [1], Куроша [1], Нейман [1].

Напомним, что тождеством сигнатуры / называется формула узкого исчисления предикатов, имеющая вид

где А и В - термы сигнатуры I от переменных х1,...,хп. Непустой класс М алгебраических систем сигнатуры / называется многообразием сигнатуры / (или /-многообразием), если

существует множество Ф тождеств сигнатуры / такое, что АЛ состоит из всех алгебраических систем сигнатуры /, на которых истинны все формулы из Ф. В этом случае Ф называется базой тождеств многообразия АЛ. Основой для теории многообразий является следующая теорема Биркгофа (см. Мальцев

И)-

Теорема (Биркгоф). Для того, чтобы непустой класс АЛ алгебраических систем сигнатуры I был многообразием, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(1) декартово произведение систем из АЛ принадлежит классу М;

(2) всякая подсистема алгебраической системы из АЛ принадлежит классу М;

(3) любой гомоморфный образ алгебраической системы из АЛ принадлежит классу АЛ.

Напомним обозначения и определения некоторых основных /-многообр азнй.

Через ТЬ обозначаем /-многообразие, задаваемое тождеством

(ж-1 Л у~1ху) V е = е.

Многообразие И. совпадает с классом /-групп, аппроксимируемых линейно упорядоченными (л.у.) группами, и поэтому Л называют /-многообразием о-аппроксимируемых групп.

Теорема (Лоренцен [1]; Шик [1]).А'лйсс V, всех о-аппроксимируемых [-групп задается в классе всех ¡-групп тождеством (х~г А у~1ху) V е = е и, следовательно, является ¡-многообразием.

Отметим здесь основные свойства о-аппрокснмнруемых /групп.

Теорема (Шик [1], Конторович, Кутыев [1]). Решеточ-но упорядоченная группа о-аппроксимируема тогда и только тогда, когда каждая ее поляра является идеалом.

Следствие (Берд [1]). Решеточпо упорядоченная группа о-аппроксимируема тогда « только тогда, когда каждая ее минимальная спрямляющая 1-подгруппа является 1-идеалом.

Решеточный порядок группы <9 будем называть жестким, а саму /-группу <7 - жесткой /-группой, если в ней выполнено тождество

х~х\у\х\у\~2 У е = е.

Класс жестких /-групп является /-многообразием и обозначается Ид. Напомним здесь некоторые основные свойства жестких /-групп. Всякая выпуклая /-подгруппа жесткой /-группы является идеалом. Жесткая /-группа о-аппроксимируема. Более того, она аппроксимируется жесткими л.у. группами. Группа С? тогда и только тогда допускает жесткий решеточный порядок, когда она обладает центральной системой подгрупп с факторами без кручения.

Класс всех жестко упорядоченных /-групп достаточно широк.

Теорема (Копытов [5]). Всякий решеточный порядок локально нильпотентной группы без кручения является жестким.

Напомним, что для любого неединичного элемента д /-группы О существует непустое множество ^,(<7),а £ / выпуклых I-подгрупп /-группы (7, не содержащих д и максимальных с этим свойством. Для Уа{д) выпуклая /-подгруппа 20(<7), порожденная Уа(д) и д, такова, что между и Уа(д) нет выпуклых /-подгрупп из Ст. В этом случае Уа(д) -< Za(<g) называется скачком в решетке Ь{С!) выпуклых /-подгрупп (7, определенным элементом д. Скачок А -< В выпуклых /-подгрупп в решетке 2/(£?) называется субнормальным, если /-подгруппа А является идеалом в /-группе В.

¿-группа С, в которой для любого элемента д, д ф е, любой скачок Уа(д) -< 2а(д) выпуклых /-подгрупп /-группы С?, определенный элементом д, является субнормальным, называется

/-группой с субнормальными скачками (нормальнозначной /группой). Класс всех /-групп с субнормальными скачками обозначаем через м. Описание этого класса в терминах тождеств было дано Вольфенштейном.

Теорема (Вольфенштейн [1]). Класс N всех 1-групп с субнормальными скачками является ¡многообразием и задается в классе всех 1-групп тождеством

М|у|лМ2М2 = \х\\у\.

Следующая теорема показывает важность многообразия /групп с субнормальными скачками

Теорема (Холланд [2]). Всякое ¡-многообразие отличное от многообразия С всех ¡-групп, содержится в многообразии N ¡-групп с субнормальными скачками.

Перейдем теперь к изложению содержания диссертации. На защиту выносятся следующие основные результаты:

-дана полная классификация разрешимых накрытий /-многообразия Л]

- показано, что свойством амальгамнруемости могут обладать только о-аппроксимируемые /-многообразия;

- дана полная классификация многообразий метабелевых /групп, в которых линейно упорядоченные /-группы абелевы;

- положительно решена проблема конечного базиса тождеств для произвольного /-многообразия V, п котором линейно упорядоченные /-группы абелевы, при выполнении одного из следующих условий га(У) < оо,г&(У) < оо;

- показано, что решетка многообразий нильпотентных /групп имеет не менее сложное строение, чем решетка многообразий о-аппроксимируемых /-групп;

- показана возможность вложения о-аппроксимнруемой /группы в о-аппроксимируемую /-группу с полным локально нильпотентным радикалом.

Основная цепь первых двух глав - изучение многообразий решеточно упорядоченных групп, в которых линейно упорядоченные группы абелевы.

Простейшие свойства /-многообразия £„, определяемого тождеством [жп, у"] = е, были установлены Мартинесом [1], в частности им было доказано соотношение С„ А Л = Л, т.е. любая линейно упорядоченная подгруппа в /-группах из £„ является абелевой. Внимание к /-группам, в которых линейно упорядоченные подгруппы абелевы, привлекает следующая проблема 8 в книге Фукса [1].

Пусть G такая направленная (решеточно упорядоченная) группа, что каждая ее линейно упорядоченная подгруппа коммутативна. Когда мы можем заключить, что G также коммутативна?

Скримджер [1] построил множество многообразий Sp, накрывающих многообразие всех абелевых /-групп Л и таких, что Sp С Ср, где р - простое. Смит [1] для каждого непростого р и Фокс [2] для простого р установили Sp ф £р.

В §1.1 главы 1 введено понятие ортогонального-сопряженного ранга reo(G) решеточно упорядоченной группы G и доказана в соавторстве с В.М. Копытовым следующая техническая лемма.

Лемма 1.1.4. Пусть rto{G) = га, где п > 1, и пусть элемент g и нетривиальная выпуклая l-подгруппа Н l-группы G обладают свойствами: 11 C\g~lHgx — Е для i € {1,2,..., га}. Тогда l-подгруппа /(<7™+1,//) /-группы G о-аппроксимируема.

В §1.2 главы 1 показано (теорема 1.2.1), что для произвольного натурального числа п с каноническим разложением

k k l

п = РхРг* X • • • X Prt гДе PhPit' • • >Рг - простые, справедливо включение £„ С Лп, где обозначено п = ki + к2 + ... + kr -f 1.

В теореме 1.2.2 доказано, что произвольное многообразие /-групп Л4 с условием М f\1Z = Л справедливо включение ■М С £п для некоторого п = п(Л4). Отметим, что результаты

теорем 1.2.1 и 1.2.2 независимо получены также Рейлн [2].

В §1.3 главы 1 исследуются накрытия /-многообразия »Д.

Напомним, что Вейнберг [1], Гуревич, Кокорин [1],Хнсами-ев [1] независимо показали, что многообразие А всех абелевых решеточно упорядоченных групп накрывает тривиальное многообразие £.

Вопрос о поиске всех накрытий многообразия Л отмечался Холландом в [4].

Как уже отмечалось, Скрпмджер [1] для каждого простого р построил многообразие разрешимых решеточно упорядоченных групп накрывающее многообразие всех абелевых /групп А. Многообразие «!>р не является о-аппроксимируемым. Медведев [3] построил три о-аппроксимируемых многообразия разрешимых /-групп АЛ*,АЛ~,АЛ0, накрывающих А, и показал, что любое неабелево многообразие о-аппроксимируемых разрешимых /-групп содержит по крайней мере одно пз них.

Следующая основная в первой главе теорема дает полную классификацию разрешимых накрытий /-многообразия

Теорема 1.3.2. Пусть АЛ - многообразие разрешимых I-групп, минимальное над многообразием всех абелевых ¡-групп А. Тогда АЛ совпадает с одним из I-многообразий АЛ + , АЛ~, АЛ0, где р - простое.

Справедлива также

Теорема 1.3.3. (Гурчеиков, Копытов [1]). Любое накрытие АЛ ¡-многообразия А либо совпадает с одним из ¡-многообразий АЛ+,А4~,АЛа,Зр, где р простое, либо М С и разрешимые ¡-группы б АЛ абелевы.

Отметим, что примеры многообразий о-аппрокснмпруемых /-групп, в которых разрешимые /-группы абелевы накрывающих /-многообразие А, указаны Копытовым [3] и независимо Бергманом [1]. Континуум таких /-многообразий построен в работе Холланда, Медведева [1].

В §1.4 главы 1 начато исследование строения конечно

порожденных подпрямо неразложимых /-групп в /-многообразии £„. Доказано, что такие решеточно упорядоченные группы имеют конечный ортогональный ранг (следствие 1.4.1). Отметим, что решеточно упорядоченные группы с конечным ортогональным рангом г0(О) изучались Жаффаром [1] и Конрадом [2]. Полученное ими описание строения решеточно упорядоченных групп с конечным ортогональным рангом позволяет ввести инвариант &(Сг) следующим образом:

&(£?) = 1+ &((?!), если С? есть лексикорасширение/-подгруп-ИЫ с ПОМОЩЬЮ Л.у. группы С/СгьС*! ф (7, Е и = для некоторых Сг2,(7з ф Е;

к(в) = тах{к(С1), к(в2)}, если в = (?! х, <У2 и С?!, С2 ф Е\

к(С) = 0, если й линейно упорядочена.

Следующее предложение является основным техническим результатом этого параграфа.

Предложение 1.4.3. Пусть 1-группа (7 конечно подпрямо неразложима, конечно порождена и <7 £ Сп\Л- Тогда О содержит систему выпуклых 1-подгрупп

Е = ¿7(0) С (7(1) С ... С (?(*) С <-?(*+!) = С)

где к = такую, что

(1) для любого д £ С либо (7^ = £?(,), либо р| (?(,-) = Е,1 < г < к;

(2) для любого г £ {1,2, — ,к} существует элемент и € С такой, что <7(¿)П^(<) =

(3) 1-подгруппа (У(«>1) является лексикорасширением 1-под-группы Сг(;+1) с помощью линейно упорядоченной группы £(Ж)/С(1+1)Пг € {0,1,2,...,/:};

(4) 1-подгруппа (7^+1)/(7(*.|-1)П^^ является максимальной выпуклой линейно упорядоченной подгруппой 1-группы (7,- =

¿6 {0,1,2,...,*}.

В §1.5 главы 1 рассматривается условие амальгамируе-мости в /-многообразиях.

Напомним, что /-многообразие УУ амальгамируется в /-многообразии Л4, если, во-первых, УУ является подмногообразием в уЧ, и, во-вторых, для любых /-групп А, В, С из УУ и /вложений а : А —* В, (3 : А С найдется /-группа О из .М, н /-вложения 7 : В —► 2?, 6 : С —► 2?, такие, что ау = /35. .//-многообразие УУ обладает условием (свойством) амальгамируемос-ти, если УУ амальгамируется в УУ. Пятерка (А,В,С,а,0) называется формацией в IV. Тройка (7,^,2?) называется амальгамой в формации (А, В,С,а,/3). Говорят, что /-группа А из УУ лежит в базисе амальгам Ата1м(УУ) /-многообразия УУ в М, если любая формация (Л, 5, С,а,(3) в УУ имеет амальгаму (ц,б, П) в М. Аша/уу(УУ) обозначаем через Апга/(УУ).

В теории /-многообразий хорошо известны следующие открытые вопросы, связанные с понятием амальгамируемости:

Существуют ли неабелевы /-многообразия с условием амальгамируемости (см. Холланд [4], Повел, Тспнакис [2])?

Для каких /-многообразий Л4 класс Ата1(М) содержит бесконечную циклическую Ъ (см. Холланд [4], Повел, Тсинакнс [2])?

Условие амальгамируемости в конкретных /-многообразиях изучалось многими авторами. Повел, Тсинакнс (см. в Гласс, Холланд [1]) показали, что любое многообразие о-аппроксими-руемых решеточно упорядоченных групп Л4, содержащее Л1+ или М~, не обладает свойством амальгамируемости. Пирс [1] доказал, что любое многообразие Л1, содержащее /-многообразие Скримджера <5Р для некоторого простого р, свойством амальгамируемости не обладает. Повел, Тсинакнс [1] показали, что свойством амальгамируемости не обладает многообразие Мп всех нильпотентных ступени не выше п решеточно упорядоченных групп. Гласс, Сарацино, Вуд [1] построили формацию линейно упорядоченных групп (22^, Нг, 22, <*,/?), не имеющую амальгамы в многообразии о-аппроксимируемых /-групп 72, и анонсировали результат о том, что свойством амальгами-

руемости не обладает многообразие всех жестко упорядоченных /-групп yVa. Пирс [2] нашел единственный на сегодняшний день пример многообразия, обладающего свойством ам-альгамируемости - это многообразие всех абелевых решеточно упорядоченных групп А. Повел, Тсинакис [1] установили, что класс Amal{Afn) при n > 1 не содержит нетривиальных линейно упорядоченных абелевых групп. Пирс [1], [2] установил, что Ата1(£) не содержит А, но каждая линейно архимедово упорядоченная абелева группа лежит в Ата1(£).

Доказана основная в первой главе

Теорема 1.5.1. Пусть l-многообразие М. обладает свойствами М Г) 71 ф М и Amal(M) Э Z. Тогда М2ЛГ-

Следующая теорема сводит изучение свойства амальгами-руемости в /-многообразиях к рассмотрению о-аппроксимиру-емых /-многообразий.

Теорема 1.5.2. Любое не о-аппроксимируемое l-многообразие не обладает условием амальгамируемости.

В частности, получено следующее усиление результата Повела,Тсинакиса (см. в Гласс, Холланд [1]): любое многообразие решеточно упорядоченных групп АЛ, содержащее Л4 + или Л4~, не обладает свойством амальгамируемости.

В §2.1 главы 2 исследуется строение конечно порожденных под прямо неразложимых /-групп в /-многообразии £„ ДА2. Доказано (следствие 2.1.1), что такие решеточно упорядоченные группы представимы в виде

G = А А = ¿(G),

где А - некоторая конечно порожденная линейно упорядоченная абелева группа.

В §2.2 главы 2 доказана следующая основная в этом параграфе техническая лемма, существенно использующаяся в дальнейшем при классификации многообразий метабелевых /групп, в которых линейно упорядоченные /-группы абелевы.

Лемма 2.2.4. Пусть б € (£ПП^2)\^> & конечно порождена и конечно подпрямо неразложима. Тогда для некоторого а = Цша,,..,«!,), где т{ делит тп{+1, г = 1,2,— 1, гп\ > 1, тп, делит п, справедливо равенство

иаг/(0) = иаг1(А(а)), где -А(а) обозначает группу

А(а) = гР(а,Ь1,Ь2,...,Ь, || [Ь-*аЬ',а] = [6.,6^] = [а,6?"] = в; < 6 = 1,2,...,в;а = (т1,т2,.. .,го,))

с решеточным порядком, определяемым соотношениями Ьг > Ь2 » • • • > Ь, > а > е, а Л а5 = е при аф а,3,д £ гр(Ъх,...,/>,).

В §2.3 главы 2 исследуется решетка Ь(£п /\Л2) подмногообразий /-многообразия Сп Д-42.

Многообразия метабелевых /-групп, в которых линейно упорядоченные /-группы абелевы, рассматривались многими авторами. Гурченков [5] показал, что для простого р Ср С Л2, выявил строение решетки Ь(£р) подмногообразий /-многообразия Ср, доказал конечную базируемость любого подмногообразия в £р. Холланд, Рейли [1] независимо показали конечную базируемость многообразий с>р. Позднее независимо от работы Гурченкова [5] Холланд, Рейли, Меклер [1] показали конечную базируемость подмногообразий в £р/\Л2, где р- простое. Холланд, Рейли [2] установили конечную базируемость подмногообразий из £п Д.Д2 с конечным базисным рангом, где п -произвольное.

Одним из основных результатов главы 2 является теорема 2.3.3, дающая полную классификацию подмногообразий /многообразия £„ /\Л2. Отметим также, что любое подмногообразие /-многообразия £п/\А2 имеет конечный базис тождеств (теорема 2.3.4). Базисы тождеств указаны в явном виде.

В §2.4 главы 2 продолжено исследование строения конечно порожденных подпрямо неразложимых (-групп в /-многообразии £„. Доказано (предложения 2.4.1, 2.4.2), что в такой /-группе С? найдется система подгрупп (У?,г = 0,1, + 1, где к = &(С7), таких, что

1) (<??), = <У(0,1=:1,...,А + 1;

2) = <2? Л (бед = 1,...,к+ 1, (здесь во =

Е)\

3) (У; конечно порожденная л.у. абелева /-подгруппа в /группе (7;

4) (<?(,-)) С Са.Щ) при 7 < г, 1,76 {0,1,...,* + 1}, гдеСГ = гр(С;+1,...,СУ?).

В частности, ЛГС;.(<3;) = Сс?.(С;).

Основным результатом второй главы является положительное решение проблемы конечного базиса тождеств для любого /-многообразия V, V/\И — А, с конечным базисным или аксиоматическим рангом (теоремы 2.4.1, 2.4.2).

В главах 3 и 4 изучаются многообразия жестких /-групп.

Вопросы о существовании конечного базиса тождеств, существовании базиса тождеств, зависящего лишь от конечного числа переменных, мощности решетки многообразий - традиционные вопросы теории многообразий любых алгебраических систем.

Связь вопросов существования независимого базиса тождеств и существования накрытий в решетке многообразий хорошо известна. Оба эти вопроса являются традиционными для многообразий алгебраических систем произвольной сигнатуры.

Впервые Копытов, Медведев [1] доказали континуальность решетки Ь(£). В доказательстве существенно использован соответствующий результат Ольшанского [1], Воган-Ли [1] для многообразий групп. В частности, отсюда вытекает существование /-многообразий с бесконечным базисом тождеств. Фейл

[1], используя известный результат Гельдера о строении архимедовых линейно упорядоченных групп и их групп автоморфизмов, указал континуальное множество /-многообразий (разрешимых ступени 2), порядково изоморфное множеству вещественных чисел {г,0 < г < 1}. Рейли [1], существенно используя результат Адяна [1], показал существование континуального числа попарно несравнимых /-многообразий, каждое из которых содержит Доказательства всех отмеченных результатов существенным образом опирались ыа нецентральность системы выпуклых /-подгрупп рассматриваемых /-групп и не могли быть распространены на многообразия жестких (п, в частности, нильпотентных) /-групп. Гурченков [3], [9], существенно используя бесконечность центральной системы выпуклых /-подгрупп рассматриваемых /-групп, доказал, что для каждого п (п > 3) существует континуум многообразий нильпотентных ступени п решеточно упорядоченных групп с бесконечным аксиоматическим рангом. Позднее Медведев [11] построил континуум многообразий нильпотентных ступени 2 /групп с бесконечным аксиоматическим рангом. Медведев [1], [7] построил примеры многообразий о-аппроксимируемых решеточно упорядоченных групп без независимого базиса тождеств. Все эти /-многообразия далеки от многообразий нильпотентных /-групп.

В §3.1 главы 3 (теорема 3.1.1) построено многообразие трехступенно нильпотентных решеточно упорядоченных групп с конечным аксиоматическим рангом, не имеющее независимого базиса тождеств.

Указано также (теорема 3.1.2) /-многообразие нильпотентных ступени три решеточно упорядоченных групп, не являющееся делимым. Отметим в связи с этим известный результат Баумслага [1] о совпадении многообразий групп гат^С), 1)аг(0*), где й - нильпотентная группа без кручения, а С - ее нильпотентное пополнение. Для многообразий решеточно упо-

рядоченных групп это не так. Теорема 3.1.1 является основным результатом главы 3.

В §3.2 главы 3 рассматривается решетка Ь(Л[п).

Вопрос о мощности решетки многообразий нильпотентных ступени 2 решеточно упорядоченных групп отмечался Копы-товым (см. работу Вольфенштейна [2]).

Вопрос о существовании многообразий нильпотентных решеточно упорядоченных групп с конечным аксиоматическим рангом, но с бесконечным базисом тождеств отмечался Гур-ченковым в [8].

В теореме 3.2.2 для каждого п £ ТУ, га > 2, указан континуум многообразий нильпотентных ступени < тг решеточно упорядоченных групп, каждое из которых имеет континуум накрытий в решетке Ь(ЛГп).

Отметим, что ранее Медведев [6] построил континуум о-аппроксимируемых /-многообразий, каждое из которых имеет континуум накрытий в 72.

В теореме 3.2.3, являющейся основной в этом параграфе, для каждого п 6 га > 2, указан континуум многообразий нильпотентных ступени < п решеточно упорядоченных групп с конечным аксиоматическим рангом, каждое из которых не имеет конечного базиса тождеств. В частности, существуют нильпотентные /-группы Сг с конечным специальным рангом такие, что иаг/(С) не имеет конечного базиса тождеств.

В §3.3 главы 3 рассматриваются тождественные соотношения на решетках /-многообразий.

Хорошо известен результат Биркгофа [1] о том, что решетка /-многообразий Ь(£) дистрибутивна, более того, дуально брауэрова. Копытов, Медведев [1] показали, что решетка Ь(£) всех /-многообразий не является брауэровой. Независимо этот же результат установил Смит [1]. Медведев [4] доказал, что решетка Ь(7£) не является брауэровой. Медведев [9] показал, что тождество бесконечной дистрибутивности

ипе/^-^п = Яи„6гМп) ие выполнено в общем случае в решетке Ь(7£).

Вопрос о брауэровости решетки многообразий нильпотент-ных ступени не превосходящей к (к > 2) решеточно упорядоченных групп отмечался Копытовым, Медведевым в [2].

В теореме 3.3.1, являющейся основной в этом параграфе, доказано, что решетка Ь{Мп) при п > 2 не является брауэровон и тем более вполне дистрибутивной.

Показано также, что решетка квазнмногообразий Ь{Л[п) решеточно упорядоченных ннльпотентных ступени п прн п > 2 не является дистрибутивной (следствие 3.3.1).

В §3.4 главы 3 исследуется свойство накрытия в решетке многообразий жестко упорядоченных /-групп.

Гурченков [6] доказал, что решетка Ь(£) всех многообразий /-групп как и решетка многообразий групп (см. работу Ольшанского [2]) обладает свойством накрытий и что любое собственное /-многообразие уИ, М. ф М, имеет в Ь(£) бесконечно много накрытий. Медведев [1] построил многообразия о-аппроксимируемых /-групп, содержащие все жесткие /-группы и не имеющие накрытия в Т1.

Копытов, Медведев [2] поставили следующий вопрос: обладает ли решетка ннльпотентных /-многообразий свойством накрытия?

Справедлива следующая основная в этом параграфе

Теорема 3.4.1. Решетка ннльпотентных I-многообразий, решетки Ъ(М„) при п > 5, решетка Ь()У„) не обладают свойством накрытия.

В §4.1 главы 4 рассматривается свойство делимости в /многообразиях. Напомним, что /-многообразие называется делимым (по западной терминологии - обладает условием вложения в делимые), если любую решеточно упорядоченную группу из этого многообразия можно вложить как /-подгруппу в некоторую делимую (полную в смысле извлечения корней) ре-

шеточно упорядоченную группу из этого же многообразия.

Проблема изучения делимых /-многообразий отмечалась Хол-ландом в [4]. Все старые хорошо известные проблемы о вложении линейно упорядоченных групп в полную линейно упорядоченную группу (с продолжением порядка) - это вопросы о делимости многообразия 72 о-аппроксимируемых /-групп 72. Напомним здесь только проблему Б. Неймана. Пусть (7 - упорядочиваемая группа и а € (?. Когда С? может быть погружена в упорядочиваемую группу Н, содержащую такой элемент х, что х2 = а? В каком случае присущий (7 линейный порядок может быть распространен на Н1

Хорошо известно, что следующие /-многообразия являются делимыми: многообразие всех /-групп С (Холланд [1]); многообразие всех абелевых решеточно упорядоченных групп Л (Вейнберг [1], Гуревич, Кокорин [1], Хисамиев [1]); многообразие всех нильпотентных ступени не выше п решеточно упорядоченных групп Мп (следует из результата Мальцева [2]); многообразия о-аппроксимируемых метабелевых решеточно упорядоченных групп, у которых выпуклое замыкание коммутанта - абелева подгруппа (следует из результата Блудова, Медведева [1]). Несложно видеть также, что любое неабелево многообразие с тождеством = е не является делимым.

Основным результатом §4.1 являются теоремы 4.1.2 и 4.1.3. В теореме 4.1.2 указан континуум делимых многообразий нильпотентных ступени два решеточно упорядоченных групп, а в теореме 4.1.3 указан континуум многообразий нильпотентных ступени три решеточно упорядоченных групп, каждое из которых не является делимым.

В §4.2 главы 4 рассматривается возможность пополнения локально нильпотентного радикала линейно упорядоченной группы.

А.И. Кокориным в Коуровской тетради [1] поставлена следующая проблема 1.61. Пусть (У - линейно упорядоченная груп-

па и II - ее инвариантная локально ннльнотентная подгруппа. Можно ли указать вложение / : (7 —► С группы (7 в некоторую упорядочиваемую группу (7* так, что /(Я) С II*, где Н* - полная локально нильпотентная инвариантная подгруппа в

(7*?

Этот вопрос, по-видимому, был вызван известной теоремой А.И. Мальцева о единственности нильпотентного пополнения нильпотентной группы без кручения. Некоторые частные случаи в связи с этим вопросом были рассмотрены ранее. В работе Копытова [1] получено положительное решение этого вопроса в случае, когда II - центральная в С? подгруппа. В работе Фокс [1] получено положительное решение этого вопроса для абелевой подгруппы II.

Основным результатом главы 4 является теорема 4.2.1, дающая положительное решение этого вопроса в общем случае. Отметим, что при этом любой линейный порядок группы (7 продолжается единственным образом до некоторого линейного порядка группы С. В теореме 4.2.2 этот результат переносится на случай о-аппроксимируемой /-группы £7.

В §4.3 главы 4 рассматривается многообразие жестких /-групп.

Вопрос об о-аппроксимируемости энгелевой решеточно упорядоченной группы отмечался Копытовым, Медведевым в [2], [3].

Смирнов [1] показал жесткость линейно упорядоченных эн-гелевых групп. Копытов [5] и Холлнстер [1] доказали, что любая решеточно упорядоченная локально нильпотентная группа является о-аппроксимируемой. Медведев [10] показал о-ап-проксимируемость энгелевых /-групп, в которых соотношение [х, у,..., у] = е выполнено при п = п(у), в частности ограниченно энгелевых /-групп.

Справедлива следующая основная в этом параграфе

Теорема 4.3.1. Любая энгелева ¡-группа, порождающая соб-

ственное подмногообразие в «Л/*, является о-аппроксимируемой.

В частности (следствие 4.3.1), любая энгелева/-группа, удовлетворяющая нетривиальному групповому тождеству, является о-аппроксимируемой.

Мартинец [2] поставил вопрос о вычислении базисных рангов гь /-многообразий £,Л/",

Конрад [1] показал равенство Ть(С) = 2. Медведев [4] показал гь(АГ) = гь(П) = 2.

Здесь же (Медведев [4]) ставится вопрос о вычислении базисного ранга /-многообразия УУа.

В теореме 4.3.2 установлено равенство Гь(УУа) — 2.

После доказательства Холландом, Глассом, Макклири [1] равенства N = Ап естественным образом возник следу-

ющий вопрос: порождается ли многообразие У\?а всех жестких /-групп множеством всех нильпотентных решеточно упорядоченных групп ( Коуровская тетрадь [1], проблема 5.23)?

В теореме 4.3.3 указаны многообразия жестких /-групп, каждое из которых не порождается своими локально нильпотент-ныни /-группами.

Напомним, что непустой класс 3- решеточно упорядоченных групп называется классом кручения, если выполнены следующие условия:

1) Т замкнут относительно взятия /-гомоморфных образов /-групп из

2) 3~ замкнут относительно взятия выпуклых /-подгрупп в /-группах из Т',

3) для любой /-группы (7 и любого семейства лежащих в Т выпуклых /-подгрупп (т„ /-группы (7 выпуклая /-подгруппа Л /-группы С, порожденную семейством (?„, лежит в Т.

Хорошо известно, что любое /-многообразие является классом кручения (см. работу Холланда [3]). Медведев [12] показал, что множество локально нильпотентных решеточно упо-

рядоченных групп является классом кручения.

В тереме 4.3.4 показано, что для произвольного собственного нормалыюзначного /-многообразия Т класс энгелевых /-групп из Т является классом кручения.

В §4.4 главы 4 рассматриваются амальгамы в многообразии жестких /-групп. Гласс, Сарацино, Вуд [1] построили формацию линейно упорядоченных групп (1I\,H2,II,а,/?), не имеющую амальгамы в многообразии о-аппроксимируемых /групп TZ, и анонсировали результат о том, что свойством ам-альгамируемости не обладает многообразие всех жестко упорядоченных /-групп W0.

Основным результатом параграфа является следующая Теорема 4.4.1. Любое многообразие жестких решеточно упорядорченныс групп II, U Э W„/\А2, не обладает условием амальгамируемости.

Гласс, Сарацино, Вуд [1] поставили вопрос о существовании амальгамы для формации (Hi, Н2, Н,а,/3) в многообразии всех решеточно упорядоченных групп.

В предложении 4.4.1 показано, что все известные формации о-аппроксимируемых /-групп (см. Гласс, Сарацино, Вуд [1], Гласс, Холланд [1], Гурченков [20]), не имеющие амальгамы в 7Z, имеют амальгамы в многообразии всех решеточно упорядоченных групп С.

Автор выражает глубокую благодарность В.М. Копытову и II.Я. Медведеву за постоянное внимание к работе и ценные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

Адян С. И.

1. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств. Изв. АН СССР, Сер. мат., 1970, 34, п 4, 715-734. Баумслаг (Bauinslag G.)

1. On the residual nilpotence of some varietal products. Trans. Amer. Math. Soc., 1963, 102(2), 357-365. Бепкер (Baker K. A.)

1. Primitive satisfaction and equational problems for lattices and other algebras. Trans. Amer. Math., Soc., 1974, 190, n 1, 125-150. Бергман (Bergman G.M.)

1. Specially ordered groups. Comm. Algebra, 1984, 12, n 1, 9-12. Берд (Byrd R.D.)

1. Complete distributivity in lattice-ordered groups. Pacific J. Math.,

1967, 20, n 3, 423-432. Берно (Bernau S.I.)

1. Varieties of a lattice ordered groups are closed under L-completion. Instituto Nazionale Di Alta Matematica, Symposia Mathematica, 1977, 21, 349-355.

Бигар, Каймел, Вольфенштейн (Bigard A., Keimel K., Wolfenstein S.)

1. Groupes et Anneaux Reticules. Lecture Notes in Math., 608, SpringerVerlag, New York, 1977. Биркгоф Г. (BirkhofT G.)

1. Теория решеток. M., ИЛ, 1952.

2. Lattice ordered groups. Ann. Math., 1942, 43, n 2, 298-331. Бляйер (Bleier R.D.)

1. The SP-hull of a lattice-ordered groups. Canad. J. Math., 1974, 26, n 4, 866-878.

Блудов В.В., Медведев Н.Я.

1. О пополнении упорядочиваемых метабелевых групп. Алгебра и логика, 1974, 13, п 4, 369-374. Бурбаки II.

1. Алгебра. Упорядоченные группы, гл. VI. М., Наука, 1965. Вараксин С.В.

1. Многообразия, порожденные простыми /-группами. Сиб. матем. ж., 1990, 31, 167-180. Вейнберг (Weinberg Е.С.)

1. Free lattice ordered abelian groups. Math. Ann., 1963, 151, n 3, 187-199.

Вольфенштейн (Wolfenstein S.)

1. Values normalcs dans un groupe reticule. Accad. Naz. dei Lincei,

1968, 44, n 8, 337-342.

2. Problems on ordered groups. Algebra and Order. Proc. First. Int. Symp. Ordered Algebraic Structures, S. Wolfenstein (ed.), Berlin, Heldermann Verlag, 1986, 71-81.

Воган-Ли (Vaughan-Lee M.R..)

1. Uncountably many varieties of groups. Bull. London Math. Soc., 1970, 2, n 6, 280-286. Гласс (Glass A.M.W.)

1. Ordered permutation groups. London Math. Soc., Lecture Notes Series, Cambridge University Press, 1981, n 55.

Гласс, Сарацино, Вуд (Glass A. M.W, Snracino P., Wood C.) 1. Non-amalgamation ordered groups. Math. Proc., Cambridge Phil. Soc., 1984, 95, 191-195.

Гласс, Холланд (Glass A.M.W, Holland W.CU.)

1. Lattice ordered groups. Advances and Techniques, ed. by Glass

A.M.W., Holland W.Ch., Kluwer Acad. Publishers, 1989.

Гласс, Холланд, Макклири (Glass A., Holland Cli., McCleary

1. The structure of /-group varieties. Algebra Univ., 1980, 10, 1-20. Гуреиич Ю.С., Кокорин А.И.

1. Универсальная эквивалентность упорядоченных абелевых групп. Алгебра и логика, 19СЗ, 2, n 1, 37- 39. Гурченков С.А.

1. О решетке многообразий решеточно упорядоченных групп. 16 Всесоюзн. алгеб. конф. Ленинград, 1981, Тез. докл., ч.2. Ленинград, ЛГУ, 1981,40-41.

2. О минимальных многообразиях /-групп. Алгебра и логика. 1982, 21, п 2, 131-137.

3. О многообразиях нильпотентных решеточно упорядоченных групп. Алгебра и логика, 1982, 21, п 5, 499-510.

4. О многообразиях /-групп с бесконечным аксиоматическим рангом. 17 Всесоюзн. алгеб. конф., Минск, 1983, Тез. докл.,ч.2, Минск, ИМ,

1983, 59.

5. Многообразия /-групп с тождеством [zp,yr] = е конечнобазируе-мы. Алгебра и логика, 1984, 23, n 1, 27-47.

6. О накрытиях в решетке /-многообразий. Матем. заметки, 1984, 35, п 5, 677-684.

7. О конечной базируемости некоторых /-многообразий. 9 Всесоюзн. симпоз. по теории групп. Москва, 1984, Тез. докл., Москва, МГПИ,

1984, 194.

8. Многообразия разрешимых решеточно упорядоченных групп. Автореферат канд. диссерт., Новосибирск, НГУ, 1984, 15 с.

9. О многообразиях /-групп с бесконечным аксиоматическим рангом. Сиб. матем. ж., 1985, 26, n 1, 66-70.

10. К теории /-групп. 18 Всесоюзн. алгеб. конф., Кишинев, 1985, Тез. докл., ч.1. , Кишинев, ИМ с ВЦ, 1985, 152.

11. О многообразиях /-групп, в которых линейно упорядоченные группы абелевы. 10 Всесоюзн. симп. по теории групп, Гомель, 1986, Тез. докл., Минск, ИМ, 1986, 69.

12. О решетке нильпотентных /-многообразий. 19 Всесоюзн. алгеб. конф., Львов, 1987, Тез. докл., ч.2., Львов, ИППМиМ, 1987, 79.

13. К теории многообразий решеточно упорядоченных групп. Алгебра и логика, 1988, 27, п 3, 249-273.

14. Континуум нильпотентных /-многообразий конечного аксиоматического ранга. 5 Сибир. школа по многообразиям алгебраических систем, Барнаул, 1988, Тез. докл., Барнаул, АГУ, 1988, 21-24.

15. О /-многообразиях, в которых линейно упорядоченные группы абелевы. Междунар. конф. по алгебре памяти А.И. Мальцева, Новосибирск, 1989, Тез. докл. по теории групп, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1989, 41.

16. Об одном вопросе теории линейно упорядоченных групп. 11 Всесоюзн. симп. по теории групп, Кунгурка, 1989, Тез. докл., Свердловск, УрО АН СССР, 1989, 40-41.

17. Решетка многообразий жестких решеточно упорядоченных групп не обладает свойством накрытия. Матем. заметки, 1990, 47, п 4, 3540.

18. Небрауэровость и континуальность решетки нильпотентных /многообразий. Изв. вузов. Математика, 1990, п 7, 17-22.

19. К трем вопросам теории /-многообразий. Czech. Math. J., 1991, 41(116), 405-410.

20. Амальгамы в /-многообразиях. Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Ширшова, Барнаул, 1991, Тез. докл. по теории групп, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1991, 32.

21. О пополнении инвариантных локально нильпотентных подгрупп линейно упорядоченных групп. Матем. заметки, 1992, 51, п 2, 35-39.

22. About varieties of weakly abelian /-groups. Math. Slovaca, 1992, 42, n 4, 437-441.

23. Representability of some Engelian lattice ordered groups. Третья Международная конф. по алгебре памяти М.И. Каргаполова, Тезисы докладов, Красноярск, "ИНОПРОФ", 1993, 396.

24. Многообразия решеточно упорядоченных групп. Барнаул, Изд-во Алт. ун-та, 1995, 145 с.

25. Об одном вопросе JI. Фукса. Группы в анализе и геометрии, Тезисы докладов международной конф., Омск, Омск, ун-т, 1995, 30-32.

26. Об энгелевых решеточно упорядоченных группах. Алгебра и логика, 1995, 34, п 4, 398-404.

Гурченко» С.А., Копытоб В.М.

1. Об описании накрытий многообразия абелевых решеточно упорядоченных групп. Сиб. матем. ж., 1987, 28, и 3, 66-69. Дарнел (Darnel M.R.)

1. Special valued /-groups and abelian covers. Order, 1987, 4, 191-194.

2. Disjoint conjugate chains. Ordered Algebraic Structures, (The 1991 Conrad Conference), ed. J. Martinez and Ch.Holland, Kluwer Acad. Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1993, 31-49.

Еванс (Evans T.)

1. The word problem for free lattice ordered groups (and some other algebras). Proc. Amer. Math. Soc., 1985, 98, n 4, 559-560. Жаффар (JafFard P.)

1. Contribution a letude des groupes ordonnes. J. Math, puree appl.,

1953, 32, n. 3, 203-280.

Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И.

1. Основы теории групп. 3-е изд., доп., М., Наука, 1982.

Кокорин А.И., Копытов В.М.

1. Линейно упорядоченные группы. М., Наука, 1972.

Конрад (Conrad P.F.)

1. Free lattice ordered groups. J. Algebra, 1970, 16, 190-203.

2. The structure of a lattice ordered group with a finite number of disjoint elements. Michigan Math. J., 1960, 7, n 2, 171-180. Конторович П.Г., Кутыеп K.M.

1. К теории структурно упорядоченных групп. Изв. высш. учебн. завед. (математика), 1959, 3, 112-120. Копытов В.М.

1. О пополнении центра упорядоченной группы. Матем. зап. Уральск, ун-та., 1963, 4, и 3, 20-24.

2. Решеточно упорядоченные группы. М., Наука, 1984.

3. Неабелево многообразие решеточно упорядоченных групп, в которых каждая разрешимая /-группа абелева. Матем. сб., 1985, 126, п 2, 247-266.

4. О сплетении и свободном произведении упорядочиваемых групп, система выпуклых подгрупп которых центральна. Алгебра, логика и приложения, Иркутск, 1994, 33-47.

5. О решеточно упорядоченных локально нильпотентных группах. Алгебра и логика, 1975, 14, п 4, 407-413.

6. О нильпотентных решеточно упорядоченных группах. Сиб. ма-тем. ж., 1982, 23, п 5, 127-131.

Копытов В.М., Медведев Н.Я.

1. О многообразиях решеточно упорядоченных групп. Алгебра и логика, 1977, 16, n 1, 447-423.

2. Многообразия решеточно упорядоченных групп. Успехи матем. наук, 1985, 4, п 3, 117-128.

3. Нерешенные вопросы теории частично упорядоченных групп. 5 Сибир. школа по многообразиям алгебраических систем. Барнаул, 1988, Тез. докл., Барнаул, АГУ, 1988, 90-99.

4. The theory of lattice ordered groups. Kluwer Acad. Publishers, 1994.

5. О линейно упорядоченных группах, система выпуклых подгрупп которых центральна. Матем. заметки, 1976, 19, n 1, 85-90. Коуровская тетрадь.

1. Нерешенные вопросы теории групп. Новосибирск, 1992. Курош А.Г.

1. Теория групп. М., Наука, 1967. Лоренден (Lorenzen Р.)

1. Uber halbgeordnete Gruppen. Math. Z., 1949, 52, n 5, 483-526. Мальцев А.И.

1. Алгебраические системы. М., Наука, 1970.

2. Нильпотентные группы без кручения. Изв. АН СССР, Серия Матем., 1949, 13, 201-212.

3. О доупорядочении групп. Труды Мат. Инст. Стеклова, 1951,38, 173-175.

Мартинес (Martinez J.)

1. Free products in varieties of lattice ordered groups. Czech. Math. J., 1972, 22(97), 535-553.

2. Varieties of lattice-ordered groups. Math. Z., 1974, 137, n 4, 265-284. Медведев Н.Я.

1. О решетке о-аппроксимируемых i-многообразий. Czech. Math. J., 1984, 34, n 1, 6-17.

2. К теории решеточно упорядоченных групп. 19-я Есесоюзн. алгеб.

конф., часть 2, Львов, 1987, 184.

3. О решетке многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли. Алгебра и логика, 1977, 16, п 1, 40-45.

4. К теории многообразий i-групп. Czech. Math. J., 1982, 32, n 3, 364-372.

5. L-многообразия без независимого базиса тождеств. Math. Slovaca,

1982, 32, n 4, 417-425.

6. О накрытиях в решетке многообразий /-групп. Алгебра и логика,

1983, 22, n 1, 53-60.

7. L-многообразия без независимого базиса тождеств(П). Math. Slovaca, 1985, 35, n 4, 377-380.

8. О решетке радикалов конечнопорожденных /-групп. Math. Slovaca, 1983, 33, n 2, 185-188.

9. О бесконечной дистрибутивности в решетке многообразий /-групп. Сибир. матем. ж., 1989, 30, n 2, 216-220.

10. Об о-аппроксимируемости ограниченно энгелевых /-групп. Алгебра и логика, 1988, 27, n 4, 418-421.

11. О нильпотентиых решеточно упорядоченных группах. Матем. заметки, 1989, 45, п 1, 72-79.

12. К некоторым вопросам теории частично упорядоченных групп. Алгебра и логика, 1983, 22, 435-442.

13. Многообразия решеточно упорядоченных групп. Учебное пособие. Барнаул, изд-во Алт.ун-та, 1987, 78 с.

14. Сплетения и многообразия решеточно упорядоченных групп. Учебное пособие. Барнаул, изд-во Алт. ун-та, 1990, 72 с.

Мура, Ремтулла (Mura R.T.B., Rliemtulla A.H.) 1. Orderable groups. Marcel Dekker, New York, 1977. Нейман В. (Neumann В.H.)

1. On ordered groups. Amer. J. Math., 1949, 71, 1-18.

2. Embedding theorems for ordered groups. J. Lond. Math. Soc., 1960, 35, 503-512.

Нейман (Neumann H.) 1. Многообразия групп. M., Мир, 1970. Ольшанский А.Ю.

1. О проблеме конечного базиса тождеств в группах. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1970, 34, n 2, 316-324.

2. О некоторых бесконечных системах тождеств. Труды семинара им. И.Г. Петровского, МГУ, 1978, п 3, 139-146.

Пирс (Pierce K.R.)

1. Amalgamations of lattice ordered groups. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 172, 249-260.

2. Amalgamating abelian orderd groups. Pacific. J. Math., 1972, 43, n

3. 711-723.

Повел, Тсинакис (Powell W.B., Tsinakis C.)

1. Amalgamations of lattice ordered groups, in Ordered Algebraic Structures, Lecture Notes in Pure and Applied Math. 99, Marcel Dekker, New York, 1985, 171-178.

2. Problem lists. Ordered Algebraic Structures, Notices Amer. Math. Soc., 1982, 29, n 4, 327.

3. The failure of the amalgamation property for varieties of represen-table I-groups. Math. Proc. Phil. Soc., 1989, 106,439-443.

Рейли (Reilly N.R.)

1. A subsemilattice of the lattice of varieties of lattice ordered groups. Canad. J. Math., 1981, 33, 1309-1318.

2. Varieties of lattice ordered groups that contain no non-abelian o-groups are solvable. Order, 1986, 3, 287-297.

Рейли, Вроблевский (Reilly N.R., Wroblewski R.) 1. Suprema of classes of generalized Scrimger varieties of lattice ordered groups. Math. ZM 1981, 176, 293-309. Скримджер (Scrimger E.B.)

1. A large class of small varieties of lattice ordered groups. Proc. Amer. Math. Soc., 1975, 51, n 2, 301-306. Смирнов Д.М.

1. Инфраинвариантные подгруппы. Уч. зап. Ивановск. гос. пед. ин-та., 1953, 4, 92-96. Смит (Smith J.E.)

1. The lattice of/-group varieties. Trans. Amer. Math. Soc., 1980,257, 347-357.

2. A new family of /-group varieties. Houston J. Math., 1981, 7, n 4, 551-570.

Фейл (Feil T.)

1. An uncountable tower of /-group varieties. Algebra Univ., 1981, 14, n 1, 129-131.

2. Varieties of representable /-groups, in Ordered Algebraic Structures, Lecture Notes in Pure and Applied Math., 99, ed. W.B. Powell and C. Tsinakis, Marcel Dekker, New York, 1985, 89-98.