Многообразия разрешимых решеточно упорядоченных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. НАКРЫТИЯ £-МНОГООБРАЗИЙ.

§ I. Разрешимые накрытия £-многообразия CJL^

§ 2. Накрытия в решетке всех £-многообразий.

Глава 2. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ ЕАЗЙРУЕМОСТИ В МНОГООБРАЗИИ ЖЕСТКО

УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП.

§ I. Многообразия нильпотентных £-групп с бесконечным аксиоматическим рангом

§ 2. Неконечно базируемые многообразия жестко упорядоченных групп с конечным аксиоматическим рангом.

Глава 3. РЕШЕТКА ПОДМНОГООБРАЗИЙ t -МНОГООБРАЗИЯ Хр

§1. Строение конечно-порожденных подпрямо неразложимых

-групп в £-многообразии

§2. О расщепляемости конечно-порожденных групп из -многообразия ^ р

§3. Описание решетки подмногообразий ^-многообразия

Теория многообразий решеточно упорядоченных групп является важным интенсивно развивающимся разделом общей теории решеточно упорядоченных групп. Изучение многообразий решеточно упорядоченных групп было начато в работах одного из создателей теории решеточно упорядоченных групп и теории многообразий алгебраических систем Г. Биркгофа в конце 40-х годов [1] ,[21]. Не менее важное значение для теории t -многообразий имеют работы А.И. Мальцева по теории алгебраических систем и непосредственно по теории упорядоченных групп [2 - 4 ]

В период 50 - 70-е годы изучение t-многообразий заключалось в основном в установлении тождественных соотношений на конкретных классах решеточно упорядоченных групп. Так, в работах П.Г. Конторовича и К.М. Кутыева [5] , П. Лоренцена [2.2] , Ф. Шика [2.3] найдены тождества, задающие многообразие Ot о-аппроксимируемых 2-групп. В работе С. Воль-фенштейна найдено тождество, задающее многообразие

JV£ всех Е-групп с субнормальными скачками выпуклых i -подгрупп. В [б] , [2 5] получено описание свободных абелевых £-групп, из которого следует, что класс всех абеле-вых решеточно упорядоченных групп СЯ, £ является наименьшим нетривиальным ^-многообразием.

Систематическое изучение t -многообразий началось в начале 70-х годов практически одновременно как в Советском Союзе, так и за рубежом, и в настоящее время теория t-многообразий развивается в работах В.М. Копытова, Н.Я. Медведева, автора, Ч. Холланда, А. Гласса, С. Маклери, Дж. Мартинеса,

Н. Рейли, Е. Скримджера, Дж. Смит, К. Фокс и др.

Диссертация посвящена изложению ряда результатов, относящихся как к строению решетки многообразий решеточно упорядоченных групп, так и к общей теории £-многообразий. Акцент сделан на многообразия разрешимых решеточно упорядоченных групп. Актуальность изучения многообразий разрешимых решеточно упорядоченных групп вытекает из следующих важных результатов, полученных Ч. Холландом [£6] и Ч. Холландом, А. Глас-сом, С. Маклери [2?] : Многообразие /Vg решеточно упорядоченных групп с субнормальными скачками выпуклых £-подгрупп является наибольшим собственным 6-многообразием и представи-мо в виде АГп = V (СО » где С^Р ~ многообразие всех абелевых решеточно упорядоченных групп.

I. Напомним, что £-многообразие oft накрывает Ь-многообразие 7№С » или otL минимально над 7Г2Т, , если, во-первых, TfiTJ, ^ IflFL , и, во-вторых, для любого £-многообразия U такого, что те ги ^ 757TL > имеем ш-и или

В первом параграфе первой главы изучаются накрытия многообразия абелевых £-групп. Ранее Е. Скримджером 12-81 было построено счетное множество многообразий разрешимых групп р » гДе Р простое число J' , минимальных над ?-многообразием Q)C^ . Все многообразия Sp метабелевы и не являются о-аппроксимируемыми. Позднее Н. Я. Медведев в нашел три о-аппроксимируемых двуступенно разрешимых £ -многообразия, накрывающих а, и показал, что любое многообразие разрешимых о-аппроксимируемых групп, минимальное над £-многообразием а , совпадает с одним из них.

Следующая теорема является основной в первой главе : Теорема I.I.2. Любое многообразие TfifL решеточно упорядоченных групп, содержащее неабелеву разрешимую группу и минимальное над £-многообразием 01 ^ , совпадает с одним из £-многообразий, построенных в [с5! , [28] .

Эта теорема завершает описание разрешимых накрытий наименьшего нетривиального £-многообразия C%g . Отметим, что недавно решен долгое время стоявший вопрос о существовании неразрешимых накрытий £-многообразия а, . Два таких накрытия построены В.М. Копытовым в [8] >19] • Второй параграф первой главы посвящен решению вопроса о существовании и числе накрытий у произвольного £-многообразия в решетке всех £-многообразий. Этот вопрос для конкретных £-многообразий неоднократно рассматривался ранее. Как уже упоминалось, Е. Вейнбергом [25] и Н.Г. Хисамиевым [6] доказано, что ^-многообразие СХ^ накрывает тривиальное £ -многообразие , В. Холландом [26] доказано, что £-многообразие всех £-групп накрывает многообразие JY^ £-групп с субнормальными скачками выпуклых £-подгрупп. Сюда же относятся работы Е. Скримджера [28] и

Н.Я. Медведева . в [293 доказано, что если £-мно

§2, не содержит ^-многообразие (01^) , то обладает бесконечным числом накрытий. В [2,1?] показано существование бесконечного числа накрытий у £-много-образий COIT , ПЕ N . Н.Я. Медведев в [Ю]

С* построил £-многообразия о-аппроксимируемых решеточно упорядоченных групп, не имеющие о-аппроксимируемых накрытий.

В [11] построены £-многообразия, имеющие континуум различных накрытий. Оказалось, что как и в теории многообразий групп ["12 ] , справедлива теорема :

Теорема 1.2.2. Пусть 1ГС собственное многообразие решеточно упорядоченных групп. Тогда существует £-многообА разие 7R , минимальное над 7П1

По вопросу о числе накрытий справедливо Следствие 1.2Л. При TL+ dC^ существует бесконечное число £-многообразий, минимальных над п . Для многообразий разрешимых £-групп верна Теорема 1.2.3. Пусть многообразие разрешимых ступени не выше S решеточно упорядоченных групп. Тогда существует бесконечное число многообразий разрешимых ступени не выше S+1 решеточно упорядоченных групп, минимальных над TJX

II. Одним из основных вопросов теории многообразий произвольных алгебраических систем, наряду с вопросом о существовании многообразия, минимального над данным, является проблема конечной базируемости. Для £-многообразий она бы-' ла сформулирована в [30] > вопрос II : Обладает ли любое многообразие решеточно упорядоченных групп конечным базисом тождеств ? Или, по крайней мере, обладает ли любое £-много-образие базисом тождеств от конечного числа переменных ?

Первая часть этого вопроса была впервые решена В.М. Ко-пытовым и Н.Я. Медведевым в [13] , именно, используя аналогичный результат А.Ю. Ольшанского о многообразиях групп » была показана континуальность решетки многообразий разрешимых ступени 6 решеточно упорядоченных групп. Позднее

Н. Рейли [31] , используя результат С.И. Адяна 13 2] , показал существование континуального числа попарно несравнимых £-многообразий, каждое из которых содержит ^-многообразие Cft • т* ^ейл [2)31 указал континуум многообразий двуступенно разрешимых о-аппроксимируемых £-групп.

Естественным образом возникает вопрос о конечной базируемое™ многообразий нильпотентных решеточно упорядоченных групп. Основным результатом второй главы является ( теорема 2.I.I и теорема 2.1.2 ) построение континуальной серии попарно различных многообразий двуступенно разрешимых нильпотентных ступени три решеточно упорядоченных групп, каждое из которых не имеет базиса тождеств от конечного числа переменных, что дает ответ на перечисленные выше вопросы.

Отметим, что до сих пор не известно ни одного многообразия нильпотентных Е-групп с бесконечным базисом тождеств, но с конечным аксиоматическим рангом. Шагом к решению этого вопроса является построенная в § 2 второй главы континуальная серия многообразий жестко упорядоченных двуступенно разрешимых £-групп с бесконечным базисом тождеств, но с конечным аксиоматическим рангом.

III. Как было отмечено выше, проблема конечной базируе-мости решается отрицательно для многих £-многообразий.

Третья глава диссертации посвящена положительному решению этой проблемы в многообразии решеточно упорядоченных групп, определяемом тождеством [?Ср,'ур] — 6 , где р - простое число. Фактически здесь в теореме 3.3.1 дано полное описание решетки подмногообразий Е, -многообразия ^ п , из которого и получается теорема 3.3.2 о конечной базируемоети любого подмногообразия из

Отметим, что многообразия £-групп с тождеством [хгх,г)гг]=е привлекают в последнее время большой интерес специалистов.

Полезность таких £-многообразий проиллюстрирована уже в § 2 первой главы, где с их помощью доказано существование накрытий. Впервые £ -многообразия dC^ были введены в рассмотрение Дж. Мартинесом в [з^ ] , впоследствии изучались в [13] , [28] , [29] , [31] , [35] , [36] ,[3?] , В частности в [35] , L 3?] были поставлены вопросы о базисе тождеств С-многообразий Скримджера S р . Теорема 3.3.1 и лемма 3.3.5 дают ответ на эти вопросы и позволяют найти базис тождеств С-многообразий 5 р

Нумерация теорем, лемм, предложений своя в каждом параграфе. " Теорема 1.2.3 " обозначает теорему 3 в § 2 главы I. При ссылках внутри одной главы первую цифру мы опускаем. По поводу определений и обозначений, не объясняемых ниже, по теории групп см. [15] , [15] , по теории линейно и решеточно упорядоченных групп [ 1 ? ] , [18 ] .

Результаты диссертации анонсированы в трудах ХУ1 Всесоюзной алгебраической конференции (Ленинград, 1981 ), ХУЛ Всесоюзной алгебраической конференции (Минск, 1983 ) , докладывались на Всесоюзных научных студенческих конференциях, семинарах " Алгебра и логика " , " Теория групп " в Новосибирском государственном университете имени Ленинского комсомола. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора

Lm - ] .

1. Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука, 1984. -.568 с.

2. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. - 392 с,

3. Мальцев А.И. Об упорядоченных группах. Изв. АН СССР, сер. матем., 1949, т. 13, с. 473-482.

4. Мальцев А.И. О частично упорядоченных нильпотентных группах. Алгебра и логика, 1962, т. I, №2, с. 5-9.

5. Конторович П.Г., Кутыев К.М. К теории структурно упорядоченных групп. Изв. Вузов, сер. матем., 1959, № 3, с. 112120.

6. Хисамиев Н.Г. Универсальная теория структурно упорядоченных групп. Алгебра и логика, 1966, т. 5, № 3, с. 71-76.

7. Медведев Н.Я. О решетке многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли. Алгебра и логика, 1977, т. 16,I, с. 40-45.

8. Копытов В.М. О многообразиях С-групп. Тез. докл. ХУЛ Всесоюз. алгебраической конф., часть I, Минск, 1983, с. 100.

9. Копытов В.М. Неабелево многообразие -групп, в котором каждая разрешимая t-группа абелева. Новосибирск; Б. и., 1984, - 54 с.С Препринт/ ИМ СО АН СССР; 54) .

10. Медведев Н.Я. £-многообразия без независимого базиса тождеств. Malt. S^ovaca , 1982, т. 32, № 4, с. 417-425.

11. Медведев Н.Я. О накрытиях в решетке £-многообразий. -Алгебра и логика, 1983, т. 22, № I, с. 53-60.

12. Ольшанский АД). О некоторых бесконечных системах тождеств . -Тр. семинара им. И.Г. Петровского, 1978, т. 3, с. 139-146.

13. Копытов В.М., Медведев Н.Я. О многообразиях решеточноупорядоченных групп. Алгебра и логика, 1977, т. 16, № 4, с. 417-423.

14. Ольшанский А.Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах. Изв. АН СССР, сер. матем., 1970, т. 34, № 2,с. 316-384.

15. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. -3-е изд., перераб. М.: Наука, 1982. - 288 с.

16. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969. - 264 с.

17. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972, - 199 с.

18. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы.- М.: Мир, 1965, -342 с.

19. Копытов В.М., Медведев Н.Я. О линейно упорядоченных группах, система выпуклых подгрупп которых центральна. Матем. заметки, 1976, т. 19, № I, с. 85-90.

20. Копытов В.М. О решеточно упорядоченных локально нильпотентных группах. Алгебра и логика, 1975, т. 14, с. 407-413.

21. Bi r>t ftoff G. Lct"tilce ordered groups.- Arm.Maid., 1942, v. p. 29$ 3 5 1 .• •

22. Ьогеагеи P. U4ec fLati. eor-ci ne W Qr a pp еи.4- Иай. Z. , 1950, v. 52, p. //33 5*26.

23. F. U&er su&cLtretc-be Summ en cjeordnetterGrappen.- CzectLMatLX, 1960, v. 10(85),

24. WotteH-S-beLft S. Values rtormaCes ckih,s ten.cj roupe retlcuCe.-Accad. nxiz. Luacei. Re^d.CL scl.fis. mat. e ftaW, 1962, v. 4*1, Ы2>, p. 33? 34 2.

25. Weinberg E.C. Free SaiUce ordered сДе£ъа»гъgc-oups.- McutR. Аип., 1965, v.151, p. 18?- 199.

26. HoC&xhd W. G. Tfie largest proper -gcxr-Cet^ of £ai;-tcce ordered <^г©и.р<з„ Рг-ое. Amer-. Maid. See. ,i9?6, V.5?, A/1, p. 39Я-408 .

27. Geo-ss A., Hoe,(Wt W. , МсССес^ simeWe of e-group tfaKeUec.- A^e&rtx (Jniv/., 7980, ыЛО, Л/ 'I, p. 1-2.0.

28. Scri/nger h.b. А 0a.rge c-Cass of- smaCE aJaHetles of (LaA-tv.ce. ordered groups. Pr-oc. Awer„ McdL Soc„, 19 ?5, v. 51, p. 301-306.

29. Smltft E. Tlie £a,tUce of irarle-blGS .—Trans. Amer. Ma-tPv. Soc., 1930, у 25?, л/ 2, p. ЪН 3 5?.

30. Martinet VaMelces of Caiii.ce -ordered groups. MatK. I., 19?^ v.-i3 ?, л/4 , p. 2 65-ZS^.31. &eiiy А/. A sufcsemiicdtice of ifie Caiiice ofof lattice ordered groups. -Gx n. 1981, v. 33, a/6, p. /309- 7318.

31. Aolvjan S. Periodic groups of odd еК>стемЛ Prod» 2nd Tuternat. Con-f. in -tine. -Lfteory of groups, СаЛегга, , 19 ? 5, p. g 7 г.

32. Smltfi, 3.E. f\vlevw favYii&y of C-group varieties bW&torb MaAR., 1981, v. л/4, P. 551- 570.

33. Fox C. D. On. ^cr-lKYL^er \TaKe-ties of Baiitc-e ordered ^roctps. /КЦе&га, Univ., 198S , v. 16 ,/V 2 , p. 16$-166.38. йвеьг- R,. D. TRe SP-^luCC оf cu ColUlcz- ordered cjroap Qx.ni. у.гб,л/4, p. 366- 8?8.

34. Гурченков С.А. 0 решетке многообразий решеточно упорядоченных групп. Тез. докл. ХУ1 Всесоюз. алгебраической конф., часть 2, Ленинград, 1981, с. 40-41.

35. Гурченков С.А. 0 минимальных многообразиях £-групп. -Алгебра и логика, 1982, т. 21, Р 2, с. I3I-I37.

36. Гурченков С.А. 0 многообразиях нильпотентных решеточно упорядоченных групп. Алгебра и логика, 1982, т. 21, Р 5, с. 499-510.

37. Гурченков С.А. 0 многообразиях £-групп с бесконечным аксиоматическим рангом. Тез. докл. ХУЛ Всесоюз. алгебраической конф., часть 2, Минск, 1983, с. 59.

38. Гурченков С.А. Многообразия 2-групп с тождествомхР,г/.= €5 конечнобазируемы. Алгебра и логика, 1984, т. 23, № I, с. 27-47.

39. Гурченков С.А. О накрытиях в решетке С-многообразий. Матем. заметки, 1984, т. 35, №5, с. 677-684.