Функции на решетках и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

"" п

На правах рукописи УДК 517.98

ПОРОГОМ Александр Александрович

ФУНКЦИИ НА РЕШЕТКАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Коми ордена "Знак Почета" государственного педагогического института.

Научный руководитель -кандидат физико-математических наук, доцент В.Н.ИСАКОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Г.Я.АРЕШКИН кандидат физико-математических наук Е.А.РИСС

Ведущая организация- Сыктывкарский государственный университет (кафедра математического анализа)

Защита состоится "/-4 " щукл- 1995г. в 16'час. на заседании Диссертационного Совета К 113.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском государственном педагогическом университете им. А.И.Герцена (191186, г.Санкт-Петербург, наб.р.Мойки, 48, корп. 1, ауд.209)

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке РГПУ им.А.И.Герцена (191186, г.Санкт-Петербург, наб.р.Мойки, 48).

Автореферат разослан "Л/" 1995г.

Ученый секретарь __

Диссертационного Совета ~~ И. Б. Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛ ЬНОСТЬ ГЕМЫ. Работа посвящена изучению числовых абстрактных функций на специальных решетках и их применению в шении некоторых задач теории меры, теории булевых алгебр, теории [нейных метрических пространств, топологических векторных прос-анств. В основном исследуются неаддитивные функции на обобщен-ix буппвых алгебрах, решеточно упорядоченных полугруппах и век-рных решетках шмы>4::.":г «рвнлцйй, ттр^ем в последних случаях еловые функции иногда получаются в результате пдаитчншл а злтт дитивного интегрирования. (Неаддитивным мы называем интегриро-аие по неаддитивным функциям множества, заданным на кольце или гебре множеств.) Полученные результаты существенно обобщают из-ггные факты о пространствах с мерой или субмерой, нормированных певых алгебрах, а также о классических функциональных простран-зах 1, и^ 0 < р < 1, некоторых их обобщениях. Послед-

е нередко получаются из общих, как простые и очевидные следствия, юме того, обращение к общим случаям позволяет устанавливать новые цественные связи, выявлять суть проблемы, упрощать доказательства, Зрасывая второстепенные детали.

Уже начиная с 30-х - 40-х годов в теории меры интенсивно развива-ся новые направления. Происходит это:

во-первых, за счет изменения области значений меры и интеграла ггегрирование со значениями в банаховых и локально выпуклых про->анствах; спектральные меры и их обобщения - булевы меры; инте-фование со значениями в векторных решетках, опёраторнозначное гегрированпе);

во-вторых, за счет изменения характера функций множества (пер ход от аддитивных функций к субадцитивным, треугольным, абстрак ным внешним мерам со значениями в топологических или упорядоче] ных пространствах);

в-третьих, за счет изменения области определения функций множ ства - перехода от колец и алгебр множеств к различным типам решето: Каждое из этих направлений продолжает активно развиваться ка в нашей стране, так и за рубежом, и получение новых результатов них и возможных обобщений безусловно является палатой л актузлтлтс залалой.

По-видимому, в числе первых работ, посвященных полумерам на кольцах множеств и мерам и полумерам на булевых алгебрах, были p¡ боты Риккарта, Магарам, Хорна и Тарского. Проблемы, поставленные работах Магарам, привлекли внимание многих математиков, в том чист известных, и дали резкий толчок развитию теории функций на реше-ках. Исследования вокруг этого и близких вопросов всегда привлекал внимание многих авторов, давали и продолжают давать новые интере ные результаты, обнаруживают новые связи, ставят новые проблемы.

Так, проблеме нормируемости булевых алгебр, начиная с 50-х годе и до наших дней посвящали свои работы Келли, Пинскер, Гайфма) Флойд, Алексюк, Попов, Херер и Кристенсен, Колтон и Роберте, Банд Потепун, Талагран, Tonco и др.

Проблема существования меры на булевой решетке тесно связана алгебраическими и топологическими вопросами, однако некоторые i них решаются с помощью более простых, чем мера, функций (напр! мер, вопрос о регулярности булевых алгебр). Известно также, каку: существенную роль играет свойство регулярности или слабой счетно дистрибутивности во многих других вопросах, таком, например, ка продолжение гомоморфизмов. Естественным, поэтому, будет вопрос с ослаблении условий, налагаемых на функции, для обеспечения нужны

ойств решеток. Выяснение этих условий и связей между ними - одна важных и актуальных задач теории функций множеств; частично эта

ца.ча решается в настоящей работе.

Вопросы неаддитивного интегрирования с приложениями впервые днимались з работах Шоке и Гольдберга. Систематическое изуче-:е неаддитивных функций множества и интегралов, получение о них вых результатов, обобщающих и дополняющих классические, прило-гние этих результатов в различных разделах математики началось в -е годы. Существенный вклад в эти исследования внесены в школах З.Арсзтт'-тгчя ("Санкт-Петербург) и его учеников В.Н.Алексюка (Сык-шкар), Ь.М.1С-1;;м:слт л др., « ткаии Л-Я.С»5олнева Шо-

:ибирск) и учеников, зарубежными математиками (Дрезновский, До аков, Риечан, Шинош, Джорджи и Летта, Липовая и др.). Развилось эбое направление в изучении неаддитивных функций и интегралов их приложений - теория нечетких множеств. Исследования в этих пастях продолжаются и в настоящее время, о чем говорит появление 1ыпого количества, работ как в нашей стране, так и за рубежом. Задачи, решаемые в нашей работе можно разбить на три группы:

1) изучение связи различных типов непрерывности топологических нкций на обобщенных булевых алгебрах; изучение вопроса о возмож-:ти задания абстрактных функций с определенными свойствами на гебре всех подмножеств множества мощности Нь получение новых ювий регулярности булевой алгебры, приложение аппарата функций решетках к решению задач теории меры;

2) изучение топологии квазинормированного векторного простран->а, сравнение квазинорм и порожденных топологий, изучение вопроса епрерывных линейных функционалах в квазинормированных вектор-х решетках измеримых функций;

3)изучение вопросов, связанных с полнотой некоторых праметриче-IX пространств, ассоциированных с упорядоченными полугруппами и

обобщенными булевыми алгебрами; обобщение классических результ; тов теории меры и теории линейных метрических пространств, прилс жения к теории меры и теории функциональных пространств.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Получение новых результатов о топологически функциях на обобщенных булевых алгебрах. Распространение теоре Улама и Банаха - Куратовского на широкий класс функций множеств; Применение аппарата булевых решеток в теории грухшовозначных ме для решения задачи об управляющей числовой мере. Изучение тот логий в векторных пространствах и векторных решетках, снабжении обобщенной нормой (квазинормой). Применение в задаче о непрерывны линейных функционалах. Получение общих теорем о полноте праметр! ческих пространств, применение в классических разделах функционал! ного анализа и теории меры.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются методы аf страктной теории меры, функционального анализа, теории упорядоче] ных множеств.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работы являютс новыми либо доказываются новыми методами. Укажем некоторые i них:

1. Установлены новые результаты о связи между различными видам непрерывности топологических функций на решетках.

2. Известные теоремы Улама и Банаха - Куратовского о невозмол ности задания нетривиальной конечной меры на алгебре всех подма жеств множества первой несчетной мощности, обращающейся в нуль i каждом одноточечном подмножестве, распространена на широкий клад абстрактных и топологических функций.

3. Получены новые условия слабой счетной дистрибутивности и р гулярности булевых алгебр.

4. Дано новое доказательство теоремы Бартла - Данфорда - Швар!

управляющей мере с применением аппарата булевых решеток.

5. Изучена топология векторных прггтрпгг-т:;,

грмои - оолее общим понятием по сравнению с известными обобщени-ш нормы или полунормы. __________

6. Установлены связи между топологией, порожденной квазинормой 0(7—топологией в векторной решетке.

7. Доказаны общие теоремы о полноте для широкого класса праме-«ческих пространств, простыми следствиями которых являются те-емы о полноте некоторых функциональных пространств ^ 1 и ,0 < в < 1,1". ;•'•}}; армированных идеальных пространств), также метрических структур, саяпзпны* с ирсстр3«« гв^л с *«»рой 1И субмерой, с нормированными и субнормированными булевыми ал-брами.

8. Продолжено изучение и получены новые результаты о простран-вах функций, интегрируемых по субмере в смысле Шоке.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа но-:т теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, >гут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории функ-гй множеств и теории функций на решетках. Материал последней авы о полноте праметрических пространств может быть включен в [ебную литературу по теории функциональных пространств и исполь-ван в учебном процессе (в курсах математического и функционально анализа) на математических факультетах университетов и педа-гических институтов, а материал второй и третьей глав может быть пользован в разработке спецкурсов. Как и должно быть, абстрактный рактер теорем, не усложняет, а даже несколько упрощает их доказа-льства, делает их более прозрачными, менее зависимыми от конкрет-,1Х деталей.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на ,учно- методическом семинаре преподавателей математических кафедр

пединститутов Северо-Западной зоны РСФСР (Псков, 1У84 >, на VII koi ференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения'' (Че: ноголовка, 1989), на научно-методической конференции преподавателе математичесгшх кафедр пединститутов Северо-Западной и Уральскс зон РСФСР (Киров, 1990), на Всероссийском семинаре по теории фу и ций, посвященном памяти Чл.-Корр. АН СССР А.Ф.Леонтьева (Сы тывкар, 1993), на второй научной сессия (февральских чтениях) Учено Совета Сыктывкарского университета (февраль, 1995), а также на зас даниях научного семинара кафедры математического анализа КГПИ.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 12 работ, кот рые отражают ее основное содержание.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит введения и четырех глав, списка литературы, содержащего 67 наимен ваиий. Объем диссертации 109 стр. машинописного текста.

В первой главе даются предварительные сведения по теории решет и теории функций на решетках, приводятся (с доказательствами) нек торые новые результаты, используемые в работе. Основное содержал диссертации изложено в последующих трех главах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Как уже отмечалось, диссертация посвящена изучению числовых, ч цологических, а также абстрактных функций на обобщенных булев! алгебрах (кратко: ОБА), булевых алгебрах (БА), упорядоченных по/ группах и векторных решетках (ВР) измеримых функций. Хотя в ря случаев можно было бы погрузить ОБА в порожденную БА, продолжи функцию с сохранением свойств и тем самым свести задачу к задаче и; чения только булевых алгебр с заданными на них функциями, одна]

не всегда целесообразно это делать по двум причинам. Во-первых,

$

-егда удается продолжить данную функцию с сохранением всех нуж-ых свойств, а во-вторых, и в ряде классических вопросов оказывается ыгодным обращаться к подрешеткам булевых алгебр. Так, например, в зории мчрьГ теорема о сепарабельности пространства д) удобна

следующей формулировке: Пгюгтпангтп.пп Г^(Т7А:и)г-р>Л.счпара-елъно е том и только том случае, когда сгпарабелъна метрическая гпруктура (А0,р). Здесь Л0 — {£ € А : рЕ < +оо},р(А,В) = р(А&В) мера симметрической разности, а (Аа,р) - метрическое пространство, ;социированное с псевдометрическим пространством (Ао,р).

Пи^гсгту -««г«;», тг~ гя^пует также уделить должное внимание и зучению функций па обобщении:; буленмх —¡гс±рт»

В первых двух параграфах главы I даются основные сведения о ре-[етках и функциях на них. В §3 отмечается роль "принципа диагонали" вопросе о замыкании множества: 1) в секвенциальной порядковой теологии тоа в ОБА и 2) в топологии Тр% порожденной праметрикой в роизвольном множестве X. Праметрикой в множестве X называется |ункция р : X х X —* [0,-Ьоо),/?(ж,х) = 0.

Дается краткое прямое доказательство предложения: если в ОБА Ь хмыкание каждого множества Е совпадает с множествам ост-пределов оследовательностей в Е, то в Ь выполняется принцип диагонали (в итературе доказательство не встречалось). Аналог этого утверждения олучея я для праметрнческих пространств при некотором ограничении а враметряку.

В §4 дастся вариант доказательства утверждения, что каждая ОБА огружается в некоторую Б А так, что оказывается в ней макси-млъным идеалом. Эта алгебра единственна с точностью до изомор-шзма. Отсюда еще раз (по теореме Стоуна) получается теорема о реа-изации ОБА кольцом открыто-замкнутых множеств вполне несвязного омпакта. Этот идеал будет замкнутым в <э<г-топологии в том и только ом случае, когда он открыт и, следовательно, открыто-замкнут.

В §5 изучается вопрос о продолжении топологических функций ОБА на порожденную БА с сохранением основных свойств. Указа! некоторые условия продолжимости по непрерывности, а также услов1 продолжимости счетно-аддитивных грухшовозначных мер. Показав что аддитивная мера всегда имеет продолжение (не единственное), т гда как счетно-аддитивная - не всегда. Даны необходимые и достато ные условия такой продолжимости. Общие утверждения подкрепляют конкретными примерами мер.

Во второй главе доказываются общие теоремы о функциях на ОЕ и даются некоторые их приложения в теории меры и теории булевь алгебр.

В первом параграфе выясняется связь между различными видами а прерывности топологических функций на ОБА. Еще в одной из раб< Риккарта (1943 г.) был получен важный результат такого рода: п ложительная счетно-субаддитивная функция на сг-алгебре будет непр рывной сверху на пустом множестве, если она является исчерпывающе то есть на каждой дизъюктной последовательности множеств имеет н левой предел. Нами доказаны следующие общие теоремы о связи ра личных видов сходимости (а также юс двойственные):

Теорема 11.1.1. Пусть Ь - ОБА, X - топологическое пространств в котором любое счетное множество и любая не содержащаяся в е замыкании точка отделимы дизъюнктными окрестностями. Пуст, / : Ь —» X - непрерывная по возрастающим последовательность функция. Тогда она будет непрерывной в точке х по убывающим п следователъностям, если для этой точки х выполняется следующ условие (Де) :

(АЛ /(г») —► /0е) для любой последовательности (хп), у доел творяющей условию х„ Л хт = х при пфт.

Теорема 11.1.6. При сделанных предположениях об X непрерывна по возрастающим последовательностям функция будет непрерывна

по убывающим последовательностям в том и только том случае, огда она в любой точке х удовлетворяет условию (Де).

В частности, аналогичные утверждения справедливы для регуляр-ых топологических пространств. Заметим, что для То-пространств при-здсшше георемы неверны /ппдтврпжпяятся котттппгтмгппм^.

В §2 изучается вопрос о возможности задания нетривиальных функ-ий со специальными свойствами на алгебре всех подмножеств множе-гва Т первой несчетной мощности. Известные теоремы Банаха - Кура-звского и Улама дают отрицательный ответ, если речь идет о счетно-вдигиниОи фучкппи. Здесь даны следующие резуль-

1ты, касающиеся абстрактных а юполиппсстсих фушощй мнт>»«мла.

Теорема Н.2.2. Пусть X - произвольное множество с отмеченным Iементом О, Т - множество первой несчетной мощности. Тогда не Iществует функции / : 2Т —► X, отличной от тождественного уля и обладающей свойствами:

1) прообраз нуля есть а-аддитивный класс (т.е. замкнут относи-ельно счетных объединений своих элементов) и содержит все одно-очечные подмножества Т;

2) в любом дизъюнктном семействе А( С Т имеется не >лее счетного подсемейства множеств со свойством /(А{) Ф 0.

Теорема П.2.3. Пусть в предыдущей теореме X есть топологиче-:ое пространство, в котором топология обладает счетной базой в чле и пересечение всех окрестностей нуля состоит из одной точки

Тогда функция / : 2Т —* X будет тождественным нулем, если она Ьвлетворяет условиям:

1) /_1(0) есть а-аддитивный класс и содержит все одноточечные удмножества множества Т;

2') \\ах/(Еп) = /(0) для любой дизъюнктной последовательности ?„) в алгебре 2Т.

В качестве следствий получается ряд предложений, расдространяю-

щих теорему Улама (и, соответственно, Банаха-Куратовского) на рях конкретных числовых или со значениями в квазинормированных труп пах функций (так называемых квазилшшицевых и т. п. функций).

В третьем параграфе с привлечением аппарата булевых алгебр дается новое доказательство теоремы Бартла - Данфорда - Шварца с контролирующей мере для векторных мер. Здесь мы ее доказываем дл* групловозначвых мер, заданных на а—кольце множеств. В отличие от приводимых в литературе доказательств, в нашем доказательстве не используются такие понятия, кале равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства мер.

Необходимым и достаточным условием существования контролирующей меры является следующее условие С (т):

в любом семействе попарно т—дизъюнктных множеств найдета не более счетного подсемейства множеств, не являющихся т—нульмножествами.

При этом множество Е называется т—нуль-множеством, если т(Р) = О для любого £,а система множеств Е^ называется т—дизъюнктно? тогда и только тогда, когда любые два множества этой системы с несовпадающими индексами в пересечении дают т-нуль множество.

Приводится пример векторной меры со значениями в локально выпуклом пространстве, не удовлетворяющей условию С(т) и, следовательно, не обладающей эквивалентной положительной мерой.

Получены новые условия слабой счетной дистрибутивности ОБА в регулярности БА. Например, справедлива

Теорема П.4.3. Если на а-полной ОБА имется непрерывная по монотонным последовательностям функция со значениями в хаусдорфо■ вом пространстве, отделяющая нуль, то ОБА слабо счетно-дистри бутивна.

Теорема Н.4.4. Если кроме того в этой теореме топология в точм /(0) обладает счетной базой, а ОБА есть БА, то последняя регулярна,

В силу теоремы II. 1.6 условия непрерывности в последних утверждениях можно варьировать с условием (Ог) или с его двойственным.

Следствиями этих теорем являются , например, такие предложена:

1~Если в ОБА- ^топология тее хаусдорфова, то алгебра Ь слабо гчетпо-дистрибутивна. -------------------

2. Если в БА Ь топология г0<7 обладает счетной базой в пуле, то алгебра Ь регулярна.

В третьей главе диссертации изучаются векторные пространства и векторные решетки, снабженные обобщенными нормами - квазинормами. В ЛЛТ°Р«.Ту{а; [--^ВДЙ. В статьях, монографиях) ДОВОЛЬНО СТЭГТП вг-т-г.о-юмхся различные ф,уикщш па линейии;: обобщающие

классическую норму или полунорму. Однако, в вопросах пеаддитинпсго интегрирования приходится сталкиваться с векторными решетками измеримых функций, снабженных функциями, не совпадающими ни с од-. яой из них. По этой причине мы вводим новый вариант квазинормы, эхватывающий известные обобщения нормы, но не совпадающий с ними (частично вопрос об эквивалентности нашей квазинормы некоторым из известных отмечается в замечаниях, однако, полного анализа не проводится).

Квазинормой в векторном пространстве X называется функция к : X обладающая свойствами (легко формулируемыми на языке

'£ — <5" или на языке последовательностей):

а) если к(х) 4- 1г(у) -* 0, то к(х + у) -> 0;

б) если а -> 0 и х £ X, то -к (ах) —► 0;

в) если г(х) —► 0, а а - фиксированный скаляр, то 7г(а!а;) -+ 0; и, наконец,

г) если а + тг(х) —+ 0, то ж(ах) —> 0.

В частности, из в) следует, что ж(х) —+ 0 <==> тг(-х) —» 0.

В §1 даются основные определения и приводятся различные примеры ¡свазинорм. Обычным образом вводится понятие шара и показывается,

что система всевозможных шаров образует базу (не обязательно открытых множеств) некоторой топологии ту. Доказывается, что это - псев-дометризуемая векторная топология, сходимость в которой совпадает со сходимостью относительно данной квазинормы (и естественно относительно соответствующей псевдометрики). При дополнительном ограничении на квазинорму топология ту будет локально ограниченной.

Во втором параграфе производится факторизация по ядру квазинормы 7г-1(0) и в фактор-пространстве вводится квазинорма П. Устанавливаются естественные связи между свойствами исходного и факто-ризоваяного пространств.

В третьем параграфе изучаются пространства £.?(Т, А, /х), р > О, р-суммируемых (в смысле интеграла Шоке) по //-субмере ц функ ций. Интеграл Шоке от положительной функции |/(*)|Р определяется следующим равенством:

+00

jf|/(i)|p^:= J цТ(\/\р > z)dz,

о

где в правой части интеграл от убывающей функции берется или по Риману, или по Лебегу.

В этом пространстве введенный интеграл определяет квазинорму ||/||р со свойствами

II/ + 9\\, < 2>+1, N • (11/Ц, + \\д\\р), ||А • /||р = |А|р. ||/||р.

Вообще говоря не очевидно, равны ли квазинормы эквивалентных функций и будет ли формула

11[/111р ••= 1Ы1,.*€[/],

корректно определять квазинорму при факторизации. Здесь дан положительный ответ на этот вопрос и обобщен аналогичный результат Ши-поша, полученный в случае сильно субаддитивных субмер, являющихся частным случаем 1-субмер.

В §4 топология гГ) порожденная квазинормой тг в ВР, сравнивается с ост-топологией тоа и дается условие совпадения этих двух топологий.

В §5 по аналогии с мерами вводится понятие управления для квазинорм,сравниваются топологии, порожденные различными квазинормами, доказывается, что топологии, порожденные квазинормами и тг-г совпадают тогда и только тогда, когда эти квазипормы эквивалентны (взаимно управляемы одна другой). В случае однородных квазинорм последнее условие можно выразить такими же неравенствами, что и в случае норм.

Наконец 2 I-""™" паиаграфе даются некоторые признаки существования достаточного мнолсестза н-нрершяггг лимланых ф5тткпжгаалов в пространстве ^ 1, р-суммируемых в смысле Шоке функций ас Л^-субмере, а также, в аналогичном пространстве р-суммируемых функций в смысле Алексюка (см., например, Алексюк В.Н. Функции множеств.-Л.гЛГПИ им. А.И.Герцена, 1982.-77с.)

В последней, четвертой, главе изучаются ОБА, решеточно упорядоченные полугруппы и ВР измеримых функций с заданными на них положительными функциями с определенными свойствами и доказываются теоремы о полноте, имеющие зссьма общий характер. Они охватывают ряд важных конкретных теорем, относящихся к классическим разделам теории меры и функционального анализа, а также некоторых их обобщений, полученных разными авторами в последние 10- 20 лет. Технически доказательства этих теорем оказываются не сложнее, чем те, что приводятся в литературе в конкретных случаях, идейно же все они оказываются объединенными в две самостоятельные теоремы. Предложенные здесь доказательства вполне могут быть использованы в учебном процессе как в основных курсах (математический анализ, функциональный анализ), так и в специальных курсах (скажем, по теории решеток и теории меры).

Главу IV условно можно разбить на две части. В одной из них основ-

bog внимание уделено ОБА с положительными функциями, в другой пространствам измеримых функций. Те и другие рассматриваются как праметрические пространства и решается вопрос об их полноте относительно введенной праметрики.

В начале главы приводятся примеры конкретных булевых алгебр с функциями, отмечается их полнота или сепарабельность (или отсутствие этих свойств). Далее приводятся вспомогательные предложения о верхних и нижних пределах последовательностей в кольцах множеств и в булевых алгебрах и, используя их, доказываются два частных случая теоремы о полноте.

Лемма IV.2.1. Для любой последовательности множеств (Ап) в сг-колъце L при любом п € N справедливы включения

оо

ЛяДНтЛп, ЛпДНтЛп С JJ {Ак&Аы\).

kszn

Здесь, как обычно, "Д" есть знак симметрической разности множеств

Лемма IV.2.4. Для любой последовательности (ха) в а-полной ОБА L и любого п € N справедливы неравенства

00

«» + Шт*»), хп + (Птх,,) < \J (Xk + Xk+i) ■

а=я

Теорема IV.2.12. Пусть L - а-полная ОБА, <р - существенно положительная изотопная N ч-субаддитивная функция на L. Тогда пра-метрическое пространство (Lo,p) будет р-полным.

Здесь Lo = {х € L : (р(х) < +оо}.

В доказательствах основных теорем этой главы существенно используются следующие две леммы.

Лемма IV.3.1. Пусть X - (коммутативная) полугруппа с опера-

—¥

цией о и пусть функция ip: X удовлетворяет условию

<р(х) + ip{y) -* 0 => <р(х о у) 0.

It/cmь - двойная последовательность в X, удовлетворяющая

условию <р(хя„>) ->пп> 0. Тогда для любой последовательности (£„), еп >

), найдется последовательность номеров к\ < к^ < ... < кл < ... тачая, что при любом п и любом т. ^ п будут выполняться неравенства

V ° х>[л+1),;(п+1) 0 • • ■ 0 Xi(m)J(m}) < -----------

гели только i(s),j(s) ^ k,,n ^ з ^ т.

В частном случае, если взять здесь г(з) — ks,j(s) — fc5+i, то получим, что при любом п и любом т ^ п бедет справедливым неравен-

СТТ»н<1

т- : w.....

В лемме IV.3.4 вводятся несколько более жесткие требования иа функцию ip, но и доказываются более сильные неравенства по сравнению с приведенными выше, а именно неравенство: <р < а пред-

положении, что в полугруппе операция о определена для некоторых последовательностей элементов и что выражение в скобках существует.

Сформулируем теперь основные теоремы о полноте. Теорема IV.3.3. Пусть L - <г-палная ОБА, <р : L —* К* - такая функция, что

1) <р(0) = 0, <р(х) + ip(y) < +оо => <р(х + у) < +оо;

2) х $ у,<р{у) -* 0 ==> р(х) 0;

3) <р{х) + <р(у) 0 => <р(х + у) -> 0;

4) 3N ^ 1 : Хп | х ==> <р(х) < N • sup<£>(x„).

Тогда если Lo = {х € L : ¡р(х) < +оо},р(х,у) := ip(x + у), то првме-трическое пространство (Lq, р) р-полно.

Отсюда, как следствия, получаются теоремы о полноте для метрических структур пространства с мерой, нормируемой БА, пространств с субмерой, с различными обобщениями субмеры.

2- част главы изучаются классы измеримых функций и

также доказывается для них общая теорема о полноте.

Пусть Л - (Г-кольпо подмножеств множества Т. %} — его сг-полкол! до ("нуль-множеств"). Пусть M — класс всех измеримых относительна 7Z функций, M* ;= МП {/ : / ^ 0}. Функции / и g называем эквива лентпыми (пишем: / ~ g,) если T(f ф у) 6 'Лц.

Пусть далее Ф : М* II - расширенный функционал, удовлетво ряющий следующим условиям:

1°. ф(0) = 0; если НтФ^) = 0, то 1ппФ(/) = 0.

2°. Если Ф(/) < +оо, то / почти всюду конечна, т.е. имеет мест« включение Т(|/| = +ос) 6 31«.

3°. 1шхФ(/ + д) = 0, как голысо lim [ф(з) + Ф(у)] = 0.

4°. f,g 6 M и Ф(|/|) +Ф(|5|) < ~гоо, то Ф(з + у) < +оо. Если Ф(/) < +оо,/ ~ то Ф(<?) < +00.

5°. Если Д Î / на Т, то > I Ф(/) ^ iV • snp$(fD).

Пусть МФ := {/ € M : Ф(|/|) < +оо}; p{f,g) - Ф (|/ - j|) (в точка; неопределенности модуль разности функций считаем равным +оо).

Теорема IV.4.5. При сделанных предположениях праметрическо< пространство (Мф,р) будет р-полным.

Если Ф дополнительно удовлетворяет условию Ф(/) = Ф [g) при / ~ g то удобно перейти к фактор-множеству X/ которое будет уже упоря доченной группой. В ней топология, порожденная соответствующей пра метрикой, будет метризуемой (в силу теоремы Биркгофа- Какутани). I этом случае второе требование в условии 4° выполняется автоматически

Следствиями этой теоремы будут: Теорема о полноте нормирован ного пространства L?(T, А,р,),р ^ 1, Теорема о полноте пространств. £°°(7\ А,р.)] Теорема о полноте линейного метрического пространств:

0 < р < 1; о полноте некоторых пространств Орлича N{L(T,A,n)) ; о полноте нормированных идеальных пространств изме римых функций; а также некоторых пространств функций, ингегриру емых по N—субмере в смысле Шоке.

Например, справедливо утверждение:

Если N —субмера ¡i на гт—кольце 'Л непрерывна снизу, то пространство Lv (Т, ц) р—суммируемых (в смысле Шоке) функций будет полным квазинормироваиным пространством и топология, шрождснная-квазинормой, будет псевдометризуемой (а в фактор-гространстос ■- метршуемой). ____

Простым следствием теоремы 5 будет также, например, следующая .'еорема IV.3.4 из книги Л.В.Канторовича я Г.П.Акилова Функциональ-шй анализ - М.: Наука, 1977. - 742 е.:

Нормированное идеальное, пространство X, в котором норма по-us&r""» и монотонно полна, является полны.ч по норме.

При этом, в пашем докалзт*»иы,А.»с, сг «рипеяенного в аа-

шанной моиографии, мы имеем возможность отказаться их п^к'лииыл зторостепеппых в нашей ситуации деталей (например, совершенно не зужна связь сходимости по норме со сходимостью по мере).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Переткни А.Г., Порошкин A.A. О функциях на решетках. II '/ Упорядоченные пространства и операторные уравнения: Межвуз.сб. • даучп.тр. Сыктывкар: Пермский ун-т, 1982. - С. 127-135.

2. Порошкин A.A. О полноте одного функционального пространства tJ Тезисы Десятой Коми республиканской молодежной научной конференции. - Сыктывкар. 1987. - С. 125-126.

3. Порошкин A.A. Об одном обобщении нормы в векторном про-ггранстве / Коми педаг.ин-т. Сыктывкар, 19S8. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ

- В 88. (РЖМат, 1938, 12 Б 736 ДЕП.)

4. Порошкин A.A. К теореме Бартла - Данфорда - Шпарпа / Коми аедаг. ин-т. Сыктывкар, 1989. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ №5937 - В 89. (РЖМаг, 1990, 1 В 863 ДЕП.)

5. Порошкин A.A. Топология в векторном пространстве с обобщенной нормой // Упорядоченные пространства и операторные уравнения: Межвуз. сб. паучн. тр. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т. 1989. - С.

83-92.

6. Порошкин A.A. К вопросу о замыкании множества в порядковой топологии // Научно-методич. конф. преподавателей матем. кафедр, посвящ. 75-летию КГПИ. - Тезисы докладов и сообщений. - Киров, 16-19 мая 1990 г. - Киров, Кировский педаг. ин-т, 1990. - С. 97.

7. Порошкин A.A. О непрерывных функционалах в некоторых ква-зинормированных пространствах // Вопросы функционального анализа (теория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения): Межвуз. сб. научн. тр. - Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1991. - С. 73-81.

8. Порошкин A.A. Об одном обобщении теоремы о полноте / Коми педаг.ин-т. Сыктывкар, 1993. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ, №1293 - В 93. (РЖМат, 1993, 8 В 776 ДЕП.)

9. Порошкин A.A. О полноте некоторых функциональных пространств // Теория функций. Тезисы докладов Всероссийского семинара. - Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1993. - С. 44-45.

10. Порошкин A.A., Порошкин А.Г. Функции на обобщенных булевых алгебрах и порожденные праметрики / Сыктывкарский университет. Сыктывкар, 1994. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 1877 - В 94. (РЖМат, 1994, И А 167 ДЕП.)

11. Порошкин A.A. Теорема о полноте для некоторых классов измеримых функций / Коми педаг. ин-т. Сыктывкар, 1995. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ №24 - В 95 ДЕП.

12. Порошкин A.A. Об одном обобщении теоремы о полноте // Вестник Сыктывкарского ун-та. Серия 1: Матем., мех., информ. Вып. 1. -Сыктывкар, 1995. - С. 54-62.