Предельный переход под знаком интеграла и диагональные свойства мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Клеииёв Дмитрий Эдуардович

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА И ДИАГОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МЕР

Специальность: 01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ □3454СЮ (

Воронеж - 2008

003454007

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент

Алякин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Матвсйчук Марьян Степанович

доктор физико-математических наук, доцент

Гельман Борис Данилович

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов

Защита состоится 2 декабря 2008 г. в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " октября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 ^^

доктор физико-математических наук, профессор Ю. Е. Гликлих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Вопрос о возможности предельного перехода под знаком интеграла - один из важнейших в анализе. Известны три классические теоремы о предельном переходе иод знаком интеграла Лебега, принадлежащие А. Лебегу, Б. Лови и П. Фату. Также известна теорема Дж. Витали, дающая необходимые и достаточные условия возможности предельного перехода иод знаком интеграла Лебега. Теорема Витали обычно формулируется в терминах равномерной интегрируемости последовательности подынтегральных функций, но может быть переформулирована следующим образом.

Определение. Говорят, что последовательность неопределенных интегралов {/ /к }к равностепенно абсолютно непрерывна относительно неотрицательной счетно-аддитивной меры ц, если для любого е > 0 существует 5 > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого к 6 N из условия < 8 следует

Теорема. (Витали) Пусть Т — ст-алгебра с единицей X, ц — конечная неотрицательная счётно-аддитивная мера на {/к}к С ~ последовательность функций, сходящаяся к функции / по мере ц. Для того, чтобы / 6 Ь\(Х, Т, ц) и последовательность {/к}к сходилась к / в Ь\{Х, Т, ц), необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределенных интегралов {/ была равностепенно абсолютно непрерывной относительно меры ц.

В теореме Витали, как и в классических теоремах Лебега, Б. Левн и Фату, переменной была функция точки, интегрирующая мера оставалась постоянной. Случай предельного перехода иод знаком интеграла Лебега в случае, когда меняется не только подынтегральная функция, но и интегрирующая мера, рассматривали В. М. Дубровский, Г. Я Арешкин, Ф. Кафьсро, В. Н. Алексюк, В. М. Климкии, X. Ройден, Р. Серфозо В работах Арешки-на, Алексюка и Клнмкина (Арешкин (1949) доказал достаточность, Алексюк (1965) — необходимость, в совместной работе Арешкин и Климкии (1968) доказали необходимость значительно более простым способом и распространили теорему на случай векторных мер) была установлена следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы Витали на случай последовательности мер.

Определение. Говорят, что последовательность неопределенных интегралов {/}к<^11к\к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности неотрицательных счетно-аддитивных мер {цк}^ сслп Для любого

£ > 0 существует 3 > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого к 6 N из условия ЦкЕ < 5 следует | /Е < е.

Теорема. (Арешкип-Алексюк-Климкин) Пусть Т — ст-алгсбра с единицей X, последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитив-

ных мер на причем для всякого множества Е 6 Т последовательность {^к{Е)}к сходится к конечному пределу ц(Е). Пусть — последовательность конечных функций, определенных на X, причём для любого к е N функция является /¿¿-интегрируемой, и для всякого х € X последовательность {/к{х)}к сходится к конечному пределу /(х).

Тогда для того, чтобы функция / была /¿-интегрируемой и для всякого множества Е € Т выполнялось равенство

необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов {/ Д с1ць}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {цк\к-

В этой теореме, в отличие от классических теорем о предельном переходе, последовательность функций точки сходится всюду. Применение столь сильного вида сходимости (по сравнению с обычными для теории интеграла сходимостью почти всюду и сходимостью но мерс) представляется значительным недостатком теоремы Арешкина-Алексюка-Климкипа. Заметим также, что как и в теореме Витали, в теореме Арсшкина-Алексюка-Климкина используется понятие равностепенной абсолютной непрерывности последовательности неопределённых интегралов относительно последовательности мер.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. (1) найти условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества, (2) ослабить в теореме Арешкина-Алексюка-Климкииа условие сходимости последовательности функций точки всюду.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Используются методы теории неаддитив-пых функций множества, теории меры, теории функций действительной переменной.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами. Введены новые нопятня

слабой диагональности последовательности функций множества и диагональной непрерывности последовательности функций множества. С использованием понятия слабой диагональностн последовательности функций множества получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности функций множества также получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества. Получены обобщения теоремы Арешкниа-Алексюка-Климкина для следующих случаев сходимости последовательности подынтегральных функций, по интегрирующим мерам; по предельной мерс; относительно последовательности интегрирующих мер, если последовательность мер слабо днагональна или диагонально непрерывна. Получено достаточное условие равномерной непрерывности последовательности слабо регулярных неаддитивных функций множества, как в произвольном сг-топо-логическом пространстве, так и в хаусдорфовом топологическом пространстве.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты представляют интерес для исследований в рамках теории меры и интегрирования, теории вероятностей п математической статистики. Они могут быть использованы в процессе подготовки спецкурсов и семинаров для студентов математических специальностей университетов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации прошли апробацию па семинаре но уравнениям математической физики СамГУ (Самара, 2000 г., руководитель семинара — проф. О. П. Филатов), на семинаре но функциональному анализу и теории функций СамГУ (Самара, 2007 г., руководитель семинара — проф. С. В. Асташкин), на семинаре но дифференциальным уравнениям РУДН (Москва, 2007 г., руководитель семинара -проф. А. Л. Скубачевский), на семинаре отдела теории функций МИАН (Москва, 2007 г., руководители семинара — акад. РАН С. М. Никольский и чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцев), на семинаре по алгебрам операторов и их приложениям КазГУ (Казань, 2008 г., руководитель — нроф. А. Н. Шсрстпев) па Воронежских зимних математических школах (г. Воронеж, 2007, 2008 гг.)

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6] и являются новыми. Из совместных работ [3] [5] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты. Работы [3] [6] соответствуют списку ВАК.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы (52 наименования). Общий объем диссертации — 129 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Далее, где не оговорено противное, Л — алгебра множеств с единицей X, Т — (Т-алгебра множеств с единицей X, 71 — кольцо подмножеств множества X. Рассматриваемые функции множества действуют нз Л, Т или 71 в (—со, +оо] и принимают па пустом множестве значение 0; функции точки действуют из X в К. Конечно-аддитивную функцию множества будем называть мерой. Счетно-аддитивную функцию множества будем называть счётно-аддитивной мерой. Неотрицательную монотонную полуаддитивную функцию множества будем называть субмерой. Символы з((/з) и у(<р) обозначают соответственно суиремацию1 и полную вариацию функции множества (р.

В главе 1 изучены условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер. В работах В. А. Алякина и В. М. Клим-кипа использовалось понятие днагоналыгости последовательности функций множества. Показано, что последовательность функций множества является диагональной тогда и только тогда, когда диагональной является последовательность их суиремаций. Введено понятие слабой диагональности последовательности функций множества. С использованием этого понятия получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер, значительно усиливающий ранее известный критерий Климкина. Введено понятие диагональной непрерывности последовательности функций множества. Исследованы некоторые свойства диагонально непрерывных последовательностей. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности мер получен ещё один критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Определение. Последовательность функций множества {<Рк}к называется равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности функций множества сслп Для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для каждого множества Е € 71 и для каждого к € N из условия в{ф1С)(Е) < 6 следует \щ(Е)\ < е.

Естественно рассматривать случай, когда для каждого к е N функция множества ^ абсолютно непрерывна относительно функции множества ф^.

Например, если 'р определена на кольце тг ь(<р)(Е) = ыц>{|^(о)| £>егеп2Е}, (ЕеЩ

Простейший контрпример (щ = Л; фк = Л/А, где А — мера Лебега на отрезке [0,1]) показывает, что равностепенная абсолютная непрерывность отсюда ещё не следует. Возникает вопрос о дополнительных условиях, которые следует наложить на последовательности функций множества {од} д. н {Фк}^ чтобы получить равностепенную абсолютную непрерывность. В связи с изучением этого вопроса в работах В. А. Алякина и В. М. Климкшга. (1979) было введено понятие диагональности последовательности функций множества.

Определение. Последовательность функций множества {фк}к называется сильно диагональной, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С И. из условия Нпи_оо 3{"Фк){Ек) = 0 следует, что для каждого т£Н выполняется Нт*_оо фт{Ек) = 0.

Определение. Последовательность функций множества {фк}к называется диагональной, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С 7?. из условия \1тк-+008(фк)(Ек) = 0 следует, что существует такое п € М, что для каждого т ^ п выполняется Игг^-.^ фт{Ек) — 0

Можно считать, что понятия сильно диагональной и диагональной последовательности функций множества обобщают понятие неубывающей последовательности неотрицательных мер. С использованием этих понятий в работах В. А. Алякина и В. М. Клнмкина были получены условия равностепенной абсолютной непрерывности типа следующих

Определение. Последовательность функций множества {<Рк}к называется равномерно исчерпывающей, если для любой дизъюнктной последовательности множеств {Ек}к С И выполняется Нпц^оо ^т(Ек) = 0 равномерно но ш 6 N.

Теорема. Пусть {од}^ ~~ равномерно исчерпывающая последовательность конечных мер на кольце {фк}к ~ сильно диагональная последовательность конечных мер па для каждого к е N мера од абсолютно непрерывна относительно меры фк■ Тогда последовательность мер {фк}к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности {фк}к■

Теорема. Пусть {<Рк]к ~ равномерно исчерпывающая последовательность конечных мер на кольце 7{фк}к — такая последовательность конечных мер па что последовательность — диагональная; для каждого А; € N

мера од абсолютно непрерывна относительно меры фк. Тогда последовательность мер {щ}к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности {фк}к-

Поскольку было известно, что сильная диагоналыюсть последовательности {фк}к равносильна сильной диагональности последовательности вторая теорема оказывалась некоторым усилением первой. Однако вопрос о том, можно ли заменить условие диагональности последовательности {${фк))к условием диагональности последовательности {Фк)к> 11 0 том1 па" сколько это усилило бы вторую теорему, оставался. В диссертации доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть {фк}к ~ последовательность мер на кольце Последовательность {фк}к диагональна тогда и только тогда, когда диагопальна последовательность {з^))^.

Теорема 2. Пусть {фк\к ~~ последовательность мер на кольце К. Последовательность {фк}к диагональна тогда и только тогда, когда существует такое п 6 К, что последовательность {Фк\к^п сильно диагональна.

Далее в диссертации введено новое понятие слабой диагональности последовательности функций множества.

Определение. Последовательность функций множества {фк}к называется слабо диагональной, если каждая ее подпоследовательность {фПк}к обладает следующим свойством: для всякой последовательности множеств {Ек}к С такой, что = 0 существует такое шеМ, что

Нт^оо фПт(Ек) =

Ясно, что если последовательность функций множества является диагональной, то она является и слабо диагональной. Обратное неверно (последовательность О, Л, О, Л, О, А,..., где Л — мера Лебега па отрезке [0,1], является слабо диагональной, но не диагональной).

Теорема 3. Пусть {фк}к ~ последовательность мер на кольце Л. Последовательность {фк}к слабо диагональна тогда и только тогда, когда слабо диагональна последовательность

С использованием нового понятия слабой диагональности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Теорема 4. Пусть {<Рк}к — последовательность субмер на кольце К) {фк}к ~~ слабо диагональная последовательность субмер на И\ для каждого к е N субмсра <рк абсолютно непрерывна относительно субмсры фк■ Тогда для того, чтобы последовательность субмер {срк}к была равностепенно абсолютно

непрерывной относительно последовательности {Фк}к необходимо и достаточно, чтобы для любой дизъюнктной последовательности множеств {Ек}к С 71 из условия Нт^оо Фк{Ек) = 0 следовало условие \ш\.к-^оо^Рк{Ек) = 0.

Контрпримеры показывают, что без условия слабой диагональности последовательности мер {фк)к теорема вообще говоря неверна.

Приведенные выше достаточные условия равностепенной абсолютной непрерывности могут быть получены как следствия теоремы 4. Раисе аналогичный критерий был получен В. М. Клнмкиным (1989). Однако в теореме Климкина требовалась енльпая диагональпость последовательности {фк}к-Кроме того, требовалось, чтобы каждая субмера фк обладала свойством Ор-лнча.

Определение. Говорят, что субмера ф обладает свойством Орлича, если для любой последовательности множеств {Ек}к С ^Z из условия

Таким образом, наделение субмер фк свойством Орлича фактически делает кольцо "П сг-кольцом, а сами субмеры — счётио-полуаддитивными. Это является существенным недостатком теоремы Климкина

Понятие слабой диагональности последовательности функций множества {Фк}к 110 охватывает, например, такой простой случай, как фк = А/к. В работах В. А. Алякипа (1984) было введено определение диагональной непрерывности последовательности субмер. В диссертации принято похожее, но более общее определенно, к тому же накладывающее на последовательность функций множества более слабые условия.

Определение. Последовательность функций множества {фк}к называется диагонально непрерывной, сели существует такая субмера ф, что выполнены два условия: (1) для всякой последовательности множеств {Ек}к С 71 из Пт/г^оо в(фк)(Ек) = 0 следует Нт^оо ф(Ек) = 0; (2) для всякого множества Е е 71 из ф{Е) = 0 следует Итк^008(фк)(Е) = 0 Субмеру ф назовем подходящей.

следует, что

С использованием понятия диагональной непрерывности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Теорема 5. Пусть % — ег-кольцо, {фк}к ~ равномерно исчерпывающая последовательность конечных счетно-аддитивных мер, {фк}к ~ диагонально непрерывная последовательность мер, для каждого к е N мера щ абсолютно непрерывна относительно фк- Тогда для того, чтобы последовательность мер {<Рк}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности {фк\к-> необходимо и достаточно, чтобы для всякого множества Ее и всякой строго возрастающей последовательности натуральных чисел {рк]к из условия Нгщ^оо ъ{фР1)(Е) = 0 следовало Нггц^оо ъ{ч>Рк){Е) = 0.

Эту теорему можно рассматривать, как секвенциальный аналог теоремы об эквивалентности абсолютной непрерывности и нуль-непрерывности двух мер.

Построен контрпример, показывающий, что утверждение теоремы нельзя заменить следующим утверждением: для того, чтобы последовательность мер {ц>к}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности {Фк\к' необходимо и достаточно, чтобы для всякого множества Е 6 И из условия Нт^—»оо 8{Фк)(Е) = 0 следовало Нт^оо <Рк(Е) = 0.

В главе 2 рассмотрен вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, точнее — об усилении теоремы Арешкина-Алексюка-Климкпна.

Первая теорема заменяет в теореме Арешкина-Алексюка-Климкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно предельной меры ц.

Теорема 6. Пусть {цк)к — последовательность конечных неотрицательных счетно-аддитивных мер на сг-алгебре Т, причём для всякого множества Е € Т последовательность {^к(Е)}к сходится к конечному пределу //(Е). Пусть {/к}к последовательность конечных функций точки, причём для всякого к е N функция }к является /^-интегрируемой. Пусть последовательность функций {/к}к сходится по мере /г к конечной функции /.

Если последовательность неопределенных интегралов /кйцк}к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности мер {¡Лк}к> то функция / является /¿-интегрируемой и для всякого множества Е £ Т выполняется ИШк-оо ¡Е /к (1цк = /Е / (1ц.

Построен контрпример, показывающий, что условие равностепенной абсолютной непрерывности в этой теореме не является необходимым.

Вторая теорема заменяет в теореме Арсшкина-Алсксюка-Клпмкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно каждой нз мер последовательности {т}к.

Теорема 7. Пусть {цк}к " последовательность конечных неотрицательных счетно-аддитивных мер па ст-алгсбре Т, причем для всякого множества Е € Т последовательность {цк{Е)}к сходится к конечному пределу ц{Е). Пусть {/к}к ~ последовательность конечных функций точки, причем для всякого к 6 N функция /к является /^-интегрируемой. Пусть последовательность функций {/к}к сходится по мерс относительно каждой меры ¡хт к конечной функции /.

Для того, чтобы функция / была /^-интегрируемой и для всякого множества Е е Т выполнялось Ишк-^оо /е Iк ¿У-к = /е / йр, необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределенных интегралов {/ Д с1/гк}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {Цк}к-

В следующей теореме используется понятие сходимости последовательности функций точки относительно последовательности мер, введённое Р. Сер-фозо (1984).

Определение. Пусть {цк)к — последовательность мер. Последовательность функций точки {¡к}к назовём сходящейся относительно последовательности мер {цк}к к функции точки /, если для любого 6 > 0 выполняется \\тк^х(1к({х е X : \fkix) - ¡(х)\ > ¿}) = 0.

В случае, когда ¡гк = /х, это определение совпадает с определением сходимости по мере /<.

Теорема 8. Пусть {цк}к — диагональная или диагонально непрерывная последовательность конечных неотрицательных счетпо-аддитпвпых мер на ст-алгсбре Т, причём для всякого множества Е £ Т последовательность {[1к{Е)}к сходится к конечному пределу ц(Е). Пусть {/к)к ~~ последовательность конечных функций точки, причем для всякого к е N функция /к является /х^-интегрпрусмой. Пусть последовательность функций {/к}к сходится относительно мер последовательности {цк}к к конечной фуикцни /.

Если последовательность неопределенных интегралов {/равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности мер {[1к}к, то функция / является /х-иитегрируемой и для всякого множества Е Е Т Нпц^оо ¡Е (1цк = /Е / ф.

Пусть {г*}£0 — последовательность функций Радемахера. Последовательность неопределенных интегралов {/(1 4- гк{х)) рассматриваемых на (т-алгебре лебсговских подмножеств отрезка [0,1], дает пример последовательности конечных неотрицательных счетно-аддитивных мер, ие являющейся ни слабо диагональной, пи диагонально непрерывной, сходящейся к конечному пределу на каждом множестве Е.

Контрпример, в котором последовательность мер {цк)к не была бы ни диагональной, ни диагонально непрерывной, последовательность неопределенных интегралов была бы равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер, но при этом нредельиый переход под знаком интеграла был бы невозможен, построить не удалось.

В главе 3 рассматриваются скалярные неадцитивиые функции множества, заданные на алгебре подмножеств ст-тонологичсского пространства, регулярные относительно класса замкнутых множеств, причем функции могут принимать бесконечные значения. Получены достаточные условия, при выполнении которых из равномерной непрерывности сверху на пустом множестве семейства таких функций множества следует равномерная непрерывность семейства их супрсмаций. Приводятся реализация этих условий в хаусдорфовом топологическом пространстве

Определение. Назовём пару {X, т) ст-топологическим пространством, если X — некоторое множество, т С 2х — такой класс его подмножеств, что 0,Х е т, т замкнут относительно конечных пересечений и счётных объединений. Множества из класса т будем называть открытыми, из класса и = {I \ б : С € г} - замкнутыми в (X, т).

Далее А — алгебра множеств с единицей X, причём т с А, функции множества действуют из А в [0,+оо].

Определение. Функции множества </? семейства Ф называются равномерно непрерывными, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С А такой, что Пт=1 иь=т Ек = выполняется Нт^—оо <р(Ек) = 0 равномерно по Iр £Ф.

Определение. Функции множества (р семейства Ф называются равностепенно абсолютно полуадднтивными, если для любого числа е > 0 существует такое число 5 > 0, что для любой функции ¡р € Ф и для любой пары непересекающихся множеств А,ВеА выполняется: (1) если тах{(^(Л), <р(В)} < 6, то <р{А и В) < е-, (2) если тах{^(Л), <р(А и В)} < 5, то <р(В) < е.

В случае, когда семейство Ф состоит из единственной функции <р называется абсолютно полуаддитнвиой.

Определение. Функция множества <р называется слабо регулярной, если для любого множества Е € А и для любого числа £ > 0 существует замкнутое множество такое, что F с Е и <р(Е \ F) < е.

Определение. Функции множества семейства Ф называются равностепенно регулярными, если для любого замкнутого множества Реши для любого числа е > 0 существует открытое множество (7 6 т такое, что Е С С? и зир{й((р)((? \Е) : <р е Ф} < е.

Теорема 9. Пусть (X, т) — ст-топологическое пространство; пусть А — алгебра множеств с единицей X, причем г С Л. Пусть функции множества <р семейства Ф определены па алгебре А, принимают значения в [0,+оо], удовлетворяют условию у(0) = 0, равностепенно абсолютно полуаддитивны, равномерно непрерывны сверху па пустом множестве на алгебре А, слабо регулярны, равностепенно регулярны. Тогда онн равномерно непрерывны на алгебре А.

Теорема 10. Пусть (X, г) — хаусдорфово топологическое пространство; пусть А — алгебра множеств с единицей X, причем т С. А, пусть С С и> — некоторый класс компактных подмножеств X; пусть функции множества <р семейства Ф определены на алгебре Д, принимают значения из [0, +оо], удовлетворяют условию <р(0) = 0, равностепенно абсолютно полуаддитивны.

Если для любого числа г > 0 и любого множества Е 6 А существует компактное множество С € С такое, что С с Е и зир{з(<^)(.Е \ С) : € Ф} < е, то функции множества семейства Ф равномерно непрерывны на алгебре А.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: покойному профессору Виктору Михайловичу Клнмкину, иод руководством которого данная работа начиналась, и доценту, кандидату физико-математических паук Владимиру Алексеевичу Алякину за постоянное внимание к работе, поддержку п советы при подготовке диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Клсннёв Д. Э. О равномерной непрерывности семейства неаддитивпых слабо регулярных функций множества / Д. Э. Клепнсв // Вестник Самарского госуннверситета. Естественнонаучный выпуск — 2000. — № 2(16). - С. 26 -33.

[2] Клепнсв Д. Э. Равностепенная непрерывность слабо регулярных век-ториозпачных функций множества / Д. Э. Клепнсв // XII Всероссийская школа-коллоквпум но стохастическим методам и VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Тезисы докладов. Часть II. — Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. — Т. 12. — Выи. 4. — С. 859-860.

[3] Алякин В. А. Диагональные последовательности мер / В. А. Алякин, Д. Э. Кленнёв // Вестник Самарского госуннверситета. Естественнонаучная серия - 2006. - № 2(42). - С. 5-14.

[4] Алякин В. А. Диагонально непрерывные последовательности мер / В. А. Алякин, Д. Э. Кленнев // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2007. — № 6(56). — С. 176-187.

[5] Алякин В. А. Критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер / В. А. Алякин, Д. Э. Кленнев // Вестник Самарского госуннверситета. Естественнонаучная серня. — 2007. — № 9/1(59). - С 65-74.

[6] Клепнсв Д. Э Теорема Витали-Арешкина для диагональных последовательностей мер / Д Э Кленнев // Вестник Самарского госуннверситета Естественнонаучная серия. — 2008. — № 3(62). — С. 155-164.

Работы [3] [6] соответствуют списку ВАК.

Подписано в печать 14 10 08 Формат 60*84'/16 Уел печ л Тираж 100 экз Заказ 1899

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение

1 Диагональные свойства последовательностей мер

1.1 Диагональные последовательности мер.

1.2 Диагонально непрерывные последовательности мер.

1.3 Равностепенная абсолютная непрерывность двух последовательностей мер.

2 Предельный переход под знаком интеграла Лебега для переменных мер

2.1 Теорема Витали-Арешкина.

2.2 Сходимость относительно последовательности мер.

2.3 Предельный переход под знаком интеграла Лебега для диагональных и диагонально непрерывных последовательностей

3 Равномерная непрерывность семейств регулярных мер

3.1 Примеры и вспомогательные утверждения.

3.2 Достаточное условие равномерной непрерывности.

j

Вопрос о возможности предельного перехода под знаком интеграла — один из важнейших в анализе. Известны три классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, принадлежащие А. Лебегу, Б. Леви и П. Фату. Также известна теорема Дж. Витали, дающая необходимые и достаточные условия возможности предельного перехода иод знаком интеграла Лебега. Теорема Витали обычно формулируется в терминах равномерной интегрируемости последовательности подынтегральных функций [16], но может быть переформулирована следующим образом.

Определение. Говорят, что последовательность неопределённых интегралов { J Д. d/i}k равностепенно абсолютно непрерывна относительно неотрицательной счётно-аддитивной меры /¿, если для любого е > 0 существует Ô > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого натурального к из условия цЕ < 5 следует | JE fy dfi\ < е.

Теорема. (Витали) Пусть J- — сг-алгебра с единицей X, ц — конечная неотрицательная счётно-аддитивная мера на J~\ {/&}/. — последовтельность ц,-интегрируемых функций, сходящаяся к функции / по мере ц. Для того, чтобы функция / была ¿¿-интегрируемой и последовательность {fk}k сходилась к / в пространстве L\(X, Т, необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов {f fk djLi}k была равностепенно абсолютно непрерывной относительно меры /л.

В теореме Витали, как и в классических теоремах Лебега, Б. Лови и Фату, переменной была функция точки, интегрирующая мера оставалась постоянной. Случай предельного перехода под знаком интеграла Лебега в случае, когда меняется не только подынтегральная функция, но и интегрирующая мера, рассматривали В. М. Дубровский [21], Г. Я. Арешкин [11],

13], [14], Ф. Кафьеро [39], В. Н. Алексюк [4], [14], В. М. Климкин [13],

14], [30], X. Ройден [50], Р. Серфозо [51]. В работах Арешкина, Алексюка и Климкина (Арешкин доказал достаточность [11], Алексюк — необходимость [4], в совместной работе [13] Арешкин и Климкин доказали необходимость значительно более простым способом и распространили теорему на случай векторных мер) была установлена следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы Витали на случай последовательности мер.

Определение. Говорят, что последовательность неопределённых интегралов {/ Д (¿М/с}^ равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности неотрицательных счётно-аддитивных мер {^к}^ если для любого £ > 0 существует 5 > 0 такое, что для всякого множества Е и для всякого натурального к из условия ^Е < 5 следует | fEfkd^J,k\ <

Теорема. (Арешкин-Алексюк-Климкин) Пусть Т — сг-алгебра с единицей X, {д;г}А. — последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на Т^ причём для всякого множества Е £ Т последовательность {/¿¿(.Е)}^ сходится к конечному пределу ц(Е). Пусть {/к}^ — последовательность конечных функций, определённых на X, причём для любого натурального к функция является //¿-интегрируемой, и для всякого х Е X последовательность {/к(х)}к сходится к конечному пределу

Тогда для того, чтобы функция / была //-интегрируемой и для всякого множества Е Е Т выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов {f /к с1ць}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {/¿/с}/,.

В дальнейшем будем ссылаться на эту теорему как на теорему Витали-Арешкина. В этой теореме, в отличие от классических теорем о предельном переходе, последовательность функций точки сходится всюду. Применение столь сильного вида сходимости (по сравнению с обычными для теории интеграла сходимостью почти всюду и сходимостью по мере) представляется значительным недостатком теоремы Витали-Арешкина. Заметим также, что как и в теореме Витали, в теореме Витали-Арешкина используется понятие равностепенной абсолютной непрерывности последовательности неопределённых интегралов относительно последовательности мер.

Основной целью диссертации является, во-первых, найти условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества; во-вторых, ослабить в теореме Витали-Арешкина условие сходимости последовательности функции точки всюду. Соответственно, решению вытекающих отсюда задач посвящены главы 1 и 2 диссертации. Одним из условий равностепенной абсолютной непрерывности последовательности функций множества {(рк}к относительно последовательности {фк}к является равномерная непрерывность последовательности {(рк}к- В главе 3 изучены некоторые условия равномерной непрерывности семейств неаддитивных регулярных функций множества.

В главе 1 изучены условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер. Этот вопрос изучался в работах В. А. Аля-кина [6], [7] и В. М. Климкина [27], [29], [30]. В этих работах рассматривались пары последовательностей функций множества ({у^}^., {^а-Ю-Предполагалось, что для каждого натурального к функция (/?/,- абсолютно непрерывна относительно функции фь, как это было бы, если бы ср^ была неопределённым интегралом по мере ф^. Получить условие равностепенной абсолютной непрерывности, не накладывая дополнительных условий, невозможно. Это показывает уже следующий простейший пример: щ = А и ф}. — X/к, где Л — мера Лебега на отрезке. В наиболее ранней работе [27], посвященной данному вопросу, В. М. Климкин накладывал на последовательность неотрицательных мер {фк}^ условие неубывания на каждом множестве. В дальнейшем в работах В. А. Алякина и В. М. Климкина использовалось понятие диагональности последовательности функций множества, которое можно рассматривать, как обобщение этого условия.

В диссертации показано, что последовательность функций множества является диагональной тогда и только тогда, когда диагональной является последовательность их супремаций (полных вариаций, если функции множества аддитивны). Введено понятие слабой диагональности последовательности функций множества, с использованием которого получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер, значительно усиливающий ранее известный критерий Климкина.

Также введено понятие диагональной непрерывности последовательности функций множества, которое можно рассматривать, как обобщение условий невозрастания или стремления к нулю последовательности неотрицательных мер {фк}к на каждом множестве. Исследованы некоторые свойства диагонально непрерывных последовательностей. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности мер получен ещё один критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Далее — некоторое кольцо множеств. Рассматриваемые функции множества действуют из 71 в (—со, +оо] и принимают на пустом множестве значение 0. Конечно-аддитивную функцию множества будем называть мерой. Счётно-аддитивную функцию множества будем называть счётно-аддитивной мерой. Неотрицательную монотонную полуаддитивную функцию множества будем называть субмерой. Символы и v(<¿?) обозначают соответственно супремацию и полную вариацию функции множества ^ (определения 1.0.1 и 1.0.2).

Определение 1.3.1. Последовательность функций множества {^>к}к называется равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности функций множества {фк}к, если Для любого £ > 0 существует 6 > 0 такое, что для каждого множества Ее и для каждого натурального к из условия з(фк)(Е) < 5 следует \срк(Е)\ < е.

Определение 1.1.1. Последовательность функций множества {фк}к называется сильно диагональной, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С 71 из условия

Них а(фк)(Ек) = 0 к—>оо следует, что для каждого натурального т выполняется условие

Ит фт(Ек) = 0.

А'^оо

Определение 1.1.2. Последовательность функций множества {фк]к на~ зывается диагональной, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С из условия lim s{фк)(Ек) = О к—>оо следует, что существует такое натуральное п, что для каждого натурального т > п выполняется условие lim i)m{Ek) = 0. к—>оо

Определение 1.3.3. Последовательность функций множества {<Рк}к называется трансдиагональной, если всякая её подпоследовательность {tpmk}k обладает следующим свойством: для любой последовательности множеств {Ек}к С 7Z такой, что для всякого натурального п выполняется условие lim s((pmn)(Ek) = 0, к—* оо справедливо равенство lim <ртк(Ек) = 0. к—> оо

С использованием этих понятий в работах В. А. Алякина и В. М. Клим-кина были получены некоторые условия равностепенной абсолютной непрерывности, в частности, следующие две теоремы.

Теорема. Пусть последовательность функций множества {<Рк}к ~ трансдиагональная, последовательность функций множества {ipk}k ~ сильно диагональная, и пусть для любого натурального к функция множества (рк абсолютно непрерывна относительно функции множества фк. Тогда последовательность функций множества {^>к}к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности функций множества {фк}к

Теорема. Пусть последовательность функций множества {^РкУк ~~ трансдиагональная, последовательность функций множества {фк)к такова, что последовательность их супремаций {з(фк)}к — диагональная, и пусть для любого натурального к функция множества (рк абсолютно непрерывна относительно функции множества фк- Тогда последовательность функций множества {^Рк}к равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности функций множества {Фк}к

Поскольку было известно, что сильная диагональность последовательности {фк}к равносильна сильной диагоиальности последовательности их супремаций {з^)}^ вторая теорема оказывалась некоторым усилением первой. Однако вопрос о том, можно ли заменить условие диагонально-сти последовательности {я(фк)}к условием диагоиальности последовательности {фк}к5 и 0 тсш• насколько это усилило бы вторую теорему, оставался. В диссертации доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1.13. Последовательность функций множества {фк}к диаго-нальна тогда и только тогда, когда диагональпа последовательность их супремаций {&(г1)к)}к

Теорема 1.1.16. Последовательность функций множества {фк)к диаго-нальна тогда и только тогда, когда существует такое натуральное п, что последовательность {фк}к^п сильн0 диагональна.

Далее в диссертации введено новое понятие слабой диагональпости последовательности функций множества.

Определение 1.1.3. Последовательность функций множества {фк}к на~ зывается слабо диагональной, если каждая её подпоследовательность фтк}к обладает следующим свойством: для всякой последовательности множеств {Ек}к такой, что lim s(фпч)(Ек) = О к—>оо существует такое натуральное т?, что

Hm фггъШ = 0. к—^оо

Ясно, что если последовательность функций множества является диагональной, то она является и слабо диагональной. Обратное неверно: например, последовательность 0, Л, 0, Л, 0, Л,., где Л — мера Лебега на отрезке, является слабо диагональной, по не диагональной.

Теорема 1.1.15. Последовательность функций множества {фк\к слабо диагональна тогда и только тогда, когда слабо диагональна последовательность их супремаций {s^iOljfc

Теорема 1.3.4. Пусть последовательность функций множества {(pk}k — трансдиагональная, последовательность функций множества {фк}к — сла~ бо диагональная, и пусть для любого натурального к функция множества ерь абсолютно непрерывна относительно функции множества Тогда последовательность функций множества равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности функций множества {ipk}k■

С использованием нового понятия слабой диагональности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Теорема 1.3.9. Пусть {(рк}к ~~ последовательность субмер на кольце TZ] {фк}к — слабо диагональная последовательность субмер на 7Z; для каждого 9 натурального к субмера срк абсолютно непрерывна относительно субмеры фк. Тогда для того, чтобы последовательность субмер {(fk}k была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности {фк}к необходимо и достаточно, чтобы для любой дизъюнктной последовательности множеств {Ек}к С 1Z из условия lim фк(Ек) = О к—>оо следовало lim (pk(Ek) = 0. к—''оо

Полагая (рк = X и фк = Х/к, где Л — мера Лебега на отрезке, получим контрпример, показывающий, что без условия слабой диагональности последовательности мер {фк}к теорема 1.3.9, вообще говоря, неверна.

Ранее аналогичный критерий был получен В. М. Климкиным [30]. Однако в теореме Климкина требовалась сильная диагональность последовательности {фк}к- Кроме того, требовалось, чтобы каждая субмера фк обладала свойством Орлича.

Определение. Говорят, что субмера ф обладает свойством Орлича, если для любой последовательности множеств {Ек}к С 7Z из условия supV> ( (J Ек I < +оо " \к=1 / следует, что оо /со \ оо

Екеп и уд*) к=1 \к=1 J к=1

Таким образом, наделение субмер фк свойством Орлича фактически делает кольцо 71 сг-кольцом, а сами субмеры — счётно-полуаддитивными. Это является существенным недостатком теоремы Климкина.

Понятие слабой диагоналыюсти последовательности функций множества {фк}к ие охватывает, например, такой простой случай, как фк = Х/к, где Л — мера Лебега на отрезке. В работе В. А. Алякина [7] было введено определение диагональной непрерывности последовательности субмер. В диссертации принято похожее, но более общее определение, к тому же накладывающее на последовательность функций множества более слабые условия.

Определение 1.2.1. Последовательность функций множества {фк}к на~ зывается диагонально непрерывной, если существует такая субмера ф, что выполнены два условия:

1. для всякой последовательности множеств {Ек}к С TZ из условия lim s(фк)(Ек) = О к—*оо следует lim ф{Ек) = 0; к—у оо

2. для всякого множества Е ETZ из условия ф{Е) — 0 следует lim s(фк){Е) = 0. к—>оо А

Субмеру ф назовём подходящей.

С использованием понятия диагональной непрерывности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Определение 1.3.11. Последовательность функций множества {<£к}к на~ зывается равномерно исчерпывающей, если для любой дизъюнктной noli следовательности множеств {Е^]к выполняется lim sup \<рт(Ек)\ = 0.

К—>00 т

Теорема 1.3.18. Пусть 1Z — 5-кольцо; — равномерно исчерпывающая последовательность конечных счётно-аддитивных мер; {фк}к — диагонально непрерывная последовательность мер; для каждого натурального к мера фк абсолютно непрерывна относительно фи- Тогда для того, чтобы последовательность мер была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности {фк}& необходимо и достаточно, чтобы для всякого множества Е £ 7Z и всякой строго возрастающей последовательности натуральных чисел {рк}к из условия lim s(фРк){Е) = 0 к—* оо следовало lim в(<рРк)(Е) = 0. k—>oo

Эту теорему можно рассматривать, как' секвенциальный аналог известной теоремы теоремы об эквивалентности абсолютной непрерывности и нуль-непрерывности двух мер [38].

Построен контрпример (пример 1.3.19), показывающий, что без условия диагональной непрерывности теорема 1.3.18, вообще говоря, неверна. Также построен контрпример (пример 1.3.20), показывающий, что утверждение теоремы 1.3.18 нельзя заменить следующим утверждением: для того, чтобы последовательность мер была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности необходимо и достаточно, чтобы для всякого множества Е £ 1Z и всякой строго возрастающей последовательности натуральных чисел {рк}^ из условия lim s(фРк)(Е) = О к—>оо следовало lim <рРк{Е) = 0.

В главе 2 рассмотрен вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, точнее — об усилении теоремы Витали-Арешкина.

Далее X — некоторое пространство, Т — некоторая сг-алгебра с единицей X. Рассматриваемые меры действуют из Т в [0, -f-oo) и принимают на пустом множестве значение 0.

Первая теорема заменяет в теореме Витали-Арешкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно предельной меры ¡i.

Теорема 2.1.7. Пусть {/¿aJj. — последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на сг-алгебре Тпричём для всякого множества Е СЕ Т последовательность {ßk(E)}k сходится к конечному пределу ц(Е). Пусть {fk\k ~ последовательность конечных функций точки, причём для всякого натурального к функция Д является /^-интегрируемой. Пусть последовательность функций {fk}k сходится по мере ¡л к конечной функции /.

Если последовательность неопределённых интегралов {/ Д dfik}k равностепенно абсолютно непрерывна относительно последовательности мер {ßk}k, то функция / является /¿-интегрируемой и для всякого множества

Е е Т выполняется равенство

Ит / /к (1[1к = / / йц. к->со JE JE

Построен контрпример (пример 2.1.6), показывающий, что условие равностепенной абсолютной непрерывности в этой теореме не является необходимым.

Вторая теорема заменяет в теореме Витали-Арешкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно каждой из мер последовательности

Теорема 2.1.4. Пусть {цк}к ~~ последовательность конечных неотрицательных счётно-а/щитивных мер на сг-алгебре Т, причём для всякого множества Е е Т последовательность {/2к(Е)}к сходится к конечному пределу ц(Е). Пусть {fk}k последовательность конечных функций точки, причём для всякого натурального к функция /к является ¿¿^-интегрируемой. Пусть последовательность функций {/к}к сходится по мере относительно каждой меры цП1 к конечной функции /.

Для того, чтобы функция / была /¿-интегрируемой и для всякого множества Е £ Т выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов /к с1(1к}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {/¿к}к

В следующих двух теоремах используется понятие сходимости последовательности функций точки относительно последовательности мер, введённое Р. Серфозо [51].

Определение 2.2.1. Пусть {цк\к ~ последовательность неотрицательных мер. Последовательность функций точки {Л-}^ называется сходящейся относительно последовательности мер {{¿к} к к функции точки /, если для любого 5 > 0 выполняется условие

В случае, когда ^ = /¿, это определение совпадает с определением сходимости по мере ¡1.

Теорема 2.3.3. Пусть {¡¿к}к ~~ слабо диагональная последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на а-алгебре причём для всякого множества Е е Т последовательность {^к(Е)}к сходится к конечному пределу 1±(Е). Пусть {/к}к — последовательность конечных функций точки, причём для всякого натурального к функция является //¿-интегрируемой. Пусть последовательность функций {//,•}/, сходится относительно последовательности мер {¡Лк\к к конечной функции /.

Для того, чтобы функция / была //-интегрируемой и для всякого множества Е £ Т выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов /к (1[1>к}к была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {¡¿к} к

Теорема 2.3.5. Пусть {[¿к}к ~~ диагонально непрерывная последовательность конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер на сг-алгебре Т,

Нш ¡1к({х Е X : \/к(х) - /(х)\ > 6}) = 0.

V—4оо причём для всякого множества Е е Т последовательность сходится к конечному пределу ¡¿(Е). Пусть {¡к}к ~ последовательность конечных функций точки, причём для всякого натурального к функция является //¿-интегрируемой. Пусть последовательность функций {/к}к схо~ дится относительно последовательности мер {^к}к к конечной функции /.

Для того, чтобы функция / была //-интегрируемой и для всякого множества Е € Т выполнялось равенство достаточно, чтобы последовательность неопределённых интегралов была равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер {^к}к

Тот же контрпример (пример 2.1.0) показывает, что условие равностепенной абсолютной непрерывности в этой теореме не является необходимым.

Пусть {г/с}^0 — последовательность функций Радемахера [23]. Тогда последовательность функций множества {Фк}Т=о^ гДе рассматриваемых на сг-алгебре лебеговых подмножеств Е отрезка [0,1], даёт пример последовательности конечных неотрицательных счётно-аддитивных мер, не являющейся ни слабо диагональной, ни диагонально непрерывной, сходящейся к конечному пределу на каждом множестве Е.

Однако, контрпример, в котором последовательность мер {//к}к не была бы ни диагональной, ни диагонально непрерывной, последовательность неопределённых интегралов была бы равностепенно абсолютно непрерывной относительно последовательности мер, но при этом предельный переход под знаком интеграла был бы невозможен, в настоящее время построить не удалось.

В главе 3 рассматриваются иеаддитивные функции множества, заданные на алгебре подмножеств ¿г-топологического пространства, со значениями в [0,+оо], принимающие на пустом множестве значение 0, наделённые некоторыми условиями регулярности. Получены достаточные условия, при выполнении которых из равномерной непрерывности сверху на пустом множестве семейства таких функций следует равномерная непрерывность семейства их супремаций.

В работах [1НЗ] А. Д. Александров рассматривал, в частности, вопрос о соотношении свойств исчерпываемости и непрерывности сверху на пустом множестве для конечной аддитивной регулярной относительно класса замкнутых множеств функции множества <£>, заданной на алгебре <5. Регулярность функции множества с/? понималась как регулярность ее полной вариации v(<£>), то есть как выполнение следующего условия: для любого множества Е Е ¿> и для любого числа £ > 0 существует замкнутое множество Р такое, что Р С Е и V(ф)(Е \ Р) < е.

В частности, А. Д. Александров показал, что в любом некомпактном нормальном сг-топологическом пространстве существует регулярная скалярная конечная аддитивная исчерпывающая функция множества, которая не является счётно-аддитивной, то есть не обладает свойством непрерывности сверху на пустом множестве.

Естественно возник вопрос: будет ли регулярная скалярная конечная счётно-аддитивная функция множества исчерпывающей?

В работе [37] А. Н. Саженков дал положительный ответ па поставленный вопрос: регулярная счётно-аддитивная функция множества является исчерпывающей. В работе [31] В. М. Климкин указал довольно широкий класс неаддитивных функций множества, для которых из регулярности и непрерывности сверху на пустом множестве следует исчерпываемость.

Особо следует отметить случай боре левею IX мер.

В работе [40] Дьедонне доказал теорему:

Теорема. Пусть Ф —- семейство конечных регулярных борелевских мер на сг-кольце борелевских множеств компактного хаусдорфова топологического пространства. Если меры семейства Ф являются равномерно исчерпывающими на классе открытых множеств, то они равномерно непрерывны.

В работе [46] А. Гротендик обобщил этот результат на семейство ограниченных аддитивных регулярных функций множества, заданных на <т-кольце борелевских множеств.

В работе [52] этот результат'был обобщен Штейном для семейства ограниченных аддитивных слабо регулярных функций множества, заданных на с-кольце борелевских множеств хаусдорфова регулярного топологического пространства.

В диссертации результат В. М. Климкина [31] обобщается на случай семейств функций множества.

Определение 3.1.1. Назовём пару (Х,т) сг-топологическим пространством, если X — некоторое множество,, г С. 2х — такой класс его подмножеств, что 0, X £ г, г замкнут относительно конечных пересечений и счётных объединений.

Множества из класса т будем называть открытыми, из класса си = {Х\ С : С 6 г} — замкнутыми в (X, т).

Далее S — алгебра множеств с единицей X, причём т С 5; функции множества действуют из S в [0,+оо] и принимают на пустом множестве значение 0.

Определение 3.1.4. Функции множества (р семейства Ф называются равномерно непрерывными, если для всякой последовательности множеств {Ек}к С S такой, что оо оо

П U Е* = 0' т—1к=т выполняется условие lim (sup{ср(Ек) ир£ф}) = 0. к—>оо

Определение 3.1.9. Функции множества <р семейства Ф называются равностепенно абсолютно полуаддитивными, если для любого числа е > 0 существует число 5 > 0 такое, что для любой функции ср £ Ф и для любой пары непересекающихся множеств А, В <G S выполняется:

1. если тах{<^(/1), <р{В)} < 6, то ip(A U В) < е\

2. если max{<p(.4 U В), (р(А)} < S, то (р(В) < е.

В случае, когда семейство Ф состоит из единственной функции ср, ср называется абсолютно полуаддитивной.

Определение 3.1.15. Пусть Т С си — некоторый класс замкнутых множеств. Функция множества ср называется JF-слабо регулярной, если для любого множества Е £ S и для любого числа е > 0 существует множество F <Е Т такое, что F d Е и ср(Е \ F) < е.

Определение 3.1.16. Функции множества семейства Ф называются равностепенно регулярными, если для любого замкнутого множества F Е lü и для любого числа е > 0 существует открытое множество (2 Е т такое, что ^ССи 8ир {<</?)(£ \Е):среФ}<£.

Теорема 3.2.4. Пусть (X, т) — сг-топологическое пространство; пусть — алгебра множеств с единицей X, причем г С Пусть функции множества (р семейства Ф определены на алгебре с>, принимают значения в [0,+оо], удовлетворяют условию <р(0) = 0, равностепенно абсолютно полу аддитивны, равномерно непрерывны сверху на пустом множестве на алгебре ш-слабо регулярны, равностепенно регулярны. Тогда они равномерно непрерывны на алгебре 5".

Теорема 3.2.5. Пусть (X, т) — хаусдорфово топологическое пространство; пусть <5> — алгебра множеств с единицей X, причем т С ¿>; пусть С G и> — некоторый класс компактных подмножеств X; пусть функции множества ср семейства Ф определены на алгебре принимают значения из [0, +оо], удовлетворяют условию <р(0) = 0, равностепенно абсолютно полуаддитивны.

Если для любого числа £ > 0 и любого множества Е Е <5> существует компактное множество С Е С такое, что С С Е и вир^ (</?)(!? \С) : <р £ Ф} < £:, то функции множества семейства Ф равномерно непрерывны на алгебре

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: покойному профессору Виктору Михайловичу Климкину, под руководством которого данная работа начиналась, и доценту, кандидату физико-математических наук Владимиру Алексеевичу Алякину за постоянное внимание к работе, поддержку и советы при подготовке диссертации.

1. Александров А. Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах / А. Д. Александров // Матем. сб. — 1941. — Т. 8(50). — С. 307-348.

2. Александров А. Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах / А. Д. Александров // Матем. сб. — 1941. — Т. 9(51). — С. 563-628.

3. Александров А. Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах / А. Д. Александров // Матем. сб. — 1943. — Т. 13(55). С. 169-238.

4. Алексюк В. Н. О переходе к пределу под знаком интеграла /B. Н. Алексюк // Изв. вузов. Математика. — 1965. — № 5. — С. 28.

5. Алексюк В. Н. Две теоремы о существовании квазибазиса семейства квазимер / В. Н. Алексюк // Изв. вузов. Математика. — 1968. — № 6. —C. 11-18.

6. Алякин В. А. Диагональные семейства функций множества и обобщённая теорема Витали-Хана-Сакса-Никодима / В. А. Алякин // Труды

7. I научно-технической конференции факультета математических знаний. Секция математики и механики. — С. 14-26. — Куйбышевский Политехнический институт. — Куйбышев, 1979. — 13 с. — Деп. в ВИНИТИ, 1979, № 1215.

8. Алякин В. А. Теорема Витали-Хана-Сакса для двух последовательностей мер / В. А. Алякин //В сб.: Вопросы функционального анализа. Мера и интеграл. — Куйбышев: Куйбышев, госуниверситет. — 1984. — С. 8-13.

9. Алякин В. А. Диагональные последовательности мер / В. А. Алякин, Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2006. № 2(42). — С. 5-14.

10. Алякин В. А. Диагонально непрерывные последовательности мер /B. А. Алякин, Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2007. — № 6(56). — С. 176-187.

11. Алякин В. А. Критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер / В. А. Алякин, Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2007. № 9/1(59). - С. 65-74.

12. Арешкин Г. Я. О переходе к пределу под знаком интеграла Лебега-Радона / Г. Я. Арешкин // Сообщ. АН ГССР. 1949. - Т. 10. - № 2.C. 69-76.

13. Арешкин Г. Я. О компактности семейства вполне аддитивных функций множества / Г. Я. Арешкин // Уч. записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1962. - Т. 238. - № 2. - С. 102-118.

14. Арешкин Г. Я. Об одном обобщении теоремы Витали о переходе к пределу под знаком интеграла. / Г. Я. Арешкин, В. М. Климкин // Уч. записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1968. - Т. 387. - С. 79-91.

15. Арешкин Г. Я. О некоторых свойствах векторнозначных мер / Г. Я. Арешкин, В. Н. Алексюк, В. М. Климкин // Уч. записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1971. - Т. 404. - С. 298-321.

16. Арешкин Г. Я. О слабой равностепенной плотности и компактности семейства квазилипшицевых функций множества / Г. Я. Арешкин, Н. С. Гусельников // В сб.: Функциональный анализ. — Ульяновск. — 1975. Вып. 5. - С. 3-12.

17. Богачёв В. И. Основы теории меры. Т. 1: В 2 т. / В. И. Богачёв. — Москва-Ижевск: НИЦ РХД, 2003. 544 с.

18. Богачёв В. И. Основы теории меры. Т. 2: В 2 т. / В. И. Богачёв. — Москва-Ижевск: НИЦ РХД, 2003. 576 с.

19. Гусельников Н. С. Квазилипшицевы и треугольные функции множества и их приложения к теориям векторных мер и полумер: Дис. . .канд. физ.-мат. наук; 01.01.01; — Защищена 9.2.1976; К179940; Дк 76-1/1060. Л., 1976. - 157 с.

20. Гусельников Н. С. Треугольные функции множества и теорема Нико-дима о равномерной ограниченности семейства мер / Н. С. Гусельников // Матем. сб. 1978. - Т. 3(106). - С. 340-356.

21. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М.: Изд-во ИЛ, 1962. — 895 с.

22. Дубровский В. М. О базисе семейства вполне аддитивных функций множества и о свойствах равномерной аддитивности и равностепенной непрерывности / В. М. Дубровский // Докл. АН СССР. — 1947. — Т. 58. № 5. - С. 737-740.

23. Дьяченко М. И. Мера и интеграл / М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. — 160 с.

24. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. — М.: Изд-во АФЦ, 1999. 560 с.

25. Клепнёв Д. Э. О равномерной непрерывности семейства неаддитивных слабо регулярных функций множества / Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучный выпуск. — 2000. — № 2(16). С. 26-33.

26. Клепнёв Д. Э. Теорема Витали-Арешкина для диагональных последовательностей мер / Д. Э. Клепнёв // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. — 2008. — № 3(62). — С. 155-164.

27. Климкин В. М. Некоторые признаки равностепенной абсолютнойнепрерывности семейства масс / В. М. Климкин // Учёные записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1971. - Т. 404. - С. 380-396.

28. Климкин В. М. Конечно-аддитивные функции множества в топологической группе / В. М. Климкин // Матем. заметки. — 1977. — Т. 21. — № 6. С. 847-854.

29. Климкин В. М. О равностепенной абсолютной непрерывности / В. М. Климкин // Матем. заметки. — 1979. — Т. 25. — № 2. — С. 199209.

30. Климкин В. М. Введение в теорию функции множества: Учебное пособие / В. М. Климкин. — Куйбышев: Изд-во Саратов, унив. Куйбышев, филиал, 1989. 210 с.

31. Климкин В.М. О некоторых свойствах регулярных функций множества / В. М. Климкин // Матем. сб. 1992. - Т. 6(183). - С. 155-176.

32. Климкин В. М. Избранные главы теории меры / В. М. Климкин. — Самара: Изд-во «Самарский университет», 2005. — 143 с.

33. Малюгин С. А. Топология покрывающих множеств и непрерывное продолжение внешних мер / С. А. Малюгин // Мат. заметки. — 1979. — Т. 26. № 2. - С. 285-292.

34. Савельев Л. Я. Продолжение мер по непрерывности / Л. Я. Савельев // Сиб. мат. ж. 1964. - Т. V. - № 3. -С. 639-650.

35. Савельев Л. Я. Продолжение непрерывных мер / Л. Я. Савельев // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 239. - № 2. -С. 272-274.

36. Саженков А. Н. Ограниченность векторных внешних мер / А. Н. Са-женков // Мат. заметки. 1979. - Т. 25. - № 6. - С. 913-917.

37. Саженков А. Н. Принцип ограниченности для мер. — Дисс. канд. физ.-мат. наук, Новосибирск, 1984, 62 с.

38. Халмош П. Теория меры / П. Халмонт. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003. 256 с.

39. Cafiero F. Misura е integrazione / F. Cafiero // Edizione Cremonese. — Roma. 1959. - 451 p.

40. Dieudonne J. Sur la convergence des suites de mesures de Radon /J. Dieudonne // An. Acad. Brasil. — Cienc. — 1951. — Vol.23. R 21-38, P. 277-282.

41. Dobrakov I. On submeasures I / I. Dobrakov // Rozpr. Math. — 1974. — V. 112. P. 30-35.

42. Drewnowski L. Topological rings of sets, continuous set functions, integration. I / L. Drewnowski // — Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 1972. - V. 20. - № 4. - P. 269 276.

43. Drewnowski L. Topological rings of sets, continuous set functions, integration. II / L. Drewnowski // — Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 1972. - V. 20. - № 4. - P. 277-286.

44. Drewnowski L. Topological rings of sets, continuous set functions, integration. Ill / L. Drewnowski // — Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. Astr. Phys. 1972. - V. 20. - № 6. - P. 439 445.

45. GânBler P. A convergence theorem for measures in regular Hausdorff spaces / P. Gânfiler //Math. Scand. 1971. - V. 29. - P. 237-244.

46. Grothendieck A. Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C{K) / A. Grothendieck // Canad. J. Math. — 1953. — Vol.51. P. 129-173.

47. Landers D. Equicontinuity and convergence of measures / D. Landers, L. Rogge // Manuscripta Math. 1971. - V. 5. - P. 123-131.

48. Orlicz W. Absolute continuity of vector-valued finitely additive set functions. I / W. Orlicz // Stud. Math. 1968. - V. 30. - № 1. -P. 121-133.

49. Orlicz W. Absolute continuity of set functions with respect to a finitely subadditive measure / W. Orlicz // Rocz. Pol. tow. mat. — 1970. — V. 14. Ser. 1. - P. 101-118.

50. Rovden H. L. Real Analysis / H. L. Royden. — 3rd ed. — Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1988. — 444 p. (1st ed.: McMillan, 1963)

51. Serfozo R. Convergence of Lebcsgue Integrals with Varying Measures / R. Serfozo // The Indian Journal of Statistics. — 1982. — Vol. 44. — Ser. A. Pt. 3. - P. 380-402.

52. Stein J. D. Uniform absolute continuity in spaces of set functions / J. D. Stein // Proceedings of the Amer. Math. Soc. — 1975. — Vol. 51. — № 1. P. 137-140.