Интегралы по обобщенным мерам и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРДЕНА

На правах рукописи

ИСАКОВ Валерьян Николаевич

УДК 517.51 517.98

ИНТЕГРАЛЫ ПО ОБОБЩЕННЫМ МЕРАМ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

(01.01.01 — МАТЕМАТИЧЕСКИИ АНАЛИЗ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ — 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент В. Н. БУРОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Г. Я. АРЕШКИН; кандидат физико-математических наук, доцент А. Г. ПОРОШКИН

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный университет, кафедра математического анализа.

Защита состоится 10 марта 1993 г. в 16 час. на заседании специализированного совета К 113.05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук в РГПУ имени А. И. Герцена (191186, г. С.-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 1, ауд. 209).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГПУ имени А. И. Герцена.

Автореферат разослан « "" »

1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

ЯШИНА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В последние десятилетия появилось большое количество работ, посвященных обобщениям различных классических интегральных процедур-на случай неотрицательных функций точки и неотрицательных неаддитивных функций множества (Г. Шоке, А. А. Гольдберг, Ч. Хейес, В. Н. Алексик, Б. Риечан, Е. Де Джиорджи и Г. Летта, Г. Греко, А. Г. Порошкин и И. И. Баженов, Я. Шипош и др.). Получаемые при этом интегралы в случае аддитивной меры совпадают с интегралом Лебега, а в общем случае отличаются друг от друга и теряют некоторые привычные свойства Св частности, аддитивность по функциям и множествам}. В то же время они представляют собой удобный и необходимый инструмент математических исследований. Отдельное направление в неаддитивном интегрировании образуют работы, связанные с нечетким интегралом по нечеткой мере, не являющимся обобщением интеграла Лебега.

Несмотря на обилие различных интегралов, сейчас пока нет сколько-нибудь единой теории неаддитивного скалярного интегрирования. Это обстоятельство выдвигает на передний план задачу их систематического изучения.

В. Н. Алексюк [1] впервые построил теорию аддитивного векторного интегрирования (в скалярно-банаховом и банахово-скалярном случаях), в которой функция объявляется интегрируемой по мере, если ее норма-функция интегрируема по супремации или полувариации меры. Устанавливаемая таким образом взаимосвязь между скалярными интегралами по неаддитивным мерам и интегралами в абстрактных пространствах открывает новые перспективы в исследовании последних. Например, в плане расширения классов функций множества, по которым возможно определение билинейных интегра-

лов с теорией Ьр-пространств. Особый интерес при этом представляют интегралы по конечно аддитивным мерам.

Цель работы: 1. Положить начало систематическому изучению скалярных неаддитивных интегралов, являющихся обобщениями интеграла Лебега.

2. Развить метод Алексюка векторного интегрирования, распространить его на более общие пространства значений функции, меры и интеграла, нежели в С11, и систематизировать получаемые этим методом интегралы.

3. Применить интегралы по полувариациям мер в билинейном векторном интегрировании Бартла [23.

4. При изучении абстрактных интегралов уделить основное внимание случаю конечно аддитивных мер, вопросам предельного перехода под знаком интеграла, возможности определения пространств Lp С0<р<оо) и сходимости в этих пространствах.

Методы исследования. Изучение интегралов в абстрактных • пространствах проводится методом неаддитивного скалярного интегрирования. Для систематизации скалярных интегралов по обобщенным мерам и построенных с их помощью интегрирований в абстрактных пространствах применяется аксиоматический метод. Доказательства базируются на классических методах теории функций действительной переменной, теории меры и интеграла.

Научная новизна. Получены следующие результаты:

1. Впервые построена аксиоматическая теория неотрицательного интегрирования по неаддитивным функциям множества, позволившая на классе неотрицательных функций единообразно охватить интеграл Лебега и некоторые его неаддитивные обобщения.

2. Выявлен определенный минимум свойств интеграла, интегри-

руемой функции и функции множества, достаточный для того, чтобы неотрицательное интегрирование имело основополагающие теоремы, связанные с предельным переходом под знаком интеграла, равностепенной абсолютной непрерывностью последовательностей интегралов и пространствами Ьр ССКр<оо).

3. С опорой на аксиоматический неаддитивный интеграл разработана аксиоматическая схема определения конечно аддитивных интегралов на группах по полугрупповозначным мерам с теорией полных Ьр-пространств С0<р<оо) и характеристиками сходимости в них. Показано, что по этой схеме можно получать новые билинейные интегралы, удовлетворяющие требованиям Н.Данфорда [3].

4. Установлено, -что замена аддитивного скалярного интегрирования неаддитивным позволяет существенно расширить класс мер", для которых можно определять абстрактные интегралы с теорией Ьр-пространств.

5. Из класса всех интегрируемых по Бартлу функций [2] выделен класс абсолютно интегрируемых функций, на котором интеграл Бартла приобретает ряд новых результатов. В частности, теорию Ьр-пространств.

6. Для интеграла Бартла получены два варианта теоремы Фуби-ни, усиливающие аналогичный результат из [4].

7. В связи с вопросом о возможном поглощении интеграла Бартла-Данфорда-Шварца СБ-Д-ШЭ С 5,гл.IV] интегралом из [1,гл.8] сформулирована проблема, положительное решение которой будет означать, что интеграл Б-Д-Ш является частным случаем интеграла щ [1] и нашей теории.

Практическая значимость. Полученные результаты и методы, развитые в работе, могут быть полезны для создания более содержательной теории скалярного неаддитивнбго интегрирования, для

введения необходимых в спектральной теории билинейных интегралов, для изучения произведения мер со значениями в различных пространствах и интегралов по этим мерам, а также в тех вопросах, где используется интеграл Бартла.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на традиционных "Герценовских чтениях" в ЛГПИ им. А. И. Герцена в секции д. ф-м.н. Г. Я. Арешкина в 1982, 1983 и 1985 гг., на межвузовских научных семинарах по математическому анализу в г. Сыктывкаре в 1985 и 1988 гг., на Ленинградском городском математическом семинаре д. ф-м. н. профессора Н. М. Матвеева в 1991 г. , а также на семинарах по" теории функций множества при Коми пединституте.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 107 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дано краткое обозрение работ других математи-тиков, обосновывающее актуальность исследований, и изложена общая характеристика диссертации с обзором всех трех глав.

В главе 1 построена аксиоматическая теория скалярного интегрирования по неотрицательным неаддитивным функциям множества.

- В § 1.1 приводится перечень всех основных понятий и фактов, необходимых во всей работе. Буква Т всюду обозначает непустое множество, Я - кольцо или алгебру подмножеств множества Т, называемых измеримыми. Если Я - алгебра, то Т е Я . Для Е с Т через X, обозначается совокупность всех измеримых подмножеств ¿1

множества Е.

Определение 1. Функцию множества у: Я , равную нулю

на пустом множестве 0 , называем:

- К-изомерой, если существует такое число К £ 1, что

CA) < KpCBD для А, В е Я, А с В; изоиерой, если К=1 ;

- субаддитивной, если рСАиВ) < (uCA)+juCB) , А,В е Я ;

- счетно субаддитивной, если Ä - cr-кольцо С а-алгебра) и для любой последовательности САп) измеримых множествам) < Е ^САп) ;

- субмерой если она субаддитивная изомера;

- непрерывной сверху в нуле, если рСАп) —► 0 для любой убывающей к 0 последовательности САд) измеримых множеств, причем хотя бы для одного номера п < оо ;

- непрерывной внешней мерой Сн. в. мерой), если она конечная непрерывная сверху в нуле субмера;

- микросубаддитивной, если из ^САп) —> 0 , ^СВп) —» О следует рСАпиВп) —► 0 ;

- счетно микросубаддитивной, если Я - cr-кольцо Сс-алгебра) и для любого е>0 можно найти такую последовательность чисел dnV 0 , что как только для некоторой последовательности САп) измеримых множеств будет выполнено fj(An) < бп при всех п, так сразу pCUAftXc .

Наряду с jj используем функцию множества

= inf-C fj(A) : А 6 Я ,Е с А > , ЕсТ. Понятия ограниченности множеств, ¿i-нуля, ц-почти везде, сходимости по м и т.п. определяются посредством ил. ^

Определение 2. Микросубаддитивная К-изомера ' называется обобщенной субмерой, если объединение двух ограниченных множеств ограничено.

Определение 3. Пусть ц, ип :Я —> С п е Ш ) и Е с Т . Последовательность функций множества (ип) называется

- равностепенно абсолютно непрерывной относительно ц С РАН/и) на

Е, если Пт V СА) = О (Л е равномерно относительно п; Нл<А>-*> п

- имеет свойство равностепенной собранности СРЮ на Е, если для любого с>О найдется такое ограниченное множество А£е что при всех Б е ^ , включающих А£, будет vnCB\k£Ke при всех п.

Если {чп> = <и),то получим определения абсолютной непрерывности относительно р (АНр) и собранности ССБРЭ у на Е.

В § 1.2 излагается схема аксиоматического определения интеграла от неотрицательной функции по обобщенной субмере. Здесь Я - кольцо, ц - обобщенная субмера. Буквой Я обозначается класс функций <р: Т—» удовлетворяющий условиям: Р1) если множество Е е Я ограничено и с>0, то с*Е б Я; Р2) если <р,ц> $ ?, то \р-у\ е ? ; рхе б Я для Е € Я .

Пусть определено отображение За : Я х Я —► , значения которого зависят от ц и которое удовлетворяет аксиомам: А13 А,В е Я , А с В => .Ыр.А) < , р е Я ;

А23 р,}/ € ? , р < на Е € Я 1оС(0,Е) ^ .ЬСу.Е) ;

АЗ) А,В 6 Я => ЛоСр.АиВ) ^ .Ыр.А) + .ГоС^В), 9 е Я ; А4Э если р € Я , то функция ынохества .1о(р,Е), ЕбЯ , на каждом измеримом множестве АНн и СБР ; А5) если последовательность функций из Я фундаментальна по н на ограниченном множестве ЕеЯ , а семейство функций множества ЛоСрп,еЗ С п е ) РАН/л на Е, то для любого £>0 найдется такое число с>0, что -ЬС^+с^.е) < для всех еЦ и пей.

— Я —

Отображение Jo называется предингегралом.

Определение 4. Функция f:T —> R+ называется м-изыеримой на множестве ЕеЯ , если она является пределом сходящейся по ju на Е последовательности функций из Функция р-измерима, если она ^"Измерима на каждом ЕеЯ- .

Определение 5. Измеримая функция f называется интегрируемой по р на множестве ЕеЯ, если существует хотя бы одна последовательность Срп) функций из Т, которая сходится к f по ц на Е и для которой прединтегралы Jo(pn,e) ( n € IN ) PAHju и PC на Е . Последовательность (<р ) называется (f,E)-последовательностью.

г л

Функция f интегрируема, если она интегрируема на каждом ЕеЯ .

Класс всех интегрируемых на Е функций обозначается £СЕ), а класс всех интегрируемых функций - £ .

Показывается, что каждой функции Ге£ и множеству ЕеЯ можно поставить в соответствие единственным образом определяемое число lim JoC® ,£} < m , где Ср ) является (f,Е)-последо-гп гп

вательностью.Это число обозначается JCf,E) и называется аксиоматическим интегралом от f на множестве Е по р. Он наследует свойства AI, A3 и A4 прединтеграла.

В § 1.3 найдены условия, при которых для аксиоматического интеграла справедливы теоремы о предельном переходе под знаком интеграла и PAHfj последовательности интегралов.

Теорема 1. Пусть последовательность Cfn) функций из £ сходится к функции f по (j на каждом измеримом множестве. Для того, чтобы fei, и чтобы для каждого ЕеЯ имели место равенства

lim JCpn,e) = J(f,e) , е е Jfe , Cl)

равномерно относительно е, необходимо и достаточно,' чтобы интегралы от f С n е IN ) были РАН/j и PC на каждом ЕсЯ .

Теорема 2. Пусть Я - cr-кольцо, ц - счетно микросубадди-

тивная обобщенная субмера. Пусть даны множество ЕеК и функции f,{ € ХСЕ) С п € N ). Если

П

Ив -К^.еЭ =

на каждом е е ^ , то интегралы .КГп,е) С п € Ш ) РАНр и РС на Е .

При дополнительное аксиоме: А63 для любого с>0 найдется такое ¿>0, что если Д (<р,ЕХ<5,

О

Зо1у>,Ю<6 для р,у б ? и Е б Л, то ]о(р+^,Е)<е ; интеграл приобретает свойство монотонности по интегрируемым функциям и теорему Лебега о мажорантном предельном переходе.

Выясняется вопрос о том, когда интеграл обладает принципом мажорирования: Г измерима, д интегрируема и < д на ЕеЯ Г € £(ЕЭ. Показано, что если ? является классом неотрицательных простых функций, интеграл по обобщенной субмере с аксиомами А1-А6 обладает этим свойством.

§ 1.4 посвящен теории Ьр-пространств С0<р<а0. Здесь Я -

алгебра, у - по-прежнему обобщенная субмера. На класс ? и пред-

интеграл .1о накладываются дополнительные условия:

РЗЭ если р е ? и с>0, то ар, <р° е ? ;

Р43 если р € 9 , то Пш (У'СТСр^аЗЗ = 0 , а>0, для каждой

а—»+оо

обобщенной субмеры р; А7) если р« ? и с>0, то ЛоСс#?,Е) = с.ЬС?,Е) , Е б Я ; А83 если р € У , Е 6 Я и р = 0 ¡и-п. в. на Е , то ЛоСр,Е)=0 .

Выводятся новые свойства класса £ и интеграла, которые позволяют определить пространства [,р (0<р<ю) как класс всех таких измеримых функций, для которых функция ^ интегрируема. Сходимость в Ьр определяется при помощи обобщенной квазиметрики гСГ.дЭ = Я^-дрД) .

Характеристика сходимости в Ьр:

Теорема 3. Пусть последовательность (Гп) функций из Ьр сходится к функции 1":Т —► по р. Тогда каждое из следующих утверждений влечет остальные:

1) Т 6 Ьр и Гп —► { в -£,р ;

2) { 6 Ьр и Пш .1(Г£,Е)=.КГР,Е} равномерно относительно ЕеЛ ;

3) последовательность интегралов JCfP,E) С п е N 3 РАНм и РС .

Имеет место теорема Лебега о мажорантной сходимости в 1р.

Полнота пространств 1р С0<р<оо) получается при условии, что

Я - а-алгебра, у. - счетно ыикросубаддитивная конечная обобщенная субмера, а прединтеграл, в дополнение к предыдущим, удовлетворяет аксиоме -

А9) если множество ЕеЯ ограничено, то ЗоС*е,Е) = ¿/ЧЕЗ .

Тот факт, что аксиоматический интеграл из §§ 1.2-1.4 действительно способствует изучению с единых позиций разных интегрирований по обобщенным мерам, показывается в § 1.5. Здесь приводятся две его реализации.

Первая из них касается интеграла Шоке по изомерам (определяется так же, как функционал по неотрицательным емкостям в [6П, исследованием которого занимались Е.Де Джиорджи и Г.Летта, Г.Греко, А.Г.Порошкин и И.И.Баженов, Я.Шипош и другие матамати-ки. Сначала определяется новый интеграл по обобщенной субмере, названный АС-интегралом. Выясняется, что при некоторых условиях АС-интеграл совпадает с интегралом Шоке. Следовательно, при этих условиях результаты §§ 1.3 и 1.4 переносятся на интеграл Шоке, многие из которых являются для него новыми. В частности, необходимость условия теоремы 1, теорема 2 и теория Ьр-пространств.

Другая реализация, названная здесь АВ-интегралом, была получена В. Н. Алексюком и представляет собой конечный внутренний

интеграл из [1,гл.71. Из результатов данной диссертации для него новыми являются теорема 2 и необходимость условия теоремы 1. Достаточность теоремы 1 в Ш доказывается иначе и не утверждает равномерности предельного соотношения С1).

АВ-интеграл явится основным инструментом исследований в § 2.3 и в главе 3 .

В главе 2 аппарат неаддитивного интегрирования из главы 1 используется для построения аксиоматической теории конечно аддитивного интегрирования на группах по полугрупповозначной мере.

В § 2.1 разработан метод построения интеграла.

Пусть X и Ъ - абелевы группы с конечными квазинормами, причем 2 отделимая и секвенциально полная в топологии квазинормы; У - абелева полугруппа с нулем и конечной квазинормой; Я - алгебра, ш: Я —» У - конечно аддитивная мера, ш(0) = ©у . Пусть м - какая-либо обобщенная субмера, ассоциированная с ш. Аксиоматический интеграл по м из главы 1 называется здесь /и-интегра-лом, его значения обозначаются а класс ^-интегриру-

емых функций - Для него предполагаются все аксиомы А1-А9.

Буквой У обозначается класс всех простых функций :Т —» X , а буквой ? - класс неотрицательных простых функций.

Определение 6. Интегралом от функций класса 3 на множествах из Я по мере го называется отображение ? х Я —» Ъ (обозначается I Гёт ), которое удовлетворяет аксиомам:

Е

И1Э / <0хс1т = Ф2 , Е € Я ;

Б

12) / С <р1 + <о2 )<±п = / «1с1т ± X рг<йш , р1,р2 е У , Е е Я ;

Е ЕЕ

ИЗ) если А,В £ Я и АпВ = 0 , то для всех р е 5

/ рдхй = ] рйт + / 1р6Л1 ; лив А В

И4) если последовательность Срп) функций из ? сходится по ц к

некоторой функции f: Т —» X , то для любого е>0 найдется

такое d>0, что при всех п неравенство JCII рп11,Е,рЭ < 6

влечет II Г р dm II < с . е п

Если первые три аксиомы традиционны, то И4, означающая равномерную управляемость последовательности абстрактных интегралов последовательностью скалярных неаддитивных интегралов, является новой для теории интегрирования. Именно она создает предпосылку для применения здесь метода интегрирования из С1,гл. 8].

Далее аналогично определению 4 вводится понятие т-измери-мой функции. Измеримая функция f называется т-интегрируемой, если ее норма-функция IlfCOll ^-интегрируема. Показано, что для интегрируемости f необходимо и достаточно существование такой сходящейся к f по (j последовательности (<рп) функций из ? , что /j-интегралы JCHpJI ,Е,р) С n е IN ) PAHjj и PC . Называется она f-последовательностью, и для нее существует равномерный относительно Е е Я предел

lim J ©dm е Z е п

который и определяет интеграл J fdm.

Е

Далее устанавливается корректность определения интеграла и

изучаются его свойства.

В § 2.2 с помощью §1.4 обобщается методика построения £р-пространств из II,гл.8]. От обобщенной субмеры ц, ассоциированной с мерой т, требуется конечность на Я .

Через LpCnü С0<р<оо) обозначается класс всех таких ш-измери-мых функций f :Т —> X, для которых функции llfllp=llfC •) 11р й-интег-рируемы. В ней определяется топология обобщенной квазиметрики r(f,g) = JC llf-gllp,T,fj)

Характеристика сходимости в LpCm):

Теорема 4. Пусть имеются последовательность (fn) функций из LpCm) и функция f:T —» X . Для того, чтобы f е LpCm) и fn—► f в LpCm), необходимо и достаточно, чтобы f—► f по ц , а последовательность /u-интегралов от llfnllp была РАНр .

Далее получены теоремы Лебега о мажорантной сходимости в LpCm) и мажорантном предельном переходе под знаком интеграла. Показано, что если Я - cr-алгебра, а обобщенная субмера ц счетно ыикросубаддитивна, то пространство LpCm) СО<р<со) полное.

В § 2.3 рассматриваются три реализации интеграла из § 2.1.

1). Пусть X,Z - векторные пространства, причем 2 - банахово, а X полунормированное. В предположении, что имеет место непрерывное полубилинейное отображение X х Y —► Z, вводится новый полубилинейный векторный интеграл с теорией Lp-пространств из § 2.2 . Здесь ц является Х-полувариацией ш, определяемой так же, как в [21, а ц-интегралом - АВ-иятеграл из § 1.5 .

Данный интеграл позволяет обосновать вывод •• применяемый в диссертации метод абстрактного интегрирования, опирающийся на скалярные неаддитивные интегралы по полувариациям мер, позволяет строить удовлетворительную теорию Lp-пространств в ситуациях, недоступных для тех интегрирований, где для этих же целей используются скалярные интегралы по конечным или cr-конечным неотрицательным аддитивным мерам вида ТСпО или 7Су*°т) (7 - обозначение вариации, у*е Y*). Выяснено, что при замене полувариации какой-либо эквивалентной Св е-6 смысле) аддитивной неотрицательной мерой общность теории может не сохраниться. Более того, такая замена не всегда возможна, ибо существуют аддитивные меры со значениями в F-пространствах, чьи скалярные полувариации не имеют эквивалентных аддитивных неотрицательных мер Е 83 .

2). В той же ситуации относительно ХД,2, меры т, скощенной субмеры ц, что в [1,гл. 8], показано, что векторный интеграл Алексюка является частным случаем нашей теории. Сформулирована

Проблема. Если - последовательность скалярных простых функций, п - счетно аддитивная банаховозначная мера, заданная на сг-алгебре, ц - скалярная полувариация или супремация меры а, то следует ли из РАНм последовательности интегралов / рпбт С п е И ), свойство РАНц для последовательности АВ-интегра-лов Л|рп|,Е,ц) ?

При положительном решении этой задачи интеграл по векторно-значной мере из [5,гл. IV] явится частным случаем интеграла Алексюка и нашей теории.

3). Если в п. 2) взять в качестве р-интеграла интеграл Шоке, получается интегрирование, которое совпадает с интегрированием Порошкина С7] при условии, что Я - сг-алгебра, а т счетно аддитивна. Следовательно, в этом случае для интеграла Порошкина будут справедливы все результаты из § 2.2 .

В главе 3 приводится четвертая реализация аксиоматического интеграла из главы 2, с помощью которой удается значительно продвинуться в изучении билинейного интеграла Бартла.

В § 3.1 показывается, что если СХ,У,2) - такая же билинейная система, что и в 121. то интеграл из п. 1, § 2.3, выделяет из класса 3 всех интегрируемых в смысле Бартла функций класс Л так называемых абсолютно интегрируемых функций, на котором оба эти интеграла совпадают. Выясняется, что класс 4 может быть существенно уже класса 3 , но при этом является достаточно широким и содержит неограниченные функции. По крайней мере, может быть существенно шире того класса, который получится, если в определении абсолютно интегрируемой функции АВ-интеграл по

полувариации заменить АВ-интегралом по вариации меры. Даже в том случае, когда вариация конечна, счетно аддитивна и эквивалентна полувариации.

В § 3.2 в реферативной форме перечисляются все результаты из § 2.2 , которые приобретают общий и «-интегралы Бартла на классе Л . Особо отметим тот факт, что на всем классе £ для интеграла Бартла неверны принцип мажорирования и теорема Лебега о мажорантном предельном переходе под знаком интеграла в классической формулировке Сни при сходимости последовательностей функций по мере, ни при сходимости ш-почти всюду), а на классе Л они имеют место.

Отмеченная выше теорема Лебега о предельном переходе позволяет в § 3.3 усилить доказанную Духонем теорему Фубини о замене кратного интеграла Бартла повторным [4,т.83. Если от подинтег-ральной функции в 143 требовалась ограниченность, то теперь теорема Фубини становится верной для многих неограниченных абсолютно интегрируемых функций. Кроме того, существенно ослабляется одно из требований, накладываемых в С41 на меру-произведение.

Вместо билинейной системы СХД.г) рассматривается банахова алгебра X. Через Б и Т обозначаются произвольные непустые множества, через Ж и X - ог-алгебры подмножеств Б и Т, соответственно. Пусть меры v:%—► X и р: Ж—»X счетно аддитивны, а их X-полувариации V и р являются н. в.мерами.

Обычным образом определяется сг-алгебра 5! , порожденная алгеброй измеримых декартовых прямоугольников, и на ней вводится мера-произведение т = V х я . Его Х-полувариация т также является н. в. мерой.

Определение 7. Будем говорить, что мера ш = у х ¡л обладает 0-свойством С нуль-свойством), если из условий АеЯ и иСА)=0

следует существование такого множества F е Я, что £>СЮ=0, и для всех s е SnF будет Jj(As)=0 CAs - s-сечение множества А).

Определение 8. m-интегрируеыая функция g:S х Т—► R+ называется повторно АВ-интегрируемой, если ее s-сечение двШ АВ-интегрируемо по ? при любом seS, а функция p:s —» Лд8,Т,р) АВ-интегрируема по v .

Теорема 5. Пусть

У1) мера m обладает 0-свойством ;

У2) функция f : S х Т —► X m-измерима ;

УЗЗ существует такая АВ-интегрируемая по m и повторно АВ-ин-тегрируемая функция g: S х Т —► К+ , что II fil S g m-почти всюду. Тогда

Р1) функция f абсолютно и-интегрируема ;

P2D fsCU абсолютно fj-штегрируемы при у-почти всех sêS ;

РЗ) определится функция h:S —► X , равная Г f (t)dfi при

т s

и-почти всех seS Си произвольному хеХ для всех остальных s Э, которая абсолютно у-интегрируема ;

Р43 имеет место равенство

J fCs.Udm = J (J f (t)dnîdi;

SxT S T

Требование на меру-произведение иметь 0-свойство проще, чем соответствующее требование из [4,т. 8], но, тем не менее, оказывается чересчур жестким. Приведен пример, в котором для двух естественно определяемых мер 0-свойство не выполняется, однако утверждения Р1-Р4 теоремы 5 справедливы, и притом для неограниченной подинтегральной функции f. В связи с этим сформулирован еще один вариант теоремы Фубини, имеющий место для более широкого класса мер, нежели теорема 5 и [4,теорема 8].

Следует заметить, что билинейный интеграл Бартла до сих пор

исследован слабо, хот*, как отмечено в [9], он имеет большие перспективы в смысле приложений. Для общего интеграла по конечно аддитивной мере построенная здесь теория Lp-пространств не имеет аналогий. На наш взгляд, нет этой теории и для *-интегра-ла. Однако для него ряд теорем об Lp-пространствах С при 1<р<®) и различные варианты теоремы Фубини можно получить с соответствующими корректировками из контекста других интегралов. Например, интеграла Добракова по операторнозначной мере. Но они не будут сводиться к нашим теоремам ввиду существенной разницы в способах определения интегрируемой функции и нормировки элементов пространства Lp. Отличаться будут и условия, обеспечивающие утверждения теоремы Фубини.

Цитированная литература:

1. Алексюк В.Н. Функции множеств С учебное пособие]. - JI.: Лен. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена, 1982. - 77 с.

2. Bartle R.G. A general bilinear vector integral // Studia Math. - 1956.- 15, N2,- p. 337-352.

3. Danford N. A bilinear vector integral, I // Adv. Math.-1975. - 17, N 3. - p. 337-342.

4. Duchon M. Product of dominated vector measures // Math. Slov.- 1977.- 27, N 3.- p. 293-301.

5. Данфорд H., Шварц Дж. Линейные операторы (общая теория). -М. : ИЛ, 1962. - 895 с.

6. Choquet G. Theory of capacities //Ann. Inst. Fourier.- 1955.5, N 1.- p. 131-295.

7. Порошкин А.Г. К вопросу od интегрировании по векторной мере / Сыктывк. ун-т.- Сыктывкар, 1983,- 7с. - Деп. в ВИНИТИ 23.02.83 , N 952-83.

8. Попов В.А. Проблема управления векторной меры, принимающей значения в F-пространстве /Коми пед. ин-т.- Сыктывкар, 1984.-5с,- Деп. в ВИНИТИ 4.07.84, N 4691-84.

9. Diestel J., Uhl J.J. Vector measures // Math. Surveys, N 15.-Providence, 1977.-322 p.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Исаков В.Н. Предельный переход под знаком B-интеграла /Коми пед. ин-т.- Сыктывкар, 1979.- 22 е.- Деп. в ВИНИТИ 23.04.79, N 1456-79.

2. Алексюк В.Н., Исаков В.Н. Один новый подход к интегрированию по субмере /Коми пед. ин-т. - Сыктывкар, 1980.- 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.11.80, N 4980-80.

3. Алексюк В. Н., Исаков В. Н. Интегрирование по обобщенной субмере //Упорядоченные пространства и операторные уравнения.-Пермь, 1982.- с. 112-119.

4. Исаков В. Н. Од аксиоматическом интеграле по субмере и его приложении /Коми пед. ин-т,- Сыктывкар, 1981,- 21 е.- Деп. в ВИНИТИ 13.06.81, N 3472-81.

5. Исаков В.Н. Абсолютное интегрирование в теории билинейного векторного.интеграла Бартла /Кош пед. ин-т.- Сыктывкар, 1983.- 8с,- Деп. в ВИНИТИ 31.05.83, N 2917-83.

6. Исаков В.Н. Абсолютное интегрирование в теории билинейного векторного интеграла Бартла //Операторные уравнения и функции множеств.- Пермь, 1985.- с. 55-62.

Примечание: Из работ [2,3] в диссертацию вошла разработанная

совместно с В. Н.Алексюком схема аксиоматического определения

интегралов по обобщенным мерам Сем. § 1.2).