Исследование некоторых классов интегралов в пространствах C1 и C2 и их приложения к решению краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Савина Светлана Владимировна

Исследование некоторых классов интегралов в пространствах С и С2 и их приложения к решению краевых задач

01.01.01-вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

з ] ЯНВ 2013

Красноярск-2013

005048962

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете.

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

профессор Колягин Сергей Юрьевич

Официальные оппоненты: Лейнартас Евгений Константинович.

доктор физико-математических наук, доцент; Сибирский федеральный университет, кафедра теории функций, профессор;

Сафонов Константин Владимирович, доктор физико-математических наук, доцент; Сибирский государственный аэрокосмический университет им. акад. М.Ф. Решетнёва, кафедра прикладной математики, заведующий кафедрой.

Ведущая организация Факультет вычислительной математики

и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 22 февраля 2013 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ «Сибирский федеральный университет» по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

Автореферат разослан января 2013г.

Ученый секретарь у

диссертационного совета "/П^ Бушуева Наталья Александровна

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Важную роль в одномерном и многомерном комплексном анализе и их приложениях играют интегральные представления аналитических функций. Так, среди многомерных интегральных представлений наиболее известными являются формулы А. Вейля, Мартинелли-Бохнера, Коши-Фантаппье, Хенкина-Рамиреса (см.1).

Начало развития теории интегральных представлений в нашей стране было положено A.A. Темляковым в 1948 г. Им были установлены два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей, которые известны как интегральные представления Темлякова I и II родов.

Интегральные представления имеют различные теоретические и практические приложения, например при решении пространственных краевых задач Римана. В последние десятилетия описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей и математической физики, которые приводятся к краевой задаче Римана.

Дальнейшему развитию теории интегральных представлений способствовал разработанный И.И. Бавриным2'3 операторный метод, с помощью которого был решен ряд важных задач, в том числе получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши и обобщенные интегральные представления для случая п (и>2) комплексных переменных.

В случае одного комплексного переменного A.B. Гуляевым был рассмотрен обобщенный интеграл типа Коши и выявлен ряд свойств, которые существенно отличают его от интеграла типа Коши. A.B. Нелаевым5 были исследованы свойства обобщенных операторных аналогов интеграла типа Коши и обобщенного интеграла типа Коши, Х.П. Дзебисовым6 изучались

' Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1979. -368 с.

2 Баврин И.И. К интегральным представлениям голоморфных функций 11 Ученые записки МОПИ им. H.K. Крупской, 1967. - Т. 188. - С. 3-28.

3 Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. - M МПГУ им. В.И. Ленина, 1991. - 199 с.

4 Гуляев A.B. Некоторые свойства интегралов типа Кдши-Баврина // Математический анализ и теория функций. -М.: МОПИ им. II.K. Крупской, 1974. - Вып. - С. 51-62.

5 Нелаев A.B. Об обобщенном операторном аналоге интеграла типа Коши // Современные проблемы математического анализа. -Деп. ВИНИТИ 22.06.1987, №4489-В87. - С. 28-72.

6 Дзебисов Х.П. Интегральные представления и краевые задачи в многомерном комплексном анализе. - М.: Наука, 2005. - 256 с.

интегралы типа Копти специального вида. Однако вопрос о свойствах обобщенных интегралов типа Коши оставался не до конца исследованным.

В теории интегральных представлений функций многих комплексных переменных были получены различные аналоги формулы Коши одного комплексного переменного, например формулы А. Вейля, Мартинелли-Бохнера и Коши-Фантаппье7,8. Особое место среди них занимают интегральные представления Темлякова9 I и II рода, обладающие аналитическим ядром подынтегрального выражения, что позволяет при их изучении использовать теорию интеграла Коши одного комплексного переменного.

В теории интегральных представлений типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина значительную роль сыграли работы JI.A. Айзенберга10'11, который первым ввел понятие интегралов типа Темлякова и изучал их поведение в пространстве С2, И.И. Баврина12, получившего общие интегральные представления для случая п (п> 2) комплексных переменных, Г.Л. Луканкина1314, применившего математический аппарат интегралов типа Темлякова к постановке и решению многомерных краевых задач, В.И. Боганова15, рассматривавшего решение задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных, А.Т. Хвостова16, создавшего метод однородных линейных дифференциальных операторов для исследования интегралов типа Темлякова, A.B. Латышева17, исследовавшего поведение интегралов типа Темлякова-Баврина I рода 2 порядка, В.А. Гусакова18, первым рассмотревшего интегралы типа Темлякова-Баврина, образованные на основе одного класса интегральных представлений, входящего в общее интегральное

7 Кытманов А.М. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения, 2002. - Новосибирск: Наука - 240 с.

Хенкин Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундамент, направления». - М.: ВИНИТИ, 1985. -1.1. ~ С. 23-124.

Фукс Б.В. Введение в теорию аналтгических функций многих комплексных переменных. - М.: Физматгиз, 1962.

10 Айзенберг Л. А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций двух комплексных переменных // Докл. АН СССР, 1958. - Т. 120. - № 5. - С. 935-938.

11 Айзенберг Л.А. Интегральные представления функций, голоморфных в кратно-круговых областях // Докл. АН СССР, 1961.-Т. 138. -№ 1.-С. 9-12.

12 Баврин И.И. Операторы и интегральные представления. - М.: МПГУ им. В.И. Ленина, 1974. - 99 с. Луканхин Г.Л. О задачах линейного сопряжения функций двух комплексных переменных // Математический

анализ и теория функций.-М.: МОПИ им. Н.К.Крупской, 1973.-Вып. 1.-С. 10-24.

14 Луканкин Г.Л. Задачи линейного сопряжения в пространстве С2 // Многомерный комплексный анализ и его приложения. -М., 1991. - Деа в ВИНИТИ 29.12.1991, № 4899- В91. - С. 3-14.

Боганов В.И. Задачи линейного сопряжения функция класса (Г) двух комплексных переменных // Ученые записки МОПИ им. Н.К. Крупской - М., 1970.-Т. 269.-Вып. 14.-С. 49-53.

Хвостов А.Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова вне области аналитичности // Ученые записки МОПИ им. Н.К. Крупской. - Kl., 1967.-Т. 188.-С. 113-136.

17 Латышев A.B. Интегралы типа Темлякова - Баврина I рода 2-го порядка в случае гиперконуса // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1973. - Вып. 15(1). -С. 67-75.

'* Гусаков В.А. Некоторые свойства интегралов типа Темлякова - Баврина // Ученые записки МОПИ им. Н.К. Крупской, - М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1969. - Вып. 12. - С. 7-26.

4

представление Темлякова-Баврина, A.B. Нелаева19, впервые исследовавшего поведение интегралов типа Темлякова в пространстве С" (п>2) и интегралов типа Темлякова-Баврина к- го порядка (> L). С.Ю. Колягина20, рассматривавшего интегралы типа Темлякова-Баврина при определенных условиях, накладываемых на ядро, И.Н. Виноградовой21, изучавшей предельные значения интеграла типа Темлякова-Баврина в точках окружности особенностей и краевые задачи в одном классе функций, Х.П. Дзебисова6, исследовавшего пространственные краевые задачи сопряжения для специальных областей пространства С2. Тем не менее, вопрос о рассмотрении обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина оставался неизученным.

Цель диссертации. Целью диссертационной работы является исследование свойств некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа Коши, решение задач, связанных с их применением, исследование областей аналитичности и свойств некоторых обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина, решение краевых задач линейного сопряжения (однородной и неоднородной) в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории функций, метод линейных дифференциальных операторов.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Основные результаты диссертации:

1. В областях неаналитичности функций, представимых обобщенными интегралами типа Коши на комплексной плоскости С, получены разложение в обобщенные степенные ряды и формулы обобщенной производной.

2. Определены области аналитичности обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина в пространстве С2, найдены формулы для представления этих интегралов в областях аналитичности и неаналитичности.

3. В пространстве С2 предложена постановка и найдено решение краевых задач линейного сопряжения в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Установленные результаты имеют теоретическую значимость для теории интегральных представлений аналитических функций

19 Нелаев A.B. Об интегральных представлениях аналитических функций многих комплексных переменных, методе исследования и кваэианалнгическнх свойствах некоторых классов интегралов. - Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. -М., 1974,- 133 с.

20 Колягин С.Ю. Исследование свойств интегралов одного масса вне области аналитичности // Многомерный комплексный анализ и приложения. - Деп. ВИНИТИ 31.03.1995, № 885-В95. - С. 49-58.

31 Виноградова И.Н. О поведении интеграла типа Темлякова-Баврина в точках окружности особенностей // Ученые запискиМОГШим. Н.К. Крупской, 1969. -Т. 269. -Вып. 14.-С. 77-84.

5

одного и нескольких комплексных переменных, теории квазианалитических в смысле A.A. Темлякова функций. Практическая значимость состоит в том, что результаты работы могут быть использованы при решении пространственных краевых задач Римана (однородной и неоднородной задач линейного сопряжения).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, из них 3 в рецензируемых научных журналах. Все работы написаны без соавторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

• на 7-ой международной научно-практической конференции «Ключевые вопросы современной науки» (София, 2011г.);

• на научной конференции по итогам НИР Московского педагогического государственного университета (Москва, 2001г.);

• на научном семинаре по многомерному комплексному анализу Сибирского федерального университета (Красноярск, 2012г.);

• на научных семинарах кафедры математического анализа Московского педагогического государственного университета (Москва, 2001г., 2002г).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, включающих в себя 7 параграфов, и заключения. Список литературы содержит 85 наименований. Общий объем работы 136 страниц.

Содержание диссертации Во введении дается обзор полученных ранее результатов по рассматриваемым вопросам, раскрывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируются основные результаты, а также дается краткое изложение содержания диссертации.

В первой главе (§§1.1-1.3) введены в рассмотрение обобщенные операторные аналоги интеграла типа Коши на комплексной плоскости С и исследованы их свойства, а также найдены формулы обобщенной производной.

В §1.1 сформулированы и доказаны свойства функций ¡'(г), которые являются суммой двух интегралов:

геС, плотность (р{£) определена на окружности Г = : =1}. ог,,Д,а,, [3,, / — действительные числа, удовлетворяющие условиям 0<а,<Д<ог,</?д <1, у > 1. Установлены области аналитичности и неаналитичности функций Р(.

Кроме того, отмечены свойства функций, представимых в виде суммы п интегралов аналогичного вида.

В §1.1 также введены в рассмотрение и исследованы свойства функций

где плотность <р(£) определена на окружности Г = {£,-. \£\ = 1}, а ,р,5х,5г,у — действительные числа (0<а<1 для функций (2), 0</7< 1 для функций (3), О <а </5 <\ для функций (4)), у> 1. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1.3. Функции представленные интегралом (3), где

у> 1, О <Р<1, а плотность <р(^) определена на окружности Г = {£: |^| = 1} и удовлетворяет на ней условию Гёлъдера-Липшица с показателем V, О < V < 1, являются:

1) аналитическими в областях Е = {г е С: \г\ < 1} и Е2 = {: е С: |г| > ;

2) неаналитическими, вообще говоря, в области Е1 = {г е С: 1 < < ;

3) непрерывньши на всей комплексной плоскости С ;

4) обращающимися на бесконечности в нуль.

Замечание. Кроме того, функции Рр(г), представимые интегралом (3),

обладают следующими свойствами:

1°. В области Е1 функции 1гр{г), определяемые интегралом (3), можно

любое число раз «дифференцировать» обобщенной производной

О, —

дг г 82

Эта операция равносильна дифференцированию по г соответствующее число раз ядра интеграла:

где г2=р|, /7 < гг < 1 при г е Е1. В областях аналитичности Е и Е,

коэффициенты Ьп(т2) обращаются в обычные константы:

Ьп( 1)= ^ ^ /Зг+"),п = 0,\,2,..., а обобщенная производная равна (у + п)п\ 4 '

обычной производной: = — \тг™~1с1т [ ^ п = 1,2,3,-.

2°. Функции определяемые интегралом (3), всюду на комплексной

плоскости С связаны с соответствующим интегралом типа Коши следующим

соотношением:

уРр (2) + + = Г « " ,

1 г если |г=|<1,

если |гг|>1.

3°. Функции Рр{г), определяемые интегралом (3), в области неаналитичности удовлетворяют обобщенному уравнению Коши-Римана:

г----нг-—--НТ' + Ч—— = 0-

йг йг"

4°. Вещественная и мнимая части функции определяемой

интегралом (3), в области Е1 представляют собой обобщенно-сопряженные квазигармонические функции.

Введем операторные обозначения:

„ , „з д2 д2 „ , 1Л а д2 д2

дх дх дхду ду дхду ду

Условия

[Рх(и) = РДу),

в работе A.B. IГелаева22 названы обобщенными условиями Коши-Римана, а пара дважды непрерывно дифференцируемых функций и(х,у) и v(x,y), связанных между собой этими условиями — обобщенно-сопряженными функциями.

Уравнение х—(Дм) + ^~-(Ам) + (/ + 2)Ам = 0 (где А = + -дх ду дх ду

оператор Лапласа) в работе A.B. Нелаева23 названо обобщенным уравнением Лапласа, а удовлетворяющие ему трижды непрерывно дифференцируемые функции и(х,у) и v(x,y) - квазигармоническими функциями.

5°. Функции Fß(z), определяемые интегралом (3), удовлетворяют в области

г

dz

Е1 соотношению: -2 г |г|

Отмечено, что функции /^(г) и Г(г) = Еа(г) +Ер(2) обладают свойствами, аналогичными свойствам функций /^Дг), представимых интегралом (3).

В §1.2 рассмотрены несколько задач в различных областях комплексной плоскости С, связанных с применением обобщенных интегралов типа Коши.

Задача 1. Требуется найти в области В2 ={геС:Ы>—} решение

а

_ - , ,г ЭЛ-) ' л

уравнения: -2 г |г|--=— = <р

дг

(5)

если известна его правая часть - определенная на единичной окружности Г = {4 :|£| = 1} и удовлетворяющая на ней условию Гельдера-Липшица функция <Р(4) - У -действительное число, у> 1.

Решением является интеграл (2), имеющий своей плотностью функцию (р(£), стоящую в правой части (5).

Чтобы сформулировать следующую задачу, будем использовать

следующие обозначения: г = Ы, а = Ке.(р

( \ г \

,Ь = 1тр

Задача 2. Найти решение в области В2 ={геС:Ы>—} системы двух

а

дифференциальных уравнений

21 Неласв A.B. Об одном классе квазианалитических функций // Матем. анализ и теория функций. - M.: МОПИ

им U.K. Крупской , 1974. - Вып. 3. - С. 117-124.

23 Нелаев A.B. Об обобщенном операторном аналоге интеграла типа Коши // Современные проблемы математического анализа. - Деп. ВИНИТИ 22.06.1987, № 4489-В87. - С. 28-72.

9

дх * (б)

ду дх

правые части которых известны (т.е. известны функции а = и

Ь = 1т (р(^)), у - действительное число, у> 1.

Решением системы (6) являются вещественная и мнимая части интеграла (2), имеющего плотностью функцию <р(вещественная часть которой совпадает с а, мнимая с Ь: /\(х,у) -и(х,у) = ,/2(х,у) = у(х,у) = 1т/],(г).

Задача 3. Найти в области В, ={геС:|г|>—} решение системы двух

а

дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка: где

^ дг2 дг) \дгЗв г дЬ

г к в - полярные координаты: х = гсо50, у , у - действительное число,

у> 1. Решением системы (7) являются вещественная и мнимая части интеграла (2), содержащего ту же самую константу у, которая входит в систему (7), т.е.

Задача 4. Найти в области В, = {г в С :Ы > —} решение

а

дифференциального уравнения с частными производными третьего порядка

д

а2/(г^) 11 э/м) + 1 д2Дг,в)

Гдг+Г + 2){ дг2 г дг 'г2 дв2 Решением уравнения являются вещественные функции и = Кс (г) и

В §1.3 изучается вопрос о представимости интегралов (2) и (3) в виде обобщенных степенных рядов.

ю

Теорема 1.3.1. Пусть плотность ср{:) в интеграле (2) аналитична в круге

Ы< —+ £•, где г>0. Тогда в области Д ={;геС:|-|>—} функция Р (г), а ~ а "

представгшая интегралом (2), разлагается в равномерно и абсолютно

сходящийся обобщенный степенной ряд !'],(-) = , где

||=0

(у + п)п\

который можно любое число раз «дифференцировать» обобщенной д 2 д

производной £>_ ------- аналогично правилу дифференцирования по г

дг г дг

обычных степенных рядов:

ДЛ^О)] = ¿«(я - 0-(и - к + 1)Ь„(г1)г"~к,к = 1,2,3,...

Здесь г, = |—|, условие 0<т1<а согласуется с тем, что гВВ2.

«Коэффициенты» ряда (8) - функции Ьп(т,) являются квазиконстантами

д 2 д 1

оператора В2 =--—--. В области В, ={~е€:Ы< —} они обращаются в

дг г дг а

обычные константы: Ьп(а) = ® ^ » = 0,1,2,...

(у + п)п\

Теорема 1.3.2. Пусть плотность (р{~) в интеграле (3) аналитична в круге |г| < + £, где £>0. Тогда в области Е1 ={геС:1<|г|<-^} функция /^(г), представимая интегралом (3), разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся обобщенный степенной ряд /"),(-) = ^Ьп(т2)г" , где

л=0

^= Т^ГГТ-■= '°'1'2"---

(у + п)п\ 4 '

который можно любое число раз «дифференцировать» обобщенной

производной О, = — — — • аналогично правилу дифференцирования по г дг х дг

обычных степенных рядов:

!>,(*)] = - !)•••(« - к +1 )Ъ„(тг)г"-к,к = 1,2,3,... 11

Здесь, как и выше г2=|~|' £ < т2 < 1 при ге Е,. В областях

аналитичности Е и Е2 коэффициенты Ь„(т2) обращаются в обычные

константы: Л (1) = ■ (1 - /Г"), п = 0,1,2,...

(/ + «)«! 4 '

Во второй главе (§§2.1-2.4) диссертации исследуются обобщенные интегралы типа Темлякова-Баврина.

В §2.1 приводятся некоторые известные результаты об интегралах типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина.

В §2.2 рассмотрены функции, представимые следующими интегралами в

пространстве С2:

\dr)s^ds\dt J /ffd^ (9)

4Tih { i i (ßAA)

f№=TT. \dr\^ds]dt J (10)

i jj о (SAA)

f№-rr. \dr\e'-^\dt j -d£, (11)

4Л"' l а I \L£~U (£AA)

ÜH

1 \dr\^ds\dt\- * ^

0 ß 0 |i]=!'

- _ <p (r,t,_£L

0 ä 0 |fj-l ^

где u(E,övS1) = e6'w + eS2ze", <p{r,t,£) - определенная на границе гиперконуса £> = {(w,z):|iv|+|z|<l} функция, a,ß,5x,82>Y ~ действительные числа (0<а<1 для функций (9), 0</?<1 для функций (10), 0<а</?<1 для функций (11)), у >1, Sx > 0, Зг > 0.

Данные интегралы будем называть обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.

Для указанных функций найдены области аналитичности и неаналитичности, а также формулы для вычисления функций в этих областях при условиях <У, = S2 = 1 и = 0, S2 = 1.

Определение 2.4. Говорят, что функция <p(r,t,^) принадлежит классу ¡л (<p{r,t,%)<E ß), если <p(r,t,£) определена и непрерывна по совокупности аргументов на множестве М = {(г,/,£): 0<г< 1, 0 </ < 2я, |£| = 1},

является периодической относительно аргумента I с периодом 2л и удовлетворяет условию Гелъдера-Липшица по £;

\<p{rM)-<p(j,t,^) |<* |i-f0r>

где Я е (0,1], константа К>0, причем К и Л не зависят от г и t. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть <р(т,Г,д) е ¡л и <5,=<52=1. Тогда функции /в(и>,г), определяемые интегралом (9), являются аналитическими в области

£>0={(1с,7): |ц/|+|г|<— } и не являются аналитическими, вообще говоря, в области С2 \£>„.

Теорема 2.2.3. Пусть ср{т,1,д)ец и <5, =5г=\. Тогда функции /р(м>,г), определяемые интегралом (10), являются аналитическими в областях

В = {(п,г): Н + И<1 }.£,={ (IV,г): }> Кг = { Ом): |2|-|и>|Д}, и не

являются аналитическими, вообще говоря, в области С

Теорема 2.2.5. Пусть <р(Т^,д)е]и и 31 = 32=1. Тогда функции /,/и>,г), определяемые интегралом (И), являются аналитическими в областях

МоИО^Н + Н^' 'Ц={(и',г):|и'|-|г|>^}, Щ = {(и-.г):^-^ Д} и не

являются аналитическими, вообще говоря, в области С \(Л/0 иМ,иМг).

Аналогичные теоремы доказаны и для функций (и<,г), /р{м>,2) и /„„(и',2), определяемых интегралами (9), (10) и (11) при условиях <5, =0,5г =1.

В §2.2 установлена формула дифференциальной связи интегралов типа Темлякова I рода

/V ч 1 Ь ^ЬНир

47Г 1 о о |£Н Ь и

Г 1-г

(где <р( г,г,£)е//, + = = — , ф) -

произвольная, определенная на отрезке [0,1], непрерывно дифференцируемая в интервале (0,1], неотрицательная непрерывная функция, удовлетворяющая

условиям: г.(0)=0,0</-'(г-)<^М, г2(г) = Д ехр -¡т^ 1пг,(г) , г2(1) = 0,

г о1_г

константа Я > О) и интегралов

4л > I I о (£ЛА)

где и{е,51,5г) = с{т)£^+11(т)ег'г е", <р(т,^) ^М, ос,Р - действительные числа, <A<CC<P<1:

АгЛА)= .

Установлена дифференциальная связь между интегралами типа Темлякова I рода и интегралами /a(w,z) и fß(\v,z): llrA д, [/„ О.z)] = a' f(as> w, aSlz),

W> = /м - ßrftß*'w' ß*'z) ■

В §2.3 исследуется поведение функций faß(w,z) в случае единичного

гиперконуса на множестве бесконечно удаленных точек пространства С2.

В §2.4 в случае единичного гиперконуса решены некоторые краевые задачи (однородная и неоднородная задачи линейного сопряжения) в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина. Введем обозначения:

N0 = {(w,z):a\z\ +|и>|<1}, N, = {(w,z):|w|-a\z\> 1},

N2 ={(w,r):a|z|-jv^>l,|w|<l},

Nj ={ (w,z): ar]z|-|w|<l , cr|z| + |iv|>l,|w|<l },

Ar4={(w,z):|a|z|->J<1, H>U-

Определение 2.6. Функцию flyv,i), заданную во всех точках пространства С2, кроме точек окружности особенностей В = {(w,z): iv = <f0, z = 0, |£0| = 1}, назовем функцией класса (Та), т.е. f(\v,z)e(Ta), если:

а) функция f(w,z) непрерывна в пространстве С2, за исключением множества точек окружности особенностей В, аполитична в областях N0,

А'", и не является аналитической, вообще говоря, в области С3 \ (iV0 uJV,);

б) функция f(w,z) имеет конечные пределы в точках окружности особенностей (wo,0) е В, если стремление точки (w,z) происходит из области N0 или Nt и имеет предельные значения по двумерным поверхностям

<TU = {(w, z): |z| = fc(|w| -1), arg w - arg z = /, (w0, z) e B, argO = argw0-l, |А:|<°о,0</<2;т}, если стремление точки (w,~) к точке (vr0,O)еВ происходит из области N3 шиЫА.

Определение 2.7. Пусть L - гладкий замкнутый контур и G(t) - заданная на нем непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, тогда индексом функции G(t) по контуру L называется разделенное на 2л приращение ее аргумента при обходе контура L в положительном направлении:

9 = IndG{t) = ±-[axgG{t)}L.

В пространстве С2 рассмотрен интеграл i

где

,£)dr, а функция <р(г,Г,£) - определена на границе

о

гиперконуса D = {(w,z):|w| + |z|<l}, ф(т,1,£)е//, м(е) = w + sze", а,у -действительные числа, 0<а<1,у>1.

ЧЧ2- 2

Обозначим ^ = arceos —L-L-¡— . 1 , а = arg w - argz,

<jk , = {(w, z): |z| = k<\w\ -1), arg w - arg z = / , (w0, z) e B,

argO = argu>0 -/, |£|<от,0</<2тг}

- двумерные поверхности, проходящие через точки окружности особенностей В из области Л'3 (если к>1) или из области Л'4 (если к<-1),

/= lim tu lim^ ,и0=ы|„«0 =e'arg",°.

(n>.7)-KiV(„0)e.B (»',z)->(w,,,0)eB z=0

Определение 2.8. Интеграл f имеет равностепенно абсолютно

£-«(£)

непрерывные двойные интегралы по s и / (0<f<a,0<í<2тг), если для любого г,>0 существует такое <5>0, что для любых измеримых множеств е, б E¡ = {0 < £■ < а} и е2&Е2={0<1< 2тс), таких, что //е, <5 и ре2 < S выполняется (см. работу Б.З. Вулиха24):

\dp\dp J

dÇ < £■, для всех (ic,z) е С .

В определении речь идет о семействе функций i//*(t,u) = f l'U dÇ,

V(t,u)

когда ¡«(f)| < 1 и v~(t,u) (определяется той же самой формулой, когда |м(е)| >1).

Теорема 2.4.2. Пусть функция такова, что интеграл f dÇ

имеет равностепенно абсолютно непрерывные двойные интегралы по s и t (Q<£<a,Q<t<2n) для всех (w,z)e<C2 и особый интеграл

24 Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). 1973. -352с.)

_[_ Г V((■>%) ^ (при [¡¡(^)| = 1) существует на окружности особенностей

В = {(ту, г): 1^ = ^,2 = 0, |^0| = 1}, тогда функция определяемая

интегралом (12) при <5, = О, <5П = 1, почти всюду на В имеет предельные значения, определяемые по формулам:

АТГIV * .■'Л — и. Атгу'.

к

| 0 6 "о чл о о

I от г0+1

+— | егАс1£ $

1 4

где = \\т/а(у>,7),V,= 1.'т/„(№;г). =

/а(4)(и',г) = Ит/а(и',г).

(».г^Ко.О)^ (».г)-К»„.0)еЯ (и\г)-»(»,,.0)еЯ

(л',г}еЛг1 (»',г)еЛГ3

Найдено решение неоднородной задачи линейного сопряжения.

Пусть в пространстве С2 задана область = <1}. Требуется

найти функцию /(и',-) класса (Та), исчезающую на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек, удовлетворяющих в точках окружности особенностей В краевому условию /(0Ч£о>0) = С(£,)/(,)(6,,0)+#(£„), где (4,0)еВ, /(0)(4,0) = 1ип/(м-,2),/(1)(й,0) = 1ш/(м',2)> функции и

заданы на окружности особенностей В и удовлетворяют условию Гельдера-Липшица с показателем к(0<V< 1), причем т.е. не обращается в

нуль на окружности особенностей В.

Решением неоднородной задачи являются функции, представимые интегралом (12), причем, если 9~ 1псЮ(£й)>0, то

16

2m x (Î)

Г ег(">,если|М|<1, 1 fln[r'G(i)] v+/4 ,

x(") = i -, rw I , Ди) = — I -^-z--±dÇ\X*(u)=eT

[m e если |«|>1, 2/77 |,'И

'Iii

Рз-\(и) ' полином степени не выше 5-1 с произвольными комплексными коэффициентами, а, у - действительные числа, 0<а<\,у>Л, u = w + eze", функция m{(t,4) - непрерывная по / (0 < Г < 2л), удовлетворяющая по с, условию Гельдера-Липшица с показателем v(0<y<l), независимому от t и

1гг

являющаяся решением уравнения J¿а,(/,£)*//= 0; если ,9 = JndG(£0)<0, то

о

Ini^ Х+(£) Z-U Найдено решение однородной задачи линейного сопряжения. Пусть в пространстве С2 задана область Z) = {(w,z):|w| + Jz|<l}. Требуется найти функцию f(w,z) класса {Та), исчезающую на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек, удовлетворяющих в точках окружности

.J. \ fWi

Г^НР П\ = lim Ли, тЛ f(VU

особенностей В краевому условию /(°Ч£о>°) = с(£о)/а)(£о>0)' (i0,0)e ß,

/ (¿о'О) = Iim/(w,z), / (£о,0) = lim/(w,z), функция G(<f0) задана на

<w,l)-Kfu,0)ea (*,i)-.(f„,0)eB

окружности особенностей S и удовлетворяет условию Гельдера-Липшица с показателем v(0<v<l), т.е. не обращается в нуль на окружности

особенностей В и 9 = ]ndG(J;0)> 0.

Решением поставленной краевой задачи являются функции, представимые

интегралом (12), где I 2 + Х(»)Р^,(м).

2л:i X (<f) £-и

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Сергею Юрьевичу Колягину за постановку задачи и руководство диссертационной работой.

Публикации по теме диссертации 1. Савина C.B. О функциях, представимых интегралами одного класса // Научные труды МПГУ. Серия: естественные науки: Сборник статей. — М: Прометей, 2001. - С. 64-65.

2. Савина C.B. Исследование аналитичности интегралов одного класса в пространстве С2. - Деп. ВИНИТИ 17.06.2002, № 1115-В, 2002. - 13 с.

3. Савина C.B. Об аналитичности интегралов некоторых классов в пространстве С2 // Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания: Юбилейный сборник статей, посвященный 130-летию МПГУ. - М.: Прометей, 2003. - С. 102-104.

4. Савина C.B. Поведение обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина в точках окружностей особенностей // Технические и естественные науки: проблемы, теория, эксперимент: Межвузовский сборник научных трудов. - Вып 3. - Саранск: Мордовский гос. ун-т, 2004. — С. 48-51.

5. Савина C.B. О некоторых применениях обобщенных интегралов типа Коши-Баврина // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. — 2009. — Т. 42(1). — С. 152-157.

6. Савина C.B. Решение краевых задач в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. -2009. - Т. 42(1). -С. 158-163.

7. Савина C.B. Разложение интегралов некоторых классов в обобщенные степенные ряды II Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика. —2011. — Т. 4. - Xsl. —С. 123-127.

8. Савина C.B. Поведение интегралов одного класса на множестве бесконечно удаленных точек пространства С2 // Ключевые вопросы современной науки. Том 36. Математика. Физика. Материалы 7-ой международной научно-практической конференции. — София: Бял ГРАД-БГ, 2011.-С. 31-33.

Подписано в печать:

26.12.2012

Заказ № 8026 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ТИПА КОШИ.

§1.1. Об областях аналитичности и других свойствах некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа

Коши.

§1.2. О некоторых применениях обобщенных интегралов типа Коши.

§1.3. Разложение интегралов некоторых классов в обобщенностепенные ряды.

Глава II. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ТЕМЛЯКОВА

БАВРИНА И НЕКОТОРЫЕ ИХ СВОЙСТВА.

§2.1. Интегралы типа Темлякова-Баврина и их основные свойства.

§2.2. Исследование аналитичности интегралов некоторых классов в пространстве С2 и их свойства.

§2.3. О поведении интегралов одного класса на множестве бесконечно удаленных точек пространства С

§2.4. Постановка и решение краевых задач в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.

Важную роль в одномерном и многомерном комплексном анализе и их приложениях играют интегральные представления аналитических функций. Интегральные представления аналитических функций одного и многих комплексных переменных исследуются в работах JI.A. Айзенберга, И.И. Баврина, В.И. Боганова, A.B. Латышева, Г.Л. Луканкина и других авторов и имеют различные теоретические и практические приложения, например при решении пространственных краевых задач Римана. В последние десятилетия описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей и математической физики, которые приводятся к краевой задаче Римана.

Начало теории интегральных представлений в нашей стране было положено A.A. Темляковым в 1948 году. Им были установлены два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей, которые известны как интегральные представления Темлякова I и II родов.

Дальнейшему развитию теории интегральных представлений способствовал разработанный И.И. Бавриным [9; 12] операторный метод, с помощью которого был решен ряд важных задач, в том числе получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши и обобщенные интегральные представления для случая п (п> 2) комплексных переменных.

На основе интегрального представления, полученного И.И. Бавриным

13]:

0.1) где и = rz + (l — r)zt

О ' геС, <7 - произвольная выпуклая область пространства С, для которой справедлива интегральная формула Коши, Г — ее граница,/^ - произвольная функция, аналитическая в С и непрерывно дифференцируемая в замыкании Ст, — произвольная фиксированная точка из С, т - вещественный параметр, определенный на отрезке [0;1], у — произвольное действительное число, у > 0, оператор Ьу 2о имеет вид

A.B. Гуляевым в работе [29] был введен в рассмотрение обобщенный интеграл типа Коши: где ср{£) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г = {¿;: |£| = 1},. удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем v(0<v<l) функция.

A.B. Гуляевым [29] было доказано, что исследуемые интегралы обладают рядом свойств, которые существенно отличают их от интегралов типа Коши. Они являются непрерывными на всей комплексной плоскости, аналитическими в области D = {z е С: |z| < 1} и не являются аналитическими, вообще говоря, в области D~ - {z е С:\z\ > 1}. С помощью линейных дифференциальных операторов A.B. Гуляевым [29] установлена связь этих интегралов с интегралом типа Коши, с его плотностью, а также решены некоторые дифференциальные уравнения в частных производных.

Одновременно с A.B. Гуляевым в работе [65] A.B. Нелаевым был введен в рассмотрение интеграл более общей природы ijnz)] = yf(z) + (z-z0)¥^где (р(сf) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г = {%: Щ = 1}, удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем v(0 < v < 1) функция, 5, у — произвольные действительные числа, 5 > 0,у> 1.

В исследовании A.B. Нелаева [65] было доказано, что функции, представимые данным интегралом, являются непрерывными на всей комплексной плоскости, аналитическими в области D = {z е €: |z| < 1} и не являются аналитическими, вообще говоря, в области D~ = {z е С: |z| > 1}. Им выявлен ряд специфических свойств, которыми обладает рассматриваемый интеграл в области D~, в частности, с помощью операторного метода, предложенного А.Т. Хвостовым [75; 76], найдена обобщенная производная интеграла и его разложение в равномерно сходящийся обобщенный степенной ряд.

В работе Х.П. Дзебисова [33] был рассмотрен интеграл вида где (р(^) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г={<%: |£| = 1} функция, а,/3,у — действительные числа, удовлетворяющие условиям 0 <а < ¡3 <\,у>\. При |гг| = 1 внутренний интеграл понимается как особый (сингулярный) в смысле главного значения по Коши. Его существование гарантируется выполнимостью для плотности ср(%) условия Гельдера-Липшица.

Позднее в работах [15; 35; 66] на плотность (р(д) ограничения были усилены, она стала определяться как произвольная, заданная на окружности Г функция, удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем у(0<у<1), а,/3,у - действительные числа, удовлетворяющие условиям 0<а<< 1, ^>0.

0.2)

A.B. Нелаевым [59-61; 64] и его учениками [23; 35; 36; 47] были рассмотрены и другие операторные обобщения интеграла типа Коши. Однако вопрос о свойствах обобщенных операторных интегралов типа Коши оставался не до конца исследованным.

В теории интегральных представлений функций многих комплексных переменных были получены различные аналоги формулы Коши одного комплексного переменного, например, формулы Мартинелли-Бохнера,

A. Вейля и др. [22; 57; 58; 67; 74]. Особое место среди них занимают интегральные представления в выпуклых двоякокруговых областях, полученные в 1954 году отечественным математиком A.A. Темляковым [6873], которые впоследствии были названы интегральными представлениями Темлякова I и II рода [37; 74].

Интегралы типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина изучались JI.A. Айзебергом [1-6], И.И. Бавриным [7-14], Г.Л. Луканкиным [50-56],

B.И. Богановым [16-21], А.Т. Хвостовым [75-77], A.B. Латышевым [48; 49], В.А. Гусаковым [30-32], A.B. Нелаевым [59; 62; 63], С.Ю. Колягиным [39— 46], И.Н. Виноградовой [24-26] и др.

С помощью разработанного И.И. Бавриным [12; 13] операторного метода интегральные представления Темлякова были распространены им на случай п (п> 2) комплексных переменных и получены общие интегральные представления, которые сохранили тесную связь с интегралом Коши одного комплексного переменного.

Л.А. Айзенберг исследовал граничные свойства интегралов типа Темлякова [2; 4; 5] и поведение этих интегралов вне области аналитичности, а также ряд других вопросов. Г.Л. Луканкин [50-54] рассматривал поведение интегралов типа Темлякова I рода в точках остова области D типа А, решил ряд краевых задач типа задач линейного сопряжения, исследовал условия представимости функции вне области аналитичности интегралом типа Темлякова [55; 56]. Работы В.И. Боганова [16-21] посвящены вопросам исследования предельных значений интеграла типа Темлякова I рода в точках окружностей особенностей, им же были получены достаточные условия существования "подвижных" областей аналитичности данного интеграла, а также решены краевые задачи в некотором классе функций. А.Т. Хвостов [75-77] исследовал поведение интегралов типа Темлякова методом линейных дифференциальных операторов, в частности им были получены обобщенные условия Коши-Римана для интегралов типа Темлякова I рода [76].

В.А. Гусаков [30; 32] первым начал исследовать интегралы типа Темлякова-Баврина, образованные на основе одного класса интегральных представлений, входящего в общее интегральное представление Темлякова-Баврина. Им была установлена операторная связь между интегралами типа Темлякова I рода и типа Темлякова-Баврина I рода [31].

A.B. Латышев [48; 49] исследовал поведение интегралов типа Темлякова-Баврина I рода 2 порядка. A.B. Нелаевым [59; 62; 63] изучались интегралы типа Темлякова-Баврина в кратнокруговых областях. С.Ю. Колягиным [39^6] рассматривались интегралы типа Темлякова-Баврина при определенных условиях, накладываемых на ядро. И.Н. Виноградовой [24—26] изучались предельные значения интеграла типа Темлякова-Баврина в точках окружности особенностей и был решен ряд краевых задач в одном классе функций, Х.П. Дзебисовым [33] исследовались пространственные краевые задачи сопряжения для специальных областей пространства С2. Тем не менее, вопрос о рассмотрении обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина оставался неизученным.

В настоящей диссертации впервые рассматриваются некоторые обобщенные интегралы типа Коши и обобщенные интегралы типа Темлякова-Баврина.

Целью диссертационной работы является исследование областей аналитичности и свойств некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа Коши, решение задач, связанных с их применением, исследование областей аналитичности и свойств некоторых обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина, решение краевых задач линейного сопряжения (однородной и неоднородной) в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.

В работе используются методы математического анализа и теории функций, метод линейных дифференциальных операторов.

Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, включающих в себя 7 параграфов и заключения. Список литературы содержит 85 наименований. Общий объем работы 136 страниц.

Заключение

Целью диссертационной работы являлось исследование обобщенных интегралов типа Коши и обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина, решение задач, связанных с их применением.

Исходя из поставленной цели были получены следующие результаты:

1. В областях неаналитичности для некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа Коши на комплексной плоскости С, получены формулы обобщенной производной, разложение в обобщенные степенные ряды, а также найдено решение задач, связанных с применением обобщенных интегралов типа Коши.

2. Определены области аналитичности обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина в пространстве С2, найдены формулы для представления этих интегралов в областях аналитичности и неаналитичности и формулы дифференциальной связи обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина с интегралом типа Темлякова I рода.

3. Предложена постановка и найдено решение краевых задач линейного сопряжения в пространстве С2 в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.