Композиционно-треугольные функции множества тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Определение композиционно-треугольных функций множества. Равностепенно непрерывные свойства функций множества.

§1. Обозначения и предварительные сведения.

§2. Определения и примеры композиционно-треугольных функций множества.

§3. Различные формы непрерывности СГ -квазитреугольных и У -композиционно-треугольных функций множества на кольце и соотношения между ними.

§4. Различные формы непрерывности (э -квазитреугольных и J- -композиционно-треугольных функций множества на <о -кольце множеств.

Глава П. Продолжение композиционно-треугольных функций множества.

§5. Продолжение J- -композиционной субмеры.

§6. Продолжение / -субмеры.

§7. Продолжение / -композиционно квазилшшшцевой функции множества.

Глава Ш. Некоторые свойства композиционно-треугольных функций множества.

§8. К вопросу о равномерной ограниченности семейства функций множества.

§9. Свойство равномерной ограниченности семейства слабо регулярных / -композиционно-треугольных функций множества.

§10. Условия равностепенной непрерывности и компактности семейства регулярных £ -композиционно-треугольных функций множества.

§11. Разложение Лебега - Риккарта равномерно U -непрерывной функции множества.

§12 * Свойство Дарбу для одного класса функций множества.

Классическая теория меры, как учение об аддитивных функциях множества, в последние годы значительно разрослась,-проникнув в различные области математики, такие как, например, функциональный -анализ, теорию вероятностей, эргодичесную и спектральную теории, гармонический анализ, топологическую алгебру, теорию игр, теорию рынков, теорию потенциала, теорию управления и другие, Во многом такому своему проникновению теория меры обязана неадцитивным функциям множества, интенсивное изучение которых началось сравнительно недавно. Но уже сейчас ясно, что неадцитив-ные.функции множества важны и как самостоятельный объект изучения. Они нашли себе непосредственное применение в различных областях математики (см. [20] , |4l] , |4о]), и с успехом применяются в самой теории меры, как "рабочий инструмент" исследования. аддитивных, функций множества (см. [9], [12], [24] , [2б] , [34] , ) и др.

Учитывая это, в диссертации основное внимание уделено изучению неаддитивных функций множества. Большая часть работы по -священа изучению свойств композиционно-треугольных функций множества, являющихся логическим завершением предложенных и изученных ранее Арешкиным Г.Я., Алексюком В.Н., Климкиным В.М., Гу -сельниковым Н.С. и другими треугольных и . Jf -треугольных функ

Актуальность темы.

Неадцитивные функции множества (внутренние и внешние меры, полувариация, супремация и другие) возникли в рамках самой теоций множества (см. [з], рии меры. В последнее время большую стимулирующую роль в исследовании неаддитивных функций множества играют такие направления, как теория потенциала (тонкие характеристики малости множеств), исследования по бесконечным кооперативным играм, различным принципам оптимальности, теория экстремальных задач.

Детальное исследование некоторых.классов не аддитивных функций множества было проведено ранее Г.Шоке.(ёмкости), В.Н.Алек-сюком .(квазимеры), ИДобраковым (субмеры), Н.С.Гусельниковым ( Jf -треугольные функции.множества). Одним из важных, свойств .неаддитивной функции множества яв~ . ляется свойство "треугольности" или более,общее свойство. "Л^-тре-утольности", введённые Г.Я.Арешкиным, В.Н.Алексюком, Н.С.Гусельниковым. Однако класс Ж -треугольных функций множества, являясь достаточно широким, всё же оставляет в стороне многие важные с теоретической и прикладной точек, зрения функции множества, например, натуральную степень. аддитивной меры и многие друтие. . Необходимость изучения неаддитивных функций множества с позиций " треутольности1' вызвана также и тем, что некоторые ре -зультаты классической теории.меры обобщаются на такие классы не-адцитивных функций множества, при этом часто открывается сущность и взаимосвязь изучаемых, свойств, многие из которых не являются следствием аддитивности. А это позволяет в области аддитивных функций множества получать либо новые и более простые доказательства известных ранее утверждений, либо новые результаты.

Рассмотрение классов функций более широких, чем классы счетно-аддитивных и конечно-аддитивных мер, в некоторых случаях позволяет выделить новые понятия, наиболее характерно отражающие суть явлений в данном кругу вопросов и включающие в себя, как

- 6 частные случаи, ранее введённые понятия.

За последние два-три десятилетия во многих работах неаддитивные функции множества являются уже самостоятельным объектом изучения.

Научная новизна. Одной из главных задач на пути развития неадцитивных функций множества является выделение таких классов функций множества, которые, обладая некоторыми свойствами аддитивных функций множества, были бы существенно шире класса аддитивных функций множества. Рассмотрение таких классов функций множества дозволяет находить единые методы . исследований аддитивных и неаддитивных функций множества, обнаруживает глубокие связи аддитивных и неаддитивных функций множества такого класса. .

Руководствуясь этой идеей, ранее были введены понятия внешней меры [6l] , квазимеры [ю] ,. треугольной функции множества [з] ., полумеры [54] , квазилипшицевой [22]. У -треугольной [4] функций множества; . В диссертации вводятся понятия- / -композиционно-треугольной, J- -треугольной, U. -равномерно непрерывной, J- -композиционно квазилипшицевой функций, множества. Все эти классы функций множества включают в себя класс аддитивных , функций множества и обладают многими свойствами, присущему классу аддитивных функций множества, но существенно шире их. Важно и то, что класс / -композиционно-треугольных функций существенно. шире изученного ранее класса Ж -треугольных функций множества. Так, например, всякий многочлен Pyi ( А ) со знакопостоянными коэффициентами от аддитивной меры \ является J- -композиционно-треугольной функцией, но не является JC -треугольной.

Введены новые понятия zf -композиционно-счетной полуаддитивности, <э -квазитреугольности и ряд понятий, связанных с ними. Отметим, что понятие <э -квазитреугольности, являясь обобщением понятий счетной полуаддитивности, счетной Jf -полуаддитивности, -композиционно-счетной полуаддитивности; свойств Jf и очень удобно при доказательствах.

Рассмотрен вопрос о продолжении с кольца множеств до некоторого . в' -кольца функции множества, не являющейся непрерывной в порождаемой ею топологии. Кроме того доказана теорема о существовании и единственности продолжения . -субмеры, а также обобщена теорема Н.С.Гусельникова о продолжении квазилипши-цевой функции множества.

Доказана невозможность.обобщения теоремы. Никодима о равномерной ограниченности семейства функций множества на случай, когда областью определения функций является не (э -кольцо, а класс множеств, замкнутый относительно счетных объединений. Наряду с этим, теорема Никодима обобщена на класс -композиционно-треугольных функций множества, каждая из которых спектрально

К -ограничена. . Обобщены классические теоремы Дьедонне, Никодима, Лебега,

Дарбу.---------- -. Практическая значимость. Результаты исследования свойств неадцитивных функций множества применяются в работе при изучении аддитивных и счетно-аддитивных функций множества. Они могут быть также использованы и.при дальнейшем исследовании функций множества. Результаты диссертации могут найти применение в теории функций, математической экономике, теории игр, теории вероятностей и других областях математики, в которых применяются методы теории функций множества.

Методика исследований. В работе использованы классические методы исследования функций множества.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 1У, У, У1 научно-технических конференциях факультета математических знаний Куйбышевского политехнического института (1979, 1980,-1981); на I конференции по теории меры (Новоси -бирск, 1981); на Ш конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока.(Новосибирск, 1983); на ХХХУ1 Герценовских чтениях (Ленинград, 1983); на семинаре кафедры теории функций Уральского государственного университета (Свердловск, 1983); на объединенном семинаре кафедр математического анализа и теории-функций Уральского государственного университета (Свердловск, 1984 );на объединенном семинаре математических кафедр Саратовского государственного университета (Саратов, 1984).

Диссертационная работа состоит из. трех глав. Содержание диссертации по главам следующее. в §1 главы I приводятся понятия и факты, используемые на протяжении всей диссертации»

В §2 даются, определения композиционно-треугольных функций множества: £ -композиционно-треугольной, zf- -треугольной, J- -композиционно-квазилипшицевой. Здесь же приводятся примеры композиционно-треугольных функций множества и показывается, что класс $ -композиционно-треугольных функций множества включает в себя класс -треугольных функций множества, а последний содержит классы Ж -треугольных, - J1 -композиционно-квазилип-пшцевых функций множества, а, следовательно, и классы векторных мер, векторных аддитивных функций множества, конечных полумер, внешних мер;

В §3 изучаются взаимосвязи между различными формами непрерывности: равностепенной слабой непрерывностью (РСН), равностепенной непрерывностью (РН), равномерным отсутствием ускользающей нагрузки (РОУН) семейств композиционно-треугольных функций множества. С этой целью вводятся понятия f -композиционной счетной полуаддитивности и свойства функции множества, а также понятия <э -квазитреугольной функции множества и равномерно (э -квазитреугольного семейства функций множества. Основным результатом этого параграфа является ТЕОРЕМА 1.3.4. Для равномерно & -квазитреугольного се -мейства функций множества : R — (. G. , И • О ), «с * У , заданных на кольце R. , справедливы импликации ul} : ЛЖ) < > (РОУН) (РСН)^ ^

Дс) : ^(РН) < .> (РОУН) (РСНК. . * .

Эта теорема показывает важность понятия С.— квазитреутоль-ности, так как оно-вбирает в себя суть таких понятий, как счетная полуаддитивность, Jf^ , .f , важных при установлении импликации (»). . . . . .

Очевидно, что всякое семейство yU^ г R —> ( О-,. И'(! ) счетно-аддитивных функций множества равномерно & -квазитреу-гольно на R- . Поэтому для этого семейства справедливы импликации теоремы 1.3.4. В §4, начатые в §3 исследования, продолжены на тот случай, когда областью определения функций множества является & -кольцо множеств, а также рассмотрена возможность продолжения свойств (PH)r , (Р0УН)к , (РСН)^ семейства: S—G , II• Н ), ^ &заданных на 6 - кольце. S на некоторое <э -кольцо S такое, что Sc S s В частности, если S - S СЮ ■»

- ю то S = в(Я).

Основной результат этого параграфа

ТЕОРЕМА 1.4.4. Для семейства J -композиционно-треугольных функций множества : S ( G , II41 ), € J , каждая из которых слабо непрерывна в нуле на (э -кольце S содержащем кольцо R. , справедливы импликации

PCH)r (РОУН)я<=* (РН)-5 (РОУН)^<^(РСН)~

Из этой теоремы вытекает, что те же импликации .сцраведливы для произвольного семействаyU^.: . S —( G- , |) • II ), d 6 С/ , счетно-аддитивных функций множества со значениями в квазинормиро-ванном пространстве ( Q , 1И1 ), а также для. семейства ( G , 11*11 )-значных слабо непрерывных в нуле Ж - треугольных функций множества, семейства векторнозначных мер, внешних мер, слабо непрерывных в нуле Jf -полумер. .

Заметим, что в основе доказательства теоремы 1.4.4 лежат леммы I.4.I и. 1.4.2 о равностепенной, плотности, являющиеся обобщением, соответствующих-результатов В.Н.Алексгока и Н.С.Гусельнико-ва (см. соответственно, |l0] и [28]). . .

Результаты параграфов 3 и 4, имея, на наш взгляд, и самостоятельный интерес, применяются далее на протяжении всей диссертации. . -.

Вторая глава посвящена одному из классических аспектов теории меры - вопросу продолжения функций множества.

В §5 вводятся понятия J1 -композиционной субмеры и обобщенной J1 -композиционной субмеры и доказывается теорема о возможности продолжения слабо непрерывной в нуле, не имеющей ускользающей нагрузки J- -композиционной субмеры с кольца множеств на пополненное <S -кольцо. Для Jf -субмер эту теорему доказал Н.С .Гусельников в [28]. Пример, приведенный в этом параграфе, показывает, что £ -композиционная субмера, вообще говоря, не является непрерывной относительно порождаемой ею естественным образом РЖ - топологии на кольце R- .

Нами.построен контрпример, показывающий, что требуемое продолжение, вообще говоря, не.единственно. Кроме этого, продолжение является, вообще говоря, обобщенной £ -композиционной , субмерой, а при условии её непрерывности снизу- -композиционной субмерой. . . .

В §6 главы 2 вводятся понятия, J- -субмеры и J- -компо.-. зиционной счетной полуадцитивности. Используя результаты §5,доказывается теорема о существовании и единственности продолжения / -субмеры с кольца множеств на-пополненное <Г -кольцо. Важно отметить, что в отличие от / -композиционной субмеры, / .-субмера обладает свойством быть непрерывной в порождаемой ею топологии на кольце Я . . ,

В §7 методом, продолжения, супремаций, используя результаты §5 и §6, обобщается теорема Н.С.Гуселышкова о продолжении - квазилипшицевой функции множества. А именно, доказана следующая .

ТЕОРЕМА 2.7.1. Пусть ./l : R,—( G , II* II ) - слабо непрерывная в нуле, не имеющая ускользающей нагрузки / -компози-ционно-квазилипшицева функция множества задана на кольце fi и принимает значения в секвенциально полном квазинормированном V пространстве. Существует -кольцо R. И и J- -композиционно-квазилипшицева функция множества /U-о : R.—* (0rt 11*11 ) такая, что выполняются условия:

М-о /я. ~ '

2 • Jul о сконденсирована на & ,

3. /л о непрерывна в нуле и ограничена,

4. = jul жyU о , где -продолжение функции .jut до -кольца r' ,

5. у^о - единственная, с точностью до квазинормы, непрерывная в нуле . J- -композиционно-квазилипшицева функция .множества, удовлетворяющая I и 2,.

6. Супремация /Z0 функции уИ0 удовлетворяет условиям . I) - 9).теоремы 2.6,1. Из этой теоремы легко вытекает соответствующая теорема для кв.азилипшицевой функции множества |23] , конечно-аддитивной фунт-кции множества - [il],, счетно-аддитивной, функции множества [б4]. - Глава 1 посвящена доказательству . ряда важных теорем, классической теории меры для введённых классов композиционно-тре. - . угольных функций множества, а также решению некоторых новых за -дач. •

В.§8 ставится и.решается три задачи. I. Возможно ли . обобщение теоремы. Никодима для семейства / - ко.мпозиционно-треугольных функций множества, не имеющих ускользающей нагрузки,.заданных не на. . (Г -кольце, а на классе множеств, замкнутом.относительно счетных объединений? Сразу отметим, что ответ .на.этот вопрос, отрицательный. Нами построен при -мер, показывающий, что даже для .семейства счетно-аддитивных функций множества, не. имеющих ускользающей нагрузки и определенных на классе множеств, замкнутом относительно счетных объединений, из поточечной ограниченности равномерная ограниченность, вообще говоря, не следует. Здесь же доказано, что если потребовать поточечную ограниченность семейства супремаций функций множества, то теорема остается справедливой и для случая, когда функции определены на классе множеств, замкнутом относительно счётных объединений. Отметим,.что в этом случае функции множества могут быть совершенно произвольными.

Отрицательное решение задачи I предопределило постановку задачи 2. Возможно ли обобщить теорему Никодима для более широкого класса.функций множества, чем класс Ж -треугольных функций множества, заданных на СГ -кольце множеств?

Доказана следующая.

ТЕОРЕМА 3.8.4. Пусть/л.^ : $ —■► ( Сг, 1 'II -семейство - J- -композиционно-треугольных функций множества, каждая из которых спектрально К -ограничена на (э -кольце S . Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы для каждого множества Е £ 5 . .

Третья задача данного параграфа заключалась в отыскании критерия равномерной ограниченности семейства / -композиционно-треугольных функций.множества, заданных.на кольце множеств, а также в исследовании вопроса о сохранении равномерной ограниченности при переходе.с кольца множеств на некоторое объемлющее кольцо. На этом пути.получены следующие результаты.

ТЕОРЕМА 3.8.5. Для того чтобы семейство♦ ( Q- , 1141 ), J , - композиционно-треугольных функций множества, за -данных на кольце Я , было равномерно ограничено на Ц , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно елабо ограничено на. ft .

ТЕОРЕМА 3.8.6. Пусть S и R, , S ^ & - кольца множеств и ( Or ,Н -семейство / -композиционно

-треугольных функций множества с конечными супремациями, каждая из которых сконденсирована на кольце И . Семейство {/>-<l } равномерно ограничено на кольце S тогда.и только тогда, когда оно равномерно ограничено на кольце И .

В §9 вводится понятие слабо регулярной ( & , II * II )-значной функции множества и обобщаются результаты Дьедонне . [5l] и Штейна [64] о равномерной ограниченности семейства регулярных боре-левских мер. . .

Основное содержание параграфа .составляет теорема 3.9.1. , ТЕОРЕМА 3.9.1. Пусть ( Т ,% ) - регулярное пространство. Пусть /1а : R —* ( Сг , II'II - семейство слабо регулярных £ , -композиционно-треугольных функций множества, заданных на кольце R. z? % . Для того чтобы

Ho/L (Ц^(Е) I, л 6 У, Е 6 1} < «» , необходимо и достаточно, чтобы семейство , «с е 0} было равномерно слабо ограничено на системе открытых множеств X .

- Теоремы Дьедонне (Штейна) о-равномерной ограниченности се -мейства регулярных борелевских (слабо борелевских) мер являются следствиями теоремы 3.9.1.

В §10 изучаются вопросы, связанные со сходимостью регулярных композиционно-треугольных функций множества. Так в теоремах 3.I0.I (3.10.2) доказывается, что для последовательности {/£«.} регулярных J- -композиционно-квазилипшицевых функций множества, заданных на кольце ft ^ , фундаментальность (равномерная фундаментальность) на кольце Ц равносильна фундаментальности

- 15 равномерной фундаментальности) на системе открытых множеств Выясняются соотношения между.различными формами непрерывности регулярных функций множества. В частности, получено

СЛЕДСТВИЕ 3.10.4. Пусть ( Т , % ) - регулярное пространство. Если {д, £ У} -семейство регулярных векторных мер, заданных на С -кольце S ^ % , то условия (РН)^ , (ЕН)5 , (РОУН)^, (Р0УН)3, (РСН)^ , (PCH)S ,(РА)^, (PA)s равносильны.

К.основным результатам параграфа относится также следствие. 3.10.6, в. котором обобщена вторая теорема Дьедонне [5l] о сходимости регулярных борелевских мер. на случай.регулярного пространства и семейства регулярных f -композиционно-квазилипшицевых функций, множества.

Основная задача, решаемая в §11 - задача о разложении. Лебе-га-Риккарта равномерно U -непрерывной функции множества.

Здесь сформулирована и доказана новая теорема 3.II.2 о единственности представления некоторой. функции множества в виде. суммы равномерно У -непрерывной абсолютно непрерывной её части и сингулярного слагаемого.

Сформулируем.основной результат этой части параграфа.

ТЕОРЕМ. 3.II.3. Пусть * ( G" , 11*11 ) - слабо непре рывная в нуле равномерно .U -непрерывная функция множества; jll , - некоторая или ( Gr , II'II ) -значная функция множества, су-премация которой 6" -квазитреугольна. Тогда на S существует равномерно U -непрерывная функция множества \ и функция множества tf такие, что:

2. Разложение I единственно,

3. Я и % слабо непрерывны в нуле на S »

-16

4. Ha S существует такая слабо непрерывная в нуле равномерно U -непрерывная функция множества ft ., что у ~ J&.

ТЕОРЕМА 3.II.3 обладает большой общностью. Из неё можно получить много известных ранее разложений Лебега -Риккарта. Некоторые из них мы отмечаем в следствиях.

В заключительном 12 параграфе мы исследуем свойство Дарбу. Особенностью нашего исследования этого вопроса в отличие от всех предыдущих является то,, .что мы.не требуем, от функции множества никаких условий типа .аддитивности или треугольности.

Основной результат. . . . .

ТЕОРЕМА 3.I0.I. Для того чтобы.слабо.непрерывная сверху и . снизу, не имеющая ускользающей .нагрузки нормальная функция множества fL. : Л—*. ( Сг ., II * К ) обладала свойством Дарбу, необходимо и достаточно, чтобы она была безатомной.

Отметим, что при доказательстве этой теоремы мы отказались от традиционного использования в этом вопросе леммы Сакса.

Основное содержание диссертации отражено в работах [бб] - [бв] .

1. Александров А.Д. Аддитивные функции множества в абстрактных пространствах. -Матем. сб., 1940, 50, Ш, с. 307-348.

2. Арешкин Г.Я. О сходимости кривых по длине и о криволинейном интеграле Лебега. -ДАН СССР, 1950, 72, 155, с. 821-824.

3. Арешкин Г.Я., Алексюк .В.Н., Климкин В.М. О некоторых свойствах векторнозначных мер. -Учёные записки ЛШИ им. А.И.Герцена, 1971, т. 404, с. 298-321.

4. Арешкин Г.Я., Алексюк В.Н., Гусельников Н.С. Продолжение ква-зилипшицевой функции множества с алгебры на & -алгебру.-В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1973, вып. I, с. 214-225.

5. Арешкин Г.Я., Агаронова Л.В. Свойство Дарбу для Ж -треугольных функций множества. -В сб.:Функциональный анализ. Ульяновск, 1978, вып. II, с. 15 23.

6. Агафонова Л.В. О компактности семейства регулярных квазилип-шицевых функций множества. -XXX Герценовские Чтения (секция математики). Ленинград, 1977, с. 53 56.

7. Агафонова Л.В. О предельном переходе под знаком билинейного векторного интеграла. -XXIX Герценовские Чтения (секция математики). Ленинград, 1976, с. 40 43.

8. Алексюк В.Н. Две теоремы о существовании семейства квазимер. -Известия ВУЗов (математика), 1968, $6, с. 11-18.

9. Алексюк В.Н. Продолжение векторной меры со значениягли в банаховом пространстве. Лыу. SUncm. M&tfi., ^иле^ е£1970, 10, р. 1589 1592.- 124

10. Алексюк В.II. 0 слабой компактности семейства квазимер, о взаимосвязи метрики и меры. -Сиб.матем.ж., 1970, II, М, с. 723 728.

11. Алексюк В.Н. Продолжение квазимеры. -Сыктывкар, 1974.-6с.-Рукописъ представлена Коми гос.пед.институтом. Деп. в ВИНИТИ, В 67242 74.

12. Алексюк В.Н., Безносиков Ф.Д. Продолжение векторной меры на булевой алгебре. Известия ВУЗов (математика), 1965, 48,5, с. 3-12.

13. Алексюк В.Н. Функции множеств У1. -Сыктывкар, 1978.-27 с.-Рукопись представлена Кош гос.пед.институтом. Деп. в ВИНИТИ, Jt2452 78.

14. Алексюк В.Н. Функции множеств Ш.-Сыктывкар, 1978, -34 с.-Рукопись представлена Кош гос.пединститутом. Деп. в ВИНИТИ, JS 1287 78.

15. Алексюк В.Н. Функции множеств IX. -Сыктывкар, 1980.-28 с.-Рукопись представлена Коми гос.пед.институтом. Деп. в ВИНИТИ, гё 4331 80.

16. Алексюк В.Н. Функции множеств У. -Сыктывкар, 1978. 18 с.-Рукопись представлена Коми гос.пед.институтом. Деп. в ВИНИТИ, Ji 2413 - 78.

17. Алексюк В.Н. Функции множеств 1У. -Сыктывкар, 1978. -27 с.-Рукопись представлена Коми гос.пед.институтом. Деп. в ВИНИТИ, В 1355 78.

18. Алякин В.А. О разложении функций множества в смысле Лебега. -Новосибирск, 1981.- 13 с.-Рукопись представлена ред. Сиб. матем. ж. Деп. в ВИНИТИ, JS 2022 81. Деп.

19. Алякин В.А. О некоторых свойствах С/К -треугольных шунк- 125 ций множества. -Тр. 1У научно-техн. конф. ф-та мат.знаний (секции: математика, механика), Куйбышев, 1980, с. 42-55. (Рукопись деп. в ВИНИТИ, 2599 81. Деп.).

20. Ауман Р., Шепли I. Значения для неатомических игр. -М.: Мир, 1977.

21. Безносиков Ф.Д. Ж -полумеры на булевой алгебре. В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1974, вып. 2, с.141-143.

22. Гусельников Н.С. О сходимости последовательности непрерывных треугольных мер. -ХХУ1 Герценовские Чтения (секция математики). Ленинград, 1973, с. 78-82.

23. Гусельников Н.С. О продолжении квазилшшшцевых функций множества. -Матем.заметки, 1975, 17, Ж, с. 21 31.

24. Гусельников Н.С. Непрерывное продолжение Ж -треугольных функций множества. -ХХУП Герценовские Чтения (секция математики). Ленинград, 1974, с. 43 47.

25. Гусельников Н.С. О квазибазисе и равностепенной абсолютной непрерывности семейства Jf -треугольных функций множества. -В сб.: Математический анализ и теория функций. М., 1974, вып. 3, с. 211 219.

26. Гусельников Н.С. О теореме Брукса Джеветта и Никодима. -В сб.: Теория функций и функциональный анализ. Ленинград, 1975, с. 45 - 54.

27. Гусельников Н.С. Две теоремы о слабой равностепенной плотности семейства Ж -треугольных функций множества. -В сб.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1975, вып.5, с.44 55.

28. Гусельников Н.С. Квазилшппицевы и треугольные функции мно -жества и их приложения к теории векторнозначных мер и полумер. -Диссертация на соискание ученой степени кандидата- 126 физ.-мат. наук. Ленинград, 1975.

29. Гусельников Н.С. Треугольные функции множества и теорема Никодима о равномерной ограниченности семейства мер, -Матем. сб., 1978, 106, ЖЗ, с. 249 261.

30. ДанфордН., Шварц Дж. Линейные операторы. -М.: ИМ, 1962.

31. Дубровский В.М. 0 базисе семейства вполне аддитивных функций множества и о свойствах равностепенной аддитивности и равностепенной непрерывности. -ДАН СССР, 1947, 58, 4,с. 737 740.

32. Климкин В.М., Агафонова Л.В. Теорема Никодима.для треугольных функций множества. -Сиб.матем.ж., 1974, т.15, 13 3,с. 669 674.

33. Климкин В.М. О некоторых свойствах векторнозначных мер и о предельном переходе под знаком интеграла. -Ученые записки ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1970, т. 464, ч.1, с. 380 396.

34. Климкин В.М. О продолжении векторнозначной меры. -Известия ВУЗов (математика), 1971, 108, 135, с. 46-53.

35. Климкин В.М. Некоторые вопросы теории векторнозначных мер. -Известия ВУЗов (математика), 1975, 158, 137, с. 54 -63.

36. Климкин В.М. О сходимости последовательности векторнозначных мер. -Матем. записки Енисейского гос.пед.ин-та. Красноярск, 1970, вып. 2, с.29 45.

37. Климкин В.М. О равностепенной абсолютной непрерывности семейства векторнозначных мер. -Матем.записки Енисейского гос.пед.ин-та. Красноярск, 1970, вып. 2, с. 46-59.

38. Келли Дж.Л. Общая топология. -М.: Наука, 1981.

39. Лубышев М.Н. Простое доказательство и обобщение теоремы о продолжении непрерывной внешней меры. -ХХУ1 Герценовские- 127 Чтения (секция математики). Ленинград, 1973, с. 86 90.

40. Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия. -М.: Мир, 1978.

41. Мейер П.-А. Вероятность и потенциал. -М#: Мир, 1973г.

42. Попов В.А. О некоторых свойствах полумер. ХШ Герценов-ские Чтения (секция математики). Ленинград,' 1973, с.98-102.

43. Савельев Л.Я. Продолжение мер по непрерывности. -Сиб.матем. ж., 1964, 3, с.639 650.

44. Савельев Л.Я. 0 порядковых топологиях и непрерывных мерах. -Сиб.матем.ж., 1965, 6, стр. 1357 1364.

45. Хафизов М.Х. Об абсолютной непрерывности векторнозначной меры. -Матем.заметки, 1975, 17, J5 I, с. 71-78.

46. Халмош П. Теория меры. -М.: Ш, 1953.

47. ShliHUHi^ll Li, 0-it ija cj>n:ti miltij (TctcUvt wo^l ciddi-■bivt i&t fiiMcticHi, — Cdlc^, mcutk,i т. 38, lf> 2, 1978, p.243 253.

48. Qa-Http-L, £ cJiuK,/ifL*vL j^n унлалмщ Си^ UL^la^i. . — JlicM,. S^ficx-d t j 29 (1971), 237 244.

49. JlUubtiMdju У. (hi a ш тлсошляб,JLuclcL, 5ct. Set. Sat. MM., et19 (1971), 441 444.

50. ULicJwd; С, ^. obedcMfurti-tLO-n. o^ addi-Li^МШъ. У., 10 (1943), 653 665.64. ^btLvctJ» LLnifatm- 4c-uutckdive^S fotтошпщ- МЫI. jtlcvLA, У., 19, т, 1972, 161 165.

51. Рашкин Л .Д. Разложение Лебега равномерно (J -непрерывной функции множества. -Красноярск, 1982. -10 е.- Рукопись представлена Красноярским гос.пед.институтом. Деп. в ВИНИТИ, В 2938 82.

52. Рашкин Л.Д. 0 свойстве Дарбу для одного класса функций множества. -Тр.У научно-техн. конф. ф-та мат. знаний (секции: математика; механика), Куйбышев, 1981, с.164-169.

53. Рашкин Л.Д. 0 равномерной ограниченности семейства слабо регулярных треугольных функций множества. -Красноярск, 1982. 10 е.- Рукопись представлена Красноярским гос.пед. институтом. Деп. в ВИНИТИ, JS2939 - 82.

54. Рашкин Л.Д. О продолжении композиционной субмеры. -В сб.: Мера и интеграл. Куйбышев, 1983, вып. I, с. 65 71.