Треугольные преобразования мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.2

Медведев Кирилл Владимирович

ТРЕУГОЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕР

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

А

I '

I

Москва, 2008

003452828

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Богачев.

доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Садовничий, кандидат физико-математических наук Е.П. Кругова

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится "28 ноября" 2008 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "28 октября" 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор и.Н. Сергеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известно, что всякая радоновская вероятностная мера на метрическом пространстве является образом меры Лебега на отрезке (или любой другой безатомической вероятностной меры) при некотором борелевском отображении. Однако часто возникает задача о преобразовании одной заданной меры в другую с помощью отображений из более узких классов. Эта тематика, восходящая к опубликованным еще в 30-50-х годах прошлого столетия классическим трудам А.Д. Александрова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, JI.B. Канторовича, Дж. фон Неймана, Ю.В. Прохорова (см.1,2,3,4,5), связана с целым рядом классических проблем из теории меры, теории экстремальных задач, нелинейного анализа и теории нелинейных дифференциальных уравнений, а также с известной задачей Монжа-Канторовича о перемещении масс. Взаимодействие всех этих направлений привело не только к ярким результатам о преобразованиях мер, но и к открытию интересных связей между различными областями и неожиданным приложениям. Например, были получены новые нелинейные функциональные неравенства, обобщающие изопериметрические неравенства и неравенства Соболева. В последние два десятилетия здесь появились новые плодотворные идеи, в том числе в работах М. Талаграна6, Я. Бре-нье7, Р. Маккэна8. В частности, Бренье и Маккэн установили, что всякую абсолютно непрерывную вероятностную меру на конечномерном пространстве можно перевести в любую другую вероятностную меру на этом пространстве посредством градиента выпуклой функции, причем преобразование такого типа единственно.

Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167-174.

^Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La théorie générale de la mesure dans son application à l'étude de systèmes dynamiques de la mécanique non-linéaire. Ann. Math., 1937, v. 38, p. 65-113. ^Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229. "^Neumann J. von. Einige Sätze über messtare Abbildungen. Ann. Math., 1932, v. 33, p. 574-586. ^Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.

®Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, v. 6, p. 587-600.

^Bremer Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.

®McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323.

Обсуждаемые вопросы отражены также в монографической литературе, например, в книгах9,10,11'12'13'14'15.

Среди разнообразных классов отображений, рассматривавшихся многими авторами, следует особо выделить отображения монотонного типа, представляющие собой различные обобщения возрастающих функций на прямой (к А.Н. Колмогорову восходит важное наблюдение, что всякое вероятностное распределение на прямой можно получить монотонной функцией из всякого безатомического вероятностного распределения на прямой; это делается с помощью функций распределения и обратных к ним). Имеются два почти не пересекающихся класса таких многомерных и бесконечномерных обобщений: градиенты выпуклых функций и рассматриваемые в диссертации треугольные возрастающие отображения.

Треугольные отображения выделяются среди прочих используемых нелинейных преобразований тем, что имеют простую структуру и задаются конструктивно. Они находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см. работы16,17). В совместных работах автора с В.И. Богачевым и A.B. Колесниковым [1], [2] было предпринято первое систематическое исследование треугольных преобразований мер (некоторые результаты этих работ включены в диссертацию). Дальнейшее развитие эти исследования получили в работах18,19,20, а также в работе автора [4]. Интересно отметить, что треугольные отображения, почти никогда

^Судахов В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.

■'■"Rachev S.T., Rüschendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

^Üstünel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

12

Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2001.

11

Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.

14Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. РХД, Москва-Ижевск, 2006.

^Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск, 2008.

^Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 3952.

17

Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, p.151-

175.

1 о

Богачев В.И., Колесников A.B. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория веро-ятн. и ее примен., 2005, т. 51, №1, с. 27-51.

^Александрова Д.Е. Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, 1, с. 145-150.

90

Жданов Р.И., Овсиенко Ю.В. Оценки соболевских норм треугольных отображений. Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 2007, №1, с. 3-6.

не являясь оптимальными, обладают, тем не менее, многими свойствами, близкими к оптимальным отображениям. С учетом сложной структуры последних это делает треугольные отображения полезным инструментом теории меры и геометрии. Например, в [2] для треугольных отображений весьма общего вида получены обобщения так называемого неравенства Талаграна (установленного им для гауссовских мер). Из эффектных непосредственных применений треугольных преобразований отметим данное с их помощью В.И. Богачевым и A.B. Колесниковым положительное решение старой проблемы из теории гауссовских мер, состоявшей в возможности перевода гауссовской меры на бесконечномерном пространстве во всякую абсолютно непрерывную относительно нее вероятностную меру отображением, представляющим собой возмущение тождественного отображения посредством векторного поля со значениями в пространстве Камерона-Мартина. Треугольные отображения могут быть полезны и при изучении предельных теорем теории вероятностей, использующих какие-либо упорядочения типа ассоциированности (см.21) или мартингальную зависимость,

В диссертации исследован ряд фундаментальных свойств канонических треугольных преобразований. Основные результаты работы относятся к доказательству существенной единственности канонических треугольных преобразований и обоснованию формул замен переменных для них. Кроме того, изучается поведение канонических треугольных преобразований при слабой сходимости мер. Следует отметить, что все эти вопросы ранее не рассматривались, хотя в цитированных выше работах Кноте, Талаграна и Бобкова сами треугольные отображения использовались. Это объясняется тем, что до сих пор рассматривались треугольные преобразования лишь весьма специальных мер типа гауссовских и равномерных распределений на ограниченных выпуклых множествах, что заметно упрощало наиболее характерные для диссертации проблемы.

Цель работы. Установить существенную единственность канонических треугольных преобразований мер. Получить формулы замены переменных для канонических треугольных преобразований мер на конечномерных пространствах. Исследовать слабую сходимость выпуклых мер в случае абсолютно непрерывной предельной меры.

21

Булинский A.B., Шашкин А.П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. Физматлит, М., 2008.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены формулы замены переменных для канонических треугольных отображений вероятностных мер на конечномерных пространствах.

2. Доказана существенная единственность канонических треугольных преобразований вероятностных мер на конечномерных и бесконечномерных пространствах.

3. Доказана сходимость по вариации слабо сходящихся выпуклых мер в случае абсолютно непрерывной предельной меры. В качестве применения установлена сходимость канонических треугольных преобразований слабо сходящихся выпуклых мер.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории меры, в частности, теория условных мер, функционального анализа, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, нелинейного анализа, теории случайных процессов и их приложений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Богачева и H.A. Толмачева (2004-2008 гг.), на международном семинаре „Бесконечномерный стохастический анализ" в Биле-фельде (Германия, 2006-2008 гг.), на конференциях молодых ученых Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (2007, 2008 гг.) и на международной конференции „Пространство Скорохода. 50 лет спустя" в Киеве (июнь, 2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (две из них в соавторстве), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 6 параграфов, и списка литературы из 43 наименований. Общий объем диссертации составляет 60 страниц.

Краткое содержание диссертации Глава 1.

В этой главе исследуются общие свойства возрастающих треугольных преобразований мер.

Отображение Т = (Ть ..., Г„): II" —> Я" называется треугольным, если Т\ есть функция х\, Т2 - функция (хх,^), Т3 - функция (х\,х2,Хз) и так далее: % является функцией от (хх, хг,...,х*).

Аналогично определяются треугольные отображения бесконечномерного пространства И.00 - счетного произведения прямых.

Рассмотрение треугольных отображений весьма естественно в задачах теории вероятностей, связанных с преобразованиями последовательностей случайных величин. Выбор термина объясняется тем, что для дифференцируемого треугольного преобразования (например, линейного) матрица Якоби имеет треугольный вид.

Треугольное отображение называется возрастающим, если каждая его компонента Т.; является возрастающей по переменной

В первой главе установлена существенная единственность возрастающих треугольных преобразований мер при широких предположениях относительно преобразуемых мер. Здесь же выведены формулы замены переменных для канонических версий треугольных отображений. Эти формулы нетривиальны тем, что треугольные отображения определены при весьма широких предположениях, при которых они не обязаны быть непрерывными или дифференцируемыми даже в смысле Соболева. Однако из-за возрастания по к-ой переменной к-ая компонента треугольного отображения имеет почти всюду производную по этой переменной. Более того, из-за особой структуры всего отображения удается определить его якобиан. При этом введенные якобианы могут быть использованы в формулах замены переменных, несмотря на то, что рассматриваемые производные даже не являются производными в смысле обобщенных функций.

Приведем точные формулировки.

Пусть дано измеримое пространство (X, Л) с конечной мерой /х, Л^ — пополнение Л относительно /х. Если / - /¿-измеримое отображение со значениями в некотором измеримом пространстве {У, В), т.е. /-1(В) € Ац при В £ В, то образ меры ¡л при отображении / обозначается через ц о и определяется формулой

МО Г\В) = ц{Г\В)), ВеВ.

Напомним также понятие условной меры. Если X и У - полные сепарабельные метрические пространства (для целей диссертации достаточно рассматривать конечномерные пространства и их счетные произведения), то для всякой вероятностной борелевской меры /г на X х У определена ее проекция /ху на У и на слоях X х {у}, где у е У, имеются вероятностные меры цу, через которые мера ¡1 выражается по формуле

где В - борелевское множество в X х У. Вместо мер на слоях можно также брать меры на X, что для всякой ограниченной измеримой функции <р на X х У даст представление

Для всякой пары вероятностных мер ¡1 и и на Б.", где ц имеет безатомическую проекцию на первую координатную прямую и безатомические условные меры на остальных координатных прямых (например, абсолютно непрерывна), существует борелевское возрастающее треугольное отображение Т^, переводящее /л в и. Это отображение определено на некотором борелевском множестве полной /х-меры, причем к-ая компонента отображения как функция переменных х\задана на борелевском множестве в Г},*, пересечения которого с прямыми, параллельными к-ой координатной прямой, являются промежутками.

Такое отображение единственно с точностью до переопределения на множестве д-меры нуль при условии, что и обладает безатомическими условными мерами на координатных прямых и безатомической проекцией на первую координатную прямую (например, абсолютно непрерывна). В диссертации рассмотрены канонические треугольные отображения. Каноническим преобразованием мы будем называть версию которая определяется следующим образом индукцией по п. При п = 1 положим

ХхУ

ХхУ

1р(х, у) ц{д,х йу) = <р{х, у) ру{<1х) цу{<1у)

в „(и) := т^: ^(в) > и], и € (0,1)

Т^ := (-¡V о

Если при и —> 0 или и —у 1 функция Gv имеет конечный предел, то мы задаем G„(0) или Gv(l) как соответствующий предел. Если функция Flt принимает какое-либо из значений 0 и 1 (множества F~x(0) и F~l( 1) либо пусты, либо являются лучами), а функция Gv не имеет конечного предела в соответствующей точке, то отображение задано на некотором промежутке (ограниченном или неограниченном) полной /¿-меры. Отображение F^ переводит ц в меру Лебега Л на (0,1), a Gu переводит Л в и. Далее построение продолжается индуктивно с использованием одномерных условных мер на последней координатной прямой. Предположим, что для некоторого п > 1 существование канонических треугольных отображений уже установлено. Обозначим проекции мер ц и и на R" через цп и vn. Соответствующие условные меры на последней координатной прямой обозначим через цх и vx, х € R". По предположению индукции существует каноническое борелевское треугольное отображение Т — (Ti,. ..,Tn): Rn —► Rn, переводящее /хп в vn (область определения Т может быть собственным борелевским подмножеством Rn полной ¿¿„-меры). Теперь в качестве берем отображение Тц<и = (Tj,..., Тп+1), где последняя компонента задается так: при фиксированных х = (a;i,... ,хп) 6 R" функция t н-> Tn+\(xi,... ,xn,t) является каноническим преобразованием меры fix в меру ^г(х)-

Таким образом, замечательной особенностью канонических треугольных отображений является то, что, в отличие от общих измеримых изоморфизмов мер, они строятся конструктивно по индукции с помощью условных мер. В случае мер с плотностями такие отображения можно задавать в явном виде, правда, при п > 2 соответствующие формулы становятся громоздкими.

Из построения ясно, что отображение зависит от выбора условных мер для д и v. Однако имеет место следующее свойство единственности в классе /i-эквивалентных возрастающих треугольных отображений.

Теорема 1. Пусть р, - борелевская вероятностная мера HaR00. Предположим, что возрастающие треугольные борелевские отображения Т = (Гп)^ и S = (Sn)™=1 таковы, что /л о Т~1 = // о S1-1 и для каждого п отображение (7i,..., Тп) инзективно на борелев-ском множестве полной меры относительно проекции ¡л на R". Тогда Т(х) — S(x) для ¡л-п.в. х.

Следствие 1. Пусть меры ц и и на К" таковы, что их проекции на первую координатную прямую и условные меры на остальных координатных прямых не имеют атомов. Тогда существует каноническое треугольное отображение!причем оно единственно с точностью до ц-эквивалентности в классе возрастающих борелев-ских треугольных отображений, переводящих ц в V. В частности, это верно, если проекции мер риина К" абсолютно непрерывны.

Следствие 2. Пусть заданы борелевские вероятностные меры ц и и на Г^00, такие что проекции ц и V на первую координатную прямую и условные меры на остальных координатных прямых не имеют атомов. Тогда каноническое треугольное отображениеТ^„ единственно с точностью до ц-эквивалентности в классе возрастающих борелевских треугольных отображений, переводящих р,

в V.

В качестве применения предыдущих результатов рассмотрим вопрос об обратном отображении к каноническому треугольному преобразованию, заданному на всем пространстве К™.

Предложение 1. Пусть заданы такие борелевские вероятностные меры ц и и, что /х эквивалентна мере Лебега и проекция и на первую координатную прямую и условные меры на остальных координатных прямых не имеют атомов. Тогда обратное отображение к каноническому треугольному преобразованию будет также каноническим треугольным.

Для возрастающих треугольных отображений справедлива следующая формула замены переменных.

Теорема 2. Пусть Т = (Т\,..., Т„): И" —> 11™ - возрастающее бо-релевское треугольное отображение. Предположим, что функции

Х{ I ► Т^{х 1,..., Х{)

абсолютно непрерывны на отрезках для п.в. (х\,... € Кг_1.

Положим по определению с[еЬИТ := П"=1 Фс,^. Тогда для всякой интегрируемой на множестве Т(Е1п) борелевской функции ¡р функция (роТ с^ БТ интегрируема по К™ и справедливо равенство

I <р{у)(1у= [ (р{Т(х))йеЬОТ(х)(Их.

Если отображение Т определено лишь на борелевском множестве

С Ып, причем каждая функция Т^ задана на борелевском множестве в И', сечения которого прямыми, параллельными г-ой координатной прямой, являются промежутками, а указанное условие выполнено для отрезков этих сечений, то это же утверждение верно с заменой И™ на

Приведем простое достаточное условие на меры /х и и, обеспечивающее абсолютную непрерывность г-ой компоненты по переменной Х{. Это условие полезно при рассмотрении якобианов и дивергенций треугольных отображений.

Предложение 2. Каноническое треугольное отображение пространства И", переводящее абсолютно непрерывную вероятностную меру [х в вероятностную меру и, удовлетворяет условию предыдущей теоремы, если мера и эквивалентна мере Лебега.

Если мера г/ не эквивалентна мере Лебега, то г-ая компонента канонического треугольного отображения может оказаться разрывной. Например, каноническое отображение меры Лебега на [0,1] в меру V с плотностью 2 на [0,1/4] и [3/4,1] и 0 на (1/4,3/4), имеет скачок. Тем не менее, доказанная выше формула замены переменных остается в силе и без сделанного в предыдущем утверждении предположения об абсолютной непрерывности, если Т является каноническим отображением абсолютно непрерывных мер (разумеется, не всякое возрастающее борелевское треугольное отображение таково).

Теорема 3. Пусть /х и и - вероятностные меры на И" с плотностями д^ и ди относительно меры Лебега. Тогда для канонического треугольного отображения = (Т\,... ,Тп) справедливо равенство

е^х) = е^Т^х)) сЫОТ^(х) для ц-п.в. х,

где сМ ВТ^ := ПГ=1 существует почти всюду в силу монотонности % по х%.

Подчеркнем еще раз, что частная производная в формулировке -это существующая почти всюду обычная частная производная, а не производная в смысле обобщенных функций (которая имеет сингулярную компоненту в случае функции, не являющейся абсолютно непрерывной).

Этот результат существенно усиливает доказанное в работе17 при дополнительных условиях на плотности данных мер. Приведем еще достаточное условие непрерывной дифференцируемости канонического отображения. Это также усиливает один результат работы17.

Предложение 3. Предположим, что вероятностные меры ц и и на И" заданы непрерывными положительными плотностями дц и д„, у которых соболевские частные производные до порядка п+ 1 интегрируемы по Г1п. Тогда каноническое треугольное отображение Тц}1/ непрерывно дифференцируемо. То же самое верно, если вместо интегрируемости частных производных до порядка п + 1 потребовать непрерывность частных производных плотностей первого порядка и существование таких неотрицательных интегрируемых функций 9\,... ,вп на прямой, что функции д^, ди, \дх,дА оцениваются через функцию 9\(х\) ■ ■ • вп(хп).

Глава 2.

Предположим, что последовательность абсолютно непрерывных вероятностных мер ^ на Ш1 сходится по вариации к мере и, и пусть М - вероятностная мера на К", эквивалентная мере Лебега. Тогда, как показано в работе [2], последовательность канонических треугольных отображений сходится по мере р, к отображению Тм>„. Следующее усиление этого результата получено в работе19. Пусть две последовательности борелевских вероятностных мер ^ и на И00 сходятся по вариации к // и и соответственно. Допустим также, что проекции мер /¿^ и \± на пространства Ш1 и соответствующие условные меры не имеют атомов. Тогда последовательность канонических треугольных отображений Т^ ^ (доопределенные до борелевского отображения на всем пространстве И00) сходится по мере ц к отображению Таким образом, существует подпоследовательность последовательности Т^ ^. сходящаяся к ц-п.в. Более того, в работе19 это утверждение обобщается на случай счетного произведения суслинских пространств. В диссертации исследован вопрос о возможности ослабления характера сходимости мер в таких утверждениях о непрерывной зависимости канонических треугольных преобразований от мер. Здесь приведены примеры, показывающие, что в цитированных результатах в общем случае нельзя улучшить сходимость треугольных отображений или ослабить условие сходимости мер по вариации без сужения рассматриваемого класса

мер. Однако для важного класса выпуклых мер слабая сходимость оказывается достаточной.

Напомним, что вероятностная борелевская мера ц на R" называется выпуклой или логарифмически вогнутой, если

ц{аА + (1 - а)В) > ц(А)а »(В)1"*

для всех непустых борелевских множеств А и В и всех а € [0,1].

Абсолютно непрерывные выпуклые меры допускают более конструктивное описание22. Абсолютно непрерывная вероятностная мера и на R™ является выпуклой тогда и только тогда, когда ее плотность имеет, вид р„ = ехр(—V), где V - выпуклая функция, причем считаем, что функция р„ равна нулю в точках, не принадлежащих области определения V".

Теорема 4. Пусть последовательность абсолютно непрерывных выпуклых вероятностных мер Uj на R" слабо сходится к абсолютно непрерывной выпуклой мере и. Тогда меры Vj сходятся по вариации к и.

В диссертации установленное свойство применено для исследования сходимости треугольных преобразований, порожденных сходящимися мерами.

Следствие 3. Пусть последовательность абсолютно непрерывных выпуклых лгер Vj на R" слабо сходится к абсолютно непрерывной мере и, а последовательность вероятностных мер fij на R", имеющих безатомические проекции на первую координатную прямую и безатомические условные меры на остальных координатных прямых (например, абсолютно непрерывных мер), сходится по вариации к мере fi. Тогда последовательность канонических треугольных отображений Тр v сходится по мере ц к Tßjl/.

Следствие 4. Пусть последовательность абсолютно непрерывных выпуклых мер [ij на R" слабо сходится к абсолютно непрерывной мере ß, а последовательность вероятностных мер Vj на R", имеющих безатомические проекции на первую координатную прямую и без атомические условные меры на остальных координатных прямых (например, абсолютно непрерывных мер), сходится по вариации к мере v. Тогда последовательность канонических треугольных отображений Тц v сходится по мере р к

22Borell С. Convex measures on locally convex spaces. Ark. Math. 1974. V. 12, N 2. P. 239-252.

Таким образом, если либо преобразуемые меры fij, либо полученные меры Vj выпуклы, то для сходимости канонических треугольных преобразований требуется значительно более слабое условие, чем сходимость по вариации.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.И. Богачеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. О треугольных преобразованиях мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 6. С. 727-732. (К.В. Медведеву принадлежат теорема 4 и следствие 1; В.И. Богачеву принадлежат общая постановка задач и следствия 2 и 3; А.В. Колесникову принадлежат теоремы 1,2,3 и следствие 4).

[2] Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб. 2005. Т. 196, N 3. С. 3-30. (К.В. Медведеву принадлежат лемма 2.1, лемма 2.3, лемма 2.4, предложение 2.5, лемма 2.6, теорема 3.1; В.И. Богачеву принадлежат общая постановка задач и следствия 3.2, 3.9 и 4.2; А.В. Колесникову принадлежат теоремы 2.2, 3.4, 3.8, 4.1, 4.4, предложение 4.3 и следствия 3.10, 4.5).

[3] Medvedev K.V. Certain properties of triangular transformations of measures. Abstracts of the International Conference "Skorokhod space. 50 years on", 17-23 June, 2007, Kyiv, Ukraine, Sections 1-2 "Skorokhod space and functional convergence", pp. 32-33.

[4] Medvedev K.V. Certain properties of triangular transformations of measures. Theory of Stochastic Processes. 2008. V. 14, N 1. P. 95-99.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имениМ. В. Ломоносова

Подписано в печать , /О О% Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. О, 75 Тираж /'00 экз. Заказ ¿"Д

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение.

ГЛАВА 1. Свойства канонических треугольных преобразований мер

1.1. Обозначения и терминология.

1.2. Единственность треугольных преобразований мер.

1.3. Формулы замены переменных

1.4. Применение треугольных отображений

ГЛАВА 2. Сходимость выпуклых мер.

2.1. Слабая сходимость выпуклых мер.

2.2. Сходимость треугольных отображений для слабо сходящихся выпуклых мер

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известно, что всякая радоновская вероятностная мера на метрическом пространстве является образом меры Лебега на отрезке (или любой другой безатомической вероятностной меры) при некотором борелевском отображении. Однако часто возникает задача о преобразовании одной заданной меры в другую с помощью отображений из более узких классов. Эта тематика, восходящая к опубликованным еще в 30-50-х годах прошлого столетия классическим трудам А.Д. Александрова, Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова, JI.B. Канторовича, Дж. фон Неймана, Ю.В. Прохорова (см.1,2'3,4'5), связана с целым рядом классических проблем из теории меры, теории экстремальных задач, нелинейного анализа, геометрии многообразии и теории нелинейных дифференциальных уравнений, а также с известной задачей Монжа-Канторовича о перемещении масс (называемой также транспортной задачей). Взаимодействие всех этих направлений привело не только к ярким результатам о преобразованиях мер, но и к открытию интересных связей между различными областями и неожиданным приложениям. Например, были получены новые нелинейные функциональные неравенства, обобщающие изопериметрические неравенства и неравенства Соболева. В основе неравенств такого рода часто лежат формулы замены переменных для отображений, переводящих одну меру в другую и удовлетворяющих каким-либо ограничениям типа вариационных неравенств или условий монотонности. Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167-174. г,

Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La theorie generale de la mesure dans son application a I'etude de systtm.es dynamiques de la mdcanique non-lineaire. Ann. Math., 1937, v. 38, p. 65-113.

Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229.

Neumann Л. von. Einige Satze uber messbare Abbildungen. Ann. Math., 1932, v. 33, p. 574-586. dIIpoxopoB Ю.В. Сходимость ыучайных процессов и предельные теорелш теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.

В последние два десятилетия здесь появились новые плодотворные идеи, в том числе в работах М. Талаграна0, Я. Бренье7, Р. Маккэна8. В частности, Бренье и Маккэн установили, что всякую абсолютно непрерывную вероятностную меру на конечномерном пространстве можно перевести в любую другую вероятностную меру на этом пространстве посредством градиента выпуклой функции, причем преобразование такого типа единственно.

Обсуждаемые вопросы отражены также в монографической литературе, например, в книгах9'10'11,12'13,14,15, полностью или частично посвященных этим вопросам и их связям с другими направлениями.

Среди разнообразных классов отображений, рассматривавшихся многими авторами, следует особо выделить отображения монотонного типа, представляющие собой различные обобщения возрастающих функций на прямой (к А.Н. Колмогорову восходит важное наблюдение, что всякое вероятностное распределение на прямой можно получить монотонной функцией из всякого безатомического вероятностного распределения на прямой; это делается с помощью функций распределения и обратных к ним). Имеются два почти не пересекающихся класса таких многомерных и бесконечномерных обобщений: градиенты выпуклых функций и рассматриваемые в диссертации треугольные возрастающие отображения.

Talagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, v. 6, p. 587-600.

Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417. Q

McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323.

Судаков B.H. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.

10Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

Ustiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

1'^Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2001.

13VilIani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.

Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. РХД, Москва-Ижевск, 2006.

1 f

Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск,

2008.

Треугольные отображения выделяются среди прочих используемых нелинейных преобразований тем, что имеют простую структуру и задаются конструктивно. Они находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см. работы16'17). В совместных работах автора с В.И. Богачевым и А.В. Колесниковым18'19 было предпринято первое систематическое исследование треугольных преобразований мер (некоторые результаты этих работ включены в диссертацию). Дальнейшее развитие эти исследования получили в работав0'21'22, а также в работе автора23. Интересно отметить, что треугольные отображения, почти никогда не являясь оптимальными, обладают, тем не менее, многими свойствами, близкими к оптимальным отображениям. С учетом сложной структуры последних это делает треугольные отображения полезным инструментом теории меры и геометрии. Например, в работе19 для треугольных отображений весьма общего вида получены обобщения так называемого неравенства Талаграна (установленного им для гауссов-ских мер). Достоинства треугольных преобразований особенно явственно проявляются в бесконечномерных пространствах, когда они строятся покомпонентно с использованием уже найденных на предыдущих шагах компонент. Из эффектных непосредственных применений треугольных преобразований отметим данное с их помощью В.И. Богачевым и А.В. Колесниковым положительное решение старой проблемы из теории гауссовских мер, состоявшей в возможности перевода гауссовской меры

Knothe Н. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39-52.

Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, p. 151-175.

Богачев В.И., Колесников A.B., Медведев К.В. О треугольных преобразованиях мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 6. С. 727-732.

•^Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб., 2005, т. 196, п 3, 3-30.

Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 51, №1, с. 27-51.

Александрова Д.Е. Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, № 1, с. 145-150.

Жданов Р.И., Овсиенко Ю.В. Оценки соболевских норм треугольных отображений. Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 2007, №1, с. 3-6.

Medvedev K.V. Certain properties of triangular transformations of measures. Theory of Stochastic Processes. 2008. V. 14, N 1. P. 95-99. на бесконечномерном пространстве во всякую абсолютно непрерывную относительно нее вероятностную меру отображением, представляющим собой возмущение тождественного отображения посредством векторного поля со значениями в пространстве Камерона-Мартина. Интересно отметить, что остается открытым поставленный В.И. Богачевым и А.В. Колесниковым вопрос о возможности выбора такого отображения в классе канонических треугольных отображений: полученное ими отображение конструируется из канонических треугольных, но не обязательно является таковым. Треугольные отображения могут быть полезны и при изучении предельных теорем теории вероятностей, использующих какие-либо упорядочения типа ассоциированности (см.24) или мартингальную зависимость.

В диссертации исследован ряд фундаментальных свойств канонических треугольных преобразований. Основные результаты работы относятся к доказательству существенной единственности канонических треугольных преобразований и обоснованию формул замен переменных для них. Кроме того, изучается поведение канонических треугольных преобразований при слабой сходимости мер. Следует отметить, что все эти вопросы ранее не рассматривались, хотя в цитированных выше работах Кноте, Талаграна и Бобкова сами треугольные отображения использовались. Это объясняется тем, что до сих пор рассматривались треугольные преобразования лишь весьма специальных мер типа гауссовских и равномерных распределений на ограниченных выпуклых множествах, что заметно упрощало наиболее характерные для диссертации проблемы.

Цель работы. Установить существенную единственность канонических треугольных преобразований мер. Получить формулы замены переменных для канонических треугольных преобразований мер на конечномерных пространствах. Исследовать слабую сходимость выпуклых мер в случае абсолютно непрерывной предельной меры. од

Булинский А.В., Шашкин А.П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. Физматлиг, М., 200S.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены формулы замены переменных для канонических треугольных отображений вероятностных мер на конечномерных пространствах.

2. Доказана существенная единственность канонических треугольных преобразований вероятностных мер на конечномерных и бесконечномерных пространствах.

3. Доказана сходимость по вариации слабо сходящихся выпуклых мер в случае абсолютно непрерывной предельной меры. В качестве применения установлена сходимость канонических треугольных преобразований слабо сходящихся выпуклых мер.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории меры, в частности, теория условных мер, функционального анализа, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, нелинейного анализа, теории случайных процессов и их приложений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Бо-гачева и Н.А. Толмачева (2004-2008 гг.), на международном семинаре .Бесконечномерный стохастический анализ" в Билефельде (Германия, 2006-2008 гг.), на конференциях молодых ученых Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (2007, 2008 гг.) и на международной конференции „Пространство Скорохода. 50 лет спустя" в Киеве (июнь, 2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (две из них в соавторстве), список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 6 параграфов, и списка литературы из 43 наименований. Общий объем диссертации составляет 60 страниц.

1. Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939. т. 6(48), в. 1, 167-174.

2. Александрова Д.Е. Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее примен. 2005. Т. 50, N 1. С. 145-150.

3. Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.

4. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. Регулярная и хаотическая динамика. Москва Ижевск, 2006.

5. Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. Регулярная и хаотическая динамика. Москва Ижевск, 2008. '

6. Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер и энтропия плотностей Радона-Никодима. Докл. PAH.t2004. Т. 397, N 2. С. 155-159. *

7. Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен. 2005. Т. 51, N 1. С. 27-51.

8. Булинский А.В., Шашкин А.П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. Физматлит, М., 2008.

9. Жданов Р.И., Овсиенко Ю.В. Оценки соболевских норм треугольных отображений. Вестник МГУ. Сер. мех., матем. 2007. N 1. С. 3-6.

10. Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 78. С. 227-229.

11. Колесников А.В. Неравенства выпуклости и нелинейные преобразования мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 3. С. 300-304.

12. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

13. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. Физматлит, М., 2004.

14. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, N 2. С. 177-238.

15. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Мир, М., 1973.

16. Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976. Т. 140. С. 1-190.

17. Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research. 2003. V. 2. P. 151-175.

18. Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La theorie generale de la mesure dans son application а Г etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire. Ann. Math. 1937. V. 38. P. 65-113.

19. Borell C. Convex measures on locally convex spaces. Ark. Math. 1974. V. 12, N 2. P. 239-252.

20. Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 375-417.

21. Cordero-Erausquin D. Some applications of mass transport to Gaussian-type inequalities. Arch. Rat. Mech. Anal. 2002. V. 161. P. 257-269.

22. Fernique X. Extension du theoreme de Cameron-Martin aux translations aleatoires. Ann. Probab. 2003. V. 31, N 3. P. 1296-1304.

23. Feyel D., Ustiinel A.S. Transport of measures on Wiener space and the Girsanov theorem. C. R. Acad. Sci. Paris. 2002. T. 334, N 1. P. 1025-1028.

24. Feyel D., Ustiinel A.S. Monge-Kantorovitch measure transportation and Monge-Ampere equation on Wiener space. Probab. Theor. Relat. Fields. 2004. V. 128, N 3. P. 347-385.

25. Feyel D., Ustiinel A.S. Solution of the Monge-Ampere equation on Wiener space for general log-concave measures. J. Funct. Anal. 2006. V. 232, N 1. P. 29-55.

26. Feyel D., Ustiinel A.S., Zakai M. The realization of positive random variables via absolutely continuous transformations of measure on Wiener space. Probab. Surv. 2006. V. 3. P. 170-205.

27. Hajlasz P. Change of variables formula under minimal assumptions. Colloq. Math. 1993. V. 64, N 1. P. 93-101.

28. Kechris A. Classical descriptive set theory. Springer, Berlin New York, 1995.

29. Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J. 1957. V. 4. P. 39-52.

30. Kolesnikov A.V. Convexity inequalities and optimal transport of infinite-dimensional measures. J. Math. Pures Appl. 2004. V. 83, N 11. P. 13731404.

31. Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2001.

32. McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J. 1995. V. 80. P. 309-323.

33. Neumann J. von. Einige Satze iiber messbare Abbildungen. Ann. Math. 1932. V. 33. P. 574-586.

34. Otto F., Villani C. Generalization of an inequality by Talagrand. and links with the logarithmic Sobolev inequality. J. Funct. Anal. 2000. V. 173. P. 361-400.

35. Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

36. Rado Т., Reichelderfer P.V. Continuous transformations in analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1955.

37. Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, v. 6, p. 587-600.

38. Usttinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

39. Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.Работы автора по теме диссертации

40. Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. О треугольных преобразованиях мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 6. С. 727-732.

41. Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб. 2005. Т. 196, N 3. С. 3-30.

42. Medvedev K.V. Certain properties of triangular transformations of measures. Abstracts of the International Conference "Skorokhod space. 50 years on", 17-23 June, 2007, Kyiv, Ukraine, Sections 1-2 "Skorokhod space and functional convergence", pp. 32-33.

43. Medvedev K.V. Certain properties of triangular transformations of measures. Theory of Stochastic Processes. 2008. V. 14. N 1. P. 95-99.