Сходимость нелинейных образов мер по вариации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519 2

Александрова Дарья Евгеньевна

СХОДИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБРАЗОВ МЕР ПО ВАРИАЦИИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ

Москва, 2008

003168903

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор В И Богачев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук А В Колесников, доктор физико-математических наук, профессор В В Ульянов

Ведущая организация: Математический институт РАН

им В А Стеклова

Защита диссертации состоится "23 мая" 2008 г в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете им MB Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан "23 апреля"

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501 001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

2008 г

И H Сергеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Нелинейные преобразования и различные виды сходимости мер играют важную роль во многих задачах функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов Изучение этих объектов было начато в 1930-1950 годах в классических трудах А H Колмогорова, Дж фон Неймана, H H Боголюбова, H M Крылова, А Д. Александрова, JI В Канторовича, Ю В Прохорова, А В. Скорохода и других исследователей Особенно здесь можно отметить работы1'2,3'4 Подробный историко-библиографический обзор дан в книге5 В настоящее время активные исследования в этом направлении продолжаются, обогащая взаимодействующие области математики

Можно выделить следующие два общих вопроса нелинейной теории меры, с которыми так или иначе связано множество самых разных более специальных задач Пусть дана последовательность измеримых отображений F3 на пространстве с мерой ß Будут ли индуцированные меры ß о F~l сходиться в каком-то смысле? Многие задачи нелинейного анализа и теории вероятностей приводят к рассмотрению слабой сходимости мер, однако весьма важен и случай более сильной сходимости по вариации, причем этот случай гораздо менее изучен, ряд важных результатов получен здесь в связи с предельными теоремами теории вероятностей6'7 и вариационным исчислением8 В этом направлении в диссертации исследуется сходимость по вариации образов заданной меры относительно сходящейся в подходящем смысле последовательности отображений. Типичная ситуация возникает при сходимости дифференцируемых в смысле С JI Соболева (или даже еще более слабом смысле) отображений к

1Bogoliouboff N N, Kryloff N M La théorie générale de la mesure dans son application à l'étude de systèmes dynamiques de la mécanique non-linéaire Ann Math , 1937, В 38, 65-113

^ Александров A Д О поверхностной функции выпуклого тела Матем сб , 1939, т 6(48), в 1, 167-174

^Канторович Л В О перемещении масс ДАН СССР, 1942, т 37, в 7-8, 227-229

^Прохоров Ю В Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей Теория вероятн и ее примен , 1956, т 1, в 2, 177-238

®Богачев В И Основы теории меры Т 1,2 2-е изд РХД, Москва-Ижевск, 2006

^Давыдов Ю А , Лифшиц M А , Смородина H В Локальные свойства распределений стохастических функционалов Физматлит, Москва, 1995

7Жакод Ж , Ширяев А H Предельные теоремы для случайных процессов Т 1,2 Наука, Москва, 1994

®Giaquinta M , Módica G , Sou6ek J Cartesian currents in the calculus of variations V I, П Springer, Berlin - New York, 1998

отображению, у которого производная невырожденна почти всюду относительно преобразуемой меры Результаты этой части работы тесно связаны с геометрической теорией меры9,10,11 и существенно опираются на последнюю

Второй общий вопрос связан с возможностью преобразовать одну заданную вероятностную меру ц в другую вероятностную меру V Хорошо известно, что при весьма широких предположениях такие преобразования имеются Например, так обстоит дело, если эти меры заданы на достаточно хороших пространствах (например, полных сепарабельных метрических или суслинских) и р не имеет атомов Однако преобразования такого рода обычно задаются весьма неявно Кроме того, подобные общие теоремы существования не дают каких-либо канонических способов выбора преобразования Лишь для мер на прямой имеется естественная конструкция перевода одной меры в другую с помощью их функций распределения и обратных к ним В частности, всякую вероятностную меру без атомов можно преобразовать в любую другую меру с помощью возрастающей функции Имеются содержательные многомерные и бесконечномерные аналоги возрастающих функций Важный для приложений класс таких отображений составляют так называемые оптимальные транспортировки, возникающие в задаче Монжа-Канторовича и ее современных версиях12,13. Однако в последние годы стал интенсивно изучаться почти не пересекающийся с классом оптимальных отображений другой класс многомерных аналогов возрастающих функций, состоящий из треугольных преобразований Эти отображения имеют ясную геометрическую структуру и находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см работы14'15) Существенное продвижение в изучении свойств треугольных преобразований достигнуто в

®Федерер Г Геометрическая теория меры Наука, Москва, 1987

^Гольдштейн В М , Решетняк Ю Г, Квазиконформные отображения и пространства Соболева Наука, Новосибирск, 1983

^Решетняк Ю Г Пространственные отображения с ограниченным искажением Наука, Москва, 1982

^Rachev S Т , Ruschendorf L Mass transportation problems V 1,2 Springer, New York, 1998

1 ч

Villain С Topics in optimal transportation Amer Math Soc , Rhode Island, 2003 ^Knothe H Contributions to the theory of convex bodies Michigan Math J , 1957, v 4, 39-52 ^Bobkov S G Large deviations via transference plans Adv Math Research, 2003, v 2, 151175

работах16,17 (см также книгу5), в которых введен ряд новых интересных объектов, в частности, понятие канонического треугольного отображения В диссертации исследована сходимость канонических треугольных преобразований одной сходящейся по вариации последовательности мер в другую заданную сходящуюся по вариации последовательность мер Стоит отметить, что оба обсуждавшихся направления имеют интересные связи с теорией условных мер (см книгу5)

Основные результаты диссертации связаны с исследованием сходимости по вариации образов фиксированной меры относительно сходящейся последовательности нелинейных преобразований, а также с изучением в некотором смысле обратной задачи о сходимости треугольных преобразований, порожденных сходящимися мерами Таким образом, тематика работы актуальна для обеих указанных выше общих задач нелинейной теории меры

Цель работы. Получить достаточные условия сходимости по вариации для последовательности мер, индуцированных сходящимися слабо дифференцируемыми отображениями Исследовать зависимость канонических треугольных преобразований мер от преобразуемых мер и их образов при наделении пространства мер расстоянием по вариации

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1 Доказана сходимость по вариации образов абсолютно непрерывной меры ¡л на при отображениях ^ Г^2 —» которые сходятся к отображению .Р, при условии, что якобианы ^ удовлетворяют некоторым условиям ограниченности, а якобиан Р невырожден почти всюду относительно ц

2 Построены примеры, показывающие, что использованные в теореме о сходимости условия близки к оптимальным и не могут быть существенно ослаблены

3 Получены аналоги первого результата для отображений пространств или многообразий разной размерности, а также для отображений бесконечномерных пространств в конечномерные

^Богачев В И , Колесников А В , Медведев К В Треугольные преобразования мер Матем

об , 2005, т 196, п 3, 3-30

17

Богачев В И , Колесников А В Нелинейные преобразования выпуклых мер Теория ве-роятн и ее примен , 2005, т 51, а 1, 27-51

4 Доказано существование треугольных преобразований мер на счетных произведениях измеримых пространств и доказана сходимость канонических треугольных преобразований Т[1пУп заданной последовательности вероятностных мер цп на К00 в другую заданную на Л.00 последовательность вероятностных мер ип при условии сходимости обеих последовательностей мер по вариации

Методы исследования. В работе применяются методы теории меры, в частности, теория условных мер, функционального анализа, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Ее результаты и методы могут быть использованы в теории меры, теории вероятностей, теории случайных процессов, нелинейном анализе и математической физике

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством проф В И Богачева и НА Толмачева (1998-2007 гг), на международном семинаре „Бесконечномерный стохастический анализ" в Билефельде (Германия, ноябрь 1999 г), на конференции молодых ученых Московского государственного университета им М В Ломоносова (апрель 2005 г.) и на международной конференции по теории вероятностей в г. Черновцы (июнь, 2005 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 5 параграфов, и списка литературы из 48 наименований Общий объем диссертации составляет 58 страниц.

Краткое содержание диссертации Глава 1

В этой главе исследуется следующая задача Пусть ^ - последовательность случайных векторов в И", сходящаяся по вероятности к случайному вектору Когда распределения векторов сходятся к распределению £ по вариации? Эта задача возникает при изучении

предельных теорем теории вероятностей (см , например, книги6,7 и работу18), она имеет и самостоятельный интерес Простое достаточное условие сходимости по вариации получено Ю А Давыдовым в цитированной работе, где {£,} - абсолютно непрерывные функции на отрезке [0,1], равномерно сходящиеся к абсолютно непрерывной функции причем — £'||хд[о,1] —► 0 При этих условиях сужение меры Лебега на множество Е = {£' ф 0} переводится функциями в меры, сходящиеся по вариации к образу меры при отображении £ В диссертации дано доказательство значительно более общего результата В частности, приведенное утверждение верно, если и £ - измеримые отображения в R™ со свойством Лузина (N) (те. переводящие множества меры в множества меры нуль), почти всюду имеющие производные (или хотя бы регулярные аппроксимативные производные) Dи которые локально равномерно интегрируемы, причем отображения ^ сходятся равномерно на компактах к а их производные сходятся по мере на ограниченном измеримом множестве Е к производной отображения которая невырожденна на Е Таким образом, и в одномерном случае результат работы Ю А Давыдова усилен Аналогичные результаты получены для отображений между конечномерными римановы-ми многообразиями, где невырожденность производной ограниченного отображения заменяется сюръективностью Кроме того, получены следствия основного результата для отображений из бесконечномерных пространств, применимые к широким классам мер, в частности, к гауссовским мерам и гиббсовским распределениям Приведем точные формулировки

Для всякого открытого множества Г2 С Rd и всякого числа р> 1 пространство Соболева И^Р,1(П) состоит из функций / G LP(Q), обобщенные частные производные которых также являются элементами LP(Ü) Пространство Соболева W^i^R") состоит из отображений

/ = (/ь. .,/«) ft->Rn,

таких, что /, <5 И™1 (О) Символом Wj£(Sl, R") обозначается класс отображений / Г2 —> R", для которых £/ € V7p,1(ii, Rn) при всех С € Cq°(Q), где Cg°(i2) - класс всех гладких функций с компактными носителями в Г2

^Давыдов Ю А О сходимости по вариации образов одномерных мер Зап научн семин ПОМИ, 1992, т 194 Проблемы теории вероятностных распределений, ХП С 48-58

В основной теореме используется понятие аппроксимативной производной (см книгу10) Обычная дифференцируемость / в точке влечет аппроксимативную дифференцируемость в этой точке, причем обычная производная Df в этом случае служит аппроксимативной В отличие от обычных производных, в определении аппроксимативной производной не требуется, чтобы отображение / было определено в окрестности точки х Любое отображение / класса W/^R^, Rn) обладает модификацией, имеющей почти всюду частные производные, что влечет аппроксимативную дифференцируемость почти всюду При желании можно считать, что ниже речь идет об обычных частных производных Следует отметить, что даже в случае непрерывно дифференцируемых отображений основные результаты диссертации являются новыми

Пусть дано измеримое пространство (X, А) с конечной мерой Ац — пополнение А относительно /х Если / - //-измеримое отображение со значениями в некотором измеримом пространстве (У, В), те /_1(В) € Afx при В € В, то образ меры ц при отображении / обозначается через fi о /_1 и определяется формулой

МоГ1(В) = ^(Г1(В)), вев

Сужение меры fi на измеримое множество Е обозначается через ц\е Мера Лебега обозначается через А

Теорема 1. Пусть F- Rn —► R" и F3 R" —> Rn - измеримые отображения, А - мера Лебега на R", а Е - измеримое множество конечной лебеговской меры в R" Предположим, что во всякой точке х G Е существуют аппроксимативные частные производные DlF{x) и D1F]{x), г — 1, ., п, причем отображения F3 сходятся по мере на множестве Е к F, aux аппроксимативные частные производные D%F3, г = 1, . ,п, сходятся по мере на множестве Е к соответствующим аппроксимативным частным производным F Предположим также, что аппроксимативный якобиан J(F) = det DF отображения F не обращается в нуль на Е Тогда следующие условия равносильны

(i) для всякого измеримого множества А С Е меры ° F~l сходятся по вариации к мере АЦ о F~l;

(п) для всякого измеримого множества А С Е и всякого Ô > О существует такой компакт Kg С А, что A(A\Ks) <5 и выполнено равенство lim X{F3(Ks)) = A(F(Ks))

Если не желать иметь дело с аппроксимативными производными, то в формулировке приведенной выше теоремы их можно заменить на более привычные обычные частные производные (хотя при этом получится несколько более слабое утверждение) Например, теорема применима к отображениям из класса Rn, Rn), удовлетворяющим условиям сходимости на Е

Следствие 1. Предположим, что в ситуации теоремы 1 выполнено какое-нибудь из равносильных условий (i) или (ii), причем Е может иметь бесконечную меру Лебега Пусть ¡± - абсолютно непрерывная вероятностная мера на R" Тогда меры ¡jî\e0F~1 сходятся по вариации к мере ц\е ° F~l

В диссертации показано, что предположение о невырожденности J(F) на множестве Е существенно Отметим, что невырожденность J(F) на Е необходима и для абсолютной непрерывности индуцированной меры о F~l Если отображения F3 инъективны на Е, то условие (i) теоремы 1 (следовательно и условие (и)) следует из предположений этой теоремы Однако в общем случае равносильные условия (i) и (и) не вытекают автоматически из предположений доказанной теоремы Соответствующий пример построен в диссертации Кроме того, построен пример, показывающий, что из условия (и) не следует, что A (F3(Ë)) -» A(F(E))

Приведем теперь условия, достаточные для выполнения (ii) Эти условия, не являясь необходимыми, для практической проверки могут оказаться более полезными

Следствие 2. Пусть непрерывные отображения F3 Rn —> Rn сходятся к непрерывному отображению F R" —> R™ равномерно на компактах, причем F3 и F обладают (N)-свойством Лузина и почти всюду имеют регулярные аппроксимативные производные (например,обычные производные) DF3 и DF, такие, что DF3 сходятся к DF по мере на некотором множестве Е конечной меры Лебега Предположим, что det DF ф 0 на Е и что на каждом компакте последовательность {| det jD-F^ |} равномерно интегрируема Тогда меры А|в о F~l сходятся по вариации к мере А|.е о jF-1. Кроме того, если ¡j. - абсолютно непрерывная вероятностная мера на R", то меры о F~l сходятся по вариации к мере ц\е ° F

(это верно также для Е бесконечной меры Лебега) Наконец, hm цША) Д F{A)) = 0 и lim /i(F3{A)) = ¡j,(F(A))

J—ЮО J—>00

для всякого измеримого множества А С Е

Характерным примером, в котором выполнены указанные выше условия, является следующая ситуация Пусть € W^'c (Rn,Rn), где р > п, и пусть отображения F} сходятся к F по соболевской норме II ' ИрД на каждом шаре. Предположим, что Е С {det F ф 0} - измеримое множество конечной лебеговской меры Тогда меры А|я о F~l сходятся по вариации к мере Х\е о F~l В случае р > п то же самое верно, если вместо сходимости по норме || ||рд на каждом шаре потребовать ограниченность {Fj} в WP,1(U, Rn) для каждого шара U и сходимость Fj к F почти всюду

Для отображений между пространствами разных размерностей имеет место следующий результат

Предложение 1. Пусть F, F3: Rd —> Rn - непрерывные отображения с (N)-свойством Лузина, имеющие почти всюду регулярные аппроксимативные производные(например, просто обычные производные) DF и DFV и пусть Е С Rd - множество конечной лебеговской меры Предположим, что отображения F3 сходятся к F равномерно на компактных множествах, отображения DF} сходятся к DF по мере на Е, и что миноры порядка п матриц DF} либо сходятся в Ll{K) для каждого компактного множества К, либо мажорируются по абсолютной величине локально интегрируемой функцией Если оператор DF(x) сюръективен для почти всех х € Е, то меры о F~x сходятся к А|я о F-1 по вариации Более того, если ц - абсолютно непрерывная конечная мера, то меры ц\е о F*1 сходятся к мере ц\е ° i*1-1 по вариации (это верно и для Е бесконечной лебеговской меры)

Это ^предложение распространяется на отображения между римаг новыми многообразиями в том случае, если соответствующие условия выполнены в локальных картах.

Приведем следствие для отображений из бесконечномерных пространств Пусть дана вероятностная радоновская мера ¡х на локально выпуклом пространстве X (т е для всякого борелевского множества В С X и всякого е > 0 существует такой компакт КЕ С В,

что ц(В\Ке) < е) Пусть X является прямой суммой конечномерного линейного подпространства Z и замкнутого линейного подпространства У Тогда существует система вероятностных мер цу на множествах у Л- где у £ У, называемых условными мерами, для которых при всяком борелевском множестве В выполнено равенство

ц(В) = I МВ)и(<1у), где и - образ /л относительно естественной проекции X на У

Теорема 2. Пусть ех,.. ,en-бaзucвZ Предположим, что условные меры цу на подпространствах 2 + у, у €У, абсолютно непрерывны относительно естественных лебеговских мер на порождаемых каким-нибудь линейным изоморфизмом между Ъ и И", причем соответствующие плотности либо локально строго положительны, либо непрерывны Пусть Р X —> И" - ц-из-меримые отображения, которые для (1-почти всех х абсолютно непрерывны на прямых х + Б^е,, г = 1 ,...,п, причем Р3 F и д^Р3 —» де1Р в 11"), где р > п Если Е - такое /х-измеримое

множество, что с^({д^Р, декР)^ ^ 0 на Е, то меры //¡^о^-1 сходятся по вариации к мере /х|# о Р~1.

Эта теорема применима к гиббсовским мерам (см книгу19), обладающим абсолютно непрерывными условными распределениями с локально строго положительными плотностями на конечномерных подпространствах

Приведем пример, относящийся к гауссовским мерам (используемые здесь понятия из теории гауссовских мер имеются в книге?0). Пусть 7 - радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X, имеющая пространство Камерона-Мартина Н Обозначим через И/Гр,1(7,11") определяемый ею класс Соболева Позначных отображений, входящих вместе с первыми производными в Пусть И/р,1(7, И."), где р > п, причем имеет место

сходимость Р: —> Г по норме И/рД(7, Г1п) Тогда для всякого 7-измеримого множества Е С {х: БнР(х)(Н) = И"} меры -у\в ° -Р,-1 сходятся по вариации к мере 7^ о

^Георги X -О Гиббсовские меры и фазовые переходы Мир, Москва, 1992

ол

Богачев В И Гауссовские меры Наука, Москва, 1997

Глава 2

В последние годы активно исследуются так называемые треугольные преобразования мер, т е такие отображения Т = (Тг) X —» X конечного или счетного произведения X = Хг измеримых пространств Хи что каждая координатная функция Г, зависит только от переменных х\, . ,хг. Г,(ж) = Тг{х\, . ,хг) В работах16,17 даны интересные применения треугольных отображений. В этих же работах в случае конечного или счетного произведения прямых введено понятие канонического треугольного отображения как такого боре-левского треугольного отображения Т с компонентами Т„ что при всех г функции хг Тг(х1, . возрастают При этом пока-

зано, что для всякой абсолютно непрерывной вероятностной меры ¡1 на И" и всякой вероятностной меры и на Нп существует каноническое треугольное отображение Т^, переводящее цъи, причем такое отображение единственно с точностью до переопределения на множестве /¿-меры нуль В частности, в качестве /х можно использовать меру Лебега Л на кубе и получать все остальные меры как образы А при канонических треугольных отображениях В одномерном случае каноническое треугольное отображение представляет собой возрастающую функцию В этом случая преобразование меры Лебега в заданную вероятностную меру V строится с помощью функции распределения меры и (нужно взять псевдообратную функцию), это наблюдение восходит к А Н. Колмогорову Замечательной особенностью канонических треугольных отображений является то, что, в отличие от общих измеримых изоморфизмов мер, они строятся конструктивно по индукции с помощью условных мер В случае мер с плотностями такие отображения можно задавать в явном виде, правда, при п > 2 соответствующие формулы становятся весьма громоздкими В диссертации изучены треугольные преобразования мер на произведениях суслинских пространств Напомним, что пространство X называется суслинским, если оно является образом полного сепарабельного метрического пространства при непрерывном отображении. Пусть Хи где г € 14, — суслинские пространства и пусть и V — борелевские вероятностные меры на X = П»=1 В главе 2 показано, что найдется борелевское треугольное отображение Т: X —> X, для которого ¿¿оТ-1 = и В цитированных выше работах16,17 был рассмотрен случай, когда отображаемая мера ц на И" абсолютно непрерывна В диссертации показано, что это верно

для мер из существенного более широкого класса, рассматриваемого ниже Наконец, в работе установлено существование треугольных отображений с одним полезным свойством непрерывности, что и составляет основной результат второй главы

Предложение 2. Пусть [1 и и - борелевские вероятностные меры на X. Предположим, что при каждом п проекция меры ц на П"=1 и условные меры на Хп для этой проекции не имеют атомов Тогда найдется такое борелевское треугольное отображение Т. Х^Х, что 11 о Г-1 = V.

Основной результат главы 2 состоит в следующем Обозначим через Ро класс всех борелевских вероятностных мер ц на X, удовлетворяющих условию предыдущего предложения Через V обозначим множество всех борелевских вероятностных мер на X

Теорема 3. Каждой паре мер ц € То и и 6 V можно сопоставить борелевское треугольное отображение ТМ1„, переводящее ¡х в V и обладающее следующим свойством если последовательность мер Ц] € То сходится по вариации к мере ц € То, а последовательность мер 1>3 € Т сходится по вариации к мере и £ Т, то некоторая подпоследовательность отображений Тц „ сходится к отображению ц-п в

В частности, если X метризуемо (т.е все пространства Хп метризуемы), то отображения Г^ ^ сходятся по мере /х к отображению Т^.

Имеются примеры, показывающие, что в утверждении о сходимости почти всюду выделение подпоследовательности существенно, т е вся последовательность не обязана сходиться почти всюду

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В И Богачеву за постановку задач и постоянное внимание к работе

Работы автора по теме диссертации

[1] Александрова Д Е Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее примен 2005 Т 50, N 1. С. 145-150

[2] Александрова Д Е , Богачев В.И , Пилипенко А Ю О сходимости индуцированных мер по вариации Матем сб 1999 Т 190, N 9 С. 3-20 (Д Е Александровой принадлежат теорема 2 1, следствия

2 3, 2 5, 2 6, теорема 3 1, следствие 3 2, предложение 3 5, В И Бога-чеву принадлежат общая постановка задач, лемма 2 4 и следствие

3 4; А Ю Пилипенко принадлежат следствия 2 7 и 3 3)

[3] Alexandrova D , Bogachev V., Pilipenko A On the convergence in variation for the images of measures under differentiable mappings Comptes Rendus Acad Sci Paris, s6r 1 1999 T 328, N 11 P 10551060 (Д E. Александровой принадлежат теоремы 1,2, следствия 1,2,3, В И Богачеву принадлежат общая постановка задач и следствия 5 и 7, А Ю. Пилипенко принадлежат следствия 4 и 6)

[4] Alexandrova D Е. Convergence of triangular transformations of measures Abstracts of the International Conference "Modern Problems and New Trends m Probability Theory", Chernovtsi, pp 3-4 Институт Математики HAH, Киев, 2005

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 2 ¿74 Формат 60x90 1/16 Уел печ л ¿0 Тираж -Ц)() экз Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение.

ГЛАВА 1. Сходимость образов мер.

1.1. Обозначения и терминология.

1.2. Сходимость образов мер при слабо дифференцируемых отображениях.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Нелинейные преобразования и различного рода сходимость мер играют важную роль во многих задачах функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов. Изучение этих объектов было начато более чем полвека назад в классических трудах А.Н. Колмогорова, А.Д. Александрова, Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова, Дж. фон Неймана, Л.В. Канторовича, Ю.В. Прохорова, А.В. Скорохода и других исследователей. Особенно здесь можно отметить работы 1,2>3'4. Подробный историко-библиографический обзор дан в книге0. В настоящее время активные исследования в этом направлении продолжаются, обогащая взаимодействующие области математики.

Можно выделить следующие два общих вопроса нелинейной теории меры, с которыми так или иначе связано множество самых разных более специальных задач. Пусть дана последовательность измеримых отображений Fj на пространстве с мерой fi. Будут ли индуцированные меры (j,oFу1 сходиться в каком-то смысле? Многие задачи нелинейного анализа и теории вероятностей приводят к рассмотрению слабой сходимости мер, однако весьма важен и случай более сильной сходимости по вариации, причем этот случай гораздо менее изучен; ряд важных результатов получен здесь в связи с предельными теоремами теории вероятностей 6,7

Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, 167-174.

Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La th^orie g£nerale de la mesure dans son application a l'etude de systfemes dynamiques de la n^canique non-lin^aire. Ann. Math., 1937, B. 38, 65-113.

Канторович JT.B. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, 227-229.

Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, 177-238.

Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. РХД, Москва- Ижевск, 2006.

Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, Москва, 1995. 7

Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т: 1,2. Наука, Москва, 1994. и вариационным исчислением8. В этом направлении в диссертации исследуется сходимость по вариации образов заданной меры относительно сходящейся в подходящем смысле последовательности отображений. Типичная ситуация возникает при сходимости дифференцируемых в смысле С.Л. Соболева (или даже еще более слабом смысле) отображений к отображению, у которого производная невырожденна почти всюду относительно преобразуемой меры. Результаты этой части работы тесно связаны с геометрической теорией меры9'10'11 и существенно опираются на последнюю.

Второй общий вопрос связан с возможностью преобразовать одну заданную вероятностную меру в другую вероятностную меру у. Хорошо известно, что при весьма широких предположениях такие преобразования имеются. Например, так обстоит дело, если эти меры заданы на достаточно хороших пространствах (например, полных сепарабельных метрических или суслинских) и ц не имеет атомов. Однако преобразования такого рода обычно задаются весьма неявно. Кроме того, подобные общие теоремы существования не дают каких-либо канонических способов выбора преобразования. Лишь для мер на прямой имеется естественная конструкция перевода одной меры в другую с помощью их функций распределения и обратных к ним. В частности, всякую вероятностную меру без атомов можно преобразовать в любую другую меру с помощью возрастающей функции. Имеются содержательные многомерные и даже бесконечномерные аналоги возрастающих функций. Например, весьма важный для приложений и интересный теоретически класс таких отображений составляют так называемые оптимальные транспортировки, возникающие в задаче Монжа-Канторовича и ее современных версиях12'13. 0

Giaquinta М., Modica G., Soufek J. Cartesian currents in the calculus of variations. V. I, II. Springer, Berlin - New York, 1998.

Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, Москва, 1987.

Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г., Квазиконформные отображения и пространства Соболева. Наука, Новосибирск, 1983.

1 ^Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Наука, Москва,

1982.

I 9

Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

II loViIlani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode fsland, 2003.

Однако в последние годы стал интенсивно изучаться почти не пересекающийся с классом оптимальных отображений другой класс многомерных аналогов возрастающих функций, состоящий из треугольных преобразований. Эти отображения имеют ясную геометрическую структуру и находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см. работы14,10). Существенное продвижение в изучении свойств треугольных преобразований достигнуто в работах16'17 (см. также книгу0), в которых введен ряд новых интересных объектов, в частности, понятие канонического треугольного отображения. В диссертации исследована сходимость канонических треугольных преобразований одной сходящейся по вариации последовательности мер в другую заданную сходящуюся по вариации последовательность мер. Стоит отметить, что оба обсуждавшихся направления имеют интересные связи с теорией условных мер (см. книгу5).

Основные результаты диссертации связаны с исследованием сходимости по вариации образов фиксированной меры относительно сходящейся последовательности нелинейных преобразований, а также с изучением в некотором смысле обратной задачи о сходимости треугольных преобразований, порожденных сходящимися мерами. Таким образом, тематика работы актуальна для обеих указанных выше общих задач нелинейной теории меры.

Цель работы.

Получить достаточные условия сходимости по вариации для последовательности мер, индуцированных сходящимися слабо дифференцируемыми отображениями. Исследовать зависимость канонических треугольных преобразований мер от преобразуемых мер и их образов при наделении пространства мер расстоянием по вариации.

Knothe Н. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, 39-52. ^Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, 151-175. ^Богачей В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб., 2005, т. 196, п 3, 3-30.

Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 51, n 1, 27-51.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана сходимость по вариации образов абсолютно непрерывной меры /i на Hd при отображениях Fj: —> БД которые сходятся к отображению F, при условии, что якобианы Fj удовлетворяют некоторым условиям ограниченности, а якобиан F невырожден почти всюду относительно ц.

2. Построены примеры, показывающие, что использованные в теореме о сходимости условия близки к оптимальным и не могут быть существенно ослаблены. 3. Получены аналоги первого результата для отображений пространств или многообразий разной размерности, а также для отображений бесконечномерных пространств в конечномерные.

4. Доказано существование треугольных преобразований мер на счетных произведениях измеримых пространств и доказана сходимость канонических треугольных преобразований заданной последовательности вероятностных мер fin на R°° в другую заданную на R°° последовательность вероятностных мер vn при условии сходимости обеих последовательностей мер по вариации.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории меры, в частности, теория условных мер, функционального анализа, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории меры, теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистике, нелинейном анализе и математической физике.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством проф. В.И. Богачева и Н.А. Толмачева (1998— 2007 гг.), на международном семинаре „Бесконечномерный стохастический анализ" в Билефельде (Германия, ноябрь 1999 г.), на конференции молодых ученых Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (апрель 2005 г.) и на международной конференции по теории вероятностей в г, Черновцы (июнь, 2005 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приведен в конце работы.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 5 параграфов, и списка литературы из 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 58 страниц.

1. Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб. 1939. Т. 6, N 1. С. 167-174.

2. Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.

3. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. Регулярная и хаотическая динамика. Москва—Ижевск, 2006.

4. Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. О треугольных преобразованиях мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 6. С. 727-732.

5. Богачев В.И., Колесников А.В., Медведев К.В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб. 2005. Т. 196, N 3. С. 3-30.

6. Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер и энтропия плотностей Радона-Никодима. Докл. РАН. 2004. Т. 397, N 2. С. 155-159.

7. Богачев В.И., Колесников А.В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен. 2005. Т. 51, N 1. С. 27-51.

8. Богачев В.И., Майер-Вольф Э. Потоки, порожденные векторными полями соболевского типа, и соответствующие преобразования вероятностных мер. Докл. РАН. 1998. Т. 358, N 4. С. 442-446.

9. Георги Х.-О. Гиббсовские меры и фазовые переходы. Мир, М., 1992.

10. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Квазиконформные отображения и пространства Соболева. Наука, Новосибирск, 1983.

11. Давыдов Ю.А. О сходимости по вариации образов одномерных мер. Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 194. 1992. Проблемы теории вероятностных распределений, XII. С. 48-58.

12. Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, М., 1995.

13. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.

14. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1,2. Наука, М., 1994.

15. Жданов Р.И., Овсиенко Ю.В. Оценки соболевских норм треугольных отображений. Вестник МГУ. Сер. мех., матем. 2007. N 1. С. 3-6.

16. Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 78. С. 227-229.

17. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, N 2. С. 177-238.

18. Колесников А.В. Неравенства выпуклости и нелинейные преобразования мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 3. С. 300-304.

19. Пономарев С.П. Субмерсии и прообразы множеств меры нуль. Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 1. С. 199-210.

20. Пономарев С.П. Об iV-свойстве гомеоморфизмов класса WСиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 2. С. 140-148.

21. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Сиб. матем. журн. 1967. Т. 8, N 3. С. 629-658.

22. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Наука, М., 1982.

23. Решетняк Ю.Г. JV-свойство для пространственных отображений класса W^loc. Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 5. С. 149-153.

24. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Мир, М., 1980.

25. Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, М., 1987.

26. Хеннекен П.Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. Наука, М., 1974.

27. Ширяев А.Н. Вероятность. Наука, М., 1989.

28. Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Науч. книга, Новосибирск, 2002.

29. Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research. 2003. V. 2. P. 151-175.

30. Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La theorie generate de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire. Ann. M^th. 1937. B. 38. S. 65-113.

31. Bogachev V.I. Differentiable measures and the Malliavin calculus, J. Math. Sci., 1997, v. 87, n 5, p. 3577-3731.

32. Bogachev V.I., Mayer-Wolf E. Absolutely continuous flows generated by Sobolev class vector fields in finite and infinite dimensions. J. Funct. Anal. 1999. V. 167, N 1. P. 1-68.

33. Bojarski В., Iwaniec T. Analytical foundations of the theory of quasiconformal mappings in Rn. Annales Acad. Sci. Fennicae, Ser. A. I. Math. 1983. V. 8. P. 257-324.

34. Bouleau N., Hirsch F. Dirichlet forms and analysis on Wiener space. Walter de Gruyter, Berlin New York, 1991.

35. Giaquinta M., Modica G., Soucek J. Cartesian currents in the calculus of variations. V. I, II. Springer, Berlin New York, 1998.

36. Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J. 1957. V. 4. P. 39-52.

37. Kolesnikov A.V. Convexity inequalities and optimal transport of infinite-dimensional measures. J. Math. Pures Appl. 2004. V. 83, N 11. P. 13731404.

38. Malliavin P. Stochastic analysis. Springer, Berlin New York, 1997.

39. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. Springer, Berlin -New York, 1995.

40. Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

41. Rado Т., Reichelderfer P.V. Continuous transformations in analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1955.

42. Ren J., Watanabe S., A convergence theorem for probability densities and conditional expectations of Wiener functionals. In: Dirichlet forms and stochastic processes (Beijing, 1993). P. 335-344. De Gruyter, Berlin, 1995.

43. Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.G"

44. Ziemer W. Weakly differentiable functions. Springer-Verlag, New York Berlin, 1989.Работы автора по теме диссертации

45. Александрова Д.Е. Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее примен. 2005. Т. 50, N 1. С. 145-150.

46. Александрова Д.Е., Богачев В.И., Пилипенко А.Ю. О сходимости индуцированных мер по вариации. Матем. сб. 1999. Т. 190, N 9. С. 320.

47. Alexandrova D., Bogachev V., Pilipenko A. On the convergence in variation for the images of measures under differentiable mappings. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, ser. 1. 1999. T. 328, N 11. P. 10551060.

48. Alexandrova D.E. Convergence of triangular transformations of measures. Abstracts of the International Conference "Modern Problems and New Trends in Probability Theory", Chernovtsi, pp. 3-4. Институт Математики HAH, Киев, 2005.