Методы решения физически нелинейных задач расчета составных конструкций композитной структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



МИНИСТЕРСТВО НАУКИ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОСЖЖОИ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИ* ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ошхуяов Муаед Музафаровкч

КЕТО/Щ РЕИЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ РАСЧЕТА СОСТАВНЫХ КОНСТРУГЦЖ КОМПОЗИТНОЙ СТРУКТУРЫ

01.02.04 - Механика дефорнврувиого твердого тела

Автореферат дпссэртшиа на сояскаяио ргваоа степекз доктора тохзпгческих наук

На правах рукописи УЖ 539.214

ШСКБА - 1303

Работа выполнена яа кафедре "Вычислительная математика" Кабардино - Балкарского ордена Дружбы народов государственного университета

Научный консультант; чл. -корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор Мазутов Н.А.

Оффициалыше оппоненты: доктор технических наук, профессор Зайцев Г. П. дохтор фязахо-матекатаческих ааух. профессор Кулиев В. Дж. доктор физико-математических наук, профессор Варко И. В.

Ведуаая организация: Институт проблем механики РАН, г. Москва

Запита диссертации состоится - -2» - Л 19937.

в 2£~ ч. на заседании специализированного совета Д 053.20.02 при Московском'государственном открытом университете по адресу: 129805. Москва, ул. Павла Корчагина, д. 22

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан 2. - си^г^ЗГ1933г.

Ученые секретарь специализированного совета кандидат технических наук

Дмитриев В. Г.

Обаая характеристика работы

Актуальность проблемы. Широкое применение новых материалов в различных областях техники, использование их при высоких тепловых нагрузках потребовало привлечения новых физических моделей механики деформируемого тела. Многие годы проблема прочности конструкция успешно решалась на базе классической теории малых упругих деформаций Гука. Хотя теория Гука и сейчас играет важную роль в оценках прочности, невозможно на ее базе определять работоспособность многих конструкций, выполненных из современных материалов. Если даже при малых деформациях законы Гука не справедливы, то принято говорить о моделях, описывавших свойство таких материалов, как о физически нелинейных. Многие материалы, такие, как порох, различные сорта полимеров, резиноподобные и композиционные материалы, некоторые сплавы, эксплуатируемые при высоких температурах, имеет именно такие свойства.

Получение определяющих законов, описывающих удовлетворительно физические свойства материала в реальных условиях эксплуатации, -важная задача. Если на этой стадии допускаются большие погрешности, то математическая модель, построенная на базе таких определяющих законов, будет изначально содержать неустранимую погрешность.

Были предприняты многочисленные попытки сформулировать определяющие законы, которые обладали бы общностью и простотой. Другими слогами, физические законы должны описывать как можно более широкий класс материалов и в то же время, математическая модель, построенная на базе этих законов, должна быть не слишком сложной. Одной из таких моделей слонной среды, получившей широкую известность, является теория малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина. Оказалось, что в условиях активного нагружекия, свойства широкого класса металлов и неметаллов могут быть описаны в рамках теорий Гука, если считать, что модули объемного сжатия и сдвига не константы, а функции интенсивности деформация. Так как интенсивность деформаций -инвариант тензора вц, то модель А.А. Ильюшина можно ' назвать одноинвариантноЯ моделью физически нелинейной сплошной изотропной среды.

Дальнейшее экспериментальное исследование свойств материалов показало однако, что в рамках теории малых упруго-пластических деформаций не могут был. удовлетворительно описаны свойства пороха, полимеров и т. д. в условиях температурных и иных видов нагружений. Оказалось, например, что диаграмма "напряжение-деформация" для пороха

существенно зависит от среднего давления /средней деформации/. Другими словами, если эту диаграмму получать в условиях гидростатического сжатия, то вследствии сйжаткя материала эта диаграмма "круче", чей в условиях отсутствия всестороннего давления. Заметим, что такие явления не характерны для металлов, а имеют место именно для композитных структур.

Такого рода свойства могли быть описаны только в рамках двухинваркантных физически нелинейных моделей, когда наряду с интенсивность!! деформаций е /вторым инвариантом/ используется а первый инвариант в /средняя деформация/. Такого рода модели двухинвариантного типа изучались в работах Д. Л.Быкова, Б.Е. Победрм и других авторов.

Следующим шагом в совершенствовании моделей, описывавших сложные нелинейные свойства современных конструкций, является создание наиболее общей физически нелинейной модели, включающей, как частный случай, ранее разработанные, учитывавшей,наряду с двумя инвариантами, третий, влияние температуры, реологические особенности и т. д. В данной работе предлагается и нко такая модель сплошной деформируемой среды. Она пригодна для описания свойств таких материалов, как резина, порох, различные композиты. В ее рамках можно учесть влияние трех инвариантов на определяющие законы, вести учет температурного воздействия, вязко-упругости и т.д.

Для предлагаемой модели даны ограничения на определяющие законы, при которых корректна постановка задачи расчета на прочность конструкций, изготовленных из таких материалов. В частном случае из этих ограничений следуют результаты, полученные в работах A.A.Ильюшина, И.И.Воровича, Б, Е. Победрк, Д.Л.Быкова и других авторов. Под корректной постановкой понимается единственность задачи и выполнимость вариационных принципов типа Лагранжа и Кастильяно.

Другая важная проблема - разработка методов решения возникающих нелинейных задач. Заметим, что нелинейные задачи рассматриваемого типа решаются путем сведения их к последовательности линейных задач, как правило, эллиптических. Для теории малых упруго-пластических деформаций А.А.Ильюшина был предложен метод- "упругих решений". Суть метода в построении процесса последовательных приближений с использованием нелинейных слагаемых в правой части системы уравнений в виде фиктивных массовых сил. Другой'метод, предложенный И. А.Биргером, позволяет свести нелинейную задачу в каждом приближении к системе дифференциальных уравнений в частных производных с переменными

коэффициентами.

Кроме них автором предлагается метод, сводякий решение исходной задачи к последовательности линейных задач, где в исходном приближении решается система дифференциальных уравнений эллиптического типа с переменными по области коэффициентами и произвольной правой частью.

Заметим, что реке.чие последовательности линейна задач, к которым сводится исходная нелинейная задача для реальных составных конструкций со сложной геометрией выреза,наличием оболочек является достаточно непростой задачей.

3 данной работе для реализации ликеПкых задач используется метод конечных и граничных элементов.

В развитии данного направления,наряду с упомянутыми выше авторами, большой вклад внесли работы Работкова В. Н., Качанова Л. М., Косквитина В.В., Огибалова П.М., Фрейденталь А., Бленд Д., Мидлман С. и других. Методы решения линейных и нелинейных задач были развиты в работах Михяина С. Г. , Купрадзе В. Л., Мусхелишвили Н. И., Черноусько Ф. Л., БаничукяН. В., Розина JI. А.. Кошелева А. И., Коркеева В. Г., Зенкевича 0., Стренг Г., Фикс Дж., Германн Л., Вашицу К., Еребия К. и других . авторов.

Целью работы является создание и исследование новой модели, разработка методов решения соответствующих нелинейных задач на базе метода конечных и граничных элементов и расчет на прочность реальных составных конструкция Ствердотопливных двигателей) с разнообразными формами выреза и с учетом в рамках этой модели реальных физически нелинейных свойств топлива или аналогичных по свойствам других материалов.

Hv/чная новизна . В диссертации предлагается новая модель физически нелинейной среды, позволявшая описать свойства разнообразных материалов в условиях температурного нагрухения, давления и других видов внешнего воздействия. Эта модель содержит, как частный случай, модели, созданные другими авторами (Ильюшин A.A., Победря Б.Е., Быков Д.Л. и другие), учитывает в определявших законах влияние третьего инварианта, температурного поля и других факторов. Получены ограничения на функции, входящие в определяющие законы, выполнение которых обеспечивает единственность задачи и справедливость вариационных принципов Лагранка и Кастильяно. Полученные ограничения играют важную роль при построении определяющих законов на основе

данных опыта.

Разра-Зотакы методы решения возникающие нелинейных задач. Две из них прэдетазляют обобщение _ известных методов А. А. Ильюшина и И.А. Биргера (метод упругих решений и переменные: параметров упругости) на рассматриваемую нелинейную задачу, а третий метод назван автором "комбинированным". Доказана сходимость итерационных процессоз Сметодов последовательных приближений) при некоторых ограничениях на определяющие функции. В частном случае из этих ограничений получаются результаты, полученные ранее в работах И.И.Воровича, Д.Л.Быкова, Б. Е.Победри. Проведен сравнительный теоретический и практический анализ предлагаемых методов, доказана их практическая эффективность на расчетах реальных составных конструкций.

На базе метода конечных и граничных элементов с использованием различных видов конечных элементов разработаны алгоритмы расчета твердотопливных двигателей в условиях плоского напряженного и деформированного состояния с учетом физически нелинейных свойств.

Исследованы модификации метода локальных вариаций'для минимизации функционала, ускоряющие сходимость. Предложен новый итерационный метод для малосжимаемых сред и метод решения систем ;ииейных алгебраических уравнений, основанный на идее ортогонального проектирования.

Научная и практическая значимость полученных результатов. Исследования в области моделирования физически нелинейных свойств резиноподобных материалов типа твердого топлива и разработка методов расчета напряженно-деформируемого состояния таких материалов стимулирется запросами практики.

Нелинейность свойств композитных сред приводит к необходимости создания как новых моделей сплошной среды, учитывающих все аспекты общей теории моделирования,так и новых методов решения задач расчета напряженно-деформируемого состояния конструкций. Такие методы могут быть созданы лишь на основе широкого анализа частных моделей и методов.

Практическая значимость проведенных в диссертации исследований определяется тем вкладом, который он вносит в решение насущных задач оценки прочности современных констгуги/й типа твердотопливного двигателя и подобных ему конструкций.

Полученные здесь результаты внедрены в виде научно-технических отчетов, отчетов по хоздоговорным темам. методик расчетов, специализированных программ на базе метода конечных и граничных

элементов, ектов внедрения методов раочвта » КБ и НИИ, учебно-методических пособий в вузах.

Аппсобация работы. По основным результатам диссертации опубликовано около 30 работ, результаты неоднократно докладывались на - Всесоюзных и Международных научных семинарах и конференциях; на Королевских чтениях МФТИ, (г.Долгопрудный, 1971г.), на заседаниях семинаров К5ГУ С рук. профессора А. М. Нахушев, М. X. Шхануков,

A. И.Текрокев, г.Нальчик, 1977-1989), Челябинского технического университета Срук.- профессора О, Ф. Чернявский, Д. А. Гохвельд, г. Челябинск, 1992г.), Института машиновед ния РАН Срук. - чл.корр. РАН Н.А.Кахутсв. Москва, 1992г.), Всесоюзной конференции по перспективный методам планирования и анализа экспериментов Сг.Нальчик, 1982г.), на заседании объединенного семинара КБГУ, ¡Института математики им.

B.А.Стеклова, Института прикладной математики им.Келдыша, Института математики им. Романовского АН Узбекистана Сп. Терскол, 1983,1986г.г.), Всесоюзных ст.олах-семинарах по нелинейным краевым задачам я их приложениям (Институт математики и механики АН Украины п.Терскол, 198ч. 1У87, г.Самарканд, 1690г.), Международной конференции "Новые методы в физике и механике деформирумого твердого тела (п. Терскол, 1989г.), семинарах Московского государственного открытого университета (рук. - профессор И. Н. Преображенский, Москва, 1993).

Структура и обгсм работы. Диссертация состоит из введения ' и четырех глав, изложенных на ¡\ХО страницах машинописного текста, а также содержит список использованной литературы, содеряааиа 9 V наименования.

Содержание работы

Бо введении кратко формулируется цель работы и предмет исследований, дана характеристика актуальности проблемы, определена структура диссертации.

В первой главе дана сдзля характеристика проблемы, некоторые вопросы истории развития моделей неупругой сплошной среды, методов решения возникающих при этом нелинейных задач, обзор литературы и характеристика результатов диссертационной работы.

Вторая глава посвящена исследование наиболее общей связи между тензором напряжений о^ ^ и деформаций е^ j для изотропной среды:

К

= '«А» + + ».СЭ»Л| " -I "5

Здесь функции <ра зависят от трех инвариантов Е|( Еа.

тензора деформаций и температуры Т. Здесь

Е, = е„6,,. Еа * Е, = ?&,А|Эм' '

1 Е я С2)

По повторяюоимся индексам ведется суммирование от 1 до 3, а запятаа означает дифференцирование по координате х(.

Определяющие законы С1Э содержат, как частный случай, закон Гука С<рд, - константы, Ра=0), модель теории малых упруго-пластических

деформаций А. А.Ильюшина (*>о =сопз{.,р1=р1СЕаЗ. двухинвариантную

модель Д.Л.Быкова (р =вСЕ .ЕО.в =*> СЕ, и. другие модели

О О I 2 I 'I I 3 X

неупругоя сплошной среды.

Необходимость такого обобщения определяющих законов вызвана тем, что свойства резиноподобных изделий типа пороха зависит не только от ;:ятенг.'?нгети деформаций, но также от среднего напряжения и

температуры. Другими словаки, диаграмма а--с, снятая в условиях всестороннего сжатия для резиноподобных материалов, в отличии от металлов сильно зависит от величины среднего давления /средней деформация/ Кроме того, соотношение С13 учитывает температурный фактор и третий инвариант тензора деформаций.

Рассмотрим задачу нахождения решения уравнений равновесия

а\\.\ + Х1 =

удовлетворяющего граничным условиям

"Чг""»- °и.1иЕ

= <7?.

С 33

С 4Э

Тензор деформаций е.. определяется через вектор перемещений и. по

формулам

И

1

2 Си1.1 * иЫ

♦ и»

С 5)

Здесь 1, 2,3 а по повторяющимся индексам ведется суммарозание от 1 до 3.

Предположим, что решение задачи (1)-С5) существует и пусть для функций ро , ра справедливы неравенства

где

®и >

до

а = 3 тгг-и бе

а а а 1» 12 11

а а а

аа аз

о а . а

13 аз "и

|а"Ч>о,

4 до Зр.

Л.=

> о,

<6)

(7)

В

С 73

dip

Тогда задача (l)-CS) имеет единственное решение.

Интересно отметить частные случаи условий С6). Если мы имеем дело с законом Гука Cpo=const, pt=const, pj=0), то из неравенств С65

следует, что модули сдвига G и объемного сжатия К должны быть положительными константами. Если рассмотреть теорию малых

упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина Cpo=const, . р (Е ),

а

Рг=0) то из условий С7) следует (р = — ) .

и

der

air > CSD

и

т.е. интенсивность напряжений сгц должна быть монотонной положительной функцией интенсивности деформаций е^. В случае po=po(Et.Е^)= = (pjCEj ,Еа) ,р2=0 из С7) следует ограничения, полученные в работе Л.Быкова.

Заметим, что условиям С6), С7) должны обязательно удовлетворять функции ро. i>t, <рл, которые могут быть получены из данных

эксперимента, т.к. в противном случае единственность задачи не

гарантируется.

Можно показать далее, что выполнение условий С6), С7) обеспечивает также справедливость принципа Лагранжа, т.е. теоремы о минимуме потенциальной энергии. Отметим важную роль этого принципа при использовании метода конечных элементов, т.к. классический метод конечных элементов - это метод минимизации потенциальной энергии деформации путем разбиения области на конечные элементы. В работе доказывается, что первая вариация потенциальной энергии V равна нулю, а вторая вариация больше нуля, т.е.

6V = 0. > 0.

С 9)

Следующим этапом является выяснение условий, при которых

справедлив принцип Кастилъяно. т.е. принцип минимума дополнительной работы. Предполагая, что соотношения (1) обратимы, т.е. тензор деформаций ец выражается через девиаторный тензор напряжений s(j =

« огц — anffj j в виде

е(1 - Vo6H ♦ p^l ♦ VaCs|lcsfcl _ ¿мэ. С105

где . ц>л - функции трех инвариантов

st = 3d, sa = vsjjsjj , s3 а /3113}л, (11)

и температуры, можно поставить вопрос о минимуме дополнительной работы

\Г Можно показать, что при выполнении условий, аналогичных (6), (8), справедливы соотношения

Sf * 0. <5aV> 0. (123

Принцип Кастильяно играет важную роль в задачах, где энергия может быть выражена в терминах только напряжений. Например, использование метода конечных элементов для минимизации дополнительной работы корректно при любых коэффициентах Пуассона, в то время как минимизация потенциальной энергии для сред очень близких к несжимаемым неприменимо из-за больших погрешностей. Таким образом, если требуется получить алгоритм на базе метода конечных элементов, пригодный для . любых коэффициентов Пуассона, то требуется либо воспользоваться принципом Кастильяно (12), либо сформулировать какой-либо смешанный

функционал типа Рейснера или Геррмана. Заметим однако, что функционал типа Рейснера или Геррмана не обладают , свойством

минимальности, т.е. вторая вариация для этих функционалов знакопеременная. Это значит, что прямые методы минимизации функционалов, например, метод локальных вариаций, здесь непригодны.

Сделаем одно замечание о роли температурного фактора в законах (1), (10). Условия (6) должны быть выполнены для любого значения температурного параметра Т. Если имеет место. (6)то будут одновременно справедливы и теорема единственности задачи и принцип минимума

потенциальной энергии деформации. Если температурное поло достаточно большое и условие (6) нарушается, то задача' может оказаться вообце некоррехтной.

Наконец, в конце второй главы рассматриваются обобаепня законов вида (1) на вязко упругие среды вида

I I

= /^а-тЭр/тЭЭ^СтМт + <р'аС1-т)ра(т)1Э| К(Т>ЭК| Ст) -

о о

Е»Ст> Ш)

I

а = ]Ж-т)еоСтЭсйт. (14)

о

Здесь функции ро, ^, ря зависят от трех инвариантов Е1( Ег, Е3 и температуры Т. Путей разбиения интегралов по времени, задачу (3), (4), С 5) с определяющими законами С13), (14) моето свести к решении последовательности нелинейных статических задач вида (1)-(5). Естественно, ядра сдвиговой и'объемной релаксации должны удовлетворять для любого момента времени условиям типа (6). В противной случае, задача (3), С4), (3). С13), С14) может оказаться некорректной.

Третья глава посвящена методам решения физически нелинейных задач, вытекающим из принятой модели сплошной среды. Математический аппарат, используемый при гтом,- методы последовательных приближений, позволяете сводить задачу к решению последовательности линейных задач. Рассматриваются три метода: метод упругих решений А.А. Ильюшина,метод переменных параметров упругости И.А.Биргера и комбинированный метод автора. В первом случае задача сводится к решению последовательности линейных "упругих" задач с переменной правой частью /фиктивными массовыми силами/. Второй метод сводит задачу к линейным задачам с переменными по области упругими параметрами. Комбинированный метод требует решения в каждом приближении линейных задач, как с переменными упругими коэффициентами, так V- с произвольной правой частью.

Рассмотрим кратко эти методы применительно для частного вида

дзраишараалтноа нелинейности с учетом температурного поля.

Процесс итерации по указанный трем цетодаы строится в виде

ске!,п+,,> I + асой?*1'з , =

* и и л (13)

«-х, + (ке(„п,р<п>)(| + гсЩ"«"" )л

, ♦ гиза-«<п,)э{р')л + х{ = о, «ю

С1-р<п,ККв<нпм,)<1 + С1-ы<п>ЗС2<ЗЭ^п+,')л =

С17)

= -Х| + кб'^' ^ + гЦ и»п>; 1

, ' п - 0.1.2.....а.

Здесь функции р, ш характеризует степень, отклонения свойств среды

от линейных, в^д-ЗаТ. При п=0 полагаем р( 0> =ы'01 =0. Аналогичный

образом строятся итерации и для граничных условий.

Важнейший вопросом является исследование условий, при которых указанные методы последовательных приближений сходятся. Доказательство сходимости а существование обобщенного решения проводится по норме энергетического пространства У'

ад = иске*/г * оэ^э,))^ с 18)

При определенных требованиях на массовые и поверхностные силы, процесс итераций, например, по методу переменных параметров упругости (16) сходится, если функции ч>, и удовлетворяет неравенствам :

и > 0. р > 0. * = т§х{<о'п' ,р<п1 >,

Уаа + /3я + г3 + еаЛ1 - к) < 1.

Условия (19) являются достаточными для сходимости процесса итераций (16) и должны быть выполнены для любого значения температуры Т. Показ=чо также, что из (19) следуют условия единственности задачи СБ) для рассматриваемого вида нелинейности. Таким образом, выполнение неравенств (19) обеспечивает существование и единственность задачи. Для частных видов нелинейности из полученных в диссертации условий сходимости следуют результаты, полученные И. И. Воровичем и Ю. П. Красовским для теории малых упруго-пластических деформаций и Д.Л.Быковым для двухинвариантной модели.

Четвертая глава посвящена решению линейных задач методом конечных и »АМ^А/лЬлементов для составных конструкций со сложной геометрией • поперечного сечения.

На рисунке даны сечения типичных конструкций твердо--топливных двигателей

Рг 1 Типичные формы поперечных сечений твердотопливных двигателей.

Для. аппроксимации области использовался треугольный или криволинейный четырехугольный элемент (или их сочетание) с функциями форм

а + а х + а у, и = а ♦ а г + ар + аго.

1 г э' | х з « г

(20)

Минимум функционала энергии находился либо путем решения системы алгебраических уравнений (9) относительно узловых перемещений, либо прямой минимизацией функционала V модифицированным методом локальных зариаций Ф. Л. Черноусько. При решении системы используется только верхняя половина матрицы жесткости, а сама система решалась либо модифицированным методом Гаусса или итерационным методом ортогонального проектирования на гиперплоскости.

На рисунке 2 показано изменение радиальных напряжений в вершине цели (рис.1,а) в зависимости от радиуса по толщине свода при действии внутреннего давления. Топливо представляет из себя материал, свойства которых задастся двухинвариантными нелинейными законами с учетом температуры по закону Дюгамеля-Неймана (рис.2).

а 20

(О

-6,10*

11при5^н«ение/упругос решение/

\ / ✓

< /

V /

•«О /

- 1т (г-гг-г

Ц приближение Iнелинейное

1 Решение, I р =--

А =

1 +

1

1 +

К(0 - ЗаТ)

* » и.

Я приближение

Рис.2 Зависимость радиальных напряжений в "своде" твердотопливного двигателя: линейное (1-е приближение) и нелинейное решение.

(быстроты

Представляет большой интерес сравнение эффективности сходимости) различных методов последовательных приближений.

Решение одной и той же задачи, представленными выше методами последовательных приближений, показало большую эффективность по скорости сходимости комбинированного метода по сравнению с методом упругих решений. Кроме того, порог нелинейности, до которого имеет место сходимость комбинированного метода, существенно выше, чем для 'метода упругих решений. Таблице (1) иллюстрирует зависимость числа

итераций до сходимости при различных значениях «¡езразкорной - нелинейности (г) для комбинированного СсО метода и кэтода упругих решений С0

величина нелинейности 7 И 21 28 33 37 40

число итераций по комбинированному методу г 3 4 3 9 14 ш

число итерации по медоду упругих оешекий г Л) 3 4 6 8 се 00 03

Табл.1

Из анализа таблицы видно очевидное преемуцество комбинированного метода как по скорости сходимости так и по величине порога нелинейности. Так как в комбинированном методе приближение к точному решению происходит как за счет переменных коэффициентов в система дифференциальных уравнений в частных производных.. так и за счет переменной правой части, следовало ожидать более быстрой скорости этого метода по сравнению с остальными двумя.

Далее в главе 4 анализируются вопросы использования штода граничных элементов для решения задач рсчета НДС твердотопливных двигателей. Известно. что размерность задачи при зтгм сливается на единицу. Существует несколько вариантов метода граничных элементов. В настоящей работе используются базисные решения Кельвина о действии сосредоточенной силы во всем пространстве. Неизвестными являются распеделенные по границе области нагрузки. Данная область как бы погружается во все пространство, причем на границе области находится такое распределение плотности нагрузок, которое, если бы оно действовало во всей пространстве давало решение, аналогичное искомому внутри области V. Для вычисления решения в каждой внутренней точке можно использовать представление Сомильяны, которые является следствием теоремы взаимности Ветти, . если одно из напряженно-деформируемых состояний соответствует решению Кельвина. Основное интегральное уравнение для определения неизвестных значений перемещений и в напряжений р имеет вид

CJJCUDujC?) + J/pfjCf.xJu.CtídS =»

2 C20)

.a Hu^f.xDpjCxDdS + níu^Cf.KHjCxDdv.

Здесь рц, u* фундаментальные решения уравнений Навье для сосредоточенной сшш:

ин<?-х) лшп=шг[СЗ - 4v3ff»i + r.»rjJ-

Рн " - —1-7 KCl-2v}&, + Зг ,r ,D & - cal)

51 SrrCl-v)ra 11 .» Sñ

- <l-2v)Cr |nj - i¡jn,)]. {.J[sl,2,3.

Здесь г2=Г|Г|. rj=XjCx)-XjC?), г ¡ =r{ /г. Дискретизация уравнения

С20) приводит к система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений переоценка uk и напряжений qfc на границе области

Д%и, - EG,,^ + f,. $=1,2.....N. С22)

Здесь Н||, Gj| - матрицы, вычисляемые из С20) интегрированием по

границе области, Fj ,- составлявшая, обусловленная действием массовых

сил, Н-количество точек разбиения на границе. После нахождения неизвестных значений перемещения и напряжений вычисление в любой внутренней точке можно получить по формуле Сомальяни.

Заметим,- что вычисление напряжений и деформаций можно вести в кетоде граничных элементов в отличии от метода конечных элементов выборочно. Это, естественно, экономит время счета на ЭВМ. На рисунке 3 показан расчет напряжений и деформации С а также концентраций напряжений в вершинах цели) ■ твердотопливного двигателя' при действии внутреннего давления Р. Граница области разбивается на 25 граничных элементов, напряжения и деформации вычислялись в 18 внутренних тсчхах

4ис л а граничныу элементов z S Tf= 3

га= 1.чг

Как и следовало отдать, наибольшие концентрации кольцевых напряжений наблюдается в вершине щели, которые быстро падаот по

мере приближения к своду

Методом граничных элементов решались также и нелинейные задачи, однако, как следует из формулы Сомильяни, не асе методы последовательных приближений одинаково пригодны для этого метода. Для неоднородных областей преемудество метода граничных элементов сходит на -нет, однако для -однородных областей это не так. Так как в методе граничных элементов как априорная информация используются фундаментальные решения задач теории упругости, то следует ожидать его большей • эффективности. Применение метода граничны:« элементов в рассмотренных в 3-ей главе . способах итераций /за исключением метода упругих решений/ не является эффективным. Что касается применения метода конечных элементов, то как отмечалось выше, нет разницы, является ли область однородной или нет. Это обстоятельство делает этот метод более эффективным при решении, нелинейных задач различными методами последовательных приближений.

•Особое внимание в диссертации уделяется метода-.- решении задач для сред, близких к несжимаемым. Методом конечных и граничных элементов • решались задачи расчета НДС при стремлении коэффициента Пуассона к 0.5. Оказалось, что оба метода дают погрешности, превышающие 20« и больше.по перемещениям при v>0.49. Это погрешность связана не с ошибками дискретизации, а именно с формулировкой задачи только в перемещениях. Использование смешанных функционалов типа Рейснера или Геррмана снимает эту проблему. Однако это приводит к увеличению количества неизвестных Св методе Геррмана добавляется в каждом конечном элементе наряду с переметениями также и среднее'" нэтр^тение о). .В связи с этим предлагается итерационный метод получения р?1"?ниа для любого коэфффициентз Пуассона, если известно решение для

Рис. à'

несжимаемого материала.

Запишем уравнение Навье в виде

Здесь и. \ - постоянные Ляме. Очевидно, если \*»0.5.

Будем искать решение задачи в виде

п

и = Еа*»>.Сх ,х,х 3. С243

кг о

Подставляя С243 в (23) и граничные условия , а также используя разложен:;?

ч ■'■■ = 1 + а + а2+ а3 + .. . 1 в

можно свести исходную задачу к цепочке задач вида

ДеЦур = 0.

о

701'/^ » Др +■ Г/м = 0. С 253

+ Д«>, = 0, №2. к к-1

Решение задачизатем строится по формулам • С243. Нетрудно дать оценки скорости сходимости и предлагаемого метода в соответствии с представлением С24), однако полный анализ требует дополнительного теорегическогоисследлЕакия.

Б заключение главы дается описание одного эффективного итерационного метода решение системы линейных алгебраических уравнений, основанного на проектировании точки п-мерного пространства на гиперплоскость. Суть метода достаточно проста. Если дано уравнение гиперплоскости Содно из уравнений исходной системы, например, первоеЗ

ах+ах+...+ ах=Ь ~ (273

11 1 12 2 1П П 1

и точка п-мерного пространства Сх'.х®.....х°3, то его проекция

Сх|...,х^3 на гиперплоскость, задаваемую уравнением С273, имеет вид

*{ ♦ в,| - , 1=1,2.....п. (28)

Полученная точка затем проектируется на следующую гиперплоскость (второе уравнение системы) и т.д. Этот метод имеет по сравнению с прямыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений следующие преимущества:

1) Не обязательно хранить всю матрицу жесткости системы [КК<5)=Г. Достаточно посчитать коэффициенты ац перед проектированием. Это крайне важно при решении больших систем уравнений.

2) Скорость сходимости зависит от удачного выбора начального приближения. По этой причине многократное решение систем, которые не сильно отличаются друг от друга - идеальный объект для использования предлагаемого метода. Например, решение вязко-упругих задач пошаговым методом и нелинейных задач методами последовательных приближений приводит к таким задачам.

3) Число необходимых арифметических операций итерационного метода (28) составляет порядка паш, где т-число итераций до сходимости. Так как в прямых методах аналогичные оценки составляют п1 операций, то преемущества рассматриваемого метода становятся особенно ощутимыми при решении очень больших систем (эффективность порядка п/а).

, 4) Сходимость для систем, близких к ортогональным очень высокая.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1) Предложена и исследована модель, описывающая физически нелинейные свойства изотропной среды с учетом трех инвариантов тензора» деформаций и температурного поля. Модель предназначена для описания свойств таких материалов как полимеры, порох, резиноподобные я композиционные изделия в условиях сложного нагружения. При некоторых

ограничениях на определяющие функции доказаны теоремы единственности и вариационные теоремы типа Лагранжа и Кастильяно, используемые для численного анализа модели. В частном случае из полученных ограничений следуют результаты, полученные другими авторами для более простых моделей.

Ы Дано обобщение рассматриваемых, определяющих законов на вязко-упругие нелинейные среды. Дан способ сведения этих задач к статическим нелинейным задачам.

3) Предложены методы последовательных приближений для решения возникающих задач. Для достаточно общего случая дзухинвариантных законов с учетом температурного поля при некоторых ограничениях на определяющие функции доказана сходимость итерационных процессов.

4) На основе предложенных алгоритмов последовательных приближений методами конечных и граничных элементов решен класс задач для составных тел (двигатели на твердом топливе) со сложными нелинейным! свойствами.

5) рроведен численный анализ скоростей сходимости итерационных процессов, который выявил большую эффективность предложенного автором комбинированного метода по сравнению с другими методами последовательных приближений. При использовании метода конечных элементов исследованы вопросы эффективного учета граничных условий первого рода, использования конечных элементов различных типов, разумного хранения оперативной информации и размещение конечных элементов по области со сложной границей.

6) Исследованы модификации метода локальных вариаций для минимизации функционала Лагранжа, позволяющие многократно сократить время счета, доказана геометрическая сходимость процесса минимизации.

7) На основе анализа результатов числовых расчетоа напряженно-деформирумого состояния составных конструкций со сложной геометрией границы щелевого выреза выявлены предельные границы коэффициента Пуассона, при которых формулировка задачи в перемещения/ не дает больших погрешностей. Метод граничных элементов с использованием решения Кельвина, тах же, как и классический метод

кснечтах элементов даёт белки» погрешности" при у>0.49 С 40%). Пребольших значениях коэффициента Пуассона необходимо перейти к оптимизации смешанных функиианалоа типа Рейснера и Геррмана.

8) Предложен итерационный метод определения перемещения для сред, близких к несжимаемому. Метод основан на разложении в ряд перемещения в окрестности решения, соответствующего несжимаемому материалу и приводит к необходимости решения последовательности более простых задач.

9) Дан сравнительный анализ эффективности использования метода конечных и граничных элементов при решении нелинейных задач расчета напряжений и деформации в твердотопливных конструкциях итерационными методами.

10) Предложен итер чионный метод решения систем линейных алгебраических (еяатоц алгоОрмчвцит) уравнений. который основан на проектировании точки на гиперплоскости. задаваемые системами уравнений. Метод особенно эффективен по сравнению с прямыми типа Гаусса, когда решаются нелинейные статические задачи или задачи вязко-упругости, где требуется многократное решение больших систем уравнений.

11) Предложен метод обработки данных эксперимента, отличный от классического варианта метода наименьших квадратов, который может быть использован для обработки данных опыта и решения оптимизационных задач.

Основные результаты диссертации изложены в следующей литературе:

1. Ошхунов М. U. 0<3 условиях справедливости теорем единственности, минимума работы внутренних сил и минимума дополнительной работы в физически нелинейных средах. -М.: Труды МФТИ, серия "Аэрофазика и прикладная математика", 1972, С.52-59

2. Ошхунов М.И. О методе упругих решений в деформационной теории термопластичности. "Краевые задачи для уравнений смешанного типа и родственные проблемы функционального анализа и прикладной математики". Межвузовски® сборник, вып.2, Нальчик, 1979.С.36-42

3. Оихунов М. Н. Решение прикладных задач на языке Бейсих, Нальчик, 1987, с.64

4. Ошхунов М. М. Температурные напряжения в двухсвязной области с радиально-кольцевым циклическим вырезом. - М.: Труды МФТИ, серия "Аэрс&ивжз и ^ркклапкая й-гяецахиЕЗ". 197Д C£l-£7

5. Тхагопсоев X. Г., Ошхунов М. М., Хапачев Б. С., Наурзоков В. А. О термоупругих напряжениях в кристаллах алмаза при правке лбразивных кругов. "Сверхтвердые материалы", N4 С31) изд. АН СССР и АН УССР, 1984, С. 58-52

S. Оихунов М. М. Об одном методе оценки статистических параметров усеченного распределения. Нелокальные задачи и их приложения к моделированию. Межвузовский сборник, Нальчик, 1983, С. 146-147

7. Тхагопсоез X. Г., Ошхунов М. М., Яхутлов М. М., Таов А. А. К вероятностко-статистичэсхой оценке прочностных свойств алмазных порошков. "Сверхтвердые материалы" N4 С49) Изд. АН СССР и АН УССР, 1987, С. 44-48

0. Ошхунов М.М. Методы последовательных приближений для решения физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела. Труды международной конференции "Новые методы в физике и механике деформирумого тела", часть 2, Изд.Томского университета, 1990, С.92-98

9. Ошхунов М. М. О достаточных условиях сходимости методов

2 1

последовательных приближений для решения краевых задач нелинейной теории упругости. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев. АН УССР, Институт математики, 1990, С. 98-99

10. Ошхунов М.М. Анализ сходимости некоторых итерационных процессов решения' нелинейных задач теории упругости. Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах. Сб. научных трудов. Киев, АН УССР, Институт математики, 1991. С. 104-105

11. Ошхунов М.М., Яхутлов М.М. Вероятностно-статистическое прогнозирование возможности повышения прочностных свойств алмазных порошков. Тезисы докладов второй всесоюзной конференции "Ресурсно-знергосберегаюаие и наукоемкие технологии в машинно и приборостроении." Академия технологических наук РСФСР. М. 1991, С. 60-51.

12. Ошхунов М.М. Об условиях единственности решений нелинейных задач вязко-упругости. Нелинейные краевые задачи математической Физики и их приложения. Киев, Институт математики АН Украины, 1992,

- С. 83-86.

13. Ошхунов М.М. 0 единственности решения, справедливости принципа Кастильяно и корректности задач нелинейной теории упругости. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.Сборник научных трудов. Киев, АН Украины. Институт математики, 1993, С.105-108

14. Ошхунов М.М. Об одном методе решения задач для тел, близких к несжимаемым. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сборник научных трудов. Киев. АН Украины, Институт математики, 1993, С.108-110

15. Ошхунов М. М. Методы решения физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела. Киев, АН Украины. Институт математики, препринт 93.32. 1993 . 34с.

16. Ошхунов М.М. 0 разрешимости физически нелинейных задач теории упругости Укр.мат. журн., 1993 , 6стр. /в печати/

17. Ошхунов М.М. 0 скорости сходимости итерационных процессов в нелинейной упругости , АН Украины , Прикладная механика, 1993, 6стр., /в печати/

18. Ошхунов М.М. Численные методы оценки напряженно-деформированного состояния машиностроительных деталей композитной структуры. Проблемы машиностроения и автоматизации /Engineering and automation/, Межд. журнал, 1993, N3. Зстр, ьгр S4-S6.