Нелинейные случайные процессы и анализ систем взаимодействующих частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Ярыкин Павел Николаевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И АНАЛИЗ СИСТЕМ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

(01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент А. Д. Манита

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б. М. Гуревич

кандидат физико-математических наук, с. н. с. С. В. Анулова

Ведущая организация: Институт проблем передачи

информации РАН

Защита диссертации состоится " " _ 2006 г. в 16 ча-

сов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992 ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

II ^ и

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

1. Исторический контекст. Математическая теория (классических) стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) возникла в 40-х годах XX века с работы Ито1, в которой было введено понятие стохастического дифференциала и его свойства. С тех пор теория классических СДУ была значительно развита, и в настоящее время их решения изучены для широкого круга условий2.

Широкий интерес представляют математические модели больших систем взаимодействующих броуновских частиц. С одной стороны, эти модели являются многомерными классическими СДУ. Но большая размерность сильно затрудняет получение конкретных результатов о поведении системы. В частности, интересны системы с парным взаимодействием типа среднего поля, когда влияние, оказываемое на частицу со стороны других частиц усреднено. То есть речь идет о системе частиц, которая может быть описана системой СДУ

dXiN = dWi + (a(XiN) + 1 £b(XiN, JO j dt (1)

с начальными условиями Xq. Здесь {Wt* }igN — независимые стандартные броуновские движения, а(х) задает снос частицы (процесса) под воздействием внешнего поля и Ь(х, у) — функция попарного взаимодействия частиц. Предполагается, что начальные условия Xq являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами.

В 50-х годах при описании эволюции частиц разреженного газа (уравнение Вольцмана) Кац3 предположил, что частицы X\'N являются асимптотически независимыми при больших N. В силу симметрии, маргинальные распределения всех частиц совпадают. Соответственно, распределение каждой частицы в момент времени t близко к эмпирической мере ß^'x(dx) =

4t.o К. Stochastic integral. — Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1944, v. 20, p. 519-524.

2Анулова C.B., Веретенников А.Ю., Крылов H.В., Липцер Р. Ш., Ширяев А. H. Стохастическое исчисление. — Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. ВИНИТИ, 1989. т. 49.

■'Кае M. Foundation of kinetic theory. — Proc. Third Berkley Symp. on Math. Stat, and Prob. 1956, v. 3, p. 171-197.

77 HÍ=i SXi,N(dx), а поведение выделенной частицы можно аппроксимировать решением нелинейного СДУ

dXt = d\Vt+ (^(Xt) + Jb(Xt,y)^(dy)j dt, (2)

где мера /.¿^ является распределением Xt. Таким образом, нелинейные СДУ позволяют исследовать асимптотическое поведение физических систем.

Процессы со взаимодействием типа среднего поля и связанные с ними нелинейные случайные процессы образуют широкий класс случайных процессов и представляют научный интерес. В настоящее время, они исследуются многими авторами при различных предположениях4'5'6.

Нелинейные СДУ оказались существенно сложнее классических СДУ для изучения, и их решения были исследованы в меньшей степени. В значительной мере это связано с тем, что решение нелинейного СДУ не является марковским процессом, хотя уравнение (2) и является обобщением однородного по времени классического СДУ.

2. Актуальные результаты и задачи. До недавнего времени основные результаты по теме исследования были получены в работах Шнитмана7 и Та-муры8,9. Шнитман получил результаты о пределе среднего поля для системы взаимодействующих частиц (1) в случае ограниченного липшицевого взаимодействия. Результаты Тамуры о существовании, единственности и устойчивости стационарного решения нелинейного СДУ (2) были получены в случае, когда взаимодействие быстро убывает с ростом расстояния и имеется сильное полиномиальное «центростремительное» внешнее поле. Под устойчивостью стационарного распределения понимается слабая сходимость ре-

4 Малышев В. А., Манита А. Д. Фазовые переходы в модели синхронизации времени. — Теория вероятн. и примен., 2005, т. 50, в. 1, с. 150-158.

'Karpelevich F. I., Rybko A.N. Thermodynamic Limit for" the Mean Field Model of Simple Symmetrical Closed Queueing Network. — Markov Processes and Related Fields. 2000, v. 6, p. 89-105.

6Manita A., Shcherbakov V. Asymptotic analysis of particle system with mean-field interaction. — Markov Processes and Related Fields. 2005, v. 11, p. 489-518.

TSznitman A.S. Topics in propagation of chaos. — Lect. Notes in Math., Springer, Berlin. 1989, v. 1464, p. 165-250.

"Tamura Y. On asymptotic behaviors of the solution of a non-linear diffusion equation. — J. Fac. Sci. Univ. Tokio Sect. IA, Math. 1984, v. 31, p. 195-221.

°Tamura Y. Free energy and the convergence of distributions of diffusion processes of McK-ean type. — J. Fac. Sci. Univ. Tokio Sect. IA, Math. 1987, v. 34, p. 443-484.

шения (его распределения в момент времени t) с любыми начальными условиями к стационарному распределению при t —> +00.

В последнее время появился ряд работ, развивающих вышеуказанные результаты. Как правило10'11, авторы предполагают наличие достаточно сильного «центростремительного» внешнего поля, подавляющего нелинейную составляющую сноса процесса. На этом фоне выделяются работы12,13, в которых результат типа результата Тамуры получен для выпуклого ядра попарного взаимодействия в предположении отсутствия внешнего поля. Получение подобных результатов для других видов взаимодействия в предположении отсутствия внешнего поля является актуальной задачей.

Также заметим, что во всех изученных случаях накладывались ограничения, которые приводили к единственности инвариантного распределения. Интересной задачей является явное описание и изучение случая, когда имеется несколько стационарных распределений.

Цель работы. Целью данной работы является разностороннее изучение нелинейного случайного процесса Xt (решения нелинейного СДУ (2)) на вещественной прямой К и его связи с системой взаимодействующих частиц (решением системы СДУ (1)). Исследования ограничиваются случаем, когда внешнее воздействие на систему отсутствует, то есть а(х) = 0, а ядро взаимодействия (3{х) состоит из двух компонент: линейно возрастающей силы притяжения и ограниченного липшицевого возмущения, то есть

0(х) = х + 0г(:г).

В части работы на ядро взаимодействия /3 накладывается более сильное ограничение:

0(х) = х -basinх.

10Veretennikov A. Yu. On ergodic measures for McKean-Vlasov stochastic equations. — Isaac Newton Inst., for Math. Sci. 2003, preprint N103066.

"Carrillo J. A., McCann R. J., Villani C. Kinetic equilibration rates for granular media and relates equations: entropy dissipation and mass transportation estimates. — Revista Matematica Iberoamericana. 2003, v. 19, p. 1-48.

12Benachour S., Roynette В., Talay D., Vallois P. Nonlinear self-stabilizing processes — I: Existence, invariant probability, propagation of chaos. — Stochastic Processes and Appl. 1998, v. 75, p. 173-201.

1:iBenachotir S., Roynette В., Vallois P. Nonlinear self-stabilizing processes — II: Convergence to invariant probability. — Stochastic Processes and Appl. 1998, v, 75, p. 203-224.

В рамках этого предположения решение нелинейного СДУ исследуется для всех значений параметра а.

Еще одной целью работы является явное указание такого взаимодействия, когда СДУ (2) имеет несколько стационарных решений, а также изучение свойств соответствующего нелинейного процесса и стационарных распределений. Эта цель выполняется в вышеуказанных рамках, поскольку искомым взаимодействием оказывается взаимодействие с ядром 0(х) ~ х + asina; при достаточно больших а.

Методы исследования. В работе применены методы теории вероятностей и случайных процессов, в частности, теория марковских случайных процессов, характеристические функции, преобразования стохастических дифференциалов, сходимость вероятностных мер. Также были использованы методы функционального анализа. Еще одним важным инструментом является функционал свободной энергии.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1) доказаны существование и единственность сильного решения нелинейного СДУ (2);

2) доказан предел среднего поля для системы частиц (решения системы СДУ (1)) в случае возмущения Pi{x) с константой Липшица а < 1/4;

3) доказано существование стационарных решений нелинейного СДУ (2) и получены результаты об их количестве (в частности, при достаточно больших а получена неединственность стационарного распределения);

4) исследована устойчивость найденных стационарных распределений.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Работа относится к области случайных процессов. Ее результаты могут быть использованы для изучения больших систем частиц с парным взаимодействием типа среднего поля.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и семинарах.

• Научно-исследовательский семинар «Теория вероятностей и статистическая физика» механико-математического факультета под руководством Оселедеца В. И. и Гуревича Б. М. МГУ, 2002 г.

• XXV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Название доклада: Среднеполевая аппроксимация для одной системы взаимодействующих частиц. (МГУ, апрель 2003 г.)

• Научно-исследовательский семинар «Теория вероятностей и статистическая физика» механико-математического факультета под руководством Оселедеца В. И. и Гуревича Б.М. (МГУ, 2004 г.)

• Научно-исследовательский семинар «Вероятностные методы в биологии» механико-математического факультета МГУ под руководством Малышева В. А. (МГУ, 2004 г.)

• Ломоносовские чтения. Название доклада: Устойчивость нелинейного стохастического процесса, аппроксимирующего систему взаимодействующих частиц. (МГУ, апрель 2005 г.)

• Научно-исследовательский семинар Добрушииской математической лаборатории ИППИ РАН под руководством Минлоса Р. А.( ИППИ РАН, 2005 г.)

• Большой Семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством Ширяева А. Н. (МГУ, октябрь 2005 г.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора [1-5], список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, дополнения и списка литературы. Общий объем работы составляет 85 страниц. Список литературы включает 45 наименований.

Поддержка. Исследования по теме диссертации частично были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 99-0101140 и 02-01-00945).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится исторический обзор развития теории нелинейных СДУ и систем взаимодействующих частиц. Там же сформулированы основные результаты дайной работы, которые являются новыми.

Первая глава посвящена предварительному изучению нелинейного СДУ

Xt = ДГ„ + Wt + ff b(Xaty)ßf(dy) ds (3)

J о J a1

дли симметричного трансляционно инвариантного взаимодействия Ь{х,у) = = —ß(x—y) = —b(x,y) вида ß(x) — х + ßi(x), где ßi(х) — ограниченная функция с константой Липшица 5.

В параграфе §1.1 приводится определение решения нелинейного СДУ (3) и доказывается теорема о его существовании. Попутно, как необходимая часть доказательства, получается свойство конечности первого момента.

В параграфе §1.2 выводится ряд свойств найденного решения, преимущественно касающихся его гладкости и различных оценок его плотности. Полученные оценки плотности будут активно использоваться в главе 3.

Теорема 1 является основным результатом первой главы.

Теорема 1. Уравнение (3) при начальном условии Хо с конечным пер-(П4М моментом имеет единственное сильное решение Xt на промежутке t € [0, ос). Более того, математическое ожидание ЕXt существует а ограничено.

Решение нелинейного СДУ понимается в следующем смысле.

Определение. Пусть имеется (расширенная Р-нулевыми событиями) фильтрация F = винеровский процесс W — (Wt, t ^ 0} относитель-

но F и начальное условие Хо = Хо, измеримое относительно -ЯЬ- Сильным решением нелинейного СДУ (3) на промежутке [0, оо) называется случайный процесс X = {Xt,i ^ 0}, имеющий п.н. непрерывные траектории, согласованный с филът,рацией F и такой, что при подстановке его и семейства его распределений {/г*, t > 0} в левую и правую части формулы (3) при каждом t ^ 0 получается равенство с вероятностью единица.

Найденное решение СДУ (3) обладает следующими свойствами:

• неизменность первого момента;

• абсолютная непрерывность распределения и гладкость его плотности;

• непрерывность по времени в слабой топологии;

• полиномиальная скорость усыпания плотности {и ее производных по.?.-) к нулю при х —* оо.

Вторая глава посвящена изучению системы случайных частиц | со взаимодействием типа среднего поля и ее связи с нелинейным случайным процессом Хс При этом миогочастичный процесс удовлетворяет следующей системе СДУ, ассоциированной со СДУ (3):

х= хь + УП + / ^ £ ь(х^, (4)

где Хг0 — независимые одинаково распределенные случайные величины, И^1 — независимые реализации стандартного броуновского движения.

Результаты данной главы применимы при 5 < 1/4. В частности, доказывается, что изучаемый процесс Хг действительно является пределом среднего поля для системы частиц (теорема 3).

Полученный результат также позволяет заключить, что стационарное распределение существует и единственно. Более того, любой процесс, удовлетворяющий нелинейному уравнению и имеющий второй момент, будет слабо сходиться при I —» +оо к стационарному распределению.

Основным результатом данной главы является теорема 3, которая заключается в следующем:

Теорема 3. Пусть ЕЛ'о и ЕХ$ конечны. Положим. — Хо и IV? —- И^.

{. /V

XI' > системы СДУ (4).

Тогда при а < ^ выполнено

¿-О,

где с(£) является некоторым коэффициентом, зависящим от времени.

Ключевую роль в этой главе играет лемма, которая устанавливает равномерную по времени оценку расстояния между случайными процессами, близкими к нелинейному и многочастичному соответственно.

Точнее, в лемме рассматриваются процессы У/,ЛГ и У/'^, задаваемые формулами:

1 "

•= X*,ЛГ__

* * £ ^уу / ^ £' >

3 = 1

г=1

где Х£* являются решениями СДУ (3) при Хо = XI и = Это преобразование позволяет избежать «размывания» многочастичного случайного процесса в пространстве путем перехода к системе отсчета, привязанной к его центру масс. Аналогичное преобразование N независимых реализаций нелинейного случайного процесса применяется для их согласования с многочастичным процессом.

Оказывается, что выделенная частица многочастичного процесса

в подвижной системе координат и нелинейный процесс в своей подвижной системе координат близки равномерно по времени, то есть

г I I Гч

Кроме того, такое же неравенство выполнено для разности нелинейного процесса Хг = X} и его модификации У/'^.

зирЕ^-У^'^ Похожее, но не равномерное по времени неравенство связывает Х/,ЛГ и У41,ЛГ:

/V '

{■ч N

У/' > является эргодическим, что позволяет получить теорему 4.

Лг—ос

* оо

(—*оо

Теорема 4. Пусть ЕХо и ЕХ$ конечны и а < 1/4. Тогда имеется слабая сходимость распределений

X w X

к

где ц^ — (одномерное) распределение стационарного решения СДУ (3).

В третьей главе изучается предельное поведение решения нелинейного уравнения при 0 = х + ce sin х. Основные результаты этой главы относятся к случаю отрицательных а и случаю больших положительных а.

В случае а < 1/2 доказывается, что стационарное решение единственно и что решение с любым начальным условием слабо сходится к стационарному решению (при t —► оо). При малых jorj получена также скорость этой сходимости.

Для больших положительных а доказывается, что существует два устойчивых стационарных распределения и что остальные стационарные распределения неустойчивы. Здесь устойчивость стационарного распределения понимается в смысле сходимости решения стохастического дифференциального уравнения с близким начальным условием к соответствующему стационарному распределению (локальная устойчивость). Эта часть результатов получена в инвариантном (замкнутом относительно динамики процесса) подмножестве четных распределений 'PsymíR) множества вероятностных распределений P(R).

Глава разбита на 5 параграфов.

Параграф §3.1 содержит результаты о стационарных распределениях процесса. В нем находится в явном виде двухпараметрическое семейство распределений, которое содержит в себе все стационарные распределения.

Теорема 5. Любое стационарное решение уравнения (3) в классе вероятностных плотностей с нулевым средним имеет вид

е—ya+acosy+6sln у va(y) =:V(a,b)(a){y) s j e—x2+a eos x+b sin xrfx '

причем решение существует для любого а. Для а ^ 1/2 решение единственно и соответствует паре вида (а,Ь)(а) = (а(а), 0).

Более того, для всех а находятся (уже в неявном виде) значения параметров, задающие в классе четных распределений V,ym,№) стационарное (или стационарные, если их несколько) распределение. Также доказывается единственность стационарного решения при а < ао (где «о > -j) и существование нескольких стационарных решений при а ^ ао.

Заметим, что в классе Р,„т(К) стационарное распределение задается одним параметром а, поскольку параметр Ь равен 0.

Теорема 6. Рассмотрим стационарные распределения СДУ (3) в классе Р„ут(Щ. Тогда существуют а0 > ± и а0 < 0 такие, что:

а) при а < ощ существует роено одно стационарное распределение, соответствующее значению ах (а) > 0;

б) при а = ао существует два стационарных распределения, соответствующих значениям ах (а) > 0 и аг(а) = ао;

в) при а > а о существует три стационарных распределения, соответствующих значениям а 1(0) > 0, аз (а) < ао иао< аз (а) < 0.

Основные результаты данной главы находятся в параграфах §3.4, §3.5 и содержатся в теоремах 12-14. При этом, теорема 12 аналогична классическим результатам о предельном поведении нелинейных процессов, в то время как теоремы 13 и 14 относятся к принципиально иному случаю, когда существует несколькб стационарных решений СДУ (3).

Теорема 12. При а < 1/2 существует единственное стационарное решение СДУ (3) с заданным математическим ожиданием. При этом оно ■глобально устойчиво в классе распределений с тем же математическим ожиданием, то есть любое решение СДУ (3) с таким Хо, что существуют ЕХо и ЕХц, слабо сходится при £ —» +оо к стационарному распределению с тем же математическим ожиданием.

Обозначим стационарные плотности из классаТ^утО^), соответствующие параметру через ра(.

Теорема 13. Стационарная плотность раз неустойчива, то есть для любой окрестности в слабой топологии {/Рвз С Р^т(К) существует р € 1/Раз такое, что решение СДУ (3) с начальным распределением р не сходится к стационарному решению с плотностью раз.

Теорема 14. Стационарные плотности ра1 и раг локально устойчивы. То есть существуют окрестности точек р^ ираз в Рзугп (К) со слабой топологией такие, что решение СДУ (3) с начальным распределением из этих окрестностей сходится слабо при £ —> +оо к соответствующему стационарному решению.

Заметим также, что ключевым понятием этого раздела является функционал свободной энергии

Р(Р) \ IР(х) 1пР(х)с1х + 1Л В{х - у)р{х)р{у)йх(1у.

В частности, результаты теорем 12-14 получены исходя из пространственно-временных свойств данного функционала, сформулированных в нескольких теоремах и леммах.

По своей сути функционал свободной энергии является аналогом функции Ляпунова в теории дифференциальных уравнений. Его основные свойства получены в параграфе §3.3. К ним относятся:

• значение функционала от распределения убывает как функция от £ (кроме случаев, когда одномерное распределение Хь является стационарным);

• функционал свободной энергии ограничен снизу;

• стационарные распределения СДУ (3) в точности соответствуют критическим точкам функционала свободной энергии;

• стационарное распределение СДУ (3) является (локально) устойчивым тогда и только тогда, когда оно соответствует (локальному) минимуму функционала свободной энергии.

В параграфе §3.2 при малых по модулю а с помощью преобразования Фурье показана экспоненциальная скорость слабой сходимости решения СДУ (3) с произвольным начальным условием к его стационарному решению.

В дополнение вынесены вспомогательные замечания и доказательства.

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Анатолию Дмитриевичу Маните за постановку задач, постоянное внимание, многочисленные ценные советы и помощь в работе.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] П. Н. Ярыкин. Устойчивость нелинейного стохастического процесса, аппроксимирующего систему взаимодействующих частиц. — Теория вероятностей и ее применения, 2006, т. 51, вып. 2, с. 400-409.

[2| П. Н. Ярыкин. Предельные свойства нелинейного стохастического процесса, аппроксимирующего систему взаимодействующих броуновских частиц. - Деп. в ВИНИТИ 07.12.05 ДО1606-В2005, 2005, 41 с.

. (31 П. Н. Ярыкин. Поведение нелинейного случайного процесса в окрестности его стационарных распределений. — Успехи математических наук, 2006, т. 61, вып. 4, с. 100-200.

[4] П. Н. Ярыкин. Поведение стохастического процесса, описывающего систему частиц со взаимодействием среднего поля. — Вестник Московского Университета, Сер. 1, 2004, №2, с. 55-58.

[5] П. Н. Ярыкин. Среднеполевая аппроксимация для одной системы взаимодействующих частиц. — Труды XXV Конференции молодых ученых (31 марта - 5 апреля 2003 г.), 2004, т. II, с. 251-255.

Подписано в печать 3S.JC.CQ Формат 60x84/16. Усл.печ.л. 75

Тираж (ОС экз. Заказ /$ Отпечатано в Отделе печати МГУ

Введение

1 Существование процесса и его основные свойства

§ 1.1 Существование.

§ 1.2 Свойства решения СДУ.

2 Связь между нелинейным и многочастичным процессами

§2.1 Аппроксимация многочастичного процесса нелинейным.

§ 2.2 Следствие об устойчивости стационарного распределения

3 Асимптотическое поведение нелинейного процесса

§3.1 Стационарные распределения.

§3.2 Сходимость процесса к стационарному распределению. Метод

Фурье.

§ 3.3 Функционал свободной энергии.

§3.4 Предельное поведение решения нелинейного СДУ при а ^ 1/

§ 3.5 Предельное поведение решения нелинейного СДУ при больших а

А Добавления

§ А. 1 Замечания к условию 1.

§ А.2 Доказательство леммы 5.

§ А.3 Оценка на ±оо некоторой функции

§ А.4 Обоснование уравнения (3.38).

Настоящая работа посвящена исследованию решения нелинейного стохастического дифференциального уравнения (СДУ) типа МакКпна-Власова без внешнего поля. Нелинейные процессы такого вида получаются как предел среднего поля для однородной системы попарно взаимодействующих броуновских частиц, то есть как предел (в среднем квадратичном при ограниченном времени) динамики выделенной частицы при росте числа частиц к бесконечности.

В данной работе осуществлен многосторонний анализ данного нелинейного одномерного процесса в случае однородного по времени траисляцпопно-инвариантного взаимодействия, состоящего из двух компонент:

• линейного притяжения,

• ограниченного гладкого возмущения. В работе получены следующие результаты:

1. существование и единственность сильного решения;

2. доказан предел среднего поля для класса ограниченных возмущений;

3. доказано существование стационарных решений нелинейного СДУ и получены результаты об их количестве;

4. исследована сходимость нестационарного нелинейного процесса к стационарным распределениям.

1. Математическая теория (классических) стохастических дифференциальных уравнении (СДУ) началась в 40-х годах XX века с работы Ито [34], в которой было введено понятие стохастического дифференциала и его свойства. С тех пор теория классических СДУ была значительно развита, а в настоящее время их решения изучены для широкого круга условий. Обзор современного развития теории классических СДУ имеется в работе [1].

В 50-60-е годы зародилась теория нелинейных СДУ, в которых уравнение не является линейным относительно случайного процесса, а именно + ^а(й) + I Ъ{Хь, у)/^ Л, (1) где множитель а(^) + ^ г/)задает снос процесса, причем мера является распределением X/, а(х) - внешняя составляющая сноса процесса и Ь(х, у) — функция взаимодействия.

Заметим, что это уравнение является обобщением однородного но времени классического СДУ.

Это уравнение возникло у Каца ([35]) из уравнения на многочастичный процесс

1X1= Л^ + (а(Х1К) + ^ £ЧХУ, Л':' ' ') Л (2) при описании эволюции частиц разреженного газа (уравнение Больцмана). Также Кац написал уравнение (1) в качестве модели уравнения Власова для плазмы. При этом функции а(х) и Ь(х,у) имели физический смысл градиента внешнего ноля (внешнего по отношению к системе частиц) и силы взаимодействия частиц.

Однако, этот тип уравнений оказался существенно сложнее для изучения и его решение было исследовано гораздо слабее. В значительной мере, это связано с тем, что решение нелинейного СДУ не является марковским процессом. По он близок к марковскому в том смысле, что марковской является пара (Xt,l.l^') из процесса и его распределения.

Обратим внимание, что уравнение (2) задает многочастичный процесс со взаимодействием типа среднего поля, когда влияние каждой частицы на поведение другой мало. Процессы со взаимодействием среднего ноля образуют широкий класс и представляют научный интерес. В настоящее время, они исследуются многими авторами при различных предположениях. Для примера можно указать работы [8, 30, 39, 40].

2. В настоящей работе рассматривается случайный процесс, являющийся решением нелинейного СДУ (1), также именуемый нелинейным процессом.

Мы исследуем следующие основные проблемы.

Во-первых, это вопрос существования исследуемого объекта, то есть решения СДУ (1), а также вопрос единственности решения.

Во-вторых, вопрос соответствия решения нелинейного СДУ и его физической модели. То есть верно ли, что процесс ^ действительно является пределом среднего поля эволюции выделенной частицы из системы попарно взаимодействующих броуновских частиц.

В-третьих, вопрос существования стационарных решений уравнения (1), а также изучение динамики распределения случайной величины Xt по отношению к найденным инвариантным мерам.

Под решением нелинейного СДУ будем понимать случайный процесс такой, что П1)и подстановке его распределения в уравнение он является решением получившегося классического СДУ.

Кап, ввел понятие «распространение хаоса» для системы частиц со взаимодействием среднего поля, которое означает, что фиксированный набор частиц асимптотически независим при устремлении общего числа частиц к бесконечности.

В дальнейшем, также стало активно использоваться близкое по смыслу (но отличное от первого) понятие предела среднего поля, означающее, что слабый предел выборочной меры многочастичного процесса (2) при фиксированном времени стремится к распределению нелинейного процесса (1), то есть в Г{Ш'1) для любого г > 0.

В основной части диссертации предел среднего поля понимается в более; сильном смысле. А именно, что распределение выделенной частицы из системы из N частиц в фиксированный момент времени сходится в среднем квад-ратическом к распределению нелинейного процесса в тот же момент времени. При этом полагается, что начальные распределения и впнеровские процессы нелинейного СДУ и выделенной частицы совпадают.

Поскольку естественными предположениями о силе взаимодействия являются предположения о ее пространственной трансляционной инвариантности, симметричности и однородности во времени, то функцию взаимодействия Ь(х, у) удобно задавать с помощью ядра взаимодействия /3(х) по фор1 муле:

Ь{х, у) = -(3(х- у) = -Ь{у, х).

При этом в силу симметричности взаимодействия его ядро обязано быть нечетным.

Вторая часть третьей проблемы заключается н вопросе об устойчивости стационарных распределений. При этом устойчивость распределения понимается в смысле, что существует такая окрестность стационарного распределения, что процесс, начинающийся с любого распределения из этой окрестности будет слабо сходиться к данному инвариантному распределению.

Начало в изучении нелинейных СДУ положила работа МакКина [38]. В пей для процессов (1) и (2) в условиях гладкости п ограниченности функций а(-) и &(•, •) был доказан предел среднего поля.

Шнитман ^икшап) в работе [42] сделал хороший исторический обзор темы и получил предел среднего поля для глобально липшицевого ограниченного &(•,■) вероятностными методами. Кроме того, в работе [42] предел среднего поля был получен еще для некоторых специфических случаев.

Тамура, в работах [43], [44] исследовал процесс (1), у которого функция взаимодействия [3 быстро убывает к нулю на бесконечности и имеется сильное полиномиальное «центростремительное» внешнее поле, а именно, а(х) ~ ~ сх\х\а~1 при х —> со, где а ^ 1 . В его работе доказаны существование и единственность решения нелинейного стохастического уравнения, существование, единственность стационарного решения и сходимость по вариации любого решения к нему. Там же показано и распространенно хаоса. Основную роль в его исследовании играет функционал свободной энергии. Аналогичная конструкция будет рассмотрена в §3.3, поэтому ее подробное описание здесь опустим.

Бепашур, Руанет, Талан, Валуа в работах [22] и [23] получили результаты, аналогичные результатам Тамуры, по для нелинейного уравнения без внешнего поля, в предположении полиномиального роста функции /З(-), ее локальной липшпцевостп, выпуклости па М+ и некоторых других технических условий.

В работе [45] Веретенников рассматривает вопросы существования и единственности, предельного поведения нелинейного процесса при больших временах и распространения хаоса для симметричного взаимодействия, растущего при увеличении расстояния не более чем линейно (равномерно по пространству), при достаточно сильном внешнем поле, притягивающем процесс в нуль. Ключевой в работе является равномерная но времени оценка среднеквадратического расстояния между X],N и Xt с согласованными начальным распределением и броуновским движением. Далее, эргодичность многочастичного процесса позволяет получить предельные свойства Xt. Подобные рассуждения будут приведены в данной работе в главе 2. Однако, сразу заметим, что без внешнего поля рассуждения из [45] не проходят.

Также схожую задачу исследовали Карило (Carrillo), МакКап (McCaim), Вилани (Villani) в работе [25]. Независимо от предыдущих авторов они исследовали решение уравнения = V{pV(U'(p) + V + Wxp)) (3) относительно вероятностной плотности р в R¿, где U: М+ —> R ость плотность внутренней энергии, V: Ж'1 —> R — внешний потенциал и W: Ж'1 —> —> R — потенциальная энергия взаимодействия. В частности, в качество U(s) можно рассматривать «внутреннюю энергию» броуновского движения, равную s 1п s. Тогда уравнение (3) будет описывать динамику плотности решения уравнения (1) с а(х) = W(x) и ядром взаимодействия (3(х) = V\V{x).

В их работе исследуется предельное по t поведение решения уравнения (3). В частности, доказывается существование и единственность стационарного решения и сходимость любого решения к стационарному решению. Однако, на функции V и W накладываются довольно сильные условия: V — строго выпуклая функция, V и W — строго полиномиального роста, а также другие технические условия. Исследования [25] опираются на функционал свободной энергии и логарифмические неравенства Соболева.

Случайные процессы, порожденные нелинейным СДУ, изучаются также в работах [2G, 27, 33, 37] (теми же методами, что и [22]) и [24, 28, 31, 32).

Также продольный процесс для системы взаимодействующих частиц рассматривался Дороговцевым и Котеленцем в [30]. По эти авторы рассматривали другой предельный переход от системы взаимодействующих частиц. Таким образом, полученные ими результаты другие, несравнимые, в частности, с результатами данной работы.

3. В диссертации исследуются проблемы, названные выше (стр. 5) в случае, когда а(х) = 0 и ядро взаимодействия /3 не является финитной, быстро убывающей на бесконечности или выпуклой на R+ функцией, то есть ядро взаимодействия (5 не укладывается в известные работы других авторов.

Более того, отсутствие внешнего поля и трансляционная инвариантность системы приводят к тому, что каждая инвариантная мера порождает целый класс инвариантных мор, полученных из исходной сдвигом. Поэтому в основной части диссертации устойчивость стационарного распределения мы будем понимать в смысле его устойчивости на суженном пространстве распределений, содержащем только распределения с заданным первым моментом.

В диссертации рассматривается ядро взаимодействия /5, состоящее из двух компонент: линейно возрастающей силы притяжения и ограниченного липшпцевого возмущения, то есть

В третьей главе на ядро взаимодействия ¡3 накладывается более сильное огра

При этих условиях па все поставленные проблемы даются полные ответы.

4. Диссертация построена следующим образом:

В главе 1 доказано существование сильного решения и его единственность при минимальных ограничениях па начальное распределение. Также получены некоторые свойства найденного решения:

• неизменность первого момента решения;

• пространственная гладкость распределения решения;

• непрерывность решения по времени в слабой топологии;

• убывание плотности к нулю при х —оо.

Глава 2 приводит обоснованно физического смысла данного исследования. В этой главе показано, что в данном случае при условии, что константа Липшица а для возмущения взаимодействия (3\{х) по превосходит 1/4, нелинейное СДУ описывает случайный процесс, являющийся пределом среднего поля (£ — фиксировано, N—>00) для выделенной частицы из системы взаимодействующих па расстоянии броуновских частиц

3(х) = х + 01(х). ничение:

3(х) = х + авш^). n

Более того, в этой главе для случайного процесса, близкого к X¿'A получена сходимость в среднем квадратичном к нелинейному процессу Xt равномерно по времени. Последняя оценка позволила получить предельные свойства Xt при а ^ А именно, существование и единственность стационарного распределения и слабую сходимость решения с произвольным начальным Хц к стационарному. Однако, данный метод принципиально не позволяет следить за скоростью сходимости.

Глава 3 содержит основные результаты об асимптотическом поведении нелинейного процесса. В пей предложено еще два подхода к изучению асимптотических свойств решении нелинейного СДУ. Оба подхода используют результаты о стационарных распределениях процесса, полученные в параграфе §3.1. В нем находится явно заданное двухпараметрпческое семейство распределений, которое содержит в себе все стационарные распределения. Более того, находятся (правда уже в неявном виде) значения параметров, задающие стацпонарное(-ые) распределенпе(-ия) для всех а 6 К. Там же доказывается единственность стационарного решения при а < ао (где q-q > \) и существование нескольких стационарных решений при больших а.

Параграф §3.2 представляет интерес преимущественно с точки зрения возможной техники работы с нелинейными СДУ. Он охватывает небольшую часть значений параметра а. А именно, в ней рассматриваются только малые по модулю ск. Основой этой техники является использование преобразования Фурье, которое преобразует нелинейное уравнение в частных производных на плотность решения в нелокальное уравнение в частных производных. Последнее позволяет оцепить вклад в эволюцию процесса и получить экспоненциальную сходимость Фурье-образа к Фурье-образу стационарного решения в пространствах Lp при р > 1. В частности, это дает экспоненциальную скорость сходимости решения к стационарному решению в V(№).

Наконец, в параграфах § 3.3—§ 3.5 случай синусоидального возмущения взаимодействия (/3(х) = х 4- asina;) рассматривается в наиболее широком диапазоне значений а. Эта часть работы покрывает случай а ^ 1/2, при которых доказана слабая сходимость решения СДУ к существующему и единственному стационарному решению. Кроме того, в этой главе рассматривается случай больших а (а > »2 > 0). В последнем случае показана неустойчивость стационарного решения с конечным (0(1) при а —> оо) параметром, а также показано, что существует ровно два четных стационарных решения, соответствующих значениям параметра 2а + 0(1) и —1а + 0(1), которые имеют ненулевые окрестности сходимости к ним. Скорость найденной слабой сходимости не получена.

Цитируемые утверждения носят название «утверждение». Собственные результаты названы «теоремами» (вспомогательные утверждения — «леммами»). Константы с, ci,. носят локальный характер (в разных частях ¡заботы так обозначенные константы могут принимать разные; значения).

В ¡заботе используется сквозная нумерация теорем, лемм и утверждении, ni)ii этом теоремы, леммы и утверждения нумеруются независимо друг от друга. Формулы нумеруются в каждой главе отдельно, при этом используется двойная система нумерации, например, формула (2.4) следует читать как «формула 4 главы 2».

5. Автор выступал на XXV Конференции молодых ученых в 2003 г., па научно-исследовательских семинарах кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ «Теория вероятностей и статистическая физика» под руководством Оселедца В. И. в 2002 г. и 2004 г., «Вероятностные методы в биологии» под руководством Малышева В. А., Ломоносовских чтениях в 2005 году, па Большом кафедральном семинаре в 2005 г., а также на научно-исследовательском семинаре Добрушинской математической лаборатории Г1ППИ РАИ под руководством Мпнлоса P.A. в 2005 г.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 99-01-01140 и 02-01-00945).

Непосредственно к теме диссертации относятся ¡заботы автора [15-19].

Работа выполнена иод руководством к.ф.-м.н., доцента Маииты А. Д., которому автор выражает искреннюю благодарность.