Гиперзвуковой пограничный слой на треугольных крыльях с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 519.6: 517.9: 532.526.2-3

ГИПЕРЗВУКОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ТРЕУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЯХ С МАЛЫМ УГЛОМ СТРЕЛОВИДНОСТИ НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

,9

Специальность: 01.02.05. - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

23 икГ 2014

Москва-2014

005553632

005553632

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной аэрогидромеханики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Дудин Георгий Николаевич, главный научный сотрудник ЦАГИ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Исаев Сергей Александрович, профессор кафедры механики СПГУ ГА

кандидат физико-математических наук, с.н.с Богданов Андрей Николаевич, старший научный сотрудник НИИ механики МГУ

Ведущая организация:

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 9 декабря 2014 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.403.004.01 при Центральном аэрогидродинамическом институте им. проф. Н.Е. Жуковского по адресу 140180, Московская область, г. Жуковский, ул. Жуковского, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Центрального аэрогидродинамического института им. проф. Н.Е. Жуковского.

Автореферат разослан « Ч » ¿^^2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук, профессор ^^Чржов в.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссетарции: Теория пограничного слоя Прандтля, развитая для исследования течений при больших числах Рейнольдса, приобрела большое значение в связи с развитием авиационной и космической техники. Начиная с середины двадцатого века, существенно возрос интерес к течениям в трехмерных пограничных слоях. Исследование пограничных слоев имеет большое значение для определения аэродинамических коэффициентов летательных аппаратов. Особую актуальность приобретает исследование пространственных вязких течений газа при гиперзвуковых скоростях полета аппарата. В этих случаях торможение газа в пограничном слое может приводить к очень высоким температурам, что в свою очередь приводит к уменьшению плотности газа и увеличению толщины пограничного слоя. Пространственным вязким течениям при больших сверхзвуковых скоростях посвящено значительное число экспериментальных работ, выполненных Боровым, Майкапаром, Уайтхедом, Бертрамом, Хефнером и др. Установлено, что характер обтекания тел зависит в значительной мере от величины параметра взаимодействия. На режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия возможно образование поперечных течений, исследование которых с помощью экспериментальных методов представляет достаточно сложную проблему, поэтому важную роль приобретают асимптотические и численные методы исследования. Несмотря на развитие вычислительной техники и численных методов, нахождения решений уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса представляет все еще достаточно сложную проблему, особенно в случае гиперзвуковых пространственных течений. Применение асимптотических методов позволяет построить приближенные модели, учитывающие структуру течений и более четно выявить роль различных параметров на характеристики течений, и таким образом значительно снизить потребности в вычислительных ресурсах, а главное более четко выявить влияние различных эффектов и параметров на характеристики течения. Эти методы были успешно применены в исследованиях вязких сверхзвуковых и гиперзвуковых течений (Ладыженский, Нейланд, Михайлов, Сычев, Липатов, Дудин и др.).

Вместе с тем оказались не исследованными некоторые особенности течений, в частности, течения в окрестности плоского симметрии теплоизолированного треугольного крыла с малым углом стреловидности, а также вопросы распространения возмущений в пространственных пограничных слоях на таких крыльях на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. Детальное исследование таких особенностей позволяет более четко выявить влияние на них определяющих параметров и физических механизмов, что необходимо для моделирования течения в целом, а поэтому представляет как теоретический, так и прикладной интерес.

Цель работы. Теоретическое и численное исследование особенностей течения в пространственном гиперзвуковом ламинарном пограничном слое на треугольных крыльях с малым углом стреловидности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. В рамках данного направления решались следующие задачи:

1) Определение характерных параметров для функций течения при обтекании крыла с малым углом стреловидности. Формулировка краевой

задачи, содержащей малый параметр, связанный с размахом крыла. Построение решения в виде разложения в ряды в окрестности плоскости симметрии и в окрестности передней кромки. Построение решения в виде разложений в ряды в окрестности передней кромки. Сращивание, полученных разложений и нахождение неизвестной постоянной в разложении в окрестности передней кромки и построение решения на всем крыле в виде разложений в ряды. Сравнение с численным решением уравнений в частных производных конечно-разностным методом.

2) Решение задачи о распространении возмущений в пространственных пограничных слоях на треугольных крыльях с малым углом стреловидности.

Научная новизна.

1) Сформулирована краевая задача обтекания треугольного крыла с малым углом стреловидности. Проведено координатно-параметрическое разложение функций течения в окрестности плоскости симметрии. Сформулированы краевые задачи для вычисления коэффициентов разложений и определена процедура их замыкания. Впервые проведено сращивание, полученного решения с разложением для решения около передней кромки и определено значение постоянной в разложении около передней кромки. Построено разложение для индуцированного давления на всем крыле.

2) Сформулирована краевая задача по исследованию распространения возмущений в пространственном пограничном слое на треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее определить скорости распространения возмущения. Определено влияние удлинения крыла на скорость распространения возмущений против потока.

Практическая значимость. Полученное координатно-параметрическое разложение для функций течения на крыле с малым углом стреловидности не только позволили сформулировать и решить задачу о течении пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла, но и дают важную информацию о требованиях к построению сетки для численного решения в рамках уравнений Навье-Стокса и пограничного слоя. Исследование распространения возмущений в пространственном пограничном слое на треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия позволили определить диаграммы направленности скорости распространения возмущений, что может быть важной информацией для уточнения влияния отклонения органов управления на аэродинамические характеристики летательного аппарата.

Основные положения, выносимые автором на защиту.

1) Математическая формулировка задачи об обтекании вязким теплопроводным газом треугольного крыла с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Координатно-параметрическое разложение функций течения в пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла и процедура замыкания полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ результатов численного решения полученных систем уравнений. Определение процедуры сращивания решения в окрестности передней кромки с решением в плоскости симметрии. Построение решения на всем крыле в виде разложений в ряды.

2) Математическая формулировка краевой задачи для исследования распространения возмущений в пространственном ламинарном пограничном слое на треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Интегральное соотношение, позволяющее определить скорость распространения возмущений в пограничном слое на треугольном крыле. Результаты численного исследования влияния удлинения крыла на скорость распространения возмущений.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности.

Тема диссертационного исследования, результаты работы соответствуют требованиям паспорта специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы: п.11. Пограничные слои, слои смешения, течения в следе; п. 18. Аналитические, асимптотические и численные методы исследования уравнений кинетических и континуальных моделей однородных и многофазных сред (конечно-разностные, спектральные, методы конечного объема, методы прямого моделирования и др.)

Апробация работы. Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, осуществлялись в рамках проектов РФФИ №№ 1001-00173 и 13-01-00202. Основные результаты диссертационной работы были представлены на 52, 53, 55 и 56 научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Жуковский, 2009, 2010, 2012, 2013); XI и XIII международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, Украина, 2011, 2013); Международном авиационно-космическом семинаре им. С.М. Белоцерковского (Москва, 2014). Результаты исследований обсуждались на научных семинарах кафедры Теоретической и прикладной аэрогидромеханики ФАЛТ МФТИ.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 публикациях в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК, список которых представлен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Определение характерных значений для функций течения на крыле с малым углом стреловидности и формулировка краевой задачи. Проведение координатно-параметрического разложения функций течения в пограничном слое на режиме сильного вязкого взаимодействия в окрестности плоскости симметрии крыла и разработка процедуры замыкания полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Проведение разложения функций течения в окрестности передней кромки. Решение систем и нахождение зависимости собственного числа от малого параметра. Проведение сращивания решений для определения, индуцированного давления. Математическая формулировка краевой задачи для исследования распространения возмущений в пространственном ламинарном пограничном слое на треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Вывод интегрального соотношения для определения скорости распространения возмущений. Расчет диаграмм направленности скорости распространения возмущений индуцированного давления в пространственном пограничном слое на треугольном крыле при различных значениях удлинения крыла.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка цитируемой литературы (80 ссылок). Объем диссертации составляет 103 страниц. Работа содержит 25 рисунков.

Краткое содержание работы.

Во введении проведен обзор исследований, указана цель работы, рассмотрены задачи, показана их актуальность, изложены результаты, которые выносятся на защиту, отмечена их научная новизна, научная и практичная ценность, апробация и достоверность.

В первой главе рассмотрено обтекание треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки р«1 на режиме сильного взаимодействия. Для случая обтекания теплоизолированного крыла с размахом s = ctgf!»\, когда в пограничном слое поперечные токи малы, сформулирована краевая задача для пространственного пограничного слоя на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Для исследования поведения функций течения в пространственном пограничном слое в окрестности плоскости симметрии полубесконечного плоского треугольного крыла предполагается, что уравнения пограничного слоя справедливы в этой области и имеют место следующие разложения по малому параметру е - б'2 и поперечной координате 2 для функций течения:

/ = /оо Ы+/01 {Ч)е +/„г (пУ +(/„ 07) + /, (ч)е)=г +

" = Ко М + и-о, (п)е): + м-10 (п):' £:>,:'), к=кт + кме + к01е1 +(*,„ +*,,Ф2 + V"4 +0(£\е2:г,£:\26),

гае /9. = {"Д7)^(»7)},а

После постановки разложений в систему уравнений пространственного пограничного слоя и краевые условия, и, собирая члены одного порядка по степеням £ и/или 2, получаются соответствующие краевые задачи.

сз„ С„

о[ —>

. ь ; 1 4 1 +

<4

С„0 О (1) С"' С 01 О(е) / Г" С,г О(с')

/ри \ / ■ 1 1 + / Г 1 1

С ю о( 1 Г"' Но С„ о{ / ---»

Рх / 1 + 1 1 1 *

Рис. 1 6

На рис. 1 приведены условные обозначения получающихся краевых задач и процедура их замыкания. Краевые задачи для вычисления коэффициентов Рц и А> обозначаются С4, а краевые задачи для вычисления коэффициентов разложения 1^(7) - С,". Для всех систем, кроме системы Ст ~ 1, краевые условия являются нулевыми. Все системы обыкновенных дифференциальных уравнения решались методом Рунге-Кутта четвертого порядка, для этого краевые задачи редуцировались к задачам Коши. Учитывая, что в краевых задачах одно из условий задается при ц да, а фактически задачи решались на отрезке 0 < т/ < 8.5, то при значениях 77 = 8.5, ставилось требование выхода решения на асимптотическое значение для соответствующей функции течения. Так как оказалось, что полученные асимптотические разложения зависят от некоторых констант, которые можно определить только при решении соответствующих краевых задач на всем отрезке 0 £ г} < 8.5, то для определения их значений необходимо было делать несколько итераций. Подробно об этом сказано при решении конкретных систем уравнений. Размер шага по нормальной координате был выбран Аг/ = 0.01. Были проведены так же проверочные расчеты с шагом в два раза меньше = 0.005, которые показали, что шаг А^ = 0.01 достаточен для обеспечения необходимой точности вычислений.

Система уравнений нулевого приближения Ст ~ 1 и её решение.

Уравнение для вычисления функции н^ (/7) отделяется, но его решение зависит от значения коэффициента разложения рю для давления из системы

задача для определения главного члена для производной от поперечной компоненты скорости С^ ~0(:)

Краевые условия: г/ = 0:и00=у00=щю=0, —>1,и'00 —>0,

Далее все результаты расчетов приведены для случая у = 1.4. Рассматривая систему для больших значений Т] (77 > 8.5) и предполагая в ней, что и00 (7 > 8.5) = 1, получены следующие приближенные асимптотические выражения для функций течения:

С|0~о(г!), которое пока не известно. В результате получается краевая

vM (i7> 8.5) = -0.25^ + c„

"oo (7 - 8.5) = 1 - -Jbc

1-erf

fV2 R

—77 - V2c, 4

Постоянная С,, входящая в данные соотношения определяется из численного решения системы уравнений в результате нескольких итераций. В результате было установлено, что с, = 0.46232, а ит (г; = 8.5) = 0.9987. Учитывая, полученное значение постоянной с, и то, каким образом она

входит в аргумент интеграла вероятности erf

{-Jl rr Л

—77-v2c, , можно

утверждать, что ее влияние на величину ит (г] = 8.5) достаточно слабое. Таким образом, для значений координаты 7 > 8.5 компонента скорости ит действительно очень близка к единице.

-I-'--1-1 г

.1 d i "о* 0 и>„

Рис. 2 Рис. 3

На рис. 2 приведен профиль продольной и нормальной компоненты скорости - и00 (77) и vM (7;). При решении нелинейной системы уравнений методом Рунге-Кутта на поверхности крыла задавалась величина dum /dr]\i 0 = 0.38077 и в результате получены следующие значения

коэффициентов разложения рм =0.81697 и Д00 = 1.10015. Из кривой иоо (jl)> приведенной на рис. 2 видно, что при заданных определяющих параметрах течения за верхнюю границу пограничного слоя действительно можно брать координату 7«8.5. Краевая задача была решена так же методом прогонки. Различия между решениями, полученными методами Рунге-Кутта и прогонкой, совпадают с точностью аппроксимации. После нахождения функции и00(т]), v00 (77),

Poo и ^оо из системы С00 ~ о( 1) можно переходить к решению системы C10~O(z2). Для нахождения

решения этой системы были использованы следующие асимптотические выражения для коэффициентов разложения для функций течения:

\

Гг

v]0(^>8.5) = - 0.25-^2. n + Cl, ц0(7>8.5)=-V^ 1-erf ^frj-^c,

Poo J

Poo

/

В результате численных решений было установлено, что сг =-0.41722, а при решении задачи методом Рунге-Кутта надо выходить на асимптотическое значение ию{т] = 8.5) = -0.0008- В результате решения

коэффициент р10 = -0.42268. Зная решение краевой задачи см~0(1) и значение коэффициента р10 =-0.42268 из решения системы с|а ~о(г2), можно переходить к решению краевой задаче со„ ~0(г)- Рассматривая это уравнение для больших значений координаты г} (г/> 8.5) и приближенно предполагая в нем, что им (7 > 8.5) = 1, получено следующее асимптотическое выражение для коэффициентам^ (77):

где с3 = const подбирается в результате численных расчетов. После этого была решена задача CJJJ. На рис. 3 приведен профиль w00 (77). Затем последовательно были решены краевые задачи С20, С01, С,,, С0", С02, приведенные на рис. 1, для всех краевых задач были использованы соответствующие асимптотические выражения при больших значениях координаты т].

В результате проведенных расчетов найдено следующие разложение:

системы

C10~O(z2) были найдены функции vio(t7)

и вычислен

p(z) = 0.81697 - 0.42268z2 - 0.74289z4 + 0.22901г --2.98217z2f + 1.90183£2+o(z6, z*s, zV, e3),

22

1,оА

1,025 -1-

0,975 -

0,925 -0,90,8750,85 -0,825 -0.8-

0,775-

12 3 4

0

0,1

0,2

г о.з

Рис. 4

На рис. 4 приведено полученное распределение индуцированного давления для значений поперечной координаты 0 < г < 0.3 для параметра £ = 0.001 (кривая 1), £- = 0.01 (кривая 2), £- = 0.05 (кривая 3), £ = 0.1 (кривая 4), £=0.2 (кривая 5), £ = 0.3 (кривая 6).

Для исследования поведения функций течения в пространственном пограничном слое в окрестности передней кромки 2 = 1, где решение не является единственным, индуцированное давление ра представляется в следующем виде:

Остальные функции, входящие в уравнения представляются в виде рядов:

После подстановки разложений в систему уравнений и краевые условия, собирая члены одного порядка по степеням, получаем соответствующие краевые задачи. Для нулевых членов разложения будем иметь краевую задачу:

Система нулевого приближения С0.

Ра{2) = Ро+Рх{\~ *)"+-

Ро

где / = («, УЛ> Дв).

1/ ч „

—2—— (£И'о-«о) = 0,

¿Т}„ 4

1

па=0: "о =у0 = ио =°; Па и01,1е0-> 0.

Система для нахождения собственного числа С .

~ (а + \)'^ ~ ~ \а ~ )=

¿и. йи, , .

V» -г1- + V» -г- - Ке- "о) ща =

¿Ча ¿1а

(л 2 2\П Л2 и. = - + + а 0 - "о - )] + ^Г.

Л 2 2 \~|

= + + а I1 - "оо - )] +

\{\-ul-swl)d7^l¡ = -2\{щих +ем>0м\)(1т}а, А, =

3 + 2а

3 + 4а^ » " ^ и ' " 1 6+8а

1а =0' = У1 = = О! , 1а 03 '■ Щ~* О."1! -» 0.

Для существования отличных от нуля первых членов разложений (й/Ро^О) должны существовать некоторые собственные значения а, при которых переопределенная система уравнений имела бы решение.

На рис. 5 приведены профили продольной щ(т]а) и поперечной м0(т}а) компонент скорости для различных значений параметра е, полученные в результате решения системы. Расчеты, проведенные для значений £<0.1, показали, что функции иа{па) и и'0(т7п) изменяются очень слабо, т.к. |ч>0 (?;в)| = О (0.1), а в уравнения импульсов в градиентные члены входят величины порядка ем/1 {1а) •

На рис. 6 приведены профили для первых членов разложения для продольной Щ^Па) и поперечной IV, (?70) компонент скорости для значений £■=0.01,0.1,0.2,0.3, полученные в результате решения системы Са. Численное интегрирование систем показало, что для рассматриваемых определяющих параметров для значений 0.0001 <е<1 для каждого £ имеется только одно собственное значение а .

Рис. 7 Рис. 8

На рис. 7 приведена зависимость значения собственного числа а от значения параметра £. При е 2 0.01 собственные числа выходят на асимптоту а «23.14. В рассмотренном диапазоне параметра £ минимальные значения а «11.997 достигаются при £ = 1 (угол стреловидности передней кромки 45°). На рис. 8 приведена зависимость величины индуцированного давления р0 на передней кромки от параметра £ . При £<0.01 давление на передней кромки выходит на асимптоту р0 «0.812822. Увеличение параметра £ приводит к уменьшению давления на передней кромки крыла.

Как уже отмечалось решение вблизи передней кромки является неединственным, т.к. имеет место однопараметрическое семейство решений, зависящих от величины р1. Отобрать нужное значение параметра р, можно в результате сращивания двух решений: разложение в окрестности плоскости симметрии крыла и разложение в окрестности передней кромки г = 1. Учитывая, что сращивание решений будет происходить при некотором заранее неизвестном значении поперечной координаты 2 = 1., то для сращивания решений для индуцированного давления необходимо потребовать выполнения двух условий. Такими условиями могут быть равенство давлений и равенство производных от давления по поперечной координате для двух разложений при значении поперечной координаты 2 = г.. Так как при рассмотрении течения в окрестности передней кромки вводилось преобразование давления, то имеем следующие два условия:

Учитывая, полученные с заданной точностью разложения для давления в окрестности плоскости симметрии и в окрестности передней кромки, из предыдущих равенств получаем следующие условия:

0.81697 - 0.42268г.2 -0.742892.' + 0.22901 г - 2.98217г.2г+1.90183г2 =

»(^(аМ+АО-*)*1),

-0.84536г. -2.22867?' -5.96434z.ff =

0.5(1+г.)",/21 Ро (*)+!1-2]д (1-г.)

Задавая, конкретное значение малого параметра £., и используя результаты расчетов, приведенные на рис. 7 и 8 находим соответствующие значения а (¿г.) и ра [с.). Подставляя их в систему, находим из нее значения

параметра р1 и значение поперечной координаты г., При которой происходит сращивание решений с заданной точностью, соответствующие заданному параметру Е. . Для нахождения неизвестных р, и использовался метод итераций.

Р(г)

Рис.9

На рис. 9 приведены распределения давления, полученные в результате

сращивания индуцированного давления р(;) по размаху крыла для значений параметра £ = 0.01,0.05,0.1,0.15,0.2, где крестиками обозначены

значения поперечной координаты , при которой происходило сращивание двух решений. На рис. 9 кривые для диапазона 0 <: <построены согласно выражению

р(г) =0.81697-0.42268^ -0.7428&4 +022901£--298217^+1.90183£2,

для <г<1 по формуле р(г) = (1 + г)'/2(р0(£) + р1(1-2)'"М). При значении параметра е = 0.01 из решения систем имеем р0 (с = 0.01) = 0.8124 и а(е = 0.01) = 23.14, а тогда из решения системы получаем координату сращивания :.(е = 0.01) = 0.01 и значение постоянной р,(е = 0.01) = 0.00365 . Данное решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом я >10 (с < 0.01), на большей части треугольного крыла в пограничном слое фактически реализуется течение, как на полубесконечном скользящем крыле, а влияние течения в плоскости симметрии на все течение очень слабое (р, =0.00365) и ограничено очень небольшой относительной областью течения в окрестности г = 0. При значении параметра г=0.05 находим р0 (е = 0.05) = 0.81049 и а(е = 0.05) = 22.123, координату сращивания 2. (е = 0.05) = 0.024 и значение постоянной д(£ = 0.05) = 0.0215. Данное решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом .г « 4.47 (е = 0.05), как и в предыдущем случае, на большей части крыла в пограничном слое реализуется течение, как на полубесконечном скользящем крыле с другим углом скольжения, но влияние течения в плоскости симметрии на все течение увеличивается до примерно 4% от размаха крыла и это связано с увеличением постоянной р, =0.0215. При значении параметра г = 0.1 находим р0(£ = 0.1) = 0.808146 и а (г = 0.1) = 21.03, координату сращивания г. [в = 0.1) = 0.075 и р, (е = 0.1) = 0.0842. В данном случае решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом 5 я 3.16 (е = 0.1), влияние течения в плоскости симметрии на все течение значительно возрастает и составляет уже примерно 8% от размаха крыла При значении параметра £ = 0.15 находим р0 (е = 0.15) = 0.80585 и а(£ = 0.15) = 20.04, :,(е =0.15) = 0.135 и р, (е = 0.15) = 0.342. В данном случае решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом 5 « 2.58 (г = 0.15), влияние течения в плоскости симметрии на все течение еще больше возрастает и составляет около 15% от размаха крыла. При значении параметра £ = 0.2 находим ра{е = 0.2) = 0.803605 и а{е = 0.2) = 19.2, г. (£ = 0.2) = 0.18 и значение постоянной р, (£ = 0.2) = 1.338. В данном случае решение показывает, что при обтекании треугольных крыльев с размахом я» 2.24 (£ = 0.2), влияние течения в плоскости симметрии на все течение еще больше возрастает и составляет около 20% от размаха крыла. Проведенные исследования гиперзвукового обтекания теплоизолированного плоского треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия показали, что уменьшение размаха крыла приводит к значительному изменению характера обтекания. Так при уменьшении размаха крыла с 5 »4.47 до 5 «2.24, т.е., примерно, в два раза, происходит увеличение области влияния плоскости симметрии на все течение в пограничном слое более чем в 5 раз (с 4% до 20% от размаха крыла). На рис. 9 кружочками рядом с соответствующими

14

кривыми отмечены результаты расчета конечно-разностным методом уравнений в частных производных. Сравнение полученного сращиваемого разложения для индуцированного давления с точностью o[e',s2:2,ez',г6) с

численными решениями уравнений в частных производных по модифицированной программе Дудина, показывает, что для значений параметра 0.01 < ^ < 0.15 это совпадение вполне хорошее. Для значения г = 0.2 появляется расхождение между этими решениями при заданных определяющих параметрах. Можно сделать вывод, что для значений е > 0.2 необходимо брать, по крайней мере, большее количество членов разложения по степеням £. Заметим, что это автоматически приведет к увеличению числа членов по степеням z (рис. 2). Однако может оказаться, что этого будет недостаточно и необходимо будет увеличить количество членов в разложении в окрестности передней кромки, т.е. решить системы обыкновенных дифференциальных уравнений, следующих за системой, из которой определяются собственные числа. Однако этот вопрос в данной работе не рассматривался.

Еще очень важное замечание. Разложения при малых значениях параметра е показали, что при уменьшении параметра г при решении уравнений конечно-разностным методом необходимо уменьшать размера шага Дг. Так в случае г-= 0.05 необходимо брать шаг Дг< 0.0025, а при значении параметра г = 0.01 необходимо брать шаг Дг< 0.001, чтобы адекватно описать поведение функций течения в окрестности плоскости симметрии крыла. Хотя для расчета пограничного слоя на крыле с £ = 0.15 достаточно взять Дт = 0.01.

Во_второй главе исследовано распространение возмущений в

пространственном пограничном слое на плоском треугольном крыле в гиперзвуковом потоке газа на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействий. Найдена характеристическая поверхность, связанная с индуцированным давлением, и получено интегральное соотношение, определяющее скорость ее перемещения. Для ряда определяющих параметров определены диаграммы направленность скорости перемещения характеристической поверхности в пограничном слое, что при наличии профилей скорости в продольном и поперечном направлении позволяет рассчитать скорости распространения возмущений в нем. Численно определено влияние величины удлинения крыла на скорость распространения возмущений против потока.

Рассматривается симметричное обтекание полубесконечного плоского треугольного крыла с малым углом стреловидности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия при условиях: М^-хя Мхд -> со 5 0

Здесь М, - число Маха невозмущенного потока, 8 - безразмерная характерная толщина ламинарного пограничного слоя. Предполагается, что температура поверхности крыла Tw постоянна. Газ считается термодинамическим совершенным с постоянным отношением удельных теплоемкостей у. Динамический коэффициент вязкости линейно зависит от температуры ц'/а„=с.Г /Г„, где = const, а индекс °о обозначает параметры в невозмущенном потоке. Компоненты вектора скорости и , v°,

в пространственном пограничном слое направлены вдоль осей х°, у , г декартовой системы координат. Удлинение крыла s = tgcoa, где &>„- угол между передней кромкой и направлением набегающего потока. Предполагается, что угол стреловидности передней кромки, а размах крыла .у = tgco0 » 1. Вводится малый параметр е = .Г2 « 1. В невозмущенном потоке »„-скорость, р„- плотность и энтальпия торможения стремятся к постоянным значениям, когда число Маха -»со. В этом случае р„г давление, скорость звука и Г„- температура стремятся к нулю. В соответствии с гиперзвуковой теорией малых возмущений при »1 для определения индуцированного давления, создаваемого толщиной вытеснения, можно использовать формулу «касательного клина», которая представляет собой обобщение на нестационарный случай р" = (у+ \)р„/2 ("15<5; ¡дх' + Э5; /о/)2. После введения ряда переменных получаем систему уравнений нестационарного пространственного пограничного слоя. Характеристическая поверхность /(х, х, /) = 0, связанная с функцией индуцированного давления р(х, г, /), является поверхностью, на которой не определена производная др/д/. После перехода к новым переменным дг, /(*, г, /), г, ц, / краевая задача

принимает вид

.ди .ди ди ди у-1, Ы %\др . _2\ , .^Ф"),

лдн> дн> л дн* дн> у-\(. г\г.¥др у-\Л. . ФУ

8f &п TP ' äSf YI?K ' st drj

p özjdrf

leg l-p-^W) адц а дг\

-Jtil

lo f

4-+Г& : e=)8f~Z dz + dz+ d:Bf

И 2

5A ¥

t, 2\-4*OQ (. 2 4-1/4 07V

dt ax dz /7 = 0: u = w = Q = N = 0, g = g„, tj->a>: M->l,w->0,g->l.

Дифференцируя толщину вытеснения пограничного слоя по функции /

д8 fy j j /оо ^^ j ^ ® I

получаем выражение для производной —'- = /£--f—dtj---— fGdrj • Из

5/ ^2ур{30 8/ pSf{ J

этого соотношения можно определить производную dpjdf, если сначала

найти дО/д/. После ряда преобразований исходной системы получаем

дифференциальное уравнение первого порядка +£и —= С

дг] дг] 8/

Зо ^ С ^ С которое имеет следующее решение М = ~ЕО— Г —тёп + В\—с1п

д/{В2 {В2

После введения скорости перемещения характеристической поверхности:

Л2 * 1а* хд:) и а.-Г

\8ffdf гд/Л . 18/(\8/Л

асоза? =---— ----, о51п« =---Н -У- ,

б Э/ ^а* х дг ) 0д1{хдг)

где со - угол между осью х и направлением распространения возмущений в плоскости хг, получаем следующее интегральное выражение

-——-Характеристическая поверхность

2 о [а-иаваг-скедпо;] а

/(*,::,/) = О определяется из условия N„=0. Это выражение позволяет определить среднюю скорость распространения возмущений, если известны профили скорости и энтальпии.

Для численного решения краевой задачи используется конечно-разностный неявный метод. Для течения в пространственном пограничном слое на треугольном крыле получены стационарные автомодельные решения, которые описывают течение на полубесконечных треугольных крыльях при разных значениях малого параметра в .

Для определения скорости распространения возмущений из условия необходимо знать профили скорости и энтальпии в пограничном слое, которые в настоящем случае получены с помощью модифицированной программы Дудина. В расчетах используются следующие значения: число Прандтля сг = 1, показатель адиабаты у = 1.4 и при различных

значениях £ = 0.05,0.1, 0.15, 0.2.

На рис. 10 приведена зависимость скорости распространения возмущений а против потока {со„ = 180") от значения параметра е в плоскости

17

симметрии крыла 2 = 0. Увеличение £ от 0.05 до 0.2 приводит к незначительному уменьшению скорости распространения возмущений против потока. Таким образом, в пограничном слое на крыльях с меньшим углом стреловидности возмущения индуцированного давления распространяются вверх по потоку с несколько большей скоростью, чем в пограничном слое на крыльях с большим углом стреловидности.

На рис. 11 представлена зависимость скорости распространения возмущений а вверх по потоку по размаху крыла г для различных значений параметра е. Увеличение параметра е приводит к тому, что в окрестности плоскости симметрии крыла эта зависимость становится все более немонотонной. В пограничном слое на крыле для значений поперечной координаты 0<2<0.1-0.2 при увеличении параметра £ происходит уменьшение скорости распространения возмущений, а при 0.1 ~ 0.2 < г < 0.4 поведение этой зависимости обратное. Это связано с тем, что в области 0.1 ~ 0.2 <г <0.4 в пограничном слое происходит возрастание поперечной компоненты скорости тем больше, чем больше параметр £ , а непосредственно в окрестности плоскости симметрии крыла происходит ее торможение до нуля. Следует отметить, что качественно характер зависимости скорости распространения возмущений по поперечной координате совпадает с данными приведенными.

На рис. 12-14 приведены диаграммы направленности скоростей распространения возмущений.

е=0.2

г=0 I

о

е=0.05

270

——А-180

90

Рис. 12

На рис. 12 приведены диаграммы направленности скорости распространения возмущений для различных значений е в плоскости симметрии на треугольном крыле при г = 0. Уменьшение параметра в приводит к незначительному увеличению скорости распространения возмущений для углов 70° < со < 290°.

На рис. 12 - 14 приведены диаграммы при значениях поперечной координаты г = 0,-0.5,-0.9 для разных значениях е = 0.05,0.1. При значениях г = -0.5,-0.9 диаграмма перестает быть симметричной и происходит ее деформация, причем она тем сильнее, чем больше параметр е . Деформация диаграммы естественно наименьшая для случая е = 0.05 (рис. 12). Согласно результатам, приведенным на рис. 13 и 14, скорость распространения возмущений при 2 = -0.9 для углов 20° < со <210° увеличивается, а для углов 210" <со< 340° уменьшается. Это связано с образованием достаточно больших положительных поперечных компонент скорости в пограничном слое в этой области. Следует так же отметить, что для углов 340° < со < 20° скорость а практически не зависит от значения поперечной координаты.

Качественно диаграммы направленности на рис. 13 и 14 подобны диаграммам направленности, полученным при обтекании скользящей пластины, но там они всегда были симметричны.

Основные результаты и выводы

1. В первой главе показано, что в трехмерном пограничном слое на плоском треугольном крыле с малым углом стреловидности передних кромок Р« 1, обтекаемом гиперзвуковым потоком вязкого газа, под действием индуцированного давления возникает течение в поперечном направлении, имеющее порядок -и^/^/З. Показано, что в этом случае для исследования течения в окрестности плоскости симметрии крыла можно построить координатно-параметрическое разложение для функций течения. Сформулированы краевые задачи для вычисления коэффициентов

разложений и определена процедура их замыкания. Построено разложение для функций течения в окрестности передней кромки крыла. Сформулированы соответствующие краевые задачи и найдены собственные значения. Проведено сращивание решения для индуцированного давления в окрестности плоскости симметрии и решения в окрестности передней кромки. Проведенные исследования гиперзвукового обтекания теплоизолированного плоского треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия показали, что уменьшение размаха крыла приводит к значительному изменению характера обтекания. Установлено, что для случая обтекания треугольного теплоизолированного крыла при числе Прандтля сг = 1 и показателе адиабаты у = 1.4 для значений параметра s < 0.15 достаточно брать разложения в окрестности плоскости симметрии с точностью 0(Ei,e1z2,EzA,z6). При решении уравнений пространственного пограничного слоя в частных производных конечно-разностным методом необходимо уменьшать шаг по поперечной координате при уменьшении параметра £ для правильного описания поведения функций течения в окрестности плоскости симметрии крыла.

2. Во второй главе сформулирована краевая задача о распространении возмущений в пространственном пограничном слое на плоском треугольном крыле с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее по характеристикам течения в пространственном пограничном слое определить скорость перемещения характеристической поверхности, связанной с функцией индуцированного давления. Установлено, что увеличение параметра s приводит к уменьшению скорости распространения возмущений вверх по потоку в плоскости симметрии крыла {со0 = 180°).

Наибольшее влияние параметра £ на скорость распространения возмущения давления имеет место в области \z\ < 0.4. В пограничном слое везде, кроме плоскости симметрии крыла диаграммы направленности несимметричны, при этом скорость распространения возмущений в сторону плоскости симметрии увеличивается, а в сторону кромки крыла уменьшается.

Публикация

Статьи в журналах:

1. Со Я.Н. (2014) Обтекание треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного взаимодействия. Труды МФТИ, Том 6, № 1, С. 117-135.

2. Дуднн Г. Н., Со Я.Н. (2014) О течение в окрестности плоскости симметрии треугольного крыла малой стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Ученые записки. ЦАГИ. T.XLV. № 5, 91102.

3. Дудин Г.Н., Ледовскин A.B., Со Я.Н. (2013) Распространение возмущений в гиперзвуковом пограничном слое в окрестности точки излома передней кромки крыла// Труды МФТИ, Том 5, № 2, С. 32-45.

В сборниках тезисов:

1. Со Я.Н. (2009) Особенности течения в плоскости симметрии на крыле с изломом передней кромки. Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VI Аэромеханика и летательная техника, с. 25-27. Москва- Жуковский МФТИ.

2. Дудин Г.Н., Со Я.Н. (2010) О влиянии газодинамических параметров на течение в плоскости симметрии треугольного крыла. Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VI Аэромеханика и летательная техника, с. 9-10. Москва-Жуковский МФТИ.

3. Дудин Г.Н., Со Я.Н. (2011) Особенности течения в плоскости с симметрии на крыле с изломом передней кромки. Тезисы докладов. Одиннадцатая международной школы-семинара «Модели и методы аэродинамики», Евпатория, 3-12 июня 2011, С. 75-76.

4. Дудин Г.Н., Со Я.Н. (2012) О решениях в плоскости симметрии треугольного крыла с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Труды 55-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Аэромеханика и летательная техника, с. 73-74. Москва-Долгопрудный-Жуковский МФТИ.

5. Дудин Г.Н., Со Я.Н. (2013) О построении решения в плоскости симметрии треугольного крыла большого размаха в сверхзвуковом потоке вязкого газа. Тезисы докладов. Тринадцатая международной школы-семинара «Модели и методы аэродинамики», Евпатория, 4-13 июня 2013. С. 72-73.

6. Дудин Г.Н., Со Я.Н. (2013) О решении в окрестности передней кромки треугольного крыла с малым углом стреловидности в гиперзвуковом потоке. Труды 56-й научной конференции МФТИ «Физико-математические науки: актуальные проблемы и их решения». Аэромеханика и летательная техника, с. 48-49. Москва-Долгопрудный-Жуковский МФТИ.

Подписано в печать: 06.10.14

Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 311 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинский проспект, д. 2 (495) 978-66-63, www.reglet.ru