Обтекание тонких крыльев на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Мьинт Кьи Тар

ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ КРЫЛЬЕВ НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Специальность: 01.02.05. - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 4 У АР 2011

Москва - 2011

4841083

Работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, снс

Дудин Георгий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Алексин Владимир Адамович

кандидат физико-математических наук, Шалаев Владимир Иванович

Ведущая организация: ФГУП Центральный аэрогидродинамический

институт им Н.Е Жуковского, ЦАГИ

Защита состоится ^ - марта 2011 г. в час. мин. на заседании

диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) но адресу: 140180, Московская обл., г. Жуковский, ул. Гагарина, д. 16, аудитория 314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан " 3 " ОТП. 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета^ кандидат физико-математических наук

Коновалов В.П.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. С развитием авиационно-космической техники большое значение приобрело изучение течений при больших числах Рейнольдса, начало которому было положено в теории пограничного слоя Прандтля. В дальнейшем значительно возрос интерес к трехмерным течениям вязкого газа, гак как пограничные слои, возникающие на реальных летательных аппаратах, являются пространственными по существу. Исследование пространственных пограничных слоев имеет важное значение для определения аэродинамических характеристик летательных аппаратов, а, кроме того, взаимодействие пограничного слоя с невязким потоком может во многих случаях играть определяющую роль в формировании течения в целом. Особую актуальность приобретает изучение трехмерных вязких течений газа при больших сверхзвуковых скоростях полета аппарата. При этих скоростях торможение газа скачком или вязкостными процессами в пограничном слое, вообще говоря, приводит к очень высоким температурам. В результате происходит уменьшение плотности газа и увеличение толщины пограничного слоя по сравнению с течениями при том же числе Рейнольдса невозмущенного потока, но при более низких скоростях потока. Взаимодействие пограничного слоя с невязким потоком в этом случае может приводить к образованию интенсивных поперечных течений, отрыву пограничного слоя, а также к появлению локальных тепловых потоков.

В многочисленных экспериментальных исследованиях, проведенных при больших сверхзвуковых скоростях течений вязкого газа (Боровой В. Я., Майкапар Г. И., Whitehead А. Н„ Bertram М. Н„ Hefner J. Н., Cross Е. J. и др.), установлено, что характер обтекания тел зависит от многих параметров, в частности, от величины параметра взаимодействия. При этом в пограничном слое могут образовываться поперечные течения, изучение которых с помощью экспериментальных методов представляет достаточно сложную проблему, поэтому важную роль приобретают асимптотические и численные методы исследования. Исследование данного класса течений с помощью решения уравнений Навье-Стокса представляет все ешо~>^ значительные трудности, несмотря на развитие вычислительной техники и численны^ методов, особенно в случае пространственных течений. Использований^/' асимптотических методов позволяет построить приближенные модели, учитывающий^

структуру течения и роль тех или иных физических механизмов в них, и таким образом значительно снизить потребности в вычислительных ресурсах, а главное более четко выявить влияние различных эффектов и параметров на характеристики течения. Эти методы были успешно применены в исследованиях ряда задач пространственных течений вязкого газа при больших скоростях полета (Ладыженский М.Д., Нейланд В.Я., Михайлов В.В., Сычев В.В., Липатов И.И., Дудин Г.Н., Рубан А.И. и др.).

Вместе с тем оказались не исследованными некоторые особенности течений, в частности, течения в окрестности плоского симметрии холодного треугольного крыла, течения, в которых образуются развитые области возвратные поперечных течений и влияние на них температурного фактора, а таюке вопросы распространения возмущений в пространственных пограничных слоях на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. Детальное исследование таких особенностей позволяет более четко выявить влияние на них определяющих параметров и физических механизмов, что необходимо для моделирования течения в целом, а поэтому представляет как теоретический, так и прикладной интерес.

Цель работы. Теоретическое и численное исследование особенностей течения в пространственном ламинарном пограничном слое на треугольных крыльях на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. В рамках данного направления решались следующие задачи:

1) Построение решения в области докритического режима течения в окрестности плоскости симметрии холодной треугольной пластины при "ньютоновском" предельном переходе.

2) Исследование влияния температурного фактора и параметра, характеризующего отношение характерной толщины крыла к толщине пограничного слоя, на течение в пограничном слое на треугольном крыле с заданной степенной формой поперечного сечения.

3) Решение задачи о распространении возмущений в пространственных пограничных слоях на треугольных крыльях.

Научная новизна.

1) Сформулирована краевая задача обтекания холодной треугольной пластины с удлинением порядка единицы при "ньютоновском" предельном переходе. Впервые

проведено координатно-параметрическое разложение функции течения в окрестности плоскости симметрии крыла и получены соответствующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Указана процедура их замыкание и получены их численные решения для нескольких первых членов разложения.

2) Сформулирована и численно решена задача обтекание треугольного крыла с толщиной на режиме сильного взаимодействии. Показано существенное влияние температурного фактора и параметра, характеризующего отношение характерной толщины крыла к толщине вытеснения пограничного слоя на образование локальных областей повышенных тепловых поток. Впервые показано, что в пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла возвратный профиль поперечной компоненты скорости может иметь такое же направление, что и во внешней части пограничного слоя, т. е. график кривой описывающей этот профиль может иметь три максимума.

3) Впервые сформулирована краевая задача по исследованию распространения возмущений в пространственном пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее определить скорости распространения возмущения. Впервые численно определено влияние величины температурного фактора на скорость распространения возмущений против потока.

Практическая значимость. Полученное координатно-параметрическое разложение для функций течения при «ньютоновском» предельном переходе не только позволили сформулировать и решить задачу о течении пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла, но и дают важную информацию о требованиях к построению сетки для численного решения в рамках уравнений Навье-Стокса. Установленное сильное влияние температурного фактора на характер течения в пограничном слое на треугольном крыле и на образование локальных зон повышенных тепловых потоков необходимо учитывать при моделировании течений в аэродинамических трубах. Исследование распространения возмущений в пространственном пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия позволили впервые определить диаграммы направленности скорости распространения возмущений, что может быть очень

важной информацией для уточнения влияния отклонения органов управления на аэродинамические характеристики летательного аппарата.

Основные положения, выносимые автором на защиту.

1) Математическая формулировка задачи об обтекании вязким теплопроводным газом треугольной пластины при "ньютоновском" предельном переходе. Координатно-параметрическое разложение функций течения в пограничном слое в области докритического режима течения в окрестности плоскости симметрии крыла и процедура замыкания полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ результатов численного решений полученных систем уравнений.

2) Результаты численного исследования влияния температурного фактора на обтекание треугольного крылья с толщиной на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия на локальные характеристики течения и на образование областей повышенных тепловых потоков.

3) Математическая формулировка краевой задачи для исследования распространения возмущений в пространственном ламинарном пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Интегральное соотношение, позволяющее определить скорость распространения возмущений в пограничном слое на треугольном крыле. Результаты численного исследования влияния температурного фактора на скорость распространения возмущений.

Апробация работы. Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, осуществлялись в рамках проектов по Аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы) № 2.1.1.5904 и (2009-2010 годы) № 2.1.1/200, проектов РФФИ №№ 07-01-00349-а и 10-01-00173-а. Основные результаты диссертационной работы были представлены на 49, 51, 52 и 53 научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Жуковский, 2006, 2008-2010); XX школе-семинаре «Аэродинамика летательных аппаратов» ЦАГИ (п. Володарского, 2009); IX международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, Украина, 2009); XV Международной конференции «Методы аэрофизических исследований» (1СМАЯ 2010) (Новосибирск, 2010). Результаты исследований обсуждались на научных семинарах кафедры Аэрогидромеханики ФАЛТ МФТИ.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 публикациях, список которых представлен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Проведение координатно-параметрического разложения функций течения в пограничном слое на режиме сильного вязкого взаимодействия в области докритического режима течения в окрестности плоскости симметрии крыла и разработка процедуры замыкания полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью Maple 9. Анализ результатов численных исследований. Модернизация программы расчета пограничного слоя на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия, с целью получения полной информации о компоненте скорости в поперечном направлении. Графическая обработка результатов расчета пространственного пограничного слоя и анализ влияния температурного фактора и параметра, характеризующего отношение толщины крыла к толщине пограничного слоя, на локальные характеристики течения и на образование областей повышенных тепловых потоков. Математическая формулировка краевой задачи для исследования распространения возмущений в пространственном ламинарном пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Расчет диаграмм направленности скорости распространения возмущений в пограничном слое на треугольном крыле при различных значениях определяющих параметрах.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (92 ссылок). Объем диссертации составляет 88 страниц. Работа содержит 36 рисунков.

Краткое содержание работы.

Во введении проведен обзор исследований, указана цель работы, указаны рассматриваемые задачи, показана их актуальность, изложены результаты, которые выносятся на защиту, отмечена их научная новизна, научная и практичная ценность, апробация и достоверность, кратко изложено содержание.

В первое главе рассмотрено обтекание плоского треугольного крыла под нулевым углом атаки на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия пограничного слоя с внешним сверхзвуковым потоком. Аналитическое исследование проведено при использовании "ньютоновского" предельного перехода, при котором величина

показателя адиабаты стремится к единице (е = у~ 1«1), а значения чисел Маха и

Рейнольдса - к бесконечности. Приведена классификация возможных режимов течения при разных значениях удлинения крыла. Для случая обтекания холодного крыла с удлинением порядка единицы 5 = 0(1), когда в пограничном слое

поперечные токи малы, сформулирована краевая задача для пространственного пограничного слоя на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Для исследования поведения функций течения в пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла (г = 0) предполагается, что имеют место разложения

/(77,2, е) = /00 + + /20г4 + /01£ + /иег2 + /02е2 + 0{е\е2г2 ,ег4)

где /, = {щ {т1),Нч (т/)^ (/?), рч, Д,};

После постановки разложений в систему уравнений и краевые условия, и, собирая члены одинакового порядка по е и г, получаются соответствующие краевые задачи, для которых введены следующие условные обозначения.

Г ~ 1 ^00 1 . С,„ ~ г2- С ~ г 4 ^ 20 "

С ~ е 01 с С„ ~ гг2 . С ~ е 2 02 й

Все эти системы являются системами ОДУ. Для всех систем, кроме системы Ст ~ 1, краевые условия являются нулевыми.

Система Ст ~ 1 и её решение.

-А

с!ит _ (1Нф __ 1 (¡2Н^ 1-СГ (12и2т

: . -> > ч

¿v,

с/77 Агр 00 ¿1) а йт]2 а ¿г/2

1 г.

ви„

¿Г] 4 рф

Уравнение для отделяется, но его решение зависит от величины р)0, которая может быть определена из системы С|0.

___1_

00 ~ , "00 ~ -"Л Роо 2Ра

V™ —:---№пп - —

1 + 2

Рш

Роо

ЧЯоо-и5))+

2 , .

С/Т]2

Краевые условия: т/ = 0': и<10 = у00 = Я00 = ща = 0, 77 -> оо: г/00 -» 1,//„> -> 1, и»(ю 0.

Здесь а - число Прандтля. В качестве примера на рис. 1 и 2 приведены нормальный и продольной компоненты скорости ут(г]) и ит(т}), полученные при решении системы уравнений при сг = 1 и 5 = 1. Т.к. ст = 1 то профиль энтальпии #оо(л) точно совпадает с профилем иж(г]). В результате решения определяются следующие значения коэффициентов разложения рм- 0.498, Д00 = 0.941. Согласно приведенным данным верхней границе пограничного слоя соответствует координаты Т] = 6.2. Уравнение для н>(10 можно разрешить только после решения части системы уравнений Сш - г2.

Рис.1. Рис.2.

В результате решения систем С10 ~ г2 и С20 - г4 построено следующее координатное разложение р = 0.498+0.28г2 +0.33г4, соответствующее £ = 0. При этом используется следующая процедура замыкания:

Указанная процедура справедлива в первом приближений по е для значений координаты г<гк «0.892 при числе <7=1. Далее в работе рассматриваются

следующие члены разложения по малому параметру е . Сформулированы и решены краевые задачи Ст~е, Си~ег2 и определена процедура замыкания для последовательного решения соответствующих краевых задач:

С ~ 1 1100 ' #оо»г'оо' ^00> А)0 с С01 6 Ы01'-"0|' У01> Д0рР01 Г иоо С02 Д02>А>2 4 ^02 ™02

/ ■ ■ / / 1

с ~=2 "ю ' #10' У10 ' Ао С.0 Ии,Ни,Уп, АП'Ри Си С12 ' Рм 4

, / / 1 1 ! \

С т4 '-'го "20 ' #20 ' ^20 ' Д20>Ао с 20 ^20 С2, Рг\ / /

В результате последовательного решения краевых задач определены профили скорости и энтальпии, что позволило рассчитать распределение толщины вытеснения и давления. Тогда при г = 0: р = рт + рте + р02Е2 +0(г3) = 0.498-0.32й--0.8£2 + ),

а при г < гк ~ 4Ё: р = 0.498 -0.32е+0.28г2 - 0.8е2 + О.ЗЗг4 + 2. \егг + 0{е3, е2г2,ег4)

Рис. 3 10

На рис. 3 представлено сравнение асимптотического разложения (С) и численного решения (В) уравнений пограничного слоя при следующих значениях параметров .у = 1, / = 1.1, <7 = 1. Следует Отметить вполне удовлетворительное совпадение распределения давления в окрестности плоскости симметрии крыла при указанных значениях параметров.

Во второй главе исследовано влияние температурного фактора на характеристики и структуру течения в пространственном пограничном слое на треугольном крыле с острыми передними кромками при больших сверхзвуковых скоростях полета. Рассмотрен режим сильного вязко-невязкого взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком на крыле с удлинением порядка единицы, а изменение толщины крыла в поперечном направлении имеет степенной характер. Изучено влияния параметра, характеризующего отношение толщины крыла к характерной толщине пограничного слоя, на локальные характеристики течения.

Рассмотрено симметричное обтекание под нулевым углом атаки полубесконечного треугольного крыла в предположении, что характерная толщина крыла порядка толщины вытеснения пограничного слоя. Газ считается совершенным и вязкостью, линейно зависящей от температуры Компоненты вектора скорости и°У,м>° направлены соответственно вдоль осей х°,у°,г° декартовой системы координат, начало которой расположено в вершине крыла с полууголом <»0. Толщина крыла задается уравнением у" с характерной безразмерной толщиной

г □ 1. Предполагается, что удлинение крыла £ = tgo)a, является величиной порядка единицы. После введения безразмерных переменных и учета поведения функций течения в окрестности носика крыла и его передних кромок получена следующая система уравнений пространственного пограничного слоя и граничные условия:

/ — + v— 8г дт/

дм дч>

8g дg_д\lдg 1-дд(и2 + уу2)

дг дг} дт] а дт] а дт] 11

Эу , , г (яи ди дюЛХ-г2 , 2\ -1

— = (м>-5иг)----—+— -, / = Ы-5иг)\\-г Iр ,

дт] К У2р 1,4 дг дг) р К А '

Р =

с1{К + хК)

¿2

rJ = 0:u = w = v = 0, g = gw,т]-^.co:u-:>l,w^^O,g-+l.

Здесь <т - число Прандтля, % = параметр, характеризующий отношение толщины крыла к толщине пограничного слоя, Д - толщина вытеснения пограничного слоя. Решение краевой задачи зависит от параметров я, а и у. Приведены результаты численных расчетов обтекания крыла с удлинением л = 1 (угол стреловидности 45°) и параметром, определяющим форму крыла в поперечном направлении, Р = 9.25 при значениях у = 1.4 и числе Прандтля а -1.

~~02 ' Ы ' М ' Ол ' 1Я 0№ СШ СМ Ш, 108 0,10

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

На Рис. 4-6 представлены профили компонент скорости в продольном и и поперечном направлениях, а также полной энтальпии g на передних кромках крыла при параметре £ = 0.5 и различных значениях температурного фактора gw = 0, 0.5, 0.9 (кривые 1-3). Эти профили получены в результате решения системы уравнений при значениях поперечной координаты г = ±\, где указанная система вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В численных расчетах размер шага по координате т], нормальной к поверхности крыла, равнялся А/7 = 0.05, а число узлов Л^ = 200. Уменьшение температуры поверхности крыла с £„=0.9 (кривая 3) до нуля (кривая 1) приводит к уменьшению толщины пограничного слоя примерно на 40% и компоненты скорости в поперечном

направлении в два с половинои раза, что связано с увеличением плотности газа в пограничном слое.

Результаты исследования- влияния температурного фактора gw = 0, 0.1, 0.2, 0.3,0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 (кривые 1-10) на распределения давления

/>'(f) = (l + |z|)~1''2/7, толщины вытеснения A|.(z) = (l + |z|)3/4 Л,, коэффициентов

-V4

напряжения трения в продольном r„(z) = (l + |z|) ~-(z,0) и поперечном

-1/4

r„(z) = (l + |zj) ^(z,0) направлениях, а также теплового потока

+ z

на рис. 7-11.

-1/4

Зт]

(z,0) по размаху крыла для -l<z<0 при % = 0.5 представлены

1(1 0,60

0,55

Jr 0,50

г 0,45-

/л " 0,40-

/¡г 0,35

0,30

0.0 0,25

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0

ъ £

Рис. 10 Рис.11

Увеличение температуры поверхности крыла с gw = 0 до = 0.9 приводит к

возрастанию давления р1 почти в три с половиной раза (рис. 7), а толщины вытеснения пограничного слоя 1\\ - почти в два раза (рис. 8), причем поведение функции Д' является немонотонным в области окрестности плоскости симметрии

крыла при значениях поперечной координаты (гП ±0.13). Увеличение температурного фактора приводит к уменьшению коэффициента напряжения трения г„ (рис. 9) и теплового потока т^ (рис. 11) и к увеличению коэффициента напряжения трения (рис. 10). Характер распределения указанных функций существенно немонотонный при -0.4 < г < 0. В окрестности плоскости симметрии крыла при г «±0.18 возникают зоны повышенного продольного трения г„, а также теплового потока гг (для значений < 0.5). Это связано с возникновением областей с отрицательными значениями напряжения трения в поперечном направлении гн, т. е. с возникновением в пограничном слое около поверхности крыла областей с отрицательными значениями компоненты скорости Уменьшение значений gw приводит к существенному увеличению по модулю этой компоненты скорости, а также к увеличению поперечного размера этой области. На кривых, полученных в результате решения краевой задачи при температурном факторе gw= 0, точками отмечены значения координаты перехода гк да -0.545, от закритического течения к докритическому. В этом случае в пограничном слое при -1 < г < -0.545 реализуется область закритического течения, а ближе к плоскости симметрии крыла расположена область докритического течения, в которой возмущения от плоскости симметрии распространяются вверх по потоку. Из-за наличия толщины крыла (<^ = 0.5) в области закритического течения автомодельные решения не реализуются.

Результаты численных расчетов обтекания треугольных крыльев при значении температурного фактора £„ = 0.5 и различных отношениях толщин ,£ = 0.1 + 1 (кривые 1-10) представлены на рис. 12-14.

В связи с тем, что параметр, характеризующий форму крыла в поперечном направлении /? = 9.25, достаточно большой по величине, то фактически при —1 < г < —0.75 крыло представляет собой пластинку, поэтому и влияние величины параметра х = г/<5 проявляется ближе к плоскости симметрии крыла. Распределение

давления р1 по размаху крыла представлено на рис. 12. Увеличение параметра % приводит к увеличению давления более чем в два раза. В то же время толщина пограничного слоя в области окрестности плоскости симметрии ведет себя немонотонно и при увеличении значений х уменьшается (рис. 13). Характер распределения функций течения тк но размаху крыла, по крайней мере, при х>0-2, становится существенно немонотонным. Причем с увеличением х э™ локальные максимумы увеличиваются. Согласно результатам, приведенным на рис. 14, в случае, когда х < 0-3, значения напряжения трения в поперечном направлении всюду положительны вплоть до плоскости симметрии крыла. При больших значениях х в нижней части пограничного слоя появляются области с противоположным знаком компоненты скорости м>, что приводит к появлению на части поверхности крыла отрицательных значений С увеличением параметра х ~т! 6 размер этой области по поперечной координате увеличивается, а также увеличивается модуль г,„.

Достаточно сложный характер поведения локальных характеристик связан с образованием поперечного течения. Профили поперечной компоненты скорости для значений поперечной координаты —1 < 2 < —0.005 при £„=0.5 и х = 0.5 приведены на рис. 15. Эти профили более подробно для значений -0.21 < г ¿-0.005 представлены на рис. 16. Согласно приведенным данным в диапазоне —1 < г < —0.52 эта компонента скорости для всех значений координаты, нормальной к поверхности, является положительной и направленной от кромки к плоскости симметрии крыла. При г ~ -0.52 около поверхности крыла возникает область с отрицательными значениями компоненты скорости V/, т. е. направленными к кромке рис. 15. При увеличении г толщина этой области по координате т] увеличивается, достигая максимального значения »38% от толщины вытеснения пограничного слоя при г ~ -0.25. Эта скорость течения сначала возрастает, достигая максимального значения при г ~ -0.37, а затем ближе к плоскости симметрии уменьшается. При г»-0.21 нижняя граница этой области, с отрицательными значениями скорости н>,

отодвигается от поверхности крыла, так как при г > -0.21 около поверхности крыла снова реализуется течение с и», направленными к плоскости симметрии (рис. 16). При этом верхняя граница области с отрицательными значениями компоненты скорости V? уменьшается незначительно. При значениях г»-0.19 эта область исчезает (рис. 16). Далее ближе к плоскости симметрии снова, как и на кромке крыла, реализуется профиль с положительными значениями V). Максимальные значения ж в области сначала растут, а затем уменьшаются, и в плоскости симметрии крыла реализуется условие не протекания.

г=-0.: г=-0.П5 г»-0.1 г=-0 005 г=-\ 2=-0.5 г=-0.4 г=-0.3 г=-0.2 г=-0.1 г-Л.005 г..(12] 2=.0.195 г=-0 15 г=-0.0>

Рис. 15 Рис. 16

В третьей главе исследовано распространение возмущений в пространственном пограничном слое на плоском треугольном крыле в гиперзвуковом потоке газа на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействий. Найдена характеристическая поверхность, связанная с индуцированным давлением, и получено интегральное соотношение, определяющее скорость ее перемещения. Для ряда определяющих параметров определены диаграммы направленность скорости перемещения характеристической поверхности в пограничном слое, что при наличии профилей скорости в продольном и поперечном направлении позволяет рассчитать скорости распространения возмущений в нем.

Рассматривается симметричное обтекание полубесконечной треугольной пластины на режиме сильного взаимодействия при условиях: Мх -» со Ма8 -»со

<5->0 Здесь М„ - число Маха, Reo = prujjn0 - число Рейнольдса, 5 = sl/4Re^l/4 -безразмерная толщина пограничного слоя. Компоненты скорости ииа, vumSs^', wu:rj направлены вдоль осей xl, yl5, zls0. Плотность, давление, полная энтальпия и толщина пограничного слоя - р52р„, р5гр<юи1, gu2J2, Sl5e, где индекс со обозначает

параметры в невозмущенном потоке. Удлинение крыла я0 =сЩР. В соответствии с гиперзвуковой теорией малых возмущений при М^д»1 для определения индуцированного давления, создаваемого толщиной вытеснения, можно использовать формулу «касательного клина», которая представляет собой обобщение на нестационарный случай р = (у +1)/2 (дЗ!/дх + дЗ,/б1)2. После введения ряда переменных получаем систему уравнений нестационарного пространственного пограничного слоя. Характеристическая поверхность /(х, г, /) = 0, связанная с функцией индуцированного давления р(х, г, г), является поверхностью, на которой не определена производная др/д/. После перехода к новым переменным х, г, т), I ->/(х, 2, ¡), г, т), I краевая задача принимает вид

.ди ди ди ди у-1 ¡. г\ „( д/ д/\др у-1

А— + А — + А,— + у— = --—Г 1-г х— + г— — + --

дГ дт] 2урл 1 дх дг)д/ Аур

д\ч

А — +Ад — + А

8/

д(

1 > д/ 2 ур I

дг

- +V-

дт} 2 ур'

. г 1 -г2др) д2и

\ + г2+г--+—г-

р дг) дг}

. -__Г л__

8Г & дт] ур2К > д1д/ ур2

& д1]

р дг) дт]2 lдg 1-ад(и2+м?)

О-2)

3/4

'1 « ( д/ 3/Л30 50 дЫ д/дм

—50 + 5 х—-г—--— + — + —--

4 V дх дг) д/ & Зг Зг 3/

а дт} а дт]

оо

\Gdrj

5=^

у + \

Л 2 г,/4 50 и= 1-2 - М--

V ' дГ]'

дА

9/ -1/4 алг

дг

дх <Эг-

Ж.

'дг

д5.

8/

/, 2Г1/4гаУ 2 2 , ,8/ .д/ д/

(1-г ) - й-я-и -у>1 А = А„ — + А. — + А,—

К ' дт] > й ' 0 д! 1 дх 2 Зг

7^ = 0: и = тл> = Р= Ф = 0, g = gw т]->со: 1,м> —> 1

Дифференцируя толщину вытеснения пограничного слоя получаем

8/ V 2/ /'И 5/ р8/{

(у^Г 1 Г? Ю

1 др]

Из этого соотношения можно определить

производную др/д/, если сначала найти дй/а/. После ряда преобразований исходной системы получаем дифференциальное уравнение первого порядка

дг] дт] д/

которое

имеет

следующее

решение

—+ —^йт] После введения скорости перемещения ^ 0 ^ 0 ^

характеристической поверхности - а, где а - угол между осью ох и направлением распространения возмущений в плоскости хг, получаем следующее интегральное

выражение ГФ=— (^а^стт2®)?----[сИт]. Характеристическая

поверхность /(х,г,/) = 0 определяется из условия N = 0. Это выражение позволяет определить среднюю скорость распространения возмущений, если известны профили скорости и энтальпии.

Автомодельные решения уравнений для случая 50 = 1, у = 1.4, а = 1 были использованы для определения величины а=(ах, <хг), как функции температурного фактора gv. На рис. 17 приведена зависимость скорости распространения

возмущений вверх по потоку г = 0, <» = 180° от значений параметров gw е [0.05, 0.4]. Нагрев поверхности приводит к увеличению толщины пограничного слоя и увеличению толщины дозвуковой области течения. В результате, скорость распространения возмущений против потока увеличивается более чем в 12 раз. Таким образом, хотя при любом gw ¿0 решение задачи на передней кромке крыла не единственно, но фактически при уменьшении температурного фактора время, необходимое для распространения возмущений вверх по потоку, существенно растет и стремится к бесконечности, когда g„-> 0.

а

Рис.17

Зависимость скорости распространения возмущений против потока от значения поперечной координаты г при различных значениях температурного фактора на рис. 18 показывает, что при низком температурном факторе = 0.05) величина скорости а практически не зависит от значения х Увеличение температуры

поверхности крыла приводит к тому, что эта зависимость становится все более немонотонной. В пограничном слое при 0.1 < г < 0.4 происходит возрастание этой скорости, а затем ближе к плоскости симметрии крыла она уменьшается. Это связано с тем, что при росте температурного фактора от 0.05 до 0.4 максимум поперечной компоненты скорости увеличивается в примерно два раза, а в окрестности плоскости симметрии происходит ее торможение до нуля.

г=о 90

£ = 0.4

0.07 0« 005 0.04 0O.V О 02-&.01

г. = о.4

■ 0.1

■ 0.05

0 04 0 06

Z

Рис. 18

Рис.19

Диаграммы направленности скорости распространения возмущений в плоскости симметрии крыла при значениях gw =0.05, 0.4 представлены на рис. 19. Увеличение температурного фактора приводит к возрастанию скорости распространения возмущений для углов 45° < су < 315", причем наиболее существенно это происходит в диапазоне углов 105" < со <255°. В диапазоне углов 315° <«<45° величина скорости а практически не зависит от величины gw.

На рис. 20 и 21 представлены диаграмма скоростей распространения возмущений для g„ = 0.05, 0.4 и z = 0, -0.9. В обоих случаях при значениях z = -0.9 диаграмма перестает быть симметричной и происходит ее деформация, причем она тем сильнее, чем выше температура поверхности.

Рис.20 Рис.21

Согласно результатам, приведенным на рис. 21, скорость распространения возмущений при г = -0.9 для углов 30" <<»<195° увеличивается, а для углов 210° <«<315° уменьшается. Это связано с образование достаточно больших положительных поперечных компонент скорости м> в пограничном слое в этой области.

Основные результаты и выводы

1. В первой главе показано, что при обтекании холодного плоского треугольного крыла с удлинением 5 = 0(1) в пограничном слое возникают вторичные течения с поперечной компонентой скорости 0{е = у ~ 1) • В области докритического течения в окрестности плоскости симметрии крыла определено координатно-параметрическое разложение функций течения в степенные ряды по малому параметру е и по значениям поперечной координаты. Для полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений определены условия их замыкания. Получены численные решения уравнений для первых членов разложений. Впервые получено представление о поведении функций течения в окрестности плоскости симметрии крыла для малых значений параметра е. Сравнение асимптотического и точного решений и показало их удовлетворительное совпадение.

2. Во второй главе решена задача обтекания треугольного крыла с толщиной и установлено, что температурный фактор и параметр %, характеризующий отношение толщины крыла к характерной толщине пограничного слоя, сильно влияют на характеристики течения около крыла, обтекаемого на режиме сильного взаимодействия. При определенных значениях этих параметров возможно образование локальных областей повышенных тепловых потоков, причем тепловые

потоки в них могут примерно в два раза превышать тепловые потоки в соседних областях поверхности крыла. Учитывая, что параметр х зависит от числа Рейнольдса, то возможно изменение расположения зон, повышенных тепловых потоков, и их величин в зависимости от высоты полета аппарата.

3. В третьей главе сформулирована краевая задача о распространении возмущений в пространственном пограничном слое на плоском треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее по характеристикам течения в пространственном пограничном слое определить скорость перемещения характеристической поверхности, связанной с функцией индуцированного давления. Установлено, что уменьшение температурного фактора приводит к значительному уменьшению скорости распространения возмущений вверх по потоку и практически не влияет на ее величину вниз по потоку. В пограничном слое везде, кроме плоскости симметрии крыла диаграммы направленности несимметричны, при этом скорость распространения возмущений в сторону плоскости симметрии увеличивается, а в сторону кромки крыла уменьшаемся. Учитывая, что температурный фактор в полете и при исследовании обтекания тел в аэродинамических трубах может отличаться на порядок, а, следовательно, и скорости распространения возмущений вверх по потоку тоже могут отличаться на порядок, то это обстоятельство необходимо учитывать при исследовании влияния отклонения органов управления на изменение характеристик исходного пограничного слоя.

Публикация

Статьи в журналах:

1. Дудин Г. Н., Мьиит К.Т. (2010) О влиянии температуры поверхности на течение

около треугольного крыла для режима сильного взаимодействия. Ученые записки ЦАГИ, Том 41, № 3, 42-51.

2. Дудин Г. Н-, Мьинт К.Т. (2010) О распространении возмущений в трехмерном

пограничном слое на треугольном крыле на режиме вязко-невязкого взаимодействия. Изв. РАН. МЖГ., 3, 91-102.

3. Дудин Г.Н., Мьинт К.Т. (2010) О течении в окрестности плоскости симметрии

холодного треугольного крыла при стремлении показателя адиабаты к нулю. Труды МФТИ, Тот 2, № 3, 150-165.

В сборниках тезисов:

1. Дудин Г.Н., Мьиит К.Т. (2006) О разложении функций течения в докритической

области на треугольном крыле. Труды 49-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VI Аэромеханика и летательная техник. Москва-Жуковский МФТИ.

2. Дудин Г.Н., Мьинт К.Т. (2008) Гиперзвуковое вязко-невязкое обтекание холодных

треугольных крыльев при стремлении показателя адиабаты к единице. Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VI Аэромеханика и летательная техника, с. 8-11.

3. Дудин Г.Н., Мьинт К.Т. (2009) Исследование влияния температурного фактора на

течение в пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Материалы XXшколы-семинара «Аэродинамикалетательных аппаратов», п. Володарского 26-27 марта 2009, ЦАГИ, с.53-54.

4. Дудин Г.Н., Мьинт К.Т. (2009) О распространении возмущений в пограничном

слое на треугольной пластине в гиперзвуковом потоке. Тезисы докладов Девятой международной школы-семинара «Модели и методы аэродинамики», Евпатория 4-13 июня 2009, с. 68-71.

5. Дудин Г.Н., Мьинт К.Т. (2009) К вопросу распространения возмущений в

пространственном пограничном слое на режиме сильного взаимодействия. Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VI Аэромеханика илетателъная техника, с. 7-10.

6. Дудин Г.Н., Мьинт К.Т. (2010) Распространение возмущения в пограничном слое

на треугольном крыле в сверхзвуковом потоке. XVМеждународная конференция «Методы аэрофизических исследований» (ICMAR 2010) (Новосибирск, Россия) 16 ноября 2010. 1,с. 79-80.

7. Мьинт К.Т. (2010) О некоторых особенностях обтекания тонких

треугольных крыльев. Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VI Аэромеханика и летательная техника, с. 15-17.

Мьинт Кьи Тар

ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ КРЫЛЬЕВ НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Подписано в печать 7.02.2011. Формат 60 ' 84 ]/16. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ № 5

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Издательский сектор оперативной полиграфии 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Введение. Обзор результатов исследований, краткое содержание 4 диссертации

Глава 1. Обтекание холодных треугольных крыльев на режиме 19 сильного вязкого взаимодействия при "ньютоновском" предельном переходе

1.1. Постановка задачи

1.2. Введение безразмерных переменных

1.3. Учета особенностей поведения функций течения

1.4. Разложения в окрестности симметрии крыла

1.4.1. Система С00 ~ 1 и её решение.

1.4.2. Система С|0 ~ г2 и её решение.

1.4.3. Система С20 ~ г4 и её решение.

1.4.4. Система С0, ~ е и её решение.

1.4.5. Система С,, ~ Б22 и её решение.

1.5. Выводы

Глава 2. О влиянии температуры поверхности на течение около . 42 треугольного крыла для режима сильного взаимодействия

2.1. Постановка задачи

2.2. Введение безразмерных переменных '

2.3. Учет поведения функций течения около передних кромок

2.4. Результаты расчетов

2.5. Выводы

Глава 3. О распространении возмущений в трехмерном пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия

3.1. Постано в ка задачи

3.2. Асимптотические представления в пограничном слое

3.3. Учет поведения функций течения в вершине крыла и около его 65 передних кромок

3.4. Определение характеристической поверхности

3.5. Результаты расчетов

3.6. Выводы . .76 Заключение 78 Список литературы

С развитием авиационной и космической техники большое значение приобрело .исследование течений при больших числах Рейнольдса, начало которому было положено в теории пограничного слоя Прандтля [1], которая основывалась на теоретических и экспериментальных исследованиях. В монографиях [2-4] приведены основные результаты классической теории пограничного слоя, причем большинство исследований было посвящено изучению двумерных и симметричных течений. В дальнейшем значительно возрос интерес к течениям в трехмерном пограничном слое [5-8]. Это объясняется тем, что пограничные слои, возникающие на реальных летательных аппаратах, являются пространственными по • существу. ■Исследование пространственных пограничных слоев имеет важное значение для определения аэродинамических коэффициентов летательных аппаратов [79], а, кроме того, взаимодействие пограничного слоя и следа с невязким потоком может во многих случаях играть определяющую роль для формирования течения в целом [10, 11].

Особую актуальность приобретает изучение трехмерных вязких течений газа при гиперзвуковых скоростях полета тела. При этих скоростях торможение газа скачком или вязкостными процессами в пограничном слое, вообще говоря, приводит к очень высоким температурам [12, 14]. В результате происходит уменьшение плотности газа и увеличение толщины пограничного слоя по сравнению с течениями при том'же числе Рейнольдаса невозмущенного потока, I но при более низких скоростях потока. Другой эффект состоит в возникновении различных физических явлений, которые приводят к тому, что поведение газа начинает отличаться от поведения совершенного газа, и необходимо учитывать реальные равновесные и неравновесные процессы, сопутствующие движению летательных аппаратов в атмосфере [15]. Хотя эти два типа эффектов не являются полностью независимыми, однако их часто можно рассматривать раздельно [12]. Ниже в работе обсуждаются и рассматриваются только проблемы, связанные с первым эффектом.

Взаимодействие пограничного слоя с невязким гиперзвуковым течением может приводить к отрыву пограничного слоя, ' появлению больших поперечных течений, и как следствие к возникновения локальных тепловых потоков, которые могут вызвать разрушение конструкции летательного аппарата [14-20]. Исследованию-пространственных вязких течений при сверх- и гиперзвуковых скоростях посвящено большое число экспериментальных работ, выполненных Боровым, Майкапаром, Уайтхедом, Бертрамом, Хефнером и др. Обзор имеющихся результатов исследований пограничного слоя на подветренной стороне треугольных крыльев, конусов и их приложение к определению аэродинамических характеристик возвращаемого космического аппарата представлен в работах [21, 22]. Многочисленные исследования течений проводились на телах выпуклой формы, например [16, 1.7, 23]. Как будет видно из дальнейшего обзора экспериментальных работ, одним из наиболее характерных проявлений, возникающего пространственного течения, являются особенности теплообмена. Так в работе [16] рассматривались особенности теплообмена на плоской поверхности полуконуса и отмечалось существование двух зон повышенного теплового потока при угле атаки равно нулю, что объяснялось взаимодействием течений около верхней и нижней поверхностей тела. Исследование теплообмена на подветренной выпуклой поверхности полуконуса [24] для определенных режимов показало существование в окрестности оси симметрии только одной зоны повышенного теплового потока. Экспериментальное исследование в ударной трубе при М.г= 13.6 теплопередачи к моделям треугольных крыльев, составленных из двух эллиптических полуконусов с разными значениями коэффициента, эллиптичности [23], показало сильное влияние этого коэффициента на характер распределения теплового потока вдоль поверхности крыла. В. работе [25] изучалось распределение давления и теплового потока на плоских треугольных крыльях с притуплёнными по цилиндру кромками. Во многих выше указанных экспериментальных работах отмечалось возникновение интенсивных поперечных течений, оказывающих существенное влияние па структуру течения и теплопередачу. Очевидно, что использование двумерных уравнений пограничного слоя для определения аэродинамических и тепловых характеристик в этом случае' может приводить к значительным отклонениям от действительности и необходимо решать трехмерные уравнения.

В ряде исследований [26-28] на основании обработки многочисленных данных установлены возможные типы течения на крыльях и их зависимость от величины угла' атаки и числа Маха в невозмущенном потоке. В частности показано, что если проекция числа Маха на нормаль к перёдней кромке меньше единицы, то отрыв происходит с передней кромки, а если больше единицы, то отрыв может происходить на линии, расположенной ближе и плоскости симметрии крыла. Картина течения на треугольном крыле с закрылками изучалась в работе [29].

В работах [21, 30 , 31] отмечена существенная зависимость типа течения на крыле от величины параметра гиперзвукового взаимодействия

1/

X - / Ке^Д [12]. I ак при малых и наличии угла атаки внутри пограничного слоя возникают сильные поперечные течения [30, 32, 33] и их взаимодействие с поверхностью тела может приводить к увеличению трения и теплового потока. Как показана в работе [30] на верхней поверхности при угле атаки а - 0 имеет место обычный пограничный слой, однако, уже при а - Г на центральной линии реализуется минимум толщины пограничного слоя (исключая окрестность носика крыла).

Совершенно иная картина течения на крыле реализуется при параметре взаимодействия X ~ 0{ 1) [21, 31, 34, 35]. В этом случае, по крайней мере до умеренных углов атаки, на всем крыле имеет место присоединенное течение. Толщина вытеснения в центре крыла достигает максимума, причем до углов атаки а<Т толщина вытеснения растет линейно по размаху крыла [35].

Объяснение существования двух типов течения приведено в роботе Уайтхеда,. Хефнера и Pao [31]. Так при слабом взаимодействии на' крыле образуется тонкий пограничный слой и разворот невязкого потока вокруг кромки [36] сильный, поэтому, чтобы затормозить невязкий поток в окрестности центра крыла, необходим сильный скачок, который и приводит к отрыву пограничного слоя'. При сильном взаимодействии - пограничный слой, на крыле толстый, разворот невязкого потока вокруг кромки слабый, и следовательно, образуется слабый скачок, которьш не приводит к отрыву пограничного слоя. Следует отметить, что аналогичные картины течения наблюдались на конусе под углом атаки при параметре гиперзвукового взаимодействия ^.-0.1 [37] и % ~ 0(1) ■ [38]. .

Ряд работ [19, 39] посвящен вопросу попытки устранения локальных зон повышенных тепловых потоков. Исследование условий возникновения этих зон и их устранение является очень важным для проектирования гиперзвуковых аппаратов. В этих работах исследовалось влияние формы крыла в плане на теплопередачу: Было показано, что округление носика не приводит к эффективному уменьшению тепловых потоков, а появляются две зоны, исходящие из точек сопряжения, и только использование крыльев, имеющих форму передней кромки с непрерывным изменениям кривизны контура • приводило к уменьшению тепловых потоков в 3-6 раз. Объяснение этого явления заключается в том, что в последнем случае не происходит резкого разворота у вершины, а, следовательно, не происходит обрйзования Сильных поперечных течений. Пики тепловых потоков могут быть также устранены отклонением острого конца треугольной пластины [39]. Это объяснялось тем, что образование возвратных поперечных течений может быть следствием поперечного течения в области вершины крыла. В работе [40] возникновение поперечных течений объясняется вязким взаимодействием пограничного слоя и внешнего невязкого потока в окрестности кромки крыла. ■

Как видно, из указанных выше экспериментальных работ, характер течения существенно зависит от образования поперечных течений в пространственном пограничном слое. Поэтому особый интерес в настоящее время представляют исследования образования пространственных течений внутри пограничного слоя, что позволит решать практические задачи об определении аэродинамических характеристик и о нагреве поверхности гиперзвуковых- аппаратов, а также управлении этим нагревом. Однако исследование поперечных течений в этой области ■ с помощью экспериментальных методов представляет достаточно сложную проблему [39], поэтому важную роль приобретают асимптотические и численные методы исследования.

Несмотря на развитие вычислительной технике и численных методов, нахождения решений уравнений Навье-Стокса представляет все еще' достаточно сложную проблему, особенно в случае пространственных течений [41]. Использование асимптотических методов позволяет построить приближенные -модели, учитывающие структуру течений и роль тех или иных физических механизмов в иных и таким образом значительно снизить потребности в вычислительных ресурсах, а, кроме того, более четно выявить роль различных параметров на характеристики течений [42, 43]. Эти методы были успешно применены в исследованиях вязких сверхзвуковых и гиперзвуковых течений [11, 14].

Первые теоретические исследования пространственного течения в' гиперзвуковом пограничном слое, по-видимому, были проведены в работах Ладыженского [44, 45].' В работе [44] исследовалось обтекание тонкого тела (все поперечные размеры много меньше длины тела) гиперзвуковым потоком вязкого теплопроводного газа в случае, когда толщина пограничного слоя сравнима с толщиной тела или превосходит ее, что соответствует режиму умеренного или сильного взаимодействия невязкого потока с пограничным слоем. Для поверхности тела специальной формы приведено автомодельное решение полученной системы уравнений. Пространственное гиперзвуковое течение вязкого газа около плоской треугольной пластины с заданной температурой поверхности (или теплоизолированной) и с острыми передними кромками при Мт=со рассмотрено в работе [45]. Было получено автомодельное решение для режима сильного взаимодействия, причем давление и остальные параметры потока оказались такими же, что и в случае обтекания пластины со скольжением, решение при сильном взаимодействии на которой известно [46], поэтому найденное решение не удовлетворяет условию непротекания в плоскости симметрии крыла. В работе [47] была сделана попытка избежать нарушения этого условия и построить решение в окрестности плоскости симметрии крыла. Однако принятия модель течения в центре крыле неверна т.к. было принято предположение о невозможности распространения возмущений вверх по потоку в пограничном слое.

В работах Нейланда, Стюартсона и Вильямса [48-50] впервые было указано на возможность, за счет взаимодействия сверхзвукового невязкого потока с пограничным слоем, передачи возмущений вверх по течению. Для гиперзвуковых течений на режимах умеренного и сильного взаимодействия Мейландом [51, 52] было установлено, что возмущения, вызываемые, например, донным срезом или каким-либо препятствием, могут распространяться до передней кромки тела. Причем, так как в потоке не могут возникнуть локальные области с большими градиентами давления,, то возможно образование зон отрыва с длиной порядка размера тела. Про этом, как показано в рабо те [51], на режиме умеренного и сильного взаимодействия схема течения остается двухслойной, так как разделение пограничного слоя на подобласти разного масштабе исчезает и весь пограничной слой начинает участвовать в процессе- взаимодействия. Как показали дальнейшие исследования [53, 54] двухслойные модели являются наиболее характерными при исследовании гиперзвуковых течений вязкого газа. В работе [51] показано также, что при слабом взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слое могут возникать короткие области' течений со свободным взаимодействием и локально-невязкие течения с большими градиентами давления, в пределах которых возмущения могут передаваться вверх по течению.

В работах Козловой и Михайлова [53, 54] рассмотрено обтекание треугольного и скользящего крыльев на режиме , сильного вязкого взаимодействия. Показано, что решение каждой из указанных задач и окрестности передней кромки не является единственным. Расчет треугольного крыла с помощью ' интегрального метода, основанного на введении двухпараметрических профилей поперечной и продольной составляющих скорости, показал, что решение, удовлетворяющее условию обращения в нуль поперечной скорости на линии симметрии крыла, существует. При этом на оси симметрии крыла давление и производные от давления разрывов не имеют. Необходимо отметить, что производная от толщины вытеснения в этом случае обращается в бесконечность. Решение на треугольном крыле при использовании маршевого метода расчета удалось получить только в частном случае, при наличии отсоса газа с поверхности крыла, когда зоны возвратного течения не возникали.

Обтекание задней кромки плоских треугольных и ромбовидных крыльев на режиме сильного вязкого взаимодействия рассмотрено в работе Денисенко [55] и показало, что расстояние, на котором влияние задней кромки существенно, составляет от 10% до 65% длины хорды крыла.

Гиперзвуковое вязкое течение газа около крыла малого удлинения рассмотрено в работах Рубана, Сычева [56] и Королева [57]. В работах предполагалось, что для внешнего потока верна линейная теория и фактически удлинение крыла выбиралось таким, чтобы возмущения распространялись по пограничному слою вплоть до передней кромки.

Особенности, связанные с отрывом пограничного слоя на охлаждаемом теле при гиперзвуковых скоростях потока, рассмотрены в работе Нейланда [58]. Показано., что в этом случае существенное влияние на течение около точки отрыва оказывают профили распределения параметров во всем'невозмущенном пограничном слое, а не только в более узком слое около тела, как в ранее изученных течениях [48, 49, 59, 60]. Вопросы взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем .для отрывных двумерных и пространственных течений рассмотрены в работах Нейланда [61, 62]. В первой .работе обнаружена глубокая аналогия между трехмерным пограничным слоем (или энтропийным слоем) на "режимах взаимодействия и двумерным невязким потоком. На холодных телах и в следе уравнения пограничного слоя, обладают двумя семействами характеристик (как сверхзвуковой поток), ограничивающих области передачи возмущений. Показано, что для докритического режима, аналогичному дозвуковому потоку, решение близи передней кромки содержит произвольную функцию, которая может определяться из условий на особой линии, аналогичной звуковой, линии плоского потока. В работе получены уравнения характеристик и "звуковых линий", условия отпирания и запирания возмущений. Исследованы в частности закритические течения на треугольном крыле с докритическими и закритическими передними кромками. Под закритическим течениями понимаются течения, в которых передачи возмущении вверх по потому практический нет, т.к. она ограничена несколькими толщинами пограничного слоя [11]. Докритический случай соответствует распространению возмущений вверх по течению на длину сравнимую с длиной тела. Работа [62] посвящена исследованию постановки краевой задачи для двумерного отрывного течения, которое на режиме сильного или умеренного взаимодействия с внешним гиперзвуковым потоком почти везде описывается уравнениями пограничного слоя. Показано, что около плоскости симметрии треугольного крыла в общем случае для устранения противоречий в постановке краевой задачи необходимо допустить существование возвратного вторичного течения и возможно образование области локальной неприменимости уравнений пограничного слоя. В этой области течение является или локально-невязким, или вязким, но с малыми значениями' поперечных компонентов скорости. Следует отметить, что глобальные решения течения вязкого газа на плоском крыле в работах [61, 62] не были получены и остался не выясненным вопрос о том, какие из рассмотренных локальных решений в окрестности плоскости симметрии реализую гея в различных глобальных решениях.

Впервые глобальное решение на полубесконечных плоских треугольных крыльях на режиме сильного вязкого взаимодействия были получены в работе Дудина [63]. Закритические режимы течения на плоских треугольных крылья исследованы и в [64]. В этих исследованиях отмечалось, что на образовании областей закритического и докритического течения и на положение координата переход от одного режима течения к другому должен сильно влиять показатель адиабаты у. При этом область докритического течения должна существенно уменьшаться, когда у

Влияние форма поперечного течения треугольного крылья было исследовано в [65]. Было казано, что форма поперечно сечения очень сильно влияет на. скорости поперечного течения и возможность образования локальных областей повышенных тепловых потоков, но исследования влияния температурного фактора не было сделано. Необходимость учета влияния температурного фактора может иметь существенное значение при моделирования течений, т. к. температурный фактор в. полете и в аэродинамической трубе может отличаться на порядок.

Вопросы распространения возмущения в пограничном слое на скользящей пластине на режиме сильного взаимодействия рассмотрены в работе Кречетникова и Липатова [66].

Вместе с тем оказались не исследованными некоторые особенности течений, в частности, течения в окрестности плоского симметрии холодного треугольного крыла, течения, в которых образуются развитые области возвратные поперечных течений и влияние на них температурного фактора, а также вопросы распространения возмущений в пространственных пограничных слоях на режиме сильного- вязко-невязкого взаимодействия. Детальное исследование таких особенностей позволяет более четко выявить влияние на них определяющих параметров и физических механизмов, что необходимо для моделирования течения в целом, а поэтому представляет как теоретический, так и прикладной интерес.

Цель работы. Теоретическое и численное исследование особенностей течения в пространственном ламинарном пограничном слое на треугольных крыльях на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. В рамках данного направления решались следующие задачи:

1) Построение решения в области докритического режима течения в окрестности плоскости симметрии холодной треугольной пластины при "ньютоновском" предельном переходе. 2) Исследование влияния температурного фактора и параметра, характеризующего отношение характерной толщины крыла к толщине пограничного слоя, на течение в пограничном слое на треугольном крыле с заданной степенной формой поперечного сечения.

3) Решение задачи- о распространении возмущений в пространственных пограничных слоях на треугольных крыльях.

Научная новизна.

1) Сформулирована краевая задача обтекания холодной треугольной пластины с удлинением порядка единицы при "ньютоновском" предельном переходе. Впервые проведено координатно-параметрическое разложение функции течения в окрестности плоскости симметрии крыла и получены соответствующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Указана процедура их замыкание и получены их численные решения для нескольких первых членов разложения.

2) Сформулирована и численно решена задача обтекание треугольного крыла с толщиной на режиме сильного взаимодействии. Показано существенное влияние температурного фактора • и параметра, характеризующего отношение характерной толщины крыла к толщине вытеснения пограничного слоя на образование локальных областей повышенных тепловых поток. Впервые показано, что в пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла возвратный профиль поперечной компоненты скорости может иметь такое же направление,. что и во внешней части пограничного слоя, т. е. график кривой описывающей этот профиль может иметь три максимума.

3) Впервые сформулирована краевая задача по исследованию распространения возмущений в пространственном пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее определить скорости распространения возмущения. Впервые численно определено влияние величины температурного фактора на скорость распространения возмущений против потока.

Практическая значимость. Полученное координатно-параметрическое разложение-для функций течения при «ньютоновском» предельном переходе не только позволили сформулировать и решить задачу о течении пограничном I слое, в окрестности плоскости симметрии крыла, но и дают важную информацию о требованиях к построению сетки для численного решения в рамках уравнений Навье-Стокса. Установленное сильное влияние температурного фактора на характер течения в пограничном слое на треугольном крыле и на образование локальных зон повышенных тепловых потоков необходимо учитывать при моделировании течений в аэродинамических трубах. Исследование распространения возмущений в пространственном пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного вязко-певязкого взаимодействия позволили впервые определить диаграммы направленности скорости распространения возмущений, что может быть очень важной информацией для уточнения влияния отклонения органов управления на аэродинамические характеристики летательного аппарата.

Основные положения, выносимые автором на защиту.

1) Математическая формулировка задачи об обтекании вязким теплопроводным газом треугольной пластины при "ньютоновском" предельном, переходе. Координатно-параметрическое разложение функций течения в пограничном слое в области докритического режима течения в. окрестности плоскости симметрии крыла и процедура' замыкания полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ результатов численного решений полученных систем уравнений.

2) Результаты численного исследования влияния температурного фактора на обтекание треугольного крылья с толщиной на режиме сильного вязконевязкого взаимодействия на' локальные характеристики течения и на 1 образование областей повышенных тепловых потоков.

3) Математическая формулировка краевой задачи для исследования распространения возмущений в пространственном ламинарном пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Интегральное соотношение, позволяющее определить скорость распространения возмущений в пограничном слое на треугольном крыле. Результаты численного исследования влияния температурного фактора на скорость распространения возмущений.

Апробация работы. Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, осуществлялись в рамках проектов по Аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы) № 2.1.1.5904 и (2009-2010 годы) № 2.1.1/200, проектов РФФИ №№ 07-01-00349-а и 10-01-00173-а. Основные результаты диссертационной работы были представлены на 49, 51, 52 и 53 научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Жуковский, 2006, 2008-2010); XX школе-семинаре «Аэродинамика летательных аппаратов» ЦАГИ (п. Володарского, 2009); IX международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики»

Евпатория, Украина, 2009); XV Международной конференции «Методы аэрофизических исследований» (ICMAR 2010) (Новосибирск, 2010). Результаты исследований обсуждались на научных семинарах кафедры Дэрогидромеханики ФАЛТ МФТИ. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 публикациях.

Личный вклад автора. Проведение координатно-параметрического разложения функций течения в пограничном слое на режиме сильного вязкого взаимодействия в области докритического режима течения в окрестности плоскости симметрии крыла и разработка процедуры замыкания полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью Maple 9. Анализ' результатов численных исследований. Модернизация программы расчета пограничного слоя на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия, с целыо получения полной информации о компоненте скорости в поперечном направлении. Графическая обработка результатов расчета пространственного пограничного слоя и анализ влияния температурного фактора и параметра, характеризующего отношение толщины крыла к толщине пограничного слоя, на локальные характеристики течения и на образование областей повышенных тепловых потоков. Математическая формулировка краевой задачи для исследования распространения возмущений в пространственном ламинарном' пограничном слое на треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Расчет диаграмм направленности скорости распространения возмущений в пограничном слое на треугольном крыле при различных значениях определяющих параметрах.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (92 ссылок). Объем диссертации составляет 88 страниц. Работа содержит 36 рисунков.

3.6. Выводы

Сформулирована краевая . задача о распространении возмущений в пространственном пограничном слое на плоском треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее rio характеристикам течения в пространственном пограничном слое определить скорость перемещения характеристической поверхности. Установлено, что i уменьшение температурного фактора приводит к значительному уменьшению скорости распространения возмущений вверх по потоку и практически не влияет на ее величину вниз по потоку. В пограничном слое везде, кроме плоскости симметрии крыла диаграммы направленности несимметричны, при этом скорость распространения возмущений в сторону плоскости симметрии увеличивается, а в сторону кромки крыла уменьшается. Учитывая, что температурный фактор в полете и при исследовании обтекания тел в аэродинамических трубах может отличаться на порядок, а, следовательно, и скорости распространения возмущений вверх по потоку тоже могут отличаться на порядок, то это обстоятельство необходимо учитывать при исследовании влияния отклонения органов управления на изменение характеристик исходного пограничного слоя.

Заключение

1. В первой главе показано, что при обтекании холодного плоского треугольного крыла с удлинением 5 = 0(1) в пограничном слое возникают вторичные течения с поперечной компонентой скорости 0{е = у -1). В области докритического течения в окрестности плоскости симметрии- крыла определено координатно-параметрическое разложение функций течения в степенные ряды по малому параметру е и по значениям поперечной координаты. Для полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений определены условия их замыкания. Получены численные решения уравнений для первых членов разложений. Впервые получено представление о поведении функций течения в окрестности плоскости симметрии крыла для малых значений параметра е. Сравнение асимптотического и точного решений и показало их удовлетворительное совпадение.

2. Во второй главе решена задача обтекания треугольного крыла с толщиной и установлено, что температурный фактор и параметр х ■> характеризующий отношение толщины крыла к характерной толщине пограничного слоя, сильно влияют на характеристики течения около крыла, обтекаемого на режиме сильного взаимодействия. При определенных значениях этих параметров возможно образование локальных областей повышенных тепловых потоков, причем тепловые потоки в них могут примерно в два раза превышать тепловые • потоки в соседних областях поверхности крыла. Учитывая, что параметр х зависит от числа Рейнольдса, то возможно изменение расположения зон, повышенных тепловых потоков, и их величин в зависимости от высоты полета аппарата.

3. В третьей главе сформулирована краевая задача о распространении возмущений в' пространственном пограничном слое на плоском треугольном крыле на режиме сильного взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее по характеристикам течения в пространственном пограничном слое определить скорость перемещения характеристической' поверхности, связанной с функцией индуцированного давления. Установлено, что уменьшение температурного фактора приводит к • значительному уменьшению скорости распространения возмущений вверх по потоку и практически не влияет на ее величину вниз по потоку. В пограничном слое везде, кроме плоскости симметрии крыла диаграммы направленности несимметричны, при этом скорость распространения возмущений в сторону плоскости симметрии увеличивается, а в сторону кромки крыла уменьшается. Учитывая, что температурный фактор в полете и при исследовании обтекания тел в аэродинамических трубах может отличаться на порядок, а, следовательно, и скорости распространения возмущений вверх по потоку тоже могут отличаться на порядок, то это обстоятельство необходимо ■ учитывать при исследовании влияния отклонения органов управления на изменение характеристик исходного пограничного слоя.

1. Prandtl L. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandl. 3rd, Intern. Math.Kongr. — Heidelberg, 1904. — S. 484-491.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. —М.: Наука, 1974. —711 с.3. ' Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. —М,: Гос. Изд. Физ. —мат. лит, 1962. С. 479.

3. Кочин Н.Е., Киб'елъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. —М., Л.: ОГИЗ Гостехиздат,. 1948. 612 с.

4. Мур Ф. Теория трехмерного пограничного слоя. // Сб. Проблемы механики. Вып. 2. —М.: Изд. иностр. лит, 1959. С. 239-296

5. Струминский В. В. Уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе на произвольной поверхности // ДАН СССР. 1957. т. 114. № 2. С. 271-274. ,7. ' Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. —М.: Изд. Наука, 1977. 224 с.

6. Eichelbrenner Е. A. Three-dimensional boundary layers // Annual review of fluid mechanics. 1973. v. 5. p. 339-360.

7. Баъикии В. А. Треугольные крылья в гиперзвуковом потоке. —М.: • Машиностроение, 1984. 136 с.

8. Чжен П. Отрывные течения. —М.: Изд. Мир. 1972. т. 1. 300 е., 1973. т. 2. 280 с, 1973. т. 3.334 с.

9. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудын Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. —М.: Физматлит, 2004. 456 с.

10. Хеш У. Д Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. —М.: Изд. иностр. лит, 1962. 607 с.

11. Дорренс У. X. Гиперзвуковые течения вязкого газа. —М.: Изд. Мир, 1966. 439 с.

12. Башкин В. А., Дудин Г. Н. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа. —М.: Наука. Физматлит, 2000. 288с.

13. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. —М.: Машиностроение, 1975. 328 с.

14. Боровой В. Я, Давлет-Кильдеев Р. 3, Рыжкова М. В. Особенности теплообмена на поверхности полуконуса, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа // Сб. "Аэродинамическое нагревание при гиперзвуковых скоростях потока". Тр. ЦАГИ. 1968. Вып. 1106. С. 5-23.

15. Боровой В. Я, Давлет-Кильдеев Р. 3, Рыжкова М. В. Экспериментальное исследование теплообмена на крыльях и клине И Сб. "Аэродинамическое нагревание при гиперзвуковых скоростях потока". Тр. ЦАГИ. 1970. Вып. 1175. С. 170-183. .

16. Майкапар Г. И. Отрывные течения у подветренной стороны треугольного крыла и тела вращения в сверхзвуковом потоке // Уч. зап. ЦАГИ. 1982. т. 13. № 4. С. 22-33.

17. Whitehead А. Н., Jr., Bertram М. Н. Alleviation of Vortex induced heating to the leeside of slender wings in hypersonic flow // AIAA Journal. 1971. v. 9. N. 9. P. 1870-1872.

18. Hefner J. N., Whitehead A. H., Jr., Lee-side Heating Investigations. Part 1-Experimental Lee-side Heating Studies on a Delta Wing Orwiter //' NASA NM X-2272. 1971. v. 1. P. 267-287.

19. Dimawant J. C., Narayan K. Y., Walberg G. D. A survey of leeside flow and heat transfer on delta planform configurations // AIAA. Pap. — 1976. —N. 76-118. '13 P.

20. Боровой В. Я. Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слое. —М.: Машиностроение, 1983. 144с.

21. Боровой В. Я., Рылскова М. В. Исследование теплообмена на подветренной выпуклой поверхности полуконуса // Сб. "Аэродинамическое нагревание при сверхзвуковых скоростях". Тр. ЦАГИ. 1971. Вып. 1315. С. 109120.

22. Stanbrook A., Squire L. С. Possible types of flow at leading edges // Aero. Quart. 1964. V. 15. P. 72-82.

23. Bertram M. H., Сагу A. M., Jr., Whitehead A. H., Jr. Experiments with hypersonic turbulent boundary layers on flat plates and delta wings // Hypersonic boundary layers an flow fields. London. 1968. P. 1-1-1-21. (AGARD conf. Proc. N. 30. 1968).

24. Brown С. E., Michael W. H., Jr. On slender delta wings with leading-edge separation //NASA TN. 1955. N. 34-30.

25. Whitehead A. /7., Jr., Keyes J. W. Flow phenomenon an separation over delta wings with trailing edge flaps at Mach 6 // AIAA Journal. 1968. V. 6. N. 12. P. 23802387.

26. Rao D. M., Whitehead A. H., Jr. Leeside vortices on delta wings at hypersonic speeds // AIAA Journal. 1972. V. 10. N. 11. P. 1458-1465.

27. Whitehead A. K, Jr., Hefner J. N., Rao D. M. Lee surface vortex effects over configurations in hypersonic flow I I AIAA Pap. 1972. N. 72-77. 14 p.

28. Whitehead A. H., Jr. Effect of vortices on delta wing leeside heating at Mach 6 // AIAA Journal. 1970. V. 8. N. 3. P. 599-600.

29. Monnerie В., Werle H. Etude de l'coulement supersonique et hypersonique autor d'une aile elancee en incidence // Hypersonic boundary layers and flow fields. London. 1968. P. 23-23-19. (AGARD conf. Proc. N. 30. 1968).

30. Cross E. J., Jr. Experimental and analytical investigation of the expansion flow field over a delta wing at hypersonic speeds // ARL. 1968. N. 68-0027. P. 1-120. •

31. Cross E. J., Jr., Hankey W. L. Investigation of the leeward side of a delta wing at hypersonic speeds // А1ЛА Pap. 1968. N. 68-675. — lip.

32. Fowell L. E. Exact and approximate solutions for the supersonic delta wing // JAS. 1956. V. 23. P. 709-720.'

33. Rainbird W. J. The external flow field about yawed circular cones I I Hypersonic boundary layers and flow fields. London. 1968. P. 19-1-19-18. (AGARD conf. Proc. N. 30. 1968).

34. Trasy Rishard R. Hypersonic flow over a yawed circular cone // Firestone flight sciences laboratory, Graduate aeronautical laboratories, California institute of technology. Pasadena. California. 1963. August 1. Memo N. 69.

35. Rao D. M. Hypersonic lee surface heating alleviation on delta wing by apex-drooping//AIAA Journal. 1971. V. 9. N. 9. P. 1875-1876.

36. Bertram H. H., Henderson A., Jr. Recent hypersonic studies of wings and bodies//ARS Journal. 1961. V. 31. N. 8. P. 1129-1139.

37. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. —М.: Мир. 1980. 616 с.

38. ВанДайк М. Методы возмущений в механике жидкости. —М.: Мир. 1967. 310с.

39. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. —М.: Мир. 1972.274 с.

40. Ладыженский М. Д. Обтекание тонких тел вязкйм гиперзвуковым потоком//ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 5. С. 765-778.

41. Ладыженский М. Д. О пространственном гиперзвуковым течении около тонких крыльев // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 5. С. 835-844.

42. Dewey С. F. Use of local similarity concepts in hypersonic viscous interaction problems // A1AA Journal. 1963. N. 1. P. 20-33.

43. Ладыженский M. Д. О сильном взаимодействии пограничного слоя с невязким потоком на треугольном крыле // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 635642.

44. Нейлапд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 4. С. 53-58.

45. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation //'Proc. Roy. Soc. 1969. V. 312. N. 1509. P. 181-208.

46. Нейланд В. Я. К асимптотической теории плоских стационарных сверхзвуковых течений со срывными зонами // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 3. С. 22-32.

47. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению -при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. JYL> 4. С. 40-49.

48. Нейланд В. Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971.' № 4. С. 41-47.

49. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на ipeyrojibiioM и скользящем крыльях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 6. С. 9499.

50. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О влиянии возмущений пограничного слоя на гиперзвуковые течения с вязким взаимодействием // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. №4. С. 48-53.

51. Денисенко О. В. Обтекание задней кромки плоских треугольных и ромбовидных крыльев на режиме сильного вязкого взаимодействия // Тр. ЦАГИ. 1978. Вып. 1939. С. 3-15.

52. Рубан А. И., Сычев В. В. Гиперзвуковое вязкое течение газа около крыла малого удлинения // Учен. зап. ЦАГИ. 1973. Т. 4. № 5. С. 18-25.

53. Королев Г. Л. К теории .гиперзвукового течения около крыла* малого удлинения // Учен. зап. ЦАГИ. 1980. Т. 11. № 3. С. 24-33. '

54. Нейланд В. Я. Особенности отрыва пограничного слоя на охлаждаемом теле и его взаимодействие с гиперзвуковым потоком // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. № 6. С. 99-109.

55. Нейланд В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 3. С. 19-25.

56. Сычев В. В. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. № 3. С. 47-59.

57. Нейланд В.Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч.

58. Пространственные течения // Учен. зап. ЦАГИ. 1974. Т. 5. № 2. С. 70-79.

59. Нейланд' В.Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч.

60. Двумерные течения и треугольное крыло // Учен. зап. ЦАГИ. 1974. Т. 5. № 3. С. 28-39. ' .

61. Дудин Г.Н. Взаимодействие гиперзвукового потока с пограничным слоем на тонком треугольном крыле // Труды ЦАГИ. 1978, вып. 1912. С. 3-10.

62. Дудин Г.Н., Липатов И.И. О закритическом режиме гиперзвукового обтекания треугольного крыла// ПМТФ. 1985.№ 2. С. 100-106.

63. Дудин Г.Н. Особенности теплообмена на поверхности треугольного тела при обтекании' гиперзвуковым потоком вязкого газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 1. 74 диссертация.

64. Кречет? шков Р.В., Липатов И.И. Распространение возмущений в пространственных сверхзвуковых пограничных слоях // ПМТФ. 1999. Т. 40. №3. С. 116-127.

65. Дудин Г.Н., Мъинт КТ. О течении в окрестности плоскости симметрии холодного треугольного крыла при стремлении показателя адиабаты к нулю. Труды МФТИ, (2010). № 3. '

66. Дудин Г.Н., Мъинт К.Т. О разложении функций течения в докритической области на треугольном крыле // Труды 49-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2006. Т. 6.

67. Дудин ГЛ., Мъинт К.Т. Гиперзвуковое вязко-невязкое обтекание холодных треугольных крыльев при стремлении показателя адиабаты к единице // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 2008. Т. 6. С. 8-11.

68. Дудин Г. /У., Мъинт К.Т. О влиянии температуры поверхности на течение около треугольного крыла для режима сильного взаимодействия // Ученые записки ЦАГИ, Том 41 № 3. 2010. С. 42-51.

69. Дудин Г. Н., Мъинт. К.Т. Тезисы докладов. Девятая международная школа-семинар «Модели и методы аэродинамики» Евпатория "О распространении возмущений в пограничном слое на треугольной пластине в гиперзвуковом потоке". 2009. С. 68-71.

70. Дудин Г.Н., Мъинт К.Т. К вопросу распространения возмущений в пространственном пограничном слое на режиме сильного взаимодействия // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 2009. Т. 6. С. 7-10.

71. Дудин Г.Н., Мъинт К.Т. XV Международная конференция «Методы аэрофизичсских исследований». "Распространение возмущения в пограничном слое на . треугольном крыле в сверхзвуковом потоке ". (1СМАЯ 2010) • (Новосибирск, Россия) 6 ноября 2010. С. 79-80.

72. Дудин Г.Н., Мьинт К. Т. О некоторых особенностях обтекания тонких треугольных крыльев // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 2010. Т. 6. С. 15-17.

73. Дудин Г.Н. К вопросу существования автомодельных решений в закритической области при гиперзвуковом обтекании треугольного крыла // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 2. С. 156-164.

74. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

75. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. —М.: Гостехиздат, 1958. 628 с.

76. Нейланд В.Я., Соколов Л.А. Ламинарный пограничный слой на конусе, установленном под углом атаки в сверхзвуковом потоке // Тр. ЦАГИ. 1977. Вып. 1812. С. 3-9.

77. Дудин Г.Н. О закритических режимах гиперзвукового обтекания плоского. треугольного крыла при наличии угла скольжения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1995. №4.

78. Дудин Г.Н., Лыжин Д.О. Об одном методе расчета режима сильного вязкого взаимодействия на треугольном крыле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 4. С,-1 19-124.

79. Нейланд В.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н, Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. М.: Физматлит, 2004.

80. Дудии Г.Н. Об образовании областей закритического течения на крыльях малого удлинения // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 6. С. 160-172.

81. Wang К.С. On the determination of the zones of influence and dependence for three-dimensional boundary layer equations // J. Fluid Mech. 1971. V. 48. № 2. P. 397-404.

82. Wang К С. Aspects of multitime initial-value problem originating from boundary layer equations // Phys. Fluids. 1975. V. 18. № 8. P. 951-955.

83. Hayes W.D., Probstein R.F Hypersonic flow theory. New York and London: Academic Press, 1959. 607 p. (Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. —М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 607 с.)

84. Chapman D.R., Kuehn D., Larson H. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition // NACA Rep. 1958. № 1356. 40 p.

85. Neiland V.Ya., Bogolepov V.V., Dudin G.N, Lipatov 1.I. Asymptotic theory of supersonic viscous gas flows. U.K.: Elsevier Limited Oxford, Elsevier Aerospace Engineering series, 2008, 536 p.

86. Дудин Г.Н. Расчет пространственного пограничного слоя на треугольной пластине конечной длины в гиперзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 5. С. 46-52.