Формальные представления неархимедовых мер и их моментов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

п в $'2 " '

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Рандимбиндрайнибе $алиманана

НОРМАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕАРХИМВДОВЫХ МЕР И ИХ МОМЕНТОВ 01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соиокание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков - 1992

»

работа выполнена на кафедре Теории функций и функционального анализа Харьковского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,' доцент Калюжный В.Н.

Официальные оппонеты: доктор физико-математических наук, профессор Квдец М.И.

кандидат физико-математических наук, доцент Овчаренко И.Е.

Ведущая организация: Днепропетровский государственный-университет , г. Днепропетровск

Защита состоится "О6 " iХ-ЮКлЯ_1992 г. в'¿5часов

на заседании специализированного совета К 053.06.02 Харьковского государственного университета им. A.M. Горького, по адрессу: 310077, г. Харьков, пл. Свободы, ауд. б-^в

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Харьковского государственного университета.

Автореферат разослан "¿S" _IS92 г.

Ученый секретарь специализированного Совета __ A.C. Сохин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Неархимедов Сультраметрический, р-адический)

анализ - раздел математического анализа, сформировавшийся в по] О 1)

следние 25"лет _ в отличие от классического анализа роль

основного поля выполняет поле р-адических чисел ©р или некоторое его расширение К . Важной задачей является построение р -адических аналогов различных классических функций (прежде всего дзета-функций). Одним из методов построения птих аналогов Еюту-пает интегральное преобразование Меллина-Мазура Инструмен-

том построения мер для интегральных представлений может служить неархимедова проблема моментов. Важность отой проблемы в классическом анализе хорошо изветна-'}

Обратим внимание на различие между проблемой моментов в классическом и неархимедовом анализе.

В первом случае критерии разрешимости часто выражается в виде требования неотрицательности некоторого функцигчала (формы).

В неархимедово-нормированных полях отсутствует естественное упорядочение, локальная компактность несовместима с алгебраической замкнутостью, эти поля вполне несвязны. Всё это делает невозможным использование классичекой техники: теории ортогональных многочленов, теории якобиевых матриц, критериев позитивности.

I) Поиоо. A.F. Analyse Wp.

Roij Van А.С И . Nlon- лгсйете&Део»! -So^ckeMc^ onoSjfcis

3) Коблиц H. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции1>1582/М. 190 с.

Ч> Lang. S. C^&Unic ^ШД^М^.^ОД^Шр.

5) Ахиезер Н.й. Классическая проблема моментов^ IS6I, М» 310 с.

Отправным» пунктами данной работы послужили следующие два -результата: I) представление алгебры 22. р^ неархимедовых мер на группе целых р-адических чисел р со значениями в поле ^ , алгеброй формальных степенных рядов с ограниченными коэффициентами (Ван дер Пут и 2) - решение степенной проблемы моментов на 2^-р . использующее это Представление б »7). сформулируем эти теоремы с целью сравнения их с полученными в работе

ортонормированный базис в пространстве непрерывных функций

Отображение, сопоставляющее мере рд, ряд ^^ (■»'О^р.ЙО^ )(

является изометрическим изоморфизмом алгебр -

2) Для существования меры на р такой, что

^ гпс1р\с.») = ^ . сп^о) сел)

необходимо и достаточно, чтобы формальный ряд , где

(X)-2- —П имел 0ГРа,шченные коэффициенты в К^^ОО *

Решению проблемы моментов (0.1) соответствует в смысле ■ описанного выше изоморфизма ряд •

Целью работы являлось обобщение этих результатов на возможно более широкий класс групп и последоиателностей функций.

^ Асе X. 'Шио^ .РгосеесЗкл^ "Ь?-^ сол^егепсе. р-аскс у Л978.

7) Наличный В.Н. Степенная проблема "моментов на р-адичесг.ом диске. Теория функций, функционального анализа и их приложения, вал. 39. Харьков: Виша школа-, 1933, с. 56-61.

- /| -

Цель работн состоит в конструировании непрхимедово-нормиро- ' ванных пространств (алгебр) формальных рядов, их использовании для формализации пространств Г алгебр) неархимедовых мер и момен-' тов, разработке на этой основе аппарата для решения проблемы моментов, применении его для решения проблемы моментов в конкретных случаях.

В качестве методов исследования используются приемы неархи-'медовой теории мер, теории неархимедово-нормированных пространств и алгебр, методы комбинаторного анализа.

■В отличие от классического случая невозможно использование инвариантной меры, теории положительной определённости.

О научной новизне свидетельствует то, что в работе впервые разработан подход к решению проблемы моментов для широких классов групп и функций, обобщающий имевшиеся ранее результаты.

Диссертация имеет тсоритический характер. Её результаты могут найти применение в неархимедовой теории интегрировагия, теории банаховых алгебр. За пределами неархимедова анализа возможны приложения к аналитической теории чисел и в комбинаторной теории.

Структура диссертации определяется получением основных результатов в главах 4 и 5. Подготовительный (комбинаторный, алгебраический, функциональный) материал излагается в главах 1,2,3.

Апробация. Ре^льтаты работы докладывались на семинаре по теории модулярных форм МГУ, семинаре по теории функций Днепропетровского госуниверситета, городском семинаре по функциональ--ному анализу и приложениям (Харьков).

Основные результаты диссертации опубликованы в работе®^.

8) Калюжный В.Н., Рандимбидрайнибе Ф. Проблема моментов на мо-нотетической группе. Международная конференция по алгебре ло-свяш. памяти А.Л.Мальцева.(Новосибирск 1989), т.2 с. 20.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Пусть К Э (йр- неархимедово нормированное полное поле, (с абсолютным значением, продолжающим р-адическое (р#2)).

В главе I приводятся вспомогательные комбинаторно-аналитические построения, основанные на идее троугольности, вводятся необходимые полиномы и коэффициенты.

В §3 определяется "треугольно-перемножаемая" Сотносительно треугольной системы Об: С глах(П|т)< К< г> + гп )) после-

довательность си= (а п,)11>0 элементов некоторой алгебры, как линейно независимая последовательность,удовлетворяющая соотноше-ь : нинм;

П -V >У1

ак (1.1)

кз тс(Х(п,т)

Существенным для нас является условие "невырожденности" системы СЛ : О (п^О). Значение зтого понятия состоит в том, что для любой последовательности из алгебры без делителей нуля, треугольно-перемножаемой.относительно системы 0( .система 0( является невырожденной (лемма 3.11.3).

Согласно предложению 3.12.') всякая последовательность^^)^ тоеугольно- перемножаемая относительно невырожденной системы

к"1) имеет вид ?„~

Сер,

") ,где полиномы ¡^{х) имеют

вид р&>с*}= х°о'°7

*<*-*?).............С^СГ) (п,1)(1.2)

п ......

В качестве следствия устанавливается общий вид треугольно-перемножаемой последовательности полиномов (предложение 3.12.'()-

В главе 2 вводятся необходимые д*л дальнейшего алгебро-топо-логические конструкции.

В §1 для обратимой верхие-треугольной матрицы

на пространстве ^ последовательностей ^-(^п^п^О зада®тся

функционал 3

и образуется банахово пространство

с нормой II К ^ . В частности, для единичной матрицы £ получаем пространство т^ а т. ограниченных последовательностей.

В- §2 определяется "алгебра треугольно-сворачиваемых последовательностей" (К где "¡^ = >как алгебра с покомпонентными линейными операциями и умножением задаваемым равенством:

^где ? ОоО . (2.1)

пчп}К к

Указывается два способа построения банаховых алгебр треугольно-сворачиваемых последовательностей на базе пространств т. и ^ с путём введения умножения по формуле (2.1).

Первый способ (п. 2.8) даёт алг'ебру(уп_)<^ ) при условии!0^ И Второй способ (п. 2.10) приводит к алгебре (гп,^ ) при условии существования алгебры (уц, о/), (построенной первым способом) такой, что структурные константы связаны соотношением

/ оС^с .с; , (2.2) ;—:—г" Я ^пь^шд --гк ^п

Устанавливается, что отображение О115/^)-

является изометрическим изоморфизмом алгебр.

В §3 излагается основополагающая для дальнейиего процедура

.формализации. Произвольную последовательность символова-Гч_)

■У"

ми рассматриваем как алфавит формализации. Формальным рядом называем выражение вида . Множество К и. £*_ | всех

таких рядов с покомпонентными линейными операциями образует ли-^ нейное пространство, которое рассматривается как формализация пространства 1\ . Изоморфизм пространств I

^п^п. называем отображением диагональной О. — - формализации.

Предыдущая конструкция распространяется и на случай подпространств

В частности, получаем формализации т и ^зИ®'«'}}

Далее, пусть задано отображение М—'-{сх^ГРс^/ •

1 > ' 'и гГЦ,0

Его О* - формализацией называем отображение

ккпд'и-.^^СЦы)..

В §4 предполагается,- что алфавит С^п*)^ дЯвляется треугольно-перемножаемой последовательностью относительно системыС( Это даёт возможность превратить К в "алгебру треуго-

.льно-перемножаемых последовательностей" путём задания умножения по правилу

Алгебра ^ рассматривается как формализация алгебры

(К^сХ).

В пп. 4.7, '1.8 определяются нормированные алгебры К<Сап^ -^ И ^пИ ■ ' пРеДставляюи1"е формализа-

ции алгебр (шл, с< ) . (Ш 5, ф) •

Формализацией изоморфизма между этими алгебрами выступает отображение

В §5 строятся алгебры "формальных полиномиальных рядов" К [£ .Ри С*)~У} порождаемые треугольно-перемножаемыми последовательностями полиномов Р = Сх) } . К этому типу относятся

—■"кшлш!' ер-®оот1 •ги ■

рим'с*) Лх-ОСх-»)........ (х-в"-1) •

Определяются такке нормированные алгебры формальных полиномиальных рядов и рассматривается связывающей их изометрический изоморфизм

'5

3)

В §6 посвящен представлению пространства У, |Х<3М 31 посредством нимне-треугольного преобразования алфавита.

В §§7, 8 рассматриваются представления гомоморфизмов (преобразований) алгебр (пространств) формальных полиномиальных рядов посредством подстановки. При некоторых дополнительных предположениях справедлива теорема 7.7.3: Всякое отображение вида

-(2.3) задаётся подстановкой 0<;) = Ь(1- ¿ С*;) ряда

В главе 3 и далее (з - коммутативная группа, компактная относительно топологии, задаваемой ультраметрикой,С.( О ^ - пространство непрерывных функций на (5 со значением и К с £ир-нормой.

В §2 определяется "треугольно-расцепляемая" относительно системы О(=(о(к ^последовательность, как линейно независимая последовательность удовлетворяющая соотношениям вида:

К » * тю^К

В §3 в пространстве С С р строится треугольно-расщепляемый ортонормированный базис (о.н.б) А ^ .состоящий из функций

Р&К ,о*А<р-ао ° '

В §4 рассматривается группа С) С°01 топологически порождаемая элементом о(бК ^ 4 , г>хДог с» , 41< 4 »pYw . Вводится последовательность функций

где п К.^(п) (о< И^ОО О*/).ОЭ*.&С«0->\5

непрерывный гомоморфизм такой, что = с*.^

Здесь " логарифмическая функция на О СЫ") ,

■ 2оа г-1 » гдо С^О - ^(э&О смежный класс группы

(эС«Опо подгруппе <3 , - характеристическая фун-

кция , *

А ( ^

Доказывается, чтоД^ ^ /п> 0 является треуго-

льно- расщепляемьм о.н.б в С С (Ь 0=0} (предложение 4.11.3).

- 10 -

В главе 4 рассматривается алгебра 1Л( б) (с операцией свёртки) неархимедовых мер на группе С со значениями г поле К. .

Для о.н.б Д, (епСг))п?0 пространства ССС) и

полагаем ^САрО 3 ^¡мСг) , : ( ^А-'1и)>)г>> 0 •

Множество ; |и е. М (,£))} (§1.2) являе-

тся банаховым пространством (алгеброй) относительно операции и нормы, перенесенных с . С ним связан изометрический изо-

морфизм ^ (Сз, д), (ч)- ^ СА,[Ч) .

В §2 предполагается, что в пространстве существует о.н.б

(треугольно-расцепляемый относительно системы Сз( ). Это позволяет отождествить с алгеброй , о( .

В §3 Для произвольного "алфавита" с\. - (а > опреде-

» " ' ЧЛо

•а

ляются отображение I диагональной формализации пространства

^СС^А^) и отображение {А,О) - формализации 0 :

и

} пространств

В §'( для треугольно-перемнскаемоП последовательности (X ,

рассматривается как изометрический изоморфизм алгебр (формализация алгебры мер).

Итоговый результат главы 4 обобщает теорему Ввч-дер-Пута .

Теорема '1.1. Пусть о.н.б -А таков, что О? -невырожденна

и последовательность А .= ( А 00) построена по формуле

о

(1.2) для Тогда изометрический изоморфизм

устанавливает полиномиальную формализацию алгебры мор. В качестве приложений в §§5,б установлены формализации

Глава 5 посвящена изучению моментов

б

полной в СС& ) последовательности ЧЛ 1Дми;)) относительно мерыщнаф ,а также их последовательностей 0"(5?/(би^/Г^

Множество N(6,1) - «I С5 ) уи£\1(|л)^(§1,2) является

банаховым пространством (алгеброй) относительно операций и нормы. перенесённых с М(,(э)»

Ключевую роль играет изометрический изоморфизм пространств

Основные результаты получены в случае, когда ^ связана с некоторым ортонормированным базисом А разложением:

к

екС*>=^Д,киисг> (5.1)

с обратимой верхне-треугольной матрицей ^ . В этом случае (лемма 1:5.

Основной задачей главы является вопрос о разрешимости проблемы моментов Г

3 ииа-) = (.пэр) , (5.2)

е

где Сй'уд') г»> о ~ "РперёД .заданная последовательность из К .

Согласно предложению 1.6.4 проблема моментов (5.2) разрешима тогда и только тогда, когда ((Г^"), б-У/ССз^^) , причём для

П>'° ( \

её решения имеет место представление ^ - '^ч^Оц) / *

В §2 предполагается, что V является треугольно-расщепляемой (относительно системы ) последовательностью. Это позволяет отождествить V") с алгеброй (т Ь • В случае, когда

XI

треугольно-расщепляемым является и о.н.б Д., отображение "С^ становится изометрическим изоморфизмом алгебр.

В- §3 рассматривается формализация пространства

произвольным алфавитом .Пусть^-Хсгй _

1\?о п Л

производящий ряд последовательности правых частей (5.2).

Теорема 3.5.2. Проблема моментов (5.2) разрешима тогда и только тогда, когда выполняется любое из двух эквивалентных

условий

. При этом для

а. ^ С4,<ь г р-

представление = 5 \ )'

ее решения имеет место

Здесь (а^-) -алфавит формализации пространства мер

Для получения первого приложения теоремы 3.5.2 рассматривается формализация с алфавитом 21 <3 » являющимся прсо-

бразованием алфавита О. , двойственным преобразованию (5.1).

Теорема 3.6.3. Проблема моментов (5.2) разрешима тогда и

только тогда, когда выполняется условие ' При

а, -А.

этом для ее решения имеет место представление ^ - У- .

В §4 рассматривается формализация алгебры моментов ЬК^/^) для треугольно-расщепляемой относительно последовательности ^По предложению 1|.2.1 для треугольно-перемножаемой относительно р последовательности

Л, г (Л

V» V изометрический изоморфизм

устанавливает формализацию алгебры моментов . В частно-

сти справедлива

Теорема '1.5 Л. Пусть ^з —( ) невырожденна и последовательность образована по формуле (1.2) с Я-ф .Тсг-"да изометрический изоморфизм IV.

устанавливает полиномиг'льную формализацию алгебры моментов.

Для получения второго приложения теоремы 3.5.2 предполагается также,что Д треугольно-расщепляем относительно невырожденной треугольной системы С( и выполняется условия =

Теорема 4.8.1. Проблема моментов ('5.2) разрешима тогда и тол-В г—

ько тогда.когда для ряда р 6с)г2_(Г выполняется условие

? (I ^ С*)) еК^А^)) (где определён в 02.4)) . При

атом для её решения имеет место представление

Например, для Ы), V- СЦ'^Х^о > Л ' ^«^«Хю

имеем А» = й „00 , 1^>(Х) -во^Х

В §5 предполагается, что А - о.н.б треугольно-расщепляем относительно невырожденной треугольной системы С/, С/ 4. (п^О); ^^ - последовательность функций треугольно-расщепляема относительно невырожденной системы -¿.. С«?'0) < ^ является треугольным преобразованием с помощью обратимой верхне-треугольной матрицы .причём— ; является преобразованием ^^ с помощью обратимой верхне-треугольной матрицы

Пусть алФаБИТ формализации алгебры

В качестве алфавита формализации

n(6,'о

берётся последовательность рядов Ц = I Ни); Л С в^'с*)ц .

Теорема 5.2.1. Проблема моментов (5.2) дляV,разрешима тогда

И чг-

и только тогда, когда для ряда = <у Ц (}<) выполняется ус-

С И/ |А,6^> \ " и

ловие Г ^'-С, .(.*)) (= К<Ау&)/- При этом для её решения

имеет место представление — ^^ (, -

Указанный ь §5 метод позволяет сводить решение проблемы моментов для произвольной ("возможно вырожденной) системы "\7 к случаю невырожденной системы