Некоторые вопросы неархимелова анализа в кольце обобщенных комплексных чисел и в модулях над ним тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

белорусский государственный университет

На правах рукописи УДК.5X7.983

ТИТКОВ ЮРИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРО.Ы НЕАРХИМЕДОВА АНАЛИЗА В КОЛЬЦЕ ОБОБЩЕННЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И В МОДУЛЯХ НАД НИМ ■

(01.01.01,- математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск-1992

Работа выполнена на кафедре функционального анали Белорусского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Я. В. ГАДЫНО

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, академик АН Беларуси

И. В. ГЛЙШУ

кандидат физико-математическ наук, доцент О. В. ЛОПУШЛНСКИ

Ведущая организация - Институт математики академии

наук Украины (г.Киев).

Защита состоится 16 июня 1992 г. в 10 часов 1 заседании специализированного совета К 050.03.05 физико-математическим наукам . /математика/ в Бело|'усск1 государственном университете по адресу: 220000. Республи! Белорусь, г.Минск, проспект Ф. Скорины, 4; главный корпу) ауд. 206. ,

С диссертацией можно ознакомиться в библиоте! Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан "16" мая 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

п. н. кияз:

I Т. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЕ].

I

Лк-гуальность темы. Современная теория обобщенных |>унк'йий является универсальным и одним из основных шструментов математического анализа, область применения готирого простирается практически на все отрасли «тематического знания.

В последнее время происходило интенсивное развитие теории обобщенных Функций, связанное с переосмыслением :амого понятия обобщенной функции. Такой подход • позволил >ешить, например, задачу об умножении обобщенных функций, |еразрешимую в общем случае в классической теории. Так как тстояыап диссертация посвящена анализу функций, 1ействующих в некоторых специальных кольцах . и которые южно рассматривать как новые обобщенные функции, то тема ^следования представля&гся важной и актуальной.

Поль рлеоты состоит в исследовании специального класса функций (ш-непрерывных функций), действующих в :ольцах. являющихся неархимедовыми расширениями полей (ействительных и комплексных чисел и. исследовании шфференциально-топологических структур, возникающих в :лассах таких функций.

Натодика исследоЕзания. В работе применяются методы математического анализа, теории функций комплексной временной и функционального анализа.

Научная новизна. Принципиально отличной от расширения метрического пространства посредством пополнения, с юмощью которой получаются например поля действительных и >-адических чисел, является конструкция неархимедова

расширения, используемая в нестандартном анализе. Однако такая конструкция расширения имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что получающееся расширение не обладает структурой метрического пространства, как это имеет место в случае с пополнением.

В диссертации предложен способ неархимедова расширения полей действительных и комплексных чисел, в результате которого получаются кольца, с заданными на них неархимедовыми метриками, полные относительно этих метрик. Класс произвольных непрерывных функций действующих в таких кольцах является слишком широким а потому мало интересным. Поэтому в диссертации вводится более узкий и содержательный класс "т-непрерывных функций".

т-Непрерывные функции не являются непрерывными функциями в обычном смысле (относительно некоторой топологии) однако для них справедлив ряд теорем, являющихся обобщениями известных теорем классического анализа. Кроме того, с помощью неархимедовой метрики, для функций, действующих в указанных выше расширениях, можно ввести понятие дифференцируемости и аналитичности. В связи с этим оказывается, что ш-непрерывные бесксуючно-

дифференцируемые на некотором множестве функции тесно связаны с обобщенными функциями Коломбо1' а для т-непрерыфрных аналитических функций верна теорема Коши.

1 Colombo J.F. Elementary introduction to generalized functions.- Amsterdam:North. Hollanl,1985.

нализ m-непрерывных функций имеет и свои интересные собенности. Например, последовательность т-непрерывных ункций, сходящаяся на отрезке поточечно сходится на нем и авномерно. В отдельном параграфе доказьвается, что при стественных условиях на модуль над кольцом, являющимся асширением поля действительных чисел, любой линейный ператор - ограничен.

Все основные результаты диссертации новы.

Практическая значимость. Диссертация • носит

еоретический характер. Ее результаты могут быть спользованы в теории дифференциальных уравнений .с астными производными а также в некоторых разделах еоретической физики.

Аппробация работы. Основные результаты . работы окладывались на 3-й Всесоюзной школе "Понтрягинские тения'Чг. Кемерово, 1990г.); на 15-й Всесоюзной школе по еории операторов в функциональных пространствах г.Ульяновск, 1990г.); на конференции "Проблемы еоретической и прикладной математики" (г. Тарту, 1990); а семинаре под руководством профессоров Я.В. Радыно.,П. П. абрейко, А. Б. Антоневич.

Публикации. Основное содержание диссертации публиковано в работах 1-6.

Структура и овьем работы. Диссертация изложена на 112 траницах машинописного текста, состоит из введения, двух лав, одного самостоятельного параграфа и списка итературы, состоящего из 96 наименований.

II.КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор истории вопроса излагаются основные результаты.

В первой главе рассматриваются вопросы, связанные классическим анализом т-непрерывных функций.

В параграфе 1.1 рассматриваются ¡юслидогипелыюс I' комплексных Чисел Н С к. ") ,для которых можно указат константы С ^ о и е /!? такие, что

| 2 ( <0 I ^ С К.^ , К £ ¿V.

Множество всех таких последовательностей обозначаете &т .* На множестве последовательностей вводятс

покоординатно-определенные операции сложения и умножения превращающие его в кольцо.

Каждому элементу 2 из (Сщ ставится в соответстви число С 2 ) г которое мы называем порядком элемента 2 определяемое формулой

А. СЁ) = ¿г/ { ¿е Я ■ I гСюИ С ^, .

Множество всех элементов 2 • из (Ст , для которы порядок равен-со является идеалом. Мы обозначаем ег буквой У.

Определима 1.-1.1. Кольцом обобщенных комплекснь

чисел называется фактор-кольцо т иг:

Для каждого обобщенного числа определен его • порядок определяемый порядком любого его представителя. Тел у> Иг 1 , то посредством формулы II Ъ. * II — пр "

6

сольце задается неархимедово нормирование,

юрождающее метрическую структуру на этом кольце.

Для кольца С* с нормированием 1| • !1 справедлив ряд результатов, имеющих место в р-адическом анализе. 1апример, топология в кольце (£ , определяемая юрмированием, не зависит от выбора числа пр или :праведлива следующая

Теорема 1.1.1 Ряд сходится в топологии кольца

С в том и только в том случае,- когда

2 X, ~ О . "

Последняя теорема показывает также, что кольцо (Е сак метрическое пространство полно.

Если обобщенное "'ело порождается вещественной последовательностью, то оно называется обобщенным вещественным числом. Множество всех таких чисел

гп*

збозначается Ц< и на нем вводится отношение частичного

порядка.

* т

Определенно 1.1.2 Элемент К множества 1г< назовем

"больше или равным 0", если найдется представитель Х-числа такой, что выполнено неравенство ХОс) ^ О ,

(Се /Л/ ■ Скажем, что элемент X "больше либо равен" элементу (Х*^*"), если ^ О

Важнейшим понятием, вводимым в работе, является понятие ш-непрерывной сходимости. Оно позволяет придать содержательный смысл многим классическим утверждениям, переформулированным применительно к кольцам Щ* и (С

Определение 1.2.1 Последовательность элементов £.£« } кольца (Ст будем называть га-сходящейся к элементу £ в ,

7

если элемент Ъ 'е (Ст , определяемый равенство! 2'с<0 = £ С'к)-2 к принадлежит множеству .

Определенная таким образом сходимость не являете: сходимостью в обычном смысле. Так, например подпоследовательность сходящейся последовательности може' уже не сходиться. Заметим, ■ что относительно тако*1 сходимости поле плотно в кольце (Ст .

Определение 1.2.2 Функция называется т-непрерывной на множестве £2 , если и того,что 2ц , 2 £ £2 . 2» —г следуе

Сумма, произведение и композиция ш-непрерывных функци есть й-нёпрерывные функции.

Любая ш-непрерывная на множестве £2 функция корректн порождает свою факторизацию на множестве

I 2<е<Г : г*г\ Я. ф ф}.

Такие факторизации мы также называем т-непрерывным функциями. Не всякая непрерывная относительно топологи кольца

С*

функция является т-непрерывной. ,Однак справедливо обратное утверждение.

Теорема 1.2.1 Если функция

/*: Я*—> €*■

т-непрерывна на множестве £2 , то она непрерывна на не относительно топологии кольца .

Пусть Л*, в*е. и (X* 4 6* . Тогда отрезком

концами <35* назовем множество С Х*£- Ш*

С(* $ £*] . Результаты параграфа 1.3 резюмируе

■ 8

следующая

Теорема Для т-непрерывных функций, заданных на

отрезке справедливы классичекие утверждения о достижении верхней и нижней граней, о промежуточном значении и о равномерной непрерывности.

Доказательство этого факта опирается на следующую теорему о представлении т-непрерывн'ых функций.

Теорема 1.3.1 Пусть функция /г X*—* (С*

т-непрерывна на отрезке & и пусть ОС , 8

представители обобщенных чисел <Х* , в* а ХСк.) , Вск.)1. Тогда существует представление

/Сю,-)? Х(1с.) —функции .)?*", такое, что при

каждом фиксированном Ю кусочно - постоянная функция с конечным числом разрывов, и если X обобщенное число, определяемое последовательностью хСк.) Ск.~) , то

Параграф 1.4 посвящен интегрированию и дифференцированию т-непрерывных функций.

Определение 1.4.1 Интегралом от т-непрерывной функции по отрезку I* назовем обобщенное комплексное число . . порождаемое последовательностью

£ (к)= I /с »с, У ) о1 х , о ТСс) *

где -^.(к., представление функции / , описанное £

теореме 1.3.1.

Интеграл от т-непрерывной функции не зависит от выбора

представления этой функции.

Я

Определение Г.4.2, Будем говорить, что функция

А7* С* , С. ¡Р дифференцируема в точке

Х*£ ,если для любой точки X * + ^ е

существует представление функции Р в виде

где /?*'(**) £ £*■ и ¡1 =

Обобщенное комплексное число г СХ*) будем называть производной функции /<7*" в точке X* .

Топология кольца устроена так, что класс функций, дифференцируемых на множестне очень широк. В этот

класс входят даже кусочно постоянные функции. Однако на множестве т-непрерывных функций понятие дифференцируемое™ приобретает содержательный смысл. Справедлива теорема о представлении таких функций.

Теорема 1.4.1 Пусть —* <С*" т-непрерывная

X*

и имеющая на нем

производную до порядка включительно. Тогда, если

, строго вложенный в отрезок, тп существует

представление ^Ск ,-) , которое при каждом фиксированном (С есть раз непрерывно дифференцируемая функция и,

если X , X (к.) 6 ^(О последовательность, порождающая обобщенное число X*" , то

Доказательство того факта,что определенный выше оператор дифференцирования является замкнутым, а также замкнутость класса т-непрерывных функций относительно предельного

перехода содержит следующая

^ \

Теорема 1.4.2 Пусть ^кСс,-) , £Г„6с, еС (1(к))

последовательность представлений, порождающих

ш-непрерывные функции , заданные на отрезке и

имеющие производные '-до порядка ^ включительно,

которые в свою очередь порождахл :я представлениями ( Е- может быть равным оо ). и пусть на

-г*-

отрезке ±_ имеется поточечная сходимость

&»> = о ■ .

Тогда сумма ряда — 2-1 является дифференцируемой порядка ^ функцией, для которой имеется представление , ^(С/) еС СГс«|) и функции ф^^Сп,') являются представлениями для производных ,<-^.6- . Кроме

того ряд сходится равномерно на отрезке Л к

функции , ^ •

В параграфе 1.5 предлагается конструкция обощенных функций, близкая к конструкции Коломбо, и показывается, что обобщенные функции, получаемые при этом, есть т-непрерывные бесконечно-дифференцируемые функции, определенные на некотором подмножестве

Во второй главе мы рассматриваем т-непрерывные функции с точки зрения комплексного анализа.

В параграфе 2.1 вводится понятие' т-аналитическо£ функции и интеграла по т-непрерывному пути.

Определение 2.1.1 Пусть £2 * С* открытое В

гопепогии кольца (Ц* множество. Функцию

: ->- (С*- назовем т-аналитической на множестве

II

, если'она ш-непрерыана на нем и в любой точке г* 6. 52*" существует представление функции / для всех 2 +к> в виде

где II =0(1|П1) С* .

Оказывается, что. ш-аналитические функции являются естественным обобщением обыкновенных аналитических функций и для них справедливы многие утверждения классического комплексного анализа.

В параграфе 2.1 дается т"чкже определение т-гладкого и т-кусочно-гладкого пути и определяется понятие интеграла по ним.

В параграфе 2.1, который является основным во второй главе, доказывается аналог классической теоремы Коши для т-непрерывных аналитических функций.

Теорема 2.2.1 (Коши) Если функция является т-аналитической в области

.0* и А

треугольник, лежащий в , то имеет место равенство

I = о,

дл*

где Э Д* -ориентированная граница треугольника А

Чтобы доказать теорему Коши в общей форме, мы действуем по аналогии с классическим комплексным анализом. Вначале доказывается теорема о замкнутости дифференциальной формы 2* , где - т-аналити-

ческая функция. Затем нами вводится понятие первообразной

функции вдоль ш-непре1. .явного пути и понятие гомотопической

эквивалентности т-непрерывных путей и доказываются

следующие теоремы.

Теорема 2.2.3 Пусть - го-аналитическая функция

в области и у* - т-н»"-прерывный путь, собственно

лежащий в ней. Тогда для пути '¡у* сущег-вует первообразная

^ вдоль этого пути. Если "У"*" другая такая

первообразная, то — — Сощ4 .

Теорема 2.2.4 Пусть у,* , у1* - два ш-не. рерывных

пути гомотопные друг другу в области *" а функция

ш-аналитична в этой области. Тогда справедливо

равенство / / с1 н* = ] £ а( 2

П*

Из теоремы Коши можно получить ряд следствий, имеющих место в классическом комплексном анализе. Мы останавливаеммся только на одном из них - интегральной формуле Коши.

Теорема 2.3.1.С Интегральная формула Коши) Пусть

Функция

ш-аналитична в области и О*"

конечная область, с ориентированной границей, которой

является т-непрорывный путь у , стягиваемый в области

в точку. Тогда в любой точке 2» в С> представима в виде

Функция у?*

£ } - Ш I*- г* 1 '

¿о

Из георемы 2.3.1 мы легко получаем результат о представлении п-аналитических функций.

Теорема 2.3.2 Пусть функция £ и множество

О* удовлетворяют условиям предыдущей теоремы Тогда функция ^ может быть представлена ь области функцией л _

{(К.,-) •• О (¡е.) —► 0- ,

где С) С к.) последовательность областей в (С порождающих множество О* и £ ( к, ' ) функция,

при каждом С аналитическая в области О) ()

В отдельном параграфе мы рассматриваем нормированные модули над кольцом обобщенных комплексных чисел.

Пусть X -модуль над к льцом (С и на нем задана норма П'Пт, которая удовлетворяет следующим условиям

(I) II У'II и = О х*-= о ,

(Ш II X * + Ц* II * 4 т,ах [ 1| У* 11«, , II у*1\», }

(III) 1| Н* П" 4 II ■ || х1| м

для любых У* , у*е X* И г1*е

Если модуль У полон относительно нормы Ц-1|»»1 , то

такой модуль называется банаховым. .

Основным утверждением параграфа з является следующая

Теорема 3.1 Всякий линейный оператор, действующий из

банахового модуля над кольцом й-* в другой модуль над

кольцом (С■ *" является ограниченным.

В заключении автор выражает глубокую благодарность

.научному руководителю Я. В. Радыно за постоянное внимание и

детальное обсуждение результатов данной работы.

14

СПИСОК РАБОТ ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

. 1. Ю. В. Титков. Теорема Коши для т-анаяитических функций // Поитрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ..- Тез. докл.| 3-й Всесоюзной школы. - Кемерово, 24 сентября -з октября,1990г. С. 76.

2. ГО.В. Титков. Обобщенные функции как функции на кольцах // Тез. докл. 15-й Всесоюзной школы по теории операторов в Функциональных пространствах.- Ульяновск, 5-12 сентября

1' .

3. !и. Ь. 1и'1ков. Функциональное исчисление от т-непрерывных операторов. // Проблемы теоретической и. прикладной математики:Тез. докл.- Тарту,22-23 сентября. 1990. С. 180-188.

4. Я. В. Радыно, Ю. В. Титков. Дифференциальные уравнения в модуле над кольцом обобщенных комплексных чисел // Актуальные проблеммы фундаментальных наук: Тез. докл. межд. научно-техн. конфер. Т. 1. - М. , 28 сентября-3 ноября 1991. С. 55-58.

5. Титков Ю.В. Неархимедов анализ в кольце обобщенных комп-.ексных чисел // Минск, 1991.-44 с.-Деп. в ВИНИТИ 14.02.91, N 760-В91.

С. Титков Ю.В. Дифференциальные уравнения с обобщенными символами // Нелинейные задачи математической физики <;, задачи со свободной границей:Тез. докл. 8-й Республиканской конференции^- Донецк,1991,С.113.