Изоморфизмы тензорных произведений модулей и Т-модули тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 1. Основные обозначения и вспомогательные факты.

§ 2. Определения, общая постановка задачи. Кольцевые гомоморфизмы е : S R и тензорные произведения над различными кольцами.

ГЛАВА 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА Т-МОДУЛЕЙ

§ 3. Модуль Rq и критерий Т(7?)-модульности.

§ 4. Свойства группы Homz(A, В) в случае, когда Ar является Т(Я)-модулем. Характеризация Т-модулей с помощью групп гомоморфизмов.

§ 5. Свойства замкнутости классов Т-модулей.

§ 6. Взаимосвязь между Т-модульностью Ar и свойствами кольца R и модуля R$-

§ 7. Г-модульность Ar в случае, когда Rs ~ Т-модуль.

Факторкольцо R/I как T(R)~модуль.

ГЛАВА 3. ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ Т-ГРУПП

§ 8. Ранг кольца R и классы Т(Д)-модулей.

§ 9. Строение Т-модуля над кольцами R, Е(А) и Z(E(A)) на периодических группах.

§ 10. Строение Т(Я)-групп без кручения.

В разное время интерес многих алгебраистов привлекал вопрос об изучении взаимосвязей между свойствами абелевых групп и модулей. В этом направлении имеется большое количество работ. В рамках этой проблематики находится изучение Е-копец и ^-модулей. Первые публикации о ^-кольцах и Е-модулях относятся к 1970-м годам. Е'-модуль А над кольцом R определяется равенством групп гомоморфизмов Homz{R, А) = Homn(R, А). В частности, если рассматривать кольцо R как правый регулярный модуль, приходим к изоморфизму R = E(R+), который задает класс Е-колец. Впервые понятие Е-кольца появилось в 1973 г. в работе [Scl]. Затем оно было перенесено на класс модулей; такие модули назывались в [Bowl] ^-группами. ^-модулям посвящены работы [Mai], [Piel] и другие.

В настоящее время Е-модули и .Е-кольца находят широкое применение в теории абелевых групп. Например, в [Gol] изучаются саморефлексивные группы G, которые определяются условием G = Hom(Hom(G,G),G). Группа является саморефлексивной тогда и только тогда, когда она является ^-модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Е-модули существенно используются при изучении абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов. Так, для абелевой группы G без кручения конечного ранга верно, что G - циклический проективный модуль над своим кольцом эндоморфизмов E{G) тогда и только тогда, когда G — R ® А, где R есть Е-кольцо и А - Е-модуль над R [Nel],[Arl]. В [К4] дан обзор результатов об абелевых группах как модулях над своими кольцами эндоморфизмов, показывающий пользу ^-модулей и Е-копец в этих вопросах.

С другой стороны, активно изучаются тензорные произведения абелевых групп и модулей. Тензорное произведение является второй (после группы гомоморфизмов) важнейшей конструкцией. Описание строения тензорных произведений абелевых групп и модулей является актуальной проблемой. Представляет интерес изучение взаимосвязей между тензорными произведениями модулей над разными кольцами. В общем случае для модулей Ад и цС тензорные произведения A 0z С и А С - различные объекты. Однако при некоторых условиях между ними может существовать канонический изоморфизм.

В диссертации вводится новое понятие - Т-модуль, или Т(е)-модуль, который определяется условием A R — А R в предположении, что задан гомоморфизм колец е : S —> R. В частности, рассматривается условие A ®z R — A R. Заметим, что для каждого кольца R есть единственный кольцевой гомоморфизм Z R.

Рассматривается следующая задача: получить описание классов модулей, для которых существует канонический изоморфизм A (g>s R = A tg>R R. В некотором смысле это направление можно считать двойственным к изучению Е'-модулей. Здесь вместо функтора Нот рассматривается функтор тензорного умножения. Оказывается, что естественно, классы Е- и Т-модулей тесно взаимосвязаны.

Для колец изоморфизмы Я <S>z R — R или R R — R изучались в работах [Bowl], [Si 1] и других. Кольцо R со свойством R®z R — R называется Т-кольцом [Bowl]. Вопрос о взаимосвязи между модулем Ar и тензорным произведением A R исследовал Сильвер [Si 1] в предположении, что е : S —R - эпиморфизм в категории колец. В диссертации исследуются соответствующие конструкции без этого ограничения. В [Sil] доказано, что существование канонического изоморфизма R(g>s R = R эквивалентно тому, что е : S —> R- эпиморфизм в категории колец. (При S = Z это в точности класс Т-колец в смысле [Bowl].)

Настоящая работа посвящена изучению Т-модулей. В отличие от подхода в [Piel], где фиксируется кольцо R и рассматриваются классы абелевых групп, являющихся £(.й)-модулями, здесь удобно применять также и другой метод исследования. Он состоит в том, что фиксированная абелева группа А рассматривается как модуль над различными кольцами, например, над Z, R, над кольцом -Е'(А) всех эндоморфизмов группы Л и его центром Z{E{A)). Известно, что каждая абелева группа Л естественным образом является модулем над кольцом Е(А). Все модульные структуры на группе А над кольцом R могут быть ассоциированы с гомоморфизмами колец р : R —> Е(А). При этом группа А может быть превращена в притягивающий R-модуль [Ф1].

Исследование развивается по двум направлениям.

1. Изучение общих свойств Т-модулей, нахождение связей этих объектов с группами гомоморфизмов, кольцами эндоморфизмов и другими конструкциями.

2. Описание классов абелевых групп, на которых есть структура Т-модуля над каким-либо кольцом и описание колец, над которыми существуют Т-модули.

Цель работы : исследовать условия существования канонического изоморфизма a ®s r — a ®r r', получить характеризации модулей, для которых справедлив данный изоморфизм; описать различные классы таких модулей.

Научная новизна и практическая ценность. Основные полученные результаты являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

1. Получен критерий, характеризующий Т-модули с помощью групп аддитивных и модульных гомоморфизмов (теорема 4.6) и некоторые его следствия, обобщающие ряд фактов из [Bowl],[Piel] о Е- и Т-свойствах модулей над Т-кольцами.

2. Исследована взаимосвязь между условием Т-модульности A<g>s Я = А <8)д Я и свойствами кольца Я (теорема 6.1, следствие 6.2).

3. Получено полное описание колец, над которыми существуют Т-модули относительно гомоморфизма е : Z Я (теоремы 8.3 и 10.2).

4. Описаны абелевы группы, на которых может быть задана структура Т-модуля над кольцами Я, Е(А), Z(E(A)) в классах периодических групп (теорема 9.1, следствие 9.2), групп без кручения (теоремы 8.3, 10.3, 10.5, следствие 10.7), в частности, сепарабельных групп без кручения (следствие 10.7, теорема 10.9).

Работа имеет теоретическое значение. Проведенное исследование Т-модулей вносит определенный вклад в нахождение взаимосвязей между аддитивными и модульными свойствами. Полученные результаты о Т-модулях могут быть использованы при изучении Е-модулей. Так, из результатов § 4 и § 7 видно, что можно изучать группы Homz(A, В) как ^-модули над кольцом Я или над Е{А). Результаты диссертации могут применяться при исследовании строения тензорных произведений абелевых групп.

Все встречающиеся в работе кольца - ассоциативные с единицей, модули - унитарные. Под словом "группа" понимается "абелева группа". Конец доказательства отмечается символом □.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы и содержит 90 страниц.

1. Приходовский М.А. Некоторые свойства Т-модулей // Тезисы докладов II областной конференции "Молодежь и наука: проблемы и перспективы." Томск, 1998. С. 11-12.

2. Приходовский М.А. Т-модули и их кольца эндоморфизмов// Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск,1998. С.196-200.

3. Приходовский М.А. Модули, изоморфные своему тензорному произведению на кольцо // Материалы XXXVII международной конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1999. С. 125-126.

4. Приходовский М.А. Необходимые и достаточные условия для Т(Д)-модуля // Доклады III межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 1999. С.74-75.

5. Приходовский М.А. Обобщённые Е-модули и Е-кольца // Уни-верс. алгебра и её приложения. Тезисы докладов межд. семинара памяти Л.А.Скорнякова. Волгоград, 1999. С.55-56.

6. Приходовский М.А. Некоторые свойства обобщенных Т-модулей и Т-колец // Исследования по математическому анализу и алгебре.Выпуск 2. Томск, 2000. С.105-110.

7. Приходовский М.А. Об одном критерии Т-модульности // Тезисы докладов IV международной алгебраической конференции памяти Ю.И.Мерзлякова. Новосибирск, 2000. С. 150-151.

8. Приходовский М.А. О некоторых естественных изоморфизмах, связанных с функторами ф и Нот // Тезисы докладов Четвертого Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Новосибирск, 2000. С. ИЗ.

9. Крылов П.А., Приходовский М.А. Обобщенные Т-модули и Е-модули// Труды межд. семинара памяти Л.А.Скорнякова "Универсальная алгебра и ее приложения". Волгоград, 2000. С.153-169.

10. Приходовский М.А. О некоторых свойствах е-расширений модулей// Труды Второй сибирской школы молодого ученого. Томск, 2000. С.35-39.

11. Приходовский М.А. О некоторых классах обобщенных T(R)-модулей // Абелевы группы и модули. Томск, 2000. Вып.15. С.75-87.

12. Приходовский М.А. О каноническом изоморфизме модуля и его ковариантного расширения // Тезисы докладов международного алгебраического семинара, посвященного 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре. Москва, 2000. С.45-46.

13. Приходовский М.А. Строение классов Т-модулей // Тезисы докладов межд. семинара по теории групп. Екатеринбург, 2001. С.189-192.

14. Приходовский М.А. Подкольца и факторкольца как обобщенные Т-модули // Исследования по матем. анализу и алгебре. Выпуск 3. Томск, 2002. С.235-239.