Демазюровские модули и многообразия Шуберта для аффинной алгебры Каца-Муди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.554.32

Фейгин Евгений Борисович

Демазюровские модули и многообразия Шуберта для аффинной алгебры Каца-Муди

в12

Специальность 01.01.06. -математическая логика, алгебра и теория чисел.

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент И.А. Чубаров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук А.М. Семихатов

доктор физико-математических наук С.М. Хорошкин

Ведущая организация: Институт теоретической физики

им. Л.Д. Ландау РАН

Защита диссертации состоится ^ШгШШЛ 2005 г. в

16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ^Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 1-К ОгЛ^Ъ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ профессор

В. Н. Чубариков

1600$

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Работа посвящена изучению модулей Демазю^а в интегрируемых представлениях аффинной алгебры Каца-Муди s^. Теория представлений аффинных алгебр Ли важна и интересна как сама по себе, так и вследствие её тесной связи с математической физикой и геометрией Одним из способов изучения бесконечномерных представлений является построение их конечномерных аппроксимаций. Наиболее известный пример -1 модули Демазюра 2. Их изучение - очень естественное и с чисто математической точки зрения - мотивировано также и конструкциями математической физики, такими как решёточные модели 3 и вертекс операторные алгебры 4. Отметим также связь с комбинаторикой (теорией мультиномиальных коэффициентов 5).

Основной способ исследования Демазюровских модулей для общих аффинных алгебр - теория кристальных базисов Калшвары 6 Эта теория позволяет находить размерности и характеры 7 Одним из замечатель-' ных следствий этой теории является так называемое свойство факторизации: утверждение о том, что комбинаторные объекты (кристаллы),

'В. Как, Бесконечномерные алгебры Лн, Москва, Map, 1993. I *М. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées, Ann. Sri. Éc. Norm.

Sup. 7 (1974), 53-88.

*M. Jimbo, T. Miwa, Algebraic analysis of solvable lattice models, AMS, Regional conference series in mathematics, no. 85,1995.

4A.M. Semikhatov, I.Yu. Tipunin, and B.L. Feigin, Semi-infinite realization of unitary representations of the N = 2 algebra and related constructions, Theoretical and Mathematical Physics, 128 (2001), no. 1, 1-47; B. Feigin, E. Ffeigin, Principal subepace for the boeonic vertex operator ¿y/imi2) Jack polynomials, preprint (2004).

•A. Schilling and S.O. Warnaar, Supernormal coefficients, polynomial identities and ^-series, Ramanujan J. 2, (1998), no. 4, 459-494; A. Schilling and S.O. Warnaar, Inhomogeneous lattice paths, generalized Kostka polynomials and A„-j supernomials, Comm. Math. Phys. 202 (1999), no. 2,359-401.

eM. Kashiwara, On crystal bases of f-analog of universal enveloping algebras, Duke Math. J. 63 (1991), 465-516; M. Kashiwara, The crystal base and Littelmanns refined Demazure character formula, Duke Math. J. 71 (1993), 839-858.

7A. Kuniba, K.C. Misra, M. Okado, T. Talcagi, J. Uchiyama, Characters of Demazure modules and solvable lattice models, Nucl. Phys. В 510 [PM] (1998), (555-576); A. Kuniba, K.C. Misra, M. Okado, T. Takagi, J. Uchiyama, Crystals for Demazure modules of classical affine Lie algebras, J. Algebra 208 (1998), no. 1 (185-215).

нумерующие базисы в модулях Демазюра, являются тензорными произведениями более простых кристаллов. В работах 8 было показано, что в некоторых случаях свойство факторизации имеет место на уровне теории представлений конечномерной алгебры. В нашей работе изучается способ построения модулей Демазюра как деформации тензорного произведения конечномерных представлений полупростой алгебры 9.

Важную роль в теории представлений алгебр и групп Каца-Муди играет изучение многообразий, являющихся замыканиями орбит старших векторов в проективизации представлений старшего веса 10. Таг кими многообразиями являются аффинные многообразия флагов, грас-сманианы и их обобщения. Для изучения этих бесконечномерных многообразий строится их конечномерная аппроксимация многообразиями Шуберта 11. При этом оказывается важна как топологическая 12, так и алгебро-геометрическая информация 13. В частности, изучаются линейные расслоения на многообразиях Шуберта, их сечения и старшие кого-мологии 14. В частности для специальных расслоений доказывается, что двойственное пространство сечений изоморфно соответствующему модулю Демазюра, а старшие гомологии обнуляются 15. Эти результаты, в свою очередь, используются для исследования геометрии многообразий

•Y. Sanderson, Real characters for Demazure modules of rank two affine Lie algebras, J. Algebra 184 (1996); G. Fourier, P. Littelmann, Tensor product structure of affine Demazure modules and limit constructions, preprint (2004); P. Magyar, Littelmann paths for the basic representation of an affine Lie algebra, preprint (2003).

'B.Feigin, S.Loktev, On generalized Kostka polynomials and the quantum Verlinde rule, Infinite-dimensional Lie algebras and applications, Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, vol. X94, AMS, 1999, pp. 61-79.

10S. Kumar, Kac-Moody groupe, their flag varieties and Representation theory, Birkhauser, Progress in Mathematics 204 (2002); A. Pressley and G. Segal, Loop groupe, Oxford Mathematical Monographs, The Claredon Press, Oxford University Press, New York, 1986.

11 J. Tits, Résumé de cours, Annuaire de France 82,1981-82, pp. 91-106; P. Slodowy, On geometry of Schubert varieties attached to Kac-Moody Lie algebras, in: Proceedings of the 1984 Vancouver Conference in Algebraic Geometry, Canadian Math. Soc. Conf. Proc. 6, pp. 405-442.

1JR. Bott, H. Samelson, Applications of the theory of Morse to symmetric spaces, Amer. J. Math. 80 (1958), 964-1029.

1SM. Demazure, Désingulariaatùm des variétés de Schubert généralisées, Ann. Set. Éc. Norm. Sup. 7 (1974), 53-88; H. С. Hansen, On cycles in flag manifolds, Math. Scand. 33 (1973), 269-274.

14S. Kumar, Demazure character formula in arbitrary Kac-Moody settings, Invent. Math. 89 (1987), 395-423.

"O. Mathieu, Formules de eharactères pour les algébres de Kac-Moody g'enérales, Astérisque 159-160 (1988), 1-267.

Шуберта (например, для построения разрешений особенностей), так и для изучения алгебраических свойств представлений со старшим весом алгебр Каца-Муди. В нашей диссертации изучаются обобщённые многообразия Шуберта для а^.

Цель работы.

Целью работы является создание и исследованию новых подходов к изучению Демазюровских модулей в интегрируемых представлениях аффинных алгебр Каца-Муди, а также соответствующих многообразий Шуберта.

Основные методы нсследоваяжя.

В работе используются методы стандартные методы и новейшие результаты коммутативной алгебры, теории представлений алгебр Каца-Муди, алгебраической геометрии. Одним из основных применяемых результатов является фермионная реализация интегрируемых представлений аффинных алгебр 16.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Построен идеал соотношений для Демазюровских модулей. Изучены двойственные пространства и Демазюровская индукция.

2. Построена фермионная реализация модулей Демазюра. Построен базис и найден характер.

3. Определены и изучены общие многообразия Шуберта. Вычислены гомологии и описаны важные подмногообразия. Построено разрешение особенностей и доказана теорема о реализации модулей Демазюра как двойственных пространств к сечениям линейных расслоений.

1вВ. Кац, Бесконечномерные алгебры Ли, Москва, Мир, 1993.

4. Определены "бесконечные" произведения неприводимых представлений как инъективные пределы Демазюровских модулей. Изучены их основные свойства: построен базис, вычислен характер, построено разложение на неприводимые компоненты в терминах алгебры Верлинде.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в различных задачах теории представлений аффинных алгебр Каца-Муди, при исследований конечномерных аппроксимаций геометрических объектов, связанных с группами Каца-Муди, и т.п.

Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на семинаре "Избранные вопросы алгебры" в МГУ (2002-2005 гг.); научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ (2005); семинаре по теории представлений в Независимом университете (2002-2005); на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" в МГУ (2005); на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004); на международной конференции "Бесконечномерные алгебры Ли" (Япония, Киото, 2004).

Публикация.

Основные результаты опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 64 страниц, библиография включает 41 наименование.

Краткое содержание работы

Во введении мы даём основные определения и формулированы основные результаты работы.

Первая глава посвящена определению и изучению основных свойств градуированных тензорных произведений - обобщению Демазюровских модулей (для slî). Сначала мы определяем семейство идеалов, зависящих от точки Т € С", ft ф tj, в кольце многочленов от п переменных и находим предел этого семейства при Г 0 (теорема 1.1.). Далее (теорема 1.2.) мы отождествляем фактор по предельному идеалу с градуирован-| ным тензорным произведением

( 7Г0, * 7Г0, * • • -Л^,,

^ где через щ обозначено неприводимое представление sfo размерности

к +1. В теореме 1.3. вычисляется характер модулей Демазюра как многочлен от z и q. Мы заканчиваем первую главу описанием фермионной реализации градуированных тензорных произведений (теорема 1.4.).

Во второй главе определяются и изучаются общие sl2 многообразия 1 Шуберта - sh^. Сначала мы приводим критерий существования рассло-

^ ения sh,t —» Р1 (теорема 2.1.). Затем мы доказываем, что все многообра-

зия Шуберта являются алгебраическими и строим соответствующие ко-Ь ординатные кольца (теорема 2.2.). Конструкция использует двойствен-

ные пространства к градуированным тензорным произведениям. Дальше мы выясняем, когда два многообразия Шуберта изоморфны. Критерий приведён в теореме 2.2. Сформулируем его здесь. Пусть

¿ = (аг<а2<."<ав), В = (h < h < ... < bn).

Тогда вЬд ~ shfl тогда и только тогда, когда равенства а,- = а1+1 и bi = b{+i равносильны. Таким образом, многообразия Шуберта нумеруются наборами i'i,..., »'„ где каждое из чисел отвечает количеству идущих подряд равных чисел. Оставшаяся часть второй главы посвящена изучению линейных расслоений на многообразиях Шуберта. Сначала мы изучаем гладкий случай sh(i.....В теореме 2.3. доказано, что старшие когомологии специального класса линейных расслоений зануляются, а пространство сечений изоморфно подходящему модулю Демазюра. В

дальнейшем (следствие 2.9.) эта теорема будет обобщена на случай общих многообразий Шуберта. Для этого мы доказываем теорему 2.4.: для любого набора t'i,..., i, имеется расслоение

sh{ii,.,«.} sh{¿,+,„-.¿Л

со слоем sh{lb ilj. Таким образом, многообразия Шуберта могут быть построены как последовательно расслоенные друг над другом многообразия sh{iik}, причём слои всех расслоений также изоморфны sh{Jkj для некоторых jk-

В главе 3 мы строим и изучаем бесконечномерные интегрируемые представления sfe. Эти представления получаются как инъективные пределы модулей Демазюра. А именно, пусть

1 < ai < a¡ < ■ ■ • < а„ < b.

Тогда имеется цепочка вложений

7Гв1 * • • ■ * Я^ 7Га, * • • • * Я^, * 1ГЬ * Щ «-» 7T0l * • • • * ТГ^ * Щ * Щ * Щ * Щ «-)• • ■ •

Мы доказываем, что на инъективном пределе этих вложений можно ввести действие всей алгебры si?. При этом получится представление уровня Ь. Теорема 3.2. посвящена разложение наших инъективных пределов на неприводимые компоненты. Ответ даётся в терминах алгебры Верлинде для efe. Заканчивается третья глава вычислением характеров построенных «[¡г-модулей.

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту И.А. Чубарову.

Работы автора по теме диссертации

1. В. Feigin, Е. Feigin, Q-characters of the tensor producta in efe сазе, Mose. Math. J. 2002, vol. 2, no. 3, 567-588.

В данной статье Б. Фейгину принадлежит постановка задачи и конструкция градуированных тензорных произведений. Е. Фейгину принадлежит теорема о явном виде идеала соотношений для Дема-зюровских модулей и вычисление характеров градуированных тензорных произведений.

2. В. Фейгин, Е. Фейгин, Интегрируемые я^-модули как бесконечные тензорные произведения, в сборнике трудов конференции: Фундаментальная математика сегодня. К десятилетию Независимого Московского Университета (под ред. С. Ландо и О. Шейнман), НМУ, МЦНМО 2003, 304-334.

В данной статье Б. Фейгину принадлежит теорема о вычислении коэффициентов разложения интегрируемых я^-модулей в терминах алгебры Верлинде. Е. Фейгину принадлежит конструкция вложений градуированных тензорных произведений друг в друга и формула для характеров интегрируемых ^-модулей.

3. Е. Feigin, Schubert varieties and the fusion products: the general case, International Mathematics Research Notices 2004, no. 59, 3153-3175.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова. Подписано в печать

Формат 60 х 90 1 /16 . Уел печ л. 0,5"

Тираж 100 экз. Заказ 2/

s i

) )

р 1 8 7 21

РНБ Русский фонд

2006-4 16009

Введение

I. Градуированные тензорные произведения

1. Факторы по идеалам.

2. Представления абелевых алгебр Ли.

3. Формула для характера.

4. Фермионная реализация.

5. Короткие точные последовательности.

II. Многообразия Шуберта

1. Геометрия многообразий Шуберта.

2. shyi как алгебраическое многообразие.

3. Изоморфизмы sh^ ~ shg.

4. Линейные расслоения на sh(n).

5. Геометрия общих многообразий Шуберта.

6. Линейные расслоения на sh^,-,^^}.

III. Бесконечномерные конструкции

1. з^-модули.

2. Разложение LD. Алгебра Верлинде.

3. Комбинаторные вычисления.

Пусть д — полупростая комплексная алгебра Ли, д — соответствующая аффинная алгебра Каца-Муди с картановским разложением д = п+ ф I) © п, д <8> С[£] - алгебра токов (см. [К]). Пусть К(А) неприводимое представление д со старпшм весом А и старшим вектором ид, а - группа Вейля д. Таким образом,

У(А) = и( П).17А, где и(п) - универсальная обёртывающая алгебра. Напомним, что для любого веса а и ■ш Е IV размерности шпЬаЛ и гтшК;шаЛ соответствующих весовых пространств в К(Л) совпадают. Значит для всех ш 6 И^ получаем тиИ^дЛ = 1 (т.к. тикдЛ = 1). Зафиксируем какой-нибудь ненулевой вектор г>шд веса юЛ в К(Л). Определим модули Демазюра в К(Л) следующим образом (см. [Б, Кит]):

• Эти модули можно рассматривать как конечномерную аппроксимацию бесконечномерных пространств К(Л). Таким образом, изучение пространств Уш(Л) важно как само по себе, так и для прояснения структры представлений аффинных алгебр. Отметим также, что модули Демазюра возникают в таких областях математической физики как теория решёточных моделей (см. [ЛМ]) и теории представлений вертекс операторных алгебр (см. [Кас, Бо, РТБ, РП]).

Основным средством изучения размерностей и характеров модулей Демазюра является теория Демазюровских кристаллов - комбинаторных объектов, нумерующих базисы в модулях Демазюра (см. [Ка2, КаЗ, КМОТШ, КМОТШ]). Одним из важнейших и интереснейших следствий этой теории является утверждение о том, что кристаллы для некоторых Демазюровских модулей являются тензорными произведениями других кристаллов (см. [БЛКТО, ЛММО]). В работах [Эа, М, ЕоЬ] также показано, что некоторые Демазюровские модули изоморфны тензорным произведениям неприводимых д-модулей как представления д. Всё это делает естественной гипотезу о том, что модули Демазюра могут быть построены как деформации тензорных произведений неприводимых представлений полупростой алгебры (см. [РЬ]). Приведём здесь эту конструкцию.

Пусть VI,., - неприводимые представления алгебры Ли д, и,- - старший вектор К-, а ,., - набор попарно различных комплексных чисел. Обозначим через (г,-) представление алгебры д ® <С[£] в К', определяемое отображением д ® <С[г] д, хк х £ д,хк = х 1к.

Введём фильтрацию на тензорном произведении У(г{):

К = зрап{х£ - - - х^р ■ (®Г=1г/,), «! + -•• + «р < 5, € д}.

Определим градуированное тензорное произведение (гтп) У\ * •• • * Уп как присоединённый градуированный модуль относительно введённой фильтрации. Предположительно, градуированные тензорные произведения не зависят от параметров 2,- и являются Де-мазюровскими модулями в некоторых интегрируемых д-модулях. Частные случаи этой гипотезы доказаны в [Кес1, СЬ, РКЬ].

В нашей работе рассматривается случай д = Одним из основных результатов является доказательство вышеприведённой гипотезы. Сформулируем точное утверждение для гтп, соответствующих Демазюровским модулям в неприводимых представлениях зГ2.

Пусть - неприводимый 5[2-модуль со старшим вектором и/,*;, удовлетворяющим соотношениям hoVl<k - КУ^ = ¿у/,к = 0.

Здесь к - картановский элемент в С К - центр 512, а (I удовлетворяет соотношению [(I, х,-] = — гх;, х <Е Рассмотрим элемент гир из группы Вейля 5(2 длины 2р. Тогда 7г/ *

2р—1 где тг^' - неприводимое {] + 1)-мерное представление з12- Мы также доказываем аналогичные утверждения для подмодулей тензорных произведений неприводимых 5 ^-модулей, порождённых произведением старших векторов.

Пусть теперь 14 * • • • * Уп некоторое гтп. Определим многообразие Шуберта зЬц,.,^ как замыкание орбиты старшего вектора в проективизации гтп: зЬу,.к. = <?№])-М Р(14 * • • • * Уп), (1) где С - группа Ли алгебры д, а [у] - прямая, соответствующая произведению старших векторов Уг. Заметим, что в случае специального выбора модулей К" определение (1) совпадает с определнием стандартных многообразий Шуберта в аффинном многообразии флагов, см. [СФ, Кит, Ка1, 81]. В нашей работе изучаются эти многообразия в случае д = 5[г- Мы описываем алгебро-геометрические свойства многообразий Шуберта. Перечислим наши основные результаты.

1). Пусть А = (1 < ау < - • - < ап), В = (1 < Ьг < • • - < 6„). Тогда вЬ*-^ ,.,тга„ — 8Ьтгб1 ,.,7Г6„ если и только если а,- = а,-+1 -ФФ- 6,- = Таким образом, многообразие Шуберта зЬ7Га1 определяется типом набора А: набором ¿х,., г5, таким что

1 = • • • = «¿1 < «¿1+1 — * * * = а«Ч+«а < * * * < ап-|,+1 = • • • = ап. Будем обозначать соответствующее многообразие через вЬ^,.,,-,}.

2). Имеется расслоение вЬ^.^,} 8Ь{,1+ь„.11в} со слоем вЬ,^ для всех 1 < £ < з — 1. Учитывая, что эЬ(п) - гладкое многообразие, получаем разрешение особенностей для остальных многообразий Шуберта (см. [ВБ, На] в конечномерном случае, а также [Т]).

3). Любое гтп может быть реализовало как двойственное пространство сечений линейного расслоения на некотором многообразии Шуберта (см. также [Б]). Точнее, пусть тип А равен {г'х,., г4}, а тип В равен {^х,.,Тогда, если найдутся такие 51,., 5гх > О, что jl=iН-----Н , - - -, = ¿4,+-+5^! Н-----V г3, то ъ* —(П'ЬйЧн^.ъО))* для некоторого линейного расслоения О на бЬд. (см. также [Ма, Кит1]).

Как мы уже отмечали выше, гтп специального вида совпадают с Демазюровскими модулями в неприводимых представлениях В то же время гтп можно использовать для построения более общих (приводимых) интегрируемых з^-модулей. Пусть 1 < а\ < • • - < ап < к и М = 7га1 * * 7Га„. Тогда имеются вложения

М <-> М * ТГк * 7Гк М * Пк * ТГк * Як * •

Мы показываем, что иыъективный предел таких вложений является интегрируемым $12-модулем уровня к. Мы изучаем эти представления: находим базис, характер, а также разложение на неприводимые компоненты (соответствующие д-кратности изучаются в [РР2]). Приведём здесь правило разложения на неприводимые представления.

Напомним, что алгебра Верлинде У* для определяется как фактор коммутативной алгебры с образующими тго, 7Гх, я"2,. по иделу, порождённому соотношениями

Таким образом, образующие перемножаются как неприводимые конечномерные представления зЬ)- Рассмотрим равенство в У*:

Наша работа состоит из трёх глав.

В первой главе мы изучаем свойства градуированных тензорных произведений: явно описываем идеал соотношений, доказываем независимость от параметров, изучаем короткие точные последовательности и устанавливаем связь с модулями Демазюра.

Во второй главе мы определяем многообразия Шуберта, соответствующие градуированным тензорным произведениям и изучаем их алгебраические и геометрические свойства: клеточные разбиения, топологические расслоения между различными многообразиями Шуберта, когомологии линейных расслоений.

В третьей главе мы строим и изучаем бесконечномерные з^-модули, являющиеся шгь-ективными пределами градуированных тензорных произведений: находим базис, характер и разложение на неприводимые компоненты. Благодарности. Я благодарен своему научному руководителю к.ф.м.н., доценту Чубарову Игорю Андреевичу за постоянное внимание к работе.

7г,-7т^- = + 7г,+,2 н-----к тг,-^, I > j; 7Гк+1 = 0. Со,£>7ГО Н-----Ь

Ю = (¿1,, <4). Тогда имеется изоморфизм

О),О ¿О,*: ф • • • ф Ск,юЬк,кt I

• N.