Алгебры Кричевера-Новикова, их представления и приложения в геометрии и математической физике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Математический институт им. В. А. Стеклова

На правах рукописи УДК 512.554.232 +515.17+514.83

Шейнман Олег Карлович

АЛГЕБРЫ КРИЧЕВЕРА-НОВИКОВА, ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Москва - 2006

ДЗ хе^ 1С ^ ^ ^ ^ г/Ч го

Работа выполнена в Математическом институте им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор И.М.Кричевер д.ф.-м.н., профессор А.М.Вершик д.ф.-м.н., профессор А. В. Зарелуа

Ведущая организация: Механико-математический факультет

Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Защита состоится 7 сентября 2006 г. в 14 часов па заседании Диссертационного Совета Д 002.022.03 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 119991 Москва, ул. Губкина, дом 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Автореферат разослан ""__2006 г. Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.022.03 доктор физико-математических наук

Н. П. Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 60-х — 80-х годах 20 столетия теория бесконечномерных алгебр Ли пережила период бурного роста, связанный с появлением аффинных алгебр Каца-Муди и алгебры Вирасоро, сочетавших явную преемственность по отношению к классической теории полупростых алгебр Ли с успешностью в приложениях.

В этот же период произошло становление двух важных дисциплин математической физики — теории интегрируемых систем и конформной теории поля, характеризовавшееся глубоким проникновением методов теории римановых поверхностей в теоретическую физику.

Открытие роли алгебр Каца-Муди и Вирасоро как алгебр формальных калибровочных и конформных инфинитезимальпых симметрий этих теорий связало воедино оба предмета. Переход от формальных к более геометрическим типам симметрий требовал рассмотрения алгебр токов и векторных полей на римановых поверхностях. К концу 80-х возникло несколько таких работ, главным образом связанных с эллиптическими кривыми, но не только.

В 1987 году, в связи с исследованиями в теории солитонов и коТьл формной теории поля, И.М.Кричевер и С.П.Новиков ввели централь- ; ные расширения алгебр токов и алгебр векторных полей на римановых поверхностях (с комплексной структурой и отмеченными точками), которые впоследствие получили название алгебр Кричевера-Новикова. Эти алгебры естественно обобщают аффинные (не скрученные) алгебры Каца-Муди и алгебру Вирасоро соответственно. Среди других алгебр токов и векторных полей на римановых поверхностях алгебры Кричевера-Новикова выделяются важным свойством — почти градуи-\, рованной структурой, которое слабее градуировки, но сильнее филь-» трации, и ведет к многим важным последствиям, в частности, позволяет рассматривать аналоги представлений старшего веса.

Алгебры Кричевера-Новикова имеют многочисленные связи с фундаментальными проблемами геометрии и топологии (теория пространств модулей), анализа (гармонический анализ, проблема Римана-Гильберта) и математической физики (конформная теория поля и интегрируемые системы). Этим обусловлена важность и актуальность изучения алгебр Кричевера-Новикова для приложений.

Важность алгебр Кричевера-Новикова с теоретической точки зрения обусловлена тем, что, сохраняя явную преемственность по отношению к алгебрам Каца-Муди (постольку, поскольку речь идет об алгебрах аффинного типа) и, далее, по отношению к конечномерным полупростым и классическим алгебрам Ли, они и их представления не поддаются изучению классическими методами, основанными на использовании систем корней и теории представлений старшего веса. Актуальной является разработка новых подходов к изучению структуры и представлений этих алгебр. Полученные при этом результаты могут иметь и более широкое значение, так как существует тенденция к усложнению многообразий, на которых рассматриваются алгебры токов.

Цель работы

Разработка теории представлений алгебр Кричевера-Новикова, включая конструкцию представлений, нахождение классов эквивалентности, описание операторов Казимира, обобщение конструкции Сугавары. Исследование связей между пространствами модулей ри-маповых поверхностей с отмеченными точками (и фиксированными струями локальных координат в них) и алгебрами Кричевера-Новикова. Исследование деформаций объектов теории Кричевера-Новикова (функций, векторных полей, представлений) при изменении модулей римановых поверхностей. Построение объектов 2-мерной конформной теории поля с алгебрами Кричевера-Новикова в качестве ал-

гебр калибровочной и конформной симметрий, в том числе расслоения конформных блоков, проективио плоской связности на нем, обобщение уравнений Книжника-Замолодчикова на римановы поверхности положительного рода.

Методы

Основная часть результатов диссертации, относящихся к теории представлений (включая описание операторов Казимира), получена на основе предложенного автором нового алгебро-геометрического метода построения фермионных представлений с использованием базисов Кричевера-Новикова в сечениях голоморфных векторных расслоений на римановых поверхностях (указанные базисы найдены в работах И.М.Кричевера и С.П.Новикова, посвященных построению решений интегрируемых систем разностных уравнений и тесно связаны с классификацией А.Н.Тюрина голоморфных расслоений). Вторым ингредиентом конструкции является понятие полубесконечных форм, введенное Б.Л.Фейгиным и Д,Б.Фуксом. Использовались, также, традиционные методы теории представлений. При описании операторов Казимира использовалась найденная автором связь между этими операторами и 2-коциклами на алгебре дифференциальных операторов порядка не выше 1. При построении 2-мерной конформной теории поля мы следуем направлению, заданному известной работой А.Цучия, К.Уено и Й.Ямады1, но с другими алгебрами калибровочных и конформных симметрий и с существенными методологическими изменениями при построении связности типа Книжника-Замолодчикова и при доказательстве ее корректной определенности на расслоении конформных блоков. Следует подчеркнуть различие между подходом А.Цучия, К.Уено и Й.Ямады и подходом одного из основателей 2 — мер-

'Tbuchiya, A., Ueno, К., Yamada, Y., Conformai field theory on universal family of stable curves with gauge symmetries. Adv. Stud. Pure Math. 19 (1989), 459-566.

ной конформной теории поля Д.Бернара2, который ввел дополнительные параметры и соглашения, не предусмотренные основами теории (см. Введение). К этому направлению относятся работы Д.Иванова, Дж.Фельдера и многих других.

Важнейшие терминологические соглашения

Различают алгебры Кричевера-Новикова аффинного типа (аффинные алгебры Кричевера-Новикова) и типа Вирасоро. Первые являются центральными расширениями алгебр мероморфных токов, а вторые — алгебр мероморфных векторных полей па римановых поверхностях, голоморфных вне отмеченных точек. Все алгебры Ли мы рассматриваем только над С. Под фермионными представлениями мы понимаем представления в пространствах полубесконечных форм. Операторы Казимира мы, следуя физической практике, чаще всего называем казимирами. При этом рассматриваются только казимиры второго порядка. Конформные блоки — коинварианты (фактор-пространства по образу) регулярных подалгебр аффинных алгебр Кричевера-Новикова (в пространствах представлений последних).

Научная новизна

Дана конструкция новых обширных классов представлений алгебр Кричевера-Новикова, причем впервые применены алгебро-геометри-ческие методы, связанные с голоморфными векторными расслоениями на римановых поверхностях.

Дано строгое обоснование конструкции Сугавары для алгебр Кричевера-Новикова.

Дано описание операторов Казимира второго порядка аффинных алгебр Кричевера-Новикова. Поставлена и решена задача отбора ка-

a Bernard, D. On the Wess-Zumino-Witten models on the toras. Nucí. Phys. B303 (1988), 77-93. On the Wess-Zumino-Witten models on Riemann surfaces. Nucl. Phys. B309 (1988), 145-174.

зимиров среди более широкого класса эндоморфизмов представлений в отсутствие системы корней. Предложена новая эффективная процедура построения казимиров. Введено более общее понятие полуказимиров и дано их описание.

Дано описание касательного пространства в точке общего положения пространства модулей римановых поверхностей с произвольным числом отмеченных точек и фиксированными до некоторого порядка струями локальных координат в них в терминах базисов Кричевера-Новикова в алгебре Ли векторных полей.

Поставлена, решена и использована в конформной теории поля задача об инфинитезимальных деформациях регулярных функций и векторных полей Кричевера-Новикова при деформации модулей.

Впервые найдены отображения касательных пространств к пространствам модулей в пространство операторов (а именно, операторов, индуцированных полуказимирами) на конформных блоках.

Поставлена и в значительной степени решена задача обобщения на алгебры Кричевера-Новикова конструкций А.Цучия, К.Уено и Й.Яма-ды в 2-мерной конформной теории поля: введены расслоения конформных блоков, отвечающие алгебрам Кричевера-Новикова; для указанных расслоений решена задача построения проективно плоской связности; дано обобщение уравнений Кпижпика-Замолодчикова па ри-мановы поверхности положительного рода с несколькими отмеченными точками; найденные уравнения явно записаны в терминах базисов Кричевера-Новикова.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут найти применение при изучении алгебр токов на алгебраических многообразиях и их представлений, при исследовании моделей конформной квантовой теории поля, в теории струн, в теории интегри-

руемых систем, в теории деформаций (примеры применения алгебр Кричевера-Новикова в теории деформаций уже имеются).

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались автором на

• международной конференции "Geometric Quantization and Related Asymptotic Analysis Нагоя, Япония, 16-19 ноября 2005 г. (приглашенный 60-минутный доклад);

• 24 Скандинавском и 1 Франко-Скандинавском математическом конгрессе, Рейкьявик, 6-9 января 2005 г. (доклады на секциях "Теория представлений и гармонический анализ" и "Пространства модулей");

• 24 международной конференции "Geometric Methods in Physics Бе-ловежа, Польша, 26 июня - 2 июля 2005 г.;

• сателлитной конференции Европейского математического конгресса "Noncommutative geometry and representation theory in mathematical physics Карлштадт, Швеция, 4-11 июля 2004 г.;

• международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова, Москва, июнь 2003 г.;

• международной конференции, посвященной 10-летию Независимого московского университета, Москва, НМУ, 26-29 декабря 2001 г.;

• заседании математического общества Санкт-Петербурга, 16 мая 2006 г.

• семинаре под руководством С.П.Новикова отдела геометрии и топологии Математического института РАН им. В.А.Стеклова, 29 декабря 2004 г. и 12 января 2005 г.

• семинаре под руководством А.А.Славнова отдела теоретической физики Математического института РАН им. В.А.Стеклова, 2 и 9 февраля 2005 г.

• семинаре под руководством Э.Б.Винберга и общем семинаре кафедры алгебры механико-математического факультета МГУ им. М. В .Ломоносова;

• математическом семинаре Университета Люксембурга, 19 октября и 8 ноября 2004 г., 18 октября 2005 года;

• общем семинаре по геометрии (Oberseminar Geometrie) в Институте Макса Планка, Лейпциг, Германия, 21 апреля 2005 г.

• заседании Совета по нелинейной динамике Президиума РАН, декабрь 2003 г.

• семинаре "Глобус" и других семинарах Независимого московского университета;

• семинаре математического отдела Института Науки Университета Исландии, Рейкьявик, сентябрь 2003 г.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы автором в 13 самостоятельных и 3 совместных работах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы.

Объем работы - 171 страница. Список литературы содержит 67 наименований.

Содержание работы

Диссертация открывается введением, в котором охарактеризовано место алгебр Кричевера-Новикова в теории алгебр Ли, геометрии и топологии пространств модулей, теории интегрируемых систем и конформной квантовой теории поля, обоснована постановка основных задач диссертации и перечислены ее основные результаты.

В первой главе вводятся алгебры токов и векторных полей Кричевера-Новикова, формулируются результаты об их структуре (принадлежащие И.М.Кричеверу и С.П.Новикову), центральных расширениях (И.М.Кричевер и С.П.Новиков, М.Шлихенмайер) и результаты автора о коприсоединенном представлении и его орбитах. В этой главе введено центральное понятие базисов Кричевера-Новикова.

Пусть £ — компактная риманова поверхность рода д, снабженная комплексной структурой, I = {Р\,..., Рдг) (./V >1) — упорядоченный набор попарно различных отмеченных точек на Е, и Роо — выделенная отмеченная точка, отличная от P¿ для любого г. Точки из I называются входящими, а точка Р^ — выходящей. Пусть А — / и {Роо}- Для £\ А мы будем часто использовать обозначение Б*.

В разделе 1.1 вводятся алгебры токов, векторных полей и дифференциальных операторов Кричевера-Новикова. Пусть А := -Д(£, I, Роо) — ассоциативная алгебра мероморфных функций на Е, регулярных везде за исключением, быть может, точек Р € А. Пусть д — комплексная конечномерная редуктивная алгебра Ли. Тогда

называется алгеброй токов Кричевера-Новикова. Скобка Ли на д задается с помощью соотношений

0 = 0 ®с Л

(1)

[х ® А, у ® В] = [х, г/] ® АВ.

Мы будем часто опускать в обозначениях символ

Обозначим через С, алгебру Ли мероморфных векторных полей на Е, которым разрешается иметь полюса только в точках Р £ А.

Для римановой сферы (д = 0) с квазиглобальной координатой z и множествами I = {0} и Роо = оо, алгебра Л — это алгебра полиномов Лорана, алгебра токов 0 — это алгебра петель, а алгебра векторных полей С — это алгебра Витта.

Определим алгебру Ли Т>1 дифференциальных операторов первого порядка как полупрямую сумму алгебр А и С. Как векторное пространство Vх = А © С. Скобка Ли определяется с помощью соотношений

[(А е), {Б, /)] := (еВ - fA, [е, /]), А, В 6 А, е, / € С. (3)

Здесь еА обозначает производную функции h вдоль векторного поля е. В локальных координатах имеем е = ё^ и еА = ё •

Рассмотрим, наконец, алгебру Ли дифференциальных операторов, связанную с 0 (алгебру дифференциальных операторов Кричеве-ра-Новикова). Как линейное пространство = g ® £. Скобка Ли задается соответствующими скобками на g и £, и дополнительными требованиями

[е,х<8> А] := -[ж® А, е] :=х® (еА). (4)

В разделе 1.2 определяется двойственность Кричевера-Но-викова. Пусть — пространство мероморфных и голоморфных вне отмеченных точек форм (тензоров) на £ веса Л. Двойственность Кри-чевера-Новикова задается спариванием пространств 3~х и с по-

мощью формы

(f,9) := ¿T / Í9 = yZresp(fg) = -resP„(fg), (5)

где Cs — разделяющий цикл, то есть любой цикл, гомологичный малой

11

окружности вокруг точки Рос и такой, что множества А и {Роо} лежат по разные стороны от него.

При Л = 0 получаем двойственность между пространством функций Л и пространством 1-форм, при А = 2 — двойственность между векторными полями (пространство С) и квадратичными дифференциалами.

Из существования дуальных базисов, построенных в следующем разделе, следует, что форма (5) является невырожденной.

В разделе 1.3 вводится центральное понятие — базисы Кри-чевера-Новикова. Это базисы в пространствах JrA. При д = 0 они совпадают с базисами Лорана. Многоточечное обобщение этих базисов дано М.Шлихенмайером и В.А.Садовым.

Зафиксируем А, и для любых n G Z, р = 1,... ,N определим базисный элемент /¿р € условиями

ordp4 (fnj>) = (я + 1 — А) — <5f, » = 1.....JV, (6)

ordpj.4,) = -N ■ (п + 1 - А) + (2А - 1)(д - 1), (7)

как выводится из теоремы Римана-Роха — однозначно с точностью до нормировки. Нормировка дается условием

f^(zp) = z^(l + 0(zp))(dzp)\ p=l,...,Nt (8)

где zp — локальная координата в точке Рр.

Для исключительных значений д = 1 и А = 0,1 эти условия модифицируются исходя из особенностей применения теоремы Римана-Роха. Имеются явные формулы для базисных элементов н терминах рациональных функций при 5 = 0, ег-фупкции Вейерштрасса при 5 = 1, прим-форм и тэта-функций при д > 1. Базисные элементы выбраны таким образом, что они удовлетворяют соотношениям двойственности (fn,p, J}a,r) = 5-п ■ Яр по отношению к форме (5).

12

Для следующих случаев мы вводим специальные обозначения:

Ап,р '■— /п,р> еп& '■— ш 'Р '■— /-п,р> ^ 'Р ■ (9)

В разделе 1.4 изучаются почти градуированная структура и треугольные разложения. Градуировка и связанные с ней разложения играют первостепенную роль в структурной теории и теории представлений простых алгебр Ли и аффинных алгебр Каца-Муди. Для алгебр Кричевера-Новикова известен лишь ослабленный вариант градуировки — почти градуированная структура, которая, тем не менее, позволяет определить аналог разложения на картановскую и нильпотентные подалгебры. В настоящем разделе даются определения почти градуированной алгебры (ассоциативной или алгебры Ли) и почти градуированного модуля. Суть определения заключается в том, что степень однородных компонент произведения (коммутатора) отличается от суммы степеней операндов не более чем на фиксированное число К, называемое степенью почти градуировки.

В случае пространства однородная компонента определяется как подпространство, порожденное элементами с заданным п (р = 1,...,ЛГ). Показано3, что алгебра векторных полей С, алгебра функций А. и алгебра дифференциальных операторов I?1 являются почти градуированными, а является почти градуированным модулем над ними.

Треугольное разложение алгебры Л определяется следующим образом:

Л = Л-®Л(0)фЛ_, (10)

3И.М.Кричевер и С.П.Новиков, М.Шлихенмайер

где

Л+ := | п > 1,р = 1,..., ЛО, Л- := {Ап# | п < —К — = 1,..., ЛГ) , Ло):= <Л.1р|-ЛГ<п<0,р=1>...>ЛГ> ,

а алгебры Ли С — следующим образом:

(П)

с = с+ е £(0) ® С-,

(12)

где

С+ := (еП)Р | п > 1,р= 1,...,ДГ), := (е^ \п<-Ь-1,р=1,...,!*) , £(0) := (е„,Р | —Ь <п< 0,р = 1,... ,ЛГ) ,

(13)

К — степень почти градуировки для Л, & Ь — для С. Аналогично

Несложно продолжить квазиградуировку на алгебру токов 0, полагая ® Ап р) := п. Как и выше, имеется треугольное разложение

0 = 0+©0(о)©0-, где Цр-я® Ар, /3 € {-,(0),+} . (14)

В частности, 0± являются подалгебрами. Конечномерная алгебра Ли 0 естественно вкладывается в 0 в качестве подалгебры. Она лежит в подпространстве 0О.

В разделе 1.5 мы формулируем результаты о центральных расширениях алгебр токов, векторных полей и дифференциальных операторов Кричевера-Новикова. Ниже они используются в конструкции фермионного представления и в описании казимиров.

Сначала мы даем определения стандартных понятий, связанных с центральными расширениями и напоминаем связь между ними и 2-когомологиями алгебр Ли. Новым понятием, обязанным своим появлением И.М.Кричеверу и С.П.Новикову, является понятие локального

получаем треугольное разложение алгебры 251.

коцикла. Пусть V = — почти градуированная алгебра Ли.

Коцикл 7 на V называется локальным (по отношению к почти градуировке) если существуют М\, М2 6 2, такие что

Уп, тЕ2: 7(Уп,Ут) ф 0 Мг < п + т < Мъ (15)

Константы М\ и Л/г называются соответственно верхней и нижней границами локального коцикла 7. Локальность коцикла эквивалентна почти градуированности соответствующего центрального расширения.

Пусть С — произвольный разделяющий контур (стр. 11). Следуя И.М.Кричеверу и С.П.Новикову4 введем коцикл на Л:

7(/) : «4 х Л —> С, 7«(д. А) := ¿т ] двЬ. ; (16)

коцикл на д (где 0 — редуктивная алгебра Ли, а — невырожденная симметрическая инвариантная билинейная форма на ней):

= ¡с1<1д , (17)

и коцикл на С (обобщение коцикла Вирасоро-Гельфанда-Фукса):

/) " 1'П ~ Я ' (ё>1 ~ ёГ)) ** ' (18)

где Я — голоморфная проективная связность на £*, и в локальных координатах е = и / = ё, /.

Первые два коцикла С-инвариантны, то есть

= для всех е € С, д, к € .4 , (19)

и аналогично для 7.

Пусть Т — аффинная связность па Е*. Ей мы сопоставляем [9] коцикл на Т>1

7^т)(е, <?) := -7,^(<7, е) := ¿г ^ (ё • + Т • (ё • </)) Лг . (20)

4 Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории соли-тонов, Функц. анализ и его приложения, 21 (1987), Л'« 2, 46-63.

Класс эквивалентности центрального расширения не зависит от выбора Я и Г.

Перечисленные коциклы мы называем геометрическими, или стандартными.

Предложение5. Если Я или Т имеют полюса лишь в отмеченных точках, то стандартные коциклы локальны. Для каждого из них верхняя граница равна нулю.

Определение. Центральное расширение С алгебры Ли С, отвечающее коциклу вида (18), где интеграл берется по разделяющему циклу, называется алгеброй типа Вирасоро (обычная алгебра Вирасоро получится, если взять риманову сферу с отмеченными точками 0 и оо).

Далее на протяжении разделов 1.5-1.8 дается классификация локальных коциклов® для алгебр А, д, V1, в случае простой, коммутативной и общей редуктивной алгебры д. Рассматриваются примеры д = в1(п) и д = д1(п). Основные результаты можно суммировать в следующем предложении

Предложение. Любой коцикл на 2?*, ограничение которого на д является С-инвариантным, является линейной комбинацией стандартных. В частности, любые локальные коциклы на А. и на С, и любой локальный С-инвариантный коцикл на д, пропорциональны соответствующим стандартным коциклам.

В разделе 1.6 дается определение аффинных алгебр Кри-чевера-Новикова — одного из основных объектов исследования в диссертации.

Пусть д — конечномерная редуктивная алгебра Ли, д — соответствующая алгебра токов. Аффинной алгеброй Кричевера-Новикова называется векторное пространство д = д®0 (£ — формальная образую-

"И.М.Кричевер, С.П.Новиков, О.К.Шейнман, М.Шлихевмайер 'И.М.Кричевер и С.П.Новиков, М.Шлихенмайер

щая), на котором задана скобка Ли

[х®/,У®$] = [ам/]®(/0) + 7(*®/,У®0)-«, [¿,0] = 0 , (21)

где х, у в 0, /,д е А, у — коцикл (17).

Согласно данному определению 5 — локальное центральное расширение алгебры Ли д. В частном случае римаиовой сферы с выколотыми точками 0 и оо и полупростой алгебры д получаем аффинную алгебру Каца-Муди. Расширение д зависит от выбора формы а.

Присоединяя центр С£ к компоненте нулевой степени алгебры д, получаем треугольное разложение аффинной алгебры, аналогичное разложению (14).

В разделах 1.7-1.8 продолжается изложение классификации локальных коциклов. Результаты суммированы выше па этой странице.

В разделах 1.9, 1.10 изучается коприсоединенное представление аффинной алгебры Кричевера-Новикова и орбиты соответствующей группы.

Рассматриваются орбиты в коприсоединенном пространстве группы голоморфных токов на проколотой римановой поверхности Е* со значениями в группе С с алгеброй Ли д. Установлено [1, 3] естественное вложение пространства орбит общего положения в пространство Нот(7Г1 (£*), (7). Это описание коприсоединенпых орбит вместе с принципом орбит А.А.Кириллова послужило мотивировкой построения представлений средствами голоморфных расслоений на римановых поверхностях, данного в следующей главе диссертации.

Во второй главе даются конструкции двух классов представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова — фермион-ных представлений и модулей Верма. Центральным результатом главы является конструкция фермионных представлений.

Аффинные алгебры Кричевера-Новикова относятся к новому классу почти градуированных алгебр Ли, структура и представления которых к настоящему моменту находятся в начальной стадии изучения. В то же время почти градуированность является важным понятием, позволяющим обобщить многие свойства хорошо изученного класса градуированных алгебр, важнейшим их которых является конструкция представлений, порожденых вакуумным вектором. Первые конструкции представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова были предложены автором в [2, 4, 5], а для случая нескольких отмеченных точек - в [15]. Эти конструкции носят абстрактно-алгебраический характер. Оставалась открытой задача нахождения таких геометрических объектов, на которых рассматриваемые алгебры действуют естественным образом. В работе автора [6] такой объект найден: это тензорное произведение пространства сечений Кричевера-Новикова голоморфного векторного расслоения общего положения (см. ниже) на соответствующей римаповой поверхности на пространство конечномерного представления алгебры Ли д.

Отправляясь от этих пространств, мы строим представления, порожденные старшими векторами, с помощью известной конструкции бесконечного фермионного представления (клин-представления)7. Для этого мы используем базис в пространстве сечений голоморфного векторного расслоения. Такие базисы были построены И.М.Кричевером и С.П.Новиковым на основе параметризации А.Н.Тюрина голоморфных расслоений.

Появление расслоений в теории представлений алгебр Кричевера-Новикова обусловлено двумя причинами. Первая — описание копри-соединенных орбит в терминах групп монодромий (раздел 1.10, стр. 17 автореферата). Связь последних с голоморфными расслоениями на

'У.С.Кас и Б.Н.Ре^гйоп, Б.Л.Фейгин и Д.Б.Фукс

римановых поверхностях хорошо известна. Второй причиной является то, что квазиградуированная структура на алгебрах Кричевера-Новикова и их модулях позволяет рассматривать теорию представлений этих алгебр как раздел теории разностных операторов, где существенную роль играет теория коммутирующих разностных операторов, непосредственно приводящая к голоморфным расслоениям на кривых8. Глубокая связь между теорией представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова и теорией коммутативных колец разностных операторов проявляется, в частности, в доказательстве теоремы 2.10.

В разделе 2.1 излагается описание голоморфных расслоений в терминах параметров Тюрина9.

Пусть Р голоморфное расслоение ранга г и степени дг на £. По теореме Римана-Роха расслоение Р имеет г голоморфных сечений Ф1,... ..., Фг, которые образуют базис в слое над каждой точкой за исключением дг из них. В случае общего положения (который только и рассматривается здесь) эти точки являются попарно различными. Мы обозначаем их 71,..., удг. Назовем множество введенных сечений оснащением, а расслоение с заданным оснащением — оснащенным. Коэффициенты линейной зависимости сечений Фх,..., Фг в точке 7; обозначим а-у (_; = 1,..., г). Точки 71,..., ~(дт и коэффициенты а^ (» = 1,...,гд, j = 1,... ,г) назовем параметрами Тюрина расслоения Р. Параметры Тюрина определяют оснащенное расслоение однозначно с точностью до эквивалентности.

8Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения и коммутирующие разностные операторы. Двухточечные конструкции, Успехи математических наук, 55 (2000), № 3, 181—182. Голоморфные расслоения и скалярные разностные операторы. Одноточечные конструкции, там же, 55 (2000), № 1, 187-188. Кричевср, И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения, там же, 33 (1978), № 4, 215-216.

яТюрин, А.Н. Классификация векторных расслоений над алгебраической кривой произвольного рода . Изв. АН СССР, 29 (1965), 657-688.

Предложение10. Пространство мероморфных сечений расслоения F, голоморфных вне отмеченных точек Р±, изоморфно пространству мероморфных векторно-значных функций f = (fi,.--,fr)T (на той о/се римановой поверхности), голоморфных вне точек Р± и 71,..., 7^, имеющих не более чем простые полюса в последних и удовлетворяющих условиям

(res7i fj) aik = (rcs7i /к)счц, i = 1,..., gr, j = 1,..., r. Обозначим введенное только что пространство функций Fkn-

В разделах 2.2, 2.3 вводятся базисы Кричевера-Новикова в сечениях голоморфных расслоений для двух11 и более [11] отмеченных точек соответственно.

Пусть г = rank F. Для любой тройки целых чисел п £ Z, j = 0,1,... ,г —1 ир = 1,..., ЛГ пусть ipnJJ> = {ipnjj,) — вектор-функция из Fkn (г = 0,1,..., j— 1), которая удовлетворяет следующим условиям в точках множества А:

VnjM) = + 0{zq)\ (22)

где zq — локальная координата в точке Pq, q € {1,..., .TV}, 5р ч — символ Кронекера, — комплексные числа, такие что (,'nppi = 1, CnIVj — 0> г > 3\

ÜjA*«,) = ^nN'N+4Úpxj + 0{Zoo)), (23)

где £np(Xj = 0, г < j. Число п называется степенью функции.

'"Кричевср, И.М., Новиков, С.П. Голоморфные расслоения над риманоеыми поверхностями и уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП). I. Функц. анализ и его приложения, 12 (1978), № 4, 41-52. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения . Успехи математических наук, 35 (1980), № 6, 47-68.

"Кричевер U.M., Новиков С.П. Голоморфные расслоения и коммутирующие разностные операторы. Двухточечные конструкции, Успехи математических наук, 55 (2000), № 3, 181-182.

Предложение 2.3. 1. Вектор-функция удовлетворяющая

условиям (22) и (23), существует и единственна.

2. Для данного п размерность пространства, натянутого на вектор-функции ф-njji, равна rN.

Пусть т — представление алгебры g в пространстве V, FJ,N = Fkn® V. Определим действие алгебры токов g на F^N:

(хА)(ф ® v) = Аф ® t(x)v. (24)

Мы доказываем, что в базисе {^>nj\p} это действие почти градуировано.

В разделе 2.4 излагается конструкция фермионных представлений. Это один из центральных результатов диссертации.

Для простоты мы ведем изложение для случая двух отмеченных точек. Базисные элементы пространства Fkn обозначим фп^ (в индексе р нет необходимости). Пусть dim V = / и ф1п^ = фп^ ® где {Vi\i I...../} — базис в V. Занумеруем элементы в порядке лексикографического возрастания троек (п, j, г). Пусть N = N(n,j, г) = nrl+jl+i — номер тройки (n,j,i). Введем обозначение фм = V'nj-

Пространство Vf фермионного представления порождено над С формальными выражениями (полубесконечными мономами) вида V>jv„ Л фм, Л ..., где Nq < Ni < ... и знак монома меняется при перестановке фм и ф>н'- Мы требуем, также, чтобы Nk = к + тп для достаточно больших к. Число m называется зарядом монома. Далее мы даем определение степени монома (восходящее к П.Дираку).

Введем представление 7ГГт алгебры Ли g в пространстве Vf- Как показано в разделе 2.3, каждый элемент алгебры g действует на элементы фн линейными подстановками почти градуированным образом (считаем, что t действует как скалярный оператор). Кроме того, число элементов фм фиксированной степени не зависит от этой степени. Это в точности означает, что если символы фн рассматривать как фор-

мальный базис бесконечномерного линейного пространства, то действие элемента алгебры g может быть задано в этом базисе бесконечной матрицей с лишь конечным числом ненулевых диагоналей. Алгебра таких матриц обозначается а^. Она изоморфна алгебре разностных операторов в 1-мерной решетке. Это замечание устанавливает связь с теорией коммутирующих разностных операторов12.

Таким образом, выбор расслоения F определяет вложение алгебры g в а,». Алгебра а,*, обладает стандартным проективным представлением13 в пространстве Vf- Следовательно, мы получаем проективное представление ^xFr алгебры g в Vp.

Обратимся к вопросу о том, является ли фермионное представление 7Г,,т представлением аффинной алгебры Ли д. Пусть 7 — коцикл представления тгРт. В терминах 7 поставленный вопрос — это вопрос о том, имеет ли данный коцикл форму (17) (с точностью до пропорциональности).

Теорема 2.5. Если алгебра Ли g проста, то коцикл фермионного представления пропорционален коциклу (17).

Фермионное пространство можно разложить в прямую сумму д-ин-вариантных подпространств, отвечающих всевозможным значениям заряда. Для g = fli(Z) подпространство заряда т порождено мономом |0) = rpm Л фт+1 Л • • ■ под действием универсальной обертывающей алгебры W(fl). Этот моном называется вакуумным мономом, или просто вакуумом, заряда т. Каждый вакуумный моном обладает следующим свойством: ttFt(xA) |0) = 0 для А 6 Д+, а также для А — 1 и любой строго верхнетреугольной матрицы х € д.

1гКричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения и коммутирующие разностные операторы. Двухточечные конструкции, Успехи математических наук, 55 (2000), № 3, 181-182.

13Кас, V.G., Raina, А.К., Highest Weight Representation of Infinite Dimensional Lie Algebras. Adv. Ser. in Math. Physics Vol.2, World Scientific , 1987.

В разделе 2.5 рассматриваются классы эквивалентности фермионных представлений.

Два фермионных представления называются сильно эквивалентными, если существует их изоморфизм как линейных пространств, коммутирующий с действием алгебры д, квазиоднородный, то есть переводящий однородные компоненты первого модуля в однородные компоненты второго, и такой, что образ любого старшего монома снова является старшим мономом того же заряда.

Два фермионных представления называются эквивалентными, если между пространствами представлений существует изоморфизм, индуцированный отображением вида е ® а пространства Р^^ ® V на себя, где а — произвольный автоморфизм представления т, а е — автоморфизм оснащенного расслоения.

Теорема 2.10. Два фермионных представления, первое из которых задается оснащенным голоморфным расслоением Р и неприводимым представлением т (алгебры $), а второе — оснащенным голоморфным расслоением Р" и неприводимым представлением т' эквивалентны тогда, и только тогда, когда Р эквивалентно Р', а т эквивалентно т'.

В разделе 2.6 строятся модули Верма аффинных алгебр Кричевера-Новикова.

Здесь мы даем конструкцию еще одного класса представлений, введенного нами в [15].

Пусть д - простая конечномерная алгебра Ли, д0 С д — линейное подпространство элементов степени 0, д+ = д+ С д — подалгебра Ли элементов положительной степени, Z — центр. Степень Z равна 0, следовательно Во = 0о © 2.

Выберем и зафиксируем картановскую подалгебру (| С 0, соответствующую борелевскую подалгебру Ь С 0 и соответствующую верх-

нюю нилыютентную подалгебру п С Ь.

_ n _ л _ ^

Пусть Ьо = ф Ь ® Ао р С в0. Рассмотим Ь := Ьо® Z (В как аналог р=1

борелевской подалгебры в 0 и, как в стандартной конструкции модулей Верма, определим ее одномерное представление. Пусть V = Си — одномерное пространство с базисным элементом V, А = {А1,...,Алг} — набор весов (линейных функционалов на [)). Тогда в пространстве V действует представление алгебры Ли Ь по формулам тл,г|д+ = О, П,б(<) = 6 ■ Ы, = А(пАо,р)у = О (Л € I), п € п,

р = 1,..., Лг). Применяя далее конструкцию индуцированного представления, определим модуль Верма алгебры д как представление в пространстве

= и(д) ®и(Е) V (25)

с естественной структурой д-модуля. Как всегда и(•) обозначает универсальную обертывающую алгебру соответствующей алгебры Ли. Набор А называется весом, комплексное число 8 — уровнем, а вектор = @ - • • & г-'дг — вектором старшего веса модуля Набор (А, 5) определяет модуль однозначно с точностью до эквивалентности.

В главе 3 рассматриваются представления алгебр типа Ви-расоро.

В разделе 3.1 рассматриваются фермионные представления алгебр типа Вирасоро. В пространстве фермионов, построенном в предыдущей главе, определяется проективное представление алгебры Ли С, и даже более того — алгебры Ли [6, 8, 11].

Как и в предыдущей главе, рассмотрим римапову поверхность Е, и на ней голоморфное расслоение Р ранга г и степени д • г (д — род римановой поверхности Е). Пусть Г(^) обозначает простран-

ство мероморфных сечений расслоения F, голоморфных вне точек Pi,..., PN, Poo. Пусть г — конечномерное представление алгебры Ли g в пространстве VT. Положим IVjT := r(.F) ® VT.

Чтобы определить на Г(Р) действие £, мы выбираем на F меро-морфную (следовательно, плоскую) связность V, имеющую логарифмические особенности в Pi,..., Рц и Рх. Ввиду плоскостности имеем VM = [Ve,V/] для любых е, / € С. Следовательно, V определяет представление алгебры L в Г(Р).

По определению связности, для любых s 6 Г(Р), е 6 £ и А € Л имеем Ve(As) = (eA)s + /lVe.s, где еЛ обозначает производную функции А вдоль векторного поля е. Следовательно, [Ve, А] = еА, то есть отображение е + А —» Ve + А дает представление алгебры 2Э1 в пространстве T(F).

Определим соответствующее действие алгебры С, на IV)T:

e(s ® v) = Ves <8> v для любых е 6 С, s 6 Г(Р), v в VT. (26)

Соотношения (24) и (26) задают представление алгебры Т>д в пространстве IViT. Далее конструкция развивается по той же схеме, что и для аффинных алгебр, с использованием почти градуированпости

-модуля Гр.т и вытекающего из нее вложения алгебры Ли 2?* в doo.

Далее в настоящем разделе мы заканчиваем доказательство теоремы 2.5 главы 2, требующее рассмотрения фермионпого представления алгебры

В разделе 3.2 изучается представление Сугавары.

Конструкция Сугавары — один из самых мощных инструментов теории представлений аффинных алгебр и конформной теории поля14. Каждому допустимому (см. определение в тексте раздела) представлению не критического уровня аффинной алгебры она сопоставляет

"Кац В.Г. Бесконечномерные алгебры Ли. Москва, "МИР 1993.

проективное представление алгебры векторных полей в том же пространстве. В случае алгебр Кричевера-Новикова двухточечная коммутативная версия данной конструкции предложена в работах этих же авторов15. Некоммутативный случай впервые рассмотрен в физической литературе16 (эта работа содержит неполные и даже неверные доказательства — мы даем анализ ее ошибок) и, независимо, хотя и позднее, в нашей работе [14], где была, также, дана многоточечная версия конструкции. В диссертации представлены строгие доказательства теорем, относящихся к конструкции Сугавары.

Пусть g — простая или коммутативная алгебра Ли, V — допустимое представление алгебры g уровня с. Для и 6 g, А 6 Л обозначим через и(А) оператор представления элемента и 0 А\ обозначим и(Лпр) через и{п,р). Выберем базис щ, i = l,...,dirag алгебры g и двойственный к нему базис и1, i = 1,... ,dimg по отношению к инвариантной симметрической невырожденной форме а. Чтобы упростить обозначения, мы пишем и(п,р)и(т, q) вместо «¿(п,р)м*(т, <?).

Введем оператор Сугавары, также называемый тензором энергии-импульса:

Т(Р) := \ J2 Е Mn,p)u(m, з): а/^(Р)^(Р) , (27)

П,7П p,S

где : : — нормальное упорядочение, п,т € Z, p,s G {1,..., Аг}, cjn'p определены соотношением (9). Для е Е С. определим оператор

Г(е) = -2^)7сТ(РИР)' (28)

где с — уровень представления V, к — дуальное число Коксетера,

15Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и струны в пространстве Минковского, Функц. анализ и его приложения, 21 (1987), № 4, 47-61.

I6Bonora L., Rinaldi, М., Russo, J., Wu, К., The Sugawara construction on genus g Riemann surfaces. Phys. Lett. B208 (1988), 440-446.

С — разделяющий контур. Имеет место следующий основной результат:

Теорема 3.6. Пусть д — коммутативная или простая алгебра Ли. Отображение алгебры Ли Т>J в End(V), задаваемое формулами е —* Т(е), и А —» и (Л), является почти градуированным проективным представлением алгебры Т>д. В частности, выполняются соотношения

(i) [Т(е),Т(/)] = Т([е, /]) + х(е, /), где х ~ коцикл на С вида (18);

(ii) \Т{е),и{А)]=и(еА).

Проективное представление Т алгебры С называется представлением Сугавары, соответствующим данному допустимому представлению и алгебры

В случае редуктивной алгебры Ли g представление Сугавары определяется как линейная комбинация представлений Сугавары, соответствующих ее простым идеалам, после чего теорема 3.6 обобщается на этот класс алгебр (теорема 3.8).

Раздел 3.3 посвящен доказательству основных теорем о конструкции Сугавары (суммированных выше в теореме 3.6). Объем доказательств — 19 стр.

В четвертой главе рассматриваются проективно плоские связности на пространстве модулей римановых поверхностей и уравнения Книжника-Замолодчикова

Настоящая глава посвящена приложениям алгебр Кричевера-Новикова и их представлений к геометрии пространств модулей римановых поверхностей и двумерной конформной квантовой теории поля.

Основу этих приложений составляет предложение 4.3 и его следствия, которые в сумме дают описание касательных пространств к пространствам модулей римановых поверхностей в терминах алгебр

векторных полей Кричевера-Новикова и их базисов. Касательное пространство к пространству модулей связано с алгеброй векторных полей отображением Кодаиры-Спенсера и обратным к нему отображением, восходящим к Шифферу-Спенсеру.

Как указано во введении, начиная с работы Фридана и Шенкера17, двумерная конформная теория поля отождествляется с проекгпивно плоской связностью на пространстве модулей, заданной тензором энергии-импульса. Мы даем здесь общее выражение (35) для этой связности через фундаментальные объекты — тензор энергии-импульса и отображение Кодаиры-Спенсера.

Далее, мы переходим к модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена. Мы строим расслоение конформных блоков на пространстве модулей средствами теории представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова и задаем тензор энергии-импульса с помощью конструкции Сугавары. Перед нами встают две задачи: доказательство корректной определенности связности на конформных блоках и ее проективной плоскостности. Решение обеих задач опирается па важное техническое средство — формулы деформаций регулярных функций и векторных полей Кричевера-Новикова (предложения 4.8, 4.9).

В заключение мы явно выводим уравнения горизонтальных сечений полученной связности для родов 0 и 1 и показываем, что для рода О они совпадают с уравнениями Книжника-Замолодчикова.

В разделе 4.1 дается описание касательных пространств к пространствам модулей римановых поверхностей в терминах алгебр векторных полей Кричевера-Новикова и их базисов.

По постановке задачи предлагаемое описание находится в одном ряду с классическим подходом к описанию этих пространств с помощью

17FHedan, D., Shenker, S. The analitic geometry of the two-dimensional conformai field theory. Nuclear Phys. B281 (1987), 509-545.

дифференциалов Вельтрами и квадратичных дифференциалов на ри-мановой поверхности (Л.Альфорс и Л.Вере). Оно, также, использует идею М.Концевича об описании пространства Тейхмюллера с помощью алгебры Вирасоро. В случае двух отмеченных точек это описание принадлежит И.М.Кричеверу и С.П.Новикову. Элемент новизны, который мы внесли в эту картину [15, 16], заключается во введении и доказательстве сюръективности определенного ниже отображения 0, которое позволило сформулировать предложение 4.3. Описание в терминах алгебр Кричевера-Новикова эффективнее предыдущих в смысле возможности явного указания базиса.

Пусть — пространство модулей римановых поверхностей ро-

да д с N + 1 различными упорядоченными отмеченными точками, фиксированными А;-струями локальных координат в первых N точках и фиксированной р-струей локальной координаты в последней точке. Элементы пространства задаются наборами вида

= [Е, Ри ■ ■ ■, Ри, Роо, 4к) • • • - , (29)

где £ — гладкая проективная кривая рода д, Р.1 (г = 1,...,ЛГ, оо) — различные точки на Е, — координата в точке Р<, г® — ¿-струя локальной координаты [..] — класс эквивалентности таких наборов. Положим Мд,х+1 = и = Мы даем описание

касательных пространств к в точках гладкости.

Предложение 4.3. Имеет место коммутативная диаграмма

£=^Н^(Е>Г1:(-(*: + 1)5-(р+1)Роо)), (30)

Т- УЫ^-Р)

где р — изоморфизм Кодаиры- Спенсера, © и 7 — сюръективные отображения.

Здесь С —алгебра векторных полей Кричевера-Новикова, ТЦк,г)Мд — касательное пространство к -М^^в точке Vk'v\ S = Pi —

дивизор на Е. Для произвольного дивизора D = прР (пр G Z,

причем пр ^ 0 лишь для конечного числа точек) Ty_{D) обозначает пучок (локальных) мероморфных векторных полей е, удовлетворяющих условию ordр е > —пр для всех Р ç S (что, в частности, означает голоморфность е вне носителя дивизора). Фигурирующая в предложении группа когомологий с коэффициентами в пучке называется касательным пространством Кураниши. Мы даем подробное описание отображений ©, 7 и р. В частности, ©(e) — класс когомологий Чеха ограничения векторного поля е € С на проколотую координатную окрестность точки Рос, не содержащую точек Pi,..., Рдг- Отображение 7 введено Гриневичем и Орловым18 и восходит к работам Шиффера и Спенсера. Оно сопоставляет элементу е 6 С, деформацию конформной структуры, связанную с переклейкой кооринатной окрестности точки Роо вдоль векторного поля е. Коцикл Кодаиры-Спенсера р{Х) {X G Т^^Л^^дц.!) мы определяем следующим образом (ср.19):

р(х) = d~l • dxdr, (31)

где w = dT(z) — семейство функций перехода в окрестности точки Рх, т — набор модулярных параметров. Каждую из функций перехода dT можно рассматривать как локальный аналитический диффеоморфизм области

из. 2, содержащей Р<х> • По определению, р{Х) — касательный вектор в единице этой группы, то есть локальное векторное поле на £.

18Гриневич, П.Г., Орлов А.Ю. Вариации комплексной структуры римановых поверхностей векторными полями на окружности и объекты теории КП. Проблема Кричевера-Новикова действия на функции Бейкера-Ахиезера. Функциональный анализ и приложения, 24 (1990), № 1, 72-73.

'"Ueno, К., Introduction to conformai field theory with gauge symmetries. Geometry and Physics, Proceed. Aarhus conference 1995 (Andersen J.E. et. al., ed.), Marcel Dekker, 1997, pp. 603-745, лемма 1.3.8

Мы показываем, что с точностью до кограницы оно глобально, то есть р(Х) 6 £. Для класса когомологий Кодаиры-Спенсера мы сохраняем то же самое обозначение р{Х).

Собственно описание касательного пространства к пространству модулей дается следствием 4.5:

= (32)

где £(о) — произвольное дополнение к ker© в пространстве £. В конкретных ситуациях пространства £(0) легко описываются в терминах базиса Кричевера-Новикова в векторных полях. Например, для 3 = 0 и g = 1 это сделано в разделе 4.5 при построении явного вида уравнений Книжника-Замолодчикова.

В разделе 4.2 вводится пучок конформных блоков и другие пучки на пространстве модулей

Пространство предполагает задание на римановой поверх-

ности отмеченных точек и 1-струй локальных координат в них (за исключением Роо)- Это те данные, которые позволяют строить па римановой поверхности алгебры Крнчевера-Новнкова и определять их фермионные представления). Алгебры Кричевера-Новикова, соответствующие точке 6 € будем обозначать Л~ь, £j, С-ь, щ, д5. Пучки соответствующих объектов над окрестностью W точки Ь обозначим £ijy,

Регулярной подалгеброй в Л называется подалгебра Лгез функций, обращающихся в ноль в точке Рга- Регулярной подалгеброй Crcg алгебры Ли £ называется подалгебра векторных полей, обращающихся в ноль в точке Рх. Назовем дге9 = g ® Лгея регулярной подалгеброй в д. Обозначим через д~5, £—5 пучки регулярных подалгебр.

Пусть V — неприводимый допустимый почти градуированный д-модуль. Вообще говоря, V зависит от модулярных параметров, как и сама алгебра. Мы будем предполагать, что модули V образуют локаль-

но свободный пучок Уцг над открытым подмножеством пространства модулей

Определение. Пучок конформных блоков, ассоциированный с пучком Уф — это фактор-пучок

= (33)

Слои пучка С7уу называются коинвариантами соответствующих регулярных подалгебр. Пучок конформных блоков является локально свободным, то есть определяет векторное расслоение. Относительно д можно было бы предполагать, что это — произвольная редуктивная алгебра Ли. Для простоты мы возьмем д = д!(п), и ее стандартное представление в п-мерном пространстве в качестве т (стр. 21). При этом векторное расслоение конформных блоков имеет конечный ранг.

В настоящей главе в качестве рассматривается пучки фермион-ных модулей и модулей Верма, однако все сказанное ниже справедливо для произвольных допустимых модулей при условии, что выполняется лемма 4.11 [13].

Для полноты далее мы даем определение конформных блоков на пространстве И/^-р) точек общего положения в

В разделе 4.3 рассматриваются деформации регулярных функций и векторных полей Кричевера-Новикова при деформации модулей.

Задача этого раздела — определить дифференцирование сечений пучков функций и векторных полей Кричевера-Новикова, а также операторов представления от них, по модулярным параметрам. Заметим, что это нетривиальная задача, допускающая несколько неэквивалентных подходов. Наш подход согласован с описанием Кодаиры-Спенсера касательного пространства к пространству модулей, данным в терминах алгебры векторных полей Кричевера-Новикова (предложение 4.3 и его следствия). Применительно к функциям он заключается в

том, что мы дифференцируем по модулярным параметрам локальную функцию, полученную ограничением функции Кричевера-Новикова на проколотую окрестность точки Р«,, с учетом как непосредственной зависимости от модулярных параметров, так и зависимости от них функций перехода. После этого дифференцирование векторных полей однозначно определено правилом Лейбница. В результате получены следующие формулы дифференцирования:

дхА = -р(Х)А + Ах, дхе = -[р(Х),е] + ех, (34)

где X — касательный вектор к р — отображение Кодаиры-

Спепсера, А и е — сечения пучков функций и векторных полей Кричевера-Новикова соответственно, Л* и ех — соответствующие локальные объекты. Предложения 4.8 и 4.9 утверждают, что если А и е регулярны (см. стр. 31), то Ах и ех также регулярны.

Для дальнейшего необходимо придать смысл обозначению дхВ, где В — локальное сечение пучка операторов, действующих на сечениях свободного пучка V. Мы полагаем по определению дхВ = [Эх, Р], где в правой части дх — оператор дифференцирования сечений свободного пучка V, который в определении не нуждается.

В разделе 4.4 рассматриваются проективно плоская связность и обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова.

Для локального векторного поля X на мы вводим следую-

щий дифференциальный оператор первого порядка на сечениях свободного пучка V:

Чх = дх + Т(р(Х)), (35)

где дх = — дифференцирование сечений свободного

пучка V, Т — представление Сугавары, р{Х) — коцикл Кодаиры-Спенсера, соответствующий векторному полю X, причем, как и выше, р(Х) 6 Формула (35) является новой; обсуждается ее предысто-

рия. Ниже, переходя к фактор-оператору мы определим аналог связности Книжника-Замолодчикова на пространстве Основ-

ными результатами раздела, и главы в целом, являются следующие два предложения.

Предложение 4.10. \7х корректно определено на конформных блоках.

Ключевую роль в доказательстве играют формулы (34) и соотношение дхи(А) = и(дхА) (лемма 4.11).

Теорема 4.13. является проективно плоской связностью в расслоении конформных блоков, то есть Уу] = + Х -1(1, где А ее.

Доказательство использует формулу, полученную нами в [16]:

дХТ(е) = Т(дхе) + А •

где А = А(Х, е) € С (лемма 4.12).

Следующие уравнения горизонтальных сечений связности Ух мы рассматриваем как обобщение уравнений Книжника-Замолодчикова:

УхФ = 0, X € Я°(Й?, ТЛ^+1), (36)

где Ф — сечение пучка конформных блоков. Эти уравнения предложены в [16]. Для того, чтобы получить здесь конечное число уравнений, возьмем в качестве X образы базисных векторов подпространства £(о)> введенного в следствии 4.5 (см. стр. 31).

В разделе 4.5 выводится явный вид уравнений Книжника-Замолодчикова для рода 0 и рода 1. В частности, показано, что при з = 0 они имеют общепринятый вид

" И

где V £ С.

В пятой главе рассматриваются казимиры аффинных алгебр Кричевера-Новикова.

Описание операторов Казимира (казимиров, лапласианов) — один из центральных вопросов теории представлений алгебр Ли. Теория специальных функций, конструкции гамильтонианов и исследование свойств квантовых систем, обладающих симметриями, теория вполне интегрируемых систем — далеко не полный список их приложений. Во всех этих вопросах особый интерес представляют казимиры второго порядка. Ниже под словом "казимир" мы всегда имеем ввиду казимир второго порядка.

В самом общем виде казимиры алгебры Ли д могут быть охарактеризованы как операторы, которые коммутируют с операторами представления для всех (в некотором разумном смысле) представлений алгебры, и могут быть определенным и универсальным образом выражены через операторы представления. Казимиры принадлежат более широкому классу сплетающих операторов, который получится, если опустить второе требование (то есть сохранить только требование перестановочности). (Далее в тексте обсуждаются различия в постановке задачи о казимирах в конечномерном и бесконечномерном случаях).

Настоящая глава посвящена описанию казимиров второго порядка (и некоторых их обобщений) для аффинных алгебр Кричевера-Новикова. Мы ограничиваемся алгебрами Кричевера-Новикова, которые соответствуют алгебрам д = £1(1) и 0 = 01(О> представляющим простой и редуктивный случаи соответственно. В этих случаях для д мы используем более подробные обозначения: $1д<2 для первой из них, и д1д 2 для второй. Здесь д обозначает род римановой поверхности, а индекс 2 отвечает числу отмеченных точек.

В теории алгебр Каца-Муди известно два подхода к построению ка-

зимиров20. Первый связан с системами корней и перешел из теории полупростых алгебр Ли. Второй связан с конструкцией Сугавары. По причине отсутствия системы корней только он и переносится на алгебры Кричевера-Новикова. Сформулируем его сразу в этой ситуации.

В допустимом представлении алгебры каждый элемент е алгебры С действует, во-первых, в силу этого представления, а во-вторых — в силу представления Сугавары. Для полупростой алгебры g разность Де этих двух действий всегда перестановочна с действием д. Один из операторов Де совпадает с казимиром (мы не рассматриваем здесь вырожденный случай критического уровня, когда имеется бесконечное число казимиров). Возникает вопрос: как отобрать этот оператор, не привлекая систем корней? Для алгебр Каца-Муди ответ таков: казимир соответствует векторному полю нулевой степени, которое выделено еще и тем, что оно совпадает с оператором градуировки. Это соображение не работает в случае алгебр Кричевера-Новикова, поскольку там нет ни выделенных векторных полей, ни градуировки. Ниже мы связываем этот вопрос с некоторым коциклом у на Т>1. Оказывается, что только один элемент е 6 С задает казимир, а именно тот, для которого 7(е, А) = 0 при всех А £ А.

В заключение мы рассматриваем более слабые условия по сравнению с теми, которые определяют казимиры, а именно коммутирование не со всеми А € А, а только с элементами регулярной подалгебры в А (введенной на стр. 31). Операторы вида Де, обладающие этим свойством, мы называем полуказимирами. Мы даем описание полуказимиров и устанавливаем, что они индуцируют корректно определенные операторы на конформных блоках, причем имеется соответствие меж-

30Кац В.Г. Бесконечномерные алгебры Ли. Москва, "МИР 1993. Кас, V.G., Raina, А.К., Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras. Adv. Ser. in Math. Physics Vol.2, World Scientific , 1987.

ду касательными векторами к пространству модулей и этими операторами.

В разделе 5.1 дается описание казимиров второго порядка в терминах коциклов.

Мы строим казимиры второго порядка для g как операторы вида Де = е — Т(е), где е 6 С, е — оператор представления векторного поля е, а Т(е) — его оператор Сугавары. Слова "второго порядка"означают, что рассматриваемые операторы квадратично зависят от операторов представления алгебры Ли д.

Назовем проективный ©¿-модуль нормализованным, так же как и его коцикл, если этот коцикл, будучи ограничен над, становится кратным стандартному коциклу (17). Мы называем проективное представление алгебры Т>д допустимым если его ограничения на g и L допустимы.

Лемма 5.1. Для полупростой алгебры g и допустимого нормализованного проективного 1>^-модуля V имеем 1°. [е, г(Л)] = х(еА) для всех А е A, е G С. 2°. [Де, х(А)] = 0 для всех А 6 А. Рассмотрим на примере g = gl(i), что происходит в случае редуктив-ной алгебры.

Лемма 5.3. Пусть g = g1{1) и выполнены условия лелшы 5.1 относительно V. Тогда для произвольных е & С, х 6 Q, А € А

[Де, хА] = Х(х)у(е, А) о id,

где 7 — коцикл на D1, а Х(х) = I'^tix.

В дальнейшем мы предполагаем, что V является Р^^-модулем. Определение. Те из операторов Де, которые коммутируют со всеми операторами представления алгебры glg 2 в V называются казимирами (второго порядка) алгебры Ли g в представлении V (как для g = так и для g = sts>2).

Для g = si9i2 требование перестановочности Де с ßlg 2 означает, что Де корректно определен на s [^-подмодулях модуля V.

Следующая лемма дает описание казимиров в терминах коциклов. Лемма 5.5. Ае является казимиром для g в некотором представлении тогда, и только тогда, когда *у(е, А) = 0 для всех А 6 А, где 7 — коцикл на V1, соответствующий рассматриваемому представлению в силу леммы 5.3.

В разделе 5.2 рассматриваются казимиры в фермионных представлениях.

Теорема 2.5 (стр. 22) показывает, что фермионное представление является нормализованным допустимым проективным модулем над 2?1 и Dg. Следовательно для него справедливо описание казимиров в терминах коциклов на 231, данное в предыдущем разделе. Мы предлагаем следующую эффективную процедуру поиска тех векторных полей е € которые задают казимиры.

Разложим векторное поле е по базису: е = 5Zm>m,0 атет, где то G Z. По лемме 5.5 Д(е) является казимиром тогда, и только тогда, когда 7(j4jfc, е) = 0, для всех k € Z. Эти условия дают бесконечную систему линейных уравнений на коэффициенты ат:

ашу(А-к, ет) = 0, для всех к € Z, к ф 0. (38)

т>то

Мы показываем, что эта система имеет треугольную матрицу. Это дает возможность решить ее и получить следующую теорему единственности. Предварительно напомним, что действие подалгебры С СР, зависит от выбора связности V (стр. 25).

Теорема 5.8. Для любых фермионного представления и связности V в общем положении существует ровно один, с точностью до пропорциональности, казимир. Соответствующее векторное поле имеет простой ноль в Р+.

Условия общего положения формулируются в тексте диссертации.

В разделе 5.3 теорема единственности формулируется и доказывается в терминах аффинной связности.

Согласно классификации, приведенной на стр. 15, коцикл 7, сыгравший ключевую роль в предыдущем разделе, задается аффинной связностью Т. Здесь мы ставим задачу получить описание казимиров в терминах этой связности. Тем самым, здесь мы не ограничиваемся классом фермионных представлений.

Теорема 5.14. Для аффинной связности Т общего положения, такой, что Т{г) — 0(г~к), к > 0 в точке Р+, пространство казимиров второго порядка одномерно при к = 1 и нульмерно при к > 1. Случай к < 0 не встречается, так как такое условие не инвариантно относительно замены координат.

В ходе доказательства этой теоремы мы даем эффективную процедуру нахождения векторного поля в терминах коэффициентов ряда Лорана связности Т (как и выше, с помощью системы линейных уравнений), а также даем следующее описание казимиров в терминах квадратичных дифференциалов на римановой поверхности. Пусть Пт обозначает линейное пространство всех квадратичных дифференциалов вида А" + ТА' для данного Т и любого А £ Л. Введем, также, обозначение {• ,• ) для спаривания между векторными полями и квадратичными дифференциалами по Кричеверу-Новикову (5). Лемма 5.12. Де является казимиром тогда, и только тогда, когда (е, Г2) = 0 для каждого П б Пг-

В разделе 5.4 мы вводим и даем описание полуказимиров.

Из предыдущих разделов можно заключить, что перестановочность Де со всеми элементами алгебры А накладывает очень сильные ограничения на векторное поле е. Здесь мы рассмотрим более слабые условия.

Определение. Назовем оператор вида Де полуказимиром, если [Де, А] = 0 для любого А € Агея.

Здесь ,Дге9 — регулярная подалгебра, введенная на стр. 31 и действующая в силу вложения в > ее базисные элементы — Аь, к < —д.

Как и для казимиров, мы даем два описания полуказимиров: в терминах коцикла и в терминах задающей его аффинной связности. Суммируем полученные результаты в следующем утверждении: пространство полуказимиров находится в естественном взаимно однозначном соответствии с подпространством в С, порожденном базисными элементами е^ с к < д.

Обозначим это соответствие через Д.

В разделе 5.5 устанавливается связь между полуказимирами и пространствами модулей ^ •

Из определения следует, что полуказимиры коммутируют с действием элементов вида ХА, где А € АТез, А — скалярная матрица. По лемме 5.1 полуказимиры, также, коммутируют с элементами вида хА, где 1г г = 0, ат1 € Л произвольно. Из этого следует, что полуказимиры коммутируют со всеми элементами подалгебры дтез = д 0 Агея и следовательно корректно определены на пространстве ее коинвариантов, то есть конформных блоков (33).

Пусть — пространство модулей кривых рода д с двумя отме-

ченными точками Р±, фиксированной 1-струей локальной координаты в Р+ и фиксировал ной р-струей локальной координаты в Р-. Имеется каноническое отображение 7 : С 1—► Т^-М^ (см- (30)). Пусть 7_ обозначает ограничение отображения 7 на подпространство £_ (порожденное элементами е* с к < 0). Пусть V — фермионное представление алгебры С| = С| (V7) — пространство полуказимиров алгебры Ли д в пространстве V, а С| — пространство их фактор-операторов, действующих на коиивариаптах представления V.

Теорема 5.18. 1°. Для фермионных представлений V общего поло-оюеыия отображение Д: £_ ь-» С| сюръективно.

2°. Для всех положительных р, начиная с некоторого, корректно определено отображение

ДоЦ'-.ТъМ^ ^С*. (39)

Условия общего положения те же, что и в теореме 5.8 (стр. 38).

Основные результаты диссертации

Основные результаты диссертации относятся к теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, геометрии пространств модулей ри-мановых поверхностей и 2-мерной конформной теории поля.

В теории представлений:

• найдена конструкция фермионных представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова и алгебр типа Вирасоро;

• дано строгое обоснование конструкции Сугавары для алгебр Кричевера-Новикова;

• дано описание казимиров второго порядка аффинных алгебр Кри-чевера-Новикова;

• введено понятие полуказимиров и дано их описание.

В геометрии пространств модулей:

• дано описание касательного пространства в точке общего положения пространства модулей римановых поверхностей с произвольным числом отмеченных точек и фиксированными до некоторого порядка струями локальных координат в них в терминах базисов Кричевера-Новикова в алгебре Ли векторных полей;

• найдены формулы инфинитезимальных деформаций регулярных функций и векторных полей Кричевера-Новикова при деформации модулей, согласованные с теорией Кодаиры-Спенсера;

• найдены отображения касательных пространств к пространствам модулей в пространство операторов, индуцированных полуказимирами на конформных блоках; исследованы условия корректной определенности этих отображений.

В конформной теории поля:

• введены расслоения конформных блоков, отвечающие алгебрам Кричевера-Новикова;

• для указанных расслоений решена задача построения проективно плоской связности;

• дано обобщение уравнений Книжника-Замолодчикова на римано-вы поверхности положительного рода с несколькими отмеченными точками; найденные уравнения явно записаны в терминах базисов Кричевера-Новикова.

Публикации автора по теме диссертации

1. Шейнман O.K. Эллиптические аффинные алгебры Ли. Функциональный анализ и его приложения, 24 (1990), № 3, 51-61.

2. Шейнман O.K. Модули старшего веса над некоторыми квазигра-дуированными алгебрами Ли на эллиптических кривых. Функциональный анализ и его приложения, 26 (1992), № 3, 65-71.

3. Шейнман O.K. Аффинные алгебры Ли на римановых поверхностях. Функциональный анализ и его приложения, 27 (1993), № 4, 54-62.

4. Шейнман O.K. Модули со старшим весом для аффинных алгебр Ли на римановых поверхностях. Функциональный анализ и его приложения, 29 (1995), № 1, 56-71.

5. Sheinman O.K. Representations of Krichever-Novikov algebras. Topics in topology and mathematical physics, Novikov, S.P. (ed.), Amcr. Math. Soc., Providence, R.I., U.S.A., 1995, p.185-197.

6. Шейнман O.K. Фермионная модель представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова, Функциональный анализ и его приложения, 35 (2001), № 3, 60-72.

7. Шейнман O.K. Алгебры Кричевера-Новикова и уравнения автодуальности на римановых поверхностях. Успехи математических наук, 56 (2001), № 1, 185-186.

8. Sheinman O.K. Second order casimirs for the affine Krichever-Novikov algebras 0tff 2 and slg2- Moscow Math. Journ., 1 (2001), № 4, 605-628 (math.RT/0109001).

9. Шейнман O.K. Казимиры второго порядка аффинных алгебр Кричевера-Новикова glg 2 и sISi2. Фундаментальная математика сегодня (к десятилетию Независимого московского университета). Под ред. С.К.Ландо и О.К.Шейнмана. М., МЦНМО, 2003, стр. 372-404.

10. Шейнман O.K. Казимиры второго порядка для аффинных алгебр Кричевера-Новикова 2 usig^. Успехи математических наук, 56 (2001), № 5, 189-190.

11. Sheinman O.K. Krichever-Novikov algebras, their representations and applications. Geometry, Topology and Mathematical Physics. S.P.No-vikov's seminar 2002-2003. V.M.Buchstaber and I.M.Krichever eds. AMS translations, Ser. 2, v. 212 (2004), 297-316 (mathRT/0304020).

12. Sheinman O.K. Krichever-Novikov algebras and their representations. Contemporary Mathematics, 391 (2005), 313-321.

13. Шейнман O.K. Проективно-плоские связности на пространстве модулей римановых поверхностей и уравнения Книжника-Замо-лодчикова. Труды МИАН, Нелинейная динамика, 251 (2005), 307319.

14. Schlichenmaier М., Sheinman O.K. Sugawara construction and Casimir operators for Krichever-Novikov algebras. Journ. of Math. Science, 92 (1998), 3807-3834 (math. QA/9512016).

15. Шлихенмайер M., Шейнман O.K. Теория Весса-Зумино-Виттена-Новикова, уравнения Книжника-Замолодчикова и алгебры Криче-вера-Новикова. Успехи математических наук, 54 (1999), Л'а 1, 213250.

16. Шлихенмайер М., Шейнман O.K. Уравнения Книжника-Замолод-чикова для положительного рода и алгебры Кричевера-Новикова. Успехи математических наук, 59 (2004), № 4, 147-180.

ВВЕДЕНИЕ

0.1 Алюбры Кричевера-Новикова и их моею и чео-рии алгебр Ли, юомецлш и топологии иросчрансгв модулой, 'юории интегрируемых С'ИСЮМ и конформной кнанюной теории поля.

0.2 Постановка основных задач диесерищии

0.3 Основные результаты дисссрищии.

0.4 C'lрукiypa и содержание диссипации.

0.5 Апробация работы и публикации.

1 АЛГЕБРЫ КРИЧЕВЕРА-НОВИКОВА: ОСНОВНЫЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ.

1.1 Алюбры 'юкон, векторных полей и другие алюбры Кричевера-Новикова

1.2 Мероморфные формы веса А и двойственность Кричевера-Новикова.

1.3 Базисы Кричевера-Новикова.

1.4 Почти градуированная сфуктура, троутльные разложения

1.5 Центральные расширения и 2-когомологии. Алюбры типа Вирасоро.

1.6 Аффинные алгебры Кричевера-Новикова, в гюм числе алгебры Каца-Муди.

1.7 Цешральные расширения алгебры

1.8 Локальные коциклы для st(n) и g((n).3G

1.9 Коирисоединенное представление аффинной ал-юбры Кричевера-Новикова.

1.10 Коприеоодинонныо орбшы и проблема Римана

Гильберт.

2 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АФФИННЫХ АЛГЕБР КРИЧЕВЕРА

НОВИКОВА.

2.1 Описание голоморфных расслоений и терминах параметров Тюрина.

2.2 Бачисы Кричевера-Ноникова в сечениях голоморфных расслоений.

2.3 Бачисы в случае многих точек.

2.4 Консчрукция фермиоиных предетвлений.

2.5 Классы эквивалошносчи фермиоиных представлений .G

2.6 Модули Верма аффинных алi обр.

3 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР ТИПА ВИРАСОРО

3.1 Фермиониые представления.

3.2 Представление Су ['авары

3.3 Доказательство основных теорем о конструкции Сугавары.

4 ПРОЕКТИВНО ПЛОСКИЕ СВЯЗНОСТИ НА ПРОСТРАН

СТВЕ МОДУЛЕЙ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И УРАВНЕНИЯ КПИЖНИКА-ЗАМОЛОДЧИКОВА

4.1 Алгебры типа Вирасоро и пространства модулей римановых поверхносюй

4.2 Пучок конформных блоков и другие пучки на пространстве модулей

4.3 Дифференцирование обьектов Кричевера-Новикова по модулярным переменным

4.4 Проективно плоская свячноеть и обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова.

1.5 Явный вид уравнении Книжника-Знмолодчикова для родов 0 и 1.

5 КАЗИМИРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

5.1 Описание казимиров в юрою порядка.

5 2 Казимиры в фермионных преде твлениях.

5.3 Теоремаедииечвенноеiи вчерминах аффинной связ-ноеш.

5.4 Описание полуказимиров.

5.5 Полукачимиры и нросчранегва модулей

0.1 Алгебры Кричевера-Новикова и их место в теории алгебр Ли, геометрии и топологии пространств модулей, теории интегрируемых систем и конформной квантовой теории поля

Алгебры Кричевера-Новикова введены шпорами, имена коюрых они нося г, в 1987 юду, в связи с исследованиями в юории солит онов [2G, 27, 28]. Следует сразу уючнигь, чю под чтим названием и шестно два класса алюбр Ли: алгебры аффинного типа и ал1ебры типа Вираео-ро. Первые являкмея алюбрами токов, а вюрые — алгебрами векторных полей (точнее, в обоих случаях, их центральными расширениями) на римановой поверхносш с комплексной структурой и некоторыми дополни 1ельными данными. Эю хорошо и шестые в теории солит о-нов данные, включающие в себя отмеченные точки на римановой по-верхност и выбор (струй) локальных координат в окрестности этих точек. По н рос юте эти алгебры сюят вслед за аффинными алгебрами Каца-Муди и алiоброй Вирасоро соотвекмвенно. Среди других алгебр токов и векторных полой алгебры Кричевера-Новикова выде-ляюк'я важным свойством — почти градуированной структурой, которое слабее градуировки, но сильное фильтрации, и ведет к многим важным последствиям, в частости, позволяет рассматривать аналоги представлений старшего веса. Применительно к центральным расширениям почти градуированноеп> эквивалентна свойству локальности соопзек-твующих коциклов, которое в важнейших случаях определяет последние однозначно. Аффинные (не скрученные) алгебры Каца-Муди и алгебра Вирасоро содержатся в соопимспзующих классах алгебр Кричевера-Новикова, и с этой точки зрения соответствуют римановой сфере с двумя отмеченными точками.

Алюбры Кричевера-Новикова имеют многочисленные связи с фуи-дамешальными проблемами юомотрии, анали м и маюмашческой физики.

Будучи введены как алюбры рядов Фурье-Лорана на римановой поверхности, они являю юя частью гармонического анализа.

Теория предеlaHJieiniii алгебр Кричевера-Новикова тесно связана с 'Iсорной голоморфных расслоений на римановых новсрхносмях. В частности, голоморфные расслоения играют основную роль в парамефи-зации иродетвлоний основного изисчм 1101ч» в насюящее время (введенного авюром в [56]) класса фермиоппы г пред( тавл( пий.

Конарукция фермионных предотвлений домонсмрируог и другую важную связь с шпегрируомыми сисюмами: в конструкции существенно иепользуююя обьскты 'юории комму ттивных колен, разностных операторов, нос (роенной в [31, 32, 33].

Имсеюя фундамешальная связь, основанная на 'юории Кодаиры-Сиснссра, между алгебрами векчорных полей Кричсвсра-Новикова и пространствами модулой римановых поверхносюй с отмеченными точками. Эту связь можно сформулировать следующим образом [50]: касательное просграпепк) к пространству модулой римановых поверхносюй с произвольным числом отмеченных точек и произвольными порядками фиксированных струй локальных координат в них изоморфно прямой сумме некоюрых однородных подпросгранегв алюбры векторных полой Кричевера-Новикова. Эют факт находится в одном ряду с классическим описанием касательного пространства к пространству модулей замкну шх римановых поверхностей в терминах тензоров на римановой поверхности (дифференциалов Белы рами, квадратичных дифференциалов), восходящим к Тейхмюллеру, Альфорсу, Борсу. Ситуация с одной 01 моченной точкой впервые paccwoipona Концевпчем [22| с привлечением алгебры Вирасоро. Двухточечная сшуация раосмафивалась в [26, 14] уже средствами алгебр Кричевера-Новикова. Продвижение, свя занное с этими алп'брами, основано на гюм, чю оказываемся возможным указать базис касательного простражчва к пространству модулей в терминах базисов Кричевера-Новикова.

Свя зь между алгебрами Кричевера-Новикова и пространствами модулей римановых поверхностей лежит в основе приложений этих ал-ie6p в двумерной конформной кванювой теории поля (2D CFT) [49, 50]. Понимание двумерной конформной теории ноля как проективно плоской связности на проетраппве модулей римановых поверхностей, заданной тензором энергии-импульса, восходит к рабсме А.Полякова [35] и шчегливо сформулировано в рабсме Фридапа и Шенкера [10].

Среди двумершлх конформных теорий поля теории Века-Зцмипо-Новикова-Виттепа (WZNW) выдел я ioi си наличием дополнительных первичных нолей — токов, образующих преде твл ей ие аффинной алгебры Ли, и условием, что тензор энергии-импульса связан с ними конструкцией Сугавары. В теориях эюю класса существенную роль играют а-иериоды тока, которые физики называют нулевыми модами. Как подчеркивает в [2] один из основателей теории Д.Бериар, "нулевые моды несут в себе почти всю нетривиальную информацию, касающуюся модели WZW". Точнее, это означает, чю через нулевые моды операторов тока выражаюiси основные корреляционные функции, например, среднее тензора энергии-импульса. В связи со сказанным возникает важная проблема явного определения действия нулевых мод. Для решения этой проблемы Д.Бернар [2, 3] ввел дополнительные параметры — наборы групповых элемешов ("твисты"в физической терминологии), и определил нулевые моды как инфинитезимальные сдвиги по ним, что является дополнительным соглашением, не предусмотренным основами теории. Первый математически строгий подход к построению двумерных конформных теорий поля [GG| вообще игнорировал эгу проблему

Испсш/ювание аффинных алгебр Кричевера-Новикова в качесчве шпебры 'юков решает проблему нулевых мод, поскольку последние являюIсн коэффициентами разложения тока по базису Кричевера-Новикова, 'Ю ее lb фурье-модами в точном смысле слова. Если 'кж принимает значения в операторах представления аффинной ал1ебры Кричевера-Повикова, то эш моды естественно действуют в npocipan-стве предаавления без всяких дополниюльных соглашений.

0.2 Постановка основных задач диссертации

Основными задачами теории алгебр Ли являек'я описание структуры шпебры, ее инвариашов и предсчавлений.

Из определения аффинных алгебр Кричевера-Повикова непосред-счвенно вьпекают свойства почти градуированности и, как следствие, наличие треугольного разложения (аналог разложения Ивасаоы по-лупросгых алгебр Ли). Эю делает структуру аффинных шнебр Криче-вера-Новикова похожей па таковую для аффинных алгебр Каца-Муди. В отличие от них, в алгебрах Кричевера-Повикова кроме верхней и нижней треугольных подалгебр и каршювекой подалгебры имеется не являющееся подалгеброй дополнительное подпространство. Перечисленные факты эю все, что было известно о структуре алгебр Кричевера-Новикова к началу настоящего исследования. Они найдены для случая двух отмеченных точек Кричевером и Новиковым в [26], а для многих отмеченных точек Шлихенмайером в [43] и последующих работах. Об аналогах более глубоких факюв сфуктурной теории алгебр Каца-Муди, таких как наличие системы корней, корневого разложения и группы Вейля ничего не известно и в насюящее время.

Основным методом в теории представлений алгебр Каца-Муди являемся теория счаршего веса. Ее главный вывод — неприводимые предствлеиия ал i обры Каца-Муди находя юн по взаимно однозначном со-отвеппвии о чломечлами неотрицательною конуса двоГктвенного проем ране !ва к картновской подалгебре — старшими весами. Однако, картновская иодшпебра у аффинной алгебры Кричевера-Новикова точно такая же как у алгебры Каца-Муди (с той же конечномерной ajn оброй Ли). По-) I ому и пространство преде твлений счаршею веса, построенное по классической схеме, точно такое же. Однако, ясно, чю в отличие от алi обр Каца-Муди, представления аффинных алюбр Кричевера-Новикова должны зависеть от комплексной структуры на римановой поверхности. Нет никаких оснований счшать, чю зависимое п> от чтих дополнительных параметров должна принял» форму оаршего веса.

В связи с 41 им была поставлена задача о разработке новой конструкции представлении, в ко юрой сохранялся бы имеющий глубокие1 фичичеекие основы принцип порождения проем ранета представления старшим вектором, по веч- был бы заменен другим обьектом (зависящим от аналитической структуры поверхности).

Решение этой задачи привело к конструкции фермиоиных нред-счавлений. Представления чюго класса параметризуююя ("в существенном") юломорфными векторными расслоениями на римановой иоверхносчи. Эю приводит к выводу о том, что теория представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова далеко выходит ча рамки классической теории сшршего веса, и в ней весьма существенна роль ajn ебро-геомегричееких явлений.

Помимо нового ингредиент, которым являемся использование ю-ломорфных расслоений, в конструкции фермионного представления важную роль играет хорошо известное понятие иолубееконечных ко-еосиммефичеких форм, введенное Б.Л.Фейгиным и Д.Б.Фуксом в [7]. К началу настоящего исследования уже существовали пример!»! предчавлоний алiобр Кричевера-Новикова, посч роенные о использованием э 1 их обьок Iон [20, 27, 28, 43].

Один из центральных вопросов теории иродетвлоний алюбр Ли описание1 операторов Казимира (казимиров, лапласианов). Казимиры могут бып> охарактеризованы как эндоморфизмы представлений ал-юбры Ли, коюрыо определенным образом прояюя по самим опора-торам продсчавлония. Казимиры обьокт исключительной важносчи в теории и приложениях. Теория специальных функций, конечрукции гамильтонианов и исследование свойств квашовых сисюм, обладающих симмефиями, теория вполне1 интегрируемых систем — далеко не полный список их приложений. Наиболее важны казимиры второго порядка

Для конечномерных полуиросгых алгебр Ли описание казимиров основано, главным образом, на теореме И.М.Гольфанда о центре универсальной обертывающей алгебры [12]. Эюг подход не рабошог в бесконечномерном случае. Для алгебр Каца-Муди определение казимира второго порядка использует либо корневую структуру (как в [17]), либо наличие оператора градуировки (выделенного векторного поля zj^ на римановой сфере) — как в [18]. Для аффинных алюбр Кричевера-Новикова не известно ни корневой структуры (как отмечалось выше), ни какою бы то ни было выделенного векторного ноля, пи градуировки. Поэюму определение казимира второго порядка т робу от какого-то нового подхода. В наеюящем исследовании мы славим и решаем задачу полного описания казимиров второго порядка аффинных алгебр Кричевера-Новикова.

Перечисленные выше основные задачи теории преде явлений примени юльно к аффинным алгебрам Кричевера-Новикова впервые по-счавлоны, и в той или иной степени решены, в ходе насчоящего исследования.

Параллельно с разработкой теории представлений алгебр Кричевера-Новикова выяснялись ее возможные приложения.

13 теории представлений алгебр Каца-Муди имеется специфическое и очень интересное явление1, названное В.Кацем в [17| "одним из самых мощных инструментов конформной теории поля" конструкция Cyia-вары. 3ia конструкция позволяет при очень общих предположениях посчрошь по предешвлению аффинной hjiio6pi>i иредс1авление центральною расширения соответствующей шпебры векюрных нолей. Эю последнее называемся представлением Сугавары. Конструкция восходит к рабон4 Сугавар1>1 [64]. Общепринятое изложение для аффинных алгебр Каца-Муди дано в [18]. Основы обобщения конструкции на римановы поверхности положительного рода заложены в [27|. В 41 ой работе, впрочем, рассматривался случай алi обры токов со значениями в коммутативной (конечномерной) алгебре Ли (по-другому эю называемся алгеброй типа Гейзеиберта). Возникает1 естественная задача нагождеиия некоммутативного аналога конструкции [27J.

В настоящей рабою представлен совместный результат автора и М.Шлихенмайера обобщение конструкции Сугавары на случай токов на римановой поверхности с произвольным числом отмеченных точек и со значениями в произвольной конечномерной редуктивной алгебре Ли. Случай некоммутативных токов па римановых поверхностях с двумя отмеченными точками впервые рассмотрен в физической литературе [4[. В этой работе, в основном решающей задачу, имеююя значительные математические пробелы (анализ коюрых дан в разделе 3.2). Совместная работа автора и М.Шлихенмайера [48] для случая токов со значениями в полупростой алгебре Ли появилась независимо, но позднее. В ней использованы другие методы доказательства, позволившие уст рани I ь пробелы рабош [4[, а также рассмотрен случай римановых поверхностей с многими отмеченными точками. Несложное обобщение конструкции на редуктивный случай проделано автором |С1|.

Отметим особо, чю хорошо известно [18] использование конструкции Сугавары в описании казимиров вюрого порядка аффинных алгебр Каца-Муди. Мы также используем полученные нами результаты по конструкции Cyiавары на римановых поверхностях в упомянутом выше описании операторов Казимира.

Полученное нами обобщение конструкции Сугавары позволило ио-реГии к дальнейшим приложениям теории npt дспииш пик алгебр Кри-чев(ра-Новикова о конформной теории поля.

В основе приложений аффинных алюбр Ли в конформной теории поля лежит toi факт, чю дейепзие Весса-Зумино-Новикова инвариантно othochi ельно группы токов на римановой поверхности, и, следовательно, ею кванювание связано с представлениями алгебры токов, то есть алгебры Кричевера-Новикова. Ограничивая токи на римановой поверхности на малые контуры вокруг отмеченных точек, можно получи п> вложение алюбры Кричевера-Новикова в прямую сумму алгебр Каца-Муди, причем каждое представление второй задаст иред-сишление первой. Метрически был выбран именно эют путь [21, 66|, причем насчоящая алгебра симметрии была забыта. Возникает еею-ственная задача: построить двумерную конформную теорию поля г аффинной алгеброй Кричевера-Новикова в качестве алгебры токов. При этом увеличивайся число параметров, от которых зависит теория, и получает решение проблема нулевых мод, обсуждавшаяся выше (раздел 0.1).

Результат, полученные в направлении реализации эюй программы, предешвлены в главе 4 диссертации (см. также следующий раздел ). Эю нос 1 роение расслоения конформных блоков и проективно плоской связности на нем, нахождение4 аналога уравнений Книжника

Замолодчикона для положительного рода. В целом -ни результат получены и соавюрспзе с М.Шлихенмайером. Bee посчановки задач и результаты, евя занные с деформациями (при изменении модулей) фер-миопных представлений, преде твления Сугавары, регулярных функций и векторных нолей Кричевера-Новикова, имеющие принципиальное значение, а также окончательный вывод аналога уравнений Книжника-Замолодчикова для родов 0 и 1 принадлежат исключительно авюру.

0.3 Основные результаты диссертации

Основные результаты диссертции относятся к теории иредсчавлений бесконечномерных алгебр Ли, геометрии upocipaiiciB модулей римановых поверхностей и 2-мерной кон(1юрмной теории ноля. В теории представлений:

• найдена конарукция фермионных представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова и алгебр типа Вираеоро;

• дано строгое обоснование конпрукции Сугавары для алгебр Кричевера-Новикова;

• дано описание казимиров вюрого порядка аффинных алгебр Кри-чевера-Новикова;

• введено поня1ие полуказимиров и дано их описание.

В геометрии пространств модулей:

• дано описание касательно!о проем ранспза в ючке общею положения иросгране 1ва модулей римановых поверхности с произволь-ш>1м числом отмеченных точек и (фиксированными до некоторого порядка емруями локальных координат в них в терминах базисов Кричевера-Повикова в шиебре Ли векторных полей;

• найдены формулы инфиншезимальных деформации регулярных функций и векторных полей Кричевера-Новикова при деформации модулей, согласованные с теорией Кодаиры-Сненсера;

• найдены отображения касательных ирос i panci в к проем ране i вам модулей в проем рансгво операторов, индуцированных иолу казимирами на коне{)ормных блоках; исследованы условия корректной определенное^ '-них оюбражений.

В конформной теории поля:

• введены расслоения конформных блоков, отвечающие алгебрам Кричевера-Новикова;

• для указанных расслоечшй решена задача построения проективно плоской связности;

• дано обобщение уравнений Книжника-Замолодчикова на римано-вы поверхности положительного рода с несколькими отмеченными точками; найденные4 уравнения явно записаны в терминах базисов Кричевера-Новикова.

0.4 Структура и содержание диссертации

Диесерхация сосюит из введения и пяти глав. Нумерация всех утверждений и определений сквозная в пределах главы; каждый номер colt сiон 1' in двух часчей номер главы и номер утверждения (cooiношения).

В главе 1 вводяк-я основные определения, относящиеся к алгебрам Кричевера-Новикова, и даемся обзор их основных cbohcib. Введены алгебры 'юков, векторных нолей и дифференциальных операторов Кричевера-Новикова, пространства тензоров Кричевера-Новикова на римановых поверхностях. Определена двойственноеп> Кричевера-Но-викова между тензорами дополнительных весов (вален тносч ей). Ввс1-деШ)1 базисы Кричевера-Новикова и еоспвектвующая поч1и градуированная счруктура, играющие основную роль в дальнейшем и сложении. Дано описание цешральных расширений и 2-когомологий введенных алгебр. Даны определения обьектов, составляющих предмет настоящей работы — аффинной алгебры Кричевера-Новикова и алюбры тина Вирасоро.

Глава 2 главным образом посвящена конструкции фермионных представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова. Сначала, следуя [29, 32, 30, 33], мы даем описание голоморфных расслоений на римановых поверхностях в терминах параметров Тюрина и вводим базисы Кричевера-Новикова в сечениях голоморфных расслоений с полюсами в двух 01 меченных точках. Затем мы даем аналогичное описание базисов для случая многих отмеченных точек. Центральный результат главы нос 1 роение класса представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова, получивших название фермионных представлений. Мы даем описание классов эквивалентности этих представлений. В заключение мы даем более традиционную (но обладающую меньшей степенью общности для данного класса алюбр Ли) конструкцию модулей Верма в случае многих точек. Основные результаты главы опубликованы в [5G, 57, 58, 61].

Глава 3 посвящена представлениям алюбр типа Вирасоро. Развивая результаты предыдущей главы, мы рассматриваем фермионные пред-счавлеипя этих алюбр. Вслед за этим мы переходим к конструкции Сугавары, позволяющей по каждому допустимому ироде твлению аффинной ал i обры liociponi'b в том же пространстве представление алгебры типа Вираеоро. Значительную часть главы занимают подробные докачаюльства сделанных в ней утверждений, которые весьма обьем-ны. Основные резулыаты главы опубликованы в [48, 49, 50, 58, Glj.

В главе4 рассматриваются приложения алгебр Кричевера-Новикова к геомофии нросчрансчв модулей и уравнениям Книжника-Замолодчи-кова. Мы формулируем в терминах алiобр типа Вираеоро и базисов Кричевера-Новикова в них описание касательною просфашчва Ку-раниши к пространству модулей римановых поверхносюй с отмоченными точками и фиксированными до определенного порядка счру-ями локальных координат в этих точках. Польчуясч» чтим описанием, мы находим формулы для деформаций функций и векюрных полей Кричевера-Новикова при деформации модулей. Далее мы определяем конформные блоки, вводим обобщенную связность Книжника-Замолодчикова на них и доказываем проективную плоскостность этой связности (используя при 41 ом полученные выше результаты по деформациям). Мы определяем уравнения Книжиика-Замолодчикова для положительного рода как уравнения горичон тльных сечений чюй связности. В заключение главы мы показываем, что для рода 0 наш подход дает обычные уравнения Книжиика-Замолодчикова, и получаем явный вид чтих уравнений для рода 1. Основные результаты главы опубликованы в [49, 50].

В главе 5 мы вводим и описываем операторы Казимира второго порядка аффинных алгебр Кричевера-Новикова. Мы вводим, также, более общие операторы, названные нами полуказимирами, и усчаиав-ливаом их связь с касательными пространствами к пространствам модулей римаиовых поверхностей, рассмотренными выше. Основные результаты главы опубликованы в [58, 60, G1, 48].

0.5 Аиробация работы и публикации

Результаты диссертационной работы докладывались автором па

• международной конференции "Geometric (Quantization and Related Asymptotic Analysis", Нагоя, Япония, 16-19 ноября 2005 г. (приглашенный 60-минушый доклад);

• 24 Скандинавском и 1 Франко-Скандинавском математическом конгрессе, Рейкьявик, 6-9 января 2005 г. (доклады на секциях "Теория представлений и гармонический анализ" и "Пространства модулей");

• XXIV международной конференции "Geometric Methods in Physics", Беловежа, Польша, 26 июня - 2 июля 2005 г.;

• сателлитной конференции Европейского математического конгресса "Noncommutative geometry and representation theory in mathematical physics", Карлштадт, Швеция, 4-11 июля 2004 г.;

• международной конференции, посвященной ЮО-лепш со дня рождения А.Н.Колмогорова, Москва, июнь 2003 г.;

• международной конференции, посвященной Ю-jiei ию Независимого московского университета, Москва, ПМУ, 26-29 декабря 2001 г.;

• семинаре под руководством С.П.Новикова отдела 1еометрии и топологии Математическою института РАН им. В.А.Стеклова, 29 декабря 2004 г. и 12 января 2005 г.

• семинаре под руководством А.А.Славнова отдела теоретической физики Математического института РАН им. В.А.Стеклова, 2 и 9 февраля 2005 г.

• семинаре под руководством Э.Б.Винберга кафедры алгебры мечанико-матемашческого факульте!а МГУ им. М.В.Ломооеона;

• матемашческом семинаре Университета Люксембурга, 19 октября и 8 ноября 2004 г., 18 оюября 2005 года;

• общем семинаре по геометрии (Obeiseminar Geometric) и Иистшу-те Макса Планка, Лейпциг, Германия, 21 апреля 2005 г.

• заседании Сонеiа но нелинейной динамике Президиума РАН, декабрь 2003 I'.

• семинаре "Глобус" и других семинарах Независимого московскою универсикча;

• семинаре математического отдела Институт Науки Университета Исландии, Рейкьявик, сешябрь 2003 г.

Результат диссертции опубликованы авюром в 13 самоеiояiсильных и 3 совмесшых работх.

1. Aibarollo Е., Dp Concini С., Kac V.G., Pioeesi С. Moduli spaces of curves and representation theory. Comm.Math.Phys. 1 (117), 1988, 1-3G.

2. Bernard D. On the Wess-Zumino-Witteri models on the torus. Nucl. Phys. B303 (1988), 77-93.

3. Bernard D. On the Wess-Zumino-Witten models on Riemann surfaces. Nucl. Phys. B309 (1988), 145 174.

4. Bonora L., Rinaldi M., Rusbo J., Wn K. The Sugawara construction on genus g Riemann surfaces. Phys. Lett. B208 (1988), 440-446.

5. Enriquez В., Folder G. Solutions of the KZB equations in genus > 1. math.QA/9912198.

6. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Москва, Наука, 1979.

7. Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Кососимметрические инвариантные дифференциальные операторы на прямой и модули Верма над алгеброй Вирасоро . Функциональный анализ и его приложения, 16 (1982), № 2, 47-63.

8. Folder С., Wieczerkowski Ch. Conformal blocks on elliptic curves and the Knizhmk-Zamolodchikov-Bernard equation. Coinmim. Math. Phys. 176 (1996), 133-161.

9. Frenkel I. Orbital theory of the affine Lie algebras. Invent. Math. 77 (1984), № 2, 301 352.1()| Friedan D., Sheriker S. The analitic geometry of the two-dimensional conformal field theory. Nuclear Phys. B281 (1987), 509-545.

10. Guillemiii V., Stornboig S. The Gelfand-Cethn system and quantization of the complex flag manifolds. J.Fnne.Anal. 52 (1983), 10G-128.

11. Гельфанд И.М. Центр иифииите.тмальиого группового кольца. Матом, (б. 26 (1950), 103-112.

12. Goldman W.M. Invariant functions on Lie groups and Hamiltoman flows of surgacc group representations. Invent. Math. 85 (198G), 263302.

13. Harris Л., Morrison I. Moduli of Curves. Springer 1998, New York, Berlin, Heidelberg.16| Hitohin N. Flat connections and geometric quantization. Coinmun. Math. Phys. 131 (1990), 347-380.

14. Кап, В.Г. Бесконечномерные алгебры JIu. Москва, "МИР", 1993.

15. Као V.G., Raina А.К. Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras. Adv. Ser. in Math. Physios Vol.2, World Scientific , 1987.

16. Kac V.G., Peterson D.H. Spin and wedge representations of infinite-dimensional Lie algebras and groups. Proc. Natl. Acad. Soi. USA, 1981, 3308-331220j Кириллов А.А. Элементы теории представлений. Москва, "Наука", 1972, 336 о.

17. Knizhnik V.G., Zaiiiolodchikov А.В. Curicnt algebra and Wes.s-Ziimino model in two dimensions. Nncl. Phys. B247 (1984), 83-103.

18. Концсинч М.Л. Алгебра Вирасоро и пространство Тейхмюллсра. Функциональный анализ и ого приложения, 21 (1987), N° 2, 78-79.

19. Кричевер И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения. Успехи математических наук, 33 (1978), N° 4, 215-21G.

20. Kiichever I.M. Vector bundles and bar equations on algebraic curves. Hep-th/0108110.

21. Kriehcvor I.M. Isomonodromy equation on algebraic curves, canonical transformations and Witharn equations. Hep-th/0112096.

22. Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов, Функциональный анализ и ею приложения, 21 (1987), № 2, 46 63.

23. Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и струны в пространстве Минковского, Функциональный анализ и его приложения, 21 (1987), N2 4, 47-61.

24. Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебры типа Вирасоро, тензор энергии-импулыа и операторные разложения на римаиовых повертостях, Функциональный анализ и его приложения, 23 (1989), № 1, 24-40.

25. Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения над ри-мановыми поверхностями и уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП). I. Функциональный анализ и его приложения, 12 (1978), № 4, 41-52.

26. Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения и коммутирующие разностные операторы. Двухточечные конструкции, Успехи математических паук, 55 (2000), № 3, 181 182.

27. Кричевер И.М., Новиков С.П. Двумерная цепочка Тода, коммутирующие разностные операторы и голоморфные векторные расслоения. Успехи математических наук, 58 (2003), № 3, 51-88.

28. Kodaira К. Complex manifolds and deformation of complex structures. Springer-Verlag, 1985.

29. Polyakov A. Phys.Lett. 103B (1981), 207.

30. Прессли Э., Сегал Г. Группы шмель. Москва, "МИР", 1990, 456 с.

31. Ruffing A., Deck Th., Schlichenmaier М. String branchings on complex tori and algebraic representations of geneiahzed Krichever-Novikov algebras. Lett. Math. Phys. 26 (1992), 23-32.

32. Sadov V.A. Bases on multipunctured Riemann surfaces and interacting strings amplitudes. Comniun. Math. Phys. 136 (1991), 585-597.

33. Schlichenmaier M. Knchever-Novikov algebras for more than two points: e.rplidt generators. Letters in Mathematical Physics, 19 (1990), 327-336.

34. Schlichenmaier M. Caitial extensions and semi-infinite wedge representations of Krichcver-Novikov algebras for more than two points. Letteis in Mathematical Physics, 20 (1990), 33-46.

35. Schlichenmaier M. Verallgemeinerte Knchever Novikov Algebren und deren Darstellungen. Ph.D. thesis, Univeisitat Mannheim, 1990.

36. Schlichenmaier M. Degenerations of generalized Knchever-Novikov algebras on tori. Journal of Mathematical Physics, 34 (1993), 38093824.

37. Schlichenmaier M. Differential operator algebras on compact Riemann surfaces. Generalized Symmetries in Physics (Clausthal 1993, Germany) (H.-D. Doebner, V.K. Dobrev, and A.G. Ushveiidze, eds.), World Scientific, 1994, pp. 425-434.

38. Schlichenmaier M. Local cocycles and central extensions for multipoint algebras of Knchever-Novikov type. ,J. Reine und Angewandte Mathematik, 559 (2003), 53-94.

39. Schlichenmaier M. Higher genus affine algebras of Knchever-Novikov type. Moscow Math. J., 4 (2003), № 3,1395-1427 (math. QA/0210360).

40. Schlichenmaier M., Sheirmian O.K. Sugawara construction and Casimir operators for Krichever-Novikov algebras. Journ. of Math. Science 92 (1998), 3807-3834 (math.QA/9512016).

41. Шлихенмайер М., Шейнман O.K. Теория Вссса-Зумипо-Виттепа-Новикова, уравнения Книжника-Замолодчикова и алгебры Кричевера-Новикова. Успехи математических иаук, 54 (1999), N° 1, 213-250.

42. Шлихеимайер М., Шейимаи O.K. Уравнения Книжника-Замолодчикова для положительного рода и алгебры Кричевера-Новикова. Успехи математических наук, 59 (2004), № 4, 147-180.

43. Шейнман O.K. Эллиптические аффинные алгебры JIu. Функциональный анализ и его приложения, 24 (1990), N° 3, 51-61.

44. Шейнман O.K. Модули старшего веса над некоторыми ква,шгра-дуироваппыми алгебрами Ли на эллиптических кривых. Функциональный анализ и ею приложения, 26 (1992), JV2 3, 65-71.

45. Шейнман O.K. Аффинные алгебры Ли на римановых поверхностях. Функциональный анализ и его приложения, 27 (1993), № 4, 54 62.

46. Шейнман O.K. Модули со старшим весом для аффинных алгебр Ли па римановых поверхностях. Функциональный анализ и его приложения, 29 (1995), № 1, 56-71.

47. Sheirmian O.K. Representations of Krichever-Nomkov algebras. Topics in topology and mathematical physics, Novikov, S.P. (ed.), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., U.S.A., 1995, p.185-197.

48. Sheirmian O.K. Second ouhr (avium's for the affine KricheverS /SNovikov algebra,> glg2 and sMoscow Math.Journ., 1 (2001), № 4, 605-628 (rnath.RT/0109001).

49. Шсйимап O.K. Казимиры второго порядка аффиппыг алгебр Кричевера-Новикова gl(/2 us Фундаментальная математика се-Iодня (к десятилетию Независимою московского универсинма). Под ред. С.К.Ландо и О.К.Шейнмана. М., МЦНМО, 2003, пр. 372-404.

50. Шейнман O.K. Казимиры второго порядка для аффинных алгебр Кричевера-Новикова gtr/2 и si,h2- Успехи математических наук, 56 (2001), № 5, 189-190.

51. Шейнман O.K. Проективно-плоские связности на пространстве модулей римановыг поверхностей и уравнения Кпиэ1спика-Замолодчикова. Труды МИАН, Нелинейная динамика, 251 (2005), 307-319.

52. Sheinman O.K. Krichever-Novikov algebras and their representations. Contemporary Mathematics, 391 (2005), 313-321.

53. Sugawara H. A field theory of currents. Phys.Rev. 176 (1968), 20192025.

54. Тюрин A.H. Классификация векторных расслоений над алгебраической кривой произвольного рода . Изв. АН СССР, 29 (1965), 657-688.

55. Tbiichiya A., Ueno K., Yamada Y. Confoima I field fhtory on universal family of stable curves with gauge symmetries. Adv. Stud. Pure Math. 19 (1989), 459-566.

56. Ueno K. Intwduction to confoi mal field th(ory with gauge .symmetries. Geometry and Physics, Proceed. Aarhus conference 1995 (Andersen J.E. et. al, ed.), Marcel Dekker, 1997, pp. 603 745.