Дифференциально-геометрические задачи теории сигма-функций и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Математический институт им. В.А. Стеклова Российская Академия Наук

4857604 пРавах рукописи

УДК 514.7, 512.741, 517.583

Бунькова Елена Юрьевна

Дифференциально-геометрические задачи теории сигма-функций и приложения.

2 О ОПТ 2011

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2011

4857604

Работа выполнена в отделе геометрии и топологии Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Виктор Матвеевич Бухштабер

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сергей Миронович Натанзон

Ведущая организация:

Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится 3 ноября 2011 в 14 часов на заседании диссертационного совета Д002.022.03 в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, 8 (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

кандидат физико-математических наук, Сергей Олегович Горчинский

Д002.022.03 в МИАН

доктор физико-математических наук

Автореферат разослан 3 октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Н. П. Долбил

Актуальность темы.

Диссертация посвящена геометрическим и алгебро-топологическим при-жениям теории сигма-функций и теории формальных групп эллиптиче-4х кривых.

В 1974 году С.П. Новиков1 ввёл конечнозонные (алгебро-геометрические) эиодические и квазипериодические операторы Шредингера и конечно-шые (алгебро-геометрические) решения иерархии Кортевега-де Фриза.

A. Дубровиным и С. П. Новиковым2 показано, что пространство уникального расслоения гиперэллиптических якобианов унирационально, а эекция этого расслоения задаётся интегралами потоков КдФ. Это при-ю к созданию широкого направления исследований, включивших клас-теские задачи и совершенно новые задачи ряда направлений математики математической физики. Большое внимание было привлечено к теории огомерных абелевых функций благодаря тэта-функциональным форму-VI теории конечнозонного интегрирования3'4.

В эллиптическом случае (род 1) наряду с тэта-функциями большую роль эают сигма-функции Вейерштрасса. С 1995 года началось развитие тео-и многомерных сигма-функций5, которое опиралось на классические ре-штаты Г. Бейкера6. В работах В. М. Бухштабера, В. 3. Энольского и

B. Лейкина7'8'9 была построена теория сигма-функций (п, й)-кривых [учай (2,2д + 1) отвечает гиперэллиптическим кривым). Было показано, э дифференциальные соотношения между этими функциями непосред-

С. П. Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза. I, Функц. анализ и его л., т. 8, № 3, 1974, 54-66.

Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза и гурма-Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией, ДАН СССР, т. 219, № 3, 1974, 531-534.

A. Р. Итс, В. Б. Матвеев, Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные !ения уравнения Кортевега-де Фриса, ТМФ, т. 23, № 1, 1975, 51-68.

[1. М. Кричевер, Интегрирование нелинейных уравнении с помощью алгебро-геометрических ме-Ьв, Функц. анализ и его прил., т. 11, № 1, 1977, 15-31.

B. М. Бухштабер, В. 3. Энольский, Абелевы блоховские решения двумерного уравнения Шредингера, Н, т. 50, вып 1, 1995, 191-192.

fi. F. Baker, On the hyperelliptic sigma functions, Amer. Journ. Math., 20:301-384,1898. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin, Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, metry and Topology: On the Crossroad, V. M. Buchstaber, S. P. Novikov Editors, AMS Ti-ans., ser. 2, 79, 1997, 1-33.

V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin, Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and lications, Reviews in Mathematics and Math. Physics, I. M. Krichever, S. P. Novikov Editors, v. 10, ; 2, Gordon and Breach, London, 1997, 3-120.

В. M. Бухштабер, Д. В. Лейкин, Уравнения теплопроводности в неголономном репере, Функц. ЛИЗ и его прилож., т. 38, №2, 2004, 12-27.

\

ственно приводят к фундаментальным уравнениям математической фи* ки, включая иерархии Кортевега-де Фриза и Кадомцева-Петвиашвили, также, например, уравнение Буссипеска. Одним из ключевых результат этой общей теории явилось построение операторов, аннулирующих сигь функции9. Это привело к так называемым полиномиальным алгебрам . — обобщению классических алгебр Ли, роль структурных „констант" t торых играют полиномы от параметров кривых10. В гиперэллиптическ случае эти алгебры описаны весьма эффективно11.

В первых двух главах диссертации в рамках общей выдвинут С. П. Новиковым программы эффективизации алгебро-геометрическс метода решения уравнений математической физики описана диффер« циальная геометрия универсальных расслоений якобианов алгебрам1 ских кривых рода 1 и 2 над пространствами параметров этих кривь Б. А. Дубровин12 рассмотрел универсальное расслоение якобианов элл! тических кривых над пространством невырожденных решёток в С, опис его связность Фробениуса-Штикельбергера и доказал, что эта связпос является решением уравнения Шази. В первой главе диссертации пока но, что каждое решение уравнения Шази определяет решение уравнен теплопроводности в терминах сигма-функции, как функции на универса. ном накрытии универсального расслоения якобианов эллиптических kj вых над пространством параметров этих кривых.

Теория эллиптических функций нашла важные приложения в алгеб] ической топологии благодаря формальной группе комплексных коборд] мов13 (основы заложены С. П. Новиковым14). Важным явился результа-Д. Квиллена о том, что кольцевой гомоморфизм, классифицирующий ф( мальную группу в кобордизмах, является изоморфизмом. Таким образе

10В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, Полиномиальные алгебры Ли, Функц. анализ и его прилож., т. № 4, 2002, 18-34.

nB. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, Законы сложения на якобианах плоских алгебраических крив "Нелинейная динамика", Труды МИРАН им. Стеклова, т. 251, вып. 4, 2005, 54-126.

12В. Dubrovin, Geometry о/ 2D topological field theories, Integrable Systems and Quantum Grou (Montecatini Terme, 1993), Lecture Notes in Math. 1620, Springer, Berlín, 1996, 120-348

13B. M. Бухштабер, А. С. Мищенко, С. П. Новиков, Формальные группы и их роль в аппарс алгебраической топологии, УМН, 26:2, 1971, 131-154.

14С. П. Новиков, Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов, Изв.

СССР, сер. матем., 31:4 (1967), 855-951.

16Д. Квиллен, О формальных группах в теориях неориентированных и унитарных кобордизм Раздел 7 в книге "Кобордизмы и их приложения", Топологическая библиотека, том I, Москва-Ижев 2005.

а,ача построения А-целочисленных родов Хирцебруха, важная в класси-2кой проблеме делимости чисел Чженя комплексных многообразий, эк-валентна алгебро - теоретико числовой задаче построения формальных упп над кольцом А. Отметим, что задача классификации формальных упп над Ъ опирается на глубокие результаты теории чисел. Широкое имание к задаче об Л-целочисленных родах связано с теоремами типа ья-Зингера, описывающими индекс дифференциальных операторов на огообразиях как значения родов Хирцебруха на них. В диссертации исследована общая модель Вейерштрасса эллиптической ивой в униформизации Тейта и в явном виде описана соответствующая >рмальная группа. На основе этого результата решены задачи по пробле-целочисленности родов Хирцебруха и жёсткости эквивариантных родов [рцебруха.

Таким образом, тема диссертации относится к актуальным направлени-алгебраической топологии и её приложений.

Цель работы.

1. Исследовать дифференциальную геометрию универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых рода 1 и 2 над пространствами параметров этих кривых.

. Получить явный вид формальной группы, соответствующей общей модели Вейерштрасса эллиптической кривой в арифметической параметризации Тейта. Получить и исследовать дифференциальные уравнения на экспоненту этой формальной группы. Получить в качестве следствия 5-параметрическое семейство целочисленных родов Хирцебруха. Исследовать условия целочисленности известных родов Хирцебруха.

3. Ввести универсальную формальную группу, экспонента которой задаётся функцией Бейкера-Ахиезера. Получить в качестве следствия универсальную формальную группу, соответствующую роду Кричеве-ра. Исследовать кольцо её коэффициентов и связь с эллиптической формальной группой. Получить классификацию эллиптических родов Хирцебруха, являющихся родами Кричевера, и в качестве следствия получить новые эквивариантные эллиптические роды, жёсткие на многообразиях с 51-эквивариантной ^¿/-структурой.

Основные методы исследования.

В диссертации используются методы: дифференциальной геометрии расслоений, теории сигма-функций, род Хирцебруха и теории кобордизмов, теории формальных групп, диффер( циальных уравнений.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Решена задача о симметричных кометриках, согласованных со св5 ностыо Гаусса-Манина универсального расслоения эллиптических кривь Ответ дан в виде сходящихся рядов. Получена система дифференциальн] уравнений, связывающих параметры сигма- и тэта- функций рода 1 и Показано, что в роде 1 решение построенной системы задаётся решени уравнения Шази. В роде 2 построено решение этой системы в рациона; ном пределе.

2. Получен явный вид формальной группы и её экспоненты для обш модели Вейерштрасса эллиптической кривой в арифметической парам« ризации Тейта, и в качестве следствия построено 5-параметрическое сем( ство эллиптических родов Хирцебруха, принимающих целые значения любом стабильно-комплексном многообразии.

3. Построена формальная группа, экспонента которой задаётся род Кричевера и в качестве следствия описаны эквивариантные эллиптическ роды, жёсткие на многообразиях с 51-эквивариантной 5£/-структурой.

4. Введена и исследована деформированная функция Бейкера-Ахиезе} Получена теорема сложения для неё и деформированное уравнение Л а* решением которого она является.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация имеет теоретический характер. Её результаты могут бы использованы в алгебраической топологии, в том числе в торической тот логии, а также в теории абелевых функций и её приложениях, в развит алгебро-геометрического метода в теории интегрируемых систем.

Аппробация результатов.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах:

еометрия, топология и математическая физика»

д руководством С. П. Новикова и В. М. Бухштабера

гдел геометрии и топологии МИАН, мех-мат МГУ, 2007);

гебра и теория представлений,Lyonl, Institut Camille Jordan, Лион, 2010;

эметрия и динамика, Лион, 2010;

statut Fourier, Гренобль, 2010;

боратории геометрических методов математической физики имени Н. Боголюбова под руководством Б. А. Дубровина (мех-мат МГУ, 2011);

на международных конференциях:

Ъе higher-genus sigma function and applications», Эдинбург, 2010;

XIX Workshop on Geometric Methods in Physics», Беловежье, 2010;

Дифференциальные уравнения и смежные вопросы»

ени И. Г. Петровского, Москва, 2011;

leometry, Integrability and Quantization», Варна, 2011;

-XX Workshop on Geometric Methods in Physics», Беловежье, 2011;

[ни геометрии в Новосибирске», Новосибирск, 2011;

орическая топология и автоморфные функции», Хабаровск, 2011.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, три из которых соавторстве с научным руководителем. На защиту выносятся резуль-гы, в получении которых роль диссертанта была решающей. Список бликаций приведён в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений и списка тературы.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации и сформуг рованы её основные результаты.

Первые две главы диссертации посвящены дифференциальной геом( рии универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых рода и 2 над пространствами параметров этих кривых.

Сигма-функцию Вейерштрасса можно представить в виде ряда

где коэффициенты aij задаются рекурсией Вейерштрасса. В недавней щ ликации Y. Onishi16 было доказано, что a(z) является рядом Гурвица н кольцом Z[l][g2,g3]-

Раздел 1.2 посвящен задаче: исследовать классическую рекурсию В( ерштрасса и найти минимальное кольцо А, такое что а(г;д2,дз) являет рядом Гурвица над А.

Показано, что из рекурсии Вейерштрасса непосредственно следует, ч сигма-функция является рядом Гурвица над 2д3]. Таким образ«

доказано, что сигма-функция Вейерштрасса является рядом Гурвица н 2дз]. Более того, вычислено большое количество коэффициентов Oij показано, что они не только целые, но и обладают дополнительной де.г мостыо. На основании этого сформулирована гипотеза регулярности эт делимости: Положим

Ц Ji+j ~ где множитель sij Е Z взаимнопрост с 2 и 3.

Пусть a,ij — 2k3lSij, где множитель Sjj G Z взаимнопрост с 2 и 3. Гипотеза: к = I — 1\.

В разделе 1.3 доказана теорема, описывающая взаимосвязь сигма-тэта-функции. При этом используется классическое уравнение теплощ водности, решением которого является тэта-функция, и система урав] ний теплопроводности в пеголономном репере?, решением которой являет

1SY. Onishi, Universal elliptic functions, arXiv:1003.2927vl

гма-функция. В основе подхода лежит тот факт, что этим, при допол-[тельном условии квазипериодичности решений, однозначно характери-ются тэта- и сигма-функции. Параметры д2 и сигма-функции оказы-ются выражены в виде функций решения уравнения Шази.

юрема. Функция ip(z]t), связанная с а(г-,д2,дз) подстановкой

^z]t) = eh^2^%(z-g2(t),g3(t)), (1)

]овлетворяет уравнению теплопроводности

д , , 1 д2 , ,

огда и только тогда, когда функция h(t) удовлетворяет ивнению Шази

ti"(t) - 24h(t)h"(t) + 36(/i'(i))2 = О, имеют место формулы

g2(t) = 24(2h(t)2-h(t)), g3(t) = -4(h(t) - 12h(t)h(t) + 16h(i)3), r(t) = 3 h(t).

Положим

, „ д n д , „ д 1 о д

k = + , ¿2 = 633—- + -з2—.

о gi og3 dg2 3 dg3

>1ражепия для g2(t) и g3{t) в теореме соответствуют движению по инте-альным кривым поля 2h(t)lo + 12 в пространстве параметров (д2,дз). Свойства cr-функции позволяют изучать движение (g2{t),дз&)) вдоль дмногообразий в пространстве параметров, в том числе на дискрими-,нте.

Слоем универсального расслоения £\ —> С2 эллиптических кривых явля-ся кривая Vg с аффинной частью {(Л, ц) | /л2 = 4Л3 — д2\ — дз}. В разделе ) вычисляется связность Гаусса-Манина этого расслоения. Символы Кри-оффеля вдоль полей Iq и 12 равны

г°=G -0 'Гз=(s

Связность Гаусса-Манина расслоения £\ является плоской. Сформулируем основной результат раздела 1.3: Положим 2 = 2^, г12 = д\ - 27д23,

91'1 = /1Д(г), 51'2 = /!,(*), = /ад(г).

Теорема. 1) В области < 1 симметричные кометрики па С2, согл сованные со связностью Гаусса-Манина на £\, задаются абсолютно сх дящимися рядами

00 ОО 00

/м(*) = Е ^ = Е М*) = Е

п=0 п=0 п=0

где с1Д = 0, Сд 2 - свободный параметр, а с!^ задаются рекуррентпо:

1Д 18(2п - !)<& - 4'2 ^ 72(п-1)^ + 36^ С" 12(3п + 2) ' С" 72 п

с2'2 =

3(2п-1)4'!1 + 64'2

2(3п +1)

В области \г\ > 1 симметричные кометрики на С2, согласованна со связностью Гаусса-Манина на £\, задаются абсолютно сходящими рядами

ОО ОО ОО

*/1,1(г) = Е ¡М = Е = Е

71=0 71=0 71=0

г^е = 0, Ьц2 - свободный параметр, а задаются рекуррентно:

12(3п - - 72(п - 1)^ + 36Ь& -

18(2п +1) ' п 72 п

2(3п - 1)6^ + 6#2 3(2п +1)

Во второй главе представлены результаты о дифференциальной гео-грии универсального расслоения ¿i -Л С4 якобианов алгебраических ивых рода 2. Слоем этого расслоения над точкой (A4, Ае, As, Аю) 6 С4 аяется якобиан кривой V с аффинной частью

{(х, у):у2 = х5 + А4х3 + А6х2 + А8а: + Аю}.

Обозначим через А ■ В тензорное произведение матриц, ложим Уд = ¿ ¿ ¿)\ V, = ¿)T.

Целая функция cr(z, А) однозначно определяется системой уравнений шопроводности в неголономном репере? и начальным условием 8,0) = z3-\z\.

орема. Пусть функция (р(z; i) связана с а(z, А) подстановкой

p3p(z;t) = e*TGi~ra{z,\), где z = Az, (2)

удовлетворяет системе уравнений

V^(z;í) = ^VzVj^(z;í). (3) гда имеет место система уравнений на A¿ и (2 х 2)-матрицы А и G:

Vt\j = ÁyMjA + Í-\jG, (4)

(Vt • А) = (12 • А)К( 12 • G) - i (G • FA) + (А ■ l2)TS(yl ■ А), (5)

(Vt ■ G) = (12 ■ G)K{ 12 . G) +1 (A • A)rP(A ■ A), (6) формула

\7tr = -~G- ATDA + 2 ATBA,

те

: (2 x 2) матрицы F, D, B, Mj и (4x4) матрицы К, P, S явно описаны диссертации.

[едствие. Существование функций Ai¿(t), Gij(t), rit), Xi{t) таких, io при ip(z;í) = #[e](z; 2тгй) подстановка (2) превращается в тожде-во, эквивалентно существованию решения системы (А) - (Q).

В разделе 2.2 диссертации найдены явные формулы для матриц из тео мы, исследованы частные случаи. В разделе 2.3 полностью описан слут рационального предела систем из теоремы, а именно, предъявлена фу] ция такая что

В разделе 2.4 описана дифференциально-геометрическая структура у] версального расслоения £2 —> С4.

Связность Гаусса -Малина универсального расслоения гиперэллипти ских кривых рода 2 в явном виде построена в работе В. М. Бухштабера Д. В. Лейкина17. Коэффициенты связности Гаусса-Манина соответству выбору образующих полиномиальной алгебры Ли £д на базе расслоения, диссертации исследован вопрос о том, можно ли получить полиномиальн алгебру Ли со специальными свойствами, если отказаться от условия а метричности матрицы действия этих полей на кольце А — С[А4, Ае, Лв, А]

Теорема. В £д существует базис Ь = (Ьо,Ь2,Ьа,Ьъ)т , degZ,jt = к, коммутационными соотношениями |Хо, = кЬк, к = 2,4,6, и

[Ь2, ¿4] = ~7 АдХг + 21/6, [¿2, ¿б] = ™ ^6^2 — Т А4^4, 4 АО О

3 11

[1/4, £б] = А81/2 — д Л6Ь4 + — Х^Ь^.

Следствие. Операторы Ьг, порождают подалгебру в £д

коммутационными соотношениями над кольцом Л = С[А4, Аб,Аа].

Лемма. Не существует градуированной полиномиальной алгебры Ли 1 с образующими Ь2, Ьв над кольцом А и коммутационными соот\ шениями (7).

Третья глава посвящена приложению теории сигма-функций к зад; построения формальной группы, которую мы называли общей эллипп ческой формальной группой. Она соответствует геометрической группог структуре на эллиптической кривой У^ в общей модели Вейерштрасса униформизации Тейта, заданной уравнением

в = и3 + 11\и8 + + /Хз52 + /Х4 иэ2 + /¿б-®3,

17В. М. Вухштабер, Д. В. Лейкин, Решение задачи дифференцирования абелевых функций по т метрам для семейств (п, в)-кривых, Функц. Анализ и его прилож., т. 42, вып. 4, 2008, 24-36.

зависит от пяти параметров ц =

Термин „эллиптическая формальная группа" в научной литературе ра-^ был связан только с эллиптическим родом Виттена-Ошанина18. Назва-з было обусловлено тем, что этот род задаётся эллиптическим синусом. Была поставлена задача исследования формальных групп, экспоненты горых являются эллиптическими функциями. Эта задача была стиму-рованна классическими результатами 1960-х годов о том, что в общей дели Вейерштрасса в униформизации Тейта коэффициенты закона сло-ния формальной группы лежат в кольце полиномов с целочисленными эффициентами от параметров кривой, а также тем, что каждая фор-льная группа над кольцом А задаёт Л-целочисленный род Хирцебруха. В третьей главе диссертации решены следующие задачи: Построить закон сложения над кольцом Е = А'е]

рмальной группы, соответствующей геометрической групповой струк-эе на эллиптической кривой Уц.

Описать класс эллиптических функций, являющихся экспонентами так формальных групп.

орема. Закон сложения общей эллиптической формальной группы хеш вид

~Е1\

(и, v) = lu + v — uv

(¿¿î + Мз m + ЩЬ + 2/Хб Ът)\

(1-№ь-//6ь2) )х

(1 + тщт + ¡ii m2 + ¡j,q m3)

(1 + pL2Tl + /¿4П2 + [1бП3)(1 - ji3b - fi6b2) '

: (и, s (и)) 6 и

s(u) — s(v) us(v) — vs(u) (1 + ¡12 m + /i4 m2 + ¡i^rr?) =-, b =-, n - m+uv-T---r^r-.

и — V U — V (1— /Л36 ~ /¿60 J

[едствие. v) € 2?[[u, u]].

[едствие. Формальная группа Fei{u,v) определяет 5-параметрический целочисленный род Хирцебруха, который мы будем называть общим гиптическим родом Lei-

3. Ochanine, Sur les genres multiplicatifs définis par des intégrales elliptiques, Topology, 20, 2, 1987, -151

Описание класса эллиптических функций, задающих экспоненты обн: эллиптической формальной группы, дано в следующих теоремах: Положим

С2 = /^ + 4//2, С4 = цщз + 2/Х4, сб = рз + 4//6, 9г(м) = Б ^ ~~ 2с4' 5з(м) = \ С2С4 - с2)3 - с6.

Теорема. Экспонента эллиптической формальной группы Fei(u,v) зас ется формулой

fEl{t) = -2 +

p'(i) - /Xip(t) + ¿/Л (4/22 + II 1) - A*3 '

где p(t) = p(t-,g2(ti),g3(ß))-

Следствие. Экспонента fEi(t) при A(ß) Ф 0 является абелевой функць порядка 3, когда ¡iq ^ 0, и порядка 2, когда = 0.

Отметим, что все экспоненты вида fEi{t), соответствующие известш ранее родам, относятся к случаю цъ = 0 и имеют порядок 2. положим Р(и) = 1 — fl\U — ß2и2 и Q[u) = цз +

Теорема. Пусть {цъ, Р-а, Ръ) ф (0,0,0). Тогда fEi{t) является решени уравнения

Мб[/'3 + зPU)f - 4PUf + 18P(f)Q(f)f3 + 2W6]

= -Q(/)2[/,2-P(/)2 + 4Q(/)/3]. ( Пусть (¿¿з, /is) — (0,0,0). Тогда fEi(f) является решением уравнени.

№' = P(f(t)). О

Экспонента fEi(t) является единственным решением (9) или (10) с i чальными условиями /(0) = 0, /'(0) = 1.

Также частными случаями общего эллиптического рода Lei являют двупараметрический род Тодда, L-род и род Ошанина-Виттена.

Четвёртая глава посвящена определению общей формальной груп Кричевера и исследованию структуры кольца её коэффициентов.

И. М. Кричевер19 ввел род Хирцебруха Ь/, где

Ф + С(т)*), (П)

¡ываемый теперь родом Кричевера, и доказал, что этот род обладает ндаментальным свойством жесткости на многообразиях ^-эквивариантной 51/-структурой.

Проблема целочисленности рода Кричевера ранее даже не ставилась, ложенный в четвёртой главе подход позволил поставить эту задачу и 1учить результаты о кольце коэффициентов этой формальной группы, акже решить задачу построения й[д]-целочисленных родов Кричевера. Пусть В = Ъ[хк : /с = 1,2,...]. Рассмотрим ряд

; кольцом В, где Ь(и) = 1 + Ьх = хь ^ = Хгг и Ь2г+1 = %Х21+1-

да Р(и) = Рк+2Пк, где (32к = кх2к и /32к+х = (2/с + 1)х2к+1-[ределение. Универсальной формальной группой Кричевера у)

(ем называть формальную группу, задаваемую образом ряда (12) над 1ьцом Дк> = В/Зкг; где Зкт — идеал ассоциативности.

орема. Ряд — экспонента формальной группы Кричевера.

В разделе 4.3 исследовано градуированное кольцо ЛкТ = 2п>о -^к^ »ффициептов формальной группы Кричевера.

¡едствие. Группа = пе им?ет кручения,

группе появляется элемент порядка 2.

Основные результаты раздела 4.4:

орема. Для того чтобы эллиптическая формальная группа Ре1(п,у) гялась формальной группой Кричевера РкТ(и,ь), необходимо выполие-2 следующих условий:

¿3 - /Л1/М = о, 2(^1 + Зце) = 0, //1(/лз + 3/Хб) = о, + Ай) = О-

I. М. Кричевер, Обобщенные эллиптические роды и функции Бейкера-Ахиезера, Матем. заметки, >, 1990, 34-45

Р{и, г>) = иЬ(г>) + г>Ь(и) — Ь'(0)иь +

Ъ{и)Р(и)-Ь(уЩу) иЬ{ь) — уЬ(и)

(12)

Теорема. Пусть А — кольцо без делителей нуля. Эллиптическая ф мальная группа РЕ1{и, и) над А является формальной группой Кричеву Ркг{и, и) тогда и только тогда, когда

№№ - Р1//4 = 0, ¡4 + 3/х6 = 0, щ¡4 + /х3/х4 = 0.

Следствие. Экспоненты эллиптических формальных групп над кольи А из теоремы задают А-целочисленные роды Хирцебруха, оюёсткие многообразиях с 51 -эквивариантной 577-структурой.

В разделе 4.4 описаны законы сложения формальных групп, удовлет ряющих условию следствия.

Пятая глава посвящена построению деформированной функции Бейкера-Ахиезера и описанию её аналитических свойств.

Задачи пятой главы мотивированы тем, что при /¿6 = 0 экспонег эллиптической формальной группы связана с функцией Бейке]

Ахиезера Ф(£) (см. (11)) соотношением

1 /XI = Ф'(р

Ы*) 2 Ф(г) •

Деформированная функция Бейкера-Ахиезера введена как обобщение э го соотношения на случай Ф 0 — её логарифмическая производная за, ёт логарифмическую производную экспоненты общей эллиптической ф< мальной группы.

Пусть — экспонента общей эллиптической формальной груп

ГЕ1(и,у). Тогда

1 ли \ 1 + Р» , К

= ф{Ь\ V, V), /¿) = -- . + — , .

Ы*) ' 2 Р(г)-ф) 2

где р{£) = р'Н = рМ = + ¡А)-

Деформированной функцией Бейкера-Ахиезера Ф(£; и, ъи, /х) называет решение уравнения

которое в окрестности точки t = 0 имеет вид = 1/£

(регулярная функция).

орема. Функции Ф(£;±г>,го) при ßi = 0 являются решениями с на-гьным условием = j + (t) деформированного уравнения Ламе

V(t) - UV(t) = p{v)^(t)

ллиптическим потенциалом

U = 2p{t) -

p'iv)2 - pW

4 Ш-р(у)Г

:мма. Деформированная функция Бейкера-Ахиезера задается форму-

VI , гг \\Л л Р'(ш)

Ь) - a{t)a{v) СХР W 2 ' V ~ p'iv) '

Обратим внимание, что эта функция при а ^ ±1 имеет две точки ветв-шя t = ±v, то есть не является мероморфной.

1 1 1

p(t) p{q) p{v) ■

p'(t) p'(q) p'(v)

орема. Функция однозначно, с точностью до множителя еАг, эеделяется законом сложения

ад ф(д)

V{t, q, vY^^Vit, q^-v)^!2

Положим V{t, q, v) =

Ф (t + q) =

nt) Щд)

X

1 начальном условии = 1 /¿4- (регулярная функция) в окрестности ■ 0.

В приложении 1 собраны результаты, показывающие связь результа-! диссертации с уравнениями математической физики. В разделе 6.1 описано общее решение в форме бегущей волны для урав-шя

/ = _/"' _ 65//' - бе/2/', ;тными случаями которого являются уравнение Кортевега-де Фриза и инфицированное уравнение Кортевега-де Фриза. Задача нахождения рений в виде бегущей волны /(¿,х) = ф(г-АсЬ) сводится к решению урав-

1ИЯ

4 сф' = ф'" + 6 8фф' + 6 еф2ф'. (13)

Вид уравнения (13) сохраняется при преобразованиях

<t>(z)->^z) = \(t>(az + d) + ß, (:

er

где а ф 0, ß и d — свободные параметры.

Используя это преобразование, для нахождения общего решения урав ния (13) можно, без ограничения общности, рассмотреть случай решег ф(г), регулярных в точке z = 0. Каждое такое решение однозначно опре, ляется начальными данными ^(0) = го, ф'(0) = х\, ф"{0) = Х2■ Необходи рассмотреть два случая. Пусть х\ ф 0, тогда за счёт выбора параметр преобразования (14) можно считать, что xq = 0, х\ — 1. Пусть х\ = 0 решение не нулевое, тогда можно считать, что хо = 0, х\ = 0, х2 = 1.

Используя униформизацию Тейта (8) и результаты раздела 3.4, получЕ ответы в обоих случаях:

Лемма. Общим решением уравнения (\2>) с начальными условиями ф(0) = 0, ф'(0) = 1, <¿"(0) = х, является экспонента эллиптичен формальной группы с параметрами = —х,

¡12 = \х2 — 2с, цз = —\х3 + сх + /¿4 = yjjX4 — |сх2 + с2 + /л6 =

Лемма. Общим решением уравнения (13) с начальными условиями ф(0) = 0, ^'(0) = 0, ф"(0) = 1, является

^=т^Тс

где p(z) = p{z]g2,g3), дг = |с2 + 5, g3 = - §<$е + \е.

В разделе 6.2 результаты раздела 1.3 использованы для полу ния решений уравнения Бюргерса на основе известного преобразовах Коула-Хопфа:

Теорема. Функция

u{z, t) = М = _2h{t)z - C(z; g2(t), g3(t))

является решением уравнения Бюргерса, где д2, д3, г задаются как фу\ ции решения h(t) уравнения Шази (см. Теорему на страиице 7).

В приложении 2 собраны результаты вычислительных экспериментов зэффициентами описанного в главе 1 ряда Гурвица для сигма-функции [ерштрасса.

Благодарности.

тьзуясь случаем,

эажаю глубокую благодарность своему научному руководителю ну-корреспонденту РАН Виктору Матвеевичу Бухштаберу многолетнее сотрудничество, поддержку, тановки задач и их обсуждение.

Публикации автора по теме диссертации Е. Ю. Бунькова,

Дифференциально-геометрическая структура универсального расслоения эллиптических кривых, УМН, 66:4(400), 2011, стр. 185-186.

В. М. Бухштабер, Е. Ю. Бунькова,

Формальные группы Кричевера,

Функц. анализ и его прил., 45:2, 2011, стр. 23-44.

Е. Ю. Бунькова,

Теорема сложения для деформированной функции Бейкера-Ахиезера, УМН, 65:6(396), 2010, стр. 183-184.

V. М. Buchstaber and Е. Yu. Bunkova,

Addition Theorems, Formal Group Laws and Integrable Systems, XXIX Workshop on Gcometric Methods in Physics, AIP Conference Proceedings 1307, 2010, стр. 33-43.

E. Ю. Бунькова, В. M. Бухштабер, Уравнения теплопроводности и семейства двумерных сигма-фупщий,

Геометрия, топология и математическая физика. II, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 266, МАИК, М., 2009, стр. 5-32.

Введение. Постановка задач и основные результаты.

Глава 1. Задачи теории сигма-функций на универсальном расслоении якобианов кривых рода 1.

1.1 Функции Вейерштрасса.

1.2 Рекурсия Вейерштрасса для сигма-функции.

1.3 Уравнение Шази и эллиптическая сигма-функция.

1.4 Связность Гаусса-Манина.ЗГ

1.5 Дифференциально-геометрическая структура универсального расслоения эллиптических кривых.33*

Глава 2. Задачи теории сигма-функций на универсальном расслоении якобианов кривых рода 2. 38,

2.1 Определения.38'

2.2 Решение системы уравнений теплопроводности в терминах сигма-функции.

2.3 Рациональный предел.

2.4 Дифференциально-геометрическая структура универсального расслоения гиперэллиптических кривых рода 2.

Глава 3. Формальные группы и роды Хирцебруха.

Общая эллиптическая формальная группа.

3.1 Формальные группы.

3.2 Роды Хирцебруха.

3.3 Эллиптическая формальная группа.

3.4 Дифференциальные уравнения на экспоненты эллиптических формальных групп.

Глава 4. Формальные группы и роды Хирцебруха.

Формальная группа Кричевера.

4.1 Род Кричевера.

4.2 Формальная группа Кричевера.

4.3 Кольцо коэффициентов универсальной формальной группы Кричевера.

4.4 Эллиптические формальные группы Кричевера.

Глава 5. Деформированная функция Бейкера-Ахиезера.

5.1 Конструкция.

5.2 Теорема сложения.

5.3 Дифференциальные уравнения. Деформированное уравнение Ламе.

Диссертационная работа посвящена геометрическим и алгебро-топологическим приложениям теории сигма-функций и теории формальных групп эллиптических кривых.

В 1974 году С. П. Новиков в [33] ввёл конечнозонные (алгебро-геометрические) периодические и квазипериодические операторы Шредингера и конечнозонные (алгебро-геометрические) решения иерархии Кортевега-де Фриза. Б. А. Дубровиным и С. П. Новиковым в [19] показано,-, что пространство универсального расслоения гиперэллиптических якобианов унирационально, а проекция этого расслоения задаётся интегралами потоков иерархии Кортевега-де Фриза. Это привело к созданию широкого направления исследований, включивших классические задачи и совершенно новые задачи ряда областей математики и математической физики. Большое внимание было привлечено к теории многомерных абелевых функций благодаря тэта-функциональным формулам теории конечнозонного интегрирования (см. [20], [21], [22], [25]).

В эллиптическом случае (род 1) наряду с тэта-функциями большую роль играют сигма-функции Вейерштрасса. Начиная с 1995 года началось развитие теории многомерных сигма-функций (см. [10]), которое опиралось на классические результаты Г. Бейкера (см. [38]). Важнейшее свойство сигма-функций рода д ^ 1, отличающее их от тэта-функций, заключается в том, что они являются целыми функциями от г = (г^,., гд), у которых коэффициенты при мономах в разложении в ряд по ъ представляют собой полиномы от параметров соответствующих семейств алгебраических кривых. В работах В. М. Бухштабера, В. 3. Энольского и Д. В. Лейкина [39] и [40] была построена теория гиперэллиптических сигма-функций. Одним из центральных результатов этой теории явилось описание алгебраических образующих и алгебраических соотношений в поле мероморфных функций на гиперэллиптических якобианах в терминах гиперэллиптических аналогов функций Вейерштрасса. Было показано, что дифференциальные соотношения между этими функциями непосредственно приводят к фундаментальным уравнениям математической физики, включая иерархии Кортевега-де Фриза и Кадомцева-Петвиашвили.

В дальнейшем этими авторами была развита теория сигма-функций (п, з)-кривых рода |(п — 1)(з — 1). Гиперэллиптический случай рода д соответствует (2,2д + 1)-кривым. Одним из ключевых результатов этой общей теории явилось построение операторов, аннулирующих сигма-функции (см. [15]). Это привело к так называемым полиномиальным алгебрам Ли — обобщению классических алгебр Ли, роль структурных „констант" которых играют полиномы от параметров кривых (см. [13]). В гиперэллиптическом случае эти алгебры описаны весьма эффективно (см. [16]).

В первых двух главах в рамках выдвинутой С. П. Новиковым общей программы эффективизации алгебро-геометрического метода решения уравнений математической физики описана дифференциальная геометрия универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых рода, 1 и 2 над пространствами параметров этих кривых. Получены дифференциальные уравнения, задающие метрики, с которыми согласована связность Гаусса-Манина. Построение опирается на- алгебру Ли операторов, аннулирующих соответ- -ствующую сигма-функцию. В случае рода 1 предъявлено решение такого уравнения в виде рядов и явно указаны области их сходимости.

Б. А. Дубровин в [43] рассмотрел универсальное расслоение якобианов эллиптических кривых над пространством невырожденных решёток в С, описал его связность Фробениуса-Штикельбергера и доказал, что коэффициент этой связности является решением уравнения Шази. В первой главе показано, что каждое решение уравнения Шази задаёт решение уравнения теплопроводности в терминах сигма-функции, заданной на универсальном накрытии универсального расслоения якобианов эллиптических кривых над пространством параметров этих кривых.

Теория эллиптических функций нашла важные приложения в алгебраической топологии благодаря формальной группе комплексных кобордизмов (см. [8], [31]). Третья глава диссертации посвящена развитию этих приложений. Её центральным результатом является построение в явном виде общей эллиптической формальной группы.

Теория формальных групп играет важную роль во многих направлениях современной математики. В работах [23], [29], [51], [52] можно найти фундаментальные результаты о геометрической структуре эллиптических кривых, приводящие к замечательным формальным групповым законам.

Формальная группа в комплексных кобордизмах была открыта С. П. Новиковым и А. С. Мищенко. С. П. Новиковым в [31] были заложены основы метода формальных групп в комплексных кобордизмах. Важным шагом в развитии этого метода явился результат Д. Квиллена (см. [50]) о том, что кольцевой гомоморфизм Л —> классифицирующий формальную группу геометрических кобордизмов (см. (3.3)), является изоморфизмом. Таким образом, задача построения А-целочисленных родов Хирцебруха, важная в классической проблеме делимости чисел Чженя комплексных многообразий, эквивалентна алгебро - теоретико числовой задаче построения формальных групп над кольцом А. Отметим, что задача классификации формальных групп над Ъ опирается на глубокие результаты" теории чисел.

Широкое внимание к задаче об А-целочисленных родах связано с теоремами типа Атья-Зингера, описывающими индекс дифференциальных операторов на многообразиях как значения родов Хирцебруха на них (см. [34]). В третьей главе рассматривается общая модель Вейерштрасса эллиптической кривойс параметрами ¡1 = (/¿1, /Х2, /¿45 ¿¿б)- На основе арифметической униформизации Тейта этой кривой в явном виде описана формальная группа над кольцом названная общей эллиптической формальной группой. На основе этого результата построены X[/¿]-целочисленные роды Хирцебруха, введено понятие общего эллиптического рода. Подчеркнём, что широко известные роды Хирцебруха, такие как род Тодда, Ь-род (сигнатура), эллиптический род Виттена-Ошанина, относятся* к частному случаю ¡1$ = 0.

И. М. Кричевер в [24] ввел род Хирцебруха, задаваемый функцией Бейкера-Ахиезера, и показал, что соответствующий эквивариантный род обладает фундаментальным свойством жёсткости на многообразиях с 51-эквивариантной ¿"¿/-структурой, более того, он показал, что все известные до того роды с таким свойством являются частными случаями его рода.

Четвёртая глава посвящена построению формальной группы, экспонента которой задаёт род Кричевера. Введена универсальная формальная группа

Кричевера и исследовано кольцо Лкг, над которым она определена. На основе результатов третьей и четвёртой главы решены задачи по проблеме целочис-ленности родов Хирцебруха и жёсткости эквивариантных родов Хирцебруха. Получена классификация эллиптических родов Хирцебруха, являющихся родами Кричевера, и следовательно построены й[д]-целочисленные роды Хирцебруха такие, что соответствующий эквивариантный род является жёстким на многообразиях с б^-эквивариантной 5С7-структурой.

В основе результатов пятой главы лежит наблюдение, что логарифмическая производная функции Бейкера-Ахиезера задаёт экспоненту эллиптической формальной группы, выделяемой из общей условием ^ = 0. Вводится деформированная функция Бейкера-Ахиезера, логарифмическая производная которой задаёт экспоненту общей эллиптической формальной группы. На основе результатов первой, третьей и четвёртой глав исследуются свойства этой функции. Центральным результатом этой главы является теорема сложения для деформированной функции Бейкера-Ахиезера.

Далее мы переходим к более подробному изложению основных результатов.

Первые две главы диссертации посвящены дифференциальной геометрии универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых'рода 1 и 2 над пространствами параметров-этих кривых.

Сигма-функцию Вейерштрасса можно представить в виде ряда где коэффициенты а^ Е ((]) задаются рекурсией Вейерштрасса.

Основные результаты раздела 4.4:

Теорема. Для того, чтобы эллиптическая формальная группа РЕ1{и,у) являлась формальной группой Кричевера Екг(и,у), необходимо выполнение следующих условий:

- /Л1/Х4 = 0, 2(/х§ + 3//6) = 0, /11(^3+ 3//6) = 0, //1^1 + ^3^4 = 0.

Теорема 99. Пусть А — кольцо без делителей нуля. Эллиптическая формальная группа Ее1(у>,у) над А является формальной группой Кричевера Ркг(и,и) тогда и только тогда, когда

- = 0, (4 + 3/х6 = 0, /¿1/4 + = 0.

В условиях теоремы 99 экспонента эллиптической формальной группы совпадает с экспонентой соответствующей формальной группы Кричевера. Пусть (т, <72, <7з, А) — параметры ряда /ку(£), то есть

1кг&) =--г--^гт-ехр тг+ Н •

7\Р + т\ 92,9з) \\2 ) )

Следствие. Параметры (т, <72,<?з,А) и параметры /I соответствующей эллиптической формальной группы связаны соотношениями

А = -¿¿ь р(т; £2,<7з) = - 8//2), р'О; 02, <7з) = М1М2 7 Зд3, д2 = /1А~ 2М1МЗ 4- ^(4^2 + М?)2>

14 Л 2 4 2 1 /„ 1 3 32

Рз = уМ2МзД1 - 9/Х3 - -М1М4 - (4М2 + Мх) + + уМ2М4.

Указанные соотношения между параметрами эллиптической формальной группы и формальной группы Кричевера задают отображение эллиптической кривой с параметрами /1 в кривую с параметрами (<7г,<7з)- Отметим, что в общем случае при этом (<72,<?з) Ф (02(аО,0зМ)

Род Хирцебруха мы называем 577 -жёстким, если соответствующий ему эквивариантный род является жёстким на многообразиях с 51-эквивариантной 577-структурой.

Следствие 106. Экспоненты эллиптических формальных групп над кольцом А из теоремы 99 задают А-целочисленные 5С/-жёсткие роды Хирцебруха.

В разделе 4.4 описаны законы сложения формальных групп, удовлетворяющих условию следствия 106.

Пятая глава посвящена построению деформированной функции Бейкера-Ахиезера и описанию её аналитических свойств.

Задачи пятой главы мотивированы тем, что при /¿6 = 0 экспонента эллиптической формальной группы /е7(£) связана с функцией Бейкера-Ахиезера Ф(£) (см. (0.12)) соотношением

1 = $'(*) /2ЯЙ 2 Ф(*) •

Деформированная функция Бейкера-Ахиезера введена как обобщение этого соотношения на случай /не ф 0 — её логарифмическая производная задаёт экспоненту общей эллиптической формальной группы.

Пусть ~ экспонента общей эллиптической формальной группы

РЕ1(и,у). Тогда

1 \ 1 р'{Ь) + р'(ги) , щ = № V, ш, ¡1) = -- ——-—— + fEi(t) ' ' 2 p{t)-p(v) 2 5 где p(t) = p(t-,g2(ß)j 93(11)), p'(w) = -/¿з, p(v) = +

Деформированной функцией Бейкера-Ахиезера Ф(£;г>,ги,/¿) называется решение уравнения которое в окрестности точки t = 0 имеет вид Ф(£) = 1/i + (регулярная функция).

В задаче об аналитических свойствах деформированной функции Бейкера-Ахиезера получены следующие результаты:

Теорема. Функции ги) при ¡i\ — 0 являются решениями с начальным условием Ф(£) = \ + (t) деформированного уравнения Ламе

Ф"(«) - иЩ) = p{v)®{t) с эллиптическим потенциалом

TT-мл р'(»)г - р»2 и - 2p(i) - 4(РЮ-РМ)'

Лемма. Деформированная функция Бейкера-Ахиезера задается формулой

Обратим внимание, что функция Ф(£) при а ^ ±1 имеет две точки ветвления £ = ±г>, то есть не является мероморфной.

1 1 1 р(Р) р(ц) РМ р'{1) р'(д) р'(у)

Теорема. Функция Ф(£) однозначно, с точностью до множителя ехь, определяется законом сложения

Положим q, v) =

Ф(* + q) =

ФИ Ф(д)

Ф'(г) Ф'(д) х при начальном условии Ф(£) = 1/£ + (регулярная функция) в окрестности I = 0.

Следствие. Функция Ф(£; и, ги, д) при /¿х = 0 является общей собственной функцией операторов

1-а2 р'(у)2(9р'ф + ар'(у))

L2 = d2- U, Ьъ = 2<93 - 3£/<9 - 3p'(t) -где 8

P(i) - р(«))3

U = 2p(t) р'М2

4 (р(*)-р(г/))2' с собственными значениями р{у) и —p'(w) соответственно.

Операторы L2 и Ьз коммутируют только при а = ±1. В этом случае потенциал не зависит от собственного значения и функция Ф является мероморфной.

1. Е. Ю. Бунькова. Теорема сложения для деформированной функции Бейкера-Ахиезера, УМН, 65 (2010), вып. 6, стр. 183-184.

2. V. М. Buchstaber, Е. Yu. Bunkova. Addition theorems, formal group laws and integrable systems, XXIX Workshop on Geometrical Methods in Physics, AIP Conference Proceedings, 1307 (2010), стр. 33-43.

3. В. M. Бухштабер, Е. Ю. Бунькова, Формальная группа Кричевера, Функц. анализ и его прил., 45 (2011), вып. 2, стр. 23-44.

4. Е. Ю. Бунькова. Дифференциально-геометрическая структура универсального расслоения эллиптических кривых, УМН, 66 (2011), вып. 4, стр. 185-186.

5. V. М. Buchstaber, Е. Yu. Bunkova. Elliptic formal group laws, integral Hirzebruch genera and Krichever genera, http://arxiv.org/abs/1010.0944.

6. В. М. Бухштабер. Характер Чженя-Долъда в кобордизмах, I, Матем. сб., т. 83 (1970), вып. 4, стр. 575-595.

7. В. М. Бухштабер, А. С. Мищенко, С. П. Новиков. Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии, УМН, 26 (1971), вып. 2, стр. 131-154.

8. В. М. Бухштабер. Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы, УМН, 45 (1990), вып. 3, стр. 185-186.

9. В. М. Бухштабер, В. 3. Энольский. Абелевы блоховские решения двумерного уравнения Шредингера, УМН, 50 (1995), вып. 1, стр. 191-192.

10. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, В. 3. Энольский. Рациональные аналоги абелевых функций, Функц. анализ и его прилож., 33 (1999), вып. 2, стр. 1-15.

11. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, В. 3. Энольский. а-функции (п,в)-кривых, УМН, 54 (1999), выл-. 3, стр. 155-156.

12. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин. Полиномиальные алгебры Ли, Функц. анализ и его прилож., 36 (2002), вып. 4, 2002, стр. 18-34.

13. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, М. В. Павлов. Егоровские гидродинамические цепочки, уравнение Шази и группа 5Х(2, С), Функц. анализ и его прилож., 37 (2003), вып. 4, стр. 13-26.

14. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин. Уравнения теплопроводности в неголономном репере, Функц. анализ и его прилож., 38 (2004), вып. 2, стр. 12-27.

15. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин. Законы сложения на якобианах плоских алгебраических кривых, в сб.: Нелинейная динамика, Труды МИРАН им. Стеклова, т. 251 (2005), вып. 4, Наука М., стр. 54126.

16. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин. Решение задачи дифференцирования абелевых функций по параметрам для семейств (п, б)-кривых, Функц. анализ и его прилож., 42 (2008), вып. 4, стр. 24-36.

17. В. М. Бухштабер. Общий род Кричевера, УМН, 65 (2010), вып. 5, стр. 187-188.

18. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза и Штурма-Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией, ДАН СССР, т. 219, вып. 3, 1974, стр. 531534.

19. Б. А. Дубровин. Тэта-функции и нелинейные уравнения, УМН, 36 (1981), вып. 2, стр. 11-80.

20. Б.А. Дубровин, И. М. Кричевер, С.П. Новиков. Интегрируемые системы, Итоги науки и техники, М., ВИНИТИ, 4 (1985)'( стр. 179285.

21. А. Р. Итс, В. Б. Матвеев. Операторы Шредингера с конечнозон-ным спектром и Ы-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриса, ТМФ, т. 23 (1975), вып. 1, стр. 51-68.

22. Э. Кнэпп. Эллиптические кривые, Факториал Пресс, М., 2004.

23. И. М. Кричевер. Формальные группы и формула Атьи-Хирцебруха, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 38 (1974), 6, стр. 12891304.

24. И. М. Кричевер. Интегрирование нелинейных уравнений с помощью алгебро-геометрических методов, Функц. анализ и его прил., 1Г (1977), вып. 1, стр. 15-31.

25. И. М. Кричевер. Эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили и интегрируемые системы частиц Функц. анализ и его прил., 14 (1980), вып. 4, стр. 45-54.

26. И. М. Кричевер. Обобщенные эллиптические роды и функции Вейкера-Ахиезера, Матем. заметки, 47 (1990), вып. 2, стр. 34-45.

27. H. A. Кудряшов. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

28. Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. Введение в теорию чисел, М., ВИНИТИ, 1990.

29. С. П. Новиков. Гомотопические свойства комплексов Тома, Ма-тем. сб. 57 (1962), вып. 4, стр. 407-442.I

30. С. П. Новиков. Операторы Адамса и неподвижные точки, Изв. АН СССР, сер. матем., 32 (1968), вып. 6, стр. 1245-1263.

31. С. П. Новиков. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза, Функц. анализ и его прил., 8 (1974), вып. 3, стр. 54-66.

32. Р. Пале. Семинар по теореме Атьи Зингера об индексе, пер. с англ., М., 1970.

33. Р. Стонг. Заметки по теории кобордизмов (с приложением В. М. Бухштабера), М., Мир, 1973.

34. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. Курс современного анализа, ч. 2. Трансцендентные функции, Москва, УРСС, 2010.

35. Ф. Хирцебрух. Топологические методы в алгебраической геометрии, Мир, 1973.

36. H. F. Baker. On the hyperelliptic sigma functions, Amer. Journ. Math. 20 (1898), p. 301-384.

37. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin. Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, Geometry and Topology: On the Crossroad, V. M. Buchstaber, S. P. Novikov Editors, AMS Trans. 2, 179 (1997), p. 1-33.

38. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin. Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and applications, Reviews in Mathematics and Math. Physics, 10 (1997), part 2, Gordon and Breach, London, p. 3120.

39. V. M. Buchstaber. Abelian Functions and Singularity Theory, International Conference "Analysis and Singularities", dedicated to the 70th anniversary of V. I. Arnold, Book of abstracts, Steklov Math. Inst., Moscow, 2007, p. 117-118.

40. P. A. Clarkson, P. J. Olver. Symmetry and the Chazy equation, J. Diff. Eq. 124 (1996), p. 225-246.

41. B. A. Dubrovin. Geometry of 2D topological field theoriesLecture Notes in Math. 1620 (1996), p. 120-348.

42. G. Frobenius, L. Stickelberger. Ueber die Differentiation der elliptischen Functionen nach den Perioden und Invarianten, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal) 92 (1882), p. 311-327.

43. M. Hazewinkel. Formal Groups and Applications, Academic Press, New York-San Francisco-London, 1978.

44. M. Lazard. Sur les groupes de Lie formels à un paramètre, Bull. Soc. Math. France 83 (1955), p. 251-274.

45. J. Milnor. On the cobordism ring and complex analogue, Part I, Amer. J. Math., 82 (1960), no. 3, p. 505-521.

46. S. Ochanine. Sur les genres multiplicatifs définis par des intégrales elliptiques, Topology 26 (1987), no. 2, p. 143-151.

47. Y. Onishi. Universal elliptic functions, arXiv:1003.2927vl

48. D. Quillen. On the Formal Group Laws of Unoriented and Complex Cobordism Theory, Bulletin of the American Mathematical Society 75 (1969), p. 1293-1298,см. также:

49. Д. Квиллен, О формальных группах в теориях неориентированных и унитарных кобордизмов, Раздел 7 в книге «Кобордизмы и их приложения», Топологическая библиотека, том I, Москва-Ижевск, 2005.

50. J. Н. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, GTM 106 (1986). Expanded 2nd Edition, 2009.

51. J. T. Tate. The arithmetic of elliptic curves, Invent. Math., 23 (1974), 3-4, Springer-Verlag, p. 179-206.

52. K. Weierstrass. Zur Theorie der elliptischen Funktionen, Mathematische Werke, Bd. 2 (1894), Berlin, Teubner, p. 245-255.